Problemario general de calculo

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1 
Universidad 
 
Lasalle 
 
Oaxaca. 
 
Facultad de ingeniería de software y sistemas 
computacionales. 
 
 
 
 
 
 . 
 
Presentado 
 
por: 
 
• 
 
Eugenio Cortes C arlos Alberto 
 
 
 
Docente: 
 
 
 
Fecha de entrega: 
 
 
 
Problemario 
Segundo parcial 
TERCER SEMESTRE 
Prof. Vladimir Cortes Lerín 
02/10/2022 
Calculo Vectorial 
Ejercicios 1: 
 
1. ¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación 𝑒(𝑡) = 2 − 3𝑡2 en 
el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos. 
𝑑
𝑑𝑡
= [2 − 3𝑡2] 
=
𝑑
𝑑𝑡
(2) − 3
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡2) 
0 − 3(2𝑡) = −6𝑡 
−6(5) = −30 𝑚/𝑠 
2. En un experimento, la posición de una partícula a gran velocidad que se desplaza por una 
recta horizontal se puedes determinar por medio de la ecuación 𝑠 = 𝑡4 − 6𝑡3 + 12𝑡2 −
10𝑡 + 3 
Cuando han transcurrido t=4 segundos 
Determine: 
a) La posición 
𝑠 = 𝑡4 − 6𝑡3 + 12𝑡2 − 10𝑡 + 3 
= (4)4 − 6(4)3 + 12(4)2 − 10(4) + 3 
= 27 𝑚 
b) Velocidad 
𝑠 = 𝑡4 − 6𝑡3 + 12𝑡2 − 10𝑡 + 3 
𝑑
𝑑𝑡
= [𝑡4 − 6𝑡3 + 12𝑡2 − 10𝑡 + 3] 
= 4𝑡3 − 6(3𝑡2) + 12(2𝑡) − 10(1) 
= 4𝑡3 − 18𝑡2 + 24𝑡 − 10 
= 4(4)3 − 18(4)2 + 24(4) − 10 
= 54 𝑚/𝑠 
c) Aceleración 
4𝑡3 − 18𝑡2 + 24𝑡 − 10 
𝑑
𝑑𝑡
= [4𝑡3 − 18𝑡2 + 24𝑡 − 10] 
= 4
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡3) − 18
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡2) + 24
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡) −
𝑑
𝑑𝑡
(10) 
= 4(3𝑡2) − 18(2𝑡) + 24(1) 
= 12𝑡2 − 36𝑡 + 24 
= 12(4)2 − 36(4) + 24 
= 72𝑚/𝑠2 
 
3. La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es 𝑠(𝑡) = 3𝑡2 − 𝑡 +
3, donde t se mide en segundos. 
1) Halla la velocidad media en el intervalo [2,3]. 
3𝑡2 − 𝑡 + 3 
𝑑
𝑑𝑡
= [3𝑡2 − 𝑡 + 3] 
= 6𝑡 − 1 
= 6(2) − 1 = 11 
= 6(3) − 1 = 17 
11 + 17
2
=
28
2
= 14 
2) Halla la velocidad para t=3 segundos. 
𝑑
𝑑𝑡
= [3𝑡2 − 𝑡 + 3] 
= 6𝑡 − 1 
= 6(3) − 1 = 17𝑚/𝑠 
3) Demuestre que la aceleración es constante para cualquier intervalo. 
 
𝑑
𝑑𝑡
= [6𝑡 − 1] 
= 6(1) = 6 𝑚/𝑠2 
4. De un experimento se concluye que la posición de un objeto que cae con fricción 
despreciable desde una altura 94 se comportaría como la función 
ℎ(𝑡) = 94 + 4.9𝑡2𝑚 
𝑑
𝑑𝑡
= [94 + 4.9𝑡2] 
=
𝑑
𝑑𝑡
(94) + 4.9
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡2) 
= 4.9(2𝑡) = 9.8𝑡 
5. Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo con la ecuación 𝑠 = 3𝑡2 − 8𝑡 + 7 
Donde s se mide en centímetros y t en segundos 
Hallar la velocidad del objeto cuando t=1 y cuando t=5 
𝑠 = 3𝑡2 − 8𝑡 + 7 
𝑑
𝑑𝑡
= [3𝑡2 − 8𝑡 + 7] 
= 6𝑡 − 8 
= 6(1) − 8 = −2 𝑐𝑚/𝑠 
= 6(5) − 8 = 22 𝑐𝑚/𝑠 
6. Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo con la ecuación 𝑠 = 𝑡3 − 3𝑡 + 1 
Donde s se mide en metros y t en segundos 
a. ¿En qué instante la aceleración es cero? 
𝑠 = 𝑡3 − 3𝑡 + 1 
𝑑
𝑑𝑡
= [𝑡3 − 3𝑡 + 1] 
= 3𝑡2 − 3 
𝑑
𝑑𝑡
= [3𝑡2 − 3] 
= 3
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡2) −
𝑑
𝑑𝑡
(−3) 
= 3(2𝑡) = 6𝑡 
𝑡 = 0 
6(0) = 0 
b. Hallar la aceleración en los instantes en que la velocidad es cero 
= 3(2𝑡) = 6𝑡 
= 6(1) = 6 𝑚/𝑠 
 
