Análise de Ondas Sísmicas em Matlab

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24/10/2022

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Introducción al Derecho I

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA
UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”

“ANÁLISIS DE ONDAS SISMICAS
EN ENTORNO MATLAB”

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:

INGENIERO EN CONTROL Y AUTOMATIZACION

PRESENTA:
OSCAR SAAVEDRA MORALES

ASESORES:

ING. RAFAEL NAVARRETE ESCALERA
FIS. NUC. MIGUEL FERNANDO ROCHA BARAJAS

MÉXICO, D.F. 2013
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA
UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZMATEOS"
TEMA DE TESIS
QUE PARA OBTENEREL TITULO DE INGENIERO EN CONTROL Y AUTOMATIZACION
POR LA OPCIÓN DE TITULACIÓN TESIS Y EXAMEN ORAL INDIVIDUAL
DEBERA(N) DESARROLLAR C. OSCAR SAAVEDRA MORALES
"ANÁLISIS DE ONDAS SISMICAS EN ENTORNO MATLAB"
ANÁLISIS DE LAS ONDAS SÍSMICAS, DE ACUERDO A SUS TIEMPOS DE LLEGADA, PARA DETERMINAR LAS
DIFERENTES PROPIEDADES DEL SUELO, CON LA FINALIDAD DE TENER UNA ALTERNATIVA EN LA EXPLORACIÓN
PETROLERA. ESTE ANÁLSIS SE REALIZA UTILIZANDO LAS HERRAMIENTAS PROPORCINADAS POR EL LENGUAJE DE
PROGRAMACIÓN MATLAB.
~ PREFACIO.
~ INTRODUCCIÓN.
~ EXPLORACIÓN TERRESTRE. Y TEORÍA DE LAS ONDAS.
~ REFRACCIÓN, REFLEXIÓN Y VELOCIDAD DE LAS ONDAS.
~ ANÁLISIS DE ONDAS EN MATLAB.
~ CONCLUSIONES.
~ BlBLIOGRAFÍA.
MÉXICO D. F., A 25 DE ABRIL DE 2013.

AGRADECIMIENTOS

La conclusión de este trabajo ha significado un gran esfuerzo ya que se ha realizado en una
etapa de mi vida en la que las condiciones son diferentes a las ideales para un tesista.
Primeramente quiero agradecer el apoyo y comprensión de Sonia y Ana Sofia por el tiempo
que me permitieron apartarme y dedicarlo a concluir este trabajo, asi como toda la
motivación y comprensión.
A mi Madre y Hermanos que han estado con migo en los momentos mas difíciles y nunca me
han dejado caer, ni desistir.
A mis profesores en general como apoyo constante en la formación profesional ya que su
apoyo y realimentación han permitido eliminar las perturbaciones del proceso, permitiendo
que los logros de salida sean los mas apegados a los anhelos iniciales.
Al Ing. Navarrete e Ing. Rocha por su paciencia y apoyo incondicional para la conclusión de este
trabajo.

ÍNDICE

PÁGINA

PREFACIO. 1
INTRODUCCIÓN.
OBJETIVO
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CAPÍTULO 1. EXPLORACION TERRESTRE Y TEORIA DE LAS ONDAS.

1.1.0 La exploración sísmica
1.1.1 Geófonos
1.1.2 Amplificadores.
1.1.3 Registro Analógico de Datos
1.1.4 Presentación visual de los datos
1.2.0 Teoría de las Ondas
1.2.1 Definición de Rayo sísmico
1.3.0 Ley de Reflexión
1.4.0 Ley de Refracción
1.5.0 Concepto de Onda.
1.5.1 Definición de Onda
1.5.2 Elementos de una Onda
1.5.3 Características
1.5.4 Polarización
1.5.5 Descripción Matemática
1.5.6 Ecuación de la Onda.
1.5.7 Clasificación de las Ondas
1.5.8 Contenido espectral de las Ondas

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CAPÍTULO 2. ELASTICIDAD DE LAS ONDAS.

2.1 Principios de la Teoría de la Elasticidad.
2.2 Deformación.
2.3 Ley de Hooke.
2.4 Constantes elásticas en Medios Isotropicos.
2.5 Constantes elásticas en Medios Anisotropicos.
2.6 Velocidades de las Ondas Elásticas.
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CAPÍTULO 3. REFRACCION, REFLEXION Y VELOCIDAD DE LAS
ONDAS

3.1 Método de Reflexión Sísmica.
3.2 Refracción Sísmica.
3.2.1 Descripción General.
3.3 Propagación y Trayectoria de las Ondas.
3.3.1 Fenómenos en la Propagación
3.4 Curvas Tiempo Distancia.

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3.5 Principios Generales de Interpretación en Refracción.
3.5.1 Ley de Snell de la refacción
3.5.2 Ley de las velocidades aparentes.
3.5.3 Principios de Reciprocidad
3.5.4 Principio de Intercepto en el Origen
3.5.5 Principio de Paralelismo
3.6 Velocidad.

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CAPÍTULO 4. ANALISIS DE ONDAS EN MATLAB

4.0 Herramientas de Velocidad en Matlab
4.1 Ley de Snell aplicada a Matlab.
4.2 Trazo de rayo en un medio v(z).
4.3 Trazo de Rayo cuando v=v0+cz.
4.4 Herramienta de Matlab para raytracing v(z) geberal
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CONCLUSIONES.
BIBLIOGRAFIA.

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GLOSARIO.

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Oscar Saavedra Morales Ingeniería en Control y Automatización

1
PREFACIO

La Compañía Mexicana de Exploraciones (COMESA), me brinda la oportunidad de
laborar en su departamento de sísmica, adscrito al activo integral de Pemex, en el
Puerto de Veracruz.

Entre las diferentes actividades que realiza, esta la exploración sísmica, que utiliza con
la finalidad de ubicar los yacimientos de gas, los cuales, posteriormente serán
perforados y explotados.

La importancia de esta actividad radica en la información que se pueda tener de estos
yacimientos antes de hacer una inversión tan fuerte en su perforación.

Si se conoce la capacidad de producción del yacimiento y esta, a su vez representa
una alternativa de perforación en la relación costo-producción, entonces se dice que
este yacimiento es candidato a ser perforado y posteriormente explotado.

La información que se requiere para realizar el análisis anterior, nos la proporciona la
exploración sísmica, cuyo estudio se realiza con procedimientos largos y complejos, sin
dejar atrás los altos costos que representan las tecnologías desarrolladas en la
generación de software y sistemas computacionales encargados de desarrollar el
análisis de estos estudios sísmicos.

Con base a todo lo anterior se presenta la necesidad de buscar una solución práctica y
de bajo costo, que nos proporcione información confiable y aceptable, misma que
colabore en el proceso del análisis sísmico; esta opción se pretende implementar
realizando dicho análisis de las ondas sísmicas en un entorno del lenguaje de
programación tan potente como lo es Matlab.

La exploración sismológica es una tecnología compleja, que mezcla física avanzada,
matemáticas y computación. Frecuentemente el aspecto computacional es descuidado
en la enseñanza por que tradicionalmente el software de procesamiento sísmico es
parte de un caro y complejo sistema. En contraste aquí pretendemos presentar una
serie de algoritmos que corren efectivamente en una pequeña computadora personal.
Los algoritmos están escritos en código Matlab, este hecho no debe parecer un
impedimento porque Matlab está ganando rápidamente popularidad y los costos en
cierta medida son reducidos.

Los algoritmos son agrupados en un pequeño número de toolboxes que extienden la
funcionalidad de Matlab efectivamente, esto permite experimentar con algoritmos como
parte del proceso de estudio.

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

Oscar Saavedra Morales Ingeniería en Control y Automatización

INTRODUCCIÓN

Los métodos sísmicos representan una de las técnicas geofísicas más importantes. Su
predominio sobre otros métodos de exploración se debe a su alta resolución y gran
penetración; se usan principalmente en la exploración petrolera.

Estudios por métodos de refracción sísmica fueron unos de los primeros métodos
geofísicos aplicados en investigaciones relacionadas con estructuras geológicas
asociadas con petróleo. Hoy, sin embargo, la exploración petrolera recae casi
exclusivamente sobre algunas variedades modernas de sismógrafos que emplean el
métodode reflexión como elemento fundamental para la adquisición de datos sísmicos.
Recientes progresos en exploración geofísica para la búsqueda de petróleo tiene su
raíz en el refinamiento de la instrumentación utilizada en la actualidad así como el
avance de las computadoras utilizadas para procesar el gran volumen de datos de
campo.

