Cuaderno de Trabajo_Equilibro de Particulas

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CUADERNO DE 
TRABAJO: VECTORES 
EN 2D Y 3D. 
Equilibrio de Partículas. 
DESCRIPCIÓN BREVE 
Cuaderno con ejercicios resueltos sobre 
métodos gráficos y analíticos para la suma 
y resta de vectores en 2D. Así mismo, se 
presenta el método empleado con el mismo 
fin para 3D y posteriormente, ejercicios 
sobre el equilibrio de partículas en las 
dimensiones ya mencionadas. En base a 
ello, se proponen una serie ejercicios con la 
finalidad de que el alumno practique, y 
obtenga una mayor compresión sobre cada 
tema. 
M. en C. Francisco A. Tamayo 
Ordoñez, M. en C. Nain Elvira 
Antonio y M. en C. Luis Jorge 
Pérez Reda. 
Estática. 
 
http://www.google.com.mx/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCKnr4-_7k8gCFYXVHgodg2kGPA&url=http://www.guauquecosas.com/rueda-de-la-fortuna-justo-paseos-festival-de-folk&bvm=bv.103388427,d.dmo&psig=AFQjCNHUWG_Qf2PyMEX8cb3JUBKhd2UdSg&ust=1443331529381737
 
2 
 
CONTENIDO. 
 
INTRODUCCIÓN. ........................................................................................... 3 
OBJETIVO DEL CUADERNO DE TRABAJO. .......................................... 4 
MÉTODOS GRÁFICOS. ................................................................................ 5 
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO. ..................................................................................................... 6 
Ejercicio Resuelto. .................................................................................................................................... 6 
Ejercicios Propuestos. ............................................................................................................................. 11 
MÉTODO DEL TRIÁNGULO. ................................................................................................................ 13 
Ejercicio Resuelto. .................................................................................................................................. 13 
Ejercicios Propuestos. ............................................................................................................................. 17 
MÉTODO DEL POLÍGONO. ................................................................................................................... 20 
Ejercicio Resuelto. .................................................................................................................................. 20 
Ejercicios Propuestos. ............................................................................................................................. 25 
MÉTODOS ANALÍTICOS. .......................................................................... 26 
MÉTODO TRIGONOMÉTRICO. ........................................................................................................... 27 
Ejercicio Resuelto 1. ............................................................................................................................... 27 
Ejercicio Resuelto 2. ............................................................................................................................... 29 
Ejercicios Propuestos. ............................................................................................................................. 32 
MÉTODO DE LAS COMPONENTES. .................................................................................................... 35 
Ejercicio Resuelto. .................................................................................................................................. 35 
Ejercicios Propuestos. ............................................................................................................................. 41 
VECTORES EN EL ESPACIO. ................................................................... 44 
DESCOMPOSICIÓN. ............................................................................................................................... 45 
Ejercicio Resuelto 1. ............................................................................................................................... 45 
Ejercicio Resuelto 2. ............................................................................................................................... 48 
Ejercicio Resuelto 3. ............................................................................................................................... 50 
Ejercicios Propuestos. ............................................................................................................................. 52 
SUMA Y RESTA DE VECTORES. .......................................................................................................... 56 
Ejercicio Resuelto. .................................................................................................................................. 56 
Ejercicios Propuestos. ............................................................................................................................. 60 
EQUILIBRIO. ................................................................................................ 62 
EN 2D. ......................................................................................................................................................... 63 
Ejercicio Resuelto. .................................................................................................................................. 63 
Ejercicios Propuestos. ............................................................................................................................. 65 
EN EL ESPACIO (3D). .............................................................................................................................. 69 
Ejercicio Resuelto. .................................................................................................................................. 69 
Ejercicios Propuestos. ............................................................................................................................. 74 
CONCLUSIÓN. .............................................................................................. 75 
REFERENCIAS ............................................................................................. 76 
 
3 
 
 
INTRODUCCIÓN. 
 
El presente material contiene la descripción y ejercicios para enriquecer el curso de Estática 
impartida por la academia de Física de la Facultad de Química. En este cuaderno de trabajo 
se presenta un ejercicio explicado a detalle de cada uno de los métodos mencionados en el 
contenido; esto, a fin de que el alumno comprenda cómo se efectúan y a su vez recuerde los 
aspectos más importantes, que posteriormente, le permitirán dar solución a los ejercicios que 
se proponen. Con ello, se pretende mejorar las aptitudes con las que ya cuenta el estudiante, 
(al aplicar temas vistos en cursos anteriores); así como, el desarrollo nuevas, fundamentales 
para la adquisición de otros conocimientos. 
 Para efectuar la suma y resta de vectores en 2 dimensiones existen varios métodos: métodos 
gráficos y métodos analíticos. Entre los métodos gráficos se encuentra el método del 
paralelogramo, el método del triángulo y el método del polígono; este último, cumple la 
función de sumar y restar tres o más vectores, mientras que los dos primeros, son para la 
suma y resta de dos vectores. El método trigonométrico y el método de las componentes son 
métodos analíticos. El método trigonométrico al igual que los métodos del paralelogramo y 
triángulo, sólo resulta eficaz para dos vectores. 
Para sumar y restar vectores en tres dimensiones, mejor conocido como el espacio, no hay 
tantos métodos como en 2D. Para este caso los métodos gráficos no se emplean y se utiliza 
mayormente el método analítico llamado el método de las componentes rectangulares; éste 
es eficiente en la suma y resta de cualquier cantidad de vectores y su proceso es igual que el 
método delas componentes en dos dimensiones, resultando por supuesto, más complejo 
cuando se trata del espacio. 
También se presenta un ejercicio resuelto sobre el equilibrio de partículas tanto en 2D como 
en 3D. Se podrá apreciar en ellos que el equilibrio se cumple, si la suma de las componentes 
en x, y (en 2D) y z (en el Espacio) es igual a cero. También se podrá observar que 2D se 
utiliza únicamente el método de las componentes para descomponer los vectores, mientras 
que en 3D hay tres maneras distintas de descomponerlos (ángulos respecto a los ejes, 
distancias y proyecciones); esto de acuerdo a los datos y el diagrama que se proporcione en 
el ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
OBJETIVO DEL CUADERNO DE TRABAJO. 
 
El presente cuaderno de trabajo está dirigido a los estudiantes de la Facultad de Química, que 
opten por tomar el curso de Estática basado en el modelo educativo por competencias. 
La Estática es una subdivisión de la Mecánica que estudia las fuerzas necesarias para 
mantener a un objeto sin acelerarse, es decir, en equilibrio. Su estudio es fundamental pues, 
mediante él, es posible calcular (como primer paso para el diseño de estructuras) esas fuerzas 
que actúan sobre todo cuerpo y que siempre están presentes. 
La importancia de que un Ingeniero conozca dicha rama de origen Físico recae en la 
seguridad que éste debe tener, de que las fuerzas a las cuales estarán sujetos los “miembros 
de una estructura” no serán tan grandes como para romperlos o deformarlos más allá de cierto 
punto. 
El contenido de este cuaderno mediante una serie de ejercicios resueltos y propuestos, 
pretende proporcionar al alumno las herramientas necesarias para que, además de conocer en 
sentido amplio la aplicación de los fundamentos Estáticos, pueda cumplir con el siguiente 
objetivo que es indispensable para alcanzar el total aprendizaje del curso de Estática. 
 
 Objetivo General. 
 
Que el alumno analice y efectúe de manera correcta los distintos métodos para sumar y 
restar vectores en 2D y 3D, lo cual le permitirá en los sistemas de equilibrio, determinar la 
magnitud y dirección de las fuerzas desconocidas necesarias su estabilización. 
 
 
 
 
 
 
 
4 
MÉTODOS GRÁFICOS. 
 
 
Objetivos: 
 
 Mostrar cómo sumar y restar fuerzas en 2D utilizando los 
métodos gráficos existentes. 
 Conocer las características de un vector. 
 Aprender a realizar la construcción de diagramas de cuerpo 
libre. 
 Determinar la escala adecuada que se debe emplear en cada 
método gráfico. 
 Diferenciar los ángulos reales de los ángulos 
complementarios. 
 
Lectura: 
 
Para una mayor comprensión del alumno, los aspectos más relevantes 
del tema se extienden a lo largo de la explicación de cada ejercicio 
resuelto. Éstos se advierten en recuadros amarillos acompañados de 
un signo de interrogación y con ellos se pretende que el estudiante sea 
capaz de identificar, además de su importancia, el momento preciso 
en que no debe descuidar u omitir su uso. 
 
 
 
 
Métodos Gráficos. 
6 
 
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO. 
 
Ejercicio Resuelto. 
 
***Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la 
resultante y el eje x. 
 
 
Solución. 
Para la suma y/o resta de vectores con el 
presente método, siempre será necesaria la 
construcción de un diagrama de cuerpo libre, 
que incluya el módulo de las fuerzas, el nombre 
que les daremos a éstas y sus respectivos 
ángulos (dirección). 
 
1. El ejercicio dado, no posee un cuerpo u objeto sobre el cual estén actuando las fuerzas que 
se muestran, por lo que, únicamente se debe proceder a nombrarlas1. Los ángulos de cada 
fuerza, en este caso, son claros por lo que no es necesario indicarlos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Es recomendable nombrar los vectores (en este caso de fuerzas), en sentido contrario al movimiento de las 
manecillas del reloj, partiendo del eje x positivo, para evitar confusiones posteriormente. 
*** Ejercicio 2.1. Extraído de: Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
Métodos Gráficos. 
7 
 
2. Posteriormente, es necesario elegir una escala para 
poder realizar el trazo de las fuerzas. En el presente 
ejercicio se usará 1cm = 10N. La escala debe ser 
mínima, buscando que entre en el área que se usará 
para el trazo (por ejemplo, una hoja milimétrica). 
 
