Analisis-de-campos-electromagneticos-en-el-interior-de-un-motor-de-induccion---1996---Ingenieria-Electrica

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I N S T I T U T O P O L I T E C N I C O N A C I O N A L 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA 
MECANICA Y ELECTRICA 
SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO 
E INVESTIGACION 
f S S -•* ' •*. - <* 
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I . P . N 
B I B L I O T E C A 
S E p | 
ANALISIS DE CAMPOS ELECTROMAGNETICOS EN EL INTERIOR 
DE UN MOTOR OE INDUCCION ROTOR JAULA DE ARDILLA 
Y SU APLICACION AL ESTUDIO DEL ARRANQUE 
Y CORTO CIRCUITO 
T E S I S 
PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO 
MAESTRO EN CIENCIAS CON LA ESPECIALIDAD 
EN INGENIERIA ELECTRICA 
P R E S E N T A 
E N R I Q U E B E R N A L L U N A 
MEXICO. D. F . 5 3 T 2 7 3 FEBRERO. 1996 
D I R L C C I O N DE E S T U D I O S DE P O S C R A D O E I N V E S T I G A C I O N 
D I V I S I O N DE ESTUDIOS DE P O S C R A D O 
• A C T A D ü REVISION DE T E S I S •* 
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Cn ¡a ciudad de M é x i c o / • D I / T F V , ' . ( siendo las : = Í 0 » 0 Ó V horas del día 23 
Octubre de i '995 , sé reunieron los miembros de la Comisión Revisora de Tesis designada 
por el Colegio de Profesoras de. Estudios de Pqsgrado e Investigación dei E . S . I . M . E 
«vórninar la tesis de grado titulada: i.» •;«••.'. '"-.F"'' 
' ; UV;' ¿ ! > '* ! . • . • u r - . i W ' 3 . . ' > ! i » - - ; ' - - . - ' _ M . >.1 *•*, 
del mes de 
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, para 
ANALISIS DE CAMPOS pLÉ¿TljtOMAGftETIC^ UN MOTOR DE 
INDUCCION Y SU A ^ D ^ X Q N M ' Í $ S T U D ^ . $ ¿ L $ $ { & ^ E Y j&ORTO CIRCUITO* 
<X: p¡ asentada por el alumno:-}» Ul t*< '• ' : • ^ • » i : ¡ v ' ^ ¿ f V / . v V - f ^ - ! . ' v - m 
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aspirante al grado de:'ty- j:-'{K^:-.: •'' iJf?wÁ-Vf^V^-¿y*v'«?• 3TCvft-.r '• 
¿ v / I N G E N I E R Í A ' E Ú S C T R Í I C Á ' A 
Después de intercambiar opiniones jos miembros deTa Comisión .niánifeslaron S U A P R O B A C I O N 
DE LA TESIS, en virtud de qúé'salisfa'ce los requisi los>eñalados por.la'V'dispó'siciones reglamentarias 
virantes. 
yf'-;, ; ;.p« . !FRANCISCO. DE ÍLEON GOtíE^'MAQUECT 
b :1 ,.: (Director de Tesis) - -.i . : 
•DR. TADEUSZ 
SECRETARIO 
M. eh C . OSCAR PATLAN FRAUSTO 
SEGUNDO VOCAL 
M. en C . TOMAS ASIAIN OLIVARES 
TERCER VOCAL 
DR. 
E l P R t S J U 
—_ _ $g<fgtm z 
I-LLEIÍMO URRIOLAGOITIA CAL§JÜ$«HM!ife^; 3 
RECONOCIMIENTOS 
• 
M i m a y o r a g r a d e c i m i e n t o al Dr . F r a n c i s c o d e L e ó n G ó m e z M a q u e o p o r la g r a n 
c a n t i d a d d e a p o y o s b r i n d a d o s p a r a la r e a l i z a c i ó n d e e s t a t e s i s , q u e s in s u a y u d a n o 
h u b i e r a s i d o p o s i b l e . 
G r a c i a s a los p r o f e s o r e s y p e r s o n a l q u e c o n f o r m a n la S e c c i ó n d e P o s g r a d o e 
I n v e s t i g a c i ó n d e la E s c u e l a S u p e r i o r d e I n g e n i e r í a M e c á n i c a y E l é c t r i c a . 
G r a c i a s al I n s t i t u t o P o l i t é c n i c o N a c i o n a l , al C o n s e j o d e l S i s t e m a d e E d u c a c i ó n 
T e c n o l ó g i c a y a la C o m i s i ó n F e d e r a l d e E l e c t r i c i d a d p o r el a p o y o b r i n d a d o . 
INDICE 
Pag. 
R E S U M E N 
A B S T R A C T 
I N D I C E D E F I G U R A S 
I N D I C E D E T A B L A S 
C A P I T U L O 1. I N T R O D U C C I O N 
1.1. Antecedentes 1.1 
1.2. Objetivo 1.2 
1.3. Justificación 1.2 
1.4. Importancia del trabajo 1.3 
1.5. Antecedentes Históricos y Análisis Bibliográfico 1.3 
1.6. Alcances y Limitaciones 1.5 
1.7. Contribuciones Originales 1.6 
1.8. Organización de la Tesis 1.7 
C A P I T U L O 2. F O R M U L A C I O N E L E C T R O M A G N E T I C A 
B I D I M E N S I O N A L D E L M O T O R D E I N D U C C I O N T I P O 
JAULA DE ARDILLA 
2.1 . Introducción 2.1 
2.2. Formulación Electromagnética del motor de inducción tipo jaula de 
ardilla 
2.2.1. Planteamiento del problema 2.1 
2.2.2. Formulación matemática 2.3 
2.3. Transformación galileana de campos escalares y vectoriales en el 
espacio 2.4 
2.4. Transformación galileana de campos escalares y vectoriales en el 
tiempo 2.6 
2.5. Transformación galileana de las ecuaciones de Maxwell 2.8 
2.6. Condiciones en la frontera 2.13 
C A P I T U L O 3. M O D E L A D O M A G N E T O - E L E C T R I C O D E L M O T O R 
D E I N D U C C I O N T I P O JAULA DE ARDILLA 
3.1. Introducción 3.1 
3.2. Modelo magnético del motor de inducción tipo jaula de ardilla 3.1 
3.3. Modelo eléctrico del motor de inducción tipo jaula de ardilla 3.5 
1.1 
C A P I T U L O 4. A N A L I S I S D E R E S U L T A D O S 
Pag. 
4 .1 . Análisis de resultados del estudio electromagnético 
4.1.1. Resultados 4.1 
4.1.2. Análisis e interpretación de resultados 
4.1.2.1. Potencial vectorial magnético 4.2 
4.1.2.2. Intensidad de campo eléctrico 4.15 
4.1.2.3. Densidad de campo magnético tangencial 4.16 
4.1.2.4. Densidad de campo magnético radial 4.16 
4.1.2.5. Vector de Poynting radial 4.17 
4.1.2.6. Vector de Poynting tangencial 4.18 
4.1.2.7. Pérdidas radiales 4.18 
4.1.2.8. Fuerza radial de compresión 4.19 
4.1.2.9. Par 4.19 
4.2. Simulación digital del transitorio en el arranque y durante un corto 
circuito 4.19 
4.2.1. Adaptación del modelo eléctrico del motor de inducción para 
estudios de transitorios electromagnéticos lentos 4.20 
4.2.2. Análisis e interpretación de resultados 4.24 
C A P I T U L O 5. C O N C L U S I O N E S Y R E C O M E N D A C I O N E S P A R A 
T R A B A J O S F U T U R O S 
5.1 . Conclusiones 5.1 
5.2. Recomendaciones para trabajos futuros 5.2 
R E F E R E N C I A S 
A P E N D I C E S 
Apéndice A . C I L I N D R O C O N D U C T O R S O M E T I D O A C A M P O 
E L E C T R O M A G N E T I C O P U L S A T O R I O 
Apéndice B . P A R A M E T R O S , C O N S T A N T E S Y C A L C U L O S 
B . l . Datos de propiedades de los materiales B . l 
B .2 . Datos de placa del motor de prueba y parámetros medidos B . l 
B . 3 . Dimensiones de los componentes del motor B.2 
B.4 . Cálculos 
B . 4 . 1 . Longitud estimada del devanado del estator y cálculo de su 
inductancia interna. B.2 
1.2 
Pag. 
B.4.2. Momento polar de inercia del rotor 
B.4.3. Cálculo de pérdidas 
B.2 
B.2 
Apéndice C . L I S T A D O D E L P R O G R A M A D E MATHEMATICA P A R A 
G R A F I C A D O D E V A R I A B L E S E L E C T R O M A G N E T I C A S Y 
C A L C U L O D E P A R A M E T R O S D E L M O D E L O E L E C T R I C O 
Apéndice D . A R C H I V O S D E D A T O S P A R A E L EMTP 
D . l . Archivo de datos para la simulación del arranque D . l 
D.2. Archivo de datos para la simulación durante un corto circuito trifásico D.6 
Apéndice E . S I M B O L O G I A , N O M E N C L A T U R A Y NOTAS 
E . l . 
E . 2 . 
E . 3 . 
Simbología 
E . l . l . Simbología de variables y parámetros 
E.1 .2 . Simbología de subíndices 
E.1 .3 . Simbología de abreviaturas 
Nomenclatura en tablas 
Notas en tablas 
E . l 
E . 3 
E . 5 
E . 5 
E . 9 
1.3 
R E S U M E N 
Esta tesis presenta un modelo trifásico del motor de inducción tipo jaula de ardilla para 
el cálculo de transitorios electromagnéticos. E l modelo consiste de una red de elementos 
eléctricos lineales calculados a partir del estudio de campos electromagnéticos. Este modelo es 
interfasado con el programa de transitorios electromagnéticos EMTP. 
E l estudio de campos electromagnéticos se efectúa considerando que el motor de 
inducción consta de cinco regiones (cilindros concéntricos) de longitud axial infinita. Los núcleos 
magnéticos de hierro (del estator y del rotor) están laminados, se desprecian la histéresis y la 
saturación y no se incluye el amortiguamiento de las corrientes circulantes parásitas (eddy) en 
los núcleos de hierro. L a jaula de ardilla es un conductor, el entrehierro y la región externa se 
consideran como aire. E l devanado del estator esta representado por una corriente laminar que 
posee la misma variación temporal de una onda viajera senoidal. 
E l modelo eléctrico se obtiene de la aplicación del principio de dualidad al circuito 
magnético. E l número de trayectorias del flujo magnéticose elige dependiendo de la exactitud 
deseada. 
E l principio de dualidad se aplica también en el estudio mecánico , los parámetros 
(momento polar de inercia, coeficiente de amortiguamiento y la constante de rigidez torsional) 
se representan por elementos eléctricos que se conectan al modelo eléctrico. 
Los parámetros del modelo eléctrico pueden calcularse para diferentes velocidades. E n 
esta tesis, se calculan para las condiciones de arranque y velocidad nominal. 
Se ha desarrollado un programa (escrito en "Mathematica") para la evaluación de 
funciones matemáticas especiales (funciones Bessel y sus operadores) requeridas para el cálculo 
de los parámetros del modelo eléctrico y para la evaluación de las gráficas tridimensionales de 
las variables electromagnéticas. 