Los métodos de exploración sísmica involucran básicamente los mismos tipos de
mediciones que se realizan en simbología de terremotos. Sin embargo, las fuentes de
energía son controladas y móviles, y los offset son relativamente pequeños. Muchos
trabajos sísmicos consisten de un cubrimiento continuo, en donde la respuesta de
porciones sucesivas de terrenos se muestra a lo largo de perfiles.

Los explosivos y otras fuentes de energía se usan para generar las ondas sísmicas, y
arreglos de geófonos se usan para detectar las ondas reflectadas en las diferentes
capas de la tierra. La data adquirida se graba de manera digital o en cintas magnéticas,
la cual se procesa para extraer la información significativa que permita una adecuada
interpretación de las estructuras geológicas del subsuelo.

La técnica básica de la exploración sísmica consiste en la generación de ondas
sísmicas y medir el tiempo requerido por las ondas para viajar de las fuentes hasta las
discontinuidades de los extractos del subsuelo y regresar a una serie de geófonos,
dispuestos usualmente según el patrón de adquisición que se vaya a utilizar. Del
conocimiento de los tiempos de viaje y de las velocidades de las ondas, reconstruimos
los senderos seguidos por las ondas sísmicas. A información geológica de una
estructura, se origina principalmente de senderos o trazos que se pueden ubicar en una
dos categorías tiaestructural se deriva principalmente de senderos que caen dentro de
dos categorías, en la cual la porción principal del sendero seguido por las ondas esta a
lo largo de la interface entre dos o más capas de secuencias estratigráficas, y los
senderos reflejados, el principal en las que en algún punto del subsuelo los trazos son
reflejados a la superficie. Para ambos tiempos de senderos, los tiempos de viajes
dependen de las propiedades físicas de las rocas y de las formas como estén
dispuestos los distintos estratos que conforman el subsuelo. Así, el objetivo de la
exploración sísmica es deducir informaciones acerca de las características de las

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

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rocas, estratos, a partir de los tiempos de arribo y de las variaciones en amplitud,
frecuencia, fase y forma de onda, de las ondas sísmicas generadas con explosivos u
otras fuentes de energía.

En los últimos años, ha habido avances significativos en lo que respecta a la
adquisición, procesamiento e interpretación de datos sísmicos utilizando el método de
reflexión sísmica. Esos avances se deben en gran parte al gran desarrollo
experimentado por la industria electrónica y las computadoras. Además, en las últimas
tres décadas, los métodos de reflexión sísmica tridimensionales (3D) han revolucionado
la exploración y producción de recursos petroleros; ya que mediante este levantamiento
se adquieren reflexiones sísmicas en varias direcciones horizontales simultáneamente,
esto permite obtener un volumen de datos tridimensionales directamente interpretables
en términos estructurales sin requerir inferencias.

En consecuencia de estas necesidades que presenta la industria se ha visto obligada a
interactuar con otras disciplinas para poder crear avances, herramientas y métodos que
le permitan el mejor desempeño de sus operaciones, es por esto que un sin número de
facilidades para el nuevo modelado sísmico han sido creadas en Matlab. Estas incluyen
trazo de rayo para (z) trazo de rayo para modelado de forma de onda completa.

La facilidad del trazo de rayo : es un trazo de rayo flexible y rápido que determina
los tiempos de viaje en un medio horizontal isotópico. Este puede disparar abanicos de
rayos o funciona trazando dos puntos de rayo. (Trazando dos puntos de rayos significa
que un rayo es trazado a través de un punto de origen específico y puntos finales.
Disparo de Rayo significa que el punto de inicio y el ángulo de disparo del rayo son
prescritos pero los del punto final no). Las funciones son provistas para una
determinación automática de tiempo de viaje de las ondas en el registro de tiro
geométrico para los modos P-P, S-S, P-S y S-P. Con un ligero esfuerzo un multimodal
arbitrario puede ser trazado y otras configuraciones tales como un Perfil Sísmico
Vertical (PSV) puede ser modelado.

El trazo de rayo puede disparar rayos a través de un campo de velocidad
variable arbitraria (en 2D) y así determinar los tiempos de viaje de las ondas. Esto
trabaja para solucionar la ecuación diferencial de rayos en una malla espacial. Los
rayos son encaminados en incrementos de tiempo constante a través de la malla
usando una solución de Runge-Kutta de 4 orden.

¿Por qué utilizar Matlab?

Matlab no ha estado disponible si no hasta mediados de los 80’s y antes de eso Fortran
era el lenguaje seleccionado para los procesos científicos computacionales. Sin
embargo el lenguaje C fue también una posibilidad solo que se le considero como
desventaja el manejo de números complejos, por otro lado a Fortran le falto ventajas de
C como son estructuras, punteros y asignación de memoria dinámica. Matlab
desarrollado del paquete de Linpack que fue familiar a los programas de Fortran como
una colección robusta de herramientas para álgebra lineal. De esta manera Matlab

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

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también presento un nuevo lenguaje de programación orientado a vectores, un
ambiente interactivo y aplicación de graficas. Estas características ofrecen suficientes
ventajas.

Herramientas de Programación

La programación en Matlab tiene similitudes con otros lenguajes pero también tiene
características únicas. Esta sección ofrece algunas estrategias para utilizar Matlab
efectivamente para explorar y manipular series de datos sísmicos, en combinación con
las herramientas y toolboxes desarrolladas por CREWES. Matlab tiene dos
construcciones de programación básica: scripts y funciones:

a) Scripts

Matlab es diseñado para proveer un gran ambiente interactivo que permite pruebas de
ideas muy rápidas. Es muy fácil para crear resultados que son casi in reproducibles. Un
aprovechamiento mejor es escribir los comandos en un archivo de texto y ejecutarlos
después como un script. Esto tiene la virtud de que el código está en una grabación
permanente y es mantenido para que los resultados puedan ser reproducidos en
cualquier ocasión simplemente re ejecutando el script.

Un script es la más simple estructura de programación de Matlab, este script es nada
más que una secuencia de comandos correctos sintéticamente que han sido escritos
en un archivo, el nombre del archivo debe terminar en extensión .m y debe aparecer en
la ruta de búsqueda de Matlab. Cuando tú escribes el nombre del archivo sin la
extensión .m en el prompt de Matlab, el programa buscara su trayectoria para los
archivos con extensión .m con el nombre y ejecutara los comandos contenidos allí. Si
tú tienes duda acerca de que tu script sea el primero nombrado en la trayectoria
entonces podemos usar el comando which, el cual te mostrara la trayectoria completa
de la búsqueda del archivo que será ejecutado.

b) Funciones

Las funciones de Matlab proveen una construcción de programación un poco más
avanzada que el script. Estas funciones son simplemente una lista de comandos de
Matlab que se ejecutan en el espacio de trabajo base. Las funciones se ejecutan en su
propio espacio de trabajo independiente que comunica con variables de entrada y
salida en el workspace base.Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

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OBJETIVO

Aplicar el código en Matlab desarrollado por Margrave NMES que sirva como
herramienta de análisis de ondas sísmicas, que por medio de los tiempos de llegada
de estas ondas puedan ser utilizadas para identificar las diferentes propiedades del
suelo, que posteriormente sea utilizado como herramienta para la exploración de
yacimientos de Gas.

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CAPÍTULO 1

Exploración Terrestre y
Teoría de las Ondas

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

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1.0 LA EXPLORACIÓN TERRESTRE

Es un método Geofísico que permite determinar en profundidad la forma y disposición
de las diferentes unidades litológicas o capas de la tierra, mediante la detección de
ondas acústicas, producidas por una fuente artificial (martillo, vibro, sismigel,
explosivos, etc.), propagadas a través del subsuelo según la elasticidad de las capas,
que se detectan en la superficie tras reflejarse o refractarse usando sensores
(geófonos). La finalidad de los programas de exploración sísmica, es la de localizar las
rocas porosas que almacenan los Hidrocarburos (Petróleo y Gas).

Para el desarrollo de la exploración sísmica, podemos considerar 4 etapas, descritas a
continuación:

a) Etapa de Topografía. En esta etapa se determinas las coordenadas del terreno
donde se está trabajando, se limpia la zona de la vegetación existente ya que las
líneas receptoras deben de estar limpias al igual que las líneas de disparo.
Sobre las líneas receptoras se realiza una marcación en donde se pueda
identificar los puntos de registro, así se debe señalar la distancia entre estos
puntos como lo señala el diseño del proyecto.

Figura 1.1 Arreglo de geófonos y líneas de pozos donde se generaran los tiros y
los interceptos.

