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GUÍA DE CÁLCULO VECTORIAL Academia de Matemáticas y Física I.C. 
 
 
1. Considere los siguientes vectores 𝐚 = (2,3,1), 𝐛 = (4, −1,3). Calcule: 
 a) 𝐚 + 𝐛 b) 2𝐚 + 𝟑𝐛 c) 3𝐚 − 𝐛 d) ‖𝐚 + 𝐛‖ e) ‖3𝐚 − 𝟐𝐛‖ f) 2‖𝐚‖ + ‖𝐛‖ 
 
2. Halle las longitudes de los lados del triángulo ABC y determine si son isóceles, rectángulo, ambos o 
ninguno de ellos. Los vértices de cada triángulo son: 
 a) 𝐴(2,1,0), 𝐵(3,3,4), 𝐶(5,4,3) b) 𝐴(3, −4,1), 𝐵(5, −3,0), 𝐶(6, −7,4) 
 
3. Calcule el producto escalar entre las siguientes parejas de vectores. 
 a) 𝐚 = (−1,0,1), 𝐛 = (1,2,3) b) 𝐮 = 2𝐢 + 3𝐣 − 4𝐤, 𝐯 = 𝐢 − 3𝐣 + 𝐤 c) 𝐀 = (−2, −5, −1), 𝐁 = (2,1,6) 
 
4. Determine el ángulo que forman entre sí los vectores dados en el ejercicio anterior. 
 
5. Halle los cosenos directores y los ángulos directores de los siguientes vectores. 
 a) (2,3,3) b) (−5,3,2) c) 2𝐢 + 3𝐣 − 4𝐤 
 
6. Para las parejas de vectores mostradas abajo, determine el valor de 𝑥 para el cual dichos vectores son 
ortogonales. 
 a) 𝐚 = (𝑥, 1,2), 𝐛 = (3,4, 𝑥) b) 𝐏 = 𝐢 + 3𝐣 + 𝑥𝐤, 𝐐 = −2𝐢 + 𝑥𝐣 + 𝐤 
Escriba aquí la ecuación. 
7. Calcule el área del triángulo cuyos vértices se proporcionan a continuación: 
 a) (−1,2,4), (2,2,3), (0,3,0) b) (3,2, −3), (2,0,3), (0,1,4) 
 
8. Para los vectores 𝐀 = (2,3, −1), 𝐁 = (6,2,3), 𝐂 = (−1,0,2) Halle: 
 a) 𝐀 × 𝐁 b) 𝐀 × 𝐂 c) 𝐂 × (𝐁 − 𝐀) d) (𝐀 + 𝐁) × (𝐂 − 𝐁) 
 
9. Obtenga las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétrica (cartesiana) de la recta que pasa por los 
puntos dados a continuación. 
 a) (1,1, −1), (4,3,2) b) (2,0,2), (1,4, −3) c) (2,3,0), (10,8,12) 
 
10. Halle la ecuación simétrica (cartesiana) de la recta que pasa por el punto dado y que es paralela a la 
recta cuya ecuación se proporciona. 
 a) (2,2,3); 𝑥 = 1 + 2𝑡, 𝑦 = 3𝑡, 𝑧 = 5 − 7𝑡 b) (−1,2,4); 𝐗 = (2 − 𝑡, 4 + 3𝑡, −2 + 5𝑡) 
 c) (3, −2,1);
𝑥−2
2
=
𝑦
3
=
𝑧+1
−2
 d) (4, −2, −1); 𝑥 = 6𝑡, 𝑦 = 3 − 2𝑡, 𝑧 = −1 − 4𝑡 
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11. Determine la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta cuya ecuación simétrica se 
señala. 
 a) 
𝑥−2
3
=
𝑦−1
2
=
𝑧
4
 b) 
𝑥+4
−5
=
𝑦−3
−3
=
𝑧+2
2
 c) 
3−𝑥
2
=
𝑦+1
2
=
1−𝑧
5
 
 
12. Calcule la ecuación cartesiana y vectorial del plano definido por los tres puntos proporcionados. 
 a) (0,0,0), (1,2,3), (−2,3,3) b) 𝐴(2,3, −2), 𝐵(3,4,2), 𝐶(1, −1,0) c) (1,2,3), (3,2,1), (−1, −2,2) 
 d) 𝐏 = 2𝐢 − 4𝐣 + 𝐤, 𝐐 = −𝐢 + 3𝐣 + 2𝐤, 𝐑 = 3𝐢 − 𝐣 + 𝐤 
 
13. Obtenga la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto (2,2,1) y contiene a la recta dada por: 
𝑥
2
=
𝑦−4
−1
= 𝑧. 
14. Halle la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos (2,2,1), (−1,1. −1) y que es perpendicular 
al plano 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 3. 
 
