FISICA BASICA I

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FÍSICA 
BÁSICA I 
 
Teoría y problemas 
resueltos 
 
 
AUTOR: Mirtha Ramírez Avilés 
 
Primero edición 
La Paz – Bolivia 
 
 
	
	
Contenido	
ASPECTOS	HISTORICOS	DE	LA	FISICA.	...	2	
1.1.	 ¿QUÉ	ES	LA	FÍSICA?	............................	3	
1.3.	EL	PROCESO	DE	MEDICIÓN	................	3	
1.4.		MAGNITUDES	FÍSICAS	........................	4	
1.5.	EL	MÉTODO	CIENTÍFICO	.....................	4	
1.6.	UNIDADES	FUNDAMENTALES	...........	4	
MAGNITUD	..........................................................	5	
SÍMBOLO	.............................................................	5	
UNIDADES	..........................................................	5	
ABREVIACIÓN	....................................................	5	
1.7.	UNIDADES	DERIVADAS	.......................	5	
1.8.	FACTORES	DE	CONVERSIÓN	..............	5	
1.9.	ANÁLISIS	DIMENSIONAL	.....................	6	
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
CAPÍTULO 1 
 
 
 
CONCEPTOS 
BÁSICOS 
ASPECTOS	HISTÓRICOS	DE	LA	
FÍSICA.	
 
Los fenómenos naturales han influenciado desde tiempos remotos a 
la humanidad, y los humanos a medida que iban evolucionando 
trataban de comprender esos fenómenos con el fin de poder tener un 
cierto control sobre ellos. Es así que surge lo que hoy podríamos 
llamar una física rudimentaria: el descubrimiento del fuego, la 
especialización progresiva en la utilización de armas, la forja de 
metales y otros materiales, las periodicidades observadas para una 
mejor agricultura, los sistemas de riego, el surgimiento de la 
cosmogonía, etc. constituyen ejemplos de situaciones en las cuales 
el razonamiento es utilizado para los fines mencionados 
anteriormente. 
En ese sentido, es difícil marcar una fecha o una época que pueda 
ser considerada como el nacimiento de la física; sin embargo, ya en 
los tiempos de los grandes pensadores griegos se trataban aspectos 
esenciales a lo que es la materia. Así, surgen concepciones de los 
constituyentes de la materia. Los famosos cuatro elementos agua, 
aire, tierra y fuego fueron la base del pensamiento durante mucho 
tiempo. Ideas atomistas, descripción de fenómenos tales como la 
caída de los cuerpos suscitaron el interés de estos filósofos, entre a 
los cuales podemos destacar a Thales, Demócrito, Hiparco, 
Arquímedes y principalmente, Aristóteles y Ptolomeo quienes 
plasmaron sus ideas durante muchos siglos en lo que respecta a la 
descripción de ciertos fenómenos y una descripción de un modelo de 
universo respectivamente. 
Las ideas aristotélicas y ptolomeicas permanecieron durante mucho 
tiempo enraizadas en el pensamiento de la humanidad, a pesar de 
que había claros indicios de que no eran las más adecuadas. Fueron 
pensadores como Copérnico, Tycho Brahe y Kepler que echaron por 
tierra la concepción del geocentrismo de Ptolomeo y 
fundamentalmente Galileo Galilei para destronar el aristotelismo 
reinante en ese entonces. Algunos historiadores de la ciencia 
consideran que la Física nació como ciencia justamente con los 
trabajos sobre el movimiento de los cuerpos que realizó Galileo 
trabajando con sus planos inclinados y verificando por ejemplo que la 
velocidad con la que cae un cuerpo en realidad no depende de su 
masa como planteaba Aristóteles. 
Posteriormente, surge el nombre de Isaac Newton quien establece 
las leyes del movimiento de los cuerpos a escala meso cósmica1 a 
través de sus tres célebres leyes que siguen siendo el objeto de 
estudio del primer curso de física en la mayoría de las universidades 
del mundo. Por otra parte, fue el propio Newton quien planteó la hoy 
conocida ley de la gravitación universal que rige el movimiento de 
cuerpos tales como los planetas, satélites, asteroides, etc. Otros 
científicos de la época newtoniana pueden ser mencionados con toda 
justeza por sus trabajos en el desarrollo de la física; así, Huygens, 
Euler, Laplace, Bernoulli. Después, la mecánica newtoniana se refina 
y se postula formalmente gracias a los trabajos de Lagrange y 
Hamilton. 
Pero evidentemente, la Física no solo es mecánica, paralelamente se 
desarrollaron importantes teorías que iban acompañadas del avance 
tecnológico de la época. De esa manera, se desarrollan de la mano 
de Carnot, Clausius y Joule, la Termodinámica con un fuerte impulso 
dado por la denominada Revolución Industrial. 
Las teoría electromagnética, se desarrolla gracias a trabajos como el 
de Galvani, Volta, Faraday, Ampere y llegando a su cúspide con la 
formulación de Maxwell. El hecho de estudiar fenómenos que salen 
de lo que es considerado el meso cosmos, motivó a los físicos de 
finales del siglo XIX a interesarse por la descripción y comprensión de 
los fenómenos a escala microscópica. Empiezan a resurgir teorías 
atomistas que en un principio son rechazadas pues se consideraba 
que la Física a finales del siglo XIX estaba totalmente establecida y lo 
único que se podía hacer era refinarla pero sin cambiar las bases 
 
1Se utiliza el término meso cosmos para designar los fenómenos que 
ocurren a escala humana. 
 
 
conceptuales de la misma. Sin embargo, científicos como Einstein, 
Poincaré y Planck, se encargaron, a principios del siglo XX, de 
romper con esa errónea concepción. 
Quizás, desde un punto de vista histórico, la aparición de tres 
artículos rubricados por Albert Einstein, sientan los cimientos de lo 
que se conoce como la Física Moderna; en su artículos que trata 
sobre el efecto fotoeléctrico, considera el carácter corpuscular de la 
luz, un aspecto fundamental para la Mecánica Cuántica, en su 
artículo sobre el movimiento browniano da las bases para lo que hoy 
se conoce como Mecánica Estadística del No Equilibrio que a su vez 
ha dado lugar a nuevas teorías que actualmente son de punta no solo 
en la física; finalmente en su artículo sobre la Teoría Especial de la 
Relatividad, encuentra una unión entre aspectos de la mecánica y del 
electromagnetismo que parecían irreconciliables y además puede 
explicar el movimiento de los cuerpos cuando estos se mueven a 
velocidades próximas a la velocidad de la luz en el vacío que queda 
establecida como una constante universal. 
Posteriormente, una vez más Einstein, formula su Teoría General de 
la Relatividad que es una generalización de la teoría gravitatoria 
newtoniana, así como la Relatividad Especial constituye una 
generalización de la mecánica newtoniana. 
Paralelamente, se desarrolló la Mecánica Cuántica gracias a los 
trabajos de físicos como Heisenberg, Schrödinger, Bohr y Dirac. Las 
consecuencias de la Mecánica Cuántica jugaron un rol principal en 
las nuevas tecnologías y en los aspectos básicos de la estructura de 
la materia. Lastimosamente, también estos conocimientos sirvieron 
para hacer la guerra y destruir como lo atestiguan Hiroshima y 
Nagasaki, dos ciudades japonesas devastadas por el poder 
destructor de las bombas atómicas de fisión. Sin embargo, los 
aportes fueron numerosos, no podríamos hablar de energía nuclear, 
de computadoras, en fin, de avance tecnológico de no haberse 
desarrollado la Física Moderna. Justamente, gracias a ese avance 
tecnológico exponencial que experimenta la humanidad, la ciencia 
puede avanzar más y en esa retroacción positiva, actualmente se 
están elucidando aspectos impensables hasta hace unos años. 
Nanotecnología, Sistemas Complejos, son algunos de los aspectos 
que están a la vanguardia de la ciencia contemporánea. Las fronteras 
entre las ciencias van haciéndose cada vez más tenues y el trabajo 
multidisciplinario adquiere una gran importancia. A pesar de lo 
mencionado anteriormente, el estudio sistemático de la física clásica 
sigue siendo esencial para una comprensión cabal de toda esta 
evolución científica. 
1.1. ¿QUÉ	ES	LA	FÍSICA?	
 
Cuando eras niño te preguntabas por qué ocurren ciertas cosas, por 
ejemplo ¿por qué en la mañana sale el sol y en la noche la luna? 
También posiblemente te preguntabas hasta donde llega la tierra, 
puesto que, si miras al horizonte,te da la impresión de que en un 
punto va a acabarse y si llegas a él podrías caer en el vacío. ¿Y te 
preguntaste alguna vez cómo pudieron entrar las personas que ves 
en la tele dentro del televisor? Es posible que para entender todo eso 
hayas “enloquecido” a tus padres con preguntas que, seguramente 
no te contestaban o las respuestas no cubrían tus expectativas. Para 
responder a todas esas preguntas es preciso realizar un estudio 
objetivo de la naturaleza para obtener respuestas válidas 
universalmente. Una de las ciencias que permite obtener esas 
respuestas es la física. La física es una ciencia teórico – experimental 
que estudia los fenómenos que ocurren en la naturaleza a nivel 
cuantitativo, es decir, sacando resultados, y con un método 
totalmente planificado, denominado “Método Científico”. 
Para el desarrollo de la física teórica se necesita una herramienta 
importante: “la matemática”. Esta parte teórica debe ser 
complementada por la experimentación, la misma que nos ayuda a 
establecer Leyes Universales. Mediante dichas leyes es posible 
explicar la mayor variedad posible de los fenómenos observados y 
predecir cuantitativamente su comportamiento. El hecho de que sea 
una ciencia experimental, significa que los fenómenos que se 
analizan deben observarse y medirse. 
1.3.EL	PROCESO	DE	MEDICIÓN	
 
En primer lugar, es preciso definir lo que significa hacer una medición 
o tomar una medida, es decir ¿qué es medir? “medir es comparar 
una magnitud física con una unidad” 
El proceso de medición es una operación física experimental, en la 
que intervienen, necesariamente, tres sistemas: 
i) El “sistema objeto”. Al cual queremos medir. 
ii) El “instrumento” o “aparato de medición”, y. 
 
 
iii) El “sistema de comparación” al que definimos 
como unidad y que suele estar incluido en el 
instrumento de medición. 
Para definir el proceso de medición es necesario seguir “una receta” 
mediante la cual interactúan los tres sistemas mencionados (objeto, 
instrumento y unidad). Por ejemplo, la receta para medir longitudes 
sería “tomar un instrumento, por ejemplo, una regla en la que están 
marcadas las divisiones”; hacer coincidir la primera división de la 
regla (punto cero) con un extremo del objeto cuya longitud se quiere 
determinar; mirar y anotar la división que coincide con el otro extremo 
del objeto”. Cada proceso de medición define una “magnitud física”, 
para definir la cual es preciso analizar el proceso de medición. 
1.4.		MAGNITUDES	FÍSICAS	
 
Por experiencia sabemos que no todo lo que existe en la naturaleza 
puede ser medido, es decir no a todo se le puede dar un valor, por 
ejemplo, no podemos medir la belleza de una estrella porque a esa 
belleza no podemos asignarle un número; tampoco podemos medir el 
amor, aunque sabemos que el amor existe, no puedes decirle a tu 
chica “yo te amo 2 300 405,72” ó “te amo 0.78”, máximo podrás 
decirle “te amo” o “te amo mucho”, pero a ese sentimiento no 
podemos darle un valor. Entonces, es fácil comprender que esas 
cosas que existen en la naturaleza no pertenecen al campo de la 
física. La ciencia en general, y la física en particular debe tener la 
capacidad de definir, pero, adicionalmente se debe contar con la 
capacidad de medir. 
1.5.	EL	MÉTODO	CIENTÍFICO	
 
Este método, utilizado universalmente para hacer ciencia, sigue los 
pasos que se describen a continuación: 
 
1) Observar algún fenómeno natural que nos interese. 
2) Hacer suposiciones (formular hipótesis) respecto a 
dicho fenómeno. 
3) Experimentar (medir las magnitudes que resulten 
importantes). 
4) Analizar los resultados para sacar conclusiones y, si se 
puede, detectar una ley física. 
 