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b) Etapa de Perforación. En esta etapa se realizan las perforaciones en los puntos
previamente marcados para los disparos, en los huecos realizados se
depositaran las cargas de explosivos con la cantidad determinada en el
proyecto, además en esta etapa se realiza un arreglo de estos puntos de disparo
según la secuencia en la que se quieran realizar estos.

Figura 1.2 Perforación con equipo rotativo para alojar la carga de explosivo que
servirá como fuente sísmica.

c) Etapa de Registro. En los puntos donde se ubicaron las marcas de registro, se
montan los Geófonos, tendiendo una red de cables interconectados entre si y a
su vez, estos cables van conectados a los equipos de Registro.
Posteriormente se disparan de manera controlada los explosivos, generando con
ello, una onda sonora dirigida hacia el centro de la tierra, la cual se propaga a
través del subsuelo y al encontrar capas de densidad diferente, genera un rebote
de onda hacia la superficie, allí es capturado por los Geófonos y transportado
por los cables a los equipos de Registro.

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Figura 1.3 Captura y concentración de datos sísmicos en campo provenientes de los
Geófonos.

1.1.1 Geófonos

Los geófonos detectan la energía sísmica que llega a la superficie del suelo; con
frecuencia se denominan sismómetros, detectores, teléfonos o sismo detectores.
Aunque se han usado de muchos tipos, los geófonos modernos son casi totalmente del
tipo electromagnético de bobina móvil para trabajo terrestre y del tipo piezoeléctrico
para trabajo marino y en pantanos, y algunas veces, para mediciones para pozo de
sondeos

El geófono electromagnético es el más sencillo y el más empleado de los varios tipos
de geófonos. Se constituye de una bobina y de un imán. Uno de estos dos elementos
está fijado rígidamente con respecto a la superficie terrestre de tal manera, que se
moverá junto con la superficie terrestre en repuesta a los movimientos sísmicos. El otro
es el elemento inerte y cuelga sujetado por un resorte en un soporte fijo. En la figura
1.4 la bobina está sujetada rígidamente con respecto a la superficie terrestre y el imán,
que cuelga sujetado por un resorte en el cajón, es el elemento inerte. Cualquier
movimiento relativo entre la bobina y el imán produce una fuerza electromotriz entre los

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terminales de la bobina. El voltaje correspondiente a esta fuerza electromotriz es
proporcional a la velocidad del movimiento. En la mayoría de los geófonos construidos
para la prospección sísmica. La bobina presenta el elemento inerte y el imán forma una
parte del cajón , que se mueve, si la superficie, en que se ubica el cajón, se mueve. La
sensibilidad del geófono depende de la fuerza del imán, de la cantidad de espiras de la
bobina y de la configuración del sistema. El tamaño de los geófonos electromagnéticos
no sobresale la altura de 10cm.

Figura 1.4 Diseño interno de un geófono electromagnético.

Figuran1-5 Diferentes modelos de Geófonos.

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1.1.2 Amplificadores

Los amplificadores sísmicos son de diseño muy variado, pero todos ellos tienen
como característica la alta fidelidad a las bajas frecuencias, ya que el rango de las
señales de origen sísmico que normalmente se manejan se encuentra entre 2 y
200 ciclos por segundo. Pueden tener capacidad de amplificación desde 8 veces
(18 decibeles) hasta dos millones de veces (126 decibeles).
En la mayoría de los sismógrafos pueden operarse simultáneamente varios
amplificadores, utilizando algunos elementos comunes, como fuente de poder,
sistema de control, filtros, etc.
Cada amplificador recibe la señal de un geófono o combinación de geófonos
conectados al mismo cable conductor, constituyendo lo que se conoce como un
canal de amplificación.
Los sismógrafos más comunes pueden operar simultáneamente 1, 6, 8, 12, 24, 48,
96 y hasta más de 1000 canales. Aquellos sismógrafos que operan muchos
canales, en realidad no tienen tantos amplificadores como canales, sino que se
utilizan dispositivos electrónicos que conectan en secuencias varios geófonos a un
mismo amplificador (multiplicador), en un periodo de tiempo muy corto, que para
cubrir un ciclo completo de conmutación, puede ser de 2 milisegundos, 4
milisegundos, etc., que puede ajustarse según las necesidades.
Al salir la señal del amplificador para ser alimentada a los sistemas de medición o
registro, debe ser multiplicada, o sea invertido el proceso de conmutación.

Si se exceptúan las señales muy fuertes que llegan inmediatamente después de
detonar el tiro, la salida del geófono es demasiado débil para registrarla si no está
amplificada. Asimismo, el amplio rango de amplitudes de salida del geófono se
extiende desde unas décimas de voltio al inicio del registro, hasta casi 1 cerca del
final del registro, unos segundos después del tiro (las señales más débiles que 1 se
pierden en el ruido del sistema), que es un cambio relativo o rango dinámico de
aproximadamente 510 (100 dB).

Por lo tanto, además de amplificar señales débiles, generalmente el amplificador se
necesita también para comprimir el rango de señales. Además, los amplificadores se
usan para filtrar la salida del geófono, mejorando la señal en relación al ruido.

El objetivode los amplificadores sísmicos es reproducir la entrada con un mínimo de
distorsión y, por lo tanto, la ganancia (sin filtros) debe ser constante para todo el
espectro de frecuencias de interés.

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Figura 1.6 Equipo de amplificación con geófono.

1.1.3 Registro analógico de datos

Durante aproximadamente los primeros treinta años de exploración sísmica, las salidas
de los amplificadores se registran directamente sobre papel fotográfico por medio de
una cámara. Sin embargo, para 1952 se inició el registro en cinta magnética y
actualmente es casi universal. La característica que propicio originalmente la difusión
del uso del registro magnético fue su capacidad para tomar el registro en el campo con
un mínimo de filtrado, control automático de ganancia, mezcla, etc. Para continuar con
la introducción de las cantidades optimas de estos en las reproducciones.
Posteriormente la ventaja más importante vino a ser la capacidad para producir
secciones de registro, que demostraron ser valiosos auxiliares en la interpretación. Sin
embargo, el registro en cinta magnética desarrollo todo su potencial con la introducción
de las técnicas digitales durante los inicios de los años sesenta.
Los registros analógicos de cinta magnética tienen generalmente cabezas para
registrar de 26 a 50 canales en paralelo. En los primeros años se utilizaba el registro
directo; la salida del amplificador iba directamente a la cabeza grabadora; la intensidad
de la magnetización de la cinta era proporcional a la corriente en la cabeza grabadora
y, por lo tanto proporcional también a la fuerza de la señal. Más adelante, el registro
directo fue desplazado por las técnicas de modulación de frecuencia y modulación del

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13
ancho del pulso, ya que estas están más libres del ruido y pueden aceptar un margen
más amplio de la fuerza de la señal.

1.1.4 Presentación visual de datos

Los datos presentados en cinta magnética se deben presentar en forma visual para el
monitoreo y la interpretación. Esto se hace más comúnmente por medio de una
cámara. Los principales elementos de una cámara son 1) una serie de galvanómetros,
uno para cada grupo de geófonos, que trasforman las señales eléctricas en puntos de
luz intensos que se mueven de acuerdo con las señales, 2) un dispositivo para registrar
marcas exactas de tiempo y 3) un medio para registrar las posiciones de los puntos
luminosos sobre una banda móvil de papel. Antes, lo último se obtenía principalmente
por métodos fotográficos. En algunas brigadas, los métodos de impresión en seco
(donde una imagen latente sobre papel se releva gradualmente con exposición a la luz
diurna) han remplazado los procesos húmedos de fotografía. Sin embargo, se usan
más ampliamente las cámaras electrostáticas en que la luz produce una imagen por
carga eléctrica y el polvo de impresión se adhiere al papel donde se carga. Las
cámaras electrostáticas usan papel común.

1.2.0 Teoría de las ondas

Como ya se ha mencionado, en el método sísmico se utiliza la propagación de ondas a
través de la tierra, con las diferentes propiedades elásticas de las rocas.

El tamaño y la forma de un cuerpo sólido se pueden cambiar aplicando fuerzas a la
superficie externa de ese cuerpo. A estas fuerzas externas se oponen fuerzas internas
que resisten los cambios de tamaño y forma. Debido a esto, el cuerpo tiende a regresar
a su condición original cuando se eliminan las fuerzas externas.