15. Determine la ecuación cartesiana y vectorial del plano que pasa por los puntos (4,2,1), (−3,5,7) y es 
paralelo al eje z. 
 
16. La ecuación cartesiana de un plano es 6𝑥 + 7𝑦 + 2𝑧 = 10. Halle su ecuación vectorial y sus ecuaciones 
paramétricas. 
 
17. La ecuación vectorial de un plano es 𝐗 = (2 − 3𝑢 + 𝑣, 1 + 𝑢 + 2𝑣, −1 + 2𝑢 − 3𝑣), determine su 
ecuación cartesiana. 
 
18. Obtenga las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el punto (2,2,3) y que es perpendicular a 
la recta 
𝑥−3
3
=
𝑦+5
−2
=
2
2
. 
 
19. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (−7,1,0), (2, −1,3) 𝑦 (4.1.6). 
 
20. Determine la distancia del punto (4,0,1) al plano 2𝑥 − 𝑦 + 8𝑧 = 3. 
 
21. Cambie de coordenadas cartesianas a polares. 
 a) (3, −4) b) (−2,0) c) (√5,
1
3
) d) (−
2
3
, −
1
4
) 
 
 
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22. Transforme las siguientes coordenadas polares a cartesianas. 
 a) (2,
𝜋
3
) b) (3,
3𝜋
4
) c) (√5, −
𝜋
2
) d) (√2
3
, 0) 
 
23. Transforme a coordenadas polares las siguientes ecuaciones. 
 a) 2𝑥 + 3𝑦 = 1 b) 𝑥2 + 𝑦2 = 16 c) 
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1 d) 𝑥𝑦 = 1 e) 
𝑥2
4
−
𝑦2
25
= 1 
 
24. Transforme a coordenadas cartesianas las siguientes ecuaciones en coordenadas polares. 
 a) 𝑟 = 2 b) 𝑟 =
2
1−cos 𝜃
 c) 𝑟2 − 4𝑟 cos 𝜃 − 2𝑟 sen 𝜃 d) 𝑟 = 9 cos 𝜃 e) 𝑟 = 2(1 − cos 𝜃) 
 
25. Cambie a coordenadas cilíndricas los puntos dados en coordenadas cartesianas. 
 a) (8, −6, −1) b) (−2, −
1
3
, 4) c) (
1
2
,
2
3
,
3
5
) d) (−3,5,2) 
 
26. Exprese en coordenadas cartesianas los siguientes puntos dados en coordenadas cilíndricas. 
 a) (2,
𝜋
3
, 2) b) (√3,
7𝜋
2
, 1) c) (
3
2
, −
𝜋
6
, −3) d) (4, −
5𝜋
4
, −7) 
 
27. Cambie a coordenadas cilíndricas las ecuaciones cartesianas mostradas a continuación. 
 a) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑧2 = 0 b) 𝑦2 = 𝑥 c) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧 d) 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 = −1 
 
28. Exprese en coordenadas cartesianas las ecuaciones mostradas abajo. 
 a) 𝑟2 + 𝑧2 = 1 b) 𝑟2 − 9𝑧2 = 0 c) 𝑟(cos 𝜃 − 2 sen 𝜃) = 3𝑧 d) 𝑟 sec 𝜃 = 𝑧 
 
29. Cambie de coordenadas cartesianas a esféricas las coordenadas de los siguientes puntos. 
 a) (−2,3,4) b) (−1, −4, −2) c) (−2, −2,5) d) (
2
3
, √3, −1) 
 
30. Transforme de coordenadas esféricas a cartesianas las coordenadas de los siguientes puntos. 
 a) (4√2,
𝜋
3
,
𝜋
4
) b) (2,
𝜋
4
,
𝜋
3
) c) (16,
𝜋
6
,
𝜋
2
) d) (
3
4
,
𝜋
2
, 0) 
 