Para que entiendas cómo funciona este método veamos un caso de 
la vida real. Tu mamá te llama a almorzar y como tienes hambre vas 
corriendo a sentarte a la mesa y miras el plato que ella te ha 
“servido”, se ve lindo, colorido y apetecible, “estas observando” y 
supones que está delicioso, “estás formulando una hipótesis” y 
empiezas a comer “estás experimentando” y de pronto ¡HORROR!, 
te das cuenta de que la “deliciosa comida” es hígado con ensalada de 
betarraga (casi a nadie le gusta ¿verdad?), entonces “sacas una 
conclusión”: la comida no es rica. Sin darte cuenta, usaste el 
método científico. Otro ejemplo, alguna vez te paraste en la cancha 
Zapata a mirar el río Choque yapú, entonces te das cuenta de que no 
te encuentras en un ambiente agradable y empiezas el proceso de 
“observación”. En primer lugar notas un olor desagradable, en 
segundo lugar, ves una cantidad de cosas raras, tales como basura, 
piedras, zapatos viejos y hasta perros muertos; notas, además, el 
color del río y dices “es turbio”. Entonces, por todo lo observado 
piensas “el río Choqueyapu debe estar muy contaminado”, al decir 
esto estas "formulando una hipótesis”, pero claro, no puedes saber 
si tu hipótesis es falsa o verdadera, para saber esto con certeza, 
recoges una muestra de agua del río y la mandaras a un laboratorio, 
con lo cual entras en la fase de “experimentación”, ese laboratorio 
te dará resultados, por ejemplo que tiene una gran cantidad de 
bacterias coliformes fecales, una demanda biológica de oxígeno 
(DBO) muy alta, elevada cantidad de sólidos suspendidos (que son 
causantes de la turbiedad del río), etc. Si comparas los parámetros 
proporcionados por el laboratorio con las normas establecidas, 
estableces que, en efecto, el río está contaminado, has "analizado 
los resultados y establecido una conclusión teórica” que bien 
podría llamarse una ley física. ¿Te diste cuenta de que en este caso 
utilizaste el método científico? 
 
1.6.	UNIDADES	FUNDAMENTALES	
 
 
 
 
Son las que constituyen los Sistemas de Unidades, se basan en la 
longitud, la masa y el tiempo y sirven para definir a las medidas 
directas. En el Sistema Internacional, que es el que utilizaremos en 
este libro, las unidades para estas cantidades son: 
MAGNITUD SÍMBOLO UNIDADES ABREVIACIÓN 
LONGITUD L METRO [m] 
MASA M KILOGRAMO [kg] 
TIEMPO T SEGUNDO [s] 
 TABLA 1.1 
 
El metro patrón fue definido durante mucho tiempo como la distancia 
entre dos marcas en una barra de aleación de platino – iridio, la 
misma que se mantiene a temperatura constante en una vitrina del 
Bureau of Weigths and Measures en Sèvres, (Francia); hoy en día se 
define como la distancia recorrida por la luz en el vacío en un 
intervalo de tiempo de 1/299792458[s]. 
En tanto que, el kilogramo patrón era un cilindro macizo de 
aleación de platino iridio que también está custodiado en Sèvres. 
La unidad de medida del tiempo es el segundo, definido como el 
tiempo que requiere un átomo de Cesio 133 para realizar 9 192 631 
770 vibraciones correspondientes a la transición entre dos niveles 
hiperfinos de su estado fundamental. 
Si, por alguna razón tuvieras que utilizar otras unidades que no 
pertenezcan al Sistema Internacional, en el Apéndice 2 tienes una 
tabla de equivalencias de unidades. En todo caso, los sistemas de 
unidades más comunes se muestran en la Tabla 1.2. 
SISTEMA LONGITUD MASA TIEMPO 
FUERZA 
INTERNACIONAL [m] [kg] [s] [N] 
cgs [cm] [g] [s] [dinas] 
INGLÉS [pie] [slug] [s] [lb] 
TABLA 1.2 
1.7.	UNIDADES	DERIVADAS	
 
Las unidades derivadas son las que resultan de multiplicar y/o dividir 
unidades básicas entre sí. 
No todo en la naturaleza se reduce a medir unidades básicas tales 
como longitud, masa y tiempo. Muchas veces requerimos medir una 
velocidad, o la aceleración de la gravedad o una fuerza que actúa 
sobre un cuerpo, la potencia que desarrolla un motor o la energía 
disipada en un sistema. Como sabemos, la velocidad se mide en 
metros/segundo [m/s], la aceleración en metro/segundo por cada 
segundo [m/s2], la fuerza en neutonios [N], la potencia en vatios [wat] 
y la energía en julios [J]; todas ellas pueden ser expresadas como 
potencias de las unidades fundamentales (longitud [L], masa [M] y 
tiempo [T]. 
1.8.	FACTORES	DE	CONVERSIÓNSi tienes una magnitud física con sus respectivas unidades en un 
determinado sistema, pero necesites esa misma magnitud en otro 
sistema, utilizarás los factores de conversión, que sirven para pasar 
de una unidad que pertenece a un sistema a otra de un sistema 
diferente. Para que el asunto te resulte más fácil, puedes utilizar las 
siguientes reglas: 
1. Conocer qué unidades quieren ser convertidas y a qué unidades 
se quiere llegar. Por ejemplo, para convertir 10[pies/h] a [m/s]. 
¿De dónde partimos? pues de [pies/h]; ¿a qué queremos llegar? 
a [m/s]. 
!
𝑝𝑖𝑒𝑠
ℎ ' → )
𝑚
𝑠 + 
2. Luego, tanto en el numerador como en el denominador, 
trazamos el camino a seguir. En el ejemplo, en primer lugar 
trabajaremos en el numerador, entonces debemos llegar de 
 
 
[pies] a [m], sabiendo que 1[pie] vale 12[pulga]; 1[pulga] = 
2.54[cm] y, finalmente 100[cm] equivalen a 1[m]; el camino a 
seguir será: 
[𝑝𝑖𝑒𝑠] → [𝑝𝑢𝑙𝑔] → [𝑐𝑚] → [𝑚] 
Procedemos idéntico en el denominador, sabiendo que 1[h] son 
3600[s]: 
[ℎ] → [𝑠] 
3. Debemos “hacer desparecer” las unidades que tenemos para que 
vayan “apareciendo” las que queremos; para ello, si tenemos una 
unidad “arriba”, debemos asegurarnos de tener la misma unidad 
“abajo” para simplificarlas. En nuestro caso será: 
10[𝑝𝑖𝑒𝑠]
1[ℎ] ∗
12[𝑝𝑢𝑙𝑔]
1[𝑝𝑖𝑒] ∗
2.54[𝑐𝑚]
1[𝑝𝑢𝑙𝑔] ∗
1[𝑚]
100[𝑐𝑚] ∗
1[ℎ]
3600[𝑠] 
4. Los números serán operados y sus unidades serán las que 
quedan. En nuestro caso, el resultado será: 
10 !
𝑝𝑖𝑒𝑠
ℎ ' = 8.47𝑥10
?@ )
𝑚
𝑠 + 
1.9.	ANÁLISIS	DIMENSIONAL	
 
El análisis dimensional es muy importante puesto que permite escribir 
ecuaciones correctamente y se caracteriza porque ambos términos 
de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. 
Reglas para realizar el análisis dimensional 
1) Las ecuaciones que relacionan muchas cantidades físicas deben 
ser dimensionalmente homogéneas, por ejemplo, si una 
ecuación tiene la forma: 
Z = A + B – C 
 
 A, B, C y Z deben tener las mismas dimensiones. 
2) Se utilizan corchetes para indicar la dimensión de una variable, 
por ejemplo, la dimensión del tiempo será expresada como [T]. 
3) Todos los coeficientes numéricos deben ser reemplazados por 1, 
por ejemplo: 
5[L] + 3[L] –2[L] = [L] 
4) Todas las dimensiones se expresan en forma de enteros que 
pueden tener exponentes positivos o negativos: 
[𝑀]
[𝐿]
[𝑇D] =
[𝑀][𝐿][𝑇?D] 
5) Se considera que la medida de los ángulos (radián) es un 
número. 
Nota: Los problemas ¡trata deresolver! están diseñados para que tú 
solo resuelvas el problema planteado. Aunque éste se encuentra 
resuelto, deberás tapar (con la tapa que viene adjunta al libro) las 
filas de abajo, donde se encuentran las respuestas y tratar de 
resolver lo que está indicado en (FASES) luego podrás 
comparar y determinar tus aciertos y fallas, para ser superadas. 
 
Ejemplo 1.1. Se quiere hallar una ecuación que relacione la distancia 
d, recorrida por un objeto que parte del reposo y que se mueve en 
línea recta con aceleración constante a, en un tiempo t. Las 
dimensiones de distancia, tiempo y aceleración son, respectivamente 
[L] (metros), [T] (segundos) y [L/T2] (metros por segundo al cuadrado) 
¿Cuál será la forma de la ecuación para que sea dimensionalmente 
correcta? 
Estrategia de Resolución. La expresión que estamos buscando es 
de la forma: 
d = combinación donde intervengan t y a 
Para asegurar la homogeneidad dimensional deberán combinarse t y 
a de tal forma que, el lado derecho de la ecuación tenga también las 
dimensiones de d, es decir, [L]. 
1. Proponemos una expresión de la forma: 
𝑑 = 𝐶𝑎H𝑡J 
 
 
considerando a dimensional a C = cte, y a x, y, 
exponentes desconocidos a ser determinados. 
2. Dimensionalmente, la expresión tiene la forma: 
[𝑳] = !
𝑳
𝑻𝟐'
𝒙
[𝑻]𝒚 
[𝑳] = [𝑳]𝒙[𝑻]?𝟐𝒙[𝑻]𝒚 = [𝑳]𝒙[𝑻]𝒚?𝟐𝒙 
3. El primer miembro de la ecuación está elevado a la 
primera potencia, por tanto: 
x = 1 
4. Puesto que [T] no aparece en el primer miembro de la 
ecuación: 
y – 2x = 0 
y = 2 
5. Por tanto, la expresión tendrá la forma: 
𝑑 = 𝐶𝑎𝑡D 
Ejemplo 1.2 Para mantener a un cuerpo que se mueve a velocidad 
constante se requiere una fuerza centrípeta. Realizar el análisis 
dimensional de dicha fuerza. 
Estrategia de Resolución. La pregunta es ¿de cuántas variables 
depende la fuerza centrípeta? la respuesta es: de la masa, la 
velocidad con que se mueve el cuerpo y el radio de la trayectoria 
circular, por tanto, la ecuación dimensional tendrá una forma que 
relaciona F con M, v y R. Por otra parte, las unidades de la fuerza 
son [Kgm/s2], por tanto, su ecuación dimensional será: [F] = [M][L][T-
2]. Esta ecuación debe ser consistente con la de la fuerza centrípeta: 
1. Proponer una expresión para la fuerza centrípeta: 
 
[𝑭] = [𝑴]𝒙[𝒗]𝒚[𝑹]𝒛 = [𝑴]𝒙 !
𝑳
𝑻'
𝒚
[𝑳]𝒛 
2. Igualar las ecuaciones: [𝑴][𝑳][𝑻]?𝟐 = [𝑴]𝒙 )𝑳𝑻+
𝒚
[𝑳]𝒛 
 
3. Igualar los exponentes: 
x = 1 
y + z = 1 
z = 1 – y = 1 – 2 = -1 
y = 2 
4. Reemplazar exponentes: 
 
[𝑭] = [𝑴][𝑳](𝟐?𝟏)[𝑻]?𝟏 = [𝑴][𝑳][𝑻]?𝟐 
Por tanto, la ecuación propuesta es compatible. 
Ejemplo 1.3. La ecuación que proporciona la energía potencial 
es:𝐸Y = 𝑀𝑔ℎ. Hallar la ecuación dimensional. 
Estrategia de Resolución. La gravedad es una aceleración, por 
tanto, sus unidades serán: [m/s2] y sus dimensiones LT-2. Entonces, 
la ecuación que proporciona la energía potencial será: 
𝐸Y = 𝑀
𝐿
𝑇D 𝐿 = 𝑀𝐿
D𝑇?D 
 
Ejemplo 1.4. ¡Trata de resolver! La ley de atracción universal de las 
masas establece que: 
𝐹 = 𝐾
𝑚\𝑚D
𝑑D
 