E l estudio de campos electromagnéticos fue validado al comparar el par de arranque y 
nominal calculados con valores medidos. Los resultados fueron comparados con pruebas en 
laboratorio para validar la simulación digital del transitorio en el arranque con el modelo 
eléctrico desarrollado. 
A B S T R A C T 
This thesis presents a model for the three phase squirrel cage induction motor suitable 
for the calculation of electromagnetic transients. The model consists of a network of linear 
electric elements computed from the study of electromagnetic fields. This model is interfaced 
with an electromagnetic transient program (EMTF). 
The electromagnetic field study is performed considering that the induction motor consists 
of five regions (concentric cylinders) with infinite axial length. The magnetic iron core (of the 
stator and rotor) is laminated, hysteresis and saturation are neglected, the damping produced by 
the eddy currents in the iron core is not included. The squirrel cage is a conductor, the airgap 
and external región are considered as air. The stator winding is represented by a current sheet 
with the same time variation as the sinusoidal travelling wave. 
The electric model is obtained from the application of the principie of the duality to the 
magnetic circuit. The number of magnetic flux trajectories is chosen depending on the desired 
accuracy. 
The principie of duality is also applied to the mechanical study, the parameters (polar 
momentum of inertia, damping coefficient and torsional spring constant) are represented by 
electric elements that are connected to the electric model. 
The parameters of the electric model can be calculated for different speeds. I n this thesis, 
they are calculated for the starting conditions and for nameplate speed. 
A program (written in "Mathematica V.2.") has been developed for the evaluation of the 
mathematical special functions (Bessel functions and their operators) required for the calculation 
of the magnetic and electric lumped parameters of the models. The program can also display the 
3 -D plots of the electromagnetic variables. 
The study of electromagnetic fields was validated by the comparison of the calculated 
starting and nominal torques with measured valúes. To valídate the digital simulations of the 
starting transient using the electric model developed, the results were compared with laboratory 
tests. 
INDICE DE FIGURAS 
Figuras 
2.1. Configuración de cilindros concéntricos de longitud axial infinita que 
representan un motor de inducción, donde: (1).- Núcleo laminado del rotor; 
(2).- Jaula de ardilla maciza; (3).- Entrehierro; (4).- Núcleo laminado del 
estator; (5).- Medio externo y (K ) . - Corriente laminar que representa el 
devanado del estator. Las regiones (1) y (2) se encuentran girando a velocidad 
constante. 
2.2. Dos marcos de referencia, uno de los cuales se encuentra fijo y el otro gira 
a una velocidad angular constante w w . Un punto en el espacio en el sistema 
de referencia fijo esta representado por el vector de posición r (en 
coordenadas cilindricas), mientras que para el sistema que se encuentra 
girando el punto esta representado por el vector de posición r'. 
3.1. Circuito magnético del motor de inducción. 
3.2. Circuito eléctrico del motor de inducción. 
3.3. Variación de la inductancia tangencial en la jaula de ardilla, al variar la 
velocidad de rotación. 
3.4. Variación de la inductancia tangencial en el entrehierro, al variar la velocidad 
de rotación. 
4.1. Módulo del efecto transformador de la intensidad de campo eléctrico (E -
fyinif) en el núcleo laminado del rotor, para k—J cuando se encuentra 
girando. 
• 
4.2. Módulo de la densidad de campo magnético radial (Br - [Wb/m2]) en el núcleo 
laminado del rotor, para k=l cuando se encuentra girando. 
4.3. Módulo de la densidad de campo magnético tangencial [B - fWb/m2J) en el 
núcleo laminado del rotor, para k=l cuando se encuentra en reposo. 
4.4. Módulo del efecto rotacional de la intensidad de campo eléctrico (E - jV/mJ) 
en el núcleo laminado del rotor, para k = l cuando se encuentra girando. 
4.5. Módulo del efecto resultante de la intensidad de campo eléctrico (E - [V/m]) 
en el núcleo laminado del rotor, para k = l cuando se encuentra girando. 
4.6. Módulo del efecto resultante de la intensidad de campo eléctrico (E - fV/mJ) 
en la jaula de ardilla, para k = l cuando se encuentra girando. 
IF.1 
4.7. Módulo del vector de Poynting radial ( I I r - [W/m2]) en la jaula de ardilla, 
para k=l cuando se encuentra en reposo. 4.4 
4.8. Módulo del efecto transformador del vector de Poynting tangencial (11^ -
[W/m2]) en la jaula de ardilla, para k=I cuando se encuentra girando. 4.4 
4.9. Módulo de la densidad de campo magnético radial (Br - [Wb/m2]) en la jaula 
de ardilla, para k=l cuando se encuentra girando. 4.5 
4.10. Módulo del efecto transformador de la intensidad de campo eléctrico (E -
¡V/mJ) en la jaula de ardilla, para k=2 cuando se encuentra girando. 4.5 
4.11. Módulo de la densidad de campo magnético radial (Br - [Wb/m2]) en el núcleo 
laminado del estator, para k-1 cuando se encuentra girando el rotor. 4.5 
4.12. Módulo del vector de Poynting radial (Eír - [W/m2J) en el núcleo laminado del 
estator, para k=J cuando se encuentra girando el rotor. 4.5 
4.13. Módulo del potencial vectorial magnético (A - [Wb/m]) en la región externa, 
para k=l cuando se encuentra girando el rotor. 4.6 
4.14. Módulo de la densidad de campo magnético radial (Br - [Wb/m2]) en la región 
externa, para k=l cuando se encuentra en reposo el rotor. 4.6 
4.15. Módulo del potencial vectorial magnético (A - [Wb/inf) en el núcleo laminado 
del rotor, para k=2 cuando se encuentra en reposo. ^ 
4.16. Módulo del efecto resultante del vector de Poynting radial ( I I r - [W/m2J) en 
la jaula de ardilla, para k=l cuando se encuentra girando. 
4.17. Módulo de la densidad de campo magnético radial (Br - [Wb/m2]) en la jaula 
de ardilla, para k=l cuando se encuentra en reposo. 
4.18. Módulo del vector de Poynting radial ( I I r - [W/m2J) en el entrehierro, para 
k=l cuando se encuentra en reposo el rotor. 
4.19. Fase del potencial vectorial magnético (A - fradj) en el núcleo laminado del 
rotor, para k=l cuando esta en reposo. 
4.20. Fase de la intensidad de campo eléctrico (E - [rad]) en el núcleo laminado del 
rotor, para k=l cuando esta en reposo. 
4.21. Fase del efecto rotacional de la intensidad de campo eléctrico (E - [rad]) en 
el núcleo laminado del rotor, para k=1 cuando gira. 
4.22. Fase del efecto resultante de la intensidad de campo eléctrico (E - [rad]) en 
el núcleo laminado del rotor, para k=l cuando gira. 
4.7 
4.7 
4.7 
4.7 
4.7 
IF.2 
4.23. Fase de la densidad de campo magnético radial (Br - [rad]) en el núcleo 
laminado del rotor, para k = l cuando esta en reposo. 4.8 
4.24. Fase del vector de Poynting radial ( I l r - [rad]) en el núcleo laminado del 
rotor, para k=l cuando esta en reposo. 4.8 
4.25. Fase del efecto resultante del vector de Poynting tangencial (11 ,̂ - [rad]) en 
el núcleo laminado del rotor, para k=l cuando gira. 4.8 
4.26. Fase del efecto rotacional del vector de Poynting tangencial (11 ,̂ - [rad]) en 
el núcleolaminado del rotor, para k=l cuando gira. 4.8 
4.27. Fase del efecto resultante del vector de Poynting radial ( I I r - [rad]) en la jaula 
de ardilla, para k = l cuando esta girando. 4.8 
4.28. Fase del efecto resultante del vector de Poynting radial ( I I r - [rad]) en la jaula 
de ardilla, para k = 2 cuando esta girando. 4.8 
4.29. a).- Sistema mecánico de rotación ; b).- Sistema eléctrico análogo. 4.22 
4.30. Modelo eléctrico completo del motor de inducción donde se incluye la 
alimentación, restricciones del EMTP y elementos que representan los 
parámetros mecánicos. 4.23 
4.31. Valores pico de las corrientes de línea obtenidos en la simulación del 
arranque 
4.33. Valor pico de la corriente de línea en el arranque obtenida experimentalmente 
[54]. 
4.34. Valores pico de las corrientes de línea del motor obtenidos al realizar la 
simulación del corto circuito trifásico 
4.24 
4.32. Valores pico de los voltajes de fase de alimentación del motor obtenidos al 
realizar la simulación del arranque 4.25 
4.25 
4.26 
A . l . Cilindro conductor sometido a campo magnético transversal a su eje axial. A * 
A.2. Dirección y sentido de los vectores J, E y A en el interior del cilindro 
conductor. 
A.3. Componentes de H cuando se tiene una condición al infinito. A . 10 
A.4. Elementos de área para el cálculo de la potencia aparente en dirección: 
a).- r ; b).- <p. A 1 4 
IF.3 
INDICE DE TABLAS 
Tablas Pag. 
• 
3.1. Valor de inductancias al variar la velocidad de rotación 3.10 
4 .1 . Variables electromagnéticas en el núcleo laminado del rotor 4.9 
4.2. Variables electromagnéticas en la jaula de ardilla 4.10 
4.3. Variables electromagnéticas en el entrehierro 4.11 
4.4. Variables electromagnéticas en el núcleo laminado del estator 4.12 
4.5. Variables electromagnéticas en la región externa 4.13 
4.6. Potencia radial de pérdidas 4.14 
C A P I T U L O 1 
INTRODUCCION 
1.1. Antecedentes 
La condición de operación de un sistema de potencia y sus componentes (generadores, líneas, 
cargas, etc), depende de un conjunto de diferentes fenómenos electromecánicos, mecánicos, térmicos, 
electromagnéticos, ondulatorios, etc. Estos fenómenos en algunas ocasiones tienden a cambiar 
intempestivamente o gradualmente debido a perturbaciones propias de la operación del sistema en sí o 
bien por agentes externos, generándose un transitorio. Estos cambios en los fenómenos pueden dividirse 
según el tiempo de duración (10"8 a 105 seg.) en 4 grupos o tipos para su estudio, que son: 
* Tiempo de 10"7 a 10"5 seg. En este grupo se encuentra el estudio de sobretensiones 
originadas por tormentas eléctricas, desconexiones de líneas y cargas, y maniobra de 
interruptores, en los que existen fenómenos ondulatorios y de resonancia 
electromagnética. 
* Tiempo de 10"5 a 1 segundo. En este grupo se encuentra el estudio de sobrecorrientes, 
sobretensiones y estudio de estabilidad transitoria originados por cortocircuitos, 
variaciones de carga, etc., dentro de los cuales existen fenómenos electromagnéticos y 
electromecánicos. 
* Tiempo de l segundo a 103 seg. En este grupo se encuentra el estudio de la variaciones 
en la frecuencia (alud de frecuencia), el accionamiento de dispositivos de control y 
estudios de estabilidad dinámica que involucran fenómenos electromecánicos. 