3. Una vez definida la escala se procede a realizar el trazo. 
 
a) En una hoja milimétrica por ejemplo, se traza los ejes x y y con líneas punteadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) La fuerza A tiene por magnitud 120 N, que en la escala a emplear equivale a 12 cm; 
por ende, se debe trazar con esta última medida sobre el eje x positivo, como indica 
el diagrama de cuerpo libre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Gráficos. 
8 
 
c) La fuerza B se traza de igual manera como indica el diagrama. Siendo 9 cm su medida 
de acuerdo a la escala. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Con ayuda de dos escuadras se trasladan ambas fuerzas, trazando una línea 
punteada del traslado de la fuerza B, en la punta de flecha o final de la fuerza A 
(Figura 1); y trazando una línea punteada del traslado de la fuerza A, en la punta 
de flecha o final de la fuerza B (Figura 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. 
Figura 2. 
Métodos Gráficos. 
9 
 
e) Desde el origen de los ejes x y y, y hasta la intersección de ambos traslados se forma 
la Fuerza Resultante (FR). Para saber el valor de ella en Newton, se debe medir con 
una regla su longitud, que en este caso es de 15cm, que equivale a 150N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Para determinar el valor del ángulo de FR con respecto al eje x positivo2, se debe 
emplear el transportador, el cual indicará en este caso que tiene un valor de 37°. 
 
 
2 En este caso, el ángulo de la Fuerza Resultante se mide en base al eje x positivo, por su cercanía a él. Se puede 
decir, que tal ángulo es real, pero también puede nombrársele como complementario. 
Si la fuerza estuviese, por ejemplo en el segundo o tercer cuadrante, lo recomendable sería medirlo en base al 
eje x negativo y dicho ángulo solo sería nombrado como complementario. 
Por otra parte, el ángulo de cualquier vector que se encuentre en el cuarto cuadrante y sea medido desde el eje 
x positivo en el sentido de las manecillas reloj, es complementario. 
El único caso en el que, un ángulo real y complementario coinciden es el que se muestra en el presente ejercicio. 
Métodos Gráficos. 
10 
 
g) Las maneras de expresar el resultado obtenido son variadas. Se puede emplear 
cualquiera de las que a continuación se presentan. 
FR = 150 N 37° 
FR = 150 N a 37° - I Cuadrante. 
FR = 150 N a 37° - Al Noreste. 
 
h) A continuación se presenta el trazo del ejercicio en una hoja milimétrica. 
 
 
 
 
 
 
Métodos Gráficos. 
11 
 
Ejercicios Propuestos. 
 
1. Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Ejercicio 2.2 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante y 
el eje x. 
 
 
 
Ejercicio 2.3 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante 
y el eje x. 
 
 
 
Ejercicio 2.4 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas representadas 
y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante y el eje x. 
 
 
 
 
2. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Russel C. Hibbeler. 
 
Ejercicio 2.2 
Determine la maginitud de la fuerza resultante si, FR = 
F1 + F2 
 
 
 
3. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Beer, Johnston and Eisenberg. 
 
Métodos Gráficos. 
12 
 
Ejercicio 2.1 
Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A delgancho que se muestra en la 
figura. Si P=15 lb y Q=25 lb, determine la magnitud y dirección de su 
resultante. 
 
 
 
Ejercicio 2.4 
Un automóvil descompuesto es jalado por medio de 
cuerdas sujetas a las dos fuerzas que se muestran en la 
figura. Determine la magnitud y la dirección de su 
resultante. 
 
 
 
 
RECOMENDACIONES… 
 
 
Para el trazo de los vectores cuya dirección no esté sobre un eje,
resulta práctico el uso de los ángulos complementarios. Sacar el
ángulo real de un vector, es sustancialmente más retardado, que
obtener su ángulo complementario.
Para restar vectores, antes se debe cambiar únicamente la
dirección del vector que se desee sustraer y posteriormente,
sumar de manera normal como en el ejercicio resuelto. Cambiar
la dirección, implica que sea contraria a su posición original; lo
correcto es hacer dicho cambio durante la construcción del
diagrama de cuerpo libre.
Recuerda colocar tu resultado al término de cada ejercicio, 
empleando algunas de las maneras anteriormente indicadas.
Métodos Gráficos. 
13 
 
MÉTODO DEL TRIÁNGULO. 
 
Ejercicio Resuelto. 
 
***Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la 
resultante y el eje x. 
 
Solución. 
Para la suma y/o resta de vectores con el método 
del triángulo de igual manera que en el método 
del paralelogramo, será necesaria la construcción 
de un diagrama de cuerpo libre, que incluya el 
módulo de las fuerzas, el nombre que les daremos 
a éstas y sus respectivos ángulos (dirección). 
 
1. El presente ejercicio, como se puede apreciar, carece de un cuerpo sobre el cual estén 
actuando las fuerzas indicadas, debido a ello únicamente se debe proceder a nombrar cada 
fuerza; teniendo en cuenta que ambas ya tienen su magnitud indicada y su respectiva 
dirección y sentido. 
 
2. Posteriormente, como en el método anterior, es necesario elegir una escala para realizar 
el trazo de las fuerzas. En el presente ejercicio se usará 1cm = 40N. 
***Ejercicio 2.3. Extraído de: Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Métodos Gráficos. 
14 
 
 
3. Una vez definida la escala se procede a realizar el trazo. A 
diferencia del método del paralelogramo, en el método 
del triángulo la fuerza A es la única que se trazará tal 
como indica el diagrama de cuerpo libre, mientras que 
la fuerza B será trazada a partir de la punta de flecha o 
final de la fuerza A; es decir, donde termina una se 
inicia la siguiente, conservando su dirección. 
 
a) Trazar los ejes x y y con lineas punteadas sobre el área 
a emplear para el trazo, es el paso básico en todo 
método gráfico. 
 
b) La fuerza A tiene un ángulo de inclinación3, debido a ello, primero se debe indicar 
con ayuda del transportador y de una línea punteada, dicho ángulo de 21° (Figura 1). 
Luego, en base a ese ángulo se debe medir los 12 cm a los cuales equivale su módulo 
de 480N (Figura 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 El ángulo indicado de la Fuerza A, es un ángulo real y a su vez, también considerado como complementario. 
Figura 1. 
Figura 2. 
Métodos Gráficos. 
15 
 
c) Para trazar la fuerza B, se debe realizar el mismo procedimiento que se empleó para 
el trazo de la fuerza A, pero tomando en cuenta los nuevos ejes trazados en el final o 
punta de flecha de la fuerza A. El módulo de la fuerza B es de 400N que equivale a 
10cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) La Fuerza Resultante FR se 
obtiene de unir el origen o 
inicio de la fuerza A, con el 
final o punta de flecha de la 
fuerza B. Al medir la longitud 
de dicha resultante con una 
regla se obtiene que es de 14.5 
cm, equivalente a 580N. 
Métodos Gráficos. 
16 
 
e) Para medir el ángulo de la resultante con respecto al eje x que pide el ejercicio, 
se debe usar de igual manera el transportador4; el cual se colocará en el origen 
de los primeros ejes trazados, dicho en otras palabras, en el inicio de la fuerza A. 
El valor de ángulo al medirlo es de 64° 
 
 
 
 
 
 
 
f) El resultado, de igual forma que en el método del paralelogramo, puede 
expresarse con cualquiera de las siguientes maneras: 
 
FR = 580 N 64° 
FR = 580 N a 64° - I Cuadrante. 
FR = 580 N a 64° - Al Noreste. 
 
g) A continuación se 
presenta el trazo 
del ejercicio en 
hoja milimétrica. 
 
 
4 Se debe de medir, en este caso, el ángulo de la Fuerza Resultante en base al eje x positivo, debido a que, es 
al que se encuentra más cercana. 
Métodos Gráficos. 
17 
 
Ejercicios Propuestos. 
 
1. Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Ejercicio 2.1 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante 
y el eje x. 
 
 
Ejercicio 2.2 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante y 
el eje x. 
 
 
Ejercicio 2.4 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas representadas 
y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante y el eje x. 
 
 
 
Ejercicio 2.5 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante 
y el eje x. 
 
 
 
2. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Russel C. Hibbeler. 
 
Ejercicio 2.1 
Métodos Gráficos. 
18 
 
Determine la magnitud de la fuerza resultante FR = F1 + F2 y su dirección, medida en sentido 
contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2.2 
Determine la maginitud de la fuerza resultante si, 
FR = F2 – F1 
 
 
 
3. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Beer, Johnston and Eisenberg. 
 
Ejercicio 2.4 
Un automóvil descompuesto es jalado por medio de 
cuerdas sujetas a las dos fuerzas que se muestran en la 
figura. Determine la magnitud y la dirección de su 
resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Gráficos. 
19 
 
RECOMENDACIONES… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En cualquiera de los métodos gráficos resulta bastante eficaz trazar las
fuerzas como se vayan encontrando siguiendo el sentido contrario al de
las manecillas del reloj; sin embargo, aunque no se siga ese orden se
debe llegar al mismo resultado.
En ocasiones, hay ejercicios en los cuales no se indica o no es evidente
el ángulo de inclinación de una fuerza; en su lugar, se emplean
triángulos con medidas, los cuales deberás utilizar para obtener el
ángulo deseado. Práctica análisis de los ángulos entre paralelas, te
facilitará la resolución de ese tipo de ejercicios.
No olvides que para restar vectores, antes se debe cambiar únicamente
la dirección del vector que se desee sustraer y posteriormente, sumar de
manera normal como en el ejercicio resuelto. Cambiar la dirección,
implica que sea contraria a su posición original; lo correcto es hacer
dicho cambio durante la construcción del diagrama de cuerpo libre.
Métodos Gráficos. 
20 
 
MÉTODO DEL POLÍGONO. 
 
Ejercicio Resuelto. 
 
***Determinar el módulo de la resultante R de las 
tres fuerzas representadas y el ángulo que forma la 
recta soporte de la resultante y el eje x. 
 
Solución. 
El método del polígono es exactamente igual que el método del triángulo, la única diferencia 
con este último como se mencionó en un principio, es que el método del polígono es el más 
eficaz para la suma y/o resta de tres o más vectores. 
Como en los métodos anteriores, en éste también se debe realizar, primero que nada, un 
diagrama de cuerpo libre, que incluya el módulo de las fuerzas, el nombre que les 
daremos a éstas y sus respectivos ángulos (dirección). 
 