Encontrar la ecuación dimensional de la constante universal K. 
Estrategia de Resolución. De la ecuación dada, deberá despejarse 
la constante universal K y luego reemplazar las dimensiones, 
sabiendo que la fuerza es igual a la masa por la aceleración. 
1. Despejar K de la ecuación: 
𝐾 =
𝐹𝑑D
𝑚\𝑚D
 
 2.Escribir las dimensiones de los componentes: 
 
 
F = Ma = MLT-2 
d2 = Lm1 = m2 = M 
 3.Reemplazar valores en la ecuación que proporciona 
K: 
[𝐾] = []][^][_]
`a[^]a
[]]a
 
 4.Por tanto, la ecuación dimensional de K será: 
[𝑲] = [𝑴]?𝟏[𝑳]𝟑[𝑻]?𝟐 
Ejemplo 1.4. ¡Trata de resolver! La potencia que requiere la hélice 
mayor de un helicóptero puede ser calculada mediante la siguiente 
expresión: 
𝑃 = 𝑘𝑅g𝜔i𝐷k 
 
Sabiendo que la potencia es el producto de la fuerza por la velocidad, 
¿cuánto deben valer los exponentes a, b y c? R = radio de la hélice 
[m] w = velocidad angular [rad/s]; D = densidad del aire [Kg/m3] y K a 
dimensional. 
Estrategia de Resolución: Deberá escribirse el primer miembro de 
la ecuación en términos de dimensiones de fuerza y velocidad e 
igualar con el segundo miembro. 
 1. Escribir P en función de F y v. 
[𝑃] = [𝐹][𝑣] = [𝑀][𝑎][𝑣] = [𝑀] !
𝐿
𝑇D' !
𝐿
𝑇' =
[𝑀][𝐿]D[𝑇]?m 
 2.Escribir el segundo miembro en función de sus 
dimensiones, teniendo en cuenta que los radianes son 
a dimensionales: 
[𝑃] = [𝐿]g !
1
𝑇'
i
!
𝑀
𝐿m'
k
= [𝑀]k[𝐿]g?mk[𝑇]i 
 3.Igualando exponentes: 
𝒄 = 𝟏 
𝒂 − 𝟑𝒄 = 𝟐 → 𝒂 = 𝟐 + 𝟑 = 𝟓 
𝒃 = −𝟑 
Por tanto, la ecuación será: 
[𝑷] = 𝒌[𝑴][𝑳]𝟓?𝟑[𝑻]?𝟑 = 𝒌[𝑴][𝑳]𝟐[𝑻]?𝟑 
Ejemplo 1.5. ¡Trata de resolver! La masa del sol puede ser 
determinada mediante la ecuación: 𝑀v = 𝐾𝑟H𝐺J𝑇y, donde K es 
una constante, r la distancia al sol, G la constante de Gravitación 
Universal, cuyas unidades son: !𝑁𝑚
D
𝑘𝑔?D{ ' y T es el periodo [s]. 
Determinar los exponentes x, y, z y escribir la ecuación dimensional 
de Ms. 
Estrategia de Resolución: Escribir el segundo miembro de la 
ecuación en términos de r, G y T y luego igualar exponentes. 
 1.Escribir Ms en función de los términos del segundo 
miembro de la ecuación 
[𝑴] = 𝑲[𝑳]𝒙[𝑮]𝒚[𝑻]𝒛 = 𝑲[𝑳]𝒙 }
[𝑭][𝑳𝟐]
[𝑴]𝟐 ~
𝒚
[𝑻]𝒛 
[𝑴] = 𝑲[𝑳]𝒙[𝑴]𝒚[𝒂]𝒚[𝑳]𝟐�𝒚[𝑴]𝒚?𝟐[𝑻]𝒛 
[𝑴] = 𝑲[𝑳]𝒙[𝑴]𝒚[𝑳]𝒚[𝑻]?𝟐�𝒚[𝑳]𝟐�𝒚[𝑴]𝒚?𝟐[𝑻]𝒛[𝑴] = 𝒌[𝑳]𝒙�𝒚�𝟐�𝒚[𝑴]𝒚�𝒚?𝟐[𝑻]𝒚?𝟐�𝒛 
[𝑴] = 𝑲[𝑳]𝒙�𝟐𝒚�𝟐[𝑴]𝟐𝒚?𝟐[𝑻]𝒚?𝟐�𝒛 
 2.Igualar exponentes: 
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐 = 𝟎 
𝟐𝒚 − 𝟐 = 𝟎 
𝒚 − 𝟐 − 𝒛 = −𝟐 
 3.Resolviendo el sistema: 
 
 
𝒙 = −𝟓 
𝒚 = 𝟑 𝟐{ 
𝒛 = −𝟑 𝟐{ 
						PROBLEMAS	PROPUESTOS	
1. La aceleración de la gravedad en La Paz es 9.775[m/s2], ¿cuál es 
su valor en [pies/s2]?Rpta: 32.700[pies/s2] 
 
2. El corazón de una persona late 72 veces/minuto. ¿Cuántas 
veces latió ese corazón si la persona vivió 70 años? Rpta: 
2.65x109 
3. La densidad volumétrica se define como la masa de un cuerpo 
por unidad de volumen. Si la densidad del agua es r = 1[g/cm3], 
expresarla en [slug/pulg3].Rpta: 1.12[slug/pulg3] 
4. ¿Cuál es tu masa en kilogramos, slugs y gramos? ¿Cuál es tu 
estatura en metros, en pies, en pulgadas, en millas y en 
centímetros? 
5. La densidad lineal l se define como la masa por unidad de 
longitud. Si la masa de una cuerda es 0.2[kg] y su longitud es de 
100[pulgadas], ¿Cuál es la densidad en kilogramos/metro, 
gramos/centímetro y slug/pie?Rpta:7.87x10-2[kg/m] 
6. La velocidad de la luz en el vacío es de 3x108[m/s]. ¿Cuánto 
valdrá en [millas/h] y en [pies/hora]?Rpta:1.04x1011[millas/h] 
7. Una lámina de hierro de 25.62[g] de masa y ocupa un volumen 
de 0.98[pies3]. Determinar su densidad en el sistema 
internacional.Rpta:0.92[kg/m3] 
8. La densidad promedio de la Luna es 3.3[g/cm3] y tiene un 
diámetro de 2160[millas] ¿Cuál es el peso de la Luna, si el peso 
es el producto de la masa por la gravedad, que, en nuestra 
ciudad vale 9.775[m/s2]? Calcular dicho peso en [kg-m/s2].Rpta: 
9.19x1013[kg-m/s2] 
9. Un avión comercial transporta 72100[kg] de combustible. Calcular 
el peso del combustible: (a) Cuando el avión vuela a una altitud 
de 10000[m] y una latitud de 20º, puntos en los que la gravedad g 
es 9.746[N/kg]. (b) Cuando el avión transporta la misma cantidad 
de combustible al nivel del mar y a una latitud de 50º, siendo la 
gravedad igual a 9.811[N/kg] y (c) ¿Cuál es la diferencia entre 
esos dos pesos, expresada en libras?Rpta:703.6[kN]; 707.6[kN]; 
900[lb] 
 
10. Una fuerza puede ser representada por𝐹 = 𝑚𝜔D𝑅. Si la fuerza 
F está dada en [kg-m/s2], m es la masa del cuerpo en [kg], w es 
la velocidad angular en [rad/s] y R el radio en [m]. Comprobar 
que la ecuación es dimensionalmente correcta. 
11. Para determinar la rigidez de una cuerda se utiliza la ecuación: 
𝑆 = !𝑎
𝑄
𝑅 + 𝑏'𝑑
D 
Donde: 
Q = carga [N]; R = radio [m]; d = diámetro [m] y; S = rigidez [N]. 
Hallar las magnitudes de a y b para que la ecuación sea 
dimensionalmente correcta.Rpta: [L-1]; [L-1][M][T-2] 
12. La velocidad angular w de la hélice de un barco cuyas unidades 
están dadas en [rad/s], está expresada por: 
𝜔 = !𝑘
𝑃
𝜌'
\
m{
𝑅?� m{ 
Donde: r es la densidad volumétrica del agua dada en [kg/m3], k es 
una constante a dimensional y R es el radio de la hélice en [m]. ¿Cuál 
es la magnitud física representada por P?Rpta: Potencia 
13. La presión de un fluido en movimiento depende de su densidad r 
y su velocidad v. Determinar una combinación de densidad y 
velocidad que proporcione las dimensiones correctas de la 
presión, es decir, [kg-m/s2]. Rpta ) 𝑴𝑳𝑻𝟐+
[ ]
 
14. Supongamos que se quieren cambiar las magnitudes 
fundamentales (L, t, m) por (c, h y me] que son, la velocidad de la 
luz, la constante de Planck y la masa del electrón, 
respectivamente. La equivalencias entre las anteriores y las 
nuevas unidades es la siguiente: 
 
 
[c] = [L][T-1]; [h] = [M][L2][T-1]; [me] = [M] 
Escribir, en términos de las nuevas magnitudes, las dimensiones 
de longitud, tiempo y fuerza. Rpta: [L], [T], [M2LT2] 
15. La unidad SI de fuerza, el kilogramo-metro por segundo 
cuadrado [kg-m/s2] se denomina neutonio [N]. Hallar las 
dimensiones y las unidades SI de la constante G en la ley de 
Newton de la gravitación que está dada por :𝐹 = ����a
�a
 
Donde m1 y m2 son masas y r es una distancia. Rpta:
𝑳𝟑
𝑴𝑻𝟐
; 
𝒎𝟑
𝒌𝒈?𝒔𝟐
 
16. Demostrar que el producto de la masa por la aceleración y la 
velocidad tiene las dimensiones de una potencia. 
Rpta:𝑴) 𝑳
𝑻𝟐
+ )𝑳
𝑻
+ = 𝑴𝑳
𝟐
𝑻𝟑
 
 
 
Contenidos	
2.1.	VECTORES	Y	ESCALARES	......................	12	
2.1.2. CONCEPTOS NUMÉRICOS (ESCALARES Y 
VECTORES) ............................................................... 12 
2.1.3. COMPONENTES DE UN VECTOR .................... 13 
2.1.4. MAGNITUD DE UN VECTOR. .......................... 13 
2.1.5. DIRECCIÓN DE UN VECTOR. ........................... 14 
2.1.6. SENTIDO DE UN VECTOR ............................... 14 
2.1.7. PUNTO DE APLICACIÓN DE UN VECTOR ........ 14 
2.4.	SUMA	DE	VECTORES	...............................	14	
2.4.1. PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES ... 15 
2.4.2. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO .................. 15 
2.4.3. MÉTODO DEL POLÍGONO .............................. 15 
2.4.4. MÉTODO ANALÍTICO DE LA SUMA DE 
VECTORES ................................................................ 16 
2.4.5. MÉTODO DE LAS COMPONENTES ................. 18 
2.1.	INTRODUCCIÓN	A	LA	CINEMÁTICA	...	21	
2.2.1 PARTÍCULA ................................................... 21 
2.2.2. SISTEMA FÍSICO ........................................... 21 
2.2.3. TRAYECTORIA ............................................... 21 
2.2.4. EL VECTOR DESPLAZAMIENTO ...................... 22 
2.2.5. SISTEMA DE REFERENCIA .............................. 22 
2.2.6. VARIABLES CINEMÁTICAS ............................. 24 
2.2.	MOVIMIENTO	EN	UNA	DIMENSIÓN	...	27	
2.3.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME 
(MRU) ...................................................................... 27 
2.3.2.1. ENCUENTRO ........................................... 35 
2.3.3.CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL ........................ 40 
2.4.	 MOVIMIENTO		EN		DOS		
DIMENSIONES	...................................................	48	
2.4.1.PRINCIPIO	DE	INDEPENDENCIA	DE	
LOS	MOVIMIENTOS	...........................................	48	
2.4.2. MOVIMIENTO TEÓRICO DE UN PROYECTIL 
(TIRO OBLICUO) ....................................................... 50 
2.4.3. MOVIMIENTO CIRCULAR ....................... 61 
3.3.3.1.MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ...... 63 
 
	
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
CINEMÁTICA 
DE LA 
PARTÍCULA 
2.1.	VECTORES	Y	ESCALARES	
 
Puesto que la cinemática requiere de magnitudes vectoriales tales 
como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, haremos una 
introducción a los vectores para ver como se expresan estas 
magnitudes que deben ser consideradas como tal. 
 