* Tiempo de 103 en adelante. En este grupo se encuentra el estudio de variación en el 
estado de operación de calderas y sus dispositivos de control que involucran fenómenos 
termoenergéticos. 
Con el incremento de la demanda de energía eléctrica, los sistemas eléctricos de potencia (S .E .P . ) 
se han hecho más complejos, por lo que tanto en la planeación y en la operación de los mismos surgen 
nuevos problemas, que se atacan generalmente a través de simulación digital. Esto ha motivado la 
creación de nuevos modelos matemáticos que se acerquen más a la realidad con el fin de obtener 
resultados más confiables, precisos y eficientes. 
Desde la invención del motor de inducción por Tesla [1] y cuyo principio de funcionamiento se 
basa en las leyes fundamentales del Electromagnetismo, tanto los modelos aplicables en el análisis de 
sistemas eléctricos de potencia, como los diseños de fabricación han presentado avances significativos. 
Con mejoras en el diseño mecánico, eléctrico, térmico y el desarrollo de nuevos materiales se ha logrado 
reducir el tamaño de las máquinas eléctricas aumentando su eficiencia, además en la actualidad se 
consideran factores económicos, energéticos y ecológicos. 
1 . 1 
Hasta la fecha el diseño de máquinas eléctricas rotativas se ha mejorado en el proceso mismo de 
la producción basado en técnicas de muestreo. La transformación de Park [2] se ha utilizado en la 
simulación digital, lo que involucra ciertas simplificaciones según el orden del modelo con el que se este 
trabajando. E l tipo y complejidad del modelado la establece el tipo de estudio que se va a realizar (estudio 
de fallas, estabilidad transitoria, estabilidad dinámica, transitorios electromagnéticos, etc.). Los 
parámetros involucrados en estos modelos regularmente se obtienen mediante pruebas de laboratorio. Uno 
de los principales problemas existentes en la planeación y operación del S .E .P . es que no se cuenta en 
muchas ocasiones con registros o archivos que contengan los parámetros de máquinas necesarios para 
hacer simulaciones. 
En este trabajo los parámetros del motor de inducción se obtienen mediante un estudio analítico 
electromagnético bidimensional. Para ello se requiere conocer las dimensiones del motor y los valores 
de las permeabilidades y las conductividades de los materiales. No es necesario realizar pruebas de 
laboratorio, pudiéndose aplicar esta metodología directamente al diseño de motores. 
En cuanto al estudio de transitorios electromagnéticos en máquinas eléctricas rotativas, el 
desarrollo de metodologías ha tenido poco auge debido a la jerarquía que imponen los transformadores 
y líneas de transmisión al nivel de planeación del S .E .P . E l estudio de transitorios electromagnéticos 
realizados en máquinas eléctricas rotativas hechos hasta la fecha se basan en la transformación de Park 
y en hacer simulaciones en el Programa para Transitorios Electromagnéticos (siglas en inglés-EMTP) 
[3]. En este trabajo se utiliza el mismo programa para simular el transitorio electromagnético, pero los 
parámetros del modelo desarrollado se calculan mediante un estudio de campos electromagnéticos en el 
interior del motor. 
1.2. Objetivo 
E l objetivo de esta tesis consiste en crear un modelo trifásico para el motor de inducción tipo 
jaula de ardilla que sea adecuado para el cálculo de Transitorios Electromagnéticos. E l modelo deberá 
ser compatible con el EMTP (siglas en inglés para Electromagnetic Transient Program). Además los 
parámetros del modelo trifásico serán calculados mediante un análisis electromagnético bidimensional que 
parte de los parámetros de diseño. E l modelo deberá ser capaz de calcular los transitorios en el arranque 
y el corto circuito trifásico en terminales. 
1.3. Justificación 
Las gran cantidad de simplificaciones realizadas en los estudios analíticos de campos 
electromagnéticos llevados a cabo en máquinas eléctricas, tanto en estado estable como transitorio hace 
que se pierda información valiosa en cuanto a el comportamiento de las variables electromagnéticas en 
el interior y exterior de las mismas. Esta pérdida de información se refleja en un diseño de máquinas 
lejano al óptimo que repercute principalmente en el incremento del tamaño de las mismas, y por lo tanto 
en su costo. En esta tesis se hacen menos simplificaciones para el estudio analítico de campos 
electromagnéticos de lo que se reporta en la literatura existente, por ejemplo se consideran todas las 
regiones del motor y no solamente se considera el flujo magnético radial sino también el tangencial. 
1 . 2 
1.4. Importancia del trabajo 
La importancia de este trabajo reside en que se realiza un análisis másriguroso para el estudio 
de máquinas eléctricas rotativas y específicamente para el motor de inducción tipo jaula de ardilla. La 
metodología consiste en estudiar el motor de inducción a través de los campos electromagnéticos (estudio 
bidimensional) basado en las ecuaciones de Maxwell y su transformación a sistemas de referencia en 
movimiento a velocidad constante. Un estudio bidimensional proporciona una idea bastante clara del 
comportamiento de las densidades de flujo magnético, intensidades de campo eléctrico, transformación 
de la energía electromagnética y potencia disipada dentro del motor de inducción. Para realizar el estudio 
electromagnético los únicos datos requeridos son las dimensiones del motor y las propiedades de los 
materiales que lo constituyen. 
E l estudio de campos electromagnéticos puede aplicarse directamente en el diseño de motores 
eléctricos, pues arroja gran cantidad de información concerniente al comportamiento de las variables 
electromagnéticas tanto en su interior como en el exterior del mismo. L a flexibilidad que presenta el 
estudio analítico desarrollado en esta tesis permite variar las dimensiones, valores de corriente nominal 
y de arranque sin necesidad de construir la máquina, todo con el fin de optimizar su diseño y 
manufactura. 
En este trabajo se desarrolla un nuevo modelo trifásico (no bifásico como en la mayoría de los 
modelos existentes) del motor de inducción para estudios de transitorios electromagnéticos. Cabe aclarar 
que las inductancias del modelo son calculadas, más no medidas, y que físicamente representan las 
trayectorias de flujo del circuito magnético del motor, y cuyo número establece la precisión del modelo. 
1.5. Antecedentes Históricos y Análisis bibliográfico 
E l estudio electromagnético de máquinas eléctricas parte desde que Faraday y Maxwell 
formularon las bases del Electromagnetismo en el siglo X I X [38]. A partir de esa época la descripción 
general desde el punto de vista de la física de los fenómenos electromagnéticos se ha ido simplificando 
y adaptando a condiciones concretas con el fin de crear métodos prácticos para su estudio. Un enfoque 
claro y físicamente evidente lo genera un estudio de campos electromagnéticos completo, pero conlleva 
a ecuaciones voluminosas no cómodas para cálculos prácticos. 
En 1928, Park [2] dedujo su transformación para modelar máquinas eléctricas rotativas con 
parámetros concentrados, despreciando fenómenos electromagnéticos como el efecto piel. Este modelado 
se sigue aplicando hasta la fecha para estudios y simulaciones en S .E .P . En la década de los 60, Melcher 
[4,36], introdujo un análisis más detallado enfocado a máquinas eléctricas que involucra estudios 
electromagnéticos, termodinámicos y mecánicos, lo cual presenta una mayor complejidad a la deseable 
para establecer un modelo aplicable en S.E.P. Cabe aclarar que Melcher únicamente plantea el problema 
con fronteras abiertas (núcleo del estator sin acotamiento externo), pero no lo desarrolla a profundidad. 
E l hacer un estudio completo de esta naturaleza tiene aplicación directa al diseño de motores. Realizando 
simplificaciones se pueden obtener modelos aplicables para el análisis en S .E .P . Existen otros 
investigadores contemporáneos como Perry [11] que ha hecho un estudio práctico con algunas 
simplificaciones, por ejemplo, sustituir las funciones de Bessel [32,59] por expansiones asintóticas [60]. 
En cuanto al estudio de campos electromagnéticos en máquinas eléctricas rotativas cabe destacar 
a Stafl [5] que realiza un estudio de campos electromagnéticos cuasiestacionarios para un cilindro 
1 . 3 
conductor sometido a un campo pulsante; Tegopoulos y Kriezis [12] realizan estudios con campos 
electromagnéticos que varían en tiempo y espacio, poniendo énfasis en la penetración del campo eléctrico 
en un cilindro conductor, además analizan la solución para cilindros acotados en dirección axial; Melcher 
y Woodson [4,36] proporcionan el estudio más completo de campos electromagnéticos enfocado a 
máquinas eléctricas en general considerando distintos medios (líquidos, gases y sólidos) tanto en estado 
estable como transitorio; Smythe [46] ataca gran cantidad de problemas y proporciona un estudio analítico 
profundo de los mismos, tomando el mismo enfoque que Tegopoulos y Kriezis. 
Los modelos del motor de inducción que simulan el estado transitorio (lento o rápido) 
electromagnético no responden de manera correcta, debido a que los parámetros medidos 
experimentalmente se obtienen a rotor parado y utilizan bastantes simplificaciones. Algunos de estos 
modelos y sus simplificaciones dependiendo de su formulación son: 
* Los modelos del motor de inducción que utilizan la transformación de Park [3,37,62,63]. 
Ellos desprecian el efecto de las corrientes inducidas ("eddy") tanto en el arranque como 
a velocidad nominal. Los parámetros son obtenidos experimentalmente (lo cual sólo se 
puede realizar en máquinas construidas) y se consideran constantes tanto en el arranque 
como a velocidad nominal. 
* Los modelos del motor de inducción [44,45,50,53,57,58] que utilizan la impedancia 
característica de los devanados del estator. Esta inductancia es difícil de obtener 
(principalmente cuando surge el transitorio y el motor se encuentra en movimiento). 
Otros parámetros como las capacitancias entre espiras, a tierra, entre ranuras y entre 
fases del devanado son difíciles de obtener experimentalmente ya que varían según el 
estado de operación del motor. Otro factor a considerar es la distorsión que sufren los 
campos eléctricos y magnéticos debido a la forma y tamaño de dientes y ranuras. Este 
tipo de modelos es utilizado para simular transitorios rápidos (generalmente del tipo de 
frente de onda escarpado) y analizan la magnitud de la penetración de la intensidad de 
campo eléctrico. Las capas exteriores del devanado son las más afectadas por lo que todo 
el devanado se divide en secciones y el valor de sus parámetros esta en función de esa 
profundidad. Otro inconveniente es que en general se obtienen los parámetros en reposo, 
lo cual no es cierto completamente ya que el movimiento del rotor afecta el valor de estos 
[44,45,50,57,58]. Debido a la dificultad de obtener experimentalmente algunos de estos 
parámetros, comunmente son calculados por el método del elemento finito. 
De los estudios realizados hasta la fecha en materia de transitorios electromagnéticos en máquinas 
eléctricas rotativas vale la pena mencionar los siguientes: 
a). Boehene [44]. Explica el comportamiento y la distribución de las oscilaciones de voltaje 
internas en los devanados de la máquina cuando esta sujeta a frentes de onda escarpadas, y presenta 
distintas formas de amortiguar las oscilaciones a fin de que afecte mínimamente los devanados de la 
máquina. E l generador y la línea de transmisión que lo alimentan se representan por su impedancia 
característica, sin tomar en cuenta las pérdidas naturales tales como el efecto piel, dispersión o en el 
núcleo, además de no considerar la capacitancia entre espiras. E l modelo elaborado considera el devanado 
del generador en varias secciones estando cada una de ellas representada por una inductancia en paralelo 
con una capacitancia aterrizada. Cada sección establece el grado la penetración del frente de onda al 
interior del devanado. Físicamente la primera sección corresponde al principio del devanado. 