De modo similar, un fluido resiste cambios de tamaño (volumen) pero no cambios de
forma. Esta propiedad de resistir cambios de tamaño o forma y regresar a la condición
no deformada cuando se eliminan las fuerzas externas se denomina elasticidad. Un
cuerpo perfectamente elástico es aquel que se recupera perfectamente después de ser
deformado. Muchas sustancias, incluyendo las rocas, se pueden considerar
perfectamente elásticas sin error apreciable, ya que las deformaciones son pequeñas.

La propagación de ondas cualquiera que sea su naturaleza: mecánicas,
electromagnéticas etc, puede ser explicada mediante dos conceptos fundamentales;
uno es el concepto de ―rayo‖, de la óptica geométrica, una simplificación de gran
utilidad cuyas bases axiomáticas son los principios de Fermat y Huygens. Este
concepto es aplicable para analizar trayectorias (con excepciones como el fenómeno
de la difracción), como en el caso de la sísmica de refracción, en la que la propagación
e interacción de la ondas con medios (suelo y roca) con propiedades variables se
simplifica al hacer seguimiento a los rayos, que sufren los efectos de la reflexión y
refracción en las diferentes interfaces.

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

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Las leyes de la óptica geométrica son fenomenológicas, es decir que no tienen una
realidad física, sin embargo, hoy sabemos cómo se relacionan estas leyes con
propiedades del medio de propagación y allí aparece otra utilidad del concepto para la
sismología, como campo que estudia las ondas mecánicas (elásticas).

El otro concepto fundamental es el que parte de la naturaleza real de la onda como
propagación de una perturbación, necesario para explicar todos aquellos fenómenos en
los cuales son determinantes las propiedades de la onda, por ejemplo el fenómeno de
la difracción, transmisión de energía, interferencia, polarización, la interacción de las
ondas con propiedades del medio, etc.

1.2.1. Definición el rayo sísmico

En sismología, el rayo sísmico no tiene realidad física, es una abstracción de la
realidad. Se llaman rayos sísmicos a las líneas normales a los frentes de ondas
sucesivos (Figura 1.7), es decir, la trayectoria de las posiciones ocupadas por un punto
dado del frente do ondas a lo largo de todo su recorrido. En un medio homogéneo los
rayos sísmicos serán líneas rectas. En medios estratificados con velocidades
diferenciadas, los rayos, que se aproximan a curvas de tiempo mínimo, pueden ser
representados por varios tramos rectos en cada capa homogénea.

Figura 1.7 La siguiente figura muestra el frente de onda en los rayos sísmicos.

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Principio de Huygens.
El principio de Huygens es un método de análisis aplicado a los problemas de
propagación de ondas. Puede enunciarse así:

Todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas
esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma
velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.
Esta visión de la propagación de las ondas ayuda a entender mejor los fenómenos de
difracción, reflexión y la refracción de las ondas.

Si el medio es homogéneo el frente de ondas es esféricoen un momento cualquiera t ;
un poco más tarde en el tiempo tt  , cada uno de los frentes de onda habrá dado
lugar a pequeños frentes de ondas esféricos de radio tC * donde C es la velocidad
del medio. El nuevo frente de ondas, en el instante tt  , será la envolvente de todos
los pequeños frentes de onda y, por tanto, será una superficie esférica concéntrica con
la primitiva.

Si el medio no es homogéneo, cada elemento del frente de ondas se traslada
paralelamente así mismo durante el lapso t , pero con velocidades distintas a lo largo
del frente, por lo que el nuevo frente de ondas no será paralelo al primero.

Principio de Fermat.
El principio de Fermat, en óptica es un principio de tipo extremal y que establece:
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo
empleado en recorrerlo es un mínimo.
Este enunciado no es completo y no cubre todos los casos, por lo que existe una forma
moderna del principio de Fermat. Esta dice que:
El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo
empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la
trayectoria.
Esto quiere decir que, si se expresa el trayecto recorrido por la luz entre dos puntos y
por medio de una funcional llamada camino óptico definida como la
trayectoria real de la luz seguirá un camino extremal respecto de esta funcional:

La característica importante, como dice el enunciado, es que los trayectos próximos al
verdadero requieren tiempos aproximadamente iguales

http://es.wikipedia.org/wiki/Huygens
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_(f%C3%ADsica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Difracci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Reflexi%C3%B3n_(f%C3%ADsica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Refracci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93ptica
http://es.wikipedia.org/wiki/Funcional
http://es.wikipedia.org/wiki/Camino_%C3%B3ptico

Análisis de Ondas Sísmicas en Entorno Matlab.

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16
1.3 Ley de reflexión.

Si suponemos que un rayo de luz sale del punto A en dirección a la superficie plana,
que suponemos reflectora, y viaja hasta el punto B ¿Cuál será la trayectoria seguida
por la luz? En este caso la luz viaja durante todo el camino por el mismo medio, con el
mismo índice de refracción y, por tanto, a la misma velocidad. Así, el tiempo necesario
para recorrer el camino entre A y B (pasando por la superficie P) será la distancia APB
dividida por la velocidad de la luz en el medio. Como la velocidad es una constante, la
trayectoria real, según el principio de Fermat, será la más corta.

Es fácil ver que la distancia APB es la misma que la distancia A'PB, donde A' es la
imagen de A. A' está sobre la recta perpendicular al espejo que pasa por A, a la misma
distancia del espejo que A y al otro lado del mismo. La distancia mínima A'PB es,
obviamente, la línea recta A'P2B, con lo que la trayectoria real es AP2B. El análisis
completo de la situación muestra que P2 es tal que los ángulos de incidencia y de
reflexión en el punto son iguales, de lo que se deduce la fórmula de la ley de la
reflexión:

Un rayo que incide entre la interfaz entre dos medios, se refleja (parcialmente). El rayo
incidente, la normal y el rayo reflejado están todos en un mismo plano. El ángulo de
incidencia
Ii es igual al ángulo de reflexión (Figura 1.8).

1.4 Ley de refracción

El rayo incidente sobre la superficie de separación (interfaz) entre un medio 1 y otro 2,
además de reflejarse en el medio 1, se refleja hacia el (figura 1.8b).

El rayo incidente, la normal y el rayo refractado se encuentran en el mismo plano. El
ángulo de refracción 2i depende de las velocidades en los medios 1 y 2, y del ángulo
de incidencia
1i , de acuerdo con la relación de Snell:

2
1
)(
)(
2
1
C
C
isen
isen


Donde C1 y C2 son las velocidades respectivas de los medios 1 y 2.

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_de_refracci%C3%B3n

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Figura 1.8. Incidencias de los rayos, según las Leyes de reflexión (a) y
refracción (b)

En cierto ángulo de incidencia, conocido como ángulo crítico, ci , el ángulo refractado, 2i
se refracta 90ª de la normal, de tal manera que él 1)º90()( 2  senisen ; así el ángulo
crítico queda definido solamente por las velocidades de los estratos):

2
1
)(
C
C
isen c 

Figura 1.9. El rayo de luz se propaga de A a B pasando por P, que es un punto
móvil sobre el eje de las abscisas.

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18
Con el principio de Fermat se puede deducir la ley de Snell, que afirma que el producto
del índice de refracción del primer medio de propagación con el seno del ángulo de
incidencia es equivalente al producto del índice de propagación del segundo medio con
el seno del ángulo refractado.

Planteemos el fenómeno analíticamente, sobre un plano cartesiano.
Sea un medio de propagación con índice de refracción y un segundo medio de
propagación con índice de refracción tales que situamos la superficie que separa los
dos medios de modo que coincida con el eje de las abscisas.
Sean , y
Dos puntos fijos situados del plano, de modo que A está situado en el primer medio, y
B en el segundo medio.
Sea un rayo de luz que se propaga de A a B atravesando la superficie que separa los
dos medios en el punto
.
El siguiente paso es deducir el tiempo que tarda el rayo en recorrer y .
Sean y la velocidad de propagación de la luz en el primer y segundo medio
respectivamente.

;

Si buscamos el valor de cuando es mínimo, es equivalente si encontramos el valor
de para el cual la función derivada de toma el valor 0.

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1.5 CONCEPTO DE ONDA

1.5.1 Definición

En física, una onda consiste en la propagación de una perturbación de alguna
propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o campo
magnético, a través de dicho medio, implicando un transporte de energía sin transporte
de materia. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un
trozo de metal e, incluso, inmaterial como el vacío.
La magnitud física cuya perturbación se propaga en el medio se expresa como una
función tanto de la posición como del tiempo. Matemáticamente se dice que
dicha función es una onda si verifica la ecuación de ondas:

Donde v es la velocidad de propagación de la onda. Por ejemplo, ciertas
perturbaciones de la presión de un medio, llamadas sonido, verifican la ecuación
anterior, aunque algunas ecuaciones no lineales también tienen soluciones
ondulatorias. El movimiento ondulatorio puede considerarse como un trasporte de
energía y cantidad de movimiento desde un punto en el espacio a otro, sin trasporte de
materia.