2.1.1.	 SISTEMAS	 DE	 COORDENADAS	
CARTESIANAS	O	RECTANGULARES 
 
Los sistemas coordenados sirven para posicionar a un cuerpo o para 
determinar donde está él. Un sistema de coordenadas cartesianas 
tiene tres ejes perpendiculares entre sí, (X, Y, Z) que se interceptan 
en el punto que cruza por los tres ejes (origen O); este esquema es 
una representación en el espacio tridimensional. En el plano 
cartesiano, el sistema se restringe a un par de ejes perpendiculares 
entre sí, denominados “Eje X o de abcisas” y “Eje Y o de 
ordenadas”. El origen representa el punto desde donde se miden 
magnitudes, así, la distancia de un punto A que será medida desde el 
origen al punto. 
 
Ejemplos de utilización de los sistemas de ejes rectangulares son los 
siguientes: 
 
2.1.2.	CONCEPTOS	NUMÉRICOS	
(ESCALARES	Y	VECTORES)	
 
Un concepto numérico (expresado) por un solo número se 
llama“escalar”, por ejemplo, la temperatura promedio en La Paz es 
de 12oC, esto significa que la temperatura es un escalar ya que 
puede ser descrita por medio de un simple número. Si la masa de 
una pequeña esfera es de 77[g], la masa es un escalar puesto que 
puede ser descrita por un número ¿verdad? 
Sin embargo, en la naturaleza existen también conceptos numéricos 
que requieren más de un número para su descripción. A un 
concepto numérico expresado mediante dos o más números se 
le denomina “vector”. Entonces un vectores un grupo ordenado 
de números lo que, como demostraremos enseguida, es equivalente 
a “un segmento de recta que tiene magnitud, dirección, sentido y 
que parte de un origen”. Por ejemplo, todo estudiante de la Carrera 
de Química Industrial sabe que una disolución está compuesta por un 
Solvente (el compuesto que disuelve)y un soluto (el que se disuelve 
 
 
en el solvente), si se disuelven en 10[g] de agua, 2[g] de cloruro de 
sodio (sal común), el vector disolución será: 
𝑑 = (𝑆, 𝑠) = (10,2) 
Donde el primer número (10) representa al Solvente, en tanto que, el 
segundo número (2) representa al soluto. 
Los Constructores Civiles saben que, para preparar una mezcla de 
hormigón, necesitan juntar arena, grava y cemento; de acuerdo a lo 
que se requiere los mezclarán, si un hormigón tiene la característica 
3:1:2, significa que tiene tres partes de arena, una de grava y dos de 
cemento. Se trata de un vector representado por: 
𝐻-.....⃑ = (𝐴, 𝐺, 𝐶) = (3,1,2) 
Los estudiantes de electrónica, electricidad y electromecánica saben 
queel circuito R-C-L de corriente alterna (fig. 2.6) necesita tres 
números para ser descrito, es decir, el valor de la resistencia (5W), el 
de la inductancia (2 H) y el del la capacitor (4 F), en el orden descrito. 
 
El vector circuito de la Fig. 2.3 será expresado entonces en la 
siguiente forma: 
𝐶 = (5,2,4) 
Los ejemplos muestran que los vectores pueden ser utilizados en el 
álgebra de pares ordenados y triadas.Un sistema de coordenadas es 
una colección de n-adas, que muestran un arreglo matemático. En un 
vector, el orden de los números es de suma importancia, no pudiendo 
ser intercambiados, por ejemplo, el vector forma de miss Universo 
será: 
�⃗� = (90,60,90) 
No es necesario decir de que se trata, todos lo sabemos. Pero, si se 
intercambiaran los números en la forma = (90,60,90), aunque los 
números sean los mismos, este vector no expresa ya la idea original. 
2.1.3.	COMPONENTES	DE	UN	VECTOR	
 
Son los números que forman parte de un vector, así el vector 
disolución 𝑑 = (10,2) tiene dos componentes y puede ser 
representado en el plano (x, y). El vector circuito 𝐶 = (5,2,2) tiene 
tres componentes y deberá ser representado en el espacio (x, y, z). 
El vector disolución es mostrado en la fig. 2.4.(a) y el vector circuito 
en la fig. 2.4.(b). 
 
Como puede verse, decir que un vector es un grupo ordenado de 
números es lo mismo que decir: Un vector es un segmento de recta 
con magnitud, dirección y sentido, y que, además tiene un punto 
de aplicación, como se esquematiza en la figura 2.5. 
 
2.1.4.	Magnitud	de	un	vector.	
 
Se denomina "magnitud de un vector" al tamaño o longitud que tiene 
dicho vector. La magnitud de un vector�⃗� puede ser representada de las 
siguientes formas: 
9𝐴9 = 𝐴 
 
 
Para fines prácticos, usamos la notación para representar a la 
magnitud del vector𝐴. 
 
2.1.5.	DIRECCIÓN	DE	UN	VECTOR.	
 
La “dirección de un vector” puede representarse por el ángulo que 
forma dicho vector con el eje de abcisas. Cuando se trata de un vector 
en una sola dimensión (horizontal o vertical)éste no formará ningún 
ángulo y podría ser expresado por su magnitud, sin embargo, en este 
libro será expresado como un vector. 
 
2.1.6.	SENTIDO	DE	UN	VECTOR	
 
El sentido de un vector es la orientación que éste tiene una vez 
definida su dirección, geométricamente, se representa por una flecha 
dirigida en un sentido al que consideramos positivo, si esa flecha gira 
en 180º, el sentido del vector será negativo, como puede verse en la 
figura 2.6. 
 
2.1.7.	PUNTO	DE	APLICACIÓN	DE	UN	
VECTOR	
 
Es el punto donde “empieza” el vector o donde se ubica la “cola” del 
vector. En general se encuentra ubicado en el origen de un sistema 
de coordenadas, pero también puede ubicarse en un punto diferente. 
 
En física, hay vectores de gran importancia. El vector desplazamiento 
es uno de ellos, pero ¿de qué se trata?, bien, diremos que el vector 
desplazamiento es el cambio de posición que experimenta un 
cuerpo. Por ejemplo, si un carro recorre una distancia D se trata de 
un desplazamiento y necesita dos números para su descripción. 
2.4.	SUMA	DE	VECTORES	
 
La suma de vectores se obtiene sumando sus componentes una a 
una, obteniéndose de este proceso un “vector resultante de la 
suma”.En la suma de vectores podemos ver claramente la diferencia 
entre un vector y un escalar. Por ejemplo, si tardas 9[s] en llegar a la 
puerta de tu casa y desde allá, 800[s] en llegar a la Facultad, el 
tiempo total de tu recorrido es 809[s], pues el tiempo es un escalar 
(sólo tiene magnitud, no dirección). 
Si se quieren sumar vectores debe tomarse en cuenta la dirección 
de los mismos, para hallar un vector resultante que tendrá 
magnitud, dirección y sentido. Lo que significa que la suma 
(incluyendo la resta) de vectores tienen su “propia álgebra” que es 
muy diferente a la simple aritmética de la suma de escalares. 
Si se tienen los vectores𝐴 = (2,3) y 𝐵.⃗ =(4,2), la suma será: 
𝑅.⃗ = (2 + 4; 3 + 2) = (6,5) 
 
Que representa un vector. 
 
A
 
 
2.4.1.		PROPIEDADES	DE	LA	SUMA	DE	
VECTORES	
 
Sean 𝐴. 𝐵.⃗ 𝑦𝐶, vectores. La suma de vectores tiene las siguientes 
propiedades: 
i) 𝐴 + 𝐵.⃗ = 𝐵.⃗ + 𝐴(Propiedad conmutativa) 
ii)𝐴 + @𝐵.⃗ + 𝐶A = @𝐴 + 𝐵.⃗ A + 𝐶(Propiedad asociativa) 
iii) 𝐴 − 𝐵.⃗ = 𝐴 + @−𝐵.⃗ A(Resta de vectores) 
La resta de vectores puede considerarse una suma, siempre y 
cuando al vector se le cambie el sentido, como se observa en la 
figura 2.21: 
 
Fig. 2.7 
 
2.4.2.	MÉTODO	DEL	PARALELOGRAMO	
 
Este método se basa en colocar los vectores 𝐴𝑦𝐵.⃗ a ser sumados en 
el origen de un sistema de ejes coordenados, trazar líneas paralelas 
a ambos vectores, de tal manera que se forme un paralelogramo. La 
diagonal del paralelogramo será la resultante de la suma, como se 
muestra en la figura 2.8Para demostrar lo que acabo de decirte, 
vamos a graficar los vectores�⃗�, 𝐵.⃗ 𝑦𝑅.⃗ de la sección anterior: 
 
 Fig. 2.8 Fig. 2.9 
Como se muestra en la figura 2.8, la resultante de la suma es la 
diagonal del paralelogramo formado por los vectores𝐴𝑦𝐵.⃗ . A esta 
manera gráfica de sumar vectores se le denomina el “Método del 
paralelogramo”; por supuesto, es posible sumar más de dos 
vectores mediante este método, obteniendo resultantes para cada par 
de vectores hasta obtener la resultante final. ¿Te diste cuenta que 
todos los vectores (tanto los que van a ser sumados como la 
resultante de la suma) parten del mismo origen? 
 
2.4.3.	MÉTODO	DEL	POLÍGONO	
 
Otra forma de sumar vectores es usando el “método del polígono” 
que consiste en colocar el origen del segundo vector𝐵.⃗ , en el extremo 
del primero, como muestra la figura. Usando este método se pueden 
sumar más de dos vectores, colocando simplemente el origen del 
siguiente (por ejemplo𝐶) en el extremo de𝐵.⃗ y así sucesivamente. La 
resultante será la unión del origen del primero con la flecha del último. 
 
Fig. 2.10 
 
 
 
2.4.4.		MÉTODO	ANALÍTICO	DE	LA	
SUMA	DE	VECTORES	
 
Es posible obtener la magnitud o tamaño de la suma de dos vectores 
sin tener que recurrir a gráficas, utilizando el método analítico de la 
suma de vectores. Si se tienen dos vectores 𝐴𝑦𝐵.⃗ , se sabe que la 
suma es la diagonal del paralelogramo formado por ambos vectores. 
 
Fig. 2.11.a 
 
Fig. 2.11.bFig. 2.11.c 
La figura 2.25.a muestra que, adicionando las cantidades C y D 
pueden obtenerse dos triángulos rectángulos, el de la figura 2.25.b y 
el de la figura 2.25.c; para el primero, usando el teorema de Pitágoras 
se tiene: 
𝑅C = (𝐵 + 𝐶)C + 𝐷C(2.2) 
																														𝑅C = 𝐵C + 2𝐵𝐶 + 𝐶C + 𝐷C																								(2.3) 
Para el segundo triángulo: 
𝑐𝑜𝑠𝜃 = I
J	
																																			(2.4) 
Reemplazando las dos últimas ecuaciones en la primera se obtiene: 
𝑅C = 𝐵C + 𝐴C + 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃(2.5) 
La magnitud de la resultante de la suma puede encontrarse 
analíticamente a condición de conocer el valor de la magnitud de los 
dos vectores a ser sumados y el ángulo que ellos forman entre sí. 
 
Fig. 2.12 
Para determinar la dirección de la resultante, se utiliza el “teorema de 
los senos” que relaciona las magnitudes con los ángulos opuestos. 
Recordémoslo, si se tiene un triángulo cualquiera, como en la figura 
2.12, se usa dicho teorema que tiene la siguiente forma: 
𝐴
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝐵
𝑠𝑒𝑛𝛽 =
𝐶
𝑠𝑒𝑛𝛾 
Para el caso que nos ocupa, hallaremos la dirección de la resultante 
a partir de la figura 2.11.b, si nos remitimos a ella, hallaremos: 
𝑅
𝑠𝑒𝑛90 =
𝐷
𝑠𝑒𝑛𝜑 
es decir: 
𝑠𝑒𝑛𝜑 =
𝐷
𝑅 
Por otra parte, de la figura 2.25.c se tiene: 
𝐷
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝐴
𝑠𝑒𝑛90 
𝐷 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 
Reemplazando la última ecuación en la anterior: 
𝑠𝑒𝑛𝜑 =
𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑅 
Además: 
 
 
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝐵 + 𝐶
𝑅 
Pero:																																										𝐶 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 
Entonces: 
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝐵 + 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑅 
Hallamos la tangente: 
𝑡𝑎𝑛𝜑 =
𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐵 + 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑅S
𝑅T
 
Ejemplo 2.1. Una pelota pateada por un niño recorre una distancia 
de 3[m] en dirección horizontal, la pelota choca contra un árbol y se 
desvía, formando un ángulo de 60º con la horizontal, recorriendo una 
distancia de 2[m]. Calcular el desplazamiento de la pelota. 
Estrategia de Resolución.Se encontrará la magnitud del vector 
desplazamiento usando el método analítico de la suma y 
posteriormente se determinará su dirección utilizando el teorema de 
los senos. 
 
