Calculo-actuarial-de-la-reserva-de-riesgos-en-curso-para-el-seguro-de-vida-tradicional-de-acuerdo-a-la-legislacion-mexicana

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
CÁLCULO ACTUARIAL DE LA RESERVA
DE RIESGOS EN CURSO PARA EL
SEGURO DE VIDA TRADICIONAL DE
ACUERDOA LA LEGISLACiÓN MEXICANA.
T E s 1 s
QUE PARAOBTENER El TíTULO DE:
A e T u A R lA
P R E S E N TA:
MARíA DE LOS ANGELES LÓPEZ MARTíNEZ
DIRECTOR DE TESIS:
ACT. ALFONSO PARRAO GUZMÁN.
ASESOR DE TESIS:
ACT. RICARDO HUMBERTO SEVILLA AGUILAR.
2005
FACULTAD DE CIENCIAS
SECCION ESCOLAR
 
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VNJVEI~'mAD NAqONAL
AvlON°MA ot
MEXJC'P
ACT. MAURICIO AGUILAR GONZÁLEZ
Jefe de la División de Estudios Profesionales de la
Facultad de Ciencias
Presente
Comunicamos a usted que hemos revisado el trabajo escrito:
Cálculo Actusrisl de la Reserva de Riesgos en Curso para elSeguro
de Vida Tradicional de acuerdo a la LegislaCÍ;6n Mexicana.
realizado por María de los Angeles L6pez Martínez
con número de cuenta 40100284-1 •quien cubrió los créditos dela carrera de:
Actuaría
.Dicho trabajo cuenta con nuestrovoto aprobatorio.
Atentamen te
Director
Propietario Act. Alfonso Parrao Guzmán.
Asesor
Propietario Act. Ricardo Humberto Sevilla Aguilar.
Propietario . Act. Fernando Pérez Márquez,
Suplente Act. Benito Calvillo Martínez.
Suplente Act. Irma Evelia Valencia Sepúlveda.
.. rEIUfICU
A Dios
por todo lo que me ha dado y permitirme alcanzar una meta más.
A mis padres, Laura y Raymundo
por su amor y su apoyo incondicional.
A mis hermanas, Lauris y mi princesita Lore
por ser mis mejores amigas.
A mifami/ia
por creer en mi.
A Talina, Luz y Dirceu
por su apoyo y amistad desde el inicio de la carrera.
Al Act. Alfonso Parrao
por el tiempo y la ayuda prestada para la realización de este trabajo .
Índice General
ÍNDICE GENERAL
OBJETIVOS................ .................................... ................ ... 1
PRÓLOGO....... ... ..... .................. .. .. .. ........................... . ..... 2
CAPITULO 1ANTECEDENTES
1.1 Origen del Seguro.............. .. ... .. ...... .. ............. ...... ... ...... 4
1.1.1 Edad antigua...... .............. .... .. ............................... 4
1.1.2 Edad Media........ ...... ....... ........ ....... ........ .......... ...... 5
1.1.3Mediados del siglo XVII hasta mediados del XIX... . .. ..... .. .. 6
1.1.4 Mediados de siglo XIX hasta nuestros días.... ................ .... 6
1.2. El Seguro en México... ... .......... .. 6
1.2.1. La Nueva España........................... 6
1.2.2. México Independiente............ ...... ..... . .... ...... ............. 7
1.2.3. La Reforma....... .... ..... ......... ... ..... ......... .............. .... 7
1.2.4.Época Porfrrista... ................... ................................ 8
1.2.5. Época Revolucionaria....... . .. .... ...... . .. ... .. .. .. ......... . .. 9
1.2.6. El Cardenismo..... ........... ... ... ... .... .......... .............. 9
1.2.7 Desarrollo estabilizador........... ..... ................... .. ......... 10
1.2.8.El sector asegurador de 1988a 2003............ . .... . ............ 11
CAPITULO II CONCEPTOS BÁSICOS
2.1. Funciones biométricas..... ... .............. .... .. .. .. ............. .. ....... 13
2.2. Anualidades... .. ..... .. ................. .................. ......... .......... 16
2.2.1. Definición.............. ..... ... ................. ......... .. ... ........ 16
2.2.2. Tipos de anualidades contingentes. .... .... 16
. 2.2.2.1. Anualidad vitalicia.... .. .... ...... ...... ............. .. ...... 16
2.2.2.2. Anualidad temporal n-años.............. ........... ....... . 19
2.2.2.3. Anualidad vitalicia diferidas n-años......... . .... ......... 20
2.2.2.4. Anualidad creciente uniforme vitalicia........ ............ 22
2.2.2.5. Anualidad decreciente uniforme vitalicia. 24
2.2.2.6. Anualidad pagaderas m-veces al año vitalicia......... 25
2.3. Seguro de Vida. 28
2.3.1. Tipos de Seguros....... .......... ....... .... ......................... 29
2.3.1.1. Seguro ordinario de vida........ ............. ......... 29
2.3.1.2. Seguro temporal n-años..... ... ........ ..... ....... ... 30
Índice General
2.3.1.3. Seguro Dotal Puro.... ..... . ... ... ........ ..... ... ..... 30
2.3.1.4. Seguro Dotal Mixto.. ... .......... .......... ........ 31
2.3.1.5. Seguro creciente temporal n-aftos... ... 31
2.3.1.6. Seguro Continuo...... .. . .. .. .. ... ... .. ........ ........ 32
2.4. Prima Neta.... ... ....... ... .. ... .. .. ... ... .. ... .. ... ... . .. .. .. .... .. ...... . .. 35
2.5. Reserva Matemática............ ... . ..... .. . .... ... .. . .. ... .. .. . ............ 36
2.5.1. DefInición... ........ . .. ... ....... ...... ............ . .. ............ 36
2.5.2. Reserva Pura. . . .. . .. .. .. ..... .. .. ... ...... ..... ....... ......... ... 37
2.5.2.1. Método Prospectivo...... . ... 37
2.5.2.2. Método Retrospectivo 41
2.5.2.3. Método Recursivo o de Fack.ler...... ... ..... ... . .. .. 46
2.4.3. Reservas Recargadas.. ... . .. ..... .. ..... ........ ..... ........ .... 50
2.4.3.1. Método Zillmer.. .. .. ... .... . ... .. ........ .............. 50
2.4.3.2. Método de Ferguson.. ..... .. ... . .. 52
2.4.3.3. Método de selección y Final..... .... ........ .. .. .. 53
CAPÍTIJLO m CÁLCULO DE LA RESERVA DE RIESGOS EN CURSO
PARA EL SEGURO DE VIDA TRADICIONAL.
3.1. Ejemplos. ..... .... .. .. ...... ... ... .... . ... .. . ..... ... .. .... .... .............. 55
3.1.1. Funciones biométricas..... ...... ..... .. .. .. .. ..... ........ .... .. .... 55
3.1.2. Anualidades.. . ... .. ... .... ... ... .. .. .. .. . .. ....... .. .. .. ... .. .. .... ... 64
3.1.3 Seguro de Vida.. ..... ...... .. ... ... ... ... ... .... . .... ..... ..... .. ..... 68
3.1.4. Prima Neta. ..... ..... .. .. .... ... .. .. .. .... . .... .. ... .. .... .. .......... 71
3.1.3. Reserva Matemática... .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 73
3.2. Prima de Tarifa.. . .... ........ ..... . ... ..... .... .. . ... ... .. .. .. ...... ...... .. 78
3.3. Métodos Modificados de Reservas oo ' 78
3.3.1. Año Temporal Preliminar... .... . ... .. ... .......................... . 80
3.3.1.1. Año Temporal Preliminar Completo.. .... ... .. .. . .. .... 80
3.3.1.1. Año Temporal Preliminar ModifIcado........ .. .. 82
3.3.1.1.1. Método de los Comisionados.... ......... ... 83
3.3.1.1.2. Método Canadiense... .... .. ... ....... ... .. .. . 83
3.4. Asset Share.. .. .. .. . .. .... . ........... .. .. .. .... .. .. . .. . ... .. ..... ......... .. 84
3.4.1. Componentes de un modelo de Asset Share.. ... ... . . .. ... . ... .. . 84
3.4.2. Algunos modelos de Asset Share... ... . .. .. ...... .. .. ... .. ..... .... 88
ii
Índice General
3.5. Legislación Mexicana. 90
3.5.1. Ley General de Instituciones y Sociedades
Mutualistas de Seguros (LGISMS). 90
3.5.2. Circulares emitidas por la CNSF sobre la
Reserva de Riesgos en Curso. .... . ... .. ....... .... .. .. .. .. ... .. 93
3.5.3. Estándares de Práctica Actuaria!.. .. . .. ....... ... ...... .... ... 110
CAPÍTIJLO IV NOTA TÉCNICA
1. Antecedentes.. .... . .. ........ .... .... .. ... .. .. .... .. .. . .. .. .. .. ... .. . ...... .... 113
I. Caracteristicas generales de los planes.
l. Coberturas.... . . ........ .. .. .. ............. .. .. .. ..... .. ... .. ... .... .. . . .... 114
1.1. Seguro de Vida Entera... . .. .. .. .. .. ... . .. . .. .. .. ... .. .... ... .. . ... 114
1.2. Segurode Vida Temporal n-años.. . ... ... .. .. .. . .. .. .... .. . ...... 114
1.3. Seguro de Vida Dotal Mixto n-años.. .. .. ... .. .. .. ..... ... .... ... 11 5
2. Temporalidad...... ... ... . .. .. ..... .... ... ... . .. .... .. .. .. ... ..... . .. .. .... 115
3. Operación y Ramo.. .. .. . .. .... .. .. . ... 116
4. Suma Asegurada... .. .. ... ........ ...... . .. .. . .......... .. .. ........... ... 116
n. Hipótesis. .
1. Hipótesis demográficas. .. ... .... .... ... . .. .. .. .. ..... ... .. ... . ... ........ 116
2. Hipótesis financieras.. .. . .... ...... .. .. . .. .... . . 116
3. Caducidad.. .. ........... .. .. ... .. ... . ....... .... 116
III. Gastos de adquisición, administración y utilidad.
l . Gastos de adquisición... ... .. .... ....... ... .. . ... .. .. . ... ... ... .. . .. . .. ... 117