31. Las siguientes ecuaciones están en coordenadas cartesianas, halle su equivalente en ecuaciones 
esféricas. 
 a) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 25 b) 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 = 1 c) 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 6 d) (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 32 
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32. Transforme a coordenadas cartesianas las siguientes ecuaciones en coordenadas esféricas. 
 a) 𝜌 = sen 𝜃 sen 𝜑 b) 𝜑 =
𝜋
3
 c) 𝜌sen2𝜑 = cos 𝜑 d) cos 𝜑 = 𝜌sen2𝜑 cos 2𝜃 
 
33. Determine el dominio de las funciones vectoriales mostradas a continuación. 
 a) 𝐫(𝑡) = √4 − 𝑡2𝐢 + 𝑡2𝐣 − 6𝑡𝐤 b) 𝐫(𝑡) = (𝑡2 − 1, √𝑡 − 4, √6 − 𝑡) 
 c) 𝐫(𝑡) =
1
𝑡
𝐢 +
𝑡
𝑡2−𝑡−6
𝐣 + ln(𝑡) 𝐤 d) 𝐫(𝑡) = (𝑒𝑡, ln (√𝑡 − 3 , cos (
1
𝑡−5
)) 
 
34. Considere las funciones 𝑭(𝑡) = (𝑡, sen𝑡, 1) y 𝑮(𝑡) = (
2
𝑡
, 𝑡, cos 𝑡), calcule: 
 a) 𝑭 + 𝑮 b) 𝑭 ∙ 𝑮 c) 𝑭 × 𝑮 d) 3𝑭 − 4𝑮 e) ‖𝑭‖, ‖𝑮‖ 
 
35. Si 𝑭, 𝒓: ℝ3 → ℝ y 𝑓, 𝜑: ℝ → ℝ tales que 𝑭(𝑡) = (3𝑡2 + 1, sen
1
𝑡
, cos √𝑡), 𝒓(𝑡) = 𝑒𝑡𝐢 + ln(𝑡) 𝐣 +
𝟏
𝒕
𝐤, 𝑓(𝑡) =
2𝑡 − 1 y 𝜑(𝑡) = √𝑡 + 2, calcule: 
 a) 𝑭 ⋄ 𝑓 b) 𝒓 ⋄ 𝑓 c) 𝑭 ⋄ 𝜑 d) 𝒓 ⋄ 𝜑 
 
36. Grafique las curvas descritas por las siguientes funciones vectoriales. 
 a) 𝑭(𝑡) = (𝑡 + 1, 𝑡2 − 1) b) 𝒓(𝑡) = 2𝑡𝐢 + (𝑡 + 3)𝐣 + 𝑡𝐤 c) 𝑭(𝑡) = (cos 𝑡 ,sen 𝑡 , 𝑡) 
 
37. Empleé un paquete graficador para determinar las gráficas de las curvas descritas por las funciones 
vectoriales mostradas a continuación. 
 a) 𝑭(𝑡) = (cos3𝑡, sen3𝑡) b) 𝒓(𝑡) = (𝑡 − sen 𝑡)𝐢 + (1 − cos 𝑡)𝐣 
 c) 𝒓(𝑡) = cos 𝑡 𝐢 + 𝟐𝐭 𝐣 + 𝐬𝐞𝐧 𝑡 𝐤 d) 𝒓(𝑡) = 𝑒𝑡 cos 𝑡 𝐢 + 𝑒𝑡 sen 𝑡 𝐣 + 𝑒𝑡𝐤 
 e) 𝑭(𝑡) = (𝑡, 𝑡2, 𝑡3) 
 
38. Determine los siguientes límites. 
 a) 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → 0
(𝑡2,
𝑡
sen 𝑡
, ln (1 + 𝑡3)) b) 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → −1
{
𝑡2−1
1+𝑡
𝐢 +
𝑡2+3𝑡+2
𝑡3+1
𝐣} 
 
 c) 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → ∞
(
3𝑡+𝑡2
2+𝑡−2𝑡2
, 𝑡𝑒−𝑡) d) 
𝑙𝑖𝑚
𝑡 → 0
{(1 + 𝑡)𝑒𝑡𝐢 +
1−cos 𝑡
𝑡
𝐣 +
𝑡𝑎𝑛𝑡
𝑡
𝐤} 
 