1. Plantear la ecuación: 
𝐷C = 𝑑UC + 𝑑CC + 2𝑑U𝑑C𝑐𝑜𝑠𝜃 
2. Reemplazar valores: 
𝐷C = (3)C + (2)C + 2(2)(3)𝑐𝑜𝑠60º 
3. Efectuar los cálculos: 
𝐷 = √9 + 4 + 6 = √19 = 4.4[𝑚] 
4. Calcular la dirección 
𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑑C
=
𝑠𝑒𝑛60
𝐷 
𝑠𝑒𝑛𝜑 =
2𝑠𝑒𝑛60
4.4 = 0.4					 
𝜑 = 23.4º 
Ejemplo 2.2. ¡Trata de resolver! Un automóvil se desplaza 30[m] por 
una ruta que forma un ángulo de 30º con la horizontal y luego vira 
formando un ángulo de 45º, desplazándose una distancia de 30[m]. 
Calcular el vector desplazamiento del automóvil. 
Estrategia de Resolución. Puesto que se tienen dos vectores que 
deben ser sumados, la magnitud de la resultante puede ser obtenida 
por el método analítico. Para facilitar la resolución, vamos a inclinar el 
eje x en 30º, como muestra la figura. 
 
 Plantear la ecuación: 
𝐷C = 𝑑CC + 𝑑UC + 2𝑑C𝑑U𝑐𝑜𝑠45 
 Reemplazar valores: 
𝐷C = (30)C + (30)C + 2(30)(30)𝑐𝑜𝑠45 
𝐷 = 55.4[𝑚] 
 Calcular la dirección: 
𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑑C
=
𝑠𝑒𝑛45
𝐷 
 
 
𝑠𝑒𝑛𝜑 =
30𝑠𝑒𝑛45
55.4 = 0.38 
𝜑 = 22.5\ 
 
2.4.5.	MÉTODO	DE	LAS	COMPONENTES	
 
Consiste en dibujar la cola de todos los vectores en el origen de un 
sistema de ejes y descomponerlos a lo largo de ellos; las 
componentes en x e yse suman independientemente, de tal forma 
que quede una componente en x (Rx) y otra en y (Ry), la resultante es 
la suma vectorial de las resultantes hallada usando el teorema de 
Pitágoras, con lo que se encuentra la magnitud de la resultante R; 
como las componentes son perpendiculares entre sí, la dirección de 
R se encontrará utilizando la tangente del ángulo que forma ésta con 
el eje x.Las componentes de un vector pueden ser observadas en las 
siguientes figuras. 
 Fig. 2.13.a. Fig. 2.13.b Fig. 2.13.c 
En la figura 2.13.a se puede ver el vector desplazamiento 𝐷U....⃗ de un 
cuerpo, el mismo que puede ser “descompuesto” a lo largo de los 
ejes coordenados; en el eje x se encontrará D1x, ( D1cosa), en tanto 
que, en el eje y estará D1y = D1sena. En la figura 2.13.b se observa 
el vector velocidad �⃗� que forma un ángulo b con la horizontal, sus 
componentes a lo largo de los ejes coordenados serán vcosb y -
vsenb, esto porque la componente en y está dirigida en sentido 
negativo. La figura 2.13.c muestra al vector desplazamiento 𝐷C....⃗ que 
forma un ángulo g con la horizontal, pero su inicio está desplazado 
una cierta distancia del origen, sus componentes serán (D+D2cosg) y 
D2seng. Las componentes de la suma de dos vectores, se presentan 
a continuación: 
 
 Fig. 2.14 
Reglas Para Resolver Problemas 
En física existen muchos problemas en los que se utilizan vectores. 
Para facilitar el trabajo de resolverlos se da el siguiente resumen:| 
1.- La magnitud A y la dirección, θ, deben ser especificadas para 
encontrar el vector 𝐴....⃗ 
2.-Ax = Acosθ y Ay = Asenθ 
3.-Si se tienen A y θ es posible calcular Ax y Ay. 
4.-Si se conocen θ y Ax o Ay, pueden ser calculadas A y la otra 
componente. 
5.-Conociendo Ax y Ay, se pueden calcular A y θ. 
Ejemplo 2.4. Una canica llega al punto necesario para golpear a otra, 
en tres desplazamientos. El primer golpe mueve la canica 12.00[cm] 
al norte, el segundo 6.00[cm] al SE y el tercero 3.00[cm] al SO. ¿Cuál 
hubiera sido el desplazamiento de la canica para que choque con la 
otra al primer golpe? 
Estrategia de Resolución. La figura, muestra el recorrido de la canica. 
Para que choque con la otra en un solo golpe, es necesario que recorra 
la distancia dada por el vector 𝑅.⃗ . Para ello se determinan las 
componentes de cada uno de los vectores a lo largo de los dos ejes 
para luego calcular las componentes de la resultante en X e Y, 
posteriormente se hallará la magnitud del vector𝑅.⃗ mediante el teorema 
de Pitágoras. Sin embargo, como los vectores se definen por su 
magnitud y su dirección, se deberá encontrar la dirección del vector. 
 
 
1. Determinar las componentes de los tres vectores: 
𝐴T = 0.00 
𝐴S = 12.00[𝑐𝑚] 
𝐵T = 6.00𝑐𝑜𝑠45 = 4.24[𝑐𝑚] 
𝐵S = −6.00𝑐𝑜𝑠45 = −4.24[𝑐𝑚] 
𝐶T = −3[𝑐𝑚]𝑠𝑒𝑛45 = −2.12[𝑐𝑚] 
𝐶S = −3[𝑐𝑚]𝑠𝑒𝑛45 = −2.12[𝑐𝑚] 
2. Calcular las componentes de la resultante: 
𝑅T = 𝐴T + 𝐵T + 𝐶T = 0.00 + 4.24 − 2.12 = 2.12[𝑐𝑚] 
𝑅S = 𝐴S + 𝐵S + 𝐶S = 12.00 − 4.24 − 2.12 = 5.64[𝑐𝑚] 
3. Hallar la magnitud de R. 
𝑅 = ^𝑅TC + 𝑅TC = 6.03[𝑐𝑚] 
4. Determinar la dirección del vector: 
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑅T
𝑅S
=
5.64
2.12 = 2.6 
Ejemplo 2.5. ¡Trata de resolver! .Una cooperativa minera intenta 
alcanzar una veta de minerales complejos de plata. Para lograr su 
objetivo, un miembro de ésta confeccionó el esquema de ubicación de 
la veta, tal como se muestra en la figura 2.33. La intención de los 
cooperativistas es construir un túnel que recorra desde el lugar elegido 
como bocamina del grupo ubicada en el punto 0, hasta la veta ubicada 
en el punto B. Si la empresa ha de tener éxito ¿Que longitud y 
orientación debe tener el túnel? (Considerar que las distancias son A = 
24[m], B = 9[m] y C = 6[m]). 
 
Estrategia de Resolución. Se determinarán las componentes de cada 
uno de los vectores, así como las componentes de la resultante de la 
suma a lo largo de los ejes X e Y, para luego “componer” la magnitud 
del vector a partir de sus componentes utilizando el teorema de 
Pitágoras, luego se hallará el ángulo que el vector forma con el eje x. 
 
 Determinar las componentes de todos los vectores: 
𝐴S = (24.0[𝑚])𝑠𝑒𝑛21.5 = 8.8[𝑚] 
		𝐴T = (−24.0[𝑚])𝑐𝑜𝑠21.5 = −22.3[𝑚] 
𝐵T =0.0 
		𝐵S =9.0[𝑚] 
𝐶T = (6.0[𝑚])𝑐𝑜𝑠37 = 4.8[𝑚] 
									𝐶T = (6.0[𝑚])𝑠𝑒𝑛37 = 3.6[𝑚] 
 Calcular las componentes de la resultante: 
𝑅T = 𝐴T + 𝐵T + 𝐶T = −22.3 + 0.0 + 3.8 = −17.7[𝑚] 
𝑅S = 𝐴S + 𝐵S + 𝐶S = 8.8 + 9.0 + 3.6 = 21.4[𝑚] 
 Hallar la magnitud de la resultante por Pitágoras: 
𝑅 = ^𝑅TC + 𝑅SC = `(−7.5)C + (21.4)C = 27.6[𝑚] 
 Calcular la dirección a partir de la figura: 
𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑅S
𝑅T
=
21.4
17.5 = 1.223 
 
 
Ejemplo 2.6. ¡Trata de resolver! Un avión vuela desde su 
acampamento base hasta la ciudad A , ubicada a una distancia de 
520[km] en una dirección 75º al norte del este. Otro avión vuela desde 
la misma base hasta la ciudad B ubicada a 490[km]y 55º al oeste del 
norte. Demostrar, utilizando el método de las componentes, la distancia 
y la dirección desde la ciudad A hasta la ciudad B. 
Estrategia de resolución. Si bien no se tiene la gráfica del problema, 
la misma puede ser construida puesto que se tienen los datos para ello. 
Después de construida, te darás cuenta de que se trata de una resta de 
los vectores 𝐴𝑦𝐵.⃗ , es decir: 𝐷..⃗ = 𝐴 − 𝐵.⃗ . Tomando en cuenta esto, se 
usará el método de las componentes para encontrar lo requerido. 
 
 Determinar las componentes de los vectores𝐴𝑦𝐵.⃗ : 
𝐴T = (520)𝑐𝑜𝑠75 = 135[𝑘𝑚] 
𝐴S = (520)𝑠𝑒𝑛75 = 502[𝑘𝑚] 
						𝐵T = (−490)𝑠𝑒𝑛55 = −401[𝑘𝑚] 
𝐵S = (490)𝑐𝑜𝑠45 = 281[𝑘𝑚] 
 Calcular las componentes de la resultante: 
 
𝐷T = 𝐴T − 𝐵T = 135 + 401 = 536[𝑘𝑚] 
𝐷S = 𝐴S − 𝐵S = 502 − 281 = 221[𝑘𝑚] 
 Hallar la magnitud de la resultante por Pitágoras: 
𝐷 = ^𝐷TC + 𝐷SC = `536C + 221C = 580[𝑘𝑚] 
 Calcular la dirección a partir de la figura: 
tanα =
Dg
Dh
=
221
536 = 0.41 
α = 22.43\ 
Ejemplo 2.7. ¡Tratar de resolver! Dos turistas entran en un ex socavón 
de la mina de Huanuni. Parten de la bocamina y recorren juntos las 
siguientes distancias: 100[m] hacía el norte, 300[m] hacía el este, luego, 
el primero de ellos va a ver una veta que se encuentra a 125[m] 
formando un ángulo de 30o al norte del este, mientras que el segundo 
quiere ir a ver al “tío Ilaco”, para lo cual recorre una distancia 𝐷..⃗ , 
perpendicular a𝐶. Si la distancia entre los puntos V y T es E = 200[m] 
hacía el sur. ¿Cuánto caminó el segundo turista para llegar a su 
objetivo y en que dirección respecto al punto donde se separó de su 
compañero?. ¿Qué distancia separa la bocamina del punto T y cuál es 
la dirección de este último vector? 
 
