AnAílisis-de-medios-no-homogA-neos-para-el-diseAo-de-filtros-Apticos-usando-el-mA-todo-SPPS

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN 
ZACATENCO 
 
Análisis de medios no homogéneos para 
el diseño de filtros ópticos usando el 
método SPPS 
 
TESIS 
 
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE 
MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES 
 
 
PRESENTA 
Samuel Estevez Valdez 
 
DIRECTORES DE TESIS 
Dr. Raúl Castillo Pérez 
Dr. Héctor Oviedo Galdeano 
 
Ciudad de México, Enero 2018 
V
Resumen
En este trabajo se estudian distintos tipos de filtros ópticos que existen y cómo
funcionan, así como sus ventajas y desventajas. A partir de este estudio se decide
trabajar con filtros ópticos basados en rejillas de Bragg, los cuales se conforman con
un medio no homogéneo con variaciones periódicas de su índice de refracción, aco-
plado a una guía de onda óptica en la dirección de propagación de la luz. Se buscó
cómo mejorar el funcionamiento de este tipo de filtros para que en un futuro pu-
dieran tener un mejor desempeño en términos del ancho de banda del filtro, de que
filtre la señal deseada con una amplitud máxima lo más cercana al 100 % de la in-
tensidad inicial y con una tasa de supresión de modos laterales tan grande como sea
posible.
Se determinó que la forma del perfil de índice de refracción del medio no ho-
mogéneo regula las características de transmisión y reflexión de la luz y se hicieron
pruebas para establecer a partir de un perfil sinusoidal cuáles eran sus parámetros
característicos y cómo su alteración modificaba las curvas de transmitancia y reflec-
tancia. Se encontró cómo hacer más selectivos los filtros con determinados perfiles
tanto sinusoidales como apodizados e incluso se propone que podrían mejorarse
realizando arreglos en cascada.
Para el análisis de los perfiles propuestos, se desarrolló la solución que se necesita
para poder calcular la transmitancia y la reflectancia para el medio no homogéneo
y sus fronteras, basada en el método de Series de Potencias de Parámetro Espectral
(SPPS, por las siglas en inglés de Spectral Parameter Power Series). Para este método
se determinaron sus características más relevantes, ventajas y desventajas, así como
las condiciones que requiere y sus limitaciones.
VI 
Abstract 
 
In this work different types of existing optical filters are studied as well as how they 
work, their advantages, and limitations. From this study, we decided to work with 
optical filters based in Bragg gratings, which are conformed by a non - homogeneous 
medium with periodic variations of its refractive index, coupled to an optical waveguide 
following the light propagation direction. The search of how to improve the performance 
of this kind of filters was done so that in the future they can have a better throughput 
in terms of the bandwidth of the filter, so that it filters the desired signal with a 
maximum amplitude as close to 100% of its initial intensity as possible and with a mode 
suppression ratio of the lateral modes as large as possible. 
 
 
It was determined that the shape of the refractive index profile of the non - homogeneous 
medium regulates the transmission and reflection characteristics of the light and tests 
were performed in order to stablish starting from a sinusoidal profile which are its 
characteristic parameters and how their alteration modified the reflectance and 
transmittance curves. It was found how to make the filters more selective with certain 
profiles including sinusoidal and apodized ones and even it was proposed how these 
could be improved using sequential arrangements. 
 