2. Gastos de administración.. .. . .. ... .. .. .. ...... ........ .... ..... ..... . ... 117
3. Utilidad.... ... .. 117
VI. Procedimientos Técnicos.
1. Primas de Riesgo... .. .. ... .. .. . .. ... .. ........ .. .. ........ .. . .. ........... 117
1.1. Seguro de Vida Entera.... .. .. .. .. .. .. . 117
1.2. Seguro de Vida Temporal n-afios.. . ..... 117
1.3. Seguro de Vida Dotal Mixto n-afias.. .... .... .. ..... .... ... ...... 118
2. Primas de Tarifa......... .. ... . ....... .. .. .. .. ..... . .. .. .. .. ... ....... ... .. 118
2.1. Seguro de Vida Entera... ...... . .. .... .. . .. ........... . ... ... .. ... . 118
2.2. Seguro de Vida Temporal n-afios ..... .. .. . ... .. ... ...... ......... 118
2.3. Seguro de Vida Dotal Mixto n-años.. .... . .. .... .. .... .. .. . .. .... 119
3. Reservas Técnicas.... ... .. ...... ...... .. .. ... . .. .......... .. .. .. . ... ...... 120
3.1. Reservas terminales..... . .. . ... . ... .. ..... ..... ..... .. . ......... ... 120
3.1.1. Seguro de Vida Entera. .. ... .... ... ...... ..... . .... ..... ... .. 120
iii
ÍndiceGeneral
3.1.2. Seguro de Vida Temporal n-afios.......................... 120
3.1.3. Seguro de Vida Dotal Mixto n-afios............... ........ 121
3.2. Reservas Mínimas.... .. ..... ....... . ...................... ......... 121
3.2.1. Prima de ahorro........................... ................... 121
3.2.2. Pérdida del primer afio... .... .. ... ...... ...... .... ..... .. .... 121
3.2.3. Pérdida amortizable...... 122
3.2.4. Anualidad de amortización..... ......... . .................. 122
3.2.5. Reserva mínima exacta de primer afio. 122
3.2.6. Reserva mínima exacta del afio de vigencia t (t>I)...... 123
4. Valores Garantizados. 123
4.1. Valor de Rescate...... ................ .. .. . ......................... 124
4.2. Seguro Prorrogado.. ....... ...... ... .............. ....... ... ........ 124
4.3. Seguro Saldado.......... ..... ........................... ... . .... .... 124
1.1. Seguro de Vida Entera. ... .. .. . .. .. ... . .. .. .... ... .... .. .. .. 124
1.2. Seguro de Vida Temporal n-años.. ....................... 125
1.3. Seguro de Vida Dotal Mixto n-afios.. .. .. .. ........... ... 125
4.4. Préstamos.............. ......... .. ..... .... .. .. . .. .......... ......... 125
4.4.1. Préstamo ordinario...... ................................... ... 125
1.1. Seguro de Vida Entera........ ....... .......... .......... 125
1.2. Seguro de Vida Temporal n-afios............. .......... 125
1.3. Seguro de Vida Dotal Mixto n-años............. .. 125
4.4.2. Préstamo automático........ . ...... ............. .......... 126
1.1. Seguro de Vida Entera.. ........... ...................... 126
1.2. Seguro de Vida Temporal n-años .i.... 126
1.3. Seguro de Vida Dotal Mixto n-años................ .... 126
4.5. Dividendos por mortalidad......... ........................ ... ..... 126
CONCLUSIÓN.................................................. ... .... .... ..... 127
ANEXOS. ............. ......... ...... .. ............. ........ .. .... .. ... ............ 128
BIDLIOGRAFIA.............. ..... ........... ....... ......................... .... 176
GLOSARIO DE FÓRMULAS......... ....... ...... .... ................. ..... . 178
INDICE ALFABÉTICO...................... ...................... .... ......... 183
iv
Objetivos
OBJETIVOS
Objetivo general.
Mostrar como se lleva a cabo el cálculo de la Reserva de Riesgos en Curso
para el Seguro de Vida Tradicional de acuerdo a las modificaciones realizadas
a la legislación mexicana en materia de seguros en el 2002.
Objetivos específicos.
Mostrar de manera breve el surgimiento de las reservas a través de la
historia del seguro, así como la evolución de la legislación mexicana en
materia de seguros.
Presentar un repaso de las técnicas actuariales del seguro de vida para el
cálculo de anualidades, primas y reservas, además de los métodos Asset
Share.
Explicar algunos de los métodos modificados para el cálculo de reservas.
Exponer la legislación mexicana concerniente a la Reserva de Riesgos en
Curso para el Seguro de Vida Tradicional.
Realizar un análisis comparativo entre el método de reservas mínimas y
algunos métodos modificados de reservas.
Elaborar una nota técnica para un plan de Seguro de Vida tradicional
aplicando lo establecido en la legislación mexicana sobre la Reserva de
Riesgos en Curso para dichos tipos de seguros.
Prólogo
PRÓLOGO
Este trabajo tiene como propósito de ser una guía para los estudiantes de la
carrera de Actuaría así como profesionales y demás personas interesadas en
los temas actuariales del seguro de vida tradicional y sobre la suficiencia de la
reserva de riesgos en curso. El capítulo 1 contiene de manera breve el
surgimiento del seguro en el mundo, adentrándose con cierto detalle en la
historia del seguro en México. En el capítulo Il, se encontrarán conceptos
básicos del cálculo actuarial del seguro de vida así como algunos ejemplos, y
por último en el capítulo III se tratará el concepto denominado Asset Share
que es utilizado por muchas de las compañías aseguradoras en México
(también en el mundo), como parte del proceso de tarificación de sus
productos.
En la práctica actuarial, existen diferencias entre la filosofia del cálculo de la
prima y la constitución de las reservas técnicas. El establecimiento de primas
se ve influenciado en muchas ocasiones por la política comercial de la
empresa, buscando un balance adecuado entre competencia y rentabilidad.
Por su parte, la constitución de reservas técnicas se enmarca dentro del
contexto de solvencia y estabilidad fmanciera de la institución. Por ello, las
bases para la creación de las reservas técnicas no deben limitarse
exclusivamente a la razonabilidad del cálculo de la prima.
Las primas deben calcularse utilizando métodos actuariales y/o estadísticos
que le permitan estimar, con cierto rango de confianza, las obligaciones
futuras. Si la prima es insuficiente y no alcanza a cubrir razonablemente el
riesgo y los costos asociados a dicha cobertura, la institución podría enfrentar
fuertes pérdidas. Por ello, debe existir un mecanismo que asegure que las
reservas técnicas reflejarán, en todo momento, las obligaciones asumidas por
las instituciones.
Desde hace poco más de veinticinco años, el ejercicio de supervisión de la
industria aseguradora a nivel mundial ha venido aplicando, de manera
paulatina políticas de liberalización y desregulación. En Europa en 1979 se
creó el primer decreto sobre solvencia para compañ ías de vida que se basó
principalmente en tres aspectos: reservas suficientes, diversificación de
activos y márgenes de solvencia.
En México, las modificaciones del 2002 a la Ley General de Instituciones y
Sociedades Mutualistas de Seguros (LGISMS) en materia de reservas técnicas
buscaron, entre otros aspectos, adaptar la regulación a las condiciones de un
mercado liberalizado y más competitivo.
2
Prólogo
Dichos cambios en la legislación implicaron el fortalecimiento del papel del
actuario dentro del nuevo esquema de supervisión ya que se trasladó la
responsabilidad del diseño técnico de los productos y de la valuación de las
reservas técnicas hacia los actuarios de las institucionesde seguros.
La mayor libertad de gestión en el diseño de los productos de seguros y en su
tarificación implicó, entre otras cosas, el reforzamiento del esquema de
constitución y valuación de las reservas técnicas y el desarrollo de los
estándares de práctica actuarial en apego a la LGISMS. En el capítulo ID se
aborda la legislación mexicana con respecto a la reserva de riesgos en curso
para el seguro de vida tradicional (LGISMS, Circulares y Estándares de
Práctica Actuarial); también se incluye un breve análisis comparativo entre el
método para el cálculo de reservas mínimas y otros métodos de cálculo de
reservas terminales.
Además en el capítulo IV se incluye la nota técnica de una línea de seguro de
vida para ejemplificar lo establecido tanto en el presente trabajo como en la
Ley.
La autora.
3
Capítulo [
1.1 Origen del Seguro.
CAPITULO 1
ANTECEDENTES
Antecedentes
El ser humano tiene diversas formas de hacer frente a las consecuencias
adversas del riesgo1, desde tiempos remotos hasta nuestros días, y a medida
que el hombre domina la naturaleza va eliminando ciertos elementos de
incertidumbre y de riesgo que hay en su vida y generando a su vez otros tipos
de riesgos.
Todas esas medidas de protección buscan dos importantes metas; menor
incidencia y menor cuantía, esto es, reducir el porcentaje de riesgos que se
realizan, haciendo que las pérdidas sean menores en cada siniestro' . Esto
implica que el riesgo, aunque disminuido, subsiste, y que de realizarse
produciría pérdidas económicas, poniendo en peligro la integridad o
permanencia de las personas fisicas con el consecuente impacto socio
económico adverso para las familias, las organizaciones y el país.
Ante la imposibilidad de eliminar totalmente el riesgo y consecuentemente las
pérdidas que eventualmente produzcan su realización, el hombre puso en
juego su imaginación y creatividad, encontrando que la mejor solución es el
desplazamiento o transferencia del riesgo a un tercero (transferencia de
pérdida),
1.1.1 Edad antigua.
En documentos muy antiguos se reflejan vestigios de lo que podrían ser los
primeros balbuceos de la actividad aseguradora, o cuando menos, de un cierto
ambiente de solidaridad promovido por las desgracias que a menudo ocurrían
a los componentes de las caravanas que cruzaban la antigua Babilonia, y que
a menudo estaban sometidos a robos y pillajes, cuyos daños soportaban en
forma solidaria.
Mas adelante, en el siglo V antes de Cristo, existían en Rodas, leyes que
contemplaban la obligación que tenían los cargadores, con el objeto de
I Riesgo es definido como la incertidumbre concerniente a la ocurrencia de una pérdida. Principies 01
Risk Managment and lnsurance.George E. Rejda:
2 Siniestro es la avería grave, destrucción fortuita o pérdida importante que sufren las personas o la
propiedad, especialmente por muerte, incendio, naufragio, choque o suceso análogo. Se da este
nombre a los daños de cualquier importancia que pueden ser indemnizados por una compañía
aseguradora. Gran diccionario Enciclopédico Esposa, Tomo /4.
4
Capitulo 1 Antecedentes
contribuir a la reparación económica de los daños causados por tempestades,
e incluso rescates de buques en poder de los enemigos.
En la época de esplendor y dominación romana se conoce que existieron
asociaciones de artesanos, que por medio del pago de una cuota, aseguraban
sus propios funerales (seguro de sepelio, se diría hoy).
Durante los siglos XII al XIV, cambistas lombardos y florentinos literalmente
se habían adueñado de los mercados y ferias inglesas, fueron los genoveses
los primeros en ejercer la actividad del seguro de transporte y de mercancías,
aún sin existir todavía leyes u ordenanzas sobre ella.
1.1.2 Edad Media.
El seguro marítimo fue la primera actividad en la que se desarrolló el seguro
y el documento histórico que puede considerarse como la primera póliza de
seguro marítimo, lleva fecha de 23 de octubre de 1347.
Cabe mencionar que el primer instrumento jurídico que reguló la actividad
aseguradora, y particularmente la marítima, fue la Ordenanza de Barcelona,
dedicada a extirpar fraudes, daños, discusiones y debates que podrían tener
lugar en dicha ciudad en ocasión de los seguros sobre buques, mercancías,
efectos y bienes y también en beneficio de los aseguradores y de los
asegurados.
Una serie de estatutos y ordenanzas siguieron a la Ordenanza, entre ellos la
Recopilación de Indias, una especie de código redactado para la América
española, que tuvo como objeto la reglamentación del derecho marítimo y
mercante. Asimismo, una legislación completa sobre el seguro marítimo fue
otorgada por Felipe 11 en 1536, la cual trataba de "Aseguradores, Riesgos y
Seguro de la Carrera de las Indias". Esas disposiciones fueron perfeccionadas
por las Ordenanzas de Bilbao de 1725.
En México, antes del periodo colonial, se encuentran entre los Mayas y entre
los Chichimecas algunas situaciones que pueden contemplarse como cierta
forma de seguro, al hablarse de indemnizaciones y pago de deudas.
Por otro lado, Bernardo de Alba, en su Historia de los chichimecas, habla de
una previsión en caso de muerte que otorgaría el rey de Texcoco
Netzahualcoyotl a la familia del guerrero caído en batalla.
5
Capitulo I
1.1.3 Mediados del siglo XVII hasta mediados del XiX.
Antecedentes
Es en París en 1668 donde se funda lo que se puede considerar la primera
Compañía de Seguros, dedicada al seguro marítimo. Se crea también, pero en
Londres, el famoso Lloyd's inglés, una corporación de aseguradores
particulares (llamados sindicatos).
En la época del siglo XVII hasta mediados del XIX da un salto cualitativo,
dado que ya no sólo se aseguran hechos naturales, sino que aparecen
coberturas para daños causados por las personas, y también a las propias
personas. Este tipo de seguros obligan a realizar cálculos mucho más
técnicos, que los que se hacían hasta ese tiempo. Son los pioneros Pascal y
Fermat, que hicieron trabajos relacionados con el cálculo de probabilidades.