Estrategia de Resolución. Hallar el desplazamiento utilizando el 
método analítico de la suma, teniendo en cuenta que 𝐸.⃗ = 𝐷..⃗ − 𝐶. 
Para determinar la distancia entre el punto 0 y el punto T se usa el 
método de las componentes, considerando el polígono formado por A, 
B, D y F; sumar todas las componentes en x para hallar Fx y todas las 
componentes en y para determinar FY; Usar el teorema de Pitágoras 
para hallar la magnitud de la resultante y, finalmente, calcular la 
dirección. 
 Calcular D: 
𝐷C = 𝐶C + 𝐸C − 2𝐶𝐸𝑐𝑜𝑠60 
𝐷C = (125)C + (200)C − 2(125)(200)𝑐𝑜𝑠60 
𝐷 = 175[𝑚] 
 
 
 Hallar componentes en X: 
Ah = 0 
Bh = 300[m] 
Dh = 175cos60 = 88[m] 
 Hallar componentes en Y: 
	Ah = 100[m] 
Bh = 0 
Dh = 175sen60 = 152[m] 
 Calcular Fx: 
𝐹T = 𝐴T + 𝐵T + 𝐷T = 300 + 88 = 388[𝑚] 
2.1.	INTRODUCCIÓN	A	LA	
CINEMÁTICA	
 
La mecánica requiere de un análisis del movimiento que considere 
solamente el espacio y el tiempo y no otros factores externos, este es 
el caso de la cinemática que estudia el movimiento de los cuerpos 
desde el punto de vista de cómo se mueven éstos, es decir, no se 
toman en cuentan las causas del movimiento. Por tanto, en 
cinemática lo que hacemos es “ver” cómo se mueve un cuerpo. Esto 
significa saber dónde está, cuál es su velocidad y si es constante o 
no. Es preciso señalar que existen tres tipos de movimientos: el de 
traslación, el de rotación y el de vibración.Es importante definir 
algunos términos tales como: 
 
2.2.1				PARTÍCULA	
 
Se define a la partícula como un punto del espacio al que se 
leasigna una masa. Para facilitar el estudio, se hará una abstracción 
matemática llamada “partícula”, es decir, una masa sin 
dimensiones. Desde ahora y hasta que se diga lo contrario, todo 
objeto de estudio será una partícula, incluidos, los estudiantes, los 
automóviles, etc. 
2.2.2.	SISTEMA	FÍSICO	
 
En mecánica, un sistema físico es una colección de partículas que 
interactúan entre ellas, así como con su medio. Cada una de las 
partículas del sistema tiene una posición y un movimiento. 
 
2.2.3.		TRAYECTORIA	
 
Es la unión de los puntos por donde pasa un cuerpo en su 
movimiento, por ejemplo si sobre la cabeza de una persona que 
descansa bajo un árbol cae una fruta, desde el momento de la caída 
hasta el choque de la fruta con la cabeza, ella pasa por un número 
infinito de puntos en línea recta vertical; si se unen todos esos puntos 
se tendrá una “trayectoria recta vertical”; al chocar con la cabeza, 
la fruta pasará por una serie de puntos que, unidos, forman una 
parábola, entonces, en ese tramo se tiene una “trayectoria 
parabólica”, como se muestra en la figura (2.16). Cabe mencionar 
que la trayectoria es un escalar. 
 
 
 
2.2.4.	EL	VECTOR	DESPLAZAMIENTO	
 
 
Se define al vector desplazamiento como el cambio de posición que 
experimenta una partícula. ¿Te diste cuenta que no es lo mismo 
“trayectoria” que “desplazamiento”?, para que lo entiendas mejor 
veremos algunos ejemplos mostrados en las figuras 2.9.a, 2.9.b y 
2.9.c 
 
La figura 2.17.a muestra la trayectoria de la fruta de la figura 2.17.b 
(línea punteada), y también el vector desplazamiento (unión entre A y 
B). En la figura 2.17.b se observa en línea punteada la sinuosa 
trayectoria de una partícula que parte del punto A para llegar al punto 
B, así como el vector desplazamiento; lo mismo puede verse en la 
figura 2.17.c. 
 
2.2.5.	SISTEMA	DE	REFERENCIA	
 
Es un punto desde el cual se observa el movimiento de un cuerpo. 
¿Quién observa? Obviamente, un “observador”,¿desde dónde 
observa?, para responder eso, tendremos que fijar un punto de 
observación que debe estar referenciado, es decir, por él deben 
pasar un sistema de ejes coordenados. Por tanto, un sistema de 
referencia se encuentra compuesto de un sistema físico y un 
sistema de ejes coordenados.La figura (2.18) representa un 
sistema de referencia. 
 
Cuando se dice que la posición de un auto es de 50[m], debe decir 
necesariamente 50[m] medidos desde dónde. Tú puedes decir que 
estás a 20[m] de tu casa pero a 188[m] del laboratorio de física, es 
decir, la frase “estoy a 20[m]” no significa nada, puesto que hay que 
aclarar desde dónde. 
Para describir el movimiento, y también para resolver problemas de 
cinemática, es preciso fijar un sistema de referencia. Por ejemplo, se 
puede decir voy a medir todas las distancias desde la puerta de mi 
casa, o voy a medirlas siempre desde el árbol que se encuentra al 
salir del Edificio Central de la Universidad.El punto desde el que se 
mide es el punto 0 (origen del sistema de referencia o nivel de 
referencia), y todas las distancias se medirán desde ahí. En ese 
punto 0 debe colocarse un sistema de ejes coordenados x – y, con lo 
cual se ha construido un sistema de referencia, es decir, todas las 
distancias que se miden están referidas a él. 
 
Si un astrónomo observa el movimiento de la Luna con un telescopio, 
la conclusión que saca es que la Luna gira alrededor de la Tierra. 
Otro astrónomo observando el movimiento de la Tierra en la 
Luna,concluirá que la Tierra gira alrededor de la Luna ¿cuál de los 
dos tiene razón? Ambos, pues la conclusión depende del sistema de 
referencia que, en el primer caso es la Tierra y en el segundo la Luna. 
 
 
 
Asimismo, una persona “parada” esperando un micro que pasa frente 
a ella con una velocidad de 20[m/s] dirá que el micro se mueve a esa 
velocidad, mientras que un niño “sentado” en un asiento del micro 
verá que la persona se aleja a 20[m/s] y tiene razón ¿verdad?, claro, 
desde el punto de vista del niño, él está sentado (en reposo) y será 
todo lo que esté fuera del micro lo que está en movimiento, como se 
muestra en la figura 2.21. 
 
 
Los sistemas de referencia pueden ser inerciales y no inerciales.Un 
Sistema de Referencia Inercial es aquel que se encuentra en 
reposo o se mueve con velocidad constante. Si en una camioneta se 
encuentra un observador estudiando el movimiento de un cuerpo que 
se desplaza sobre una mesa horizontal, colocada sobre la parte 
posterior de la camioneta, dirá que la camioneta está en reposo 
respecto de un sistema de coordenadas, “sistema fijo”, el observador 
verifica,por ejemplo, que el cuerpo inicialmente en reposo, continúa 
en reposo; o inicialmente en movimiento rectilíneo uniforme continúa 
con ese movimiento. 
Si la camioneta se traslada con velocidad constante respecto del 
sistema inercial fijo, lo mencionado se cumplirá para un observador 
O’ en el interior de la camioneta. Si para el mencionado observador, 
el cuerpo apoyado sobre la mesa está en reposo en un momento 
dado, para un observador en el sistema inercial O, ese cuerpo tendrá 
la velocidad de la camioneta. 
 
Un Sistema de Referencia no Inercial es el que se mueve con 
velocidad variable. Desde este de sistema también puede observarse 
el movimiento de otros cuerpos pero, el hecho de que el sistema sea 
acelerado genera “ciertas deformaciones” en lo que se observa, por 
ejemplosi estás en una montaña rusa en movimiento acelerado y se 
te ocurre observar lo que pasa “abajo”, por ejemplo el desplazamiento 
de una persona, verás que el mismo es diferente que cuando lo 
observas desde un sistema de referencia inercial, como en la figura 
2.23. 
 
 
 
 
Igual que en el caso anterior, supongamos que la camioneta O’ parte 
del reposo con una aceleración constante a. Para el observador fijo 
O, el cuerpo en reposo sobre la mesa de la camioneta permanecerá 
en reposo respecto al sistema inercial O, pero no permanecerá en 
reposo respecto de la mesa. Para el observador O’ en la camioneta 
acelerada, apoyado sobre la mesa no permanecerá en reposo sino 
que iniciará un movimiento uniformemente acelerado, esta 
aceleración es de la misma magnitud pero de sentido contrario a la 
aceleración de la camioneta. 
2.2.6.	VARIABLES	CINEMÁTICAS	
 
La cinemática presenta variables que se denominan variables 
cinemáticas; estas son: posición, velocidad y aceleración. Definamos 
cada una de ellas. 
POSICIÓN ( ) 
La posición que tiene una partícula es un punto referenciado donde 
se encuentra dicha partícula La posición se define como el vector que 
une el punto donde se encuentra una partícula con el origen de un 
sistema de referencia.El vector posición 𝑟consta de tres 
componentes, por tanto𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧). Debe aclararse que pueden 
existir posiciones negativas, esto se da cuando el objeto se encuentra 
en el eje negativo de un sistema de referencia, por ejemplo: 
 
 
 
 
 
En la figura 2.26, si definimos como positiva la dirección hacía la 
derecha, el estudiante A se encuentra a 2.0[m] del origen del sistema 
de referencia, en tanto que, el estudiante B estará en una posición de 
–1.5[m] respecto a dicho origen. Las unidades de la posición son 
unidades de longitud. En el SI será el [m]. 
 
DESPLAZAMIENTO @𝑫..⃗ A 
Se define el desplazamiento como el cambio de posición de una 
partícula. En la figura 2.27 se observa la partícula que se encuentra 
en la posición 𝑟U, si ésta se desplaza hasta la posición �⃗�U, ha 
cambiado de posición. El desplazamiento resulta de la resta vectorial 
entre�⃗�U y 𝑟C, y. Entonces, el vector desplazamiento ∆𝑟será 
expresado como: 
∆𝑟 = 𝑟C − �⃗�U 
 
 
Si una partícula se encuentra en el punto A y se desplaza hasta el 
punto B, como muestra la figura 2.28.a. El vector desplazamiento 
será la unión de los puntos AB, mediante un vector. 
El movimiento de una partícula se describe en su totalidad mediante 
una gráfica que relacione la posición con el tiempo. Tomemos el 
tiempo en el eje de abcisas y la posición en el eje de ordenadas y 
procedemos a graficar cada posición en función del tiempo. Si la 
partícula se mueve desde la posición x1 hasta la posición x, el 
r!
 
 
desplazamiento de la misma es ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥U, sin importar cual fue 
la trayectoria. 
 
 
Por ejemplo, si la variación de la posición en el tiempo está dada por 
la siguiente expresión: 
𝑥 = 2𝑡C − 3𝑡 
Se puede realizar la gráfica posición tiempo, para lo cual daremos 
valores a t y calcularemos x: 
n t[s] x[m] 
1 0 0 
2 1 -1 
3 2 2 
4 3 9 
5 4 20 
 
Podemos calcular también el desplazamiento en cada uno de los 
intervalos de tiempo de 1[s]. 
∆𝑥\vU = 𝑥U − 𝑥\ = −1 − 0 = −1[𝑚] 
∆𝑥UvC = 𝑥C − 𝑥U = 2 − (−1) = 3[𝑚] 
∆𝑥Cvw = 𝑥w − 𝑥C = 9 − 2 = 7[𝑚] 
∆𝑥wvx = 𝑥x − 𝑥w = 20 − 12 = 8[𝑚] 
 
VELOCIDAD ( ) 
La velocidad es la variación de la posición en el tiempo. Si un cuerpo 
se encuentra inicialmente en una posición xo en el tiempo to y, 
transcurrido un tiempo t, la nueva posición de la partícula es x, como 
se muestra en la figura, significa que la partícula se ha movido de su 
posición original, es decir, ha adquirido velocidad, ha variado su 
posición en el tiempo. Muchas veces escuchaste la palabra 
“rapidez” y quizá pensaste que se trataba de velocidad, por ejemplo 
se dice que el jugador Ronaldinho del Brasil es muy rápido o muy 
veloz. Ambos términos no significan lo mismo.La rapidez es la tasa 
entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en esa distancia, se 
trata de un escalar. En otras palabras la rapidez es la magnitud de la 
velocidad. 
La velocidad media (promedio de todas las velocidades de un cuerpo 
en su desplazamiento) puede ser calculada de las siguientes formas: 
v!
 
 
𝑣y =
∆T⃗
∆z
= TvT{
zvz{
																																	3.1.a 
𝑣y =
|.⃗ }v|.⃗ {
C
																																													3.1.b 
 
 
Sin embargo, generalmente se desea conocer la velocidad en un 
determinado punto, es decir, en un instante de tiempo particular y no 
en un intervalo. A la velocidad en esas condiciones se le llama 
velocidad instantánea. 
 