39. Sean 𝑭, 𝑮: ℝ → ℝ3. Aplique la definición de derivada para probar que 𝐷(𝑭 × 𝑮) = 𝑭 × 𝐷𝑮 + 𝐷𝑭 × 𝑮. 
 
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40. Halle la derivada de las siguientes funciones y determine la ecuación de la recta tangente a la curva en 
el punto señalado. 
 a) 𝑭(𝑡) = (𝑡𝑒𝑡 , 𝑒−𝑡); 𝑡 = 0 b) 𝒓(𝑡) = 𝑡𝐢 + 𝑡2𝐣 +
2
3
𝑡
3
2⁄ ; 𝑡 = 9 
 c) 𝑭(𝑡) = (𝑒−𝑡, 𝑒−𝑡 sen 𝑡, 𝑒−𝑡 cos 𝑡); 𝑡 = 0 d) 𝒓(𝑡) = sen 3𝑡 𝐢 + cos 3𝑡 𝐣 + 2𝑡
3
2⁄ 𝐤; 𝑡 = 1 
 
41. Si las funciones vectoriales del ejercicio 40 describen la trayectoria de una partícula, calcule su 
velocidad, rapidez y aceleración en el punto indicado. 
 
42. Determine la longitud de arco de las curvas descritas por las funciones vectoriales dadas abajo, en el 
intervalo señalado. 
 a) 𝑭(𝑡) = (2𝑡, 𝑡, 𝑡2); [0,2] b) 𝒓(𝑡) = sin(2𝜋𝑡)𝐢 + cos(2𝜋𝑡)𝐣 + (2𝑡 − 𝑡2)𝐤; [0,1] 
 c) 𝒓(𝑡) = (𝑡, 𝑡 sen 𝑡 , 𝑡 cos 𝑡); [0, 𝜋] d) 𝒓(𝑡) = sen 𝑡 𝐢 + cos 𝑡 𝐣 + ln(sec 𝑡) 𝐤; [0,
𝜋
4
] 
 
43. Para las siguientes funciones vectoriales calcule su tangente unitaria, normal principal, curvatura y 
radio de curvatura. 
 a) 𝑭(𝑡) = (𝑡, 1 − 𝑡2) b) 𝑭(𝑡) = (sen 𝑡 , cos 𝑡 , ln(sec 𝑡)) 
 c) 𝒓(𝑡) = 𝑡𝐢 + 𝑡2𝐣 + 𝑡3𝐤 d) 𝒓(𝑡) = 𝑒𝑡𝐢 + 𝑒−𝑡𝐣 + √2𝑡𝐤 
 
44. Si las funciones vectoriales del ejercicio 43 describen el movimiento de una partícula, halle las 
componentes tangencial y normal de la aceleración. 
 
45. Si 𝐶 es una curva plana definida por la función vectorial 𝒓(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝐢 + 𝑦(𝑡)𝐣, probar que su curvatura 
se calcula mediante la expresión: 𝐾(𝑡) =
|𝑥′(𝑡)𝑦′′(𝑡)−𝑥′′(𝑡)𝑦′(𝑡)|
{[𝑥′(𝑡)]2+[𝑦′(𝑡)]2}3 2⁄
. 
 
46. Calcule la integral indefinida para las siguientes funciones vectoriales. 
 a) 𝑭(𝐭) = (𝑡𝟐, 3𝑡 − 1, 𝑒3𝑡) b) 𝑭(𝑡) = 𝑒𝑡 cos 𝑡 𝐢 + 𝑒𝑡 sen 𝑡 𝐣 c) 𝒓(𝑡) = 𝑡 sen 𝑡 𝐢 +
1
𝑡+1
𝐣 
 d) 𝒓(𝑡) = 𝑡 ln 𝑡 𝐢 + tan−1 𝑡 𝐣 + 𝑡𝑒𝑡𝐤 e) 𝒓(𝑡) = (
1
𝑡2−1
,
𝑡+2
𝑡+3
) 
 