Asimismo son conocidos los estudios efectuados por Halley sobre la
mortalidad, y los realizados por Jacob Bernoulli en su formulación de "La ley
de los grandes números". Nace aquí, la ciencia aseguradora.
1.1.4 Mediados de siglo XIX hasta nuestros días.
La evolución que experimenta la sociedad durante el siglo XIX. que afecta a
las condiciones de vida, tiene su influencia en el desarrollo del sector
asegurador.
La cada vez más amplia industrialización, y el aumento de la población
urbana hacen surgir fenómenos que sin duda favorecen la idea individualista
en contraposición con la idea de seguridad del grupo familiar imperante hasta
esa fecha.
Es en esta época cuando el sector asegurador como institución, contribuye al
fuerte desarrollo industrial, y adapta sus estructuras a las nuevas exigencias
del mercado y a su vez, éste encuentra en el seguro un gran soporte para su
evolución.
1.2. El Seguro en México.
1.2.1. La Nueva España.
El seguro en México, como en otros muchos lugares del mundo, habria de
nacer en el mar, y en este caso, en el puerto de Veracruz, que a fmes del siglo
XVIII gozaba de gran prosperidad comercial.
6
Capítulo l Antecedentes
Fue en el año de 1798, cuando se constituyó la primera compañía de seguros
en el puerto de Veracruz, que se denominó Compañía de Seguros Marítimos
de Nueva España, con el propósito de cubrir los riesgos de lo que se
denominaba en España como la Carrera de la Indias.
1.2.2. México Independiente.
Al empezar la segunda mitad del siglo XIX. el seguro dio inicio a su camino
que lo llevarla a través del tiempo y de diferentes legislaciones hasta nuestros
días .
El Código de Lares', que apareció el 16 de mayo de 1854 durante el gobierno
de Santa Anna y teniendo un resurgimiento en el estado de Puebla el 24 de
junio de 1868, dedica el título VII a los seguros de conducciones terrestres, el
título III sección IV trae una serie de artículos relacionados con los seguros
marítimos.
Durante el periodo de Maximiliano de Habsburgo, los seguros tanto de vida
como deincendio ya funcionaban en la nación austriaca, por lo que se
establecieron en el país varias compañías de seguros.
Como se desprende de los diferentes números de El Diario del Imperio de
1865 (diario que cumplió con la función de La Gaceta de México durante el
periodo del Segundo Imperio), la autorización imperial de los Estatutos de las
compañías que iban estableciéndose, constituye en sus artículos, la Ley del
Seguro para esas compañías, y además, puede considerarse como apoyo y
base de orientación para las futuras leyes del seguro en México.
También por primera vez, se habla en México de sanciones o amonestaciones
a una institución de Seguros por infracciones o anomalías en el desempeño de
sus actividades.
1.2.3. La Reforma.
El Código Civil de 1870, promulgado por Benito Juárez, reforma y amplía el
de Lares y dentro de seis artículos define y norma el contrato de seguros. En
1887 empezó a funcionar en Chihuahua una compañía de seguros sobre la
vida, llamada La Mexicana. Se dice que dicha compañía, sin que la ley lo
obligara, pretendió construir la reserva científica de primas, guiándose por los
consejos de un técnico, asegurando que debía haber una ley que obligara a las
3 Minzoni Consorti, Antonio; "Crónica de 200 aIIos del seguro en México", Comisíón Nacional de
Seguro y Fianzas, México. 1994.
7
Capitulo I Antecedentes
compañías de seguros la constitución de una reserva sobre seguros de vida y
también otras operaciones.
1.2.4. Época Porfirista.
En el periodo de gobierno del General Porfirio Díaz, se promulgaron las dos
primeras leyes del seguro mexicano, una en el siglo XIX y otra en el siglo
XX.
En la primera reglamentación la Ley sobre Compañías de Seguros (conocida
como la Ley del Timbre), se empiezan a dar lineamientos legales a las
instituciones de seguros locales y extranjeras que operaban en el país;
lineamientos y reglas que permitieron un principio de sano desarrollo del
seguro.
Los primeros controles de la Ley del Timbre a los que estarían sujetas las
compaftías de seguros, locales y extranjeras, se registraban en los artículos 10
Y 11, respectivamente. Se hablaba de sanciones por parte de la autoridad, no
solamente cuando no se hubieren llenado las formalidades requeridas para el
funcionamiento de la compañía, sino también cuando no se cumpliere con los
requisitos previstos por el mantenimiento del capital de garantía y, en estos
casos, la Secretaria de Hacienda acordaría la suspensión de la compañía de
seguros.
La segunda ley, la Ley Relativa de la Organización de las Compañías de
Seguros sobre la Vida, fue promulgada el 25 de mayo de 1910, la cual
regulaba por primera vez, en forma moderna, el seguro de vida contratado en
México.
Pero el 28 de mayo de 1910 se enviaba al Congreso una nueva iniciativa de
ley relativa a empresas de seguros de Vida. Además se fundó el
establecimiento de un régimen de intervención del Estado en el manejo de las
compañías de seguros.
El primer Reglamento que se aplicó a las compaftías de seguros locales y
extranjeras fue publicado el día 24 de agosto de 1910 en el Diario Oficial de
la Federación. Era una especie de guía para que las compañías pudieran
cumplir cabalmente con lo dispuesto por la ley. Así, por ejemplo, establecía
que la reserva matemática de primas debería calcularse para todas las pólizas,
adiciones, dividendos acumulados y demás obligaciones que tuvieran en
vigor las compaftías al fInalizar cada afio, utilizando el tipo de interés
determinado por la ley y la tabla de mortalidad "experiencia Americana".
8
Capítulo 1
1.2.5. Época Revolucionaria.
Antecedentes
Venustiano Carranza, encargado del Poder Ejecutivo de la Nación después
del triunfo de la Revolución Constitucionalista, emitió el 15 de diciembre de
1916 un decreto que ayudó a mejorar la situación de las compañías de
seguros.
Por otra parte, se debe al presidente Calles (1926 - 1931) el otorgamiento de
la Ley General de Sociedades de Seguros, la cual constituyó el primer
documento legal y completo que regulaba la actividad aseguradora en todos
los ramos en los que la institución de seguros pudiera operar. Entre los 164
artículos de esta Ley, el 14 se refería a la suficiencia en primas, aclarándose
que las tarifas y las bases para el cálculo de primas y reservas, deberían ser
tales, que sus términos demostraran posibilidad de cumplir con los
compromisos propuestos en cuanto a beneficios y provecho para el asegurado
y /0 beneficiario, tanto en su cuantía como en las cantidades que se señalen.
Además, el mismo artículo ordenaba que: "las compañías de seguros sobre la
Vida, manifestarán las tablas de mortalidad que pretendan emplear para el
cálculo de sus tarifas, de primas y de reservas matemáticas y el tipo de interés
que usarán para calcular las mismas". Para cumplir con el requisito anterior,
no se aportó ningún cambio a lo dispuesto por la anterior Ley de 1910.
1.2.6. El Cardenismo.
La Ley General de Instituciones de Seguros promulgadas bajo el mandato del
General Lázaro Cárdenas tomó en cuenta los artículos de las leyes de 1926 y
1931 Yde su reglamento, procurando una mejor sistematización, y ampliando
y adicionando otras disposiciones nuevas relativas a la inversión de las
reservas en México, las cuales fueron el motivo por el que las aseguradoras
extranjeras se retiraron del mercado.
Una larga serie de artículos establece reglas muy precisas sobre tablas de
mortalidad a usarse, sistemas para el cálculo de las reservas matemáticas,
tablas para anualidades, instrumentos de las inversiones y control de las
mismas, informes de cuentas, inspección, vigilancia y disolución de
instituciones de seguros , relaciones fiscales, sanciones y transitorios.
Por medio del decreto del 18 de mayo de 1938 se modificó el artículo 86 de la
Ley, obligando a que las instituciones de seguros invirtieran por lo menos el
9
Capitulo I Aruecedentes
veinte por ciento de las reservas t écnicas", en obligaciones del Distrito
Federal y en bonos hipotecarios de instituciones nacionales de crédito o en
obligaciones del Departamento del Distrito Federal.
El General Manuel Ávila Camacho promulgó, durante su periodo
presidencial, un decreto que reformó la Ley Sobre el Contrato del Seguro,
además, creó la Comisión Nacional de Seguros.
1.2.7 Desarrollo estabilizador.
El decreto de 29 de diciembre de 1956, que reforma la Ley General de
Instituciones de Seguros, es muy importante porque fija; a) nuevos capitales
mínimos, b) fórmulas para definir la retención máxima de las instituciones de
seguros según los ramos en que operan (hasta la fecha esos criterios se usan
en el mercado) y c) obligación de las instituciones de seguros de invertir un
porcentaje de las reservas técnicas, de capital pagado y de reserva de capital,
en bonos para la vivienda popular y emitidos por instituciones de crédito.
La Comisión Nacional de Seguros fijaria para cada una de las operaciones y
ramos de seguros; a) el importe máximo de los gastos de adquisición para
nuevos seguros y b) el máximo de comisiones sueldos, gastos y cualquier otra
compensación que sea permitido pagar a sus agentes y además, la manera de
efectuar los pagos correspondientes .
El 26 de septiembre de 1970, siendo el primer magistrado el Lic. Luis
Echeverria Álvarez, se promulgó un decreto, por medio del cual se unificaron
las dos comisiones existentes: la Bancaria y la de Seguros, en una sola
denominada Comisión Nacional Bancaria y de Seguros (CNBS). y el 9 de
agosto del mismo año, se expidió un nuevo reglamento sobre las funciones
que en materia de seguros realizaría dicha Comisión.
El 18 de diciembre de 1985, la Secretaria de Hacienda y Crédito Público
expidió reglas para:
1) La constitución de las Reservas en curso de las instituciones de
seguros.
2) La constitución de las reservas técnicas especiales', de las instituciones
de seguros.
• Las reservastécnicas representan las provisionesrequeridas por la regulaciónparahacertrente a los riesgosy a las
obligaciones con los aseglndos. CNSF
s Reservas técnicas especiales Articulo52 LG/SMS.
10
Capítulo 1 Antecedentes
3) De la reserva para fluctuaciones de valores y de la reserva de
previsión.
1.2.8. El sector asegurador de 1988 a 2003.
El 3 de enero de 1990 el Diario Oficial de la Federación publicó un decreto
Ejecutivo Federal promulgando la Ley General de Instituciones y Sociedades
Mutualistas de Seguros, mismo que entró en vigor el día siguiente de su
publicación.
Una primera medida de la Ley fue la de dividir las funciones de la Comisión
Nacional Bancaria y de Seguros en dos organismos descentralizados de la
Secretaria de Hacienda y Crédito Público denominados, respectivamente,
Comisión Nacional Bancaria y Comisión Nacional de Seguros y Fianzas. A
esta última comisión se la encomendó, entre otras, la inspección y vigilancia
de las instituciones aseguradoras, de las mutualistas y de las afianzadoras.
Asimismo, la Ley contiene una serie de disposiciones sobre la organización,
funcionamiento, contabilidad, inspección y vigilancia de las instituciones de
seguros filiales de instituciones financieras del exterior y de sociedades
mutualistas de seguros; así como de las facultades de las autoridades, los
procedimientos, las infracciones y las sanciones respectivas.
Por otra parte, con la finalidad de adoptar como base demográfica legal una
Tabla de Mortalidad de Vida Individual que revelara la experiencia del
mercado asegurador mexicano, la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas
realizó estudios relativos a la mortalidad ocurrida durante el periodo 1982 a
1989 y, como resultado, se obtuvo que las nuevas tasas de mortalidad
representaron una disminución respecto a las entonces vigentes (Tabla de
Mortalidad 1962-67), aproximadamente en un 20% en promedio.