1.4 
b) . Wright y McLeay [45], proponen un modelo para el devanado de máquinas rotativas cuando 
están sometidas a transitorios rápidos, cuyos aislamientos a tierra y entre espiras están representados por 
capacitancias. 
c) . Calvert y Fielder [50], proponen distintos modelos para simular un transitorio en los que se 
incluye la línea de transmisión, el transformador, la armadura del generador y el cable de conexión, 
donde cada uno de ellos se representa por su impedancia característica, además de incluir las capacitancias 
a tierra y entre espiras del devanado. 
d) . Cornicky Thompson [57], utilizan un modelo del generador que incluye inductancias en serie 
y capacitancias en paralelo por ranura. Aportan un circuito para la medición de los voltajes transitorios 
tanto entre ranuras como entre espiras, y contribuye con métodos (conexión de elementos extras) en 
cuanto a la reducción de esos sobrevoltajes. 
e) . Dick y Gupta [58], atacan el problema de los transitorios generados en los devanados del 
motor cuando existen voltajes de preencendido propios de los interruptores, en los cuales cada uno de 
los polos cierra en distintos ángulo de fase. 
0- Dabussi y Mohán [62], Rogers y Shirmohammadi [63], utilizan el modelo de la máquina 
universal en estado estable desarrollado en el Programa para Transitorios Electromagnéticos [3] para 
simular el transitorio electromagnético en el motor de inducción, además incluyen en el modelo los 
controles primarios. 
Otros modelos tales como los de Martínez [37] y los diseñados para aplicarse específicamente en 
el EMTP [3,51] están basados en la transformación de Park, no incluyen el efecto de las corrientes 
"eddy", y las capacitancias a tierra y entre espiras de los devanados. 
E l trabajo de esta tesis desarrolla un nuevo modelo cuyos parámetros son calculados, y el 
transitorio electromagnético se simula con la ayuda del EMTP. La idea fue tomada de Slemon [7,8,9], 
quien lo aplica en máquinas síncronas. Sin embargo el modelo de Slemon tiene el inconveniente de que 
realiza bastantes simplificaciones tales como no considerar en las laminaciones de los núcleos magnéticos, 
así como en la las regiones conductoras el efecto de las corrientes "eddy"; también realiza un estudio 
unidimensional de campos electromagnéticos lo que involucra pérdida de información. Además obtiene 
los parámetros de la máquina en forma experimental lo cual no es una una desventaja si la máquina esta 
en reposo, pero si repercute al estar la máquina en movimiento ya que los parámetros varían. Todas estas 
simplificaciones realizadas por Slemon repercuten cuando sus modelos se aplican directamente al diseño 
propio de las máquinas. 
1.6. Alcances y Limitaciones 
E l estudio de campos electromagnéticos desarrollado en esta tesis proporciona una perspectiva 
más amplia y más completa que la existente en la literatura. Se analiza el comportamiento de las variables 
electromagnéticas en el interior del motor con lo que se puede aplicar directamente a la optimización en 
la manufactura y diseño de este tipo de motores. 
L a principal limitación es la complejidad para determinar el comportamiento de las variables 
electromagnéticas en el devanado mismo del motor, pues se realiza la simplificación de utilizar una 
1 . 5 
corriente laminar. Por lo anterior, no es posible conocer el efecto de dientes y ranuras, el efecto de 
proximidad entre espiras del devanado y el efecto de distintas geometrías de conductores. 
Otra de las limitaciones del estudio de campos electromagnéticos es que los medios se 
consideraron lineales, homogéneos e isotrópicos, por lo que no se toma en cuenta la histéresis y 
saturación directamente, sin embargo se pueden añadir al modelo posteriormente. No se puede visualizar 
la dinámica completa del motor de inducción debido a no se considera la aceleración. 
En cuanto al modelo eléctrico desarrollado que se genera del cálculo de las variables 
electromagnéticas, se puede decir que es muy versátil, debido a que puede aplicarse directamente a 
cualquier tipo de estudio que involucre transitorios electromecánicos o electromagnéticos lentos (hasta del 
orden de un KHz) . Una ventaja de realizar el estudio electromagnético y modelado en estado estable, es 
que al modelo desarrollado se le pueden incluir (mas no se realiza en esta tesis) la saturación y la 
histéresis, las capacitancias entre espiras y a tierra de los devanados de una forma más sencilla que si se 
partiera del estudio de campos electromagnéticos completo. Al incluir las capacitancias se podría simular 
cualquier tipo de transitorio rápido con la ayuda de el Programa para transitorios electromagnéticos. 
Como estos parámetros de capacitancia no se midieron o calcularon, el modelo esta limitado hasta el 
momento a simular transitorios lentos. 
1.7. Contribuciones Originales 
Este trabajo presenta un nuevo panorama para formular modelos de máquinas eléctricas rotativas 
aplicables tanto para el diseñador de equipo como en simulaciones para el analista de sistemas eléctricos 
de potencia. Las aportaciones originales (no publicadas anteriormente) más significativas de este trabajo 
son: 
Se analiza la influencia de la velocidad del rotor (mediante la transformación galileana 
en el estudio de campos electromagnéticos bidimensionales). Esto fue realizado 
anteriormente por Park en forma simplificada con variables electromagnéticas 
unidimensionales. 
Como el estudio de campos electromagnéticos es bidimensional, surge otra inductancia 
que no analizan otros modelos. 
Se obtiene un modelo trifásico con parámetros eléctricos concentrados, que se puede 
aplicar para estudios de transitorios electromagnéticos, estabilidad, fallas, etc. Se 
considera la influencia de las variables mecánicas utilizando el principio de dualidad a 
través de un equivalente eléctrico. 
Los parámetros eléctricos del modelo se calculan a través de un estudio de campos 
electromagnéticos, y no a partir de parámetros obtenidos experimentalmente. 
Los resultados de este trabajo pueden aplicarse directamente al diseño de motores, ya que 
proporcionan información mas detallada (comparada con lo que hasta la fecha se ha reportado) del 
comportamiento de las variables electromagnéticas. Esto coadyuva a realizar nuevos diseños, variar 
dimensiones y formas de los motores sin necesidad de elaborar nuevas manufacturas, lo que implica un 
ahorro en tiempo y costo en la construcción. Otra alternativa (más costosa y menos flexible) consiste en 
1 . 6 
realizar estudios mediante el método del elemento finito [52], siendo este un método numérico 
aproximado. 
_ t 
1.8. Organización de la Tesis 
En el Capítulo 2 se desarrolla analíticamente la formulación de campos electromagnéticos aplicado 
al estudio del motor de inducción trifásico tipo jaula de ardilla, siendo esta una contribución original. 
En el Capítulo 3 a partir del principio topológico de dualidad se genera el modelo eléctrico 
trifásico del motor de inducción cuando se conocen las densidades del flujo magnético en cada una de 
regiones. 
En el Capítulo 4 se evalúan, grafican y analizan los comportamientos de las variables 
electromagnéticas en el interior y exterior del motor de inducción, utilizando las expresiones de las 
variables que fueron calculadas en el Capítulo 2. Se generan 6 tablas en las que se vacía la información 
generada del estudio de campos. En este capítulo se simula con el Programa para transitorios 
electromagnéticos el transitorio en el arranque y durante un corto circuito trifásico, utilizando el modelo 
eléctrico generado en el Capítulo 3, al que se le incluye el efecto de las variables mecánicas. Se grafican 
los resultados obtenidos y se dan conclusiones. 
En el Capítulo 5 se dan las conclusiones de la tesis, así como las recomendaciones para trabajos 
futuros. 
Apéndices 
En el Apéndice A, se desarrolla el problema clásico de un conductor sometido a un campo 
magnético externo pulsatorio [5]. Este apéndice fue el comienzo de la tesis y se incluye para comparar 
la transformación que sufren las ecuaciones de Maxwell al cambiar de un sistema de referencia fijo a un 
sistema de referencia girando a velocidad constante. 
En el Apéndice B, se dan las dimensiones, permeabilidades y conductividades, datos de placa del 
motor de prueba, y los parámetros calculados que son utilizados en el modelo eléctrico. Se calculan las 
pérdidas eléctricas en cada una de las regiones. 
E l programa escrito en Mathematica V.2. utilizado para evaluar y graficar las variables 
electromagnéticas mostradas en el Capítulo 4 y el cálculode inductancias del Capítulo 3, se encuentra 
en el Apéndice C. 
E l Apéndice D presenta los archivos de datos utilizados en el EMTP para simular los transitorios 
en el arranque y al presentarse un corto circuito trifásico. 
Finalmente el Apéndice E proporciona el significado de la nomenclatura y notas, generadas en 
las tablas del Capítulo 4, así como la simbología de la tesis. 
1 . 7 
C A P I T U L O 2 
FORMULACION E L E C T R O M A G N E T I C A BIDIMENSIONAL D E L MOTOR 
D E INDUCCION TIPO JAULA DE ARDILLA 
2.1 . Introducción 
E l principio básico del motor de inducción ha sido estudiado desde el tiempo en que las leyes del 
electromagnetismo fueron formuladas. Maxwell [38] y otros de sus contemporáneos fueron los pioneros 
en el análisis electromagnético a bajas frecuencias. Debido a la ausencia de medios computacionales que 
pudieran evaluar numéricamente las soluciones de análisis complicados, por ejemplo el efecto de las 
corrientes "eddy", se recurrió a simplificaciones (que hasta la fecha se siguen haciendo). En relación a 
los estudios enfocados a conocer el comportamiento de los campos electromagnéticos en las máquinas 
eléctricas rotativas cabe mencionar las aportaciones realizadas por Smythe [46], Melcher-Woodson [4,36], 
Stafl [5], Slemon [6,7,8,9], Carpenter [10], Perry [11] y Tegopoulos-Kriezis [12]. Como se mencionó 
en el Capítulo / , cada uno de ellos analiza el problema que atañe este trabajo de tesis con sus respectivas 
simplificaciones, o bien plantea el problema sin resolverlo como es el caso de Melcher [36]. 
En general (en la literatura existente) una de las principales simplificaciones en los estudios es 
que no se consideran todas las regiones que deben conformar un motor, sino tan sólo el entrehierro y la 
jaula de ardilla. Otra simplificación es que generalmente sólo se analiza el comportamiento radial de las 
variables electromagnéticas y se sabe que vectorialmente poseen también una componente azimutal. 
En este capítulo se plantea una configuración del motor de inducción tipo jaula de ardilla que 
elimina las simplificaciones expuestas en el párrafo anterior. Se explica con detalle las modificaciones que 
sufren las ecuaciones de Maxwell en estado cuasiestacionario al encontrarse algún medio girando a 
velocidad constante, esto no es nuevo pero se proporciona como preliminar por su importancia para el 
entendimiento del estudio. Por último se obtienen las expresiones algebraicas de las variables 
electromagnéticas en cada una de las regiones que conforman el motor, siendo esta una aportación 
original para estudios de este tipo. 