Las ondas se clasifican en dos categorías: viajeras y estacionarias. En las primeras hay
propagación de energía mientras que en las otras la energía asociada a la onda
permanece definida entre dos fronteras.

En la trayectoria de un frente de ondas se distinguen dos aspectos: 1) el movimiento
de las ondas a través del medio y, 2) el movimiento oscilatorio de las partículas del
medio.

1.5.2 Elementos de una onda

 Cresta: La cresta es el punto de máxima elongación o máxima amplitud de la
onda; es decir, el punto de la onda más separado de su posición de reposo.
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://es.wikipedia.org/wiki/Densidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico
http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_magn%C3%A9tico
http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/Aire
http://es.wikipedia.org/wiki/Agua
http://es.wikipedia.org/wiki/Metal
http://es.wikipedia.org/wiki/Vac%C3%ADo_(f%C3%ADsica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Sonido
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

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20
 Período(T): El periodo es el tiempo que tarda la onda en ir de un punto de
máxima amplitud al siguiente.
 Amplitud(A): La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto
medio de la onda. Nótese que pueden existir ondas cuya amplitud sea variable,
es decir, crezca o decrezca con el paso del tiempo.
 Frecuencia(f): Número de veces que es repetida dicha vibración por unidad de
tiempo. En otras palabras, es una simple repetición de valores por un período
determinado.

 Valle: Es el punto más bajo de una onda.
 Longitud de onda(λ): Es la distancia que hay entre el mismo punto de dos
ondulaciones consecutivas, o la distancia entre dos crestas consecutivas.
 Nodo: es el punto donde la onda cruza la línea de equilibrio.
 Elongación(x): es la distancia que hay, en forma perpendicular, entre un punto
de la onda y la línea de equilibrio.
 Ciclo: es una oscilación, o viaje completo de ida y vuelta.
 Velocidad de propagación (v): es la velocidad a la que se propaga el movimiento
ondulatorio. Su valor es el cociente de la longitud de onda y su período.

1.5.3 Características

Las ondas periódicas están caracterizadas por crestas o montes y valles, y usualmente
es categorizada como longitudinal o transversal. Una onda transversal es aquella con
las vibraciones perpendiculares a la dirección de propagación de la onda; ejemplos
incluyen ondas en una cuerda y ondas electromagnéticas. Onda longitudinal es aquella
con Vibraciones paralelas en la dirección de la propagación de las ondas; ejemplos
incluyen ondas sonoras.
Cuando un objeto corte hacia arriba y abajo en una onda en un estanque, experimenta
una trayectoria orbital porque las ondas no son simples ondas transversales
sinusoidales.
Ondas en la superficie de una cuba son realmente una combinación de ondas
transversales y longitudinales; por lo tanto, los puntos en la superficie siguen caminos
orbitales.

Todas las ondas tienen un comportamiento común bajo un número de situaciones
estándar. Todas las ondas pueden experimentar las siguientes:
 Difracción - Ocurre cuando una onda al topar con el borde de un obstáculo deja
de ir en línea recta para rodearlo.
 Efecto Doppler - Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de
las ondas y el receptor de las mismas.
http://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADodo_de_oscilaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud_(f%C3%ADsica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia
http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_onda
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_transversal
http://es.wikipedia.org/wiki/Ondas_electromagn%C3%A9ticas
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_longitudinal
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuba_de_ondas
http://es.wikipedia.org/wiki/Difracci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Doppler

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21
 Interferencia - Ocurre cuando dos ondas se combinan al encontrarse en el
mismo punto del espacio.
 Reflexión - Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no
puede atravesar, cambia de dirección.
 Refracción - Ocurre cuando una onda cambia de dirección al entrar en un nuevo
medio en el que viaja a distinta velocidad.
 Onda de choque - Ocurre cuando varias ondas que viajan en un medio se
superponen formando un cono.

1.5.4 Polarización

Una ola rompiendo contra las rocas.
Una onda es polarizada, si solo puede oscilar en una dirección. La polarización de una
onda transversal describe la dirección de la oscilación, en el plano perpendicular a la
dirección del viaje. Ondas longitudinales tales como ondas sonoras no exhiben
polarización, porque para estas ondas la dirección de oscilación es a lo largo de la
dirección de viaje. Una onda transversal, como la luz puede ser polarizada usando un
filtro polarizador o al ser reflejada por un dieléctrico inclinado, e.g. vidrio de ventana.

http://es.wikipedia.org/wiki/Interferencia
http://es.wikipedia.org/wiki/Reflexi%C3%B3n_(f%C3%ADsica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Refracci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_de_choque
http://es.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n_electromagn%C3%A9tica

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1.5.5 Descripción matemática

Figura 1.10 Esta imagen nos muestra una Onda con amplitud constante.

Desde un punto de vista matemático, la onda más sencilla o fundamental es la onda
sinusoidal descrita por la función

Donde A es la amplitud de una onda (la elongación máxima o altura de la cresta de la
onda). Las unidades de amplitud dependen del tipo de onda — las ondas en una
cuerda tienen una amplitud expresada como una distancia (metros), las ondas sonoras
como presión (pascales) y ondas electromagnéticas como la amplitud del campo
eléctrico (voltios/metros). La amplitud puede ser constante, o puede variar con el
tiempo y/o posición. La forma de la variación de amplitud es llamada la envolvente de la
onda.
La longitud de onda (simbolizada por ) es la distancia entre dos crestas o valles
seguidos. Se mide en unidades de longitud, tales como el metro (m), sus múltiplo o
submúltiplos según convenga. Así, en la óptica, la longitud de onda de la luz se mide
en nanómetros.
Un número de onda angular puede ser asociado con la longitud de onda por la
relación:

http://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud_(f%C3%ADsica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Elongaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico
http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico
http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_onda
http://es.wikipedia.org/wiki/Nan%C3%B3metro
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_onda_angular

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23
Cada partícula de un medio material en el que se propaga una onda mecánica de
desplazamiento transversal realiza una oscilación armónica simple en dirección
transversal a la dirección de propagación de la onda.
El periodo es el tiempo requerido para que el movimiento de oscilación de la onda
describa un ciclo completo. La frecuencia es el número de ciclos completos
transcurridos en la unidad de tiempo (por ejemplo, un segundo). Es medida en hercios.
Matemáticamente se define sin ambigüedad como:

En otras palabras, la frecuencia y el periodo de una onda son recíprocos entre sí.
La frecuencia angular representa la frecuencia en radianes por segundo. Está
relacionada con la frecuencia por

Hay dos velocidades diferentes asociadas a las ondas. La primera es la velocidad de
fase, la cual indica la tasa con la que la onda se propaga, y está dada por:

La segunda es la velocidad de grupo, la cual da la velocidad con la que las
variaciones en la forma de la amplitud de la onda se propagan por el espacio. Esta es
la tasa a la cual la información puede ser transmitida por la onda. Está dada por:

1.5.6 Ecuación de onda

La ecuación de onda es un tipo de ecuación diferencial que describe la evolución de
una onda armónica simple a lo largo del tiempo. Esta ecuación presenta ligeras
variantes dependiendo de cómo se transmite la onda, y del medio a través del cual se
propaga. Si consideramos una onda unidimensional que se transmite a lo largo de una
cuerda en el eje x, a una velocidad y con una amplitud (que generalmentedepende
tanto de x y de t), la ecuación de onda es:

Trasladado a tres dimensiones, sería:
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple
http://es.wikipedia.org/wiki/Periodo_(f%C3%ADsica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia
http://es.wikipedia.org/wiki/Hercio
http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_angular
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_fase
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_fase
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_grupo
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple

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Donde es el operador laplaciano.
La velocidad v depende del tipo de onda y del medio a través del cual viaja.
Jean Le Rondd'Alembert obtuvo una solución general para la ecuación de onda en una
dimensión:

Esta solución puede interpretarse como dos impulsos viajando a lo largo del eje x en
direcciones opuestas: F en el sentido +x y G en el -x. Si generalizamos la variable x,
reemplazándola por tres variables x, y, z, entonces podemos describir la propagación
de una onda en tres dimensiones.
La ecuación de Schrödinger describe el comportamiento ondulatorio de las partículas
elementales. Las soluciones de esta ecuación son funciones de ondas que pueden
emplearse para hallar la densidad de probabilidad de una partícula.