47. Encuentre el dominio de las funciones: 
 a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 − 𝑦 b) 𝑔(𝑥, 𝑦) =
𝑥+2𝑦
𝑥+𝑦
 c) 𝑧(𝑥. 𝑦) = √𝑥√𝑦 
 d) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥 + 𝑦 + √𝑧 e) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
1
𝑥
+
2
𝑦
−
1
𝑧
 
 
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48. Determine las curvas de nivel de las siguientes funciones, puede apoyarse en un paquete graficador. 
 a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 1)2 + 4(𝑦 + 1)2 b) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦2 c) 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 
d) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 3𝑦 e) 𝑓(𝑥, ) = √𝑥2 + 𝑦2 
 
49. Empleé un paquete graficador para para graficar las funciones dadas abajo. 
 a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 4𝑦 b) 𝑔(𝑥, 𝑦) = cos(𝑥2 + 𝑦2) c) 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦2 
 d) 𝐹(𝑥, 𝑦) =
sin(𝑥𝑦)
𝑥𝑦
 e) 𝐺(𝑥. 𝑦) = ln(𝑥 + 𝑦) 
 
50. Sean 𝑓, 𝜑: ℝ → ℝ y 𝐹, 𝐺: ℝ2 → ℝ funciones definidas como sigue: 𝑓(𝑡) = ln 𝑡 , 𝜑(𝑡) =
1
𝑡
 y 𝐹(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑥+𝑦
 
 𝐺(𝑥, 𝑦) = 𝑥 cos 𝑦. Calcule: 
 a) 𝑓 ∘ 𝐺 b) 𝑓 ∘ 𝐹 c) 𝜑 ∘ 𝐹 d) 𝜑 ∘ 𝐺 
 
51. Calcule el valor, si es que existe, de los siguientes límites. 
 a) 
𝑙𝑖𝑚
(𝑥, 𝑦) → (0,0)
𝑥4−𝑦4
𝑥2+𝑦2
 b) 
𝑙𝑖𝑚
(𝑥, 𝑦) → (0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 b) 
𝑙𝑖𝑚
(𝑥, 𝑦) → (4, −2)
𝑥√𝑦3 + 2𝑥 
 c) 
𝑙𝑖𝑚
(𝑥, 𝑦) → (0,0)
𝑦 sen 𝑥
𝑥
 d) 
𝑙𝑖𝑚
(𝑥, 𝑦, 𝑧) → (−2,3,1)
𝑥2𝑧3+𝑦
𝑥2+𝑦2
 
 
52. Pruebe que el límite de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥3𝑦
2𝑥6+𝑦2
 es cero cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0) a lo largo de cualquier 
recta 𝑦 = 𝑚𝑥, o a lo largo de cualquier parábola 𝑦 = 𝑘𝑥2, pero no existe el límite cuando nos 
aproximamos por la curva 𝑦 = 𝑥3. 
 
53. Aplique la definición para hallar la derivada direccional de las funciones mostradas abajo, en la 
dirección indicada. 
 a) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2; 𝑨 = (1,2) b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑦2𝑧; 𝑩 = (1,1,1) 
 c) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧; 𝑷 = (1, −2, −1) d) 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥+𝑧
𝑦
; 𝑸 = (2,1,0) 
 
54. Determine todas las derivadas parciales de primer orden para las siguientes funciones. 
 a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 + sin(𝑥𝑦) b) 𝑔(𝑥, 𝑦) = ln(√3𝑥 + 2𝑦) c) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3 
 d) 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥𝑦𝑧
𝑥+𝑦+𝑧
 e) 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑦𝑧 cos(𝑥𝑦) 
 
55. Halle el gradiente de las funciones del ejercicio 54. 
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56. Obtenga la derivada direccional, aplicando la fórmula con gradiente, en la dirección señalada para las 
funciones: 
 a) 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 cos(𝑥2 − 𝑦2); 𝑨 = (−3,4) b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑥
2+𝑦𝑧; 𝑩 = (1, −1, −2) 
 c) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2); 𝑪 = (1,0,1) d) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = tan−1(𝑥𝑦𝑧); 𝑨 = (2, −3, √3) 
 
57. Halle la dirección en que la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑧𝑒𝑦 + 𝑥𝑧2 se incrementa con la mayor rapidez en el 
punto 𝑷 = (1, ln 2 , 2). 
 