2.2. Formulación electromagnética del motor de inducción tipo jaula de ardilla 
2.2.1. Planteamiento del problema 
En este apartado se presenta el planteamiento para el análisis electromagnético bidimensional en 
forma analítica de una configuración de cilindros concéntricos de longitud axial infinita que representa 
en forma idealizada un motor de inducción tipo jaula de ardilla con excitación trifásica balanceada. 
Considerando de manera simple las regiones que forman parte de un motor de inducción trifásico 
tipo jaula de ardilla, se establecen a continuación las características para cada uno de los medios, siendo 
todos homogéneos, isotrópicos y lineales, por lo tanto sus permeabilidades y conductividades son 
2.1 
constantes (ver Figura 2.1): 
1. Cilindro laminado de material ferromagnético con permeabilidad relativa p¡ y 
conductividad eléctrica a¡, radio a, que representa la región del núcleo del rotor. 
2. Cilindro tubular macizo de material conductor que es concéntrico al núcleo del rotor, 
con permeabilidad relativa p2 y conductividad eléctrica a2, radio interno a y externo b, 
que representa la región de la jaula de ardilla. 
Ambos cilindros (1 y 2) giran con una velocidad angular constante w m . 
3. Región acotada por los radios b y c, que tiene una permeabilidad relativa fi3 igual a uno 
(aire) y conductividad a3 igual a cero, que representa el entrehierro y que se encuentra 
en reposo. 
4. Cilindro tubular laminado de material ferromagnético que es concéntrico a las regiones 
que conforman el rotor (núcleo del rotor y jaula de ardilla), con permeabilidad relativa 
ti¡ y conductividad eléctrica a¡, radio interno c y externo d, que representa la región del 
núcleo del estator. Esta región se encuentra en reposo. 
5. Región abierta para radios mayores a d, que tiene una permeabilidad relativa u3 igual a 
uno (aire) y conductividad a3 igual a cero, que representa el medio externo y que se 
encuentra en reposo. 
K . En la interfase con radio c se considera una corriente laminar impresa de espesor 
despreciable que representa una onda viajera y que esta dada por 3 corrientes defasadas 
entre sí 27r/i rad tanto en espacio como en tiempo, la cual representa el devanado del 
motor. 
Figura 2.1.• Configuración de cilindros concéntricos de longitud axiaí infinita que representan un motor de inducción, donde: fl).- Núcleo laminado del rotor: (2).- Jaula de 
ardilla maciza; (3) - Entrehierro; (4).- Núcleo laminado del estator, (5).- Medio externo y (KJ.- Cómeme laminar que represema el devanado del estator. Las regiones (I) 
y (2) se encuentran girando a velocidad constante. 
2.2 
2.2.2. Formulación matemática. 
En la sección anterior se establecieron los parámetros de los materiales que constituyen el motor. 
En esta sección se establecen las bases generales para realizar el análisis electromagnético dentro del 
motor de inducción. 
La excitación se considera en estado estable sinusoidal a la frecuencia nominal de c.a. y solo se 
toma en cuenta el armónico de prijner orden (fundamental). Se utilizan las ecuaciones de Maxwell en 
forma diferencial en estado cuasiestacionario debido a que la corriente de desplazamiento (dD/dt) es 
despreciable cuando se trabaja con frecuencias bajas y materiales conductores y/o ferromagnéticos (ver 
Apéndice A). Se lleva a cabo un estudio magnético llamado difusión magnética en estado estable [4,36]. 
E l estudio se realiza cuando el rotor se encuentra girando a una velocidad angular com constante. 
Una manera sencilla de visualizar el efecto de la velocidad es conociendo el número de Reynolds 
magnético [4,11,36] dado por Rm=pa0-a)2(oje-wrn) que indica cuanta penetración y distorsión sufre el 
campo magnético al variar la velocidad angular y/o tener distintos materiales. También el número de 
Reynolds magnético esta asociado con el deslizamiento como se nota de su expresión matemática. 
Las ecuaciones de Maxwell en estado cuasiestacionario para un sistema lineal y que se encuentra 
fijo están dadas por: 
(2.1) 
(2.2) 
donde / / es la intensidad de campo magnético, J es la densidad superficial de corriente, E es la intensidad 
de campo eléctrico, B es la densidad de campo magnético y t es el tiempo. Se sabe que B es un campo 
solenoidal (V • B = 0), por lo que [27] 
B = V x A (2.3) 
A es el potencial vectorial magnético. Las expresiones que consideran las propiedades del medio son: 
«7 = oE 
(2.4) 
B = [iH 
o es la conductividad eléctrica y p. es la permeabilidad del medio. 
Usando como base el análisis electromagnético de un cilindro conductor sin movimiento sometido 
a un campo pulsante [5] (que se desarrolla con todo detalle en el Apéndice A) en este apartado se discute 
el caso cuando uno o más cilindros concéntricos giran entre sí con una velocidad de rotación constante. 
Las variables electromagnéticas sufren un cambio que esta dado por una Transformación Galileana 
V x J í = J 
dt 
2.3 
[4,11,12] de las variables electromagnéticas. Para realizar dicha transformación, se definen 2 sistemas 
de referencia inerciales [4,26,34,36], entre los cuales, se presenta un desplazamiento angular dado por 
el producto entre la velocidad angular relativa constante um y el tiempo, como se muestra en la Figura 
2.2. En el marco o sistema de referencia fijo se designa un punto en el espacio representado en 
coordenadas cilindricas por las variables (r,<p,z). Enel marco de referencia que se encuentra girando a 
una velocidad angular tám el mismo punto en el espacio tiene las coordenadas (r',<p',z'). Los tiempos 
medidos por observadores colocados en cada uno de los marcos de referencia se suponen que son los 
mismos, ya que en la Mecánica Clásica el tiempo es absoluto. 
Figura 2.2.- Dos nútreos de referencia, uno de los cuales se encuentra Jijo y el otro gira a tata velocidad angular comíante a>m. Un panto en el espacio en el sistema de referencia 
Jijo esta representado por un vector de posición r (en coordenadas cilindricas), mientras que para el sistema que se encuentra girando el punto esta representado por un vector 
de posición r'. 
2.3. Transformación galileana de campos escalares y vectoriales en el espacio [4,36]. 
Para realizar la transformación de los campos primero se necesita hacer la transformación de los 
operadores diferenciales entre los dos sistemas de referencia. Así el operador V en el espacio, en 
coordenadas cilindricas en el marco de referencia fijo, está dado por: 
E l operador diferencial V en el espacio, en coordenadas cilindricas en el marco de referencia en 
movimiento, esta dado por: 
y 
±_ u g + u g 
r 3<p » dz z 
(2.5) 
V = 
I 1 dq> 
1 d 
dz' 
d (2.6) 
La relación entre las variables del marco de referencia fijo y en movimiento, está dada por: 
r 
(2.7) 
z z 
Considerando un campo escalarf'(r,tp,z,t), el cual también puede escribirse como f(r',<p',z',tj. 
De las ecuaciones (2.7) y suponiendo que t=t', el gradiente de este campo referido al sistema de 
coordenadas en movimiento, esta dado por: 
(2.9) 
T 7 / f / _ BfM . i d f . . df'* n R v 
Por la regla de la cadena se tiene: 
df a df di' + df dtp' + df1 dz' + df' dt' 
dr dr' dr dtp' dr dz' dr dt' dr 
df a df dr' + df dtp' + df dz' + df dt' 
dtp dr' dtp dtp' dtp dz' dtp dt' dtp 
df m df dr' + df' dtp' + df dz' + df' dt' 
dz dr' dz dtp' dz dz' dz dt' dz 
De acuerdo con la ecuación (2.7), en la que t no depende de las coordenadas en el espacio y que 
las coordenadas en el espacio no dependen implícitamente del tiempo ya que se esta trabajando dentro 
de un sistema de referencia Euleriano [4,26,27,36], existe una ortonormalidad entre las diferentes 
direcciones espaciales (lo que origina una independencia lineal entre ellas), por lo que: 
d r > - l ; = ? - = ^ - ^ = 0 
dr 
- V = 1 ; ^f u df = df u 0 ( 2 j 0 ) 
dtp ^ 
dz' . . 
dz 
dtp' dz' dt' 
dr dr dr 
dr' dz' dt' 
dtp dtp dtp 
dr' dtp' dt' 
dz dz dz 
A (2.U) 
ya que r=r'. Sustituyendo la ecuación (2.10) en (2.9), y considerando la ecuación (2.11) se tiene 
Vf = V f (2.W 
Suponiendo que se tiene un campo vectorial V'(r',<p',z',t'), y siguiendo el mismo procedimiento 
2.5 
anterior se llega a: 
VV = V - 7 ' (2.13) 
VxV' = V x f (2.14) 
2.4. Transformación galileana de campos escalares y vectoriales en el tiempo [4,36]. 
Considerando el mismo campo escalar f'(r',<p',z',t'), y utilizando la regla de la cadena: 
df a df dt' + df dr' + df df + df dz1 
dt dt' dt dr' dt dtp' dt dz' dt 
(2.15) 
De la ecuación (2.7) y dado que t=t \ se tiene 
dt' 
dt = 1 ; 
dtp' 
dt 
dr' 
dt 
= 0; dz' 
dt 
= o 
(2.16) 
Sustituyendo la ecuación (2.16) en (2.15) 
*£ - Ml-^ML (2.i7) 
dt dt' m dtp' 
De donde: 
Para un campo vectorial V'(r',<p',z',tj, y siguiendo el procedimiento anterior, se llega a: 
ÍZ? = 4 ^ + o ) 3* (2.19) 
df dt m dtp' 
A fin de generalizar, se establece un vector de velocidades relativas asociado con el vector de 
posición. La variación en magnitud del vector de posición con respecto al tiempo (ecuación (2.16)) 
representa la magnitud del vector velocidad. Así, la ecuación (2.17) se transforma en: 
2.6 
Así mismo la ecuación (2.7), se convierte en: 
x{ - X j - v t 
x 2 ' = x 2 - v x _ t (2.2J) 
2 
* 3 = X3-Vxt 
donde: 
v = ^Ax + ^ ^ f ^ A , (2.22) 
+ ( v V ) f (2.2J) 
+ ( v V ) V' (2.24) 
La ecuación (2.18) se transforma en: 
df m df 
dt' dt 
Tratándose de un campo vectorial V se tiene: 
dV' = df 
dt' dt 
Se sabe del análisis vectorial que [4]: 
( v V ) V' = (V'-V) v - V x ( v x V ' ) + v ( V - v ' ) -V' (V-v) (2.25) 
Como se trata de un sistema inercial, se tiene: 
( v V ) 7 ' = r ( V - V ' ) - V x ( v x V ' ) (2.26) 
Sustituyendo la ecuación (2.26) en (2.24) se tiene la derivada convectiva [4,26,27,36]. 
dV' dV' 
dt' dt 
+ v ( V - v ' ) - V x (vxV') (2.27) 
Cuando V es un campo solenoidal, la ecuación (2.27) se simplifica. Si se aplica la 
transformación galileana a un campo vectorial V no sufre cambios en el marco espacial, mientras que 
para el marco temporal se utiliza la derivada convectiva. 