 
Ejercicios 2: 
Clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones, presentar las gráficas de las funciones: 
Ejercicio 1: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 
𝑑
𝑑𝑥
= [𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦] 
= 2𝑥 + 𝑦 + 1 
𝑑
𝑑𝑦
= [𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦] 
= 2𝑦 + 𝑥 + 1 
2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 
2𝑥 + 𝑦 + 1 − 𝑦 = 0 − 𝑦 
2𝑥 + 1 = −𝑦 
2𝑥 + 1 − 1 = −𝑦 − 1 
2𝑥 = −𝑦 − 1 
2𝑥
2
= −
𝑦
2
−
1
2
 
𝑥 =
−𝑦 − 1
2
 
 2𝑦 + 𝑥 + 1 = 0 
2𝑦 + (
−𝑦 − 1
2
) + 1 = 0 
2𝑦 + (
1
2
(−𝑦 − 1)) + 1 = 0 
2𝑦 + (−
1
2
∗ 𝑦 + −
1
2
) + 1 = 0 
2𝑦 + −
1
2
∗ 𝑦 +
1
2
= 0 
(2 −
1
2
) ∗ 𝑦 +
1
2
= 0 
3
2
∗ 𝑦 +
1
2
= 0 
3
2
∗ 𝑦 = −
1
2
 
3𝑦 = 2 ∗ −
1
2
 
3𝑦 = −
2
2
 
3𝑦 = −1 
𝑦 = −
1
3
 
Puntos críticos 
(0,0) 
(0, −
1
3
) 
(−
1
3
, 0) 
(−
1
3
, −
1
3
) 
𝑑2𝑓
𝑑𝑥
= 2 
𝑑2𝑓
𝑑𝑦
= 2 
𝑑2𝑓
𝑑𝑦𝑑𝑥
= 1 
𝑑2𝑓
𝑑𝑥𝑑𝑦
= 1 
|2 1
1 2
| = (2)(2) − (1)2 = 3 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
Ejercicio 2 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦(1 − 𝑥 − 𝑦) 
𝑑
𝑑𝑥
= [𝑥𝑦(1 − 𝑥 − 𝑦)] 
= 𝑦
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥(1 − 𝑥 − 𝑦)) 
= 𝑦 (𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(1 − 𝑥 − 𝑦) + ((1 − 𝑥 − 𝑦)
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥))) 
= 𝑦 (𝑥 (
𝑑
𝑑𝑥
(1) −
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) −
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦)) + (1 − 𝑥 − 𝑦)(1)) 
= 𝑦(𝑥(−1) + 1 − 𝑥 − 𝑦) 
= 𝑦(−2𝑥 − 𝑦 + 1) 
= −𝑦(2𝑥 + 𝑦 − 1) 
𝑑
𝑑𝑦
= [𝑥𝑦(1 − 𝑥 − 𝑦)] 
= 𝑥 (𝑦
𝑑
𝑑𝑥
(1 − 𝑥 − 𝑦) + ((1 − 𝑥 − 𝑦)
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦))) 
= 𝑥 (𝑦 (
𝑑
𝑑𝑥
(1) −
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) −
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦)) + (1 − 𝑥 − 𝑦)(1)) 
= 𝑥(𝑦(−1) + 1 − 𝑥 − 𝑦) 
= 𝑥(−2𝑦 − 𝑥 + 1) 
= −𝑥(2𝑦 + 𝑥 − 1) 
−𝑦(2𝑥 + 𝑦 − 1) = 0 
2𝑥 + 𝑦 − 1 − 𝑦 = 0 − 𝑦 
2𝑥 − 1 = −𝑦 
2𝑥 − 1 + 1 = −𝑦 + 1 
2𝑥 = −𝑦 + 1 
𝑥 =
−𝑦 + 1
2
 