1. El presente ejercicio, como se puede observar, ya tiene un diagrama de cuerpo libre, conlas magnitudes y direcciones de cada fuerza indicadas, por ello, únicamente se debe 
proceder a nombrarlas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Es necesario también elegir una escala para poder realizar el trazo de las fuerzas. En el 
presente ejercicio se usará 1cm = 100N. 
 
 
 
***Ejercicio 2.9. Extraído de: Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Métodos Gráficos. 
21 
 
3. Una vez definida la escala se procede a 
realizar el trazo. 
 
a) Una vez trazados los ejes x y y con líneas 
punteadas sobre el área que se empleará 
para el trazo; se debe trazar la primera 
Fuerza, en este caso A, tal y como lo 
indica el diagrama de cuerpo libre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A partir del final o punta de flecha de la Fuerza A, se debe trazar la Fuerza B 
(conservando su dirección y sentido) con la ayuda de unos nuevos ejes de referencia. 
La fuerza B tiene un ángulo real de 30° que a su vez también es complementario, por 
lo que, primero se debe indicar éste con la ayuda del transportador y de una línea 
punteada (Figura 1). Luego, en base a ese ángulo se debe medir los 7.5 cm a los 
cuales equivale su módulo de 750 N (Figura 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
Métodos Gráficos. 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Para trazar la fuerza C, se debe realizar el mismo procedimiento que se empleó para 
el trazo de la fuerza B, pero tomando en cuenta los nuevos ejes trazados en el final o 
punta de flecha de la fuerza B. El módulo de la fuerza C es de 800N que equivale a 
8 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
Métodos Gráficos. 
23 
 
d) La Fuerza Resultante FR se obtiene de unir el origen o inicio de la fuerza A, con el 
final o punta de flecha de la fuerza C. Al medir la longitud de dicha resultante con 
una regla se obtiene que es de 13.6 cm, equivalente a 1360 N. 
 
 
 
 
 
 
 
e) Para medir el ángulo de la resultante con respecto al eje x que pide el ejercicio, se 
debe usar de igual manera el transportador5; el cual se colocará en el origen de los 
primeros ejes trazados, dicho en otras palabras, en el inicio de la fuerza A. El valor 
de ángulo al medirlo es de 44°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) El resultado, de igual forma que en el método del paralelogramo, puede expresarse 
con cualquiera de las siguientes maneras: 
 
FR = 1360 N 44° 
FR = 1360 N a 44° - I Cuadrante. 
FR = 1360 N a 44° - Al Noreste. 
 
5 Se debe de medir, en este caso, el ángulo de la Fuerza Resultante en base al eje x positivo, debido a que, es 
al que se encuentra más cercana. 
Métodos Gráficos. 
24 
 
g) A continuación se presenta el trazo del ejercicio en hoja milimétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Gráficos. 
25 
 
Ejercicios Propuestos. 
 
1. Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Ejercicio 2.11 
Determinar el módulo de la resultante R de las tres fuerzas representadas y el ángulo que 
forma la recta soporte de la resultante y el eje x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2.16 
Determinar el módulo de la resultante R de las cuatro fuerzas representadas y el ángulo que 
forma la recta soporte de la resultante y el eje x. 
21 
MÉTODOS ANALÍTICOS. 
 
 
Objetivos: 
 
 Mostrar cómo sumar y restar fuerzas en 2D utilizando los 
métodos analíticos existentes. 
 Identificar cuándo se debe emplear el teorema de Pitágoras y la 
ley de senos o cosenos para sumar o restar vectores. 
 Reconocer los ángulos entre paralelas. 
 Realizar descomposiciones vectoriales para hallar la Fuerza 
Resultante. 
 
Lectura: 
 
Para una mayor comprensión del alumno, los aspectos más relevantes 
del tema se extienden a lo largo de la explicación de cada ejercicio 
resuelto. Éstos se advierten en recuadros amarillos acompañados de 
un signo de interrogación y con ellos se pretende que el estudiante sea 
capaz de identificar, además de su importancia, el momento preciso 
en que no debe descuidar u omitir su uso. 
 
 
 
 
 
Métodos Analíticos. 
27 
 
MÉTODO TRIGONOMÉTRICO. 
 
El método trigonométrico permite sumar o restar dos vectores de forma 
matemática o analítica; sin embargo, para utilizarlo de manera correcta se debe 
de emplear de una manera representativa6 el método del triángulo. 
Dependiendo del tipo de triángulo que se forme al trazar con ese método gráfico, 
los vectores que se deseen sumar o restar; se podrá utilizar, ya sea, el teorema 
de Pitágoras, la ley de los senos o la ley de los cosenos para obtener la Fuerza 
Resultante y su respectivo ángulo. 
 
Ejercicio Resuelto 1. 
 
***Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la 
resultante y el eje x. 
 
Solución. 
1. Para dar solución al presente ejercicio, también es necesario construir su diagrama de 
cuerpo libre, que incluya el módulo de las fuerzas, el nombre que les daremos a éstas 
y sus respectivos ángulos (dirección). Como en el diagrama que trae el ejercicio sólo 
falta nombrar las fuerzas, se procede a nombrarlas; los ángulos de cada una, en este 
caso, son claros por lo que no es necesario indicarlos. 
 
 
 
6 Representativamente implica un trazo o dibujo sin escala de cómo quedarían las fuerzas si se trazaran de 
manera correcta con el método del triángulo. 
***Ejercicio 2.1. Extraído de: Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
Métodos Analíticos. 
28 
 
2. Posteriormente, se debe trazar representivamente ambas fuerzas con el método del 
triángulo. Quedando de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
3. Al usar dicho método gráfico, se deduce que la Fuerza Resultante (FR) se encuentra 
en el primer cuadrante y que a su vez, lo que se forma con ésta y ambas fuerzas A y 
B, es un triángulo rectángulo. Debido a esto, para obtener el valor de la FR, lo ideal es 
utilizar el teorema de Pitágoras. Siendo A y B los catetos y FR la hipotenusa. 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
𝐹𝑅 = √(120)2 + (90)2 = 𝟏𝟓𝟎 𝑵 
 
4. Por último, para calcular el ángulo que forma FR 
con el eje x positivo (θ), se debe hacer uso de 
alguna función trigonométrica. En este caso se 
utilizará la función tangente7. 
 
tan 𝜃 =
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
= 
𝐵
𝐴
=
90
120
 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
90
120
) = 𝟑𝟔. 𝟖𝟔𝟗° 
 
5. El resultado al igual que en los métodos gráficos se puede expresar con cualquiera de 
las siguientes maneras: 
FR = 150 N 37° 
FR = 150 N a 37° - I Cuadrante. 
FR = 150 N a 37° - Al Noreste. 
 
7 Cualquier otra función que se utilice (seno o coseno) debe dar el mismo resultado. 
Métodos Analíticos. 
29 
 
Ejercicio Resuelto 2. 
 
***Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la 
resultante y el eje x. 
 
Solución. 
Para la resolución de este ejercicio, de igual forma, es necesario construir un diagrama de 
cuerpo libre que incluya el módulo de las fuerzas, el nombre que les daremos a éstas y sus 
respectivos ángulos (dirección). 
 
1. El diagrama del presente ejercicio, como se puede observar, es de cuerpo libre y ambas 
fuerzas tienen su magnitud indicada; por ello, únicamente es necesario nombrarlas e 
indicar el ángulo de la fuerza de 90 N. 
Para obtener el ángulo de dicha fuerza, se debe emplear los ángulos entre paralelas y las 
funciones trigonométricas. 
 
En base a los ángulos entre paralelas se tiene que, el ángulo θ indicado en el triángulo 
pequeño que tiene a un lado la fuerza, permitirá obtener el ángulo de inclinación de ésta. 
Haciendo uso de la función trigonométrica tangente8, se obtiene el valor de θ. 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝐶. 𝑂
𝐶. 𝐴
) = tan−1 (
5
3
) = 59.036°8 Se utiliza la función tangente, porque al tomar θ como ángulo de referencia, los únicos datos conocidos son el 
cateto opuesto y el cateto adyacente. Se puede sacar con dichos catetos la hipotenusa del triángulo y usar la 
función trigonométrica seno o coseno; sin embargo, lo ideal es hacer el proceso lo menos tardado posible. 
*** Ejercicio 2.5. Extraído de: Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Métodos Analíticos. 
30 
 
 El diagrama de cuerpo libre quedaría entonces, de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Posteriormente, se debe trazar representivamente ambas fuerzas con el método del 
triángulo. Quedando de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Al usar dicho método gráfico, se deduce que la Fuerza Resultante (FR) se encuentra en el 
primer cuadrante y que a su vez, lo que se forma con ésta y ambas fuerzas A y B, es 
probablemente un triángulo escaleno o isósceles. Debido a esto, para obtener el valor de 
la FR, se debe emplear la ley de los senos o cosenos. 
Métodos Analíticos. 
31 
 
 
4. En base a los datos conocidos del triángulo que se formó, lo más recomendable es usar la 
ley de los cosenos para obtener la Fuerza Resultante. 
𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 cos 𝛾 
𝐶 = 𝐹𝑅 = √(110)
2 + (90)2 − 2(110)(90)𝑐𝑜𝑠59.036° = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟔𝟒𝟓 𝑵 
 
5. El ángulo que pide ejercicio es β. Para hallarlo, se debe utilizar la ley de los senos. 
𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝛾
 
90
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
100.0645
𝑠𝑒𝑛 59.036
 
 
 
6. El resultado quedaría expresado con cualquiera de las siguientes maneras: 
 
FR = 100.0645 N 50.4657° 
FR = 100.0645 N a 50.4657° - I Cuadrante. 
FR = 100.0645 N a 50.4657° - Al Noreste. 
 
β = 50.4657° 
Métodos Analíticos. 
32 
 
Ejercicios Propuestos. 
 
1. Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Ejercicio 2.2 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante y 
el eje x. 
 
 
Ejercicio 2.6 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante y 
el eje x. 
 
 
Ejercicio 2.7 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante y 
el eje x. 
 
 
 
Ejercicio 2.9 
Determinar el módulo de la resultante R de las tres fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la 
resultante y el eje x. 
 
 
Ejercicio 2.13 
Determinar el módulo de la resultante R de las tres fuerzas representadas y el ángulo que 
forma la recta soporte de la resultante y el eje x. 
 