 
For the analysis of the proposed profiles, the needed solution was constructed in order 
to compute the transmittance and reflectance for the non-homogeneous medium and its 
boundaries, based on the Spectral Parameter Power Series (SPPS) Method. For this 
method, the more relevant characteristics were determined, as well as its advantages, 
disadvantages, conditions that it requires and its limitations. 
VII
Agradecimientos
Agradezco al politécnico y a la sección de posgrado por haberme dado la oportu-
nidad de realizar la maestría, así como al CONACyT por el apoyo otorgado durante
este periodo.
A mis asesores el Dr. Héctor Oviedo por compartirme sus conocimientos en las
materias impartidas, al Dr. Raúl Castillo por la paciencia que me tuvo durante la
realización de éste trabajo así también por todo el apoyo académico y moral que me
aportó en todo este tiempo.
A mi familia. Mis padres, hermano, cuñada y sobrinas por el apoyo que me brin-
daron cuando más lo necesité, por que sin su apoyo no hubiera sido posible llegar al
término de este ciclo.
A mis amigos del propedéutico. Aranza, Alan, Oskar, Fer. Por que siempre me
apoyaron en este proceso de admisión y en todas las materias que tuvimos en común
durante toda la maestría. A mis amigos de la linea de investigación. Tania, Sandra y
Oscar, por tantos momentos compartidos de alegría, frustraciones, pláticas y desve-
los por terminar las tareas y los trabajos. A Arianna Sánchez por que ha sido parte
esencial de esta lámpara que me ha llevado por el camino de la superación y perdón.
Finalmente estoy agradecido con Dios por la vida y las oportunidades.
IX
Índice general
Resumen V
Abstract VII
Agradecimientos VII
Índice general IX
Lista de Figuras XIII
Lista de Tablas XIII
Objetivo XV
Justificación XVII
Introducción XIX
1. Filtros Ópticos 1
1.1. Filtro Fabry-Perot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Interferómetro Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Interferómetro Sagnac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Rejillas de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Método SPPS 19
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Transmitancia y Reflectancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Construcción de las soluciones mediante series de potencias . . . . . . 25
3. Análisis de perfiles periódicos y apodizados 31
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Perfil Sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1. Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2. Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3. Perfil Apodizado 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1. Potencia del argumento = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2. Potencia del argumento = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4. Perfil Apodizado 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1. Potencia del argumento = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
X
Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.2. Potencia del argumento = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5. Perfil Apodizado 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.1. Ptencia del argumento = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6. Perfil Apodizado 4 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.1. Potencia del argumento = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.2. Potencia del argumento = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7. Resultado de los perfiles apodizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4. Conclusiones 63
4.1. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A. Resultados relevantes de simulaciones 65
A.1. Perfil 2 Potencia del argumento 1 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.2. Perfil 2 Potencia del argumento 1 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A.3. Perfil 2 Potencia del argumento 2 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.4. Perfil 2 Potencia del argumento 2 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A.5. Perfil 3 Potencia del argumento 1 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
A.6. Perfil 3 Potencia del argumento 1 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.7. Perfil 3 Potencia del argumento 2 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.8. Perfil 3 Potencia del argumento 2 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.9. Perfil 4 Potencia del argumento 1 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.10.Perfil 4 Potencia del argumento 1 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.11.Perfil 5 Potencia del argumento 1 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.12.Perfil 5 Potencia del argumento 2 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B. Generación de perfiles 91
C. Artículo 93
Bibliografia 102
XI
Índice de figuras
1.1. Diagrama de un filtro Fabry-Perot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Gráfica de FSR [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Ecuación de transferencia en función del parámetro de frecuencia nor-
malizada f/FSR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Canales seleccionados simultáneamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Sintonizabilidad del filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6. Filtro Fabry Perot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7. Interferencia constructiva y destructiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8. Filtro e interferómetro Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9. Funciones de transferencia de potencia óptica en función de la dife-
rencia de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10. Arreglo de filtro Mach-Zehnder en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.11. Esquema básico del filtro Sagnac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.12. Rejilla de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.13. Espectro de rejilla tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.14. Espectro de una rejilla de Bragg uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.15. Método de Matriz de Transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Índice de refracción no homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1. Transmitancia y Reflectancia usando periodos muy altos . . . . . . . . 31
3.2. A) Perfil Sinusoidal; B) - E) Perfiles apodizados. . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Periodos en simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4. Respuesta del índice de refracción con una d = 0.65 µm. . . . . . . . . . 35
3.5. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 36
3.6. Respuesta al índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . . 37
3.7. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 37
3.8. Respuesta del índice de refracción con una d = 0.65 µm. . . . . . . . . . 38
3.9. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 39
3.10. Diferentes argumentos para este análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.11. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 41
3.12. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 42
3.13. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 42
3.14. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 43
3.15. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 43
3.16. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 44
3.17. Respuestas de la segunda parte de este perfil apodizado. . . . . . . . . 45
3.18. Diferentes perfiles apodizados basados en distintos argumentos para
este análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.19. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 47
3.20. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 47
3.21. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 48
3.22. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 49
XII
3.23. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 49
3.24. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 50
3.25. Respuesta del índice de refracción con diferentes espesores. . . . . . . 51
3.26. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 52
3.27. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 52
3.28. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 53
3.29. Diferentes argumentos para este análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.30. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 55
3.31. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 55
3.32. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 56
3.33. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 56
3.34. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 57
3.35. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 57
3.36. Diferentes argumentos para este análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.37. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 59
3.38. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 59
3.39. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 60
3.40. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 60
3.41. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 61
A.1. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 65
A.2. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 66
A.3. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 67
A.4. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 68
A.5. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 69
A.6. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 70
A.7. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 71
A.8. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 71
A.9. Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 72
A.10.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 72
A.11.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 73
A.12.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 74
A.13.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 75
A.14.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 76
A.15.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 77
A.16.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 77
A.17.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 78
A.18.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 78
A.19.Respuesta del índice de refraccióncon una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 79
A.20.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 79
A.21.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 80
A.22.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 81
A.23.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 81
A.24.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 82
A.25.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 83
A.26.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 84
A.27.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 85
A.28.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 86
A.29.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.3 µm. . . . . . . . . . 87
A.30.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.625 µm. . . . . . . . . 88
A.31.Respuesta del índice de refracción con una d = 1.95 µm. . . . . . . . . . 89
XIII
Índice de cuadros
1.1. Coeficientes para la función de transferencia de la ecuación (1.9) para
las configuraciones Entrada-Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1. Resultados del análisis de v1, v′1, v2 y v
′
2 evaluados en x = 0 . . . . . . . 28
3.1. Respuestas de los criterios para el perfil apodizado 1 . . . . . . . . . . 61
3.2. Respuestas de los criterios para el perfil apodizado 2 . . . . . . . . . . 62
3.3. Respuestas de los criterios para el perfil apodizado 3 . . . . . . . . . . 62
3.4. Respuestas de los criterios para el perfil apodizado 4 . . . . . . . . . . 62
XV
Objetivo
Realizar un análisis para generar un filtro óptico en medios no homogéneos los
más eficiente posible utilizando el método SPPS para su observación y análisis.
Realizar un análisis de las características de transmisión de señales ópticas a tra-
vés de un medio no homogéneo mediante el método SPPS para obtener una mejora
en la respuesta en términos de coeficiente de transmisión, ancho de banda, eficiencia
y tasa de supresión.
Particulares
Investigar filtros ópticos actuales.
Investigar sus ventajas y desventajas, así como sus condiciones y desarrollar el
método SPPS.
Desarrollar un programa que ayude a la implementación de este método.
Proponer diferentes perfiles para analizar su comportamiento.
Modificar el perfil para mejorar su respuesta.
XVII
Justificación
Como bien sabemos en el ámbito de las telecomunicaciones cada día se exigen
nuevas y mejores formas de comunicarse, el internet más rápido, cada día se agregan
personas que prefieren escuchar, leer, ver, estudiar en streaming con lo que se requie-
re un mayor ancho de banda en el sistema y a su vez para seleccionar una longitud
de onda o un canal en específico se requieren equipos cada vez más especializados y
costosos que realicen tareas como multiplexar y demultiplexar este ancho de banda
en diferentes señales. Actualmente se requieren equipos que puedan hacer las tareas
de seleccionar o desechar estas señales sin hacer conversiones del dominio óptico
al eléctrico. Es por eso que se requieren nuevas formas de análisis que produzcan
nuevos dispositivos que cumplan con los requerimientos actuales.
Uno de los nuevos dispositivos formas que se proponen es realizar un medio
con índices de refracción variables. Estos a pesar que la idea de su uso no es muy
nueva, serán analizados con un método que sí lo es ya que algunos otros métodos
existentes son algo complejos, difíciles de implementar numéricamente, requieren
tiempos y/o recursos de cómputo grandes o están limitados por el tipo de perfiles
que pueden analizar. Los análisis matemáticos que actualmente existen para rejillas
de Bragg se van complicando por cada rejilla que se va insertando al núcleo. Con
este método SPPS el perfil se puede considerar con las variaciones que sean necesa-
rias sin hacer más complejo el análisis y tal vez sólo afectando al tiempo de cómputo.
Con los nuevos métodos desarrollados y los equipos de cómputo más eficientes
es posible realizar el análisis de las nuevas propuestas de los filtros ópticos. Es por
eso que en este trabajo se ocupa un método de reciente desarrollo y se proponen nue-
vos perfiles y se analizan para encontrar los resultados que satisfagan las crecientes
necesidades de filtros ópticos en las telecomunicaciones.
XIX
Introducción
Desde que se invento la fibra óptica en 1952, por el físico Narinder Singh apoyado
en los estudios previos de John Tyndall, ha tenido muchas aplicaciones y se han rea-
lizado sinnúmero de estudios tratando siempre de optimizarla cada vez más para
incrementar su capacidad y sus aplicaciones. La llegada de la fibra óptica vino a re-
volucionar el área de las telecomunicaciones ya que se han desarrollado tecnologías
como WDM (por sus siglas en ingles de Multiplexaje por División en Longitud de
Onda, Wavelegth Division Multiplexing), DWDM (por sus siglas en ingles de Mul-
tiplexaje compacto por División en Longitudes de Onda, Dense Wavelegth Division
Multiplexing), OTDM (por sus siglas en ingles de Multiplexaje Óptico en Dominio
del tiempo, Optical Time Division Multiplexing), etcétera. para uso de la fibra ya
que puede soportar un ancho de banda mucho más grande que el cable coaxial. No
solo es mejor en ese sentido de capacidad la fibra óptica, sino que también se pue-
den incluir a la lista de sus ventajas el peso, ya que es mucho más ligera que el cobre
y las distancias entre repetidores para la fibra no están limitadas por la atenuación
sino por la dispersión. Además, en un principio para rectificar la señal había que
convertir la señal óptica en eléctrica para su procesamiento así como al llegar a mul-
tiplexores, demultiplexores, ADMs entre otros. Hoy en día existen dispositivos que
eliminan la dispersión y realizan varias operaciones en el dominio óptico para así
no hacer el traspaso al eléctrico. Uno de estos procesos que se está mejorando ac-
tualmente es el de los filtros en fibra óptica, es decir seleccionar un canal de todo el
ancho de banda sin tener que convertirlo al dominio de señales electrónicas. Existen
diferentes métodos que pueden utilizar este procedimiento entre los que destacan la
selección de canales en sistemas multicanal basados en multiplexación por división
en longitud de onda y la eliminación de ruido producido por emisión espontánea
amplificada en sistemas que empleen amplificadores ópticos antes de que la señal
llegue a los repetidores [8].
Los filtros ópticos realizan la función de seleccionar un o una serie de canales
definidos dentro de un cierto rango en longitudes de onda para su procesamiento.
Debido a que cada día las velocidades y el ancho de banda en las telecomunicaciones
son más grandes, existe la necesidad de seleccionar más canales y con separaciones
angostas sin convertirlos en señales eléctricas y sin el uso de algún equipo electróni-
co, es decir seleccionar o filtrar los canales de forma pasiva.
Los filtros ópticos funcionan según las necesidades para las que fueron creados.
Algunos son muy selectivos, como el filtro de Sagnac ocupado en redes OTDM don-
de sus pulsos son ultra cortos. Otros no lo son tanto, pero si se colocan varios arre-
glos en cascada pueden llegar a serlo como se verá más adelante con el filtro de
Mach Zehnder. Éstos han sido de utilidad no solo para las telecomunicaciones sino
para su uso fuera de esta área, como en la industria. Son también utilizados para
realizar ciertas aplicaciones como un analizador de espectros [18], o fabricar inerfe-
rómetros de Mach-Zehnder utilizando rejillas de periodo largo [19] o sensores para
medir temperatura [22], entre muchas otras aplicaciones que se pueden encontrar
para las que se usan los filtros.
Como se verá más adelante, cada filtro tiene su respuesta tanto en transmitividad
como reflectividad. unos de los más completos es el filtro denominado de rejillas de
Bragg con índice de reflexión no uniforme ya que éste cambia en pequeñas seccio-
nes según las necesidadesde fabricación. la propuesta de este trabajo se basa en ese
XX
principio de filtrado donde el medio usado es no homogéneo. Se utilizará el método
SPPS para realizar el análisis en este medio mencionado obteniendo las funciones
correspondientes a la transmitancia y reflectancia.
Este método permite construir una solución a la ecuación diferencial de segundo
orden de Sturm-Liouville correspondiente a la propagación de ondas en el medio
analizado, y fue desarrollado recientemente en [15] y [5]. Se basará el desarrollo de
este análisis en las rejillas de Bragg en el método propuesto, pero en este caso las
capas serán consideradas mucho más delgadas.
En este trabajo primero se abordará el tema de los filtros ópticos ya que éstos son
la base para esta investigación. Se analizará de forma teórica su comportamiento y
sus respuestas de reflexión y transmisión de cada uno, poniendo especial atención
en las rejillas de Bragg. En el segundo capítulo se analizará y desarrollará el método
SPPS para encontrar las expresiones correspondientes de reflexión y transmisión de
la forma más clara que se pueda explicar y desarrollar. En el tercer capítulo se rea-
lizará una propuesta de un perfil de índice de refracción para el filtro y se analizará