= −𝑥(2𝑦 + 𝑥 − 1) 
= − (
−𝑦 + 1
2
) (2𝑦 +
−𝑦 + 1
2
− 1) 
𝑦 = 1 
𝑦 =
1
3
 
𝑑2𝑓
𝑑𝑥
= −2𝑦 
𝑑2𝑓
𝑑𝑦
= −2𝑥 
𝑑2𝑓
𝑑𝑦𝑑𝑥
= −2𝑥 − 2𝑦 + 1 
𝑑2𝑓
𝑑𝑥𝑑𝑦
= −2𝑦 − 2𝑥 + 1 
|
−2𝑦 −2𝑦 − 2𝑥 + 1
−2𝑦 − 2𝑥 + 1 −2𝑥
| 
= (−2𝑦)(−2𝑥) − (−2𝑦 − 2𝑥 + 1)2 
Puntos críticos 
(0,0) 
(0,1) 
(1,0) 
(
1
3
,
1
3
) 
 
(−2(0))(−2(0)) − (−2(0) − 2(0) + 1)2 = −1 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎 
(−2(1))(−2(0)) − (−2(1) − 2(0) + 1)2 = −1 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎 
(−2(0))(−2(1)) − (−2(0) − 2(1) + 1)2 = −1 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎 
(−2 (
1
3
)) (−2 (
1
3
)) − (−2 (
1
3
) − 2 (
1
3
) + 1)
2
=
1
3
= 0.333 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
Ejercicio 3 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦𝑒𝑥+2𝑦 
𝑑
𝑑𝑥
= [𝑥𝑦𝑒𝑥+2𝑦] 
= 𝑦
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑒𝑥+2𝑦) 
= 𝑦 (𝑒𝑥+2𝑦
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) + 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒𝑥+2𝑦)) 
= 𝑦 (1𝑒𝑥+2𝑦 + 𝑥𝑒𝑥+2𝑦
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 + 2𝑦)) 
= 𝑦 (𝑒𝑥+2𝑦 + 𝑥𝑒𝑥+2𝑦 (
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥
(2𝑦))) 
= 𝑦(𝑒𝑥+2𝑦 + 𝑥𝑒𝑥+2𝑦(1)) 
= 𝑦(𝑒𝑥+2𝑦 + 𝑥𝑒𝑥+2𝑦) 
= 𝑦(𝑥 + 1)𝑒𝑥+2𝑦 
𝑑
𝑑𝑦
= [𝑥𝑦𝑒𝑥+2𝑦] 
= 𝑥
𝑑
𝑑𝑦
(𝑦𝑒𝑥+2𝑦) 
= 𝑥 (𝑒𝑥+2𝑦
𝑑
𝑑𝑦
(𝑦) + 𝑦
𝑑
𝑑𝑦
(𝑒𝑥+2𝑦)) 
= 𝑥 (1𝑒𝑥+2𝑦 + 𝑦𝑒𝑥+2𝑦
𝑑
𝑑𝑦
(𝑥 + 2𝑦)) 
= 𝑥 (𝑒𝑥+2𝑦 + 𝑦𝑒𝑥+2𝑦 (2
𝑑
𝑑𝑦
(𝑥) +
𝑑
𝑑𝑦
(𝑦))) 
= 𝑥(𝑒𝑥+2𝑦 + 𝑦𝑒𝑥+2𝑦(2 ∗ 1)) 
= 𝑥(𝑒𝑥+2𝑦 + 2𝑦𝑒𝑥+2𝑦 ) 
= 𝑥(2𝑦 + 1)𝑒𝑥+2𝑦 
𝑦(𝑥 + 1)𝑒𝑥+2𝑦 = 0 
𝑦 = 0, 𝑥 = −1 
(−1)(2𝑦 + 1)𝑒(−1)+2𝑦 = 0 
𝑦 = −
1
2
 