Métodos Analíticos. 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Russel C. Hibbeler. 
 
Ejercicio 2.2 
Determine la maginitud de la fuerza resultante si: 
 a) FR = F1 + F2 ; b) FR = F1 - F2 
 
 
Ejercicio 2.8 
Determine el ángulo θ para conectar la barra A a la placa, de 
manera que la fuerza resultante de FA y FB esté dirigida 
horizontalmente hacia la derecha. ¿Cuál es la magnitud de la 
fuerza resultante? 
 
 
 
 
Ejercicio 2.43 
Determine la magnitud y la orientación θ de FB de manera que 
la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje y positivo y 
tenga una magnitud de 1500 N. 
 
 
Métodos Analíticos. 
34 
 
RECOMENDACIONES… 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el método trigonométrico es fundamental indicar los ángulos de cada
fuerza de manera correcta; ellos te permitirán obtener otros con la adecuada
utilización de los ángulos entre paralelas.
Práctica cómo sacar ángulos con las funciones trigonométricas. No sólo te
será útil en este método, sino en todo el curso de Estática.
Cuando sumes o restes tres o más vectores con el presente método, resulta
de mucha utilidad sumar o restar por partes. Realiza el trazo representativo
de los primeros dos vectores y el procedimiento normal (dependiendo del
tipo de triángulo que se forme), y posteriormente de realiza otro trazo,
utilizando resultante obtenida a la cual le deberás sumar o restar el tercer
vector y así sucesivamente.
Cuando tengas que emplear le ley de los senos o cosenos, ayúdate de los
datos conocidos para saber cuál es más conveniente utilizar. Busca la opción
o camino menos complejo.
No olvides que A, B y C en la ley de los senos o cosenos pueden cambiar de
posición; lo importante es que A siempre esté en frente de α, B siempre esté
en frente de β y C en frente de . C no siempre ha de ser la FR.
Métodos Analíticos. 
35 
 
MÉTODO DE LAS COMPONENTES. 
 
Ejercicio Resuelto. 
 
*** Determinar el módulo de la resultante R de las 
tres fuerzas representadas y el ángulo que forma la 
recta soporte de la resultante y el eje x. 
 
Solución. 
Como en todos los demás métodos, en el presente también es necesaria la construcción de un 
diagrama de cuerpo libre, que incluya el módulo de las fuerzas, el nombre que les daremos 
a éstas y sus respectivos ángulos (dirección). 
 
1. El diagrama que trae el ejercicio, como se puede apreciar, ya tiene indicadas la magnitud 
y dirección de cada fuerza; sin embargo, no es de cuerpo libre, por lo que, se debe proceder 
a construirlo, además de dar un nombre a cada fuerza, respectivamente9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Posteriormente, se descomponen las fuerzas 
A, B y C en x y y, tomando en cuenta las 
siguientes expresiones: 
 
Vx = V cosθ 
Vy = V senθ 
 
9 Recuerda que se están nombrando las fuerzas en el orden que se van encontrando, siguiendo el sentido 
contrario al de las manecillas del reloj. 
***Ejercicio 2.14. Extraído de: Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Métodos Analíticos. 
36 
 
A = 20kN θ = 45° Ax = 20 cos45° = 14.1421kN Ay = 20 sen45° = 14.1421kN 
B = 50kN θ = 90° Bx = 50 cos90° = 0 By = 50 sen90° = 50kN 
C = 40kN θ = 60° Cx = 40 cos60° = –20kN Cy = 40 sen60° = 34.641kN 
 
Cada componente en x y y de cada fuerza se obtiene a partir de lo siguiente. Con esto se 
pretende hacer más entendible de dónde salen las expresiones del paso 2. 
 
El ángulo que se tome de referencia y las funciones trigonométricas son las que indican 
cómo descomponer cada fuerza. 
 
 𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑨𝒚
𝟐𝟎
 
 Despejando Ay, se tiene que… 
 𝑨𝒚 = 𝟐𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓° = 𝟏𝟒. 𝟏𝟒𝟐𝟏 𝒌𝑵 
 
 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑨𝒙
𝟐𝟎
 
Despejando Ax, se tiene que… 
𝑨𝒙 = 𝟐𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° = 𝟏𝟒. 𝟏𝟒𝟐𝟏 𝒌𝑵 
 
Las componentes de la fuerza A son positivas, debido a que, el vector de dicha fuerza se 
halla en el primer cuadrante y por ende, sus componentes se dirigen en los ejes x y y 
positivos. 
 
Si se tomara como ángulo de referencia, 45° medido desde el eje y positivo, se tendría lo 
siguiente… 
 
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑨𝒙
𝟐𝟎
 
Despejando Ax, se tiene que… 
𝑨𝒙 = 𝟐𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓° = 𝟏𝟒. 𝟏𝟒𝟐𝟏 𝒌𝑵 
Métodos Analíticos. 
37 
 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑨𝒚
𝟐𝟎
 
Despejando Ay, se tiene que… 
𝑨𝒚 = 𝟐𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° = 𝟏𝟒. 𝟏𝟒𝟐𝟏 𝒌𝑵 
 
Cualquier ángulo que se tome de referencia da el mismo resultado. 
 
 
La fuerza B se encuentra dirigida sobre el eje y 
positivo, por lo que, sólo tiene componente en 
dicho eje. Su valor será el mismo que el módulo 
de la fuerza, By = 50kN. Esto, se puede 
comprobar al descomponerla con las expresiones 
señaladas en el paso 2; sin embargo, lo 
recomendable es que el alumno lo deduzca con 
solo verlo sin necesidad de hacer el cálculo. 
Bx = 50 cos 90° = 0 kN 
By = 50 sen 90° = 50 kN 
 
La componente en y de la fuerza B es positiva porque se encuentra sobre el eje y positivo. 
 
 
Tomando en cuenta el ángulo complementario de 60° de la fuerza C, setiene que… 
 
 𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑪𝒚
𝟒𝟎
 
 Despejando Cy, se tiene que… 
 𝑪𝒚 = 𝟒𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟎° = 𝟑𝟒. 𝟔𝟒𝟏𝟎 𝒌𝑵 
 
 
Métodos Analíticos. 
38 
 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑪𝒙
𝟒𝟎
 
Despejando Cx, se tiene que… 
𝑪𝒙 = 𝟒𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° = −𝟐𝟎 𝒌𝑵 
 
La componente en x de la fuerza C es negativa porque se halla dirigida sobre el eje x 
negativo y la componente en y es positiva, porque se halla dirigida sobre el eje y positivo. 
 
Al tomar como ángulo de referencia los 30° de la fuerza C medidos desde el eje y positivo, 
se tiene que… 
 
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑪𝒙
𝟒𝟎
 
Despejando Cx, se tiene que… 
𝑪𝒙 = 𝟒𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎° = −𝟐𝟎 𝒌𝑵 
 
 
 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑪𝒚
𝟒𝟎
 
Despejando Cy, se tiene que… 
𝑪𝒚 = 𝟒𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° = 𝟑𝟒. 𝟔𝟒𝟏𝟎 𝒌𝑵 
 
 
Nota: 
Como se puede observar, no importa el ángulo que se tome de referencia para descomponer 
un vector, el resultado siempre será el mismo. Sin embargo, se recomienda utilizar los 
ángulos complementarios, éstos resultan más prácticos pero no se debe olvidar colocar el 
signo adecuado a cada componente, tomando en cuenta hacia dónde se hallen dirigidas en 
cada eje. 
 
Métodos Analíticos. 
39 
 
3. Después de obtener las componentes de cada fuerza, se debe proceder a realizar la suma 
de todas las componentes en x y de todas las componentes en y. 
 
Σx = Ax + Bx + Cx = 14.1421 kN + 0 + (–20 kN) = –5.8579 kN 
Σy = Ay + By + Cy = 14.1421 kN + 50 kN + 34.641 kN = 98.7831 kN 
 
4. Con la siguiente expresión se calcula el vector resultante, en este caso Fuerza Resultante 
FR: 
 
𝑽𝑹 = √∑𝒙𝟐 + ∑𝒚𝟐 
𝐹𝑅 = √(−5.8579)2 + (98.7831)2 = 𝟗𝟖. 𝟗𝟓𝟔𝟔 𝒌𝑵 
 
5. Con la tangente inversa de la suma de componentes en y, sobre la suma de 
componentes en x, se obtiene el ángulo de la resultante con respecto al eje x más 
cercano (ángulo complementario). Para sacar este ángulo se toman los valores 
absolutos que se obtuvieron en Σx y Σy. 
 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
∑𝑦
∑𝑥
) = tan−1 (
98.7831
5.8579
) = 𝟖𝟔. 𝟔𝟎𝟔° 
 
***Por qué se usa la función tangente para obtener el ángulo de la resultante y por qué 
se emplean los valores absolutos de las sumas de las componentes en x y y*** 
 
Los valores obtenidos de las sumas de las componentes en x y y, no son más que las 
componentes de la Fuerza Resultante, y ellas indican por sus signos que ésta se encuentra en 
el II Cuadrante. 
Se usa la función tangente, porque como se puede 
observar, se conoce tanto el cateto opuesto (C.O.) 
como el cateto adyacente (C.A)10. 
Por otra parte, se utilizan los valores absolutos de 
dichas sumas de componentes, porque de lo 
contrario el ángulo daría negativo. En un resultado 
no es muy común colocar un ángulo negativo, 
dicho signo sólo indica que el ángulo dado está 
 
10 Se puede utilizar también la función seno o coseno, porque se conoce la hipotenusa. 
Métodos Analíticos. 
40 
 
siendo medido desde el eje x negativo hacia el vector (en este caso de FR) en el sentido de las 
manecillas del reloj. 
Para evitar colocar los signos negativos a los ángulos complementarios que lo llevan, 
usualmente se especifica en qué cuadrante se halla el vector al cual se hace referencia11. Las 
tres maneras de dar un resultado, vistas hasta ahora, como podrás apreciar, lo especifican12. 
 