58. La temperatura en el punto (𝑥, 𝑦) de una placa metálica está dada por la función 𝑇(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑥2+𝑦2
. 
Determine la dirección de mayor incremento de temperatura en el punto (3,4). 
 
59. La superficie de una montaña se modela mediante la función ℎ(𝑥, 𝑦) = 5000 − 0.001𝑥2 − 0.004𝑦2. Un 
montañista se encuentra en el punto (500,300,4390). ¿en qué dirección debe moverse para ascender 
con mayor rapidez?. 
 
60. Calcule la ecuación del plano tangente en el punto señalado para las superficies descritas por las 
ecuaciones: 
 a) 
𝑥2
4
+ 𝑦2 − 𝑧2 = −1; (−2,3, √11) b) 𝑧 + √9 − 𝑥2 − 𝑦2 = 2; (2,1, −2) 
 c) 𝑥2𝑦2 − 2𝑥𝑦𝑧 + √4𝑧 = 10; (2, −1,1) d) 𝑦𝑧 cos 𝑥 +
𝑥+𝑦
𝑦−𝑧
= 1; (0,1,0) 
 
61. Sea 𝒓 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝐤 y 𝑟 = ‖𝒓‖, 𝑟 ≠ 0. Pruebe que: 
 a) ∇ (
1
𝑟
) = −
1
𝑟3
𝒓 b) ∇(𝑟) =
1
𝑟
𝒓 c) ∇(𝑟𝑛) = 𝑛𝑟𝑛−2𝒓, 𝑛 ∈ ℕ 
 
62. Sean 𝐹, 𝐺: ℝ3 → ℝ. Pruebe que se cumple; 
 a) ∇(𝐹𝐺) = 𝐹∇(𝐺) + 𝐺∇(𝐹) b) ∇ (
𝐹
𝐺
) =
𝐺∇(𝐹)−𝐹∇(𝐺)
𝐺2
 
 
63. Determine 
𝜕2𝐹
𝜕𝑥2
,
𝜕2𝐹
𝜕𝑦2
,
𝜕2𝐹
𝜕𝑧2
,
𝜕2𝐹
𝜕𝑥𝜕𝑦
,
𝜕2𝐹
𝜕𝑥𝜕𝑧
,
𝜕2𝐹
𝜕𝑦𝜕𝑧
 para las funciones: 
 a) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧3 b) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑥𝑦𝑧 c) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)= cos(𝑥𝑦) + ln(𝑦𝑧) 
 d) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥−𝑧
𝑦+𝑧
 e) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 
 
64. Para las siguientes funciones muestre que satisfacen la ecuación de Laplace. 
 a) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦 b) 𝑧 = 𝑒𝑥 sen 𝑦 + 𝑒𝑦 cos 𝑥 c) 𝑧 = ln(𝑥2 + 𝑦2) + tan−1 (
𝑦
𝑥
) 
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65. Use la regla de la cadena para hallar 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
,
𝜕𝑧
𝜕𝑣
 . 
 a) 𝑧 = 8𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 3𝑦; 𝑥 = 𝑢𝑣, 𝑦 = 𝑢 − 𝑣 b) 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦 tan 𝑥 ; 𝑥 =
𝑢
𝑣
, 𝑦 = 𝑢2𝑣2 
 c) 𝑧 = 
𝑥
𝑦
, 𝑥 = 2 cos 𝑢, 𝑦 = 3 sen 𝑣 
 
66. Sea 𝑓 una función derivable y supongamos que 𝑤 = 𝑓(𝑥 − 𝑦, 𝑦 − 𝑧, 𝑧 − 𝑥). Pruebe que se cumple: 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0 
 
67. Si 𝑤 = 𝐹(𝑥, 𝑦) es una función para la que existen sus primeras y segundas derivadas parciales y 𝑥 =
𝑢 + 𝑣, 𝑦 = 𝑢 − 𝑣, muestre que: 
 a) 
𝜕𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑢
= (
𝜕𝐹
𝜕𝑥
)
2
− (
𝜕𝐹
𝜕𝑦
)
2
 b) 
𝜕2𝑤
𝜕𝑢 𝜕𝑣
=
𝜕2𝐹
𝜕𝑥2
−
𝜕2𝐹
𝜕𝑦2
 