1.5.7 Clasificación de las ondas

Las ondas se clasifican atendiendo a diferentes aspectos:

En función del medio en el que se propagan

Tipos de ondas y algunos ejemplos.

 Ondas mecánicas: las ondas mecánicas necesitan un medio elástico (sólido,
líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor
de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del
medio. Como en el caso de una alfombra o un látigo cuyo extremo se sacude, la
alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a través de ella. La
velocidad puede ser afectada por algunas características del medio como: la
homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la temperatura. Dentro de las ondas
mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y las ondas de
gravedad.

 Ondas electromagnéticas: las ondas electromagnéticas se propagan por el
espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el
vacío. Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las
oscilaciones de un campo eléctrico, en relación con un campo magnético
asociado. Las ondas electromagnéticas viajan aproximadamente a una
velocidad de 300 000 km por segundo, de acuerdo a la velocidad puede ser
http://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano
http://es.wikipedia.org/wiki/Jean_Le_Rond_d%27Alembert
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Schr%C3%B6dinger
http://es.wikipedia.org/wiki/Dualidad_onda_corp%C3%BAsculo
http://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADcula_elemental
http://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADcula_elemental
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_ondas
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_densidad_de_probabilidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_mec%C3%A1nica
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquido
http://es.wikipedia.org/wiki/Gas
http://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADcula_puntual
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_el%C3%A1stica
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sonora
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_de_gravedad
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_de_gravedad
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_electromagn%C3%A9tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_(f%C3%ADsica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Vac%C3%ADo_(f%C3%ADsica)

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25
agrupado en rango de frecuencia. Este ordenamiento es conocido como
Espectro Electromagnético, objeto que mide la frecuencia de las ondas.

 Ondas gravitacionales: las ondas gravitacionales son perturbaciones que
alteran la geometría misma del espacio-tiempo y aunque es común
representarlas viajando en el vacío, técnicamente no podemos afirmar que se
desplacen por ningún espacio, sino que en sí mismas son alteraciones del
espacio-tiempo.

 Ondas Internas: Las ondas internas viajan a través del interior. Siguen caminos
curvos debido a la variada densidad y composición del interior de la Tierra. Este
efecto es similar al de refracción de ondas de luz. Las ondas internas transmiten
los temblores preliminares de un terremoto pero poseen poco poder destructivo.
Las ondas internas son divididas en dos grupos: ondas primarias (P) y
secundarias (S).
a) Ondas P
Las ondas P (primarias) son ondas longitudinales o compresionales, lo cual significa
que el suelo es alternadamente comprimido y dilatado en la dirección de la
propagación. Estas ondas generalmente viajan a una velocidad 1.73 veces de las
ondas S y pueden viajar a través de cualquier tipo de material líquido o sólido.
Velocidades típicas son 1450m/s en el agua y cerca de 5000m/s en el granito.

Figura 1.11 Comportamiento de una Onda P plana longitudinal.
En un medio isótropo y homogéneo la velocidad de propagación de las ondas P es:
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_gravitacional
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo
http://es.wikipedia.org/wiki/Luz
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquido
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido
http://es.wikipedia.org/wiki/Is%C3%B3tropo
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_homog%C3%A9neo

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donde K es el módulo de incompresibilidad, es el módulo de corte o rigidez y la
densidad del material a través del cual se propaga la onda mecánica. De estos tres
parámetros, la densidad es la que presenta menor variación por lo que la velocidad
está principalmente determinada por K y μ.
b) Ondas S

Las ondas S (secundarias) son ondas en las cuales el desplazamiento es transversal a
la dirección de propagación. Su velocidad es menor que la de las ondas primarias.
Debido a ello, éstas aparecen en el terreno algo después que las primeras. Estas
ondas son las que generan las oscilaciones durante el movimiento sísmico Sólo se
trasladan a través de elementos sólidos.
Figura 1.12 Comportamiento de la Onda de corte Plana.
La velocidad de propagación de las ondas S en medios isótropos y homogéneos
depende del módulo de corte y de la densidad del material.


http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica
http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica
http://es.wikipedia.org/wiki/Densidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Isotrop%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Homog%C3%A9neos&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica
http://es.wikipedia.org/wiki/Densidad

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b) En función de su dirección

Figura 1.13 Direcciones que puede tomar una onda.

 Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se
propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los
muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus
frentes de onda son planos y paralelos.

 Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos
direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una
superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son
las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por
ejemplo, se deja caer una piedra en ella.

a) Love (Onda L): Se propagan de forma similar que las ondas S haciendo
vibrar las partículas horizontalmente en sentido perpendicularal de
propagación, pero sin movimiento vertical.

b) Rayleigh (ondas R): tienen un movimiento similar al de las ondas de la
superficie de agua, haciendo vibrar las partículas sobre un plano que
apunta en dirección de la trayectoria de las ondas, con movimientos
elíptico y vertical simultáneamente.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Onda_unidimensional&action=edit&redlink=1

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28
Las ondas L y R solo se propagan en discontinuidades de impedancia.

 Ondas tridimensionales o esféricas: son ondas que se propagan en tres
direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas
esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la
fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una
onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas)
y las ondas electromagnéticas.

c) En función del movimiento de sus partículas

 Ondas longitudinales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas
del medio se mueven o vibran paralelamente a la dirección de propagación de la
onda. Por ejemplo, un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.

 Ondas transversales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas
del medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

d) En función de su periodicidad

 Ondas periódicas: la perturbación local que las origina se produce en ciclos
repetitivos por ejemplo una onda senoidal.

 Ondas no periódicas: la perturbación que las origina se da aisladamente o, en
el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características
diferentes. Las ondas aisladas también se denominan pulsos.

1.5.8 Contenido espectral de las ondas

Cada una de las ondas sísmicas presentadas tiene rangos de periodos de vibración
característicos (Tabla 1.1).

En los métodos de refracción y reflexión de la geofísica aplicada, que miden
principalmente la llegada de las ondas P, de frentes de onda que se han refractado o
reflejado en las diversas capas del suelo, las frecuencias asociadas con la reflexión se
mantienen en una banda entre los 20 y 100 Hz, mientras que en la refracción se
encuentran entre 1 y 20 Hz.

Tabla 1.1. Periodos característicos de vibración de ondas sísmicas.

TIPO DE ONDAS PERIODO (S)
Ondas Internas 0,05 – 50
Ondas Superficiales 10 – 350
Oscilaciones Libres 350- 3600
Fuente: Lay & Wallace (1995)
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_esf%C3%A9rica
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_longitudinal
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_transversal
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_peri%C3%B3dica
http://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoide

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Por su parte, la ingeniería y dinámica de suelos están interesadas en los periodos
característicos de vibración de los suelos y edificios. La respuesta de los edificios
depende de la frecuencia predominante del movimiento sísmico – las frecuencias
predominantes de las ondas S y P y de las frecuencias naturales de la columna de
suelo y de edificio. La respuesta del edificio se verá afectada si las dos frecuencias
coinciden.

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CAPITULO 2

ELASTICIDAD DE LAS ONDAS

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31
2.1. PRINCIPIOS DE LA TEORIA DE LA ELASTICIDAD

Una perturbación sobre un medio elástico, en función del tiempo (por ejemplo; un
sismo, un impacto de un meteorito, una explosión nuclear, el golpe de un martillo sobre
el suelo) genera ondas elásticas. Estas perturbaciones producen cambios locales en
esfuerzo y deformación.

Para obtener la propagación de las ondas elásticas es necesario describir
cinematicamente la deformación del medio y las fuerzas resultantes – esfuerzos – La
relación entre deformación y esfuerzo está gobernada por las constantes elásticas.

2.2 Deformación

Cuando un cuerpo elástico está sujeto a esfuerzos ocurren cambios en la forma y en
las dimensiones. Estos cambios se conocen como deformaciones. Así, la deformación
se define como un cambio relativo en la dimensión (volumen) o forma en un cuerpo. Si
se tiene un cubo de dimensiones X, Y y Z para cada uno de los ejes cartesianos x, y, y
z, entonces se producirán dos tipos de deformaciones: normales y de cizalla.
La deformación primaria (o elemental) es la deformación normal. Según el eje
cartesiano en que se produzca la fuerza se tendrá:

zwz
yvy
xux



/
/
/




Donde wyvu  , son los cambios en longitud a cada lado del cubo en los ejes
coordenados x, y, z, respectivamente.