con la ayuda de Matlab para encontrar la respuestamás apropiada en términos de
ancho de banda, intensidad de la señal filtrada y tasa de supresión de modos late-
rales. En el último capitulo se muestran los resultados obtenidos y se realizan las
conclusiones, ademas se hacen las observaciones necesarias para su mejoramiento y
se proponen temas de trabajo futuro.
1
Capítulo 1
Filtros Ópticos
1.1. Filtro Fabry-Perot
Este filtro funciona con dos espejos altamente reflectantes separados por un die-
léctrico (por lo general aire) como lo muestra la Figura 1.1
FIGURA 1.1: Diagrama de un filtro Fabry-Perot
Cada espejo está caracterizado por su coeficiente de transmisión y reflexión ti y
ri, donde i = 1, 2, de campo eléctrico. También es posible emplear para su descrip-
ción la reflectividad y transmitividad de potencia óptica respectivamente como
Ri = |ri|2,
Ti = |ti|2
donde:
i = 1, 2.
La reflectividad y transmitividad están ligadas por la relación
Ti +Ri = 1−Ai
donde, Ai (i = 1, 2) Representan las pérdidas de señal en cada espejo.
El funcionamiento de este filtro puede explicarse con la Figura 1.1 El campo eléc-
trico de entrada Ei, incide sobre el dispositivo en el espejo 1. Una parte de él (riEi)
es reflejado por la cavidad, mientras que otra (tiEi) penetra dentro de ella propa-
gándose a través del medio material hasta llegar al espejo 2. El medio posee una
constante de propagación γ = α2 + jβ, donde α identifica las pérdidas (si es > 0) o
ganancia (si es < 0) del material, y β = nωc = 2
πn
λ es su constante de fase, de forma
que el campo eléctrico que incide sobre el segundo espejo es tiEie−γL. De éste, la
2 Capítulo 1. Filtros Ópticos
parte t1t2Eie−γL sale de la cavidad atravesando dicho espejo, y la parte t1r2Eie−2γL
se refleja, re-alimentándose y propagándose de nuevo a través del medio de la ca-
vidad (en sentido contrario) hacia el espejo 1. Sobre este espejo incide un campo
t1r2Eie
−2γL. Parte de él sale de la cavidad atravesando el espejo 1 t21r2Eie
−2γL y la
parte t1r2r1Eie−2γL se re-alimenta a la cavidad volviéndose a propagar de izquierda
a derecha, repitiendo este ciclo sucesivamente. La señal a la salida totalEs del espejo
2 está formada por la suma (interferencia) de los campos eléctricos extraídos de la
cavidad. Es posible calcular el valor del campo eléctrico a su salida como lo muestra
la Ecuación (1.1)
Es = Eit1t2e
−γL
[
t1t2e
−γL
1− r1r2e−2γL
]
. (1.1)
A partir de ella puede obtenerse la función de transferencia del filtro en potencia
óptica como lo muestra la Ecuación (1.2)
T (f) = |Es
Ei
|2 = (1−A1 −R1)(1−A2 −R2)Gs
(1−
√
R1R2Gs)2 + 4
√
R1R2Gssen2(
πf
FSR)
(1.2)
donde:
Gs = e
−αL,
FSR =
1
2
τ,
τ =
nL
c
Y τ es el tiempo que tarda la señal en propagarse desde un espejo de la cavidad
hasta el otro. Según [20] La función de transferencia del filtro (FSR) es periódica
con la frecuencia a múltiplos de FSR se repite la función de transferencia como lo
muestra la Figura 1.2.
FIGURA 1.2: Gráfica de FSR [20]
En la mayoría de los casos, el material que compone la cavidad puede suponer-
se pasivo y sin pérdidas y los espejos suelen estar fabricados empleando el mismo
material, por lo que pueden considerarse idénticos, es decir, α = 0 −→ Gs = 1,
reduciendo la ecuación (1.2) como lo muestra la siguiente ecuación (1.3):
T (f) =
(1− a−R)2
(1−R)2 + 4Rssen2
(
πf
FSR
) . (1.3)
1.1. Filtro Fabry-Perot 3
En la Figura 1.3 se muestra la ecuación de transferencia en función del parámetro
de frecuencia normalizado fFSR , tomando R = R1 = R2 como parámetro
FIGURA 1.3: Ecuación de transferencia en función del parámetro de
frecuencia normalizada f/FSR.
Con respecto a las frecuencias pasantes del filtro, pueden caracterizarse como lo
indica la ecuación (1.4) a través de su anchura de banda total a la mitad del máximo
por sus siglas en inglés (FWHM, Full Width at Half Maximum)
FWHM =
c
2πnL
arcsen(
1−R
2
√
R
) (1.4)
Puede observarse que de la ecuación (1.4) y la Figura 1.3 que, si se aumenta el
valor de la reflectividad disminuye el valor FWHM, lo que indica que el filtro es
más selectivo. Una medida de la selectividad del filtro Fabry-Perot se establece por
medio de la finura F, definida por la ecuación (1.5)
F =
FSR
FWHM
=
π
2
1
arcsen( 1−R
2
√
R
)
≈ π
√
R
1−R
|siR=1. (1.5)
De la ecuación (1.5), se puede observar que la selectividad, o bien, finura del filtro
será mejor cuanto más cercano éste sea el valor de la reflectividad de los espejos a
la unidad. Esto se confirma con la relación de contraste del filtro, que se obtiene de la
relación entre los valores máximos (en la resonancia) y mínimo (entre resonancias)
de T (f). Esta relación se obtiene de las ecuaciones (1.3) y (1.5)
C = 1 +
2F
π
(1.6)
Deben precisarse unos conceptos de este filtro Fabry-Perot: aunque teóricamente
el rango de frecuencias es infinito, la banda de frecuencias utilizable está limitada a
4 Capítulo 1. Filtros Ópticos
un periodo espectral o como se ha visto a la FSR. Los canales ópticos de entre los que
el filtro ha de seleccionar uno, no pueden ocupar una banda de frecuencias superior
al valor de FSR, debido a la periodicidad del FSR. Si los canales ocupan más de un
FSR se podría estar seleccionando simultáneamente un canal situado en un periodo
espectral adyacente, como lo muestra la Figura 1.4.
FIGURA 1.4: Canales seleccionados simultáneamente
Derivado de esto, se podría concluir que a mayor valor del rango espectral libre,
mayor será el conjunto de canales de entre los que podrá realizar la selección de uno
de ellos, pero también hay que considerar que la longitud de la cavidad deberá ser
menor.
Cabe mencionar que hay otros factores a considerar, en especial la sintonizabili-
dad del filtro, cuando se haya elegido el periodo espectral en el cual se situarán las
señales ópticas que se seleccionarán por el filtro y además se debe poder contar con
un mecanismo el cual nos pueda desplazar dentro de la banda pasante del filtro para
situarse en cualquier frecuencia comprendida dentro del periodo espectral elegido,
como lo muestra la Figura 1.5.
1.1. Filtro Fabry-Perot 5
FIGURA 1.5: Sintonizabilidad del filtro
Para realizar esta sintonizabilidad es necesario modificar el cambio de fase que
experimenta la señal al atravesar la cavidad que es el producto de βL. La forma
más utilizada consiste en modificar el valor de la longitud de la cavidad agregán-
dole a L un valor ∆L. Este valor depende del punto a donde se quiera desplazar la
banda pasante dentro del periodo espectral. cuyo límite máximo donde se cumple
la condición está definido por: β∆L = π → ∆L = λ/2n. Para las longitudes de
onda utilizadas en comunicaciones ópticas se considera que la modificación de la
longitud de la cavidad será máximo de 0.5 µm. Para esta modificaciónes necesario
utilizar materiales piezoeléctricos1 como lo muestra la Figura 1.6a una configuración
de un filtro donde este material se sitúa en la parte superior e inferior de la cavidad.
En este caso el máximo desplazamiento de frecuencia o longitud de onda en función
del incremento de la longitud de la cavidad está representado por la ecuación (1.7).
∆f
f
=
∆λ
λ
=
∆L
L
. (1.7)
Esta configuración tiene su inconveniente en la capacidad limitada que tienen
los materiales piezoeléctricos para expandirse. Por ejemplo, si se tiene un filtro de
40 nm de rango espectral libre, situado a 1550 nm, entonces ∆λ/λ = 0.025, por
lo que sería imposible barrer todo el periodo espectral del filtro, considerando que
∆L/L < 0.005. Para solucionar este inconveniente se emplea una configuración co-
mo lo muestra la Figura 1.6b en donde el material piezoeléctrico se extiende a lo
largo de una longitud X, muy superior al tamaño de la cavidad. Como X = L + D
y X >> D, un cambio fraccional de X provoca un desplazamiento significativo de
la frecuencia central de la resonancia quedando una relación como lo muestra la
ecuación (1.8)
1El efecto piezoeléctrico describe la relación entre una tensión mecánica y un voltaje eléctrico en
sólidos. Es la capacidad de ciertos materiales –minerales, cerámicas y algunos polímeros- para producir
una carga eléctrica en respuesta a un esfuerzo mecánico aplicado. También puede observarse el efecto
inverso, en el que los materiales piezoeléctricos se deforman por la aplicación de un campo eléctrico.
[7]
6 Capítulo 1. Filtros Ópticos
∆f
f
=
∆λ
λ
=
∆X
L
= (
X
L
)
∆X
X
. (1.8)
Aunque ∆X/X < 0.005, X/L puede hacerse muy grande (> 1000 fácilmente),
por lo que pueden conseguirse desplazamientos completos de resonancia incluso en
filtros con rangos espectrales libres equivalentes a la segunda y tercera ventana de
transmisión.
(A) Fabry Perot
de material pie-
zoeléctrico
(B) Fabry Perot de material
piezoeléctrico modificado
FIGURA 1.6: Filtro Fabry Perot.
1.2. Interferómetro Mach-Zehnder
La interferometría es una técnica utilizada en varios campos de la ciencia y la
tecnología [10] [3]. Consiste en combinar al menos dos haces de luz por el método
de superposición para obtener haces de mayor resolución. Es utilizado ampliamente
en radio astronomía, metrología óptica, oceanografía, entre otras. El haz resultante a
la salida según su fase puede generar interferencia con estos haces de luz y existen
dos tipos. Suponiendo que las ondas que se interceptan tienen la misma amplitud y
longitud de onda, tenemos:
Interferencia constructiva: Esta se da si la diferencia de fase es múltiplo par de
π radianes, entonces las diferentes ondas están en fase resultando una interfe-
rencia constructiva; es decir, una onda de amplitud doble como lo muestra la
parte superior de la Figura 1.7
Interferencia destructiva: Esta interferencia se presenta si la diferencia de fase es
múltiplo impar de π radianes, con esto los valles de una onda coinciden con las
crestas de la otra onda, obteniendo la destrucción de ambas, y como resultado
a la salida se tendrá una amplitud nula como lo muestra en la parte inferior la
Figura 1.7.
1.2. Interferómetro Mach-Zehnder 7
FIGURA 1.7: Interferencia constructiva y destructiva.
Bajo este principio funciona el filtro que se analizará a continuación llamado
Mach-Zehnder. en [8] se verá que está conformado por dos beam splitter o diviso-
res de haces como lo muestra la Figura 1.8b, donde se inyecta un haz de luz por
cualquiera de las fibras. Cuando pasa por el primer beam splitter éste se divide en
dos haces de igual magnitud. La primera parte llega al segundo beam splitter que
está situado a una distancia L. La segunda parte llega al segundo beam splitter que
actúa como acoplador pero entre los dos divisores hay una distancia L+ ∆L, en este
punto se combinan las señales pudiendo extraer la señal resultante por cualquiera
de las dos fibras. En [10] se muestra una configuración donde aparte de los beam
splitter se incluyen dos espejos como lo muestra la Figura 1.8a. Uno de éstos es des-
plazable para aumentar o disminuir la fase. El haz de luz incide sobre el primer bean
splitter dividiéndolo como en el caso anterior. Estos se reflejan sobre los espejos ha-
ciéndolos coincidir sobre el segundo beam splitter. Éste reflejará el haz de un 0 a un
100 %. En uno de los brazos se observará la interferencia constructiva y en el otro la
destructiva.
8 Capítulo 1. Filtros Ópticos
(A) Interferometro Mach-
Zehnder
(B) Filtro óptico Mach-Zehnder
FIGURA 1.8: Filtro e interferómetro Mach-Zehnder
Para el caso de la Figura 1.8b se tiene que su respuesta de campo eléctrico según
[8] para las configuraciones de Salida-Entrada está dada por la ecuación (1.9)
Hpq(β) = apq + bpqe
−iβ∆l (1.9)
Donde i representa el puerto de salida y j el de entrada. En la Tabla 1.1 se muestran
los valores de aij , bij para sus diferentes configuraciones de Salida-Entrada.
Salida, Entrada (3,1) (3,2) (4,1) (4,2)
apq −
√
k1k2α1 j
√
(1− k1)k2α1 j
√
1− k2)k1α1
√
(1− k2(1− k1)α2)
bpq
√
(1− k2)(1− k1)α2 j
√
(1− k2)k1α2 j
√
(1− k1)k2α2 −
√
k1k2α2
CUADRO 1.1: Coeficientes para la función de transferencia de la ecua-
ción (1.9) para las configuraciones Entrada-Salida
Para la Tabla 1.1 se tiene:
√
α1 =
√
(1− γ1)(1− γ2)e−α(l+∆l)
y
√
α2 =
√
(1− γ1)(1− γ2)e−αl
representan las pérdidas combinadas de la fibra y acopladores en los brazos del in-
terferómetro.
1.2. Interferómetro Mach-Zehnder 9
Cuando las pérdidas en la fibra y en los acopladores son despreciables y las cons-
tantes de acoplamiento de los dos acopladores son iguales y de valor 0.5, entonces
se obtendrá la configuración equivalente a la de un interferómetro Mach-Zehnder
de bloque como lo muestra la Figura 1.9.
FIGURA 1.9: Funciones de transferencia de potencia óptica en función
de la diferencia de fase.
Las funciones de transferencia en potencia se obtienen a partir de las respuestas
en frecuencias ópticas. Estas se obtienen al sustituir la constante de fase de la fibra
óptica β = 2πnf/c en (1.9) obteniendo la siguiente ecuación.
|Hij(f)|2 = Aij +Bijcos
(
2πf∆l
c
)
(1.10)
donde
Aij = |aij |2 + |bij |2,
Bij = 2Re|aijbij |.
En caso de obtener pérdidas despreciables donde α1 = α2 = 0 y k1 = k2 = 0.5 se
obtiene
Aij = |Bij | = 0.5
Entonces de (1.10) se puede decir que para los casos de la Tabla 1.1 (3,2) y (4,1) se
obtiene la ecuación
|H(f)|2 = sen2
(
πnf
c
)
= sen2
(
∆φ
2
)
(1.11)
y para los casos (3,1) y (4,2) se puede expresar como lo muestra la ecuación
|H(f)|2 = cos2
(
πnf
c
)
= cos2
(
∆φ
2
)
(1.12)
donde
∆φ =
2πf∆l
c
.
10 Capítulo 1. Filtros Ópticos
Las funciones de transferencia son periódicas en frecuencia. El periodo espectral
comprendido entre dos resonancias sucesivas viene dado también por la ecuación
1.12 donde se puede observar que el valor del periodo espectral es inversamente
proporcional a la diferencia de longitud de los brazos, es decir, entre menor sea la
diferencia, mayor será el periodo espectral. Para los casos en donde las pérdidas no
sean despreciables con k1 6= k2, entonces los elementos de la ecuación (1.10) tomarán
valores Aij < 0.5 y Bij < Aij . Por lo tanto no alcanzarán los valores máximos y
mínimos de 1 y 0 respectivamente. Para realizar filtros ópticos más selectivos se debe
implementar un arreglo en cascada como lo muestra la Figura 1.10
FIGURA 1.10: Arreglo de filtro Mach-Zehnder en cascada
Para ese tipo de filtros se deben tomar en cuenta algunas consideraciones: todos
los acopladores empleados deben ser de 3 dB (ki = 0.5 ∀i). También se debe tomar
en cuenta que cada interferómetro tiene que colocarse según su periodo espectral.
Como se había dicho anteriormente, éste depende de la distancia de los brazos del
interferómetro; primero se colocará el que tiene menor periodo espectral, es decir el
que tiene una mayor diferencia, a éste se le denominará FSR1 seguido de elementos
con mayor periodo espectral. Si el interferómetro colocado en el i-ésimo lugar poseeun periodo espectral definido por FSRi = 2i−1FSR1, entonces el filtro de cascada
compuesto por M Mach-Zehnders posee una función de transferencia dada por
|H(f)|2 =
M∏
i=1
cos i2
(
∆φi
2
)
=
[
sin(2πf/FSR1)
N sin(2πf/NFSR1)
]
. (1.13)
La diferencia de longitudes entre los brazos del interferómetro i-ésimo debe ser
∆Li = ∆L1/2
i−1
donde ∆L1 es la diferencia de longitudes entre los brazos del primer interferómetro.
Como se puede ver en la Figura 1.10 el filtro es cada vez más selectivo entre más
elementos en cascada se adhieran. Y como pasa con los demás filtros periódico en
frecuencia, la banda útil es la correspondiente a un único periodo espectral.
1.3. Interferómetro Sagnac
Este efecto fue demostrado por Harress en 1911 y por Sagnac en 1913. Este in-
terferómetro consiste en un lazo de fibra óptica de una longitud determinada L en
foma de un anillo, como lo muestra la siguiente figura.
1.3. Interferómetro Sagnac 11
FIGURA 1.11: Esquema básico del filtro Sagnac
En la Figura 1.11 se aprecia que una señal óptica (campo eléctrico incidente Ei)
entra por el puerto 1 y es dividida en dos partes de igual magnitud. Una parte gira en
sentido de las manecillas del reloj y la otra gira en sentido contrario. Cuando llegan
de nuevo al acoplador éstas nuevamente se combinan y la señal reflejada sale por el
mismo puerto que la señal incidente con una función de transferencia mostrada en
la ecuación (1.14) y la señal transmitida sale por otro puerto diferente con su función
de transferencia mostrada en la ecuación (1.15).
Hr(βL) =
E1
Ei
= 2j (1− γ)
√
k (1− k)e(−α+jβ)L, (1.14)
Ht(βL) =
E2
Ei
= (1− γ) k (1− 2k) e(−α+jβ)L. (1.15)
A partir de las ecuaciones (1.14) y (1.15) se pueden calcular las funciones de trans-
ferencia de potencia, respectivamente
T = |Ht (βL)|2 = (1− γ)2 (1− 2k)2 e−2αL (1.16)
y
R = |Hr (βL)|2 = 4 (1− γ)2 k (1− k) e−2αL. (1.17)
Hay que considerar que estas fórmulas tomadas de [8] son sin pérdidas, aunque se
pueden calcular éstas del lazo de fibra por el coeficiente de absorción en la ecuación
(1.18) tomado de [21]
A = 1−R− T = 1− (1− γ)2 e−2αL. (1.18)
De acuerdo con la ecuación (1.16), si k = 0.5 entonces T = 0. Si esto se cumple quiere
decir que toda la señal que entra por el puerto de entrada es reflejada. Esto se puede
ocupar como un espejo en línea de reflectividad controlable.
La posibilidad de anular la señal transmitida de debe al hecho de que las señales
salientes del acoplador recorren la misma distancia en sentido contrario desfasadas
entre sí π por el efecto del acoplador y sus amplitudes son iguales en caso que k =
0.5, entonces la suma de ambas a la salida es cero.
Sin embargo se pueden introducir elementos que realicen un cambio de fase en
algún sentido de la fibra, cuando esto ocurre el interferómetro llega a poseer varias
cualidades como la de que puede medir tiempos muy pequeños y que pueden ser
utilizados para aplicaciones de OTDM.
12 Capítulo 1. Filtros Ópticos
1.4. Rejillas de Bragg
Este filtro fue descubierto debido a unos experimentos donde se inyectaba luz
ultravioleta de argón a una fibra de silicio dopada con germanio. se noto que la luz
que viajaba a través de la fibra cada vez iba disminuyendo de intensidad y que es-
taba presente un fenómeno de reflexión, es decir que había una luz que se reflejaba
hacia la fuente. A este fenómeno se le llamó fotosensibilidad y a partir de ahí nacieron
los filtros denominados rejillas de Bragg.
Esos filtros también conocidos por sus siglas en inglés como FBG (Fiber Bragg
Grating) por definición se podría decir que son fibras con una modulación o pertur-
bación periódica, como lo muestra la Figura 1.12a, o no periódica, como lo muestra
1.12b, en su índice de refracción efectivo (neff ) dentro del núcleo en un intervalo de
distancia. Tiene como función dejar pasar las longitudes de onda no importantes y
reflejar la de interés.
(A) Rejilla de Bragg con n pe-
riódico
(B) Rejilla de bragg con n no periódico
FIGURA 1.12: Rejilla de Bragg
Para que este filtro funcione se deben de cumplir las condiciones de Bragg, que
es la conservación de la energía y del momento. La primera dice que la frecuencia
de radiación incidente debe ser igual a la reflejada y queda expresada de la siguiente
forma
~ω1 = ~ω2.
La segunda condición dice que la suma del vector de la onda incidente ki y el
1.4. Rejillas de Bragg 13
vector de onda de la rejilla K debe ser igual al vector de onda de la radiación espar-
cida kf y está representada por la siguiente ecuación
ki +K = kf (1.19)
donde:
K tiene una magnitud de 2πΛ , Λ es el periodo de la rejilla
La magnitud del vector de onda incidente es igual a la magnitud del vector de
onda esparcida pero en dirección opuesta como lo muestra la ecuación
|kf | = |ki| =
2πneff
λB
. (1.20)
Sustituyendo (1.20) en (1.19) se obtiene la ecuación de conservación del momento