Por lo que se refiere a las reservas matemáticas, también se redujeron en la
misma proporción, lo que beneficiaria al asegurado a través de la disminución
de la prima de tarifa y a las instituciones de seguros con una mayor
penetración en el mercado a costos más equitativos.
Una modificación al decreto de diciembre de 1985 en lo referente a las
reservas por riesgos en curso, establece que la misma se calculará sobre la
prima neta de comisión no devengada de retención, sin cambios en el
procedimiento de cálculo, esto para el caso de vida con ciertos beneficios que
son temporales.
11
Capítulo [ Antecedentes
En 1995 se promulgaron siete documentos entre decretos-leyes y acuerdos
por parte de la Secretaría de Hacienda y Crédito Público relacionado con la
actividad aseguradora y afianzadora, siendo de particular importancia el
relacionado con las Reglas para la inversión de las Reservas, considerándose
en la misma productos financieros derivados de otros vinculados a las
Unidades de Inversión (UDI) que empezaron a operar a partir de abril del
mismo año.
En 1999 fueron publicadas las nuevas Tablas de Mortalidad denominadas:
"Tasas de Mortalidad Individual CNSF 2000-1 (1991-1998)" Y "Tasas de
Mortalidad Grupo CNSF-G (1991-1998)"; el documento fue publicado a
finales del año y las Tasas se aplicarian a partir del mes de abril de 2001.
En el 2002 se introdujo el concepto de "suficiencia" para las reservas de
riesgos en curso, tanto para Seguros de Vida, como de Daños, y de
Accidentes y Enfermedades, en una serie de Circulares emitidas por la CNSF,
las cuales contienen disposiciones de carácter general para "registro de los
métodos actuariales de valuación, constitución e incremento de las Reservas"
para los ramos que se mencionan, así como el concepto de reservas mínimas.
12
Capitulo 11
CAPITULO 11
CONCEPTOS BÁSICOS
2.1. Funciones biométricas.
Conceptos Básicos
.
• •. • • • • • • • • • • • •• • • • •
La Biometría es una mezcla de técnicas para medir la supervivencia de los
organismos vivos mediante la aplicación de métodos estadístico-matemáticos.
La modelación de la supervivencia humana utiliza modelos con bases
biométricas, caracterizado por la edad de los individuos y el número de
fallecimientos; el fundamento para la construcción de las tablas de mortalidad
radica en dichos modelos.
Puede considerarse que la mortalidad es un fenómeno determinado por la
edad" en condiciones óptimas de vida; además, el sexo es otra variable
fundamental, ya que todas las poblaciones de diferentes regiones en el país, y
por supuesto en diferentes países, registran diferencias en la mortalidad
según el sexo.
La mortalidad del hombre tiene generalmente el siguiente patrón: el número
de defunciones es grande en la infancia (Gráfical )', disminuye durante la
adolescencia, después, entre la adolescencia y los cincuentas se incrementa,
para posteriormente crecer aceleradamente (Gráfica 2 utilizando la
experiencia mexicana ambos sexos).
0.0078
0.0072
0.0068
0.006
0.0054
0.0048
~ 0.0042
0.0036
0.003
0.0024
0.0018
0 .0012
0 .0006
o
o 1 2 3 4 5 8 7 8 9 lO 11 12 13 14 15 '8 17 18 19 20
Edad
Gráfica 1
US 1991, Age Nearest, White Male y US 1991, Age Nearest, White Female
6 Aunque la mortalidad no está totalmente determinada por la edad, ya que también influyen los
accidentes , las enfermedades, la genética, etc., sólo se utiliza ésta por razones prácticas.
7 Se toma la experiencia de USA debido a que en la experiencia mexicana son escasos los estudios
actuariales para estas edades.
13
Capítulo 11 Conceptos Básicos
..
.....e
...........
t- - - - - - - - - - - - - -:=-;;;.......o.!··~··:-·---------­...............
t-------~·I
I
I~ I
0.1. ,
."
0.12
~'.11.......
'l»
• 07......
."
' .03
' .02
0.0'
•• 3 • •
Edad
Gráfica 2
EXPERIENCIA MEXICANACNSF 2000-1 (9 1-98 INDIVIDUAL)
La probabilidad" de que una persona de edad Osobreviva a edad x se estima
como una función de x, dicha función se conoce como la función de
supervivencia S(x).
Teóricamente debe cumplir:
1. S(O) = 1
S(w) = O
2. Es decreciente .
3. Es continua (desde el punto de vista matemático).
Dada una función S(x), se definen como Ix al número de personas con vida a
la edadx.
t, = kS(x) (1)
donde k =10", neZ+.
lo = S(O) x k = 1x k = k es el rádix poblacional"
& Probabilidad: es una relación numérica (p #ocurrenciai)que establece la posibilidad de que
# Expuestos
ocurra un acontecimiento. Enciclopedia Ilustrada Cumbre 1988, México.
14
Capitulo 11 Conceptos Básicos
La probabilidad de que una persona de edad x llegue con vida a edad x+ 1 se
denota como p s •
(2)
La probabilidad de que una persona de edad x fallezca entre las edades x y
x+ 1, es decir que no alcance la edad x+ 1 se denota como qx •
(3)
El número de fallecimiento entre las edades x y x+ 1 se denota como dx •
= Ix -/n l xl
t, x
(4)
La probabilidad de que una persona de edad x sobreviva n años, es decir
alcance la edad x+n se denota como • p x •
(5)
La probabilidad de que una persona de edad x fallezca entre las edades x y
x+n, es decir que no alcance la edadx+n se denota como .qx.
(6)
El número de fallecimientos entre las edades x y x+n se denota como. dx •
(7)
La probabilidad de que una persona de edad x sobreviva n años y fallezca a
los m años siguientes se denota como . imqx •
= .Px-.+..Px (8)
9 Rádix poblacional: corresponde al valor de lo. Jordan, Chester W. Life Contingences. USA, 2"
edición, Ed. The Society of Aetuaries, 1991
15
Capitulo U
2.2. Anualidades.
2.2.1. Definición.
Conceptos Básicos
Se defme como anualidad10 al conjunto de pagos realizados a intervalos de
igual duración considerando una fecha de inicio y un posible fin de vigencia.
Las anualidades pueden clasificarse de acuerdo al número de pagos, al tipo de
pago (fijo o variable) y de acuerdo a la forma de valuarse.
Según el número de pagos las anualidades se dividen en:
Anualidades ciertas que son aquellas en donde el número de pagos
queda establecidos de antemano, y
Anualidades contingentes, aquellas cuyo pago dependerá de la
sobrevivencia del individuo que retribuye o bien en el pago de una
pensión o renta respectivamente.
Por la forma de valuación se dividen en:
Anualidades anticipadas, aquellas que se pagan al inicio del periodo.
- Anualidades vencidas, aquellas que se pagan alfinal del periodo.
A continuación veremos la forma de calcular el valor presente de algunas
anualidades.
2.2.2. Tipos de anualidades contingentes.
Todos los tipos de anualidades contingentes, al ser suprimido el elemento de
probabilidad tP~ se convierten en anualidades ciertas.
2.2.2.1. Anualidad vitalicia.
Es un conjunto de pagos de por vida valuados a fecha actual bajo la condición
de que el asegurado se encuentre con vida.
10 Este ténnino no es muy adecuadoya que aplica para todo periodopor lo que deberla ser l1amado
parcialidad,sin embargo, es de uso general, es decir por antonomasia.
16
Capitulo 11
2.2.2.1.1. Anualidad vitalicia anticipada.
Conceptos Básicos
Una anualidad anticipada es aquella en la que los pagos se hacen al principio
del periodo.
Sea el pago igual a una unidad monetaria (1UM).
IUM IUM IUJII--__ IUM+ ...-._._..... ------
.....<~~ ----......
Momento Actual~ . I " I
b I 2 w-x-I
x x+1 x+2 w-I
Gráfica 3
I
w-x
w
~
Tiempo (aIIo5)
Edad
donde:
v;' =(1+ ir' =_ 1_ es el valor presente del pago.
(1+ i)'
i es la tasa de interés anual.
, pz es obtenida de tablas de mortalidad.
Debido a que en los inicios de la actuaría no se contaba con avances
tecnológicos tales como las computadoras, Johannes Nicolaus Tetens,
matemático, filósofo y actuario, desarrolló las funciones de conmutados para
facilitar los cálculos de las anualidades y del seguro de vida.
Se defmen como conmutados:
Se tiene que utilizando (5), (9) se puede rescribir como:
.. -ce-I .. -z-I /
11 = LV' p = L V'~
.x I:() 1 1 z 1=0 ' Ix
(\0)
(11)
(12)
(13)
17
Capítulo 11
se multiplica la expresión anterior por V/ lo cual es la unidad
V'
I
...-x- I 1 VX ..-x-\ VX+l I
a = Lv.I2:!:!....-'- = L~
x 1=0 ' l, V/ ,,.(J V/Ix
de las expresiones (10) Y(11) se sustituye en (14)
w-x-I V'"! ..-x- \ D D D D N N
a.r = L~ = L -2.!:!...= .r + z+l + ...+ ....-1 = .r - w
1-0 JI; t. 1=0 o, o, o,
Conceptos Básicos
(14)
(15)
Nw es no significativa por lo que se puede omitir quedando como:
Nxa = -
x D,
(16)
En general , se hace uso de los conmutados para hacer la notación y cálculos
más fáciles.
2.2.2.1.2. Anualidad vitalicia vencida.
Momento Actual
o 1
x+l
2
x+2
Gráfica 4
w-x-I w-x Tiempo (años)
w- l w Edad
se multiplica por ~: que es la unidad
I
a =~V' In l =~V' In l Jl;x =~ v¡n1 lx+l =~ DX+l
x 1=1 I Ix 1=\' Ix v¡x 1.\ Jl; xlx 1=\ D,
por las expresiones (10) y (11) se tiene:
a =~Dnl = Dn \ +Dn 2+...+Dw = Nn \
x ,.\ D, D, D,
( 17)
(18)
(19)
18
Capítulo 11 Conceptos Básicos
2.2.2.2. Anualidad temporal n-años.
Es un conjunto de pagos durante n-años valuados a fecha actual bajo la
condición de que el asegurado se encuentre con vida.
2.2.2.2.1. Anualidad anticipada temporal a n-años.
..
Tiempo (aIlos)
Edad
Gráfica 5
Al igual que se obtuvo la expresión (l8)
1 2 n-2 n-I ~, ~ DX+, (20)
Qr.ñ¡= I+ V; ¡p x + V; 2Px +···+V; n-2Px + V; n-IPx = L,.V;, Px = L,. -D
'-o 1=O;r
de la expresión (11) se tiene:
ahora restando
(21)
lo anterior es debido a que gráficamente:
..
d2 - di
~
--dl---- •--·1 1-------.
d2 distancia
Gráfica 6
19
Capitulo U
Combinando las expresiones (20) y (21) se tiene:
Conceptos Básicos
2.2.2.2.2. Anualidad vencida temporal a n-años.
Gráfica 7
n n D
a - = "V' = " ~r.nl L. i ,Px L. D
, al 1:1 Z
de la expresión (22) se tiene que:
(22)
Tiempo(años )
Edad
(23)
2.2.2.3. Anualidad vitalicia diferidas n-años.
Es un conjunto de pagos de por vida dentro de n-años al asegurado valuados a
fecha actual bajo la condición de que el asegurado se encuentre con vida.
2.2.2.3.1. Anualidad vitalicia anticipada diferidas n-años.
Se puede encontrar la fórmula para el cálculo de esta anualidad obteniendo el
valor presente de todos los pagos al momento n y sumándolos, lo anterior es
igual a una anualidad vitalicia anticipada a edad x+n, y posteriormente
trayéndolo a valor presente al momento O(edad x).