La deformación de cizalla se define como la combinación de deformaciones en los
planos xy, xz ó zy así:

x
w
z
u
z
v
z
w
y
u
x
v
zxxz
zyyz
yxxy






















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32
Los cambios en las dimensiones dadas por las deformaciones normales resultan de los
cambios en el volumen, cuando el cuerpo es deformado. El cambio en volumen por
unidad de volumen es llamado dilatación, que puede representarse con la siguiente
fórmula:

z
w
y
v
x
u
zzyyxx









 

2.3 Ley de Hooke.

Para calcular las deformaciones cuando los esfuerzos son conocidos, se debe conocer
la relación que existe entre el esfuerzo y la deformación. Cuando las deformaciones
son pequeñas esta relación está dada por la ley de Hooke, la cual establece que, dada
una deformación, esta es directamente proporcional al esfuerzo producido. Cuando
existen varios esfuerzos, cada uno produce deformaciones, independiente de los otros
esfuerzos, entonces el total de las deformaciones es la suma de las deformaciones
individuales producidas por cada esfuerzo.

En medios isotrópicos es decir, cuando las propiedades o características del medio no
varían, o no dependen de la dirección sobre la cual se aplican las fuerzas, la relación
entre esfuerzo y deformación puede definirse de la siguiente forma:

iiii
 **2*  , donde ;,, zyxi 

,* ijij   Donde zyxij ,, para .ji 

Donde  y  son las constantes elásticas de Lame;  es la dilatación y ii y ij las
deformaciones, es una medida a la deformación de cortante y es conocido como el
Modulo de rigidez al cortante o modulo de cizalla. Los líquidos no oponen resistencia
a la cizalla, por lo tanto .0

2.4 Constantes elásticas en medios isotrópicos.

Las constantes que describen el comportamiento elástico en un medio isotropico son
los módulos de Lame y de rigidez. Existen tres módulos adicionales que permites
describir también el comportamiento elástico en términos de los dos primeros módulos,
ellos son:

1. Modulo de elasticidad, E.
2. Modulo de incompresibilidad, K.

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3. Cociente de Poisson, 6 .

En la litosfera las rocas se aproximan a medios isotrópicos, es decir que no lo son
completamente. Especialmente las rocas sedimentarias y metamórficas presentan
anisotropías. Por ejemplo, las rocas sedimentarías presentan diferencias en sus
propiedades si son medidas en planos paralelos o perpendiculares al plano de
estratificación.

(1) Modulo de elasticidad o de Young, E.

Es la cantidad de esfuerzo por unidad de deformación.
E = esfuerzo / Deformación
E =Fuerza por unidad de área / Cambio en longitud por unidad de longitud.
Considerando solo esfuerzo normal el modulo elástico queda definido como:

iiiiE  /
Aplicando la ley de Hooke:






)23(
E

(2) Modulo incompresibilidad, K.

Es una medida de la resistencia de los materiales elásticos a la compresión, es decir, al
cambio de volumen sin que varíe su forma. Si un cuerpo está sometido a un esfuerzo
de compresión en todas las direcciones, su volumen disminuirá una cantidad ii . Así, el
modulo de incompresibilidad es la relación entre el esfuerzo y el cambio unitario de
volumen.
K = Esfuerzo / deformación.
K = Presión / Cambio volumen por unidad de volumen.

Para definir el modulo de incompresibilidad, usualmente se supone que el cuerpo está
sujeto solamente a la presión hidrostática, es decir;

Entonces el modulo de incompresibilidad queda definido como:



P
K

0

xzyzxy
zzyyxx P



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El signo menos es insertado para que K sea positivo.
AL sustituir según la ley de Hooke se tiene:

3
23  
K

(3) Cociente de Poisson, .

Es la relación entre las deformaciones unitarias trasversales y longitudinal.
Para definirla asúmase que todos los esfuerzos son cero excepto xx . Entonces se
tiene:

ii
zz
ii
yy




 

Donde el signo negativo es insertado para que el cociente sea positivo.
Al reemplazar según las ecuaciones de la ley de Hooke se obtiene:

)(2 





La relación de Poisson es una medida de la contracción lateral del material. En el caso
de materiales elásticos varía entre 0 y 0.5. Como los líquidos no oponen resistencia a
esfuerzo cortante.

Valores en el rango 05.00  corresponden a rocas muy duras; y rocas alrededor
de 0.45 son muy blandas.

2.5 Constantes elásticas en medios anisotropicos.

La propagación de ondas elásticas difiere significativamente entre medios iso y
anisotropicos:

 Mientras que en medios isotrópicos son suficientes dos variables elásticas, en
anisotropicos se requieren 21 constantes elásticas independientes.
 Hay un fenómeno de partición de la onda (análogo al caso de la óptica de doble
refracción), para ondas con componentes transversales.
 Las ondas viajan a diferentes velocidades dependiendo de la dirección de
propagación y de la polarización (aplica a onda S u ondas superficiales).
 La polarización de las ondas de compresión y de cortante puede no ser
perpendicular o paralela al frente de ondas.

Los suelos, de gran interés en la ingeniería civil, no se aproximan tanto como las rocas
a medios isotópicos. Para esto se supone que los medios están estratificados, y cada

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estrato es homogéneo e isotropito, razón por la cual se pueden emplear las constantes
que describen el comportamiento elástico isotropito.

2.6 Velocidades de las ondas elásticas.

En un medio homogéneo la velocidad de las ondas elásticas depende de la densidad
de masa de suelo  , y de los parámetros elásticos: modulo de elasticidad, cociente de
Poisson y modulo de rigidez.

La velocidad de las ondas P y S viene dada por las siguientes ecuaciones:

21
)21)(1(
)1(








 

E
Cp

21









Cs

Tabla 2.1 Velocidades típicas de las ondas P

Medio Cp,m/s
Material superficial Meteorizado 305 a 610
Gravas, guijo, arenas (seca) 468 a 915
Arena (húmeda) 610 a 1830
Arcilla 915 a 2750
Agua (dependiendo de la Tª y contenido de sales. 1430 a 1680
Agua de mar 1460 a 1530
Arenisca 1830 a 3970
Shale (roca arcillosa que se parte en laminas) 2750 a 4270
Tiza (chalk-arcilla) 1830 a 2970
Caliza (limestone) 2140 a 6100
Sal 4270 a 5190
Granito 4580 a 5800
Rocas Metafóricas 3050 a 7020

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CAPITULO 3

Refracción, Reflexión y Velocidad de las Ondas

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3.1. Método de Reflexión Sísmica

En años más recientes han cambiado considerablemente las técnicas sísmicas y
existen muchas variaciones. La técnica que se describe a continuación proporciona los
antecedentes para comprender las explicaciones subsecuentes.
Suponemos que se tiene una brigada terrestre que usa una carga explosiva como
fuente de energía. El primer paso después de determinar las posiciones más
adecuadas es la perforación de un pozo vertical en el suelo en el punto de tiro. El
diámetro del pozo será quizás de 10 o 12 cm. Y su profundidad de entre 6 y 30 metros,
comúnmente. Se arma una carga de uno a 25 Kg. De explosivo con una cápsula
detonante eléctrica y luego se coloca cerca del fondo del pozo. Se extienden dos
alambres desde la cápsula hasta la superficie, donde se conectan a un detonador que
se usa para enviar corriente eléctrica a través de ellos a la cápsula, que luego se
detona iniciando la explosión de la dinamita (el tiro).

Se tienden dos cables de 2 a 4 Km. De largo en línea recta a cada lado del pozo de tiro
que se va a detonar. Los cables contienen muchos pares de conductores eléctricos y
cada par termina en un conector eléctrico múltiple en ambos extremos del cable.
Además, cada par de alambres se conecta a una de varias tomas que están
espaciadas a intervalos de 25 a 100 m a lo largo del cable. A cada una de esta toma se
conectan varios geófonos (sismómetros), de modo que cada par de alambres dentro
del cable conduzca la energía de salida de un grupo de geófonos hasta los
instrumentos de registro. Debido al pequeño espaciamiento entre los geófonos del
grupo conectado a cada par de alambres, el grupo completo equivale
aproximadamente a un solo geófono virtual situado en el centro del grupo. Usualmente
se colocan 48 o más grupos de geófonos a intervalos iguales a lo largo del cable.
Cuando se detona la carga de dinamita, cada grupo de geófonos genera una señal que
depende del movimiento del suelo en las cercanías del grupo. El resultado neto es la
generación de señales que proporcionan información acerca del movimiento del suelo
en un número de puntos regularmente espaciados (los centros de grupo) a lo largo de
una línea recta que pasa a través del punto de tiro.