 
68. Sea 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) con 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃. Pruebe que se cumple: 
 a) 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝜕𝑧
𝜕𝑟
cos 𝜃 −
1
𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝜃
sen 𝜃 ,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
𝜕𝑧
𝜕𝑟
sen 𝜃 +
1
𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝜃
cos 𝜃 b) (
𝜕𝑧
𝜕𝑥
)
2
+ (
𝜕𝑧
𝜕𝑦
)
2
= (
𝜕𝑧
𝜕𝑟
)
2
+
1
𝑟2
(
𝜕𝑧
𝜕𝜃
)
2
 
 c) 
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑟2
+
1
𝑟2
𝜕2𝑧
𝜕𝜃2
+
1
𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝑟
 
 
69. Calcule los máximos y mínimos de las funciones: 
 a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥 − 3𝑦 + 4 b) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑦2 + 4 
 c) 𝑧 = 𝑒𝑥𝑦 d) 𝐹(𝑥, 𝑦) = sin 𝑥 sin 𝑦 
 
70. Aplique el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los máximos y mínimos de las 
siguientes funciones sujetas a las restricciones señaladas. 
 a) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2;
𝑥2
4
+ 𝑦2 + 𝑧2 = 1 b) 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2; 𝑥 − 𝑦 = 3 
 c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧; 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 d) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧; 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 32; 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 
 e) 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧; 𝑥2 + 𝑦2 = 2; 𝑦 + 𝑧 = 1 f) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2; 𝑥 + 2𝑧 = 6; 𝑥 + 𝑦 = 12 
 
71. Determine las dimensiones del paralelepípedo rectangular de volumen máximo y superficie igual a 8. 
 
72. Encuentre tres números reales positivos cuyo producto sea 24 y su suma sea mínima. 
 
73. Halle los puntos sobre el plano 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5 que estén más cercanos al punto (1, −2,3). 
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74. Obtenga las dimensiones del mayor cilindro de base circular que se puede inscribir en una esfera de 
radio 𝑅. 
 
75. Calcule la diferencial de las siguientes funciones. 
 a) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦2 + 𝑥3𝑦 b) 𝐺(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦 + 𝑦 cos 𝑥 c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(𝑥2 + 3𝑦𝑧) 
 d)𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥
𝑦−𝑧
 e) 𝑤 = tan−1 (
𝑥𝑦
𝑧
) 
 
76. La presión, volumen y temperatura de un mol de gas ideal están relacionadas por la ecuación 𝑃𝑉 =
8.31𝑇 , donde 𝑃 se mide en kilopascales, 𝑉 en litros y 𝑇 en grados Kelvin. Use la diferencial para hallar 
el cambio aproximado en la presión si el volumen aumenta de 12 L a 12.3 L y la temperatura se 
reduce de 310 K a 305 K. 
 
77. Un envase metálico cerrado tiene la forma de un cilindro circular recto de 8 in de altura interior, de 3 in 
de radio interior y 0.1 in de grosor. Si el costo del metal es de $0.50 por pulgada cúbica, aproxime 
mediante diferenciales el costo total del metal empleado en la elaboración del envase. 
 
78. Las dimensiones de una caja son 20 cm, 25 cm y 10 cm, con un posible error de 0.025 cm. Aproxime 
mediante diferenciales el máximo error si el volumen de la caja se calcula a partir de estas medidas. 
 
79. Calcule la derivada de las siguientes funciones vectoriales. 
 a) 𝒇(𝑥, 𝑦) = (𝑒𝑥𝑦, ln(𝑥𝑦)) b) 𝒈(𝑥, 𝑦) =
𝑦
𝑥
𝐢 + (cos(𝑥𝑦) − 𝑥 sen 𝑦)𝐣 
 c) 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 − 𝑦𝑧, 𝑦√𝑥𝑧) d) 𝑮(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧,
𝑥
𝑦+𝑧
, senh (
𝑦𝑧
𝑥
) ) 
 e) 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = sen(𝑥𝑦𝑧)𝐢 + 𝑒𝑥+𝑦+𝑧𝐣 + ln (
𝑥2
𝑦𝑧
) 𝐤 
 