20
Capitulo 11
IUM tUM
Momento I
Actual .-_- ----- ..-------......... + .....--.------.......
," "-"'- i i I ¡k:- ····l - .
Conceptos Básicos
IUM
lo
o
x
1 2
x+ l x+2
n-I n n+ l
x+n- I x+n x+n+l
Gráfica 8
w-x- I w-x Tiempo(aiIos)
w- I w Edad
(25)
(26)
o bien, se puede calcular la suma de los valores presentes de cada uno de los
pagos al momento O.
_-- - lU!lt---WM tUM
Momento -?~===-:===:-::.1 --------____.
Actual 1"'- - I I I . I 0_- I -
o \ 2 n-I n n+l w-x- I
x x+l x+2 x+n- l x+n x+n+ l w- \
Gráfica 9
I lo
w-x Tiempo(aiIos)
w Edad
w-x-I
I Vn Vn+1 Vn+ 2 V w- x- t '" Vi
n ¡lIx = i nPx + i n+IPx + i n+2Px +...+ i w-x- IPx = L.. i IPX
t=II
w-x-I D N
_ ~ x+l _ X+ II
- L.. -- ---
I=n D, D,
2.2.2.3.2. Anualidad vitalicia vencida diferidas n-años.
(27)
Momento ._--.-.------..- ..-- - - --. -- -.. .• .-..... .Auii·;::::::====::::.~.~~ IUM
Actual ( ".".'.', I I ············ , ·······1 -.- , ' , lo
O I 2 n- I n n+ l w-x-l w-x Tiempo(a/Ios)
x x+l x+2 x+n-l x+n x+n+ l w-l w Edad
Gráfica 10
21
Capítulo n Conceptos Básicos
=a v.n P =a E =(Nx+n+IXDx+n)=Nx+n+1 (28)
x+n rÓn X %+n ti x D
Z
+
fI
D
x
D
x
I
2.2.2.4. Anualidad creciente uniforme vitalicia.
Es un conjunto de pagos que crecen de forma aritmética, exponencial,
constante, etc. cada periodo, valuados a fecha actual bajo la condición de que
el asegurado se encuentre con vida.
2.2.2.4.1. Anualidad anticipada creciente vitalicia.
k.UM k IUM ...._.\l..~----... k ._~I UM
+~.......-"':"'.f.~........ . . ..< , .
w-x Tiempo (aIIos)
w Edad
Gráfica \\
Donde k es exponencial, logarítmica, geométrica, etc.
Se agrupan los t érminos de la expresión anterior de la siguiente manera:
w-x-I .. - x - I "'-.1'-1
=ko L V/ , P. + (k l - ko) L V/ I P. + (k 2 - kl ) L V/ I P. + ...
/·0 '.1 '-2
W-.l'-I w-x -l
+ (k..-._2 - k ..-._3 ) L V¡', P. + (k.._.._1 - k.._._2 ) L V¡', P.. (30)
'.w- x- 2 ' .11'-.1'-1
22
Capitulo II
de la fórmula (27) se obtiene:
Conceptos Básicos
w-x- t
~)k, - kl_I)'~X
Iz O
donde kl-l =O en t = O.
2.2.2.4.2. Anualidad vencida creciente vitalicia.
---_.------..~.....-.- ..-.........
k lJ!.~:'-. k 1 UM --~._ k o_~IUM k 0_'UM
s-:"' .- ...... .
(3 1)
Tiempo (aIIos)
Edad
Gráfica 12
Bajo el mismo procedimiento para obtener la fórmula (3 1) se tiene :
(Ia)x = klV,11 P. + k2V,2 2Px +...+ kw_x_1v,w-X-1 w-x-I p , + kw_xv,w-xw-xPx
+ V,W-x w--xPx) + (kw-x -kw_x_I)v,w-x.;», =kl~V,I,px +(k2-kt)~V,I,px + ...
1.1 1.2
+ (k",_x_1 -kw--x-2) ~v,' ,Px + (kw--x -k",_ x_l)~v,',Px
I =w-..r-I I :=:w-X
Al igual que en las expresiones (30) y (31)
w-x
= ~)k, - k,-I),-Ilax
1· 1
donde k'_1 = O en t = l.
(32)
(33)
23
Capítulo II
2.2.2.5. Anualidad decreciente uniforme vitalicia.
Conceptos Básicos
Es un conjunto de pagos que decrecen de forma aritmética, exponencia l,
constante, etc. cada periodo, valuados a fecha actual bajo la condición de que
el asegurado se encuentre con vida.
2.2.2.5.1. Anualidad anticipada decreciente vitalicia.
k.UM k.UM_.--J¡.~~-........... k ._.UM
+,.........-~....... .. --..........'-.....>
w-x Tiempo (ailos )
w Edad
Gráfica 13
(34)
donde k es exponencial , logaritmica, geométrica, etc. Se agrupan los t érminos
de la expresión anterior de la siguiente manera:
w-x-I w-%-2 w-.I'-3
= k .._._1 L V,', P. + (k .._._2 - k .._._I ) L V;' , P. + (k.._._3 - k .._._2 ) L V;' t P. + o • •
,~O '=0 '.0
1 o
+(k l -k2 )I v;' ,P. +( ko - kl)LV;' , P.
' .0 ' =0
de la fórmula (20) se obtiene:
(35)
(Da) = k lJ + (k - k )lJ - + (k - k )lJ - +...+ (ko - kl)lJ -1x w- x- I x w-.r-2 w- .I'- 1 r.w-.r-2j "'-.1'-3 w- .r- 2 r.w-.r-~ .d
donde k'+1= O en t = w-x-l .
w-..r-l
L (k, - k'+1 )lJrJ+ii
' =0
(36)
24
Capítulo II
2.2.2.5.2. Anualidad vencida decreciente vitalicia.
Conceptos Básicos
..------_.._--__ _---....
k d.!M········; , UM " -<; k •.•,lIM k~ lIM
~ "~~.: _._.......... .. ..
Tiempo (aIlos)
Edad
Gráfica 14
Bajo el mismo procedimiento para obtener la fórmula (36) se tiene:
+ v,W-X-1 .,-x-I Px) + (k w- x-2 - k,,_x_1 )(v,1 1Px +...+ v,W-X-2 "-x-2 Px) +...+ (k2 - k3)
w-z w-x-l w-x-2
= k w_x¿ V;', p , + (k w_ x_t - k w_x) ¿ V;' .r , + (k w_ x_2 - k,,_x_l)¿ V;' I Px + ...
~ ~ ~
2 1
+(k2 -k3)¿V,',px +(kl -k2)¿V,',px
/:1 /:\
W-x
=¿(k, -kt+t)ax~
1=1
donde k'+1 =O en t = w-x.
2.2.2.6. Anualidad pagadera m-veces al año vitalicia.
(37)
En este tipo de anualidades se considera que existe un conjunto de rentas que
se pagan m-veces durante el periodo de la unidad de tiempo (afio), siendo
éstos quincenales, mensuales, bimestrales, trimestrales, cuatrimestrales y
semestrales (es decir, divisores del afio tal que cada divisor pueda aplicarse al
25
Capítulo U Conceptos Básicos
menos 2 veces al afio). Sea el pago igual a una unidad monetaria, la cual
también es fraccionada m-veces (11m) al afio.
2.2.2.6.1. Anualidad vencida pagadera m-veces al año vitalicia.
Momento
Actual
o
x
U. lha . . . (..IW. t l+lM . . . l+i.IW_ 1 1+.'-
x+1 x+2
Gráfica 15
w-..I+(-.1.....1........ .-1.
W
(m) _ 1 V llm 1 V2Im 1 V(m-I)/m 1 Vi
Q. -- i II m P . + - ¡ 21m P. + · · · + - ¡ I-{lIm )P.+ - i IP.
m m m m
1 w-x 1 m(w-x) 11m 1 m~x)
+ ... + -V¡ w-.P. = - ¿Vi IlmP. =- L.,.l lmEx
m m Isl m /=1
1 m(w-x )
=mD LDnt.,
x 1=)
(38)
Utilizando la fórmula Euler-Maclaurin!', deteniéndose en el tercer término, y
la fórmula de Woolhouse'f para aproximar el valor de la expresión (38) se
obtiene:
m(w-x) 1 [w-x m-l m2 -1 dD ]D - - D +--D + x
D L n t., - D L'+I 2 x 12 2 dxm x k=1 x 1=1 m m
se sabe que:
11Y 12 Gonzá1ez Galé, José, Elementos de Cálculo Actuarial, Argentina, 1968. Pág. 112 Y 113.
(39)
(40)
(41)
26
Capítulo II Conceptos Básicos
además , la tasa de mortalidad continua13 se obtiene mediante la siguien te
expresión:
1 di , toda R¡J =---' para te
x Ix d , '
Combinando las expresiones (39), (40), (4 1) Y(42) se tiene:
sustituyendo ahora la expresión anterior en la (39) se obtiene:
1 m(w-x ) 1 [w-x m-l m' -1 dD ]- - D = - D +--D x
D ¿ HYm D ¿ x+l 2 x 12 2 dxm x 1=1 s: 1=1 m m
(42)
(43)
(44)
El valor de esta anualidad también puede ser aproximado suponiendo que
DH 1 es una función lineal para Os t s 1 obteniéndose el siguiente resultado:
m-l
a (m ) .= a +- -
x . x 2m
2.2.2.6.2. Anualidad anticipada pagadera m-veces al año vitalicia.
(45)
o
x
1'- u. . . . .1/. 1 l+ ti. . . . ~ 11.. 1 1+ ti.
x+1 x+2
Gráfica 16
'hollM
w
Por analogía con el resultado anterior, y sabiendo que la única diferencia que
existe entre la anualidad anticipada y la vencida es un periodo antes o después
respectivamente, se tiene :
13 Jordán, Chester W. Life Contingences. USA. 2" edición. Ed. The Society of Actuaries, 1991. pág.
13.
27
Capitulo 1I
a (m) = a(m) +~.= a + m + 1
x x m · x 2m
Conceptos Básicos
(46)
Se sabe que ax = ox -1, sustituyendo en la expresión anterior se obtiene:
(m) . m+ 1 m-l
lJ = a -l+ - -=a - - -
x . x 2m z 2m
(47)
Continuando con este razonamiento, es posible llegar a expresiones para
anualidades con resultados de combinaciones de las antes mencionadas, como
por ejemplo:
Anualidad vencida temporal m-años diferida n-años,
n+m N N
a = ~ E = .1'+n+1 - x+n+M+1
nlm x L.,. x D
l=n+1 x
anualidad vencida pagadera m-veces al año temporal n-años,
(48)
(49)
Pueden asmusmo, ser generadas fórmulas "compactas" para otras
posibilidades o necesidades de cálculos (las cuales no se mostrarán aquí por
ser redundantes).
2.3. Seguro de Vida.
Es un contrato por el cual el asegurador se compromete a pagar a la persona o
personas expresamente designadas al efecto (beneficiario o beneficiarios,
según el caso) la suma asegurada 14 pactada en caso de que ocurra el evento
cubierto.
14 Suma asegurada es la cantidad en forma de capital o renta que se otorga al beneficiario en caso de
que ocurra el evento cubierto .
28
Capitulo n
2.3.1. Tipos de Seguros de Vida.
2.3.1.1. Seguro ordinario de Vida.
Conceptos Básicos
En este seguro, en caso de fallecimiento de la persona asegurada, la compaftía
pagará la cantidad pactada al beneficiario.
Supuesto: la Suma Asegurada (SA) pactada se paga al final del periodo.
Sea SA = 1UM en adelante.
Si: fallece fallece fallece
o 1 2 w-x-l w-x Tiempo(aIIos)
x x+1 x+2 w-I w Edad
t t t t t
pago de pago de pago de pagode pagode
prima prima prima prima prima
Gráfica 17
Ax = Valor presente de la Prima Neta Única
PNN: Prima Neta Nivelada, es decir , la obligación del asegurado (o, ).