𝑥(2(0) + 1)𝑒𝑥+2(0) = 0 
𝑥 = 0 
 
𝑑2𝑓
𝑑𝑥
= 𝑦(𝑥 + 2)𝑒𝑥+2𝑦 
𝑑2𝑓
𝑑𝑦
= 4𝑥(𝑦 + 1)𝑒2𝑦+𝑥 
𝑑2𝑓
𝑑𝑦𝑑𝑥
= (𝑥 + 1)(2𝑦 + 1)𝑒𝑥+2𝑦 
𝑑2𝑓
𝑑𝑥𝑑𝑦
= (𝑥 + 1)(2𝑦 + 1)𝑒2𝑦+𝑥 
|
𝑦(𝑥 + 2)𝑒𝑥+2𝑦 (𝑥 + 1)(2𝑦 + 1)𝑒𝑥+2𝑦
(𝑥 + 1)(2𝑦 + 1)𝑒𝑥+2𝑦 4𝑥(𝑦 + 1)𝑒2𝑦+𝑥
| 
= (𝑦(𝑥 + 2)𝑒𝑥+2𝑦)(4𝑥(𝑦 + 1)𝑒2𝑦+𝑥) − ((𝑥 + 1)(2𝑦 + 1)𝑒𝑥+2𝑦)2 
Puntos críticos 
(0,0) 
(−1, −
1
2
) 
(0(0 + 2)𝑒0+2(0))(4(0)(0 + 1)𝑒2(0)+0) − ((0 + 1)(2(0) + 1)𝑒0+2(0))
2
= −1 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎 
(−
1
2
(−1 + 2)𝑒
−1+2(−
1
2
)
) (4(−1) (−
1
2
+ 1) 𝑒
−1+2(−
1
2
)
) − ((−1 + 1) (2 (−
1
2
) + 1) 𝑒
−1+2(−
1
2
)
)
2
 
= 0.0183156 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
 
 
 
 
 
Ejercicios 3: 
1. 
Use multiplicadores de Lagrange para obtener los valores extremos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 bajo la 
restricción 9𝑥2 + 𝑦2 = 4 
ℒ = 𝑥𝑦 + 𝜆(9𝑥2 + 𝑦2 − 4) 
𝑑ℒ
𝑑𝑥
= 𝑦 + 18𝜆𝑥 = 0 
𝑑ℒ
𝑑𝑦
= 𝑥 + 2𝜆𝑦 = 0 
𝑑ℒ
𝑑𝜆
= 9𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0 
𝜆 = −
𝑦
18𝑥
 
𝜆 = −
𝑥
2𝑦
 
𝑦
18𝑥
=
𝑥
2𝑦
 
1
18
∙ 𝑦 ∙ 𝑥 =
𝑥
2
∙ 𝑦 
1
18
∙ 𝑦 ∙ 𝑥 + (−
𝑥
2
) ∙ 𝑦 = 0 
(
1
18
∙ 𝑥 (−
𝑥
2
)) ∙ 𝑦 = 0 
𝑦 =
0
1
18
∙ 𝑥 (−
𝑥
2
)
 
𝑦 = 0 
9𝑥2 + (0)2 − 4 = 0 
9𝑥2 + (0)2 = 0 + 4 
9𝑥2 = 4 
𝑥2 =
4
9
 
𝑥 = √
4
9
 
𝑥1 =
√2
3
 
𝑥2 = −
√2
3
 
9 (
√2
3
)
2
+ 𝑦2 − 4 = 0 
𝑦1 = √2 
𝑦2 = −√2 
𝜆 =
√2
3
2√2
= −
1
6
 
𝜆 =
−
√2
3
2 − √2
=
1
6
 
𝑃1 (
√2
3
, √2) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 
𝑃2 (
√2
3
, −√2) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 
𝑃3 (−
√2
3
, √2) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 
𝑃4 (−
√2
3
, −√2) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 
2. 
Determina los extremos de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 restringida a la condición 𝑦 + 𝑥2 = 1 
ℒ = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝜆(𝑦 + 𝑥2 −1) 
𝑑ℒ
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 2𝜆𝑥 = 0 
𝑑ℒ
𝑑𝑦
= 2𝑦 + 1𝜆 = 0 
𝑑ℒ
𝑑𝜆
= 𝑦 + 𝑥2 − 1 = 0 
𝜆 = −
2𝑥
2𝑥
 
𝜆 = −
2𝑦
1
 
2𝑥
2𝑥
=
2𝑦
1
 
1 =
2𝑦
1
 
2𝑦 = 1 
𝑦 =
1
2
 
1
2
+ 𝑥2 − 1 = 0 
1
2
+ 𝑥2 = 1 
𝑥2 =
1
2
 
𝑥 = √
1
2
 
𝑥1 =
√2
2
 
𝑥2 = −
√2
2
 
𝑦 + (−
√2
2
)
2
− 1 = 0 
𝑦 = 1 
𝑦 =
1
2
 
𝑃1 (
√2
2
,
1
4
) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 
𝑃2 (−
√2
2
,
1
4
) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 
𝑃3 (0,1)𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