reducida como lo muestra (1.21)
2
(
2πneff
λB
)
=
2π
Λ
. (1.21)
Desarrollando (1.21) se obtiene la condición de Bragg simplificada como lo mues-
tra la ecuación
λB = 2neffΛ (1.22)
donde:
λB representa la longitud de onda central de la luz reflejada por la rejilla de Bragg
neff es el indice de refracción efectivo de la fibra óptica.
Como se mencionó al inicio de esta sección, este filtro depende de su índice de
refracción que puede ser periódico o no. Enseguida se explicará un poco más este
concepto de fotosensibilidad.
Este efecto puede definirse como la modificación del índice de refracción n de
una fibra óptica al ser radiada con luz ultravioleta. En un principio se creyó que este
efecto solo era posible en fibras dopadas con germanio pero en la actualidad tam-
bién se puede encontrar en fibras dopadas con boro y erbio [1][17]. Esta modificación
realizada al índice de refracción se considera que es permanente ya que puede durar
alrededor de 25 años.
El cambio de magnitud del índice de refracción estará denotado por ∆n. Éste
dependerá de varios factores como las condiciones de irradiación, intensidad, com-
posición de la fibra, dosis de irradiación de luz. El núcleo de fibra es irradiado por
unos minutos con intensidades de 100 - 1000 mJ
cm2
. Bajo estas condiciones ∆n puede
variar entre 10−5 y 10−3 para una fibra monomodo dopada con germanio. Algunos
métodos de fabricación para esta rejiila de Bragg son el holográfico, interferométrico
y de máscara de fase. Se puede encontrar más información de estos métodos en [1]
[21].
Estas fibras pueden clasificarse en dos tipos, por su fotosensibilidad que ya se ha
descrito anteriormente y por su geometría.
Por su fotosensibilidad
Esta clasificación es según sus parámetros de fabricación y existen tres tipos [17]:
14 Capítulo 1. Filtros Ópticos
Tipo I
Éstas son usadas en sistemas de telecomunicaciones debido a su rango de ope-
ración térmica que oscila entre −40◦C a 80◦C. Éste tipo de fibra puede llegar
a operar hasta los 200◦C. Se forma bajo exposición de luz ultravioleta mode-
rada, el espectro de reflexión es complementario a la señal de transmisión con
pequeñas pérdidas debido a la absorción o reflexión de luz en la cubierta óptica
de la fibra.
Tipo IIA
Tiene las mismas características espectrales que el tipo I, en situaciones está-
ticas presenta el mismo comportamiento. La diferencia es el proceso de fabri-
cación donde el mecanismo para el cambio del índice de refracción es más
complejo, lo que le da una mayor estabilidad térmica (cerca de 500◦C) y sirve
para aplicaciones industriales.
Tipo II
Éstas son construidas bajo impulsos de mayor energía (> 0.5J/cm2). Las lon-
gitudes mayores a la de reflexión de la fibra son transmitidas mientras que
las menores son fuertemente acopladas a la cubierta óptica. Este tipo de fibra
puede operar en temperaturas de hasta 800◦C sin verse afectado el espectro
de reflexión, lo que la hace útil para aplicaciones de sensado en ambientes ex-
tremos. Su espectro de reflexión y transmisión se muestra en la Figura 1.13
tomada de [17].
FIGURA 1.13: Espectro de rejilla tipo II
Por su geometría
Existen varios tiposde rejilla en esta clasificación, las dos más comunes son las
rejillas de Bragg uniformes que mantienen un índice de refracción y periodo de la
rejilla constantes y una distribución uniforme a lo largo de la fibra como se vio en
la Figura 1.12a. Su análisis matemático no es muy complejo por el mismo motivo
de que no hay variaciones. En la Figura 1.14 se muestra su gráfica de reflexión y
transmisión. El segundo tipo más común es el no uniforme que presenta cambios
tanto en el indice de refracción como en el periodo de la rejilla como se vio en la
Figura 1.12b. Existen varios métodos para realizar el análisis de este tipo de rejilla los
1.4. Rejillas de Bragg 15
cuales se vuelven más complejos debido a la composición del filtro. Se mencionará
más adelante.
FIGURA 1.14: Espectro de una rejilla de Bragg uniforme
Para realizar el análisis de este filtro existen varios métodos. El más utilizado
para la rejilla de Bragg uniforme es la Teoría de modos acoplados. Éste consiste en un
sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Para el análisis de filtros no
uniformes existe el método de matriz de transferencia, en donde la rejilla se divide
en secciones pequeñas de indice de reflexión constante y se va concatenando cada
sección hasta obtener el resultado final. Estos dos métodos son los más usados para
analizar la respuesta de las rejillas de Bragg. Existen otros métodos de análisis que
no son muy conocidos o que se hicieron para problemas específicos, en nuestro caso
solo se verán los dos métodos más comunes para analizar su comportamiento.
Teoría de modos acoplados
El cambio del índice de reflexión ∆n provoca un intercambio de energía entre los
modos en contra propagación. El coeficiente de reflexión para este filtro uniforme
está dado por ρ y la reflexión de la señal incidente es denotada por
R = |ρ|2 (1.23)
donde ρ es calculada mediante la siguiente expresión
ρ =
−ksenh
√
(kL)2 − (ζ+L)2
ζ+senh
√
(kL)2 − (ζ+L)2 + i
√
k2 − ζ+2cosh
√
(kL)2 − (ζ+L)2
. (1.24)
Sustituyendo (1.24) en (1.23) y desarrollando obtenemos R como lo muestra la
ecuación
R =
senh2
√
(kL)2 − (ζ+L)2
− ζ+
2
k2
+ cosh2
√
(kL)2 − (ζ+L)2
(1.25)
donde:
k = (
π
λ
)S∆neff
16 Capítulo 1. Filtros Ópticos
∆neff : Representa el cambio del índice de refracción.
S : Es la intensidad de los lóbulos secundarios de la respuesta espectral.
L : Nos indica la longitud de la rejilla.
ζ+ : Es el coeficiente general de auto acoplamiento.
Cuando ζ+ = 0 se obtiene la reflexión máxima
Rmax = tanh2(kL). (1.26)
Método de Matriz de Transferencia
Este método viene de las ecuaciones de modos acoplados y es resuelto a través
de métodos numéricos. Para realizar este cálculo se divide la rejilla en M secciones
cada una de ellas con un indice de refracción n uniforme. La solución para cada una
de estas secciones se combina con una multiplicación de un arreglo de matrices de
2x2. Como se había mencionado antes cada sección es concatenada con la que sigue,
es decir, cada parámetro de la sección anterior será la entrada del adyacente, y así se
obtiene una solución que por lo general es rápida y precisa. Cada sección tendrá una
solución analítica distinta para el coeficiente de transmisión, reflexión y fase [17].
(A) Rejilla de Bragg
con ∆ uniforme
(B) ∆ no uniforme representada porM matri-
ces.
FIGURA 1.15: Método de Matriz de Transferencia.
Cada sección está representada por la matriz Tk en la ecuación 1.27 dada por la
Figura 1.15
(
A+k
B+k
)
= Tk
(
A+k−1
B+k−1
)
(1.27)
donde:
Tk =
(
cosh(Ωdz)− i ζ
+
Ω senh(Ωdz) −i
k
Ωsenh(Ωdz)
i kΩsenh(Ωdz) cosh(Ωdz)− i
ζ+
Ω senh(Ωdz)
)
, (1.28)
1.4. Rejillas de Bragg 17
dz es la longitud de la i-ésima sección uniforme y Ω está dada por
Ω =
√
k2 − ζ+2 , (1.29)
k =
π∆neff
λ
,
ζ+ =
(
2πneff
λ
)
− π
Λ
,
Una vez que se resuelven todas las secciones de la rejilla es posible conocer su
reflexión denotada por ρ y su transmisión expresada por τ respectivamente:
ρ =
Tk21
Tk11
, (1.30)
τ = 1− ρ = 1
T11
(1.31)
19
Capítulo 2
Método SPPS
2.1. Introducción
La teoría básica de ecuaciones diferenciales con las cuales trata el método SPPS
fue creada entre 1829 y 1837 por sus dos autores Jacques Charles Francois Sturm y
Joseph Liouville en una serie de artículos [13]. Esta teoría trata de una ecuación dife-
rencial general lineal de segundo orden 2.1 con énfasis en problemas de valor en la
frontera sobre ecuaciones diferenciales
d
dx
(
p(x)
dy
dx
)
+ (q(x) + λw(x))y = 0 (2.1)
donde x es una variable real en un intervalo cerrado [a, b] y las funciones p(x), q(x)
y w(x) son conocidas y satisfacen ciertas condiciones. Las soluciones existen para
valores particulares de la constante λ. Estos son llamados eigenvalores y la solu-
ción y(x) es llamada eigenfunción para el eigenvalor λ. La ecuación (2.1) añadida
a cualquier condición en la frontera, es conocida como un sistema o problema de
Sturm-Liouville.
Sturm y Liouville trabajaron con ecuaciones diferenciales de segundo orden y
examinaron las características de sus valores propios, su comportamiento y la exten-
sión de funciones arbitrarias en términos de las eigenfunciones.
Esta teoría vino a cambiar y revolucionar un aspecto importante en el análisis
matemático ya que antes de 1820 los trabajos enfocados a ecuaciones diferenciales
se enfocaban en encontrar soluciones en términos de fórmulas finitas.
Joseph Liouville (Marzo 1804 - Septiembre 1882) Estudió matemáticas en el Collè-
ge St. Louis en París, Francia. Tomó cursos impartidos por Ampere y Argo en la École
Polytechnique en 1825. Se graduó en 1827 con Prony y Poisson entre sus examinado-
res. De los trabajos que investigó destacan la fundación del Journal de Mathématiques
Pures et Appliquées. Fue profesor de análisis y la mecánica, definió operadores dife-
renciales de orden arbitrario. Investigó los criterios para las integrales de funciones
algebraicas. Otra aportación importante fue la construcción de una clase infinita de
números trascendentes usando fracciones continuas Agregar referencia.
Jacques Charles Francois Sturm (Ginebra, 29 Septiembre 1803 - París 18 Diciem-
bre 1855) Inició sus estudios en el año de 1821 en la academia de Ginebra. Su mentor
Simon Lhuilier reconoció el genio matemático que había en su discípulo. Tras termi-
nar su estudios empezó a trabajar como tutor en 1823 lo que le dejaba tiempo para
realizar sus propias investigaciones y escribir artículos sobre geometría en el Annales
de Mathématiques Pures et Appliquées. En 1825 Sturm y Colledon fueron a París para
20 Capítulo 2. Método SPPS
participar en cursos de matemáticas y física. En su estancia consiguió utilizar el la-
boratorio de André-Marie Ampère y asistió a conferencias impartidas por Ampère,
Gay-Lussac, Augustin-Louis Cauchy y Sylvestre Lacroix. Ganaron el premio grand
Prix de la Académie des Sciences garantizando su permanencia en París dedicados a
sus trabajos de investigación. En 1830 logró situarse como profesor del Collège Rollin,
fue elegido miembro de la Académie des Sciences en 1836. Durante esos años publicó
diversos trabajos sobre ecuaciones diferencialesAgregar referencia.
Los trabajos de estos dos autores entre 1836 y 1837 sobre ecuaciones diferencia-
les abarcan la expansión de funciones en series, hoy conocido como problema de
Sturm–Liouville sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Alguna de las aplicaciones que se pueden encontrar en los trabajos recientes es
para el diseño de divisores ópticos para aplicaciones FTTH [6]. Otro de los trabajos
que se pueden encontrar es SPPS para haces polinomiales de operadores de Sturm-
Liouville [23]. Este método es útil también para la investigación del análisis de la
dispersión de guía de onda en fibras de dispersión plana. Los problemas de Sturm-
Liuoville también tienen muchas aplicaciones, no solo en las matemáticas y la física.
En [9] se encuentra un estudio de estos problemas aplicados a la ingeniería biomé-
dica.
Series de potencias
Una serie de potencias está conformada por una serie de constantesa las que
se les puede llamar a0, a1, a2, a3, . . . , an seguidas de una variable x elevada a una
potencia entera creciente. Tomando la forma
a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3 + · · ·+ anxn + . . . (2.2)
También se pueden expresar de una forma más general como
a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + a3(x− a)3 + · · ·+ an(x− n)n + . . . (2.3)
donde a es otra constante. La ecuación (2.2) es conocida como serie de Mc Laurin y
(2.3) como serie de Taylor. Ésta se puede reducir a una serie de Mc Laurin con un
cambio de variable de la siguiente forma
x− a = x′.
Se llamará círculo de convergencia al intervalo abierto (−r, r).
Si se le asignan valores a la variable x se podrá saber si la serie converge o diver-
ge, es decir, si la serie cae dentro del círculo de convergencia o no.
Para r > 0
|x| < r, la serie converge,
|x| > r, la serie diverge,
|x| = r, la serie converge o diverge.
Si r =∞, el círculo de convergencia es toda la recta real.
Si r = 0, solo converge en ese punto x = 0.
2.2. Transmitancia y Reflectancia 21
El criterio de d’Alembert es una herramienta que ayuda a determinar el círculo de
convergencia de una serie de potencias. Se realiza la razón del n-ésimo término y el
siguiente como se muestra
sn+1
sn
=
|an+1|
|an|
.
Al final la fórmula para calcular el círculo de convergencia de una serie de po-
tencias está expresada como
r = ĺım
n→∞
|an|
|an+1|
. (2.4)
2.2. Transmitancia y Reflectancia
Para empezar nuestro desarrollo primero se deben conocer las ecuaciones que
determinarán la transmitancia y la reflectancia. Considere la Figura 2.1 en donde se
puede ver las tres diferentes regiones en donde se encuentra que en la región I y III
tienen índices de refracción constantes, mientras que este índice en la región II es
variable.
FIGURA 2.1: Índice de refracción no homogéneo
Si se considera una onda electromagnética representada por un campo eléctrico
y por un campo magnético que incide de forma normal, es decir, que su ángulo
de incidencia es de 90◦ con respecto al inicio de la región II , representados por las
funciones escalares u y v que satisfacen respectivamente la ecuación de Helmholtz
[15]
u
′′
(x) + [k2n2(x)− β2]u(x) = 0 (2.5)
n2(x)
(
1
n2(x)
v
′
(x)
)′
+
[
k2n2(x)− β2
]
v(x) = 0 (2.6)
donde:
u Representa la componente transversal del campo eléctrico.
v Representa la componente transversal del campo magnético.
k Número de onda circular en el espacio libre.
22 Capítulo 2. Método SPPS
n Índice de refracción.
β Es la constante de propagación, que depende del ángulo de incidencia según la
siguiente ecuación
β = k sen θ
si θ = 90 como se indicó anteriormente en el ángulo de incidencia, entonces β = 0.
Las ecuaciones (2.5) y (2.6) describen el comportamiento de los campos eléctrico
y magnético. Existe una transformación de (2.6) a (2.5). Si v es una solución de (2.6)
entonces U = vn es una solución para la ecuación (2.7) [15]
U
′′
(x) +
[
k2N2(x)− β2
]
U(x) = 0 (2.7)
donde:
k2N2 = k2n2 +
n
′′
n
− 2
(
n
′
n
)2
,
k1 =
√
k2n21 − β2,
k2 =
√
k2n22 − β2.
Las soluciones u de (2.5) y v de (2.6) y sus derivadas deben ser continuas inclu-
yendo los puntos donde x = 0 y x = d. La onda que pasa a través de la región I y
llega al punto x = 0 tiene la forma e−ik1x. A esta se le suma su onda reflejada deno-
tada por Reik1x quedando de la forma como se muestra en la ecuación (2.8) y para la
región III la señal tendrá una expresión como se muestra en la ecuación (2.9)
u(x) = e−ik1x +Reik1x, x < 0, (2.8)
u(x) = Te−ik2x, x > d, (2.9)
donde R es el coeficiente de reflexión (su valor absoluto deberá ser menor a 1) y T
es el coeficiente de transmisión.
En el caso de un medio no absorbente y considerando ondas incidentes de forma
normal la relación de conservación de la energía es denotada por la ecuación
|R|2 + n2
n1
|T |2 = 1. (2.10)
Suponga que hay dos soluciones linealmente independientes que satisfacen u1 y
u2 de la ecuación (2.5) en el intervalo no homogéneo de la región II , 0 ≤ x ≤ d, tal
que satisfacen las condiciones iniciales de la ecuación para u1 (2.11) y para u2 (2.12)
u1(0) = 1, u
′
1(0) = 0, (2.11)
u2(0) = 0, u
′
2(0) = 1. (2.12)
Entonces se podría obtener una solución analítica para calcular la reflectancia y
la transmitancia en términos de u1 y u2. La solución general para la región II (0 ≤
x ≤ d) se muestra en la ecuación
u = c1u1 + c2u2 (2.13)
donde c1 y c2 son constantes complejas arbitrarias, que serán calculadas más adelan-
te.
Para la región I x ≤ 0
Si se evalúa x = 0 en la ecuación (2.8) se obtiene
2.2. Transmitancia y Reflectancia 23
u(0) = e−ik1(0) +Reik1(0)
u(0) = e0 +Re0
u(0) = 1 +R (2.14)
si se deriva esta misma ecuación (2.8) se obtiene la siguiente expresión
u
′
(x) = −ik1e−ik1x + ik1Reik1x.
Evaluando x = 0 se obtiene
u
′
(0) = −ik1e−ik1(0) + ik1Reik1(0),
u
′
(0) = ik1(R− 1). (2.15)
Para la región III x ≥ d
Evaluando x = d en la ecuación (2.9) se obtiene
u(d) = Te−ik2d. (2.16)
Derivando (2.9) se obtiene
u
′
(x) = −ik2Te−ik2x.
Evaluando x = d se obtiene
u
′
(d) = −ik2Te−ik2d. (2.17)
Para la región II 0 ≤ x ≤ d
La ecuación que satisface la solución para esta región es (2.13) cumpliendo las
condiciones (2.11) y (2.12). Si se evalúa (2.13) en 0 se obtiene
u(0) = c1u1(0) + c2u2(0).
Si se consideran las condiciones de (2.11) y (2.12) se obtiene
u(0) = c1 · 1 + c2 · 0
u(0) = c1. (2.18)
Derivando 2.13 y evaluando nuevamente x = 0 se obtiene
u
′
(x) = c1u
′
1(x) + c2u
′
2(x)
u
′
(0) = c1u
′
1(0) + c2u
′
2(0).
Evaluando con las condiciones (2.11) y (2.12)
u
′
(0) = c1 · 0 + c2 · 1
u
′
(0) = c2. (2.19)
Como se puede observar de las ecuaciones (2.14) y (2.18) y de (2.15) y (2.19) se ob-
tienen los valores de c1 y c2 respectivamente. Estos pueden ser sustituidos en (2.13)
quedando de la siguiente manera
24 Capítulo 2. Método SPPS
u(x) = (1 +R)u1(x) + ik1(R− 1)u2(x).
Derivado esta ecuación se obtiene
u
′
(x) = (1 +R)u
′
1(x) + ik1(R− 1)u
′
2(x).
Si se evalúa en x = d se obtiene (2.20) y (2.21) que ayudarán a encontrar R y T
u(d) = (1 +R)u1(d) + ik1(R− 1)u2(d), (2.20)
u
′
(d) = (1 +R)u
′
1(d) + ik1(R− 1)u
′
2(d). (2.21)
Como se puede observar en 2.20 y 2.21 se podría sustituir los términos de u(d)
y u
′
(d) por los valores obtenidos en (2.16) y (2.17) de la región III respectivamente
quedando como
Te−ik2d = (1 +R)u1(d) + ik1(R− 1)u2(d), (2.22)
− ik2Te−ik2d = (1 +R)u
′
1(d) + ik1(R− 1)u
′
2(d). (2.23)
Se observa que se tiene un sistema de ecuaciones el cual se puede resolver por el
método de sustitución, empezando por despejar T de (2.22) quedando de la siguien-
te manera
T =
(1 +R)u1(d) + ik1(R− 1)u2(d)
e−ik2d
. (2.24)
Este resultado obtenido en (2.24) se substituye en (2.23) obteniendo las ecuacio-
nes de la Reflectancia y Transmitancia como lo muestran las siguientes expresiones
respectivamente
R =
−k1k2u2(d)− ik2u1(d) + ik1u′2(d)[
u
′
1(d)− k1k2u2(d)
]
+ i
[
k2u1(d) + k1u
′
2(d)
] , (2.25)
T =
2ik1
[
u1(d)u
′
2(d)− u
′
1(d)u2(d)
]
eik2d[
u
′
1(d)− k1k2u2(d)
]
+ i
[
k2u1(d) + k1u
′
2(d)
] . (2.26)
2.3. Construcción de las soluciones mediante series de potencias 25
2.3. Construcción de las soluciones mediante series de poten-
cias
Ahora que se tienen las ecuaciones de Reflectancia y Transmitancia en función
de u1, u2, u
′
1 y u
′
2 se deben calcular estos valores a través del método SPPS, cuidando
que satisfagan las condiciones (2.11) y (2.12).
Considere la ecuación diferencial de Sturm-Liouville de segundo orden
(pv
′
)
′
+ qv = β2rv (2.27)
donde p, q y r son funciones complejo valuadas de una variable independiente real
x ∈ [0, d] que cumplen con cierta condición de continuidad y β es un número com-
plejo arbitrario que representa el parámetro espectral.
Para emplear el método SPPS [23] se requiere de una solución particular v0 para
la ecuación
(pv
′
0)
′
+ qv0 = 0 (2.28)
donde v0 es una función de x que satisface una condición de suavidad, y tal que las
funciones v20r y
1
v20p
son continuas en el intervalo [0, d] . Entonces la solución general
de (2.27) en (0, d)es denotada por
v = c1v1 + c2v2 (2.29)
donde c1 y c2 son constantes complejas arbitrarias y v1 y v2 están definidas por Agre-
gar referencia del pdf 0811.4488.pdf
v1 = v0
∞∑
npar=0
βnX̃(n), (2.30)
v2 = v0
∞∑
nimpar=1
βnX(n), (2.31)
donde X̃(n) yX(n) están definidas por las siguientes condiciones e igualdades recur-
sivas (2.32) y (2.33) respectivamente
X̃(0) ≡ 1, X(0) ≡ 1,
X̃(n)(x) =