A =Vi V 2 I V 3 I V' I Vw-x 'x j qx + j Ilqx + j 2,qx +...+ j H qx +...+ j w-x-I1qx
.. - x
=¿V;' '-l lqx
' ~I
Los conmutados en seguros se definen como sigue:
(50)
(51)
(52)
(53)
Utilizando las fórmulas (lO) y (53), Y sustituyendo en la ecuación (50) se
tiene que:
..-x d (V X ) ,,-xVx+'d ..-xc MA
x
=¿V;' .f+I- l ~ = ¿ i z x+I - 1 = ¿ x +t - I = _ .r
'.1 Ix V; / . 1 V; l, ,.\ o, o,
(54)
29
Capítulo 11 Conceptos Básicos
Se encuentra así el valor de la Prima Neta Única de un seguro ordinario de
vida, en función de los conmutados.
2.3.1.2. Seguro temporal o-años.
Un seguro temporal n-afias provee del pago de la suma asegurada al
beneficiario si el asegurado muere dentro de los n-afias que dura la cobertura
del seguro.
Si: fallece fallece
o I 2
x x+1 x+2
fallece
0·1 o Tiempo (años)
x-n-t x-n Edad
Gráfica 18
Este seguro se calcula de la misma manera que se obtuvo la fórmula (54), con
la diferencia del límite superior de la sumatoria que en este caso es n.
n n d (V:X) n V:x+td n e
A =" V' Iq =" V' :x+t-I u.: =" i :x+t-I =" :x+t-I
I :I L... 1 1-1 x L... 1 / ir» L... rr:x/ L... D
r.n l 1=1 1=1:t Y; 1=1 Y i x 1=1 x
1 (e e e) M:x-Mx+n=- :x + x+1 +...+ x+n-I =--"--- -""""-o, o, (55)
2.3.1.3. Seguro Dotal Puro.
Consiste en otorgar una suma asegurada en caso de sobrevivencia del
asegurado al término de un periodo pactado.
o
x+n
Momento _ .•_ .---......
Actual _..~_ ~_.•~·· •.__.• 1UM
~ ..
I
4- ..... ..
I I I
PNN PNN PNN PNN
O 1 2 3
x x+1 x+2 x+3
Gráfica 19
30
Capítulo II
A I = Vn P = E = D.'+n
.r';¡ I n x 11 Z D
x
2.3.1.4. Seguro Dotal Mixto.
Conceptos Básicos
(56)
En este tipo de seguro se pacta una suma asegurada por fallecimiento (al
beneficiario) durante un periodo y en caso de sobrevivencia la suma
asegurada pactada será otorgada al mismo asegurado.
A~;;¡ =A,_+nEz
. x:ni
(57)
Se observa que la Prima Neta Única de un Seguro Dotal Mixto es la Suma de
la Prima Neta Única de un Seguro Dotal Puro y la Prima Neta Única de un
Seguro Temporal n-años.
En forma semejante a las anualidades , en el caso de seguros, se pueden
formular los seguros variables, por ejemplo:
2.3.1.5. Seguro creciente temporal n-años.
Un seguro creciente temporal n-años provee el pago de una suma asegurada
creciente sobre una vida dada, si éste muere dentro de los n-años pactados.
Si: fallece fallece
O 1 2
x x+\ x+2
Gráfica 20
fallece
0-1 o Tiempo(aiIosl
x+n-\ x+n Edad
(lA)" =k,(V¡'qz +V¡2,lqz +V¡3 21qz +...+v¡nn-l lqJ+(k2 _k¡)(V¡2¡lqz +V¡3 21qz
r.m
31
Capitulo U Conceptos Básicos
,,-1 ,,-1 ..-1 11- 1
= k.~)~'+· , lqz + (k2 - k. )¿V;'+I, lqz + (k] -k2 )¿V/+
I, lqz+ ...+ (kn -kn_ I ) ¿v;'+I, lqz
1=0 1=1 1=2 1=11-1
+ (k -k ) ~Vl+l dn,(V;')= _l (k ~V'+I+ld + (k -k )~vz+l+·d
n n-I ~ , 1 VZ D I~ , nI 2 I ~, z+l
1="-) s: i .r 1=0 1-1
2.3.1.6. Seguro Continuo.
En la práctica, el pago de la suma asegurada no se hace al momento del
fallecimiento; supongamos que se paga una suma asegurada al final del l/ m
(m-ésimo) del periodo en que ocurrió el fallecimiento de forma tal que:
~~--~IUM
I~ --=¡:::-:--=: 1--' I ' 1 >, I
PNN PNN PNN PNN
o 1/. 2/. . . . I 1+1- 1)/. 2 . w.x_l+t"h/. w-x
x x't-l x+2 w
Gráfica 21
TIClIIpO (16os)
Edad
--- ----- - - - --- ~
32
Capítulo II Conceptos Básicos
(59)
(60)
Combinando (59) Y(60) se tiene que:
aplicando la Teoría de los límites 15 a la fórmula (61) se tiene que:
-;¡ _ o· A(m ) _ o· (1 ~VY. Al ) _ 1"'fV'dl
Éi.r - .{,lm",~ao:.r - .(lmm-+«J - - ~ ¡ i.Ux+'-x, - -- i .r+I
Ix 1=1 Ix o
sustituyendo - f.J..,lmdt = dlm en (62) se tiene:
aplicando integración por partes 16 a la expresión anteríor se obtiene que:
(6 1)
(62)
(63)
donde t; =0
por otra parte se sabe que V =(1 +itl , aplicando Ln se tiene:
LnV = Ln(1 +i)-I , sea - r = Ln(1 +i)-l , esto implica que r = Ln(1 + i) (65)
sustituyendola expresión (65) en la (64)
1S Spivak, MichaeI. K,Cá/cuJo Infinitesimal, 2' edición, México, Editorial Reverté, S.A., 1999. Parte
11.
16 Stewart, James, Cálculo Conceptos y Contextos , Internacional Thomhson Editores, México 1991.
Capítulo 5
33
Capitulo U Conceptos Básicos
En el caso del seguro continuo temporal n-años, bajo el mismo procedimiento
para llegar a la expresión anterior se tiene que:
n
A,_ = JV;'.unllp.dl=l-nE.-r(l1r.ñj)
r.nl o
Existe una relación entre el seguro discreto y el continuo; tomando el caso del
seguro continuo temporal l-año:
I
A,_= JV;'.un,ep.)dl
.d! o
(68)
suponiendo que las defunciones se distribuyen uniformemente en el periodo
.un"P.=q.
I .
por otra parte la integral fV;'di es de la forma:
o
Ja"du = _ l_a" + e
Ln(a)
resolviendo con la expresión anterior se tiene:
I I 1 .
JV'dl = f--dl = !.-V
o I o (l + i) ' r
sustituyendo la expresión (69) y (71) en (68) se llega a que:
(70)20
(71)
17. 18 Y 19 Jordan, Chester W. Life Contingences. USA, 2" edición, Ed. The Society of Actuaries, 1991.
Págs. 48, 50 Y20 respectivamente.
20 Stewart, James, Cálculo Conceptos y Contextos, Internacional Thomhson Editores, México 1991.
Tabla de Integrales.
34
Capítulo n Conceptos Básicos
(72)
De manera general, basta multiplicar cualquier seguro no continuo por
para aproximarlo al seguro continuo.
2.4. Prima Neta.
r
Es común comprar un seguro por medio de una serie de pagos periódicos de
prima. La prima inicial se paga en general al inicio del contrato, estando el
pago de las primas futuras sujetos a la sobrevivencia del asegurado. El monto
de la prima para un seguro dado, debe estar determinado bajo el principio de
que el valor presente del conjunto de primas debe ser igual al valor presente
de la obligación del asegurador al inicio del seguro;
{obligac:~n} ={obligaCión}compania asegurado
Por ejemplo, en un seguro ordinari? de vida se tiene que
{
ObligaCión} .",,,n 2 l _ • ..¡
=PNN+PIVJVY; ,P. +PNNV¡ 2P. +PNNV¡ ¡P. +...+PNNV¡ _ •..¡ P. =PNNl1.
asegurado
donde
PNN es la Prima Neta Nivelada.
{obligac:~n} = A.companta
por lo tanto A. = P.a., lo que implica que la prima neta nivelada de un seguro
ordinario de vida ( p. ) está dada por:
(73)
En lo futuro sea la SA = 1UM. Ahora. en el mismo ejemplo, sea que se deba
pagar un conjunto de primas menor a la duración del seguro. Para calcular la
35
Capitulo 11 Conceptos Básicos
prima neta nivelada de un seguro ordinario de vida con pagos limitados (m p. )
se tiene la siguiente línea de tiempo
o l 2
x x+\ x+2
t t t
pago de pago de pago de
prima prima prima
Gráfica 22
mp=~
• 11
z:m¡
m-I m . . . w-x Tiempo
x-m-I x-m . w Edad
t t
pago de pago de
prima prima
(74)
Para el cálculo de la PNN de un seguro temporal a-años donde el pago de
primas es igual a la duración del seguro (p~ ~) se tiene que:
A, _
A, = P, ~11"iii lo que implica que P, =~ (75)
z:ñj z:nl ' z:ñj 11z:ñj
En el caso del la PNN de un seguro temporal n-años con pagos limitados
(
mPI_) se tiene:
rnl
A, _
A, =mP, 11 m¡ lo que implica mP; = z:"l
z:ii¡ mSn z:ñj z: z:ñj 11r.;;;¡
2.5. Reserva Matemática.
2.5.1. Definición.
(76)
Se le conoce como reserva matemática al excedente existente entre la PNN y
la obligación real de la compañía de cada año. La reserva matemática (RM)
puede ser "pura" si se utiliza una tabla básica ( q. naturales) y "recargada" si
se utiliza una tabla recargada (q :r, +a¡).
36
Capitulo IJ Conceptos Básicos
En un contrato de seguro, el asegurador asume la obligación de otorgar
ciertos beneficios económicos o en especie, por otra parte, el asegurado se
compromete a pagar una prima. Al principio, el valor presente de las primas
pagadas por el asegurador es igual al valor presente de las obligaciones
futuras del asegurador.
Conforme pasa el tiempo, el valor presente de la obligación del asegurado
decrece respecto de su probabilidad de muerte qx Y la del asegurador
aumenta.
Es por esto, que es importante para el asegurador tener en cuenta el monto
que debe tener a la mano en todo momento para soportar el pago de la Suma
Asegurada en el momento de ocurrencia del siniestro.
Monto
Obligación de la
Compañia
o I 2
x x+1 x+2
1-1 l . . w-x Tiempo (años)
x-a-l x+t . . W Edad
Gráfica 23
El concepto de reserva, surge de esta necesidad de medir la responsabilidad
del asegurador con respecto a sus asegurados.
2.5.2. Reserva Pura.
En la reserva matemática pura las comisiones son niveladas, mientras que en
la reserva matemática recargada las comisiones pueden ser o no niveladas.
Los métodos para el cálculo de la reserva pura son :
Método Prospectivo.
Método Retrospectivo.
Método de Fackler o recursivo.
2.5.2.1. Método Prospectivo.
El método prospectivo consiste en el enfoque futuro dado que se está en el
momento t, es decir, la reserva calculada por éste método está en términos de
los beneficios y primas futuros.
37
Capítulo 11
M ont o
Conceptos Básicos
Obligac i ón de la
Compañía
O bligac i ón del
1---- - - - --- - --,lC-.--- Asegurado
o I 2
\ +1 \ +2
1-) l .
x+I·1 x-r .
Gráfica 24
w..x Tiempo (años)
" Edad
Método Prospectivo ( {
obligaC: :Jn} _ {obligación} )
companta asegurado ,. ,
En ade lante se considera rá que la SA = 1UM
2.5.2.1.1. Reserva matemática de un seguro ordinario de vida va luada al
año t bajo el método prospectivo.