Las señales eléctricas provenientes de los grupos de geófonos van a igual número de
amplificadores. Estos amplificadores incrementan la intensidad de la señal general y
parcialmente eliminan (filtran) partes de la señal de entrada que se consideran
indeseables. Las salidas de los amplificadores, junto con señales precisas para la
medición del tiempo, se registran en cinta magnética y/o en registro de papel. Por lo
tanto, los datos registrados corresponden a varias trazas, cada una de las cuales
muestra como varia el movimiento individual de un grupo de geófonos con respecto al
tiempo posterior al tiro.

Comúnmente los datos se procesan para atenuar el ruido por comparación con la
energía reflejada, basándose en las características que los diferencian entre sí, y los
datos se presentan visualmente de forma adecuada para la interpretación.

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Los eventos, es decir las llegadas de energía que varían sistemáticamente de una traza
a otra y que se piensa que representan energía reflejada, se identifican en los registros.
Los tiempos de arribo (el intervalo entre el instante de tiro y la llegada de la energía a
un grupo de geófonos, también conocido como tiempo de viaje) de estoseventos se
miden para varios grupos de geóponos. La posición y actitudes de la interface que dio
lugar a cada evento de reflexión se calculan entonces a partir de los tiempos de
llegada. La velocidad sísmica se requiere en el cálculo de la posición y la actitud de las
interfaces, los resultados se combinan en secciones transversales y mapas de
contornos que representan la estructura de las interfaces geológicas responsables de
los eventos. Algunas beses los patrones que aparecen en los datos sísmicos se
interpretan en términos de características estratigráficas o como indicadores de
hidrocarburos. Sin embargo la presencia o ausencia de hidrocarburos u otros minerales
se infiere usualmente a partir de la información estructural.

3.2. REFRACCIÓN SÍSMICA

3.2.1 DESCRIPCIÓN GENERAL

Dentro de los métodos sísmicos de la geofísica aplicada se encuentran los de
refracción y reflexión sísmica. En estos métodos se mide el tiempo de propagación de
las ondas elásticas, transcurrido entre un sitio donde se generan ondas sísmicas y la
llegada de éstas a diferentes puntos de observación. Para esto se disponen una serie
de geófonos en línea recta a distancias conocidas, formando lo que se conoce como
tendido sísmico o línea de refracción – o reflexión - sísmica.

A una distancia conocida del extremo del tendido, en el punto de disparo, se generan
ondas sísmicas, - con la ayuda de un martillo o por la detonación de explosivos -, las
cuales inducen vibraciones en el terreno que son detectadas por cada uno de los
sensores en el tendido.
El equipo básico consiste de los sensores; la unidad de adquisición, en donde se
almacenan los movimientos del terreno detectados por cada sensor; los cables de
conexión entre los sensores y la unidad de adquisición; el cable del trigger, que se
encarga de marcar el momento de inicio de registro en la unidad de adquisición.

Los registros de cada sensor tienen información de los movimientos del terreno en
función del tiempo y son conocidos como sismogramas. Estos son analizados en la
refracción sísmica para obtener el tiempo de llegada de las primeras ondas a cada
sensor desde el punto de disparo, y en la reflexión para obtener información de las
ondas que son reflejadas en las diferentes interfaces de suelo, para lo cual es
estudiado el sismograma completo.

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3.3. PROPAGACIÓN Y TRAYECTORIA DE LAS ONDAS

Cuando se generan ondas sísmicas, a partir de golpes en el suelo con una porra, o con
explosiones de pólvora, éstas incluyen tanto ondas sísmicas internas, - Primarias y
Secundarias -, como superficiales. Las ondas P, también conocidas como ondas
longitudinales, son las de mayor interés en la refracción sísmica.

Las leyes que rigen la propagación y la trayectoria de las ondas sísmicas en la
refracción, son las mismas que se utilizan en óptica:
(1) Principio de Huygens.
(2) Principio de Fermat, y
(3) Ley de refracción (o de Snell),

Ley de refracción.

Como consecuencia del Principio de Huygens y/o del principio de Fermat, la Ley de
refracción dice que el seno del ángulo incidente es al seno del ángulo de refracción
como la velocidad de la onda incidente es a la velocidad de la correspondiente onda
refractada. Para explicar la trayectoria de las ondas en el método de la Refracción
sísmica, consideremos un medio, con velocidad 1 C, que suprayace un medio semi
infinito, con velocidad 2 C, mayor que 1 C (Figura 3.1). Una vez se han generado las
ondas en el punto de disparo, éstas empiezan a viajar por el medio superior
conformando unos frentes de onda en el espacio.

Figura 3.1. Modelo de dos capas, la inferior de mayor velocidad

Al hacer un corte vertical por el punto de disparo, el frente de ondas luciría como se
ilustra (Figura 3.2-a). Dicho frente se conocen como frente de ondas directas. En la
parte b) de la Figura3.2 el frente de ondas se ha encontrado con el límite de los medios
y ocurren las primeras refracciones hacia la capa inferior. En la parte c), ha pasado

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más tiempo y se pueden observar claramente 3 frentes de onda: 1. de las ondas
directas; 2. de las ondas refractadas hacia la capa inferior, y 3. de las reflejadas hacia
la capa superior. Al observar en detalle puede identificarse un cuarto frente de ondas.
El frente de ondas refractado hacia la capa inferior, no tiene una curvatura constante,
de tal manera que corresponde a dos frentes de onda, el que se refracta hacia abajo, y
el que se refracta hacia la capa superior. Como se puede observar, este frente de
ondas está más alejado del punto disparo que el frente de ondas directas en la primera
capa, por lo que llegará más rápido a los geófonos donde aún no había llegado el
frente de ondas directas.

Figura 3.2. Propagación de las ondas en un medio de dos capas
En la parte d), de la figura, ha pasado aún más tiempo desde el momento de disparo, y los 4 frentes de
onda se diferencian claramente

El frente de ondas refractadas hacia el medio superior se genera cuando los rayos
provenientes de la fuente alcanzan en ángulo crítico, ci , la interfaz entre los medios. El
ángulo refractado tiene 90º con respecto a la normal, de tal manera que el
1)90()( 2  senisen

La refracción a 90º del ángulo crítico, ilustrada en la Figura 3.3, implica que las ondas
no se propagan por la capa inferior, sino por el contacto entra ambas capas – es decir
por la superficie de refracción - con la velocidad 2v de la capa inferior, siguiendo la ley
de los recorridos mínimos o Principio de Fermat.

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Figura 3.3 La siguiente figura muestra Ángulo crítico de refracción c i.

3.3.1 Fenómenos en la propagación.

Cuando el medio en que se propagan las ondas sísmicas no es homogéneo, se
producen los fenómenos de difracción, dispersión y scattering (p. ej. Cantos, 1973).

Difracción. Desvío de los rayos, en cierta extensión, ocurrido cuando se limita parte
del frente de ondas (e. g. Tipler, 1990).

Dispersión. Es la variación de la velocidad de una onda con el cambio de frecuencia.
En un medio elástico homogéneo no hay dispersión, pero si la hay en un medio
imperfectamente elástico como en la tierra. En refracción sísmica no hay evidencia de
que exista dispersión apreciable (p. ej. Cantos, 1973), excepto cuando se usan
explosivos en inmediaciones de la explosión.

Scattering. Corresponde a la formación de pequeñas ondas que propagan la energía
en todas las direcciones. Se produce cuando un frente de ondas choca con partículas
libres u objetos pequeños comparados con su longitud de onda. Este fenómeno no es
mayor para frecuencias altas. Parte de lo que se considera ―ruido‖ en un registro puede
deberse a este fenómeno ya que produce energía distribuida al azar en superficie (p.
ej. Cantos, 1973).
La disminución de la energía sísmica con la distancia, causada por los tres fenómenos
explicados anteriormente, va acompañada de pérdidas debidas a la absorción de la
energía, produciendo amortiguamiento. Cuando el impulso sísmico viaja a través de
las diferentes capas las altas frecuencias son absorbidas más rápidamente que las
bajas frecuencias.

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3.4.0 CURVAS TIEMPO-DISTANCIA

Las curvas tiempo distancia se construyen con los tiempos de llegada de las ondas P a
cada uno de los sensores, y la distancia de cada sensor al punto de disparo. Los
tiempos de llegada pueden ser leídos directamente en la pantalla de la unidad de
adquisición, (o de una impresión