∫ x
0
X̃(n−1)(s)v20(s)r(s)ds n impar,
∫ x
0
X̃(n−1)(s)
1
v20(s)p(s)
ds n par.
(2.32)
X(n)(x) =

∫ x
0
X(n−1)(s)
1
v20(s)p(s)
ds n impar,
∫ x
0
X(n−1)(s)v20(s)r(s)ds n par.
(2.33)
Como se mencionó anteriormente, la reflectancia y la transmitancia están en fun-
ción de u1 y u2 con sus derivadas respectivamente. Primero se obtendrán los valores
26 Capítulo 2. Método SPPS
para cuando x = 0 en estas funciones, así que derivando (2.30) y (2.31) se obtienen
2.34 y 2.35 respectivamente.
v′1(x) = v0(x)
 ∞∑
npar
βnX̃(n)(x)
′ + v′0
 ∞∑
npar
βnX̃(n)(x)
 , (2.34)
v′2(x) = v0(x)
 ∞∑
nipmar
βnX(n)(x)
′ + v′0 ∞∑
nimpar
βnX(n)(x). (2.35)
Ahora que se tienen los términos v′1 y v
′
2 es necesario hacer una evaluación cuan-
do x = 0 en (2.30), (2.31), (2.34) y (2.35).
Para (2.30) se obtiene
v1(x) = v0(x)
∞∑
npar=0
βnX̃(n)(x).
Desarrollando la serie se obtiene lo siguiente
v1(0) = v0(0)
[
β0X̃(0)(0) + β2X̃(2)(0) + β4X̃(4)(0) + . . .
]
Como las condiciones dicen que esta sumatoria es para n pares desde 0 hasta∞
se tiene que los exponentes tienen ese orden 0, 2, 4, . . . . El primer término de la suma
está elevado a la potencia cero por lo que según las condiciones X̃(0) ≡ 1 y β0 = 1,
por lo que el primer término de la suma es igual a 1. En los siguientes términos se
pueden ocupar las funciones recursivas como lo marca la ecuación (2.32) pero al ser
evaluadas en 0 los límites de la integral irían de 0 hasta 0. Entonces el resultado de
estas integrales es igual a cero.
v1(0) = v0(0)
β0X̃0 + β2
∫ 0
0
X̃(2−1)(0)
1
v20(0)p(0)
dx+ β4
∫ 0
0
X̃(4−1)(0)
1
v20(0)p(0)
dx+ . . .︸ ︷︷ ︸
integral evaluada de 0 a 0 igual a cero