7. El resultado quedaría expresado con cualquiera de las siguientes maneras: 
 
FR = 98.9566 kN 86.606° 
FR = 98.9566 kN a 86.606° - II Cuadrante. 
FR = 98.9566 kN a 86.606° - Al Noroeste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 Todo resultado debe especificar el cuadrante en que se halle la FR, independientemente de qué tipo de ángulo 
se utilice y aunque el ángulo no sea negativo. 
12 Si lo deseas, en tus resultados, puedes colocar en lugar de los ángulos complementarios, ángulos reales. Éstos 
últimos siempre son positivos, al ser medidos desde el eje x positivo a un determinado vector en sentido 
contrario al de las manecillas del reloj. 
Recuerda aun utilizando ángulos reales debes especificar el cuadrante en que se halla el vector al cual haces 
referencia. 
Métodos Analíticos. 
41 
 
Ejercicios Propuestos. 
 
1. Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Ejercicio 2.1 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante 
y el eje x. 
 
 
Ejercicio 2.2 
Determinar el módulo de la resultante R de las dos fuerzas 
representadas y el ángulo que forma la recta soporte de la resultante y 
el eje x. 
 
 
Ejercicio 2.54 
Determinar el módulo de la resultante R de las cinco fuerzas representadas y el ángulo que 
forma la recta soporte de la resultante y el eje x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Russel C. Hibbeler. 
 
Ejercicio 2.1 
Métodos Analíticos. 
42 
 
Determine la magnitud de la fuerza resultante FR = F1 + F2 y su dirección, medida en 
sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2.32 
Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su 
dirección, medida ésta en el sentido de las manecillas del 
reloj desde el eje x positivo. 
 
 
 
Ejercicio 2.37 
Determine la magnitud y la dirección de θ de F1 de manera que la fuerza resultante esté 
dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 800 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Beer, Johnston and Eisenberg. 
Métodos Analíticos. 
43 
 
Ejercicio 2.1 
Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la 
figura. Si P=15 lb y Q=25 lb, determine la magnitud y dirección de su 
resultante. 
 
 
 
 
Ejercicio 2.4 
Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas 
sujetas a las dos fuerzas que se muestran en la figura. 
Determine la magnitud y la dirección de su resultante. 
 
 
 
RECOMENDACIONES…
Si usas ángulos complementarios para descomponer los vectores, no
olvides colocar el signo adecuado a cada componente dependiendo a
dónde se dirija en cada eje.
También puedes usar ángulos reales para descomponer un vector.
Cuando empleas este tipo de ángulos, ya te dan el signo que debe
llevar cada componente.
Realiza en orden la descomposición de cada vector, evitará
confusiones durante el proceso.
35 
VECTORES EN EL 
ESPACIO. 
 
Objetivos: 
 
 Identificar la forma adecuada (proyecciones, ángulos o 
distancias) para descomponer vectores en 3D. 
 Reconocer el concepto de proyección. 
 Analizar y determinar la dirección correcta de los vectores en el 
espacio. 
 Expresar las fuerzas en forma vectorial cartesiana y explicar 
cómo determinar la magnitud y el sentido del vector. 
 Mostrar cómo sumar y restar vectores en 3D empleando el 
método de las componentes rectangulares. 
 
Lectura: 
 
Para una mayor comprensión del alumno, los aspectos más relevantes 
del tema se extienden a lo largo de la explicación de cada ejercicio 
resuelto. Éstos se advierten en recuadros amarillos acompañados de 
un signo de interrogación y con ellos se pretende que el estudiante sea 
capaz de identificar, además de su importancia, el momento preciso 
en que no debe descuidar u omitir su uso. 
 
 
Vectores en el Espacio. 
45 
 
DESCOMPOSICIÓN. 
 
La descomposición de un vector en 3D, se puede realizar de tres maneras 
distintas dependiendo de los datos proporcionados. Tales maneras a las cuales 
se hace referencia son: proyecciones, distancias y ángulos. A continuación, se 
presenta un ejercicio resuelto de cada una, para mayor comprensión del alumno. 
 
Ejercicio Resuelto 1. 
 
***Determine a) las componentes x, y, z de la fuerza 
de 900 N. b) los ángulos θx, θy, y θz que formala 
fuerza con los ejes coordenados. 
 
Solución. 
En los ejercicios de descomposición en 3D, ya no es necesario construir diagramas de cuerpo 
libre, porque alargarían aún más su resolución. En estos temas se recomienda hacer uso de 
los diagramas que ya traen los ejercicios y nombrar los vectores cuando éstos carezcan de 
nombre. 
 
1. En el presente ejercicio, se tienen dos vectores de Fuerzas. Para distinguirlas se nombrará 
a la Fuerza de 900 N como F1 y a la Fuerza de 1900 N como F2. 
 
2. El inciso A pide hallar las 
componentes de F1, es decir su 
Fx, Fy, y Fz. Para ello, se 
emplearán los ángulos de 30° y 
25°. 
 
El de 30° permitirá obtener la 
Fy de dicha fuerza y su 
proyección sobre el plano -zx 
(F1-zx); ésta última 
posteriormente, permitirá 
obtener su Fx y F-z. 
***Ejercicio 2.75. Extraído de: Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Beer, Johnston and 
Eisenberg. 
 
Vectores en el Espacio. 
46 
 
El triángulo azul de F1 visto en 2D, se puede 
apreciar como lo indica la imagen a la derecha. 
Haciendo uso de las funciones trigonométricas se 
tiene que… 
 
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟏𝒚
𝟗𝟎𝟎
 
Despejando F1y, se tiene que… 
𝑭𝟏𝒚 = 𝟗𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎° = 𝟒𝟓𝟎 𝑵 
 
La componente en y de F1 es positiva porque se dirige en esa dirección sobre dicho eje. 
 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟏−𝒛𝒙
𝟗𝟎𝟎
 
Despejando F1-zx, se tiene que… 
𝑭𝟏−𝒛𝒙 = 𝟗𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° = 779.422 𝑁 
 
 
Con la proyección F1-zx, ya se puede proceder a obtener sus componentes Fx y F-z. 
 
La proyección vista en el plano 2D, se puede 
apreciar como lo indica la imagen de la 
derecha. 
Haciendo uso de las funciones trigonométricas 
se tiene que… 
 
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟏−𝒛
𝟕𝟕𝟗. 𝟒𝟐𝟐
 
Despejando F1-z, se tiene que… 
𝑭𝟏−𝒛 = 𝟕𝟕𝟗. 𝟒𝟐𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝟓° = −𝟑𝟐𝟗. 𝟑𝟗𝟕 𝑵 
 
Vectores en el Espacio. 
47 
 
La componente en z de F1 es negativa porque se dirige en esa dirección sobre dicho eje. 
 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟏𝒙
𝟕𝟕𝟗. 𝟒𝟐𝟐
 
Despejando F1x, se tiene que… 
𝑭𝟏𝒙 = 𝟕𝟕𝟗. 𝟒𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟓° = 𝟕𝟎𝟔. 𝟑𝟗𝟔 𝑵 
 
La componente en x de F1 es positiva porque se dirige en esa dirección sobre dicho eje. 
 
3. Los ángulos que pide hallar el inciso B, se obtienen a partir del despeje de θx, θy, y θz de 
las siguientes expresiones que son preestablecidas. 
 
Vx = V cos θx Vy = V cos θy Vz = V cos θz 
 
F1x = F1 cos θ1x F1y = F1 cos θ1y F1-z = F1 cos θ1z 
 
 
𝜃1𝑥 = cos
−1
706.396
900
= 𝟑𝟖. 𝟐𝟗𝟎° 
𝜃1𝑦 = cos
−1
450
900
= 𝟔𝟎° 
𝜃1𝑧 = cos
−1
−329.397
900
= 𝟏𝟏𝟏. 𝟒𝟔𝟖° 
 
 
4. Para obtener las componentes de la fuerza de 1900N o F2, se seguirán los mismos pasos 
que para la obtención de las componentes de F1. 
 
F2y = 1900 cos20° = 1785.415N 
F2-x = 1900 sen20° sen70= –610.648N 
F2z = 1900 sen20° cos70° = 222.257N 
 
5. Los ángulos de la fuerza F2, se sacan de igual forma con el despeje de θx, θy, y θz ; en los 
cuales se emplea su módulo y las componentes anteriormente calculadas. 
Vectores en el Espacio. 
48 
 
𝜃2𝑥 = cos
−1
−610.648
1900
= 𝟏𝟎𝟖. 𝟕𝟒𝟕° 
𝜃2𝑦 = cos
−1
1785.415
1900
= 𝟐𝟎° 
𝜃2𝑧 = cos
−1
222.257
1900
= 𝟖𝟑. 𝟐𝟖𝟐° 
 
 
 
Ejercicio Resuelto 2. 
 
Se aplica una fuerza de 50 kN a un anclaje según se 
indica en la figura. 
a) Determinar los ángulos θx, θy, y θz. 
b) Determinar las componentes escalares x, y, z de 
la fuerza. 
c) Exprese la fuerza en forma vectorial cartesiana. 
 
Solución. 
Para la resolución del presente ejercicio se hará uso de las distancias que se proporcionan en 
el diagrama. 
 
1. Para obtener cosenos directores (cosθx, cosθy y cosθz) de la Fuerza que indica el presente 
ejercicio, se debe hallar primero la longitud de la diagonal sobre la cual se extiende el 
vector de dicha fuerza. Dicha longitud se deberá obtener mediante la siguiente expresión: 
 
𝑑 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
 
Los valores correspondientes a x, y y z de acuerdo con el diagrama del ejercicio, son los 
siguientes: 
dx = –3 m dy = –2 m dz = 2 m 
 
***Ejercicio 2.42. Extraído de: Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Vectores en el Espacio. 
49 
 
Estos valores se tomaron de tal manera, siguiendo el recorrido que se tendría que hacer para 
llegar desde el inicio de la fuerza (que en este caso coincide con el origen de los ejes) hasta 
el final o punta de flecha de la misma13. 
Como se puede observar, partiendo del origen de los ejes, se deben recorrer 3 metros en el 
eje x negativo (de ahí el signo de este valor), posteriormente 2 metros en el eje z positivo 
(por ello dicho valor es positivo) y por último 2 metros en el eje y negativo (debido a esto, a 
este valor también lo antecede un signo negativo). 
 