La figura 2.31 muestrala gráfica posición- tiempo, la curva representa 
a la velocidad, para conocer la velocidad instantánea en el punto P, 
se toma un intervalo Dt, al que le corresponde un intervalo Dx; si se 
tratara de un triángulo, los catetos serían Dt y Dx, pero ¡no es un 
triángulo! porque la hipotenusa es curva, para tener un verdadero 
triángulo, se debe llegaral punto P donde Dt tiende a cero, puesto que 
Dt se ha minimizado, también lo ha hecho Dx, entonces, en el punto 
P se tiene un diminuto triangulo verdadero cuya tangente representa 
a la velocidad, es decir, la velocidad es la tangente de una curva en 
un punto. Para determinarla y, puesto que la velocidad, al igual que la 
derivada es la tangente de una curva en un punto, (ver Apéndice 1) 
se tendrá: 
𝒗..⃗ = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝒙..⃗
∆𝒕
= 𝒅𝒙..⃗
𝒅𝒕
																																						(2.6) 
Las unidades de la velocidad en el SI son [m/s]. 
ACELERACIÓN ( ) 
La aceleración es la variación de la velocidad en el tiempo. Si el 
automóvil del ejemplo ha cambiado de velocidad al transcurrir el 
tiempo, (figura 2.32), se dice que ha adquirido aceleración, la que 
puede ser positiva (aumento develocidad) o negativa (disminución de 
velocidad). 
La aceleración media, (promedio de todas las aceleraciones que tuvo 
el objeto en movimiento durante toda su trayectoria), puede ser 
calculada mediante la siguiente ecuación: 
�⃗�y =
∆|.⃗
∆z
= |v|{
zvz{
 (2.7) 
 
Análogamente a lo que hicimos en la sección anterior, graficamos la 
velocidad en función del tiempo (figura 2.33), la curva es la 
aceleración. Para conocer la aceleración instantánea en el punto P, 
utilizaremos el mismo razonamiento que para la velocidad, haciendo 
que Dt tienda a cero. En el punto P se tendrá la aceleración 
instantánea en el punto B. 
 
Para determinarla usamos la ecuación 6 del Apéndice 1. 
𝒂..⃗ = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝒗..⃗
∆𝒕
= 𝒅𝒗..⃗
𝒅𝒕
																																(2.8) 
La unidad de la aceleración en el SI es [m/s2]. 
a!
 
 
2.2.	MOVIMIENTO	EN	UNA	
DIMENSIÓN	
 
Este movimiento se realiza a lo largo de una recta referenciada (un 
solo eje) que puede ser horizontal (x) o vertical (y). Dicho eje servirá 
como sistema de referencia. Ya que la posición es un vector 𝑟 =
(𝑥, 𝑦, 𝑧), podemos decir que 𝑟 = 𝑥, por tanto, el tratamiento es 
vectorial. 
 
2.3.1.	MOVIMIENTO	RECTILÍNEO	
UNIFORME	(MRU)	
 
Este tipo de movimiento se realiza a lo largo de una “línea recta”,y 
por ser uniforme, tiene “velocidad constante”, lo que permite 
afirmar que la partícula recorre distancias iguales en tiempos iguales. 
Al no cambiar la velocidad, el objeto que se mueve no acelera. Es 
decir, en el MRU la aceleración es cero.Por tanto, las características 
que presenta este tipo de movimiento respecto de las variables 
cinemáticas son: 
a) aceleración:�⃗� = 0. 
(Esto debido a que, por definición, la velocidad es constante). 
b) velocidad: �⃗� = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
c) posición (x): Para determinar la posición, debe integrarse la 
ecuación (3.2): 
�⃗� =
𝑑𝑥
𝑑𝑡 ⇒ 𝑑�⃗� = �⃗�𝑑𝑡 
� 𝑑�⃗� = �⃗�
T
T{
� 𝑑𝑡
z
\
 
�⃗� − 𝑥\....⃗ = �⃗�(𝑡 − 0) 
Por tanto, la ecuación de la posición en función del tiempo será: 
�⃗� = 𝑥\....⃗ + �⃗�(𝑡 − 𝑡\) 
Si el movimiento empieza en t0 = 0 y x = x0, la ecuación queda: 
�⃗� = �⃗�𝑡																																							 (2.9)
 
La ecuación 3.5 fue deducida utilizando Cálculo. Alternativamente, 
puede ser deducida algebraicamente, como sigue: Sabemos que: 
𝑣 =
𝛥�⃗�
𝛥𝑡 =
�⃗� − 𝑥\....⃗
𝑡 − 𝑡\
 
 
�⃗� − 𝑥\....⃗ = �⃗�(𝑡 − 𝑡\) 
 
�⃗� = 𝑥\....⃗ + �⃗�(𝑡 − 𝑡\) 
¡El resultado es el mismo! 
Ahora, si se considera que t0 = 0 y x0 =0 tendremos: 
𝑥 = �⃗�𝑡 
 
GRÁFICAS DE LAS VARIABLES CINEMÁTICAS EN 
FUNCIÓN DEL TIEMPO 
 
i) ACELERACIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO 
Debido a que la velocidad es constante, es decir, no cambia en el 
tiempo, la aceleración para cualquier tiempo será cero, entonces la 
gráfica es una recta que pasa por el eje de los tiempos. 
 
 
 
ii) VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO 
Puesto que la velocidad es constante, no varía en el tiempo y, para 
cualquier tiempo se tendrásiempre la misma velocidad; la gráfica será 
una recta paralela al eje del tiempo. 
 
 
iii) POSICIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO 
Tomando la ecuación x = vt, se tiene que para el tiempo cero, la 
posición será también cero, por tanto, la gráfica será una recta cuya 
pendiente es la velocidad ¡SIEMPRE!. 
 
 
Ejemplo 2.8 ¡Trata de resolver! Dos autos A y B parten de La Paz a 
Viacha con velocidades de 25[m/s] y 35[m/s], respectivamente. 
Simultáneamente, de Viacha parte un tercer móvil C con una 
velocidad de 45[m/s] hacía La Paz. Si la distancia entre La Paz y 
Viacha es de 1500[m]. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que el 
tercer móvil equidiste a los otros dos? 
Estrategia de Resolución. En primer lugar, hagamos la modelación 
(un esquema inicial y uno final del problema), teniendo en cuenta que 
el tercer móvil debe encontrarse a la misma distancia tanto del 
primero como del segundo. 
 
Relacionar desplazamientos. 
𝑥J + 𝑥I = 1500 
 
 Escribir las ecuaciones (Reemplazar x =vt) 
𝑣J𝑡J + 𝑣I𝑡I = 1500 
 
 Relacionar tiempos: Puesto que A y C partieron en el 
mismo instante: 
𝑡J = 𝑡I = 𝑡 
 
 Reemplazar valores: 
35𝑡 + 45𝑡 = 150 
 
 
𝑡 =
1500[𝑚]
80[𝑚 𝑠⁄ ]
= 18.75[𝑠] 
 
 Calcular el desplazamiento de A: 
𝑥J = 𝑣J𝑡 = (35[𝑚 𝑠⁄ ])(18.75[𝑠]) = 656.25[𝑚] 
 
 Calcular el desplazamiento de B: 
𝑥� = 𝑣�𝑡 = (25[𝑚 𝑠⁄ ])(18.75[𝑠]) = 468.75[𝑚] 
 
 Relacionar desplazamientos a partir de la figura: 
𝑥I + 𝑥 + 𝑥J = 𝑥� − 𝑥J 
 Reemplazando: 
𝑣I𝑡 + 𝑣�𝑡 + 𝑣I𝑡 + 𝑣J𝑡 = (2𝑣I + 𝑣� + 𝑣J)𝑡 = 187.5[𝑚] 
𝑡 =
187.5[𝑚]
(90 + 35 + 25)[𝑚 𝑠⁄ ]
= 1.25[𝑠] 
 
Ejemplo 2.9. Un Jefe de Carrera de la Facultad sale desde la posición 
xo = 400[km] a las 8 de la mañana y llega a la posición xf = 700[km] a 
las 11 a.m. Media hora después de que partió, sale su perrito y lo 
alcanza justo cuando el jefe llega a la posición final. Si ambos corren 
en línea recta y a velocidad constante: (a) Tomar un sistema de 
referencia y representar lo descrito en el problema, es decir, realizar 
la modelación del problema. (b) Calcular cuál fue su velocidad, tanto 
en [km/h] como en [m/s]. (c)Escribir las tres ecuaciones de 
movimiento y verificarlas. (d) Calcular el desplazamiento a las 9 y a 
las 10 a.m. (e) Calcular la velocidad del perrito. (f) Graficar la posición 
en función del tiempo para el jefe y el perrito. (g) El sistema de 
referencia elegido será el siguiente: 
 
a) La velocidad con la que se movió será calculada de la forma: 
𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡 =
𝑥�v𝑥\
𝑡� − 𝑡\
 
 
𝑣 =
700[𝑘𝑚] − 400[𝑘𝑚]
11[ℎ] − 8[ℎ] =
300[𝑘𝑚]
3[ℎ] = 100�
𝑘𝑚
ℎ� � 
 
Para pasar de [km/h] a [m/s] se puede hacer lo siguiente: 1[km] = 
1000[m] y, 1[h] equivale a 3600[s], entonces: 
 
100�𝑘𝑚 ℎ� � = 100 ∗
1000[𝑚]
3600[𝑠] =
100[𝑚]
3.6[𝑠] 
 
El número 3.6 que está en el denominador, proporciona una regla 
que puede ser usada ¡SIEMPRE! 
 
 
 
REGLA PARA PASAR DE [km/h] A [m/s] Y VICEVERSA 
 
b) Las ecuaciones de movimiento en el MRU son, como sabemos: 
𝑥 = 400[𝑘𝑚] + 100�𝑘𝑚 ℎ� �(𝑡 − 8[ℎ]) 
𝑣 = 100�𝑘𝑚 ℎ� � 
𝑎 = 0 
Por otra parte, verificar las ecuaciones de movimiento significa 
comprobar que están planteadas correctamente. A simple vista, las 
ecuaciones 2 y 3 están correctamente planteadas, entonces se debe 
verificar la ecuación 1. Si la ecuación está bien planteada, al 
reemplazar t = 8[h] (to), la posición debe valer 400[km] (xo), 
reemplazando estos valores en la ecuación: 
𝑥 = 400[𝑘𝑚] + 100�𝑘𝑚 ℎ� �(𝑡 − 8[ℎ]) 
𝑥 = 400[𝑘𝑚] + 100�𝑘𝑚 ℎ� �(8 − 8[ℎ]) = 400[𝑘𝑚] 
Asimismo, para t = 11[h], el desplazamiento deberá ser x = 700[km], 
entonces: 
𝑥 = 400[𝑘𝑚] + 100�𝑘𝑚 ℎ� �(11 − 8[ℎ]) = 700[𝑘𝑚] 
Como ambos resultados están correctos, las ecuaciones están 
verificadas. 
c) Para calcular el desplazamiento a las 9[h] y a las 10[h], se 
reemplazan estos valores en la ecuación: 
𝑥 = 400[𝑘𝑚] + 100�𝑘𝑚 ℎ� �(9 − 8[ℎ]) = 500[𝑘𝑚] 
𝑥 = 400[𝑘𝑚] + 100�𝑘𝑚 ℎ� �(10 − 8[ℎ]) = 600[𝑘𝑚] 
d) Con el fin de calcular la velocidad constante del perrito, se debe 
tener en cuenta que su desplazamiento es el mismo que el del 
jefe, 300[km], en tanto que el tiempo será 0.5[h] menor que la del 
jefe, es decir, 2.5[h]. La ecuación a ser utilizada será: 
𝑣� =
300[𝑘𝑚]
2.5[ℎ] = 120�
𝑘𝑚
ℎ� � 
e) A objeto de graficar la posición en función del tiempo de ambos 
móviles se deberá trazar un sistema de ejes coordenados, como 
muestra la figura. 
 