2.5. Transformación galileana de las ecuaciones de Maxwell [4,36], 
Modificando las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético cuasiestacionario en un 
marco de referencia fijo dadas por las ecuaciones (2.1), (2.2) y (2.3), se tiene que para un marco de 
referencia en movimiento (a velocidad constante), las ecuaciones de Maxwell se expresan por: 
VxH' = j ' (2.28) 
VxE' = - (2.29) 
dt' 
V-B' = 0 (2.30) 
De las ecuaciones (2.13), (2.14) y (2.27), las ecuaciones (2.28), (2.29) y (2.30) se transforman a: 
V x t f ' = j ' (2.31) 
VxE' = - - ^ L ' - v ( V - B ' ) + V X (VXB') (2.32) 
dt 
VB' = 0 (2.33) 
Sustituyendo la ecuación (2.33) en (2.32) ya que se tiene un campo solenoidal 
Vx(E'-vxB') = -'£!• (2.34) 
dt 
Para las regiones en movimiento se debe cumplir que: 
B' = \xH' (2.35) 
J' = oE' (2.36) 
Como las ecuaciones de Maxwell no se alteran al llevar a cabo la transformación galileana, se 
dan las relaciones existentes entre las variables electromagnéticas en el rotor y las variables en las 
restantes regiones: 
J = J' 
H = H' 
(2.37) 
B = B' 
E = E'-VxB I 
2.8 
La ecuación (2.33) se cumple cuando: 
B' = VxA1 
Con lo que: 
A' = A (2.39) 
Como el tiempo es absoluto, el factor dB'/dt' en forma de fasor no varía al aplicar la 
transformación galileana, se sustituye (2.38) en (2.34) obteniéndose: 
V x (E'-vx ( V X A 7 ) ) = - j w e ( V x A ' ) 
Integrando vectorialmente esta última ecuación 
E'-vx(VxA') « - [ j > « A , + V * / ] (2.40) 
Donde el campo escalar es un potencial eléctrico, el cual no existe por no haber fuentes. Con esto: 
E' = - j ( i ) e A ' + v x ( V x A 7 ) (2.41) 
Siguiendo el mismo procedimiento del Apéndice A y tomando en cuenta que la Norma de 
Coulomb se cumple en sistemas que viajan a velocidad constante [21,22], además de utilizar las 
ecuaciones (2.31), (2.35) y (2.38), se llega a: 
V 2 A ' = - p j - ' (2.42) 
Sustituyendo la ecuación (2.41) en (2.36) 
J' = - o j ' W g A ' - t - o v x ( V x A ' ) (2.43) 
y la ecuación (2.43) en (2.42) 
V2A' - f io j ' W g A ' + p o v x (VxA') = 0 (2.44) 
La ecuación (2.44) es la ecuación general del vector potencial magnético para medios en 
movimiento. Para determinar la ecuación correspondiente del potencial vectorial magnético a cada región 
del motor tomando en cuenta sus características propias, a continuación se enlistan las siguientes 
» 
(2.38) 
2.9 
consideraciones: 
a) . L a transformación galileana se aplica sólo en las regiones del rotor. 
-
b) . Las regiones del núcleo del rotor y del estator están laminadas y aisladas entre sí, por lo 
tanto J¡'=J4=0. En la realidad existen corrientes circulantes inducidas ("eddy") en el 
interior de cada laminación que dependen del grosor de la misma, sin embargo estas son 
despreciables a 60 Hz para laminaciones standard. 
c) . Las conductividades del entrehierro y del medio externo son cero, por lo que J3=J5=0. 
d) . Los gradientes de los potenciales eléctricos escalares para cada una de las regiones del 
motor (V<í>y', V $ 2 ' , V $ 2 , V<í>4 y V $ 5 ) son cero. 
Con lo anterior la ecuación (2.44) para cada región (ver Figura 2.7.) se transforma en: 
[ V 2 A i ] $z = 0 (2.45) 
[ V 2 A 2 7 i Q
 
to e
 
A -V-2 
o ii 9-
3 OI 
o (2.46) 
[ V 2 A 3 ] = 0 (2.47) 
[ V 2 A . J = 0 (2.48) 
[ V 2 A 5 ] = 0 (2.49) 
La velocidad v está dada por: 
er> A A 
v = c ^ x r ' = 0 0 (2.50) 
r> 0 z' 
Ladirección de A' y J' es la misma que cuando el rotor se encuentra en reposo (Figura A.2.). 
De la ecuación (2.34) se sabe que el campo externo B' (generado por la corriente laminar impresa) que 
varía en el tiempo induce una intensidad de campo eléctrico en el interior del conductor que se conoce 
como el efecto transformador. Cuando el rotor gira, la intensidad de campo eléctrico inducida (efecto 
resultante) es la suma vectorial del efecto transformador y un efecto rotacional. E l efecto transformador, 
según la ecuación (2.37) crea una densidad de campo magnético en el interior del cilindro en sentido 
opuesto a la B' original, y el efecto rotacional crea una densidad de campo magnético en el mismo 
sentido de la B' original. De acuerdo con la ecuación (2.36), J' es paralelo a E', y de la ecuación (2.42), 
A' es paralelo a J' (Figura A.2.). A', J' y E' se consideran cantidades escalares como se explicó en el 
Apéndice A. 
2.10 
Las ecuaciones (2.45), (2.47), (2.48) y (2.49) corresponden a la ecuación de Laplace, mientras 
que la ecuación (2.46) es una ecuación parecida a la de Helmholtz (incluye el efecto rotacional). 
Desarrollando la ecuación (2.46) en coordenadas cilindricas 
' - A r f - J P 2 a 2 " e A ' , - p 2 o 2 c o m — - ^ f = 0 (2.57) 
r / 2 3<p'2 2 2 a<p' 
/2 r ' ar' 
Definiendo: 
* 2 . = Ú 2 ° 2 W / n 
(2.52) 
(2.53) 
Desarrollando la ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas 
32*L> i dAL> i *AZ, 
dr12 r ' dr' . 12 dtp 12 
= 0 (2.54) 
donde i = 1, 3, 4 y 5. Para las regiones 3, 4 y 5 (fijas) no existe efecto rotacional, y a fin de respetar 
la nomenclatura, las variables espaciales y electromagnéticas no son primadas. Utilizando el método de 
separación de variables [61] para dasacoplar la ecuación (2.51), se tiene que: 
A'Ar'.tp') = fi(r') gi(tp') = f2'(r') e ^ ' (2.55) 
donde k representa el número de pares polos por fase en el motor de inducción. Desarrollando las 
derivadas parciales de la ecuación (2.51), utilizando la ecuación (2.55), y sustituyendo las ecuaciones 
(2.52) y (2.53) en la ecuación (2.51), se tiene: 
dr'2 r' dr' r'2 2 J K 2 f 2 + k j K 2 f 2 = 0 (2.56) 
Donde para todo <p' se cumple: 
(2.57) 
El segundo factor de la ecuación (2.56) se multiplica por r'2 y se iguala a cero, resultando: 
_i__+r/——-¡— -f2(r') [jr/2p2o2 (u>e-kt¿m) +7r2] = 0 dz' dr' dr (2.58) 
2.11 
Que es la ecuación de Bessel de orden k con parámetro a = j-jp2o2 i «,-*«>>«) » siendo ésta una 
solución particular en dirección radial. En dirección tangencial la solución esta dada por la función impar 
(seno) al aplicar la fórmula de Euler a la ecuación (2.57), lo cual se justifica en el Apéndice A. Así, la 
solución completa es: 
** " lC2lJk(ar') + C22Yk(ar')] sen(ktp) eja-eéM (2.59) 
donde Jk(ar') y Yk(ar') son funciones Bessel del primer y segundo tipo respectivamente con parámetro 
a. Para las regiones 1, 3, 4 y 5 se utiliza el mismo cambio de variable dado por la ecuación (2.55) al 
resolver la ecuación (2.54), y cuya solución en dirección radial y tangencial ya son conocidas (Apéndice 
A) y que están dadas por: 
A¿ = [C^r-^+c^r^] sen(ktp') e ^ - ' é , (2.60) 
A 3 = [C31r-k + C22rk] sen(ktp) ei""':§z (2.61) 
A 4 - [C41r-k + c42rk] seniktp) e j u ' t § z (2.62) 
A j = [C51r-k + C52rk] sen(ktp) eju'ee3! (2.63) 
A fin de que exista la solución en el origen y en el infinito se tiene que cumplir que Cy; = C52=0. 
De la definición del potencial A se sabe que: 
Hr = - i - | ^ é r (2.64) pr d<p 
H, * - - 4 ^ * - (2.65) * p dr * 
Utilizando fórmulas de recurrencia para funciones Bessel en la región de la jaula de ardilla, se 
tiene que la solución para los campos en todas las regiones es: 
Vi* 
rkcos(ktp) e i 4 , ° t e r (2.66) 
r^seníktp) (2.67) 
HÍr = [ C 3 l U^itti) +J J t .1(ar)] +C22[Yk_1(*i) *Yktl(ai)] ] cosUcp) e^- ' á , (2.68) 2 H2 
2.12 
•5» " - [«Ai [ J w ( « b - «W«*>] + C „ [ 7 M ( « r ) - r w ( « r ) ] ]sen(*<p) e^ 'a . 
[ C 3 1 r - * + C3 2 .r*] cos(ic<p) e**'eé_ 
1c [ - C 3 1 r - * - 1 + C 3 2 r * - 1 ] sen(7c<p) e J o '" , :é, 
« i . = 
Pi-r 
[ C 4 l r - * + C 4 2 r * ] cos(lc<p) e 7 " ' ^ 
*4. = - j - [ - C j r - ^ + C ^ r * - 1 ] sen(Jccp) e J " - c « , 
•*Sr P3-^ 
-TcG 51 
r~*cos (ktp) e J U " t é r 
r-^seniktp) e J - # e é f 
(2.69) 
(2.70) 
(2.77) 
(2.72) 
(2.73) 
(2.74) 
(2.75) 
A fin de conocer el valor de las constantes involucradas en las ecuaciones anteriores se recurre 
a establecer las condiciones frontera del problema. 
2.6. Condiciones en la frontera. 
Conociendo las características de cada una de las regiones y la configuración del motor se 
establece el comportamiento de la intensidad de campo magnético (H) en cada una de las interfases de 
las regiones, por lo que en r=<7, se tiene 
H 4 9 ~ H5<p 
VlH4r • P3#5r 
(2.76) 
Cuando r=c, se tiene 
#3* H4ts> 
p37/3 r = \íxHAl 
(2.77) 
donde K representa la excitación a través de una corriente laminar. En cada región debe existir un 
retorno de J, E y A por lo que se eligió la función seno, esta misma consideración se realiza para Kv (ver 
Figura A.2.). L a corriente laminar tiene un espesor despreciable y se colocó en la interfase con radio c. 
La longitud de arco que abarca la corriente laminar es c veces el ángulo en radianes. 