Se tiene que la reserva de un seguro ordinario de vida a edad x valuada al
r
momento t mediante el método prospectivo ( ,V z ) está dada por la grá fica 25_
Monto
o 1
x+l x+2
1-1
x+I..1 x +-t
Gráfica 25
P,
A,
l l ,
liempo (ailos)
Edad
y su cálculo está dado por la fórmula:
/' },1 ,+1 - P,N , +1
, V, = AH, - P,iJZ+I =
D'+I
(77)
38
Capitulo 11 Conceptos Básicos
En caso de que los pagos de la prima sean limitad os a In pagos valuando en el
momento 1, con 1 :s m
Futuro
Monto
" P. = ~
x lJ
X;;;¡
o I
'\;+1 :\+2
Gráfica 26
t m . .. w-x T iempo (años)
, +1 x-rn . .. \\ Edad
dond e la fórmula para calcular la reserv a matemática es:
(78)
En caso de que los pagos de la prima sean limitad os a In pagos. valuando en
el momento 1, con 1> m
Futuro
M onto
o I
:'<+1
2
x+ 2
A" P = _ _'_
.• 11 -
.T .nI
m . . t . w-x Tiempo (años j
x+m . x+1 . w Edad
Gráfica 27
su cálculo se realiza mediante la siguiente fórmula:
m I' M
V - A - -~+I, .r - _:(+1 -
DX+I
(79)
39
Capítulo 11 Conceptos Básicas
Como se puede observar en la expresión (79), la obligación del asegurado es
igual a 0, ya que el pago de primas concluyó antes del momento t.
2.5.2.1.2. Reserva matemática de un seguro temporal a n-años valuada al
año t bajo el método prospectivo.
Para un seguro temporal a n-años. la rese rva matemática se mue stra mediante
la gráfica 28.
Futuro
Monto
o J 2
x+1 x+2
Gráfica 28
1
x+t
n Ti empo (años)
x+n Edad
y su cálculo se realiza mediante la siguiente fórmula:
r
I v .~ ,~ = A I --, - P, lI..t:n_fl
x . / :" -I _n~ ., I
(80)
Si los pagos de la prima son limitados a m-pagos, valuando en el momento t,
con t S 111
Monto Futuro--
A ,
r r =~
, ~
., " 11 ,;;i
o J
x+1 x+2
t . . 111 n
x+1. . x+m . . x+n
Gráfica 29
Tiempo (años1
Edad
su cálculo se realiza mediante la siguiente fórmula:
m /'
, V~ :ñ1 =A I _MP. ll
x
-+
/
:
m
_
t
.
X+I:n=t) .x:n, I
(8 1)
40
Capitulo " Conceptos B ásicos
Si los pagos de la prima son limitados a m-pagos, valuando en el momento l .
con 1 > m
Monto
A ,
Futuro-
o I 2
, +1 , +2
m
\. +01
Gráfica 30
1 .
\ +t
n
x-n
Tiempo (años¡
Ed,ld
su cálculo se realiza mediante la siguiente fórmula:
m t '
IV .~" = A ,
x-un-«
(82)
De esta manera se obtienen las expresiones para otros tipos de seguros
tradicionales.
2,5,2,2, Método Retrospectivo,
El método retrospectivo consiste en el enfoque pasado dado que se está en el
momento 1, es decir, la reserv a calculada por éste método está en t érminos de
los beneficios y primas pasados.
Monto
Ob ligación de la
Compañía
Obligación del
Aseg urado
o I
x+l .\+2
t·) 1
x-et-I x+t .
Grá fica 3 1
w-x Tiempo (allos)
" Edad
41
Capítulo 11
Método Retrospectivo
ConceptosBásicos
( {
obligaCión} _ {obliKac:~n}) x [ AcumUlación a ]
asegurado compama , edad x + I
donde Acumulación a edad x -rt significa obtener el monto en el momento /
de:
({
obligaCión} _ {obligaci~n})
asegurado compañia ,
igualmente SA = l UM
2.5.2.2 . I. Reserva matemática de un seguro ordinario de vida valuada al
año t bajo el método retrospectivo.
La reserva de un seguro ordinario de vida a edad x valuada al momento /
R
mediante el método ret rospe ctivo ( IV. ) está dada por la grá fica 32.
M onto "asado
1-1 l .
:<+1·1 x+t .
Gráfica 32
p = A-!..
, a,
w-x Tiempo (anos.
w Edad
donde la fórmula para calcular la reserva matemática es :
IV. = [1',0 I - Al ] 1
el .r'/1 , Ex
desarrollando la expresión (83) se tiene que
IV. =[A,o _ Al,.-M.., ] ~
a Xl1 D D
.r .r x+ 1
(83)
42
Capitulo 11 Conceptos B ásicos
= .\,¡,[ JV, -NH, ] D, _ [ M,- ~,+,]= M,_[N,_-NH' ]_ M, + AH'
NI DI D•., DH , N. DH , DH ,
(84)
se observa que la expresión anterior es igual a la (77) que corresponde a la
reserva matemát ica de un seguro ordinari o de vida al momento { obtenida
mediante el método prospectivo.
Lo anterior significa que los métodos para éste y la mayoría de los casos, son
equivalentes y proporcionan un método de comprobación.
Sin embargo, este tipo de método ya no es utilizado en el mundo y su utilidad
queda reducida a comprobación.
Si los pagos de la prima son limitados a m-pagos, valuando en el momento t.
con { ~m
Monto Pasado
Tiempo (años¡
Edad
t ro w-x
x+t x+m w
1-- - - - -------71''-----, -1' =~
1" D...;¡
o I 2
, +1 , +2
Gráfica 33
su cálculo se realiza mediante la siguiente fórmula:
.. H [ ] I,V A = ..p.lJ , - A, --
XJ , x~, E.
(85)
43
Capítulo 11 Conceptos Básicos
Si los pagos de la prima son limitados a m-pagos, va luando en el momento t.
con t > m
M onto
0 12
, +1 , + 2
m I ..• \\ '·X
x-m x- t ... w
Gráfica 34
Tiempo (años)
E~a~
su cálculo se realiza mediante la siguiente fórmula:
.. R [ ] 1,V,= A, , -
" 1 , E,
(86 )
Se observa en la expresi ón anterior que la obligación del asegurado
únicamente lIega hasta m, pero la del asegurador persiste hasta el fin del plazo
del seguro o hasta el momento del eve nto cubierto (no beneficios
adicionales).
2.5.2.2.2. Reserva matemática de un seguro temporal a n-años va luada al
año t bajo el método retrospectivo,
La reserva de un seguro temporal a n-a ños, a edad x valuada al momento I
1/
mediante el método retrospectivo ( : JI ~ ,;¡) está dada por la grá fi ca 35.
Monto
o I 2
x x+1 x+2
Pasado
+-,-
x+1
Grá lica 35
. n Tiempo (años)
. x- n Edad
44
Capítulo 11
donde la fórmula para calcular la reserva matemática es:
,V~; =[p, lJ~l- - A, ] 1
en el I Ex
Conceptos Básicos
(87)
Si los pagos de la prima son limitados a m-pagos. valuando en el momento t.
con t ::: m
lonlo
0-"
.....-->.,,.----,. PI = ~
•.;¡ (J . _1
o 1 2
x+ 1 x+2
I . . m . . n Tiempo (años ]
x+t . . x+m . . x- n Edad
Gráfica 36
su cálculo se realiza mediante la siguiente fórmula
.. H [ ] 1, V ~ ; = " P, lJ , - A, --
z -n XI ] ..uj, Ex
(88)
Si los pagos de la prima son limitados a m-pagos. valuando en el momento t.
con t>m
Mont o
o I 2
, +1 , +2
m . . t
..,,+rn . . x+t
Gráfica 37
. n
. x- n
T iempo (a ños1
Edad
su cálculo se realiza mediante la siguiente fórmula:
.. H [ ] 1, V ~:nl = A, -
r~ ,E,
(89)
45
Capítulo 11 Conceptos B ásicos
Se observa en la expresión anterior que al igual que en la (86) la obligación
del asegurado únicamente llega hasta m.
2.5.2.3. Método Recursivo o de Fackler.
En este método, el cálculo de la reserva en el año 1 está en función de la
reserva del año anterior. es decir de 1-1.
Monto
Obligaci ón de
la Compañia
PNN
o I 2
x+l x+2
1-1 t
:-'; +1-1 x+t .
Gráfica 38
w-x Tiempo (añosj
w Edad
Al inicio del año 1-1 el asegurador tiene en su poder la reserva al año 1-1 más
la prima correspondiente (PNN) de cada uno de los 1..,-1 asegurados.
Restando las muertes que se producen en el año 1-1 y suponiendo que la SA
se paga al final de éste. al inicio del año 1 se tendrá:
(90)
donde I_IV. es la reserva matemática al año 1-1 para la edad x valuado bajo el
método recursivo; así , la reserva al año 1 de los /.., asegurados al inicio del
año está dada por:
donde IV. = O en I = O
(91)
sea SA = 1UM. multiplicando la expresión anterior por
unidad, despejando ,V, y desarrollando se tiene que :
J,
; 1'+1_1. que es la
11 '
/1.. ,_1
46
Capítulo 11 Conceptos Básicos
1" ,
1' +1_1
P.. , -I
(92)
2.5.2.3. I. Reserva matemática al año t de un seguro ordinario de va luada
al año t bajo el método recursivo.
La reserva de un seguro ordinario de vida a edad x valuada al momento t
F
mediante el método recursivo (. V . ) está dada por la gráfica 39.
w-x Tiempo (años ]
.. Edad
1- 1 l .
x+l-I x+l .
1---------------:;1'---- P, = A..!-
a,
o I
x+ ) x+2
t ont o
Gráfica 39
donde la fórmula para calcular la reserva matemática es:
l , C-IV.+ p. )(1 + i ) - q..,-I
IV ,= - --- -
P. +I- I
(93)
47
Capitulo 11 Conceptos B ásicos
Si los pagos de la prima son limitados a m-pagos, valuando en el momento t.
con t S m
Monto
Tiempo hl¡los)
Edad
m w·\
. x-m w
1-1 1
' +1-1 , +1
1 2
\ +1 '(+2
Mp =~
1--- - - - - - - - - - ---;¡,jL-- -, • a.~
o
Gráfica 40
su cálculo se realiza mediante la siguiente fórmula:
(94)
M F (,~V.+MP' )(1+ i)- qH' _1
IV. =
P" ,-I
Si los pagos de la prima son limitados a m-pagos, valuando en el momento 1,
con ti-m
Monto
o 1 2 .
, +1 ,+2 .
. m . . . 1· 1 l . . . w-x
. x+m . . . x+t-I x+t . .. w
Tie mpo (nños)
Edad
Gráfica 4 1
su cálcul o se realiza mediante la siguiente fórmula:
( ,~V.)(1 + i) - q"'_1M F
IV. = -
P H I - I
(95)
Se observa en la expresion anterior que la obligación del asegurado
únicamente llega hasta m.
48
Capit ulo 11 Conceptos B ásicos
2.5.2.3.2. Reserva matemática de un seguro temporal a n-años valuada al
año t bajo el método recu rs ivo.
La reserva de un seguro temporal a n-a ños. a edad x valuada al momento f
F
mediante el método retrospectivo ( .V~ .;;' ) está dada por la gráfica 42.
Monto
..1 , _
Po -~.--
:r:n) lJ -
:r:n
l
012
x+l x+2
t- I t
.'(+(-1 x- t .