Finalmente se obtiene
v1(0) = v0(0).
Para su derivada obtenida en (2.34) se tiene el siguiente desarrollo
v′1(x) = v0(x)
∞∑
npar
βnX̃(n)
′
(x) + v′0(x)
∞∑
npar
βnX̃n(x).
Desarrollando el primer término sustituyendo la función recursiva de (2.32) se
obtiene
v′1(x) = v0(x)
∞∑
npar
βn
[∫ x
0
X̃(n−1)(x)
1
v20(x)p(x)
dx
]′
+ v′0(x)
∞∑
npar
βnX̃n(x).
2.3. Construcción de las soluciones mediante series de potencias 27
Como se puede observar la integral está siendo derivada por lo que quedaría la
misma función, obteniendo lo siguiente
v′1(x) = v0(x)
∞∑
npar
βnX̃(n−1)(x)
v20(x)p(x)
+ v′0(x)
∞∑
npar
βnX̃n(x).
Si se desarrolla la suma del primer término desde n = 0 en pares se obtiene
v′1(x) = v0(x)
[
β0X̃(−1)(x)
v20(x)p(x)
+
β2X̃(1)(x)
v20(x)p(x)
+
β4X̃(3)(x)
v20(x)p(x)
+ . . .
]
+ v′0(x)
∞∑
npar
βnX̃n(x).
En [23] se encuentra la condición que dice X̃(n) ≡ X(n) ≡ 0 para n < 0. Entonces
el primer término de la suma desarrollada es igual a cero. Para todos los demás
términos al evaluar x = 0 se hacen cero, por lo que el total de la suma es igual a cero.
Solo quedaría el segundo término del desarrollo
v′1(x) = v0(x)
β
0X̃(−1)(x)
v20(x)p(x)
+
β2X̃(1)(x)
v20(x)p(x)
+
β4X̃(3)(x)
v20(x)p(x)
+ . . .︸ ︷︷ ︸
Suma igual a cero
+ v′0(x)
∞∑
npar
βnX̃(n)(x)
v′1(x) = 0 + v
′
0(x)
∞∑
npar
βnX̃n(x)
v′1(0) = v
′
0(0)
[
β0X̃(0) + β2X̃(2) + β4X̃(4) + . . .
]
.
Como se ve en este desarrollo, es idéntico al de v1 por lo que se puede deducir el
resultado como :
v′1(0) = v
′
0(0).
El desarrollo para (2.31) es similar al de 2.30. Primero se desarrolla la serie y
posteriormente se evalúa cuando x = 0
v2(x) = v0(x)
∞∑
nimpar=1
βnX(n)(x)
v2(x) = v0(x)
[
β1X(1)(x) + β3X(3)(x) + β5X(5)(x) + . . .
]
.
Como se puede observar ningún término está elevado a la potencia cero y si se
calculan las funciones recursivas (2.33) y se evalúan en x = 0 toda la serie es igual a
cero.
v2(0) = v0(0)
[
β1X(1)(0) + β3X(3)(0) + β5X(5)(0) + . . .
]
28 Capítulo 2. Método SPPS
v2(0) = v0(0)
β1
∫ 0
0
X(1−1)(0)v20(0)r(0)dx+ β
3
∫ 0
0
X(3−1)(0)v20(0)r(0)dx+ . . .︸ ︷︷ ︸
Valor de las integrales igual a cero