La parte espacial de esta corriente se puede expresar en forma de series de Fourier para 
2.13 
considerar los armónicos. De lo anterior, esta dada por [6]: 
x» - n ^ J ^ ^ ^ ^ i ^ l h i M - ^ U ^ ^ ^ i ^ l h i k ^ - ^ n m ^ f (2.78) 
donde 
En esta tesis se utiliza la fundamental (h = l), ya que el devanado esta idealizado, por lo que: 
2c i¿sen(k(p) + ibsen(k<f-22.) e
 2 3 + ¿cse/j(Jc<p--i£) »~* 3 (2.80) 
donde es el número equivalente de vueltas por fase para un devanado que se encuentra distribuido 
sinusoidalmente en el estator. 
La corriente laminar impresa puede expresarse en función de una componente K+ que gira en 
sentido dextrógiro (en el sentido de las manecillas del reloj) en el espacio (componente de secuencia 
positiva), y de otra componente K_ que gira en sentido contrario [4,36] (componente de secuencia 
negativa). De lo anterior: 
K9 = [ ^ e ^ ^ ' + i f . e ^ ^ ' j é , (2.81) 
donde 
K. = [ia + ific] 
(2.82) 
i M ?12 7-12 
K - = 1 W 3 + i - e 3 ] 
se elige la función con comportamiento impar y se sustituye (2.82) en (2.81), obteniéndose: 
tt. ds 
2 (2c) sen(ktp) e
i w ' A i2-**3) 
cuando se tiene una condición balanceada K = 0. 
Las condiciones de frontera también se cumplen cuando se tiene un movimiento relativo entre las 
2.14 
regiones [4,36] ya que los sistemas son inerciales. De lo anterior, las condiciones frontera en r=b son: 
#2<p - # 3 < p 
Las condiciones frontera en r=a son: 
P-l # l r = V-2 H2r 
(2.84) 
(2.85) 
Una vez establecidas las condiciones de frontera y después de mucha algebra, se encuentra el 
valor de las constantes de las ecuaciones (2.59) a (2.63), las cuales están dadas por: 
4kVL2ak-1c[JFYazl-YFJatl] 
r> — r~i —f ra arJ •'ra ar i J /-> p.r> C i 2 — F3¡ f ^ „ 77~Z T (2.86) 
C Y 
C " = 2 a c [ J , í i r r - V « í l ( 2 ' 8 ? ) 
°22 - 2ac[J^C"-YrJ„1] ( 2 8 8 > 
_ CF [ J"Ya F b2 + FS3 YJab] 
3 1 8 J c c p 2 F S 2 J Y a F 
c =
 CF Y J a b Q pQ\ 
3 2 8 kc\x,JYaF 
_ (\i^yi3) CF[YJab[ FS2 c*-1 + FS3 C ] * JYa F b2 c 1 ( 2 g i ) 
8kcp2Fs,FS2JYaF 
" ~ 8 ¿ T C f l 2 F S I F S 2 J r a F 
c = 2 | i 3 C f [ K 7 < t [ r a c * - 1 t F M c - * - 1 l +b2 F JYBc'k'1] „ p J . 
5 1 8 ^ c p 2 F S J i ? - 2 F S 2 J Y a F 
donde se han utilizado un gran número de expresiones que involucran sumas y productos de funciones 
Bessel, dadas por: 
YJab = 2^Fs2JYzb + b-k^JYa (2.94) 
2.15 
J Y a = YarlJF-JarlYF (2.96) 
F = i (2.97) 
Y F = í ^ i ) * - 1 ^ ^ ! . ^ (2.98) 
c7F = i ^ ^ ^ - A ^ 4 - 1 ^ ( 2 9 9 ) 
CF = 2NdsVilílV>2\i3Fslb-2 (2.100) 
Jan = P ^ s a - P l ^ r a ( 2 1 0 1 ) 
yan = P i ^ - h T » 
= ^ 3 ^ J b + P 2 ^ b (2-104) 
Jbn = VzJsb-VyJrb (2.105) 
Jbsl = V 2 J s b + \ í 3 J r b (2-106) 
= d-2kck-x ( p 3 - p x ) + ( n x + H 3 ) c'"-1 (2.107) 
= d-2kc-2( P j 2 - ^ ! 2 ) + ( p x 2 - p 3 2 ) c-2k-2 (2.108) 
d -2* ca*-2 ( p 3 - p 1 ) ( p 1 - p 3 ) + ( p 1 + p 3 ) 2 c - 2 (2.109) 
[ i a + i h + i c ] + [ i a + i b e J ' ^ + i c e J ' ^ ] 
J r b = Jk-yiab) -Jk+1(ab) (2.111) 
Jsb = J M ( a ¿ ) + J l ( 1 ( a ¿ ) (2.112) 
Jra = Jk-Í ( « 3 ) " Jk*l ( « 3 > ^ - i / 5 ^ 
Y r ¿ = 1 ^ ( a J b ) - Yk^ ( a b ) (2.115) 
2.16 
Yra = Yk-yiaa) -Yktl(aa) (2.117) 
Ysa • A x ( a a ) +Yktl(aa) (2.118) 
Conocidas las constantes Cl2, C2], C22, C3I, C32, C4], C42 y C 5 / , en donde las integrales cuyo 
argumento involucra funciones de Bessel con argumento complejo se evalúan en forma numérica, 
mientras que para las derivadas de las funciones de Bessel se utilizan fórmulas de recurrencia. Tales 
constantes se sustituyen en las ecuaciones (2.59) a la (2.63) con lo que se encuentra numéricamente el 
potencial vectorial magnético. Sustituyendo A respectivamente en las ecuaciones (2.66) a (2.75) se obtiene 
la intensidad del campo magnético tanto en dirección radial como tangencial para cada una de las 
regiones. Las intensidades de campo eléctrico para cada región están dadas por: 
- [-j<o0A>-<*a^)*. <2120> 
E3 = -jueA3ez (2.121) 
E4 = -juéAtéM (2.122) 
E5 = -jo>eA5éz (2.123) 
Las ecuaciones (2.119) y (2.120) poseen el efecto rotacional. E l vector de Poynting y las potencia 
de pérdidas se calculan de igual manera que en el Apéndice A, pero en las regiones del rotor se utiliza 
el efecto resultante de la intensidad de campo eléctrico (ecuaciones (2.119) y (2.120)). En las regiones 
acotadas por dos radios finitos (regiones 2, 3 y 4) el vector de Poynting total esta dado por la suma 
vectorial de los mismos evaluados en los radios que limitan sus fronteras, sucediendo lo mismo con la 
potencia de pérdidas. Así como en el Apéndice A el vector de Poynting tangencial no posee un flujo de 
energía resultante. También existe una fuerza de compresión radial y otra fuerza tangencial (sólo en la 
región de la jaula de ardilla) que provocan un par electromagnético en las tres direcciones (radial, 
tangencial y axial). 
La evaluación numérica de las variables electromagnéticas, graficado e interpretación de los 
resultados obtenidos se resume en el Capítulo 4. 
2.17 
C A P I T U L O 3 
MODELADO M A G N E T O - E L E C T R I C O D E L MOTOR D E INDUCCION TIPO 
JAULA DE ARDILLA 
3.1. Introducción 
Los distintos modelos del motor de inducción utilizados para simular el estado transitorio y que 
se describen en el Capítulo 1 tienen gran cantidad de simplificaciones, por lo que en este capítulo se 
desarrolla un modelo que reduce el número de simplificaciones. Los parámetros del modelo desarrollado 
se obtienen de la densidad de campo magnético en cada región cuyas expresiones se dan en Capítulo 2. 
E l modelado a partir del flujo magnético fue ideado principalmente por Slemon [6,7,8,9] en la 
segunda mitad de este siglo. Los modelos elaborados por Slemon se han obtenido a partir de parámetros 
conocidos, como el flujo magnético radial. En este capítulo el flujo magnético no es un parámetro medido 
sino calculado a partir de las dimensiones y las características de los materiales que constituyen al motor. 
Además, en el modelo desarrollado en este trabajo se considera el flujo magnético tangencial, que no se 
incluye en ninguno de los modelos existentes en la literatura, y cuyo efecto es importante, pues representa 
una inductancia extra que determina en sí el par del motor (ver Capítulo 2). 
3.2. Modelo magnético de motor de inducción tipo jaula de ardilla. 
E l modelo magnético esta dado por un circuito (ver Figura 3.1) que se representa por reluctancias 
con parámetros concentrados a lo largo de cada trayectoria de flujo. Este modelo magnético puede tener 
n trayectorias de flujo, pero a fin de formar fácilmente un modelo trifásico se divide en 6 secciones. 
Cabe enunciar las Leyes de Kichhoff aplicadas a circuitos magnéticos: 
1) . Alrededor de una trayectoria de flujo, la fuerza magnetomotriz total (generada en este 
caso por la corriente laminar impresa K^) es igual a la suma de las caídas de fuerza 
magnetomotriz. 
2) . La suma de los flujos que entran y salen en una intersección de trayectorias de flujo es 
igual a cero. 
Para calcular el flujo magnético en cada región se integra la densidad de flujo magnético (obtenida 
del Capítulo 2) que cruza cierta área (perpendicularmente), se utilizan las siguientes expresiones [6]: 
Flujo magnético radial total 
3 i 2 i 1 
A - / A , d * = ü l B x d t * d z \ r = r e x c + ----+ f ¡rBzd<pdz\r__lBxe (3.1) 
0 0 5 » 0 
3 
3.1 
Flujo magnético tangencial por sección 
zaxt 1 z»xt 1 
= L * * ' * * = í jB9dzdz\9. ¡ ¡B^drdz^ (3.2) 
E l flujo magnético radial total, se puede calcular ya que existe una distribución tangencial cerrada 
de conductores, por lo tanto se puede representar matemáticamente como la suma algebraica de 6 
integrales de área (por la propiedad distributiva de la integral), y cada integral corresponde físicamente 
a un sexto del perímetro externo de cada región. Se eligieron 6 integrales, pues el modelo a desarrollar 
es trifásico y para un par de polos (k = l). No se puede hablar de enlace de flujo magnético tangencial 
total, debido a que no existe una trayectoria que pueda encerrar todo el flujo tangencial, pues la 
distribución radial de conductores también no esta cerrada; así, también se establecieron 6 integrales en 
congruencia con el número de integrales utilizadas para encontrar el flujo magnético radial. L a densidad 
de flujo magnético radial esta distribuida cosenoidalmente a lo largo del perímetro del motor, mientras 
que la densidad de flujo magnético tangencial senoidalmente. Para calcular los enlaces de flujo X, 
necesarios para desarrollar el modelo magnético de esta tesis se tienen las siguientes expresiones [6]: 
Enlace flujo radial total 
2 
Kt = [ nf(tp) [TrlBtdip)d9\r.Im.t (3.3) 
1 
Enlace de flujo tangencial por sección 
zaxt 
Ks = / n f B . d r l . . , , (3.4) 
zinte 
donde, «y es la mitad del total del número de vueltas por fase del devanado y las cuales pueden variar 
tangencialmente (en el caso del enlace de flujo magnético radial) o puede no variar (en el caso del enlace 
de flujo magnético tangencial). La integral del enlace de flujo magnético radial corresponde a la de una 
vuelta del devanado. 