Haciendo uso de la expresión mencionada al inicio de este paso, se obtiene que el valor de la 
diagonal es: 
𝑑 = √(−3)2 + (−2)2 + (2)2 = √17 𝑚 
 
2. Los cosenos directores de la diagonal anteriormente calculada, son los siguientes: 
 
cos 𝜃𝑥 =
−3
√17
 
cos 𝜃𝑦 =
−2
√17
 
cos 𝜃𝑧 =
2
√17
 
 
3. Dichos cosenos directores de la diagonal, en este caso, son los mismos que los de la 
Fuerza, y en base a ellos y las siguientes expresiones, también mencionadas en el 
Ejercicio Resuelto 1, se obtendrán las componentes de la Fuerza. 
 
Vx = V cosθx Vy = V cosθy Vz = V cosθz 
 
𝐹𝑥 = 50 (
−3
√17
) = −𝟑𝟔. 𝟑𝟖𝟎𝟑𝒌𝑵 
𝐹𝑦 = 50 (
−2
√17
) = −𝟐𝟒. 𝟐𝟓𝟑𝟓𝒌𝑵 
 
13 Siempre que se busque obtener la longitud sobre la cual se extiende un vector, los signos de los valores en x, 
y y z para obtenerla, deberán estar dados de acuerdo con el recorrido que se tiene que hacer partiendo desde el 
inicio del vector hasta su final o punta de flecha. 
Vectores en el Espacio. 
50 
 
𝐹𝑧 = 50 (
2
√17
) = 𝟐𝟒. 𝟐𝟓𝟑𝟓𝒌𝑵 
 
4. La forma vectorial cartesiana del inciso C, se obtiene expresando las componentes 
obtenidas en términos del vector unitario, es decir, en términos de i, j, k. 
 
F = { –36.380 i, –24.2535 j, 24.2535 k } kN 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio Resuelto 3. 
 
***Se aplica una fuerza F a un punto de un cuerpo, tal 
como se indica en la figura. 
a) Determinar las componentes escalares x, y, z de 
la fuerza. 
b) Expresar la fuerza en forma vectorial 
cartersiana. 
 
Solución. 
1. Para hallar las componentes de la fuerza que indica el ejercicio, se hará uso de las 
siguientes expresiones, también utilizadas anteriormente en los Ejercicios Resueltos 1 y 
2. 
Vx = V cosθx Vy = V cosθy Vz = V cosθz 
 
Como se puede apreciar, se conocen los valores de los ángulos θx, θy, y θz, así como la 
magnitud de la Fuerza, por lo que, para obtener las componentes de ésta, sólo será necesaria 
la sustitución de dichos valores en las expresiones. 
 
***Ejercicio 2.5. Extraído de: Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Vectores en el Espacio. 
51 
 
Fx = 1500 cos72° Fy = 1500 cos31.6° Fz = 1500 cos65° 
Fx = 463.525N Fy = 1277.590N Fz = 633.927N 
 
Todas las componentes de la Fuerza son positivas, porque los ángulos están medidos desde 
el eje x, y y z positivo hacia la Fuerza. 
 
2. La forma vectorial cartesiana, como se mencionó en el Ejercicio Resuelto 2, no es más 
que, las componentes obtenidas en términos del vector unitario, es decir, en 
términos de i, j, k. 
F = { 463.525 i, 1277.590 j, 633.927 k } N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vectores en el Espacio. 
52 
 
Ejercicios Propuestos. 
 
1. Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges.Ejercicio 2.6 
Se aplica una fuerza F a un punto de un cuerpo en la forma 
indicada. Determinar 
a) Los ángulos θx, θy, y θz. 
b) Las componentes escalares x, y, z de la fuerza. 
c) La componente rectangular Fn de la fuerza según la 
recta OA. 
 
Ejercicio 2.38 
Se aplica una fuerza a un anclaje tal como se indica en 
la figura. Si F = 15 kN, θx = 75°, θy = 130°, y θz = 43.9°. 
a) Determinar las componentes escalares x, y, z de 
la fuerza. 
b) Expresar la fuerza en forma vectorial 
cartersiana. 
 
Ejercicio 2.39 
Se aplica una fuerza a un anclaje tal como se indica en 
la figura. Si F = 28 kN, θx = 120°, θy = 130°, y θz = 
54.5°. 
a) Determinar las componentes escalares x, y, z de 
la fuerza. 
b) Expresar la fuerza en forma vectorial 
cartersiana. 
 
Ejercicio 2.43 
Se aplican dos fuerzas a un anclaje según se indica en la 
figura. 
a) Determinar las componentes x, y, z de la fuerza F1. 
b) Determinar la fuerza F1 en forma vectorial 
cartesiana. 
Vectores en el Espacio. 
53 
 
c) Determinar el valor de la componente rectangular de F1 según la recta soporte de F2. 
d) Determinar el ángulo α que forman las fuerzas F1 y F2. 
 
Ejercicio 2.44 
A un anclaje hay aplicadas dos fuerzas tal como se 
indica en la figura. 
a) Determinar las componentes x, y, z de la fuerza 
F1. 
b) Determinar la fuerza F1 en forma vectorial 
cartesiana. 
c) Determinar el valor de la componente 
rectangular de F1 según la recta soporte de F2. 
d) Determinar el ángulo α que forman las fuerzas 
F1 y F2. 
 
 
2. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Russel C. Hibbeler. 
 
Ejercicio 2.59 
Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de F1 = { 60 i, –50 j, 40 k } 
N y F2 = { – 40 i, – 85 j, 30 k } N. 
 
Ejercicio 2.60 
El cable en el extremo del pescante de la grua ejerce una 
fuerza de 250 lb sobre el pescante como se muestra en la 
figura. Exprese F como un vector cartesiano. 
 
 
 
Ejercicio 2.61 
Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza F que actúa sobre 
la estaca. 
 
 
Vectores en el Espacio. 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2.63 
La pieza montada sobre el torno está sometida a una fuerza de 60 N. Determinar su ángulo 
coordenado de dirección β y exprese la fuerza como un vector cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Beer, Johnston and Eisenberg. 
 
Ejercicio 2.73 
Para estabilizar un árbol arrancado parcialmente durante 
una tormenta, se le amarran los cables AB y AC a la parte 
alta del tronco y después se fijan a barras de acero 
clavadas en el suelo. Si la tensión de cable AB es de 950 
lb, determine 
a) Las componentes de la fuerza ejercida por este 
cable sobre el árbol. 
b) Los ángulos θx, θy, y θz que forma la fuerza en A 
con los ejes paralelos a los ejes coordenados. 
Vectores en el Espacio. 
55 
 
Ejercicio 2.74 
Para estabilizar un árbol arrancado parcialmente durante 
una tormenta, se le amarran los cables AB y AC a la parte 
alta del tronco y después se fijan a barras de acero 
clavadas en el suelo. Si la tensión de cable AC es de 810 
lb, determine 
a) Las componentes de la fuerza ejercida por este 
cable sobre el árbol. 
b) Los ángulos θx, θy, y θz que forma la fuerza en A 
con los ejes paralelos a los ejes coordenados. 
 
 
Ejercicio 2.87 
Una barra de acero se dobla para formar un anillo 
semicircular con 36 in de radio que está sostenido 
parcialmente por los cables BD y BE, los cuales se unen 
al anillo en el punto B. Si la tensión en el cable BD es de 
55 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida 
por el cable sobre el soporte colocado en D. 
 
 
RECOMENDACIONES…. 
No olvides colocar los signos de manera correcta en las distancias al
resolver ejercicios con ellas.
Al sacar las componentes de un vector con proyección, tampoco debes
olvidar colocar los signos de manera correcta. Visualiza a detalle hacía
qué parte (negativa o positiva) de cada eje se dirigen las componentes,
para saber el signo que le corresponde a cada una.
Recuerda la siguiente expresión, te será de mucha utilidad (cos 𝜃𝑥)
2 +
(cos 𝜃𝑦)
2 + (cos 𝜃𝑧)
2 = 1.
Vectores en el Espacio. 
56 
 
SUMA Y RESTA DE VECTORES. 
 
Para la suma y resta de vectores en 3D deberás emplear Método de las 
Componentes Rectangulares. En este método, se debe hacer uso de 
proyecciones, distancias y/o ángulos para descomponer cada uno de los vectores 
que se indiquen, y posteriormente, sumar todas las componentes en x y y 
obtenidas, para hallar luego, la Fuerza Resultante. 
 
Ejercicio Resuelto. 
 
***Determine la magnitud y los ángulos coordenados de 
dirección de la fuerza resultante. 
 
Solución. 
Para dar resolución al presente ejercicio, como se puede observar se utilizarán ángulos para 
descomponer a F1 y proyecciones para descomponer a F2. 
 
1. Para la descomposición de F1, se deberá sustituir su magnitud y los ángulos que van desde 
cada eje hacia ella, en las siguientes expresiones. 
 
Vx = V cosθx Vy = V cosθy Vz = V cosθz 
 
F1x = 350 cos60° F1y = 350 cos60° F1z = 350 cos45° 
F1x = 175 N F1y = 175 N F1-z = –247.487 N 
 
La componente en z de F1 (F1-z) es negativa, porque el ángulo está medido desde el eje z 
negativo hacia la Fuerza. 
 
Para descomponer a F2, primero se debe obtener su ángulo de inclinación con respecto al 
plano x –y, empleando los ángulos entre paralelas y las funciones trigonométricas. 
***Ejercicio 2.70. Extraído de: Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Russel C. Hibbeler. 
. 
 