Gráfica 42
n Tiempo (años]
. x+n Edad
donde la fórmula para calcular la reserva matemática es:
F C-IV~ ñ'+ P, ,}I+i)- qHt-I
t V ~: ñ] = . x ." , ---
PH/-I
(96)
Si los pagos de la prima son limitados a m-pagos, valuando en el momento t,
con f :S 111
M OI1lO
o I 2
x+ 1 x+2
1-1 t
x+I- 1 x+1
Gráfica 43
. m . .. n Tiem po (ai\os)
. x+m . . . x+n Edad
su cálculo se realiza mediante la siguiente fórmula:
49
Capit ulo 11
(
"' F ).. ' ' _IV ~ ~+"'P, (l + i)- qZ+l_'
f , z:;;j
,Vz:. = - - --
P H I - I
Conceptos B ásicos
(97)
Si los pagos de la prima son limitados a m-pagos. valuando en el momento f.
con t>m
Monto A,
" P _ .1',~
I -
xn~ lJ
Ano
o 1 2
, +1 , +2
m , , 1-1 I
x-m . . x+t· ) x+t
Gráfica 44
n T iempo (años)
,+ n Edad
su cálcul o se realiza mediante la siguiente fórmula:
(
"' f ' )
"' F , _ I -IV ~: n (l+ i)- q"'_1
,V X :II - - -
P H I - I
Se observa en la expresión anterior que al igual que en la (95) la obligación
del asegurado únicamente llega hasta m.
2.4.3. Reservas Recargadas.
2.4.3.1. Método Zillmer.
El doctor Augustus Zillmer fue el primero en tratar el peligro de las reservas
negativas, él supone que, en lugar de ser iguales todas las primas, la primera
es inferior a las restantes en una suma dada c. Sea P la prima que habrá de
pagarse a partir del segundo año, la que corresponda al primero será P - e .
50
(98)
Capitulo II
Por ejemplo, tomando un seguro de vida entera se tiene:
de donde se obtiene:
A = P(l + a )- e = P 11 - ex r r
Así se obtiene que la prima recargada es:
Zillmer propone que la reserva del primer año es:
Conceptos Básicos
(99)
(100)
(101)
Z
I V x =Ar+1 - P 11r+1 =Pr+l l1r+1 - Pl1r+1 =(Pr+1 - P)ar+1
Ya que la reserva no puede ser menor que cero, se tiene como máximo:
La prima de Zillmer no puede ser superior a la prima pura que corresponde a
la edad inmediata superior.
Sustituyendo la expresión (104) enla (101) y despejando e se tiene que:
Utilizando los conmutados se obtiene:
51
(102)
(103)
(104)
(\05)
Capítulo Il
pero
Conceptos Básicos
(106)
(107)
Entonces, el valor máximo de e es:
e =PHI - r:
De acuerdo a este método, la primera prima debe considerarse como a un
seguro temporal a un año, tal que el excedente entre la prima cobrada y la
natural del año pueda ser aplicado totalmente a cubrir los gastos, que no
deben exceder ese margen.
Para el doctor Thomas Bond Sprague'" la reserva es:
B
IV x =AX+I - PH 111x+I =(PHI - PHI )aX+I
El método de Zillmer trata sólo de cubrir el costo de la primera comisión,
mientras que el método de Sprague entiende que el margen que se le deja a la
compañía puede ser invertido (negativo), tanto en la comisión como en todos
los gastos iniciales .
La reserva negativa puede ser amortizada en el tiempo, y no en el primer año,
siendo consistente con el concepto USGAAP (United States Generally
Accepted Acounts PrincipIes), que es la norma de EVA para contabilizar
gastos de la prima en el tiempo.
2.4.3.2. Método de Ferguson.
Ferguson entiende que no hay inconveniente alguno en hacer nula la reserva
del primer año.
Para atender a los compromisos de dicho primer año basta una prima igual a
(108)
(109)
La proporción de la prima que puede destinarse a gastos es, entonces:
21 González Gal é, José, Elementos de Cálculo Actuarial, Argentina, 1968. Pág. 186.
52
(110)
Capítulo II Conceptos Básicos
(111)
Dicho recargo debe quedar amortizado en cuatro años; al principio del primer
año el recargo representa para cada uno de los cuatro años siguientes una
suma de
Px - P:~
a .r:41
Por lo que la prima recargada durante dichos cuatro años es
P -t-,
P' = P _ x_ _ .r:...:...l lx x +
y, durante los restantes, la prima es ya la prima pura p.
Al principio del primer año, todas las primas futuras deben sumar
Se tiene entonces:
La expresión para la reserva fmal del año t, dado que t < 5, es:
(1 12)
(1 13)
( 114)
(1 15)
2.4.3.3. Método de selección y final.
Este método, también conocido como el método de Dawson", se basa en el
empleo de tablas selectas aplicando valores correspondientes a los dos
términos que sirven para calcular la reserva.
Sea [xl la edad de entrada bajo selección, se tiene que para t < 5:
22 González Galé, José, Elementos de Cálculo Actuarial, Argentina, 1968. Pág. 192.
53
Capítulo 11
y para t~ 5
Las ventajas del método son:
D
1V x =A¡x1+1 - p'a[x1+1
D
1V x =AX+l - p'aH 1
Conceptos Básicos
(117)
(118)
Reduce el margen inicial para gastos.
Cubre dichos gastos con el beneficio real de la mortalidad realizado en
los primeros aftoso
Al fmal del quinto año las reservas son ya las que exige el método de
reservas puras.
En México la Ley no permite la existencia de reservas matemáticas negativas,
por lo que para enfrentar el problema de las comisiones elevadas durante los
primeros años, se utilizan los métodos modificados de reservas, además del
concepto de reservas suficientes que se verán en el capítulo III.
54
Capítulo III Cálculo de la Reserva deRiesgos en Curso
para el Seguro de Vida Tradicional.
CAPITULO 111
CÁLCULO DE LA RESERVA DE RIESGOS EN CURSO PARA EL
SEGURO DE VIDA TRADICIONAL.
En éste capítulo se llevará a cabo el cálculo de algunas funciones biométricas,
anualidades, seguros, primas netas niveladas y reservas a manera de ejemplo,
además de comparaciones de resultados utilizando distintas tasas de interés
técnico .
También se definirán la Prima de Tarifa, los métodos modificados de reservas
Año Temporal Preliminar Completo , el método de los Comisionados y el
método Canadiense, así como el modelo de Asset Share y sus componentes.
Por otra parte se aborda la Legislación Mexicana (Ley General de
Instituciones y Sociedades Mutualistas de Seguros, Circulares emitidas por la
CNSF y Estándares de Práctica Actuaria!) con respecto a la Reserva de
Riesgos en Curso.
3.1. Ejemplos
3.1.1. Funciones biométricas.
De acuerdo al capítulo II y utilizando como base la tabla de mortalidad
Experiencia Mexicana CNSF 2000-1 (91-98 Individual) (ver Anexo 1), se
realizar áel cálculo de algunas funciones biométricas.
Tabla 1
Primeras edades Tabla CNSF 2000-1
x qx
12 0.000396
13 0.000427
14 0.000460
15 0.000495
16 0.000533
17 0.000575
18 0.000619
19 0.000667
55
Capitulo 1II Cálculo de la Reserva de Riesgos en Curso
para el Seguro de Vida Tradicional.
Utilizando la fórmula (3) se tiene que la probabilidad de que una persona con
edad 12 llegue con vida a edad 13 es:
P12 =1-0.000396=0.99960
Ahora, tomando 112 = 10,000,000 Y aplicando la fórmula (4) para obtener el
número de personas que mueren entre edad 12 y 13 se obtiene:
d l2 = 10,000,000 x 0.000396 = 3,960
También de la fórmula (4), despejando Ix' el número de personas que llegan
con vida a edad 13 se obtiene:
113 = 10,000,000 x 0.99960 = 9,996,040
Realizando los mismos cálculos para las edades 13 a 19 se tiene la siguiente
tabla:
Tabla 2
x qx Px Ix d x
12 0.000396 0.99%04 10.000,000 3,960
13 0.000427 0.999573 9,996,040 4,268
14 0.000460 0.999540 9,991,772 4,596
15 0.000495 0.999505 9,987,175 4,944
16 0.000533 0.999467 9,982,232 5,321
17 0.000575 0.999425 9,976911 5,737
18 0.000619 0.999381 9,971,175 6,172
19 0.000667 0.999333 9,965,002 6,647
Mediante la fórmula (5) y utilizando los valores de la Tabla 2 la probabilidad
de que una persona de edad 12 llegue con vida a edad 18 es:
= 9,971,175 =0.997118
6PI2 10,000,000
56
Capitulo III Cálculo de la Reserva deRiesgos en Curso
para el Seguro de Ylda TradicionaL
La probabilidad de que una persona de edad 12 muera entre las edades 12 y
18, aplicando la fórmula (6) es:
6 ql2 = 1- 0.997118 = 0.002882
Con la fórmula (7) el número de fallecimientos entre las edades 12 y 18 es:
6 dl2 = / 12 -/18 =10,000,000-9,971,175=28,825
Si se hace el cálculo sumando el número de fallecimientos entre las edades 12
y 18 de la tabla 2 se tiene:
d12 +d13 +d14 +dl s +d16 +d17 =3,960+4,268+4,596+4,944+5,321+5,737
= 28,826
que difiere del resultado obtenido con la fórmula (7) en 1 persona debido a
los errores de aproximación.
Para obtener la probabilidad de que una persona de edad 12 sobreviva 2 años
y fallezca dentro de los 3 años siguientes se aplica la fórmula (8) y se obtiene:
9,991,772-9,976,911 = 0.0014781
10,000,000
A continuación se muestran las gráficas de las probabilidades qx de las tablas
de mortalidad: Experiencia Mexicana CNSF 2000-1 (91-98 Individual),
Experiencia Mexicana 82-89 Básica (Individual) y Experiencia Mexicana 82-
89 Modificada (Individualjr', además las funciones biométricas, px' / z y dx
correspondientes a dichas tablas:
La gráfica de las probabilidades de muerte qx se ha dividido en 2 (gráfica 38
y 39) para permitir visualizarla mejor.
23 Ver Anexo l para las 3 tablas .
57
Capitulo III Cálculo de la Reserva de Riesgos e" Curso
para el Seguro de Vida Tradicional.
qr
0.0260000O
0.02400000 /
0.0220000O /
0.020000OO /,
O.QUlC)(XlOO f:1
O.016DlXXXJ /:
O.01«XlOOQ /.'/
O.012OXOJ
¿. 'f'
0.0100000o ../-'"
0.008000OO
./",,'
/"" ""0.006000OO
0.00<000OO ~""
0.002000OO .--.-.-::---
- ~ ~.....:..-..:.:.,; --
0.OOOOOOOO ----
12 17 22 27 32 37 42 47 52 57 62 67
Edad
........ .. EXPERIENCIA MEXICANACNSF.2000-191·98(INDIVIDUAL)
- - -EXPElUENCIA MEXICAN A &2-398ASICA (INDIVIDUAL)
--- EXPERIENCIA MEXICANA ~-89MODIFICADA (lND lVIDUAL;
Gráfica 45
0.315
0.28
0.245
0.21
0.175
0.105
0.07
0.035
/
/
/
/,"" ..
~/ ... .
~~' . ....
~' . ... .'
.". -- .. .... ..
~- ..-""": .. ... .
-=-.~.-':.".
:=.---
66 73 76 83
Edad
88 93 98
........ .. EXPf!JUENClA MEXICANACNSP 2(lOO..(91-91(INDIVIDUAL)
- - -.EXPElUENClA MEXICANA 12:-19BASICA (INDIVIDUAL)
--- EXPERIENCIA MEXICANA &:2-89 MODIFICADA (lNDlVIDUAL)
Gráfica 46
58
Capítulo 1II Cálculo de la Reserva de Riesgos en Curso
para el Seguro de Vida Tradicional.
Se observa que la mortalidad del periodo 1982-1989 era mayor que la del
periodo de 1991-1998, de la edad 12 a la edad 19 (gráfica 45) y de la edad 68
en adelante