Por lo tanto:
v2(0) = 0.
Para la derivada de v2 de (2.35) se tiene el siguiente desarrollo:
v′2(x) = v0(x)
 ∞∑
nimpar
βnX(n)(x)
′ + v′0 ∞∑
nimpar
βnX(n)(x).
El segundo término de esta expresión es muy similar al de la derivada anterior
por lo que se deduce que su resultado será igual a cero. Lo que queda a desarrollar
es la primera parte
v′2(x) = v0(x)
∞∑
nimpar
βn
[∫ x
0
X(n−1)(x)
v20(x)p(x)
ds
]′
.
Nuevamente se tiene la derivada de una integral por lo que queda la función
original de la siguiente manera
v′2(x) = v0(x)
∞∑
nimpar
βnX(n−1)(x)
v20(x)p(x)
.
Desarrollando la serie se obtiene
v′2(x) = v0(x)
[
β1X(0)(x)
v20(x)p(x)
+
β3X(2)(x)
v20(x)p(x)
+
β5X(4)(x)
v20(x)p(x)
+ . . .
]
Cuando evaluamos a x = 0 los términos de la suma a partir del segundo se hacen
cero. El único que queda es el primero
v′2(0) = v0(0)
β1X(0)(0)
v20(0)p(0)
.
Se reduce la ecuación como se muestra en la siguiente expresión
v′2(0) =
β
v0(0)p(0)
.
Se resumen los resultados de las funciones evaluadas en x = 0 con la siguiente
tabla.
v1(0) = v0(0) v
′
1(0) = v
′
0(0)
v2(0) = 0 v
′
2(0) =
1
v0(0)p(0)
CUADRO 2.1: Resultados del análisis de v1, v′1, v2 y v′2 evaluados en
x = 0
2.3. Construcción de las soluciones mediante series de potencias 29
Como se sabe, en un cálculo práctico estas series no pueden calcularse con un
número infinito de términos. Por esta razón se truncan hasta un cierto número N de
potencias. Existen algunas incógnitas para elegir un número ”N” suficientemente
grande para obtener una buena aproximación pero sin que tarde demasiado el pro-
ceso de simulación. Si se elige un número muy pequeño el error será grande, sin em-
bargo si se elige un número muy alto es posible que se alargue el tiempo de cómputo
innecesariamente. En [errorSPPS] se considera la ecuación de Sturm-Liouville (2.27)
en [a, b] con cualquier condición inicial deseada. La implementación numérica de la
solución a través de la representación (2.30) y (2.31) para una solución general es al-
gorítmicamente simple. Se deben considerar la precisión del cálculo de las integrales
iteradas en (2.32) y (2.33), y la tasa de convergencia de la serie (2.30) y (2.31), porque
en el trabajo numérico se debe trabajar con un número finito de términos. Los prin-
cipales parámetros que se pueden controlar son el número M de subintervalos en
los que se divide el segmento [a, b] al integrarse numéricamente y el número N de
potencias en la serie truncada. Con respecto a N , observe que no siempre se puede
esperar una buena aproximación de la solución en el intervalo [a, b] con una serie de
N términos, sin importar con qué precisión se calculan las integrales, si no se escoge
a N de manera adecuada. Sin embargo, utilizando la estimación de
∣∣∣X̃2k∣∣∣ y ∣∣X2k−1∣∣
se puede obtener una estimación aproximada pero útil para la cola de la SPPS. [5]
A saber, considere el error de aproximación entre la solución exacta v1 y la solución
aproximada v1, N que se calcula con |u1 − u1,N | donde
v1,N = v0
N∑
k=0
λkX̃(2k).
Se tiene que
|v1 − v1,N | = |v0|
∣∣∣∣∣
∞∑
k=N+1
λkX̃(2k)
∣∣∣∣∣ ≤ max |v0|
∞∑
k=N+1
ck
(2k)!
= max |u0|
∣∣∣∣∣cosh√c−
N∑
k=0
ck
(2k)!
∣∣∣∣∣
donde c = (d|λ|)2(max
∣∣∣ rp ∣∣∣). Esta estimación da una simple herramienta para calcu-
lar N , la cual garantiza una precisión establecida a priori ε = max |v1 − v1,N |.
Es importante notar que la solución particular requerida que no se hace cero v0,
al menos en el caso de una ecuación regular con coeficientes de valores reales, siem-
pre existe o puede ser construida fácilmente. Solamente hay que tomar cualquier par
de soluciones linealmente independientes de (2.27) v0,1 y v0,2; tal que sus ceros no
coincidan ya que de lo contrario su wronskiano se haríacero y dejarían de ser lineal-
mente independientes, y por lo tanto v0 puede ser elegida como v0 = v0,1 + iv0,2.
Además v0 también puede ser construido de la misma manera para las soluciones
v1 y v2, considerando un caso especial del resultado presentado con q ≡ 0, β = 1. Es
decir, que 1p y r sean continuos en el intervalo [0, d]. La solución general de la ecua-
ción (pv′)′ = rv en el intervalo (0, d) tiene la misma forma que (2.29) donde, como
se resolvió anteriormente, c1 y c2 son constantes arbitrarias. También v1 y v2 están
definidas de la misma manera que las ecuaciones (2.30) hasta (2.33) con v0 ≡ β = 1.
Como caso especial se menciona otra importante situación. De manera continua
en teoría electromagnética es necesario resolver la siguiente ecuación
30 Capítulo 2. Método SPPS
− d
2v(x)
dx2
+ k2q(x)v(x) = 0 (2.36)
para diferentes valores de la constante compleja k2. La solución general puede ser
representada de la siguiente manera:
v = c1
∞∑
npar=0
knW̃ (n) + c2
∞∑
nimpar=1
kn−1W (n)
donde W (n) y W̃ (n) están definidas como lo indica (2.37)
W̃ (n) ≡ 1, W (0) ≡ 1, (2.37)
y para n ∈ N
W̃ (n)(x) =