Vectores en el Espacio. 
57 
 
En base a los ángulos entre paralelas se tiene que, el ángulo θ indicado en el triángulo 
pequeño que tiene a un lado la fuerza, permitirá obtener el ángulo de inclinación de ésta con 
respecto al plano x -y. 
Para hallar el valor de dicho ángulo θ, se empleará la función trigonométrica tangente14. 
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
=
𝟑
𝟒
 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝐶. 𝑂
𝐶. 𝐴
) = tan−1 (
3
4
) = 36.869° 
 
Con el ángulo de inclinación de F2 con respecto al plano x –y, se puede obtener su F2z y 
su proyección sobre dicho plano (F2x -y); esta última posteriormente, permitirá obtener 
su F2x y F2-y 
El triángulo gris claro de F2 visto en 2D, se 
puede apreciar como lo indica la imagen a 
la izquierda. 
Haciendo uso de las funciones 
trigonométricas se tiene que… 
 
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟐𝒛
𝟐𝟓𝟎
 
Despejando F2z, se tiene que… 
𝑭𝟐𝒛 = 𝟐𝟓𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟔. 𝟖𝟔𝟗° = 𝟏𝟒𝟗. 𝟗𝟗𝟔 𝑵 
 
 
14 Se puede emplear también la función seno o coseno, pues se conoce la hipotenusa del triángulo pequeño. 
Vectores en el Espacio. 
58 
 
La componente en z de F2 es positiva porque se dirige en esa dirección sobre dicho eje. 
 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟐𝒙 −𝒚
𝟐𝟓𝟎
 
Despejando F2x -y, se tiene que… 
𝑭𝟐𝒙 −𝒚 = 𝟐𝟓𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟔. 𝟖𝟔𝟗° = 200.002 𝑁 
 
 
Con la proyección F2x -y, ya se puede proceder a obtener sus componentes F2x y F2-y. 
 
La proyección vista en el plano 2D, se puede 
apreciar como lo indica la imagen de la izquierda. 
Haciendo uso de las funciones trigonométricas se 
tiene que… 
 
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟐−𝒚
𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟐
 
Despejando F2-y, se tiene que… 
𝑭𝟐−𝒚 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎° = −𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟏 𝑵 
 
La componente en y de F1 es negativa porque se dirige en esa dirección sobre el eje y. 
 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟐𝒙
𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟐
 
Despejando F2x, se tiene que… 
𝑭𝟐𝒙 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° = 𝟏𝟕𝟑. 𝟐𝟎𝟔 𝑵 
 
La componente en x de F1 es positiva porque se dirige en esa dirección sobre el eje x. 
 
Vectores en el Espacio. 
59 
 
2. Después de obtener las componentesde cada fuerza, se debe proceder a realizar la suma 
de las componentes en x, de las componentes en y, y agregando la suma de las 
componentes en z; esto de igual manera, como se hizo en los ejercicios del método de las 
componentes en 2D. 
 
Σx = F1x + F2x = 175 N + 173.206 N = 348.206 N 
Σy = F1y + F2-y = 175 N + (–100.001 N) = 74.999 N 
Σz = F1-z + F2z = –247.487 N + 149.996 N = –97.491 N 
 
3. Con la siguiente expresión se calcula el vector resultante, en este caso Fuerza 
Resultante FR. 
𝑉𝑅 = √∑𝑥2 + ∑𝑦2 + ∑𝑧2 
𝐹𝑅 = √(348.206)2 + (74.999)2 + (−97.491)2 = 𝟑𝟔𝟗. 𝟐𝟗𝟐 𝑵 
 
4. Los ángulos θx, θy, y θz de la Fuerza Resultante se obtendrán a partir de las siguientes 
expresiones que son preestablecidas. 
 
Vx = V cos θx Vy = V cos θy Vz = V cos θz 
 
FRx = FR cos θRx FRy = FR cos θRy FR-z = FR cos θRz 
 
De antemano, se sabe que, los ángulos θx y θy serán ángulos menores de 90°, porque las 
componentes en x y y de FR son positivas, mientras que, la componente en z es negativa, 
por lo que, θz será un ángulo mayor a 90°. 
 
 
𝜃𝑥 = cos
−1
348.206
369.292
= 𝟏𝟗. 𝟒𝟓𝟓° 
𝜃𝑦 = cos
−1
74.999
369.292
= 𝟕𝟖. 𝟐𝟖𝟐° 
𝜃𝑧 = cos
−1
−97.491
369.292
= 𝟏𝟎𝟓. 𝟑𝟎𝟕° 
 
 
 
 
Vectores en el Espacio. 
60 
 
Ejercicios Propuestos. 
 
1. Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Ejercicio 2.8 
Determinar el módulo R de la resultante de las tres fuerzas representadas en la figura, y los 
ángulos θx, θy, y θz que forma la recta soporte de la resultante con los semiejes positivos 
coordenados x, y, z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2.55 
Determinar el módulo R de la resultante y los ángulos θx, θy, y θz que forma su recta soporte 
con los semiejes positivos x, y, z de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vectores en el Espacio. 
61 
 
Ejercicio 2.57 
Determinar el módulo R de la resultante y los ángulos θx, 
θy, y θz que forma su recta soporte con los semiejes 
positivos x, y, z de coordenadas. 
 
 
 
 
2. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Beer, Johnston and Eisenberg. 
 
Ejercicio 2.93 
Determine la magnitud y la dirección de la resultante de las 
dos fuerzas mostradas en la figura, si P = 4 kips y Q = 8 kips. 
 
 
 
 
 
 
 
RECOMENDACIONES…. 
 
No olvides colocar el signo adecuado a cada
componente, dependiendo hacia dónde se dirija en cada
eje, al descomponer con proyecciones y ángulos.
Recuerda colocar el signo correcto a cada distancia para
obtener la longitud de la diagonal sobre la cual se
extiende un vector.
Realiza la descomposición de vectores de manera
ordenada, evitará confusiones posteriormente. Lo ideal
es sacar primero las componentes de un vector, luego
otro y así sucesivamente.
49 
EQUILIBRIO. 
 
 
Objetivos: 
 
 Aplicar la Primera Ley de Newton para dar solución a los 
sistemas en equilibrio en 2D y 3D. 
 Conocer y determinar el punto de concurrencia. 
 Diferenciar los términos tensión y compresión. 
 
Lectura: 
 
Para una mayor comprensión del alumno, los aspectos más relevantes 
del tema se extienden a lo largo de la explicación de cada ejercicio 
resuelto. Éstos se advierten en recuadros amarillos acompañados de 
un signo de interrogación y con ellos se pretende que el estudiante sea 
capaz de identificar, además de su importancia, el momento preciso 
en que no debe descuidar u omitir su uso. 
 
 
 
 
Equilibrio. 
63 
 
EN 2D. 
 
Ejercicio Resuelto. 
 
***Determinar los módulos de las Fuerzas F1 y F2 que 
hagan que esté en equilibrio el punto de la figura. 
 
Solución. 
 
En los ejercicios de equilibrio en 
2D, nuevamente es necesaria la 
construcción de diagramas de 
cuerpo libre, que incluya el 
módulo de las fuerzas 
conocidas, el nombre que les 
daremos a éstas y a las de 
magnitud a obtener, y los 
respectivos ángulos 
(dirección) de ambas. 
 
1. El presente ejercicio, se puede observar, ya consta de los datos mencionados 
anteriormente, por lo que, se debe proceder a obtener las componentes de tres fuerzas 
indicadas en el diagrama. 
 
F1 sólo tendrá componente en el eje x y será negativa al dirigirse en esa dirección sobre dicho 
eje. 
F1 = 300N θ = 180° 
F1x = 300 cos180° = –300 N F1y = 300 sen180° = 0 
 
Las componentes de F2 serán positivas porque ésta se encuentra en el primer cuadrante y 
por tanto sus componentes se dirigen en el eje x y y positivo. 
Como el valor de F2 se desconoce, ésta se deja expresada. 
F2 = ? θ = 60° 
F2x = F2 cos60° = 0.5 F2 F2y = F2 sen60° = 0.866 F2 
***Ejercicio 3.1. Extraído de: Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Equilibrio. 
64 
 
F3 se halla en el IV cuadrante, por lo que su componente en el eje x será positiva y su 
componente en el eje y, negativa. 
 
F3 = ? θ = 45° 
F3x = F3 cos45° = 0.7071 F3 F3y = F3 sen45° = –0.7071 F3 
 
2. Luego, se realiza la suma de componentes en x y en y, tomando en cuenta las condiciones 
de equilibrio en 2D. 
 
Σx = F1x + F2x + F3x = –300 + 0.5 F2 + 0.7071 F3 = 0 
Σy = F1y + F2y + F3y = 0 + 0.866 F2 – 0.7071 F3 = 0 
 
3. Posteriormente, se acomodan las ecuaciones obtenidas, quedando las variables del lado 
izquierdo (alineando a F2x con F2y, y F3 de igual manera) y las constantes del lado derecho. 
 
0.5 F2 + 0.7071 F3 = 300 
0.866 F2 – 0.7071 F3 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que: 
F2 = 219.6193 N 
F3 = 268.9723 N 
Equilibrio. 
65 
 
Ejercicios Propuestos. 
 
1. Ingeniería Mecánica Estática. William F. Riley y Leroy D. Sturges. 
 
Ejercicio 3.2 
Determinar los módulos de las Fuerzas F3 y F4 que hagan que esté en equilibrio el punto de 
la figura. 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3.3 
Determinar los módulos de las Fuerzas F1 y F2 que hagan que esté en equilibrio el punto de 
la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3.10 
Un bloque de masa de 10 kg está en 
equilibrio sobre una superficie horizontal 
lisa por la acción de dos cables flexibles en 
la forma que se indica en la figura. 
Determinar la fuerza que la superficie 
horizontal ejerce sobre el bloque y el 
ángulo θ que forma el cable inclinado con 
la horizontal. 
 
Equilibrio. 
66 
 
Ejercicio 3.12 
Tres cilindros homogeneos lisos A, B y C estan 
apilados dentro de una caja como se indica en la 
figura. Cada cilindro tiene un diametro de 250 mm 
y una masa de 245 kg. Determinar 
a) La fuerza que el cilindro B ejerce sobre A. 
b) Las fuerzas que sobre el cilindro B ejercen, 
en D y E, las superficies vertical y 
horizontal. 
 
 
Ejercicio 3.16 
Un cuerpo de masa de 250 kg pende del sistema de cables 
flexibles representadas en la figura. Determinar las tensiones 
de los cables A, B, C, y D. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Russel C. Hibbeler. 
 
Ejercicio 3.6 
Las barras de una armadura están articuladas en el nudo O. Determine la magnitud de F1 y 
su ángulo θ por equilibrio. Considere F2 = 6 kN. 
 
 
 
 
 
 
 
Equilibrio. 
67 
 
3. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Beer, Johnston and Eisenberg. 
 
Ejercicio 2.44 
Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como 
indica la figura. Determine la tensión en a) el cable 
AC y b) el cable BC. 
 