E l modelo magnético que se muestra en la Figura 3.1 se obtiene utilizando las ecuaciones (3.1) 
y (3.2). E l valor numérico de la densidad de campo magnético para cada región esta en las Tablas 4.1 
a la 4.4 del Capítulo 4, tanto en el arranque como a velocidad nominal. Con lo anterior se tienen las 
siguientes expresiones: 
Flujo magnético radial total en el núcleo laminado del rotor 
B 
T 2 * 
* i r e 3 / ^ l r i d q > U + . • • - + / rBlrldq>\z,a (3.5) 
O _5n 
3 
3.2 
3L.- Reluctancia 
r.- Radial 
t.- Tangencial 
F.- Fuente de f.m.m. 
r.- Núcleo laminado del rotor 
j . - Jaula de Ardilla 
e.- Entrehierro 
s.- Núcleo laminado del estator 
Figura 3.1. Circuito magnético del motor de inducción 
Flujo magnético radial total en la jaula de ardilla 
3 
* 2 , t = f rB2rldtf>\r.b+ + | zB2rid<p| 
2lt 
5 B 
3 
Flujo magnético radial total en el entrehierro 
B 
3 2 B 
* 3 r , = / r B 3 r i d q > | r . c + . . . .+ | rJ33fJdq»|r . 
3 
Flujo magnético radial total en el núcleo laminado del estator 
* 4 „ = í18^1 d ( P l r = d + - • • - + / rBirld<p r=d 
5n 
3 
Flujos magnéticos tangenciales por sección en el núcleo laminado del rotor 
a a 
o 3 o 
Flujos magnéticos tangenciales por sección en la jaula de ardilla 
b b 
a a 
Flujos magnéticos tangenciales por sección en el entrehierro 
c c 
* 3 n = / B 3 , J d r | ( P . B ; . . . ; / B 3 f J d r | ^ 2 „ 
¿ 3 £> 
Flujos magnéticos tangenciales por sección en el núcleo laminado del estator 
(3.6) 
(3.7) 
(3.8) 
(3.9) 
(3.10) 
(3.11) 
(3.12) 
A cada trayectoria de flujo magnético (ecuaciones (3.5) a (3.12)) corresponde una reluctancia. 
E l valor de la fuerza magnetomotriz es Fm= iN(ls/ns,por lo tanto para cada trayectoria de flujo existe una 
o más fuentes de fuerza magnetomotriz en serie, que están colocadas en el radio igual a c. Como el 
objetivo de este trabajo de tesis es generar un modelo eléctrico no es necesario calcular explícitamente 
el valor de las reluctancias del modelo magnético, por lo que se obtienen las inductancias 
3.4 
correspondientes en la siguiente sección. 
E l cálculo de las anteriores integrales se realiza en forma numérica, para lo cual se utilizó el 
programa de Mathematica V.2., ya que estos cálculos involucran integrales de funciones Bessel. 
3.3. Modelo eléctrico del motor de inducción tipo jaula de ardilla. 
E l modelo eléctrico mostrado en la Figura 3.2. se obtiene directamente del modelo magnético de 
la Figura 3.1 usando el principio topológico de dualidad. Este principio fue desarrollado por Cherry [55], 
Carpenter [10] y generalizado por Slemon [6,7,8,9]. Su aplicación consiste en marcar en el centro de 
cada malla del circuito magnético un punto de unión y fuera del circuito magnético un punto de referencia 
(0). Los puntos se unen a través de líneas entre si para mallas contiguas internas y externas, además se 
unen con el punto de referencia. La estructura del circuito eléctrico resultante es dual a la del circuito 
magnético, pues para cada reluctancia en serie del circuito magnético corresponde una inductancia en 
paralelo del circuito eléctrico. Cuando una reluctancia es común entre dos mallas contiguas hay una 
inductancia que conecta los puntos centrales de las mallas del circuito magnético. Por cada fuente de 
fuerza magnetomotriz existe una fuente de corriente y por cada flujo magnético existe un voltaje inducido 
entre los nodos del circuito eléctrico de acuerdo con la Ley de Faraday. Así los modelos $-Fm pueden 
generar modelos X-í. 
Se supone que el devanado tiene Nds vueltas, entonces para obtener el circuito eléctrico, es 
necesario substituir las fuentes de corriente por transformadores monofásicos ideales que se conectan en 
delta ó estrella flotando en su primario, dependiendo del tipo de motor (ver Capítulo 4). Cada 
transformador ideal contiene en su lado secundario la resistencia e inductancia internas por fase 
correspondiente del devanado del estator. Se debe respetar la polaridad de los transformadores al conectar 
sus primarios. Los transformadores ideales y parámetros del devanado se conectan en la frontera con 
radio c, separados entre sí 120 grados eléctricos (considerando el valor de k), como se muestra en la 
Figura 3.2. La resistencia e inductancia internas del devanado se calculan de manera aproximada en esta 
tesis, ya que para poder realizar el estudio electromagnético del Capítulo 2 se usó una corriente laminar 
de espesor despreciable. Para efectuar este cálculo se parte de la definición de la transformación de la 
energía electromagnética en un conductor. La energía almacenada en el campo magnético es [42]: 
— f A • Jdv = 1 
2 JV 2 
para calcular la inductancia interna se usa 
B-Hdv (3.13) 
V 
L 2Um ! 
i 2 " i 2 
B•Hdv+ _ L 
•2 
1 
i 1 J v
 B • Hdv (3.14) 
E l primer factor de la ecuación (3.14) corresponde a la inductancia interna de un conductor del 
devanado de fase, mientras que el segundo miembro corresponde a la inductancia externa. 
L a inductancia interna cuando se tienen corrientes con bajas frecuencias y conductores delgados 
3.5 
L . - Inductancia 
r.- Radial 
t.- Tangencial 
R.- Resistencia 
T. - Transformador ideal 
Cm.- Momento Polar de Inercia (Cap. 4) 
r.- Núcleo laminado del rotor 
j . - Jaula de Ardilla 
e.- Entrehierro 
s.- Núcleo laminado del estator 
d.- Devanado del estator por fase 
Figura 3.2. Circuito eléctrico del motor de inducción 
esta dada por [42]: 
ld 2t a . 2 i 
fiQ,iir)¿ , . , _ HqiK 
* J V ' * « ¿ o A r i o 4 7 7 a 8 7 r 
Como se nota la inductancia interna es independiente del radio del conductor, así para un 
conductor cilindrico la inductancia interna por unidad de longitud es de 0.05 /¿H/m. L a longitud del 
devanado (Apéndice B) por fase se estimó midiendo la resistencia por fase y utilizando la ecuación (3.16). 
La resistencia teniendo bajas frecuencias (60 Hz) y conductores delgados, esta dada por la Ley de Ohm: 
Rd = ^ ± (3.76) 
Para calcular el valor de las inductancias de cada región se tiene que L = \/i, por lo que se 
recurre a las ecuaciones (3.3) y (3.4). Así, las inductancias tangenciales (que corresponden a reluctancias 
radiales según el principio de dualidad) para cada región son las siguientes: 
Inductancia tangencial en el núcleo laminado del rotor por sección 
SI I n T 
Inductancia tangencial en la jaula de ardilla por sección 
1 2 
Ljt = — = - A f -^sen(ktp) [ í r 1B2 dtp ] dtp \ z = b (3.18) 
s n s 1 f J 1f „ ¿ t> 
Inductancia tangencial en el entrehierro por sección 
B 
X 2 
L e t - -Jü. - - L . í ^sen(ktp) [TrlB3dtp]dtp\z__c (3.19) 
Inductancia tangencial en el núcleo laminado del estator por sección 
t̂ 
X 2 
L S £ = - Í Ü . = 1 ( 4psen(7c<p) [TriB4j<*p] cftp | r . d ^ 
3.7 
donde 1¡ representa la corriente de fase eficaz, ns es el número de trayectorias de flujo con las que se 
desee realizar el modelo eléctrico y tifo) que aparece en la ecuación (3.3) se sustituye por su valor 
equivalente a sus correspondientes número de vueltas distribuidas sinusoidalmente. L a densidad de campo 
magnético radial Br para cada región se calcula con las ecuaciones (2.66), (2.68), (2.70), (2.72) y de 
(2.86) a (2.118). Para calcular la inductancia radial por sección y región se tiene que: 
Inductancia radial en el núcleo laminado del rotor por sección 
X a 
_ f = J _ f 
K KÍ 
L„ = ^ = ± } ! ^ l B . d z (3.21) 
1 2 » 
o 
donde 
L " r . = L " r 4 , = L » , S . = = = L » r » = L » r , (3.22) 
Inductancia radial en la jaula de ardilla por sección 
3*. If IfJ 2 2* 
donde 
Inductancia radial en el entrehierro por sección 
r = í£ 
I, 1,1 2 - f K i 
If 1,3 2 4» 
(3.23) 
L h . = LÍ<± = L J . S . = L b 2 , = Kr. = L i , ^ = Lirx (3.24) 
3 3 3 3 
Lr_£f£ i B , dr (3-25) 
•t £ b 
donde 
L*rs
 =
 A ^
 = L*,s„ = A 2 , " A , . = = Le„ (3.26) 
3 3 3 3 
Inductancia radial en el núcleo laminado del estator por sección 
L . = Si , l f ^ £ j 5 j dr (3.27) 1/ f i 2 
donde 
A . = L - , 4 . = L - , s 4 = L*r2, = L*tm = K,2n = Kt, (3.28) 
3.8 
donde NdSr es igual a dos debido a que radialmente sólo existe una espira distribuida radialmente para 
cualquier valor de ip, y como la distribución tangencial de la corriente y densidad de flujo magnético se 
comportan senoidalmente no es necesario evaluar para un valor de <p. 
Para calcular las inductancias tanto radiales como tangenciales se recurrió a evaluar 
numéricamente las funciones Bessel e integrales de funciones Bessel. Esto se hizo con el paquete 
Mathematica V.2. [30], ya que es flexible y fácil de usar. E l valor de las inductancias calculadas se 
presenta en la Tabla 3.1. En esta tabla se muestran las inductancias para distintas velocidades de rotación 
y cuya variación se presenta gráficamente en la Figuras 3.3 y 3.4. 
Las inductancias tangenciales involucran flujos magnéticos radiales y las inductancias radiales 
involucran flujos magnéticos tangenciales. Los valores de las inductancias tangenciales en el núcleo del 
rotor, las inductancias radiales en la jaula de ardilla y núcleo del rotor para velocidades menores al 60% 
del valor de la velocidad síncrona son negativo. Este cambio de signo se debe a la precisión numérica 
(suma y resta de cantidades similares) en el cálculo de las integrales, ya que el valor real es cero. Se nota 
que el flujo tangencial en la jaula de ardilla es menor que en cualquier región (por el efecto rotacional) 
y el flujo tangencial del entrehierro es constante a cualquier velocidad y de valor pequeño (casi todo el 
flujo cruza radialmente). E l flujo magnético tangencial en el núcleo del estator se puede considerar que 
gira en sentido contrario, ya que todos los signos de las inductancias son negativos. 
Analizando la Tabla