Relacionar desplazamientos. 
𝑥J + 𝑥I = 1500 
 Escribir las ecuaciones (Reemplazar x=vt) 
𝑣J𝑡J + 𝑣I𝑡I = 1500 
 
2.3.2.	 MOVIMIENTO	 RECTILÍNEO	
UNIFORMEMENTE	ACELERADO	
	
	
Este tipo de movimiento se caracteriza por realizarse a lo largo 
de una línea recta, además, tiene “aceleración constante”, 
esto significa que la velocidad de la partícula cambiará con el 
 
PARA PASAR DE [km/h] A [m/s] SE DEBE DIVIDIR ENTRE 3.6. 
PARA PASAR DE [m/s] A [km/h] SE DEBE MULTIPLICAR POR 3.6 
 
 
tiempo. Este cambio, es decir la aceleración, puede ser positiva 
o negativa. Es positiva cuando la velocidad aumenta y es 
negativa cuando la velocidad disminuye. Suponiendo que un 
auto se encuentra en reposo y empieza a moverse y cada vez se 
mueve más rápido, esto demuestra que su velocidad va 
cambiando con el tiempo y, si esto ocurre, el auto está 
acelerando. Un movimiento es uniformemente acelerado si la 
velocidadcambia la misma cantidaden cada segundo que 
pasa. Por ejemplo: 
 ¿un fantasma? 
 
En la figura 2.37, cuando la muchacha ve al fantasma y empieza a 
correr, después de 1[s] su velocidad es de 1[m/s] y después de 2[s] 
esa velocidad cambia a 2[m/s], lo que significa que la velocidad está 
aumentando de manera uniforme a razón de 1[m/s] en cada segundo, 
es decir 1m/s/s, por tanto tiene aceleración constante.Las 
características de este de movimiento en relación a las variables 
cinemáticas serán: 
a) aceleración: a = cte 
b) velocidad: Para determinar la ecuación que relaciona a la 
velocidad con el tiempo, se usará la ecuación 2.6 cuyas variables 
son la velocidad y el tiempo, puesto quela aceleración es 
constante.: 
�⃗� = �|.⃗
�z
 (2.10) 
Suponiendo que el automóvil que tomamos como ejemplo tenga en 
el tiempo t = 0 una velocidad inicial vo y en el tiempo t una velocidad 
v, como se muestra en la figura; integrando la ecuación de 
referencia se tiene: 
�⃗� =
𝑑𝑣
𝑑𝑡 ⟹ 𝑑�⃗� = �⃗�𝑑𝑡 
� 𝑑
|
|{
�⃗� = �⃗� � 𝑑𝑡
z
\
 
�⃗� − �⃗�\ = �⃗�(𝑡 − 0) 
�⃗� = 𝑣\ + �⃗�𝑡																																			(2.11) 
Hagamos ahora la deducción algebraica. Sabemos que la 
aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo 
�⃗� =
∆�⃗�
∆𝑡 =
�⃗� − �⃗�\
𝑡 − 𝑡\
 
�⃗�(𝑡 − 𝑡\) = �⃗� − �⃗�\ 
𝑣 = �⃗�\ + �⃗�(𝑡 − 𝑡\) 
Si t0 = 0 
�⃗� = 𝑣\ + �⃗�𝑡 
c) Posición: Para determinar la posición en función del tiempo en 
este tipo de movimiento se usará e integrará la ecuación, 
introduciendo en ella la ecuación (2.10): 
�⃗� =
𝑑�⃗�
𝑑𝑡 → 𝑑𝑥 = �⃗�𝑑𝑡 
𝑑�⃗� = (�⃗�\ + �⃗�𝑡)𝑑𝑡 
𝑑�⃗� = (�⃗�\𝑑𝑡 + �⃗�𝑡𝑑𝑡) 
� 𝑑�⃗�
T
T{
= �⃗�\ � 𝑑𝑡
z
\
+ �⃗�� 𝑡𝑑𝑡
z
\
 
�⃗� = �⃗�\ + �⃗�\𝑡 +
U
C
�⃗�𝑡C																	(2.12) 
Deduciendo algebraicamente: 
�⃗�y =
�⃗� + �⃗�\
2 
 
 
�⃗�y =
∆�⃗�
∆𝑡 =
�⃗� − �⃗�\
𝑡 − 𝑡\
 
Finalmente, pueden combinarse las ecuaciones 
�⃗� =
𝑑𝑣
𝑑𝑡 	𝑦	𝑣...⃗ =
𝑑�⃗�
𝑑𝑡 
para obtener la ecuación auxiliar, se despeja la diferencial del 
tiempo en ambas ecuaciones: 
𝑑𝑡 =
𝑑�⃗�
�⃗� 
𝑑𝑡 =
𝑑𝑥
�⃗� 
Igualando las dos anteriores ecuaciones e integrando: 
𝑑�⃗�
�⃗� =
𝑑�⃗�
�⃗� 
�⃗�𝑑�⃗� = �⃗�𝑑�⃗� 
�⃗� � 𝑑�⃗� =
T
\
� �⃗�𝑑𝑣
|
|{
 
�⃗�C = �⃗�\C + 2�⃗��⃗� (2.13) 
 
Para deducir algebraicamente esta ecuación, consideraremos la 
ecuación: 
�⃗� =
�⃗� − �⃗�\
∆𝑡 
Reemplazando esta expresión en la ecuación 3.8 se tiene: 
∆�⃗� = �⃗�\ �
�⃗� − �⃗�\
�⃗� � +
1
2 �⃗� �
�⃗� − 𝑣\
�⃗� �
C
 
∆�⃗� = �⃗�\ �
�⃗�C − �⃗�\C
�⃗� � 
Si ∆�⃗� = 𝑥 − �⃗�\;	𝑥\ = 0. 
Tendremos que: 
	𝑣...⃗ C = �⃗�\C + 2�⃗��⃗� 
Las ecuaciones utilizadas para resolver problemas serán, entonces: 
 �⃗� = 𝑣\ + �⃗�𝑡 
 	𝑥..⃗ = �⃗�\ + �⃗�\𝑡 +
U
C
�⃗�𝑡C 
𝑣C = �⃗�\C + 2�⃗��⃗� 
 
GRÁFICAS DE LAS VARIABLES CINEMÁTICAS EN 
FUNCIÓN DEL TIEMPO 
i) ACELERACIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO 
Ya que la aceleración es constante (no cambia de valor en el tiempo), 
la gráfica de la aceleración en función del tiempo será una recta 
paralela al eje de los tiempos. 
 
ii) VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO 
La gráfica de velocidad en función del tiempo es una recta cuya 
ordenada en el origen es la velocidad inicial vo y cuya pendiente es 
la aceleración. 
 
 
 
iii) POSICIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO 
La gráfica de la posición en función del tiempo es, evidentemente, 
una semiparábola que pasa por el origen.Para aceleraciones 
positivas se tomará la parte superior de la parábola, en tanto que, 
para aceleraciones negativas se toma la parte inferior de ella. 
 
 
Para resolver problemas en este tipo de movimiento se deben cumplir 
las siguientes condiciones de resolución: 
 - Deben tenerse tres datos. 
 - Deben tenerse dos datos y una condición. 
 
Estrategia de resolución de problemas 
Para resolver cualquier problema, siempre se debe tener una 
estrategia de resolución que cuenta, en general, con los siguientes 
pasos: 
a) Determinar el sistema de referencia. 
b) Realizar la modelación del problema (Hacer un diagrama del 
problema, anotando en él todos los datos). 
c) Relacionar posiciones (en caso de que se tengan dos 
cuerpos). 
d) Relacionar tiempos (en caso de que se tengan dos cuerpos). 
e) Determinar las ecuaciones a ser utilizadas. 
Ejemplo 2.10. Un estudiante de mecánica automotriz está probando 
el motor del auto que él reparó, para lo cual parte del reposo y 
acelera a razón de 2[m/s2] durante 10[s], luego se mueve una 
distancia de 100[m] a velocidad constante y, finalmente, desacelera a 
razón de 4[m/s2] hasta detenerse. Calcular: (a) la distancia total 
recorrida; (b) el tiempo total empleado en ese recorrido; (c) graficar la 
velocidad y la posición en función del tiempo. 
El diagrama del problema será el siguiente: 
 
Estrategia de resolución: El problema plantea tres fases de 
movimiento, si te fijas bien, cada fase está encerrada en una elipse, 
eso significa que, a cada etapa se le ha colocado una frontera, esta 
es imaginaria y sirve para resolver el problema por etapas. En la 
primera frontera el auto parte del reposo (vo1 = 0). Si se elige la 
dirección del movimiento como positiva, la posición, la velocidad y la 
aceleración serán positivas; en este paso podrá determinarse la 
velocidad final (v1) en la fase (I). La frontera (II) plantea un 
movimiento con velocidad constante, ésta velocidad es v1. En la fase 
(III), determinada por la frontera III, si la dirección del movimiento es 
positiva, la velocidad inicial (v1) será positiva, en tanto que la 
aceleración será negativa. 
Fase I: En ella se tiene vo = 0; a = 2[m/s2] y t = 10[s] (tres datos) y 
puede hallarse la distancia recorrida x1, que puede ser calculada. 
i) vo = 0; x se relaciona con a y t, la ecuación usada: 
�⃗�U = �⃗�\𝑡U +
1
2 �⃗�U𝑡U
C
 
ii) Se reemplazan datos: 
�⃗�U =
1
2
(2)(10)C = 100[𝑚] 
iii) Se calcula la velocidad final en base a los datos: 
�⃗�U = �⃗�𝑡 = (2)(10) = 20[𝑚 𝑠⁄ ] 
 
 
Fase II. El movimiento es rectilíneo uniforme, por tanto a = 0 y la 
velocidad se mantendrá constante a lo largo de todo el tramo, la 
ecuación a ser utilizada es: 
iv) La ecuación a ser utilizada es: 
�⃗�C = �⃗�U𝑡C 
𝑡C =
�⃗�C
𝑣U
=
100
20 = 5
[𝑠] 
Fase III. El movimiento es acelerado negativamente, es decir, la 
aceleración estará en sentido contrario al del sistema de referencia, 
por tanto a = -4[m/s2], en este caso la velocidad inicial es v1 = 20[m/s] 
y la velocidad final v2 = 0. 
v) La ecuación en función a los datos será: 
�⃗�C = �⃗�U + 𝑎C....⃗ 𝑡w 
0 = 𝑣U + 𝑎C....⃗ 𝑡w 
𝑡w =
−20
−4 = 5
[𝑠] 
vi) La ecuación para hallar la distancia en ese tramo: 
𝑣CC = 𝑣UC + 2𝑎C𝑥w 
vii) v2 = 0, puesto que el auto se detiene: 
	
0 = 𝑣UC + 2𝑎C𝑥w 
𝑥w =
−(𝑣U)C
2𝑎C
=
−(20)C
2(−4) = 50
[𝑚]	
Por otra parte, debe calcularse la distancia recorrida en este tramo: 
La distancia total recorrida X será la suma de las distancias en los 
tres tramos: 
X = x1 + x2 + x3 =100[m] + 100[m] + 50[m] = 250[m] 
El tiempo total empleado será la suma de los tiempos transcurridos 
en los tres tramos: 
T = t1 + t2 + t3 = 10[s] + 5[s] + 5[s] = 20[s] 
c) Graficas de las variables cinemáticas en función del tiempo 
 
 
La gráfica velocidad – tiempo (Fig.2.41.a) muestra que la velocidad 
aumenta progresivamente desde 0 a 20[m/s] a medida que transcurre 
el tiempo, hasta llegar a los 10[s], indicando un movimiento 
acelerado, siendo la pendiente de esta recta la aceleración del movil; 
luego se mantiene constante (20[m/s]) durante 5[s], en este tramo no 
hay aceleración y, por tanto, el movimiento es rectilíneo uniforme; en 
el último tramo, empieza a disminuir, indicando una aceleración 
negativa, como indica la pendiente de la recta, hasta llegar a cero. 
En la gráfica posición - tiempo (Fig. 2.41.b), se observa que en los 
primeros 10[s], el desplazamiento fue de 100[m], además, en este 
tramo la figura muestra una semiparábola positiva que indica un 
movimiento uniformemente acelerado; a partir de ese punto y hasta 
llegar a los 15[s], el movimiento fue constante, el desplazamiento es 
de 100[m], esto lo indica la línea recta que une los dos puntos 
mencionados. Desde los 15[s] hasta los 20[s], el auto ha 
desacelerado (lo muestra la parábola negativa), desplazándose 
50[m]. 
En conclusión, las gráficas de las variables cinemáticas en función 
del tiempo, proporcionan toda la información del problema; por ello, 
son muy importantes. 
Ejemplo 2.11.¡Trata de resolver! Una docente, apurada por llegar a 
tiempo a su clase, parte del reposo y acelera a razón de 0.5 [m/s2] 
durante 10[s]. Miki, su hijo,