 
 
 
Ejercicio 2.45 
Una componente de máquina con forma irregular se 
mantiene en la posición mostrada en la figura por 
medio de tres sujetadores. Si FA = 940N, determine 
las magnitudes de las fuerzas FA y FB ejercidas por 
los otros dos sujetadores. 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2.48 
Dos semáforos se cuelgan 
temporalmente de un cable como se 
muestra en la figura. Si el semáforo 
colocado en B pesa 300 N, 
determine el peso del semáforo en 
C. 
 
Equilibrio. 
68 
 
RECOMENDACIONES…Habrá ejercicios que incluyan en sus diagramas el cuerpo u objeto sobre el
cual estén actuando las fuerzas. En estos casos, el peso de dicho cuerpo
juega un papel muy importante, por lo que, debe ser considerado; además, se
debe buscar el punto de concurrencia en el cual convergen éste y todas las
demás fuerzas.
El punto de concurrencia es fundamental, pues indica cómo construir el
diagrama de cuerpo libre.
En ocasiones, de un mismo ejercicio se pueden obtener dos diagramas de
cuerpo libre. Para saber por cuál empezar, se debe tomar en cuenta los datos
conocidos.
Recuerda: Sobre los cuerpos sólidos se ejerce compresión, sobre cuerdas,
cables, ligas, entre otras, se ejerce una tensión.
Equilibrio. 
69 
 
EN EL ESPACIO (3D). 
 
Ejercicio Resuelto. 
 
***Determine las magnitudes de las fuerzas 
F1, F2 y F3 necesarias para mantener la fuerza 
F = { -9 i, -8 j, -5k } kN en equilibrio. 
 
 
Solución. 
Para la resolución de ejercicios de equilibrio en 3D, no se considera necesaria la construcción 
de diagramas de cuerpo libre, porque haría aún más tardado su proceso de resolución. 
 
1. Para hallar la solución al presente ejercicio, primero se deben descomponer cada una de 
las fuerzas y expresar sus componentes en forma vectorial cartesiana. 
 
 Primero, se procederá a obtener las componentes de F1. 
 
El triángulo gris claro de F1 visto en 2D, se 
puede apreciar como lo indica la imagen a la 
izquierda. 
Haciendo uso de las funciones trigonométricas 
se tiene que… 
 
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟏𝒛
𝑭𝟏
 
Despejando F2z, se tiene que… 
𝑭𝟏𝒛 = 𝑭𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟎° = 𝟎. 𝟖𝟔𝟔 𝑭𝟏 
 
La componente en z de F2 es positiva porque se dirige en esa dirección sobre dicho eje. 
***Ejercicio 3.70. Extraído de: Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Russel C. Hibbeler. 
 
Equilibrio. 
70 
 
 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟏𝒙 −𝒚
𝑭𝟏
 
Despejando F2x -y, se tiene que… 
𝑭𝟏𝒙 −𝒚 = 𝑭𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° = 0.5 𝐹1 
 
 
Con la proyección F1x -y, ya se puede proceder a obtener sus componentes F1x y F1-y. 
 
La proyección vista en el plano 2D, se puede 
apreciar como lo indica la imagen de la 
izquierda. 
Haciendo uso de las funciones trigonométricas 
se tiene que… 
 
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝐶. 𝑂.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟏−𝒚
𝟎. 𝟓𝑭𝟏
 
Despejando F1-y, se tiene que… 
𝑭𝟏−𝒚 = 𝟎. 𝟓𝑭𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎° = −𝟎. 𝟐𝟓 𝑭𝟏 
 
La componente en y de F1 es negativa porque se dirige en esa dirección sobre el eje y. 
 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝐶. 𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
=
𝑭𝟏𝒙
𝟎. 𝟓𝑭𝟏
 
Despejando F1x, se tiene que… 
𝑭𝟏𝒙 = 𝟎. 𝟓𝑭𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° = 𝟎. 𝟒𝟑𝟑 𝑭𝟏 
 
La componente en x de F1 es positiva porque se dirige en esa dirección sobre el eje x. 
 
La forma condensada para descomponer un vector haciendo uso de proyección, es la 
siguiente: 
Equilibrio. 
71 
 
El alumno que ya haya comprendido en un 100% cómo sacar las componentes de la manera 
anterior y tenga la facilidad de realizar todo el procedimiento solo con visualizar el diagrama, 
puede emplearla para ahorrar tiempo y espacio. Se debe obtener el mismo resultado. 
 
F1x = F1 cos60° cos30° = 0.433 F1 
F1-y = F1 cos60° sen30° = –0.25 F1 
F1z = F1 sen60° = 0.866 F1 
 
La forma vectorial cartesiana, como se mencionó en Ejercicios Resueltos anteriores, no es 
más que, las componentes obtenidas en términos del vector unitario, es decir, en 
términos de i, j, k. 
F1 = { 0.433 F1 i, –0.25 F1 j, 0.866 F1 k } kN 
 
 
 
 Posteriormente, se realizará el procedimiento para hallar las componentes de F2. 
 
Como se puede observar en el diagrama, los ángulos que se proporcionan de F2, van desde 
cada eje hacia la Fuerza, por lo que, sus componentes se obtendrán sustituyendo su 
magnitud (en este caso, desconocida) y dichos ángulos en las siguientes expresiones: 
 
Vx = V cosθx Vy = V cosθy Vz = V cosθz 
 
 F2x = F2 cos135° F2y = F2 cos60° F2z = F2 cos60° 
 F2x = –0.7071 F2 F2y = 0.5 F2 F2z = 0.5 F2 
 
F2 = { –0.7071 F2 i, 0.5 F2 j, 0.5 F2 k } kN 
 
 
 Por último, se obtendrán las componentes de F3 mediante distancias. 
 
Equilibrio. 
72 
 
Para descomponer a F3, se debe hallar primero la longitud de la diagonal sobre la cual se 
extiende el vector de dicha fuerza. Los cosenos directores dicha diagonal (cosθx, cosθy y 
cosθz) son los mismos que los de la Fuerza 3, por ello es importante calcular su longitud. Ésta 
se deberá obtener mediante la siguiente expresión: 
 
𝑑 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
 
Los valores correspondientes a x, y y z de acuerdo con el diagrama del ejercicio, son los 
siguientes: 
d3x = 4 m d3y = 4 m d3z = –2 m 
 
Por tanto: 𝑑3 = √(4)2 + (4)2 + (−2)2 = 6 𝑚 
 
Los cosenos directores de la diagonal anteriormente calculada, son los siguientes: 
 
cos 𝜃3𝑥 =
4
6
=
2
3
 
cos 𝜃3𝑦 =
4
6
=
2
3
 
cos 𝜃3𝑧 = 
−2
6
= −
1
3
 
 
Dichos cosenos directores de la diagonal, en este caso, son los mismos que los de la 
Fuerza y en base a ellos y las siguientes expresiones, también mencionadas 
anteriormente, se obtendrán las componentes de la Fuerza. 
 
Vx = V cosθx Vy = V cosθy Vz = V cosθz 
 
𝐹3𝑥 = 𝐹3 (
2
3
) =
2
3
𝐹3 
𝐹3𝑦 = 𝐹3 (
2
3
) =
2
3
𝐹3 
𝐹3𝑧 = 𝐹3 (−
1
3
) = −
1
3
𝐹3 
F3 = { 2/3 F3 i, 2/3 F3 j, –1/3 F3 k } kN 
Equilibrio. 
73 
 
2. Como “F” ya está expresada en forma vectorial cartesiana solo se procede a sumar 
con las demás, en la suma de componentes en x, en y y en z. Esto es, de todas las i, las 
j y las k. 
 
Σx = – 9 + 0.4330 F1 – 0.7071 F2 + 2/3 F3 = 0 
Σy = – 8 – 0.25 F1 + 0.5 F2 + 2/3 F3 = 0 
Σz = – 5 + 0.866 F1 + 0.5 F2 – 1/3 F3 = 0 
 
3. Posteriormente, se acomodan las ecuaciones obtenidas, quedando las variables del 
lado izquierdo y las constantes del lado derecho. 
 0.4330 F1 – 0.7071 F2 + 2/3 F3 = 9 
– 0.25 F1 + 0.5 F2 + 2/3 F3 = 8 
0.866 F1 + 0.5 F2 – 1/3 F3 = 5 
4. Resolviendo el sistema de ecuciones con la calculadora, se obtiene que: 
F1 = 8.2560 kN 
F2 = 3.8430 kN 
F3 = 12.2137 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equilibrio. 
74 
 
Ejercicios Propuestos. 
 
1. Mecánica Vectorial para Ingenieros Estática. Beer, Johnston and Eisenberg. 
 
Ejercicio 2.101 
Un contenedor se sostiene por medio de tres cables que están unidos al techo como se muestra 
en la figura. Determine el peso W del contenedor si la tensión del cable AB es de 6 kN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2.103 
Tres cables son usados para amarrar el glogo que se muestra en la figura. Si la tensión en el 
cable AB es de 259 N, determine la fuerza vertical P que ejerce el globo en A. 
 
 
 
58 
CONCLUSIÓN. 
 
Como se mencionó en un principio hay métodos gráficos y métodos analíticos que permiten 
sumar y/o restar vectores en 2D. Los métodos gráficos son menos exactos que los métodos 
analíticos y por ende, poco utilizados, esto a pesar de usarse una escala muy pequeña; sin 
embargo, a pesar de ello, siempre que se emplean se debe cuidar que ésta sea la más inferior 
(basándonos en nuestra área de trazo), pues entre mayor sea dicha escala, el grado de error 
de los resultados aumenta. Por lo regular, el valor que obtenemos al sumar y/o restar vectores 
con los métodos gráficos es bastante aproximado al resultado que nos arrojan los métodos 
analíticos; pero la escala no es el único factor que puede afectar el resultado, el trazó también 
influye, por lo que se debe procurar efectuarlo de la manera más precisa y correcta posible 
para obtener el resultado que más se aproxime al del método analítico. 
Los métodos destinados a la suma y/o resta de dos vectores en 2D, y también, aquellos que 
se destinan a la de tres o más, tienen como finalidad facilitar el proceso para llegar al