∫ x
0
W̃ (n−1)(s)q(s)ds n impar,
∫ x
0
W̃ (n−1)(s)ds n par.
(2.38)
W (n)(x) =

∫ x
0
W (n−1)(s)ds n impar,
∫ x
0
W (n−1)(s)q(s)ds n par.
(2.39)
Una vez que W (n) y W̃ (n) son calculados hasta cierto orden N , una solución
aproximada de (2.36) es simplemente un polinomio en k con coeficientes W (n) y
W̃ (n) calculados.
Esta observación también es válida en el caso de la solución (2.30) y (2.31) de la
ecuación (2.27). Además esta propiedad es bastante útil para soluciones numéricas
de los problemas espectrales correspondientes que luego se reducen a la búsqueda
de ceros de polinomios con respecto a k o β respectivamente.
En [15] se mencionan algunos métodos alternativos para conseguir estas apro-
ximaciones de la solución general de (2.27) pero donde el parámetro β participa de
una manera muy complicada.
Existen otros métodos de solución, como por ejemplo Método de Diferencias Fi-
nitas consiste en la aproximación de las derivadas parciales por expresiones alge-
braicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número de pun-
tos seleccionados [MDF_tesis]. Como resultado de esta aproximación, la ecuación
diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito
de ecuaciones algebraicas, en términos de los valores de la variable dependiente en
puntos seleccionados. Éstos se convierten en incógnitas y el sistema de ecuaciones
algebraicas debe ser resuelto y puede llevar a un número muy largo de operaciones
aritméticas.
31
Capítulo 3
Análisis de perfiles periódicos y
apodizados
3.1. Introducción
En este capítulo se proponen diferentes perfiles sobre el índice de refracción en la
región II el cual dará una respuesta en términos de la reflectancia y la transmitancia
para un cierto rango de longitudes de onda. Está será almacenada y analizada. Estas
propuestas de índices de refracción podrán tener una variación en sus valores desde
1.47 hasta 4.43 debido a que en estos niveles se manejan actualmente los índices
de refracción de los materiales adecuados para fabricar estas capas. El análisis de
estos perfiles se dividirá en Potencia del argumento = 1 y 2 que se explicarán más
adelante. Después se subdividirán en Parte 1 y 2 donde la primera parte tendrá una
amplitud menor a la segunda y cada parte estará dividida en diferente espesor de la
capa no homogénea. Aquí se proponen los casos en donde la distancia es de 0.65µm,
1.3µm, 1.625µm y 1.95µm. Cada una de éstas mostrará su respuesta considerando
números diferentes de periodos o ciclos que por lo general varían de 2 a 20 ya que
después de estos 20 ciclos la transmitancia y reflectancia se vuelven a estabilizar en
sus máximos correspondientes, es decir, que regresan a una transmitancia máxima
del la totalidad de la señal insertada y una reflectancia prácticamente nula como lo
ilustra la siguiente Figura.
FIGURA 3.1: Transmitancia y Reflectancia usando periodos muy altos
En este capítulo se mostrarán solo las respuestas más sobresaliente así como su
índice de refracción respectivo que cumplan con algunos o todos de los criterios re-
queridos que son el rango espectral libre por sus siglas en ingles FSR (Free Spectral
Range), la relación de supresión del modo lateral por sus siglas en ingles SMSR (Si-
de Mode Suppression Ratio) y el ancho de banda total a la mitad del máximo por sus
32 Capítulo 3. Análisis de perfiles periódicos y apodizados
siglas en ingles FWHM, (Full Width at Half Maximum). Sin embargo, hay varias res-
puestas que son de interés para esta investigación pero que no cumplen con todos los
criterios requeridos. Estos son serán colocadas en el Apéndice A para su apreciación.
En el caso del FSR que se explicó anteriormente en el capitulo 1 se espera obtener
valores igual o mayores a 20 nm, para conseguir esta distancia se debe medir el valor
máximo al siguiente pico más cercano, en caso de que no exista otro pico se considera
el valor al 50 % como se mostró en la Figura 1.2. Para nuestro segundo criterio que
es el SMSR se espera obtener valores de 10 a 7 dB, es la relación de potencia entre el
pico máximo central con el siguiente pico más cercano, su calculo corresponde a la
ecuación
MSSR = 10 log
(
PF
PL
)
donde. PF es el pico del filtro en porcentaje y PL es el pico más alto del lóbulo lateral
más cercano. Finalmente para el FWHM se desean valores menores o igual a 20 nm.
Ya que estos parámetros se ocupa en sistemas WDM, y se obtiene midiendo el ancho
a la mitad del pico máximo. Estos cálculos se realizaran a partir del perfil apodizado
1.
Recuerde que una de las condiciones que requiere este método es que los perfiles
propuestos deben tener continuidad, es decir, que no haya saltos abruptos en el ín-
dice de refracción (o por lo menos que el número de dichos saltos sea finito). Es por
eso que los perfiles propuestos en este trabajo son todos de tipo sinusoidal y tanto
su inicio como su termino están en el mismo valor del índice de refracción como lo
muestra la Figura 3.2
3.1. Introducción 33
(A) Perfil 1 (B) Perfil 2
(C) Perfil 3 (D) Perfil 4
(E) Perfil 5
FIGURA 3.2: A) Perfil Sinusoidal; B) - E) Perfiles apodizados.
Recuerde que estos perfiles son por el momento ilustrativos ya que como se men-
cionará durante su análisis, se harán variar con su argumento, amplitud y frecuencia.
34 Capítulo 3. Análisis de perfiles periódicos y apodizados
3.2. Perfil Sinusoidal
En la primera parte se empezará proponiendo un perfil sinusoidal como lo mues-
tra la Figura 3.2a. Este conservará su amplitud y se hará variar en frecuencia, es decir,
en el número de ciclos que tendría conservando el mismo espesor. También se de-
be considerar la longitud de onda λ, es decir, que se graficará a lo largo de las tres
ventanas ópticas en las que opera la fibra óptica.
Como se acaba de mencionar, se empezará variando la frecuencia incrementando
el número de periodos como lo muestra la siguiente figura.
(A) Periodo =
1
(B) Periodo =
2
(C) Periodo =
4
FIGURA 3.3: Periodos en simulación
3.2.1. Parte 1
Para la primera parte se propondrá que el índice de refracción en las regiones I y
III así como el inicio y final de la región II sea de 2.5 esto es debido a que la magni-
tud propuesta es de 1 hacia arriba y hacia abajo por lo que el perfil tendrá un mínimo
de 1.5 y un máximo de 3.5. Esté perfil opera en el rango propuesto anteriormente. A
continuación se mostrarán las gráficas más relevantes con su perfil. El resto de éstas,
correspondientes a más evaluaciones, se incluirán en el Apéndice A.
Para un ancho del filtro de 0.65µm se obtiene el resultado mostrado en la Figura
3.4a.
3.2. Perfil Sinusoidal 35
(A) Respuesta al perfil
(B) n(x) = 2.5+sen( 9πx
d
)
FIGURA 3.4: Respuesta del índice de refracción con una d = 0.65 µm.
Se nota que en este espesor los resultados que arrojó este tipo de perfil no indican
un filtro selectivo, sin embargo