80. Halle el jacobiano asociado a las siguientes transformaciones. 
 a) 
𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)
𝜕(𝑟,𝜃,𝑧)
; 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃, 𝑧 = 𝑧 b) 
𝜕(𝐹,𝐺)
𝜕(𝑥,𝑦)
; 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦, 𝐺(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦 
 c) 
𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)
𝜕(𝑢,𝑣,𝑤)
; 𝑥 =
1
2
(𝑢2 − 𝑣2), 𝑦 = 𝑢𝑣, 𝑤 = 𝑧 d) 
𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)
𝜕(𝑢,𝑣,𝑤)
; 𝑥 = 𝑎 cosh 𝑢 cos 𝑣 , 𝑦 = 𝑎 senh 𝑢 sin 𝑣 , 𝑤 = 𝑧 
 
81. Determine la divergencia y el rotacional de las siguientes funciones. 
 a) 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2, 𝑥𝑦𝑧, 𝑦𝑧2) b)𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 ln 𝑥 𝐢 + 𝑥 ln 𝑦 𝐣 + 𝑥𝑦 ln 𝑧 𝐤 
 c) 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝐢 + sen(𝑥𝑦) 𝐣 + 𝑦𝑥𝑧𝐤 d) 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑒𝑥𝑦 sen 𝑧 , 𝑒𝑥𝑧 sen 𝑦, 𝑒𝑦𝑧 cos 𝑥) 
 e) Para la función del inciso a) calcule ∇ ⋅ (∇ × 𝑭) 
 
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82. Para las funciones mostradas abajo, calcule el laplaciano (Suponga que las derivadas parciales 
requeridas son continuas en algún intervalo). 
 a) 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen 𝑥 cosh 𝑦 + cos 𝑥 senh 𝑦 
 c) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑥
2
sen(2𝑥𝑦) d) 𝐹(𝑥, 𝑦) = sin(𝑥2 − 𝑦2) cos(2𝑥𝑦) 
 e) 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥+𝑧
𝑧−𝑦
 
 
83. En relación al ejercicio 82, ¿qué funciones fueron armónicas en algún dominio?. 
 
84. Sean 𝑭, 𝑮: ℝ3 → ℝ3; 𝑓, 𝑔: ℝ3 → ℝ y suponga que las derivadas parciales requeridas son continuas en 
algún dominio, pruebe: 
 a) ∇ ∙ (𝑓𝑭) = 𝑓∇ ∙ 𝑭 + 𝑭 ∙ ∇𝑓 b) ∇ × (𝑔𝑮) = 𝑔∇ × 𝑮 + (∇𝑔) × 𝑮 
 c) ∇ × (∇ × 𝑭) = ∇(∇ ∙ 𝑭) − ∇2𝑭 d) ∇(𝑭 ∙ 𝑭) = 2(𝑭 ∙ ∇)𝑭 + 2𝑭 × (∇ × 𝑭) 
 e) ∇ ∙ (𝑓∇𝑔 − 𝑔∇𝑓) = 𝑓∇2𝑔 − 𝑔∇2𝑓 f) ∇ × ∇𝑓 = 𝟎, ∇ ∙ (∇ × 𝑭) = 0 
 
85. Sea 𝒓 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) y 𝑟 = ‖𝒓‖. Pruebe que: 
 a) ∇(ln 𝑟) =
1
𝑟2
𝒓 b) ∇ ∙ (𝑟𝑛𝒓) = (𝑛 + 3)𝑟𝑛, 𝑛 ∈ ℕ c) ∇ × (𝑟𝑛𝒓) = 𝟎 d) ∇2 (
1
𝑟
) = 0 
 
86. Las ecuaciones de Maxwell para el vacío son: ∇ ∙ 𝑬 = 0, ∇ ∙ 𝑩 = 0, ∇ × 𝑬 = −
1
𝑐
𝜕𝑩
𝜕𝑡
 y ∇ × 𝑩 =
1
𝑐
𝜕𝑬
𝜕𝑡
, donde 
𝑬, 𝑩 𝑦 𝑐 son el campo eléctrico, el campo magnético y la velocidad de la luz, respectivamente. Empleé 
las identidades del ejercicio 84 para probar que los campos eléctrico y magnético satisfacen la 
ecuación de onda, es decir: 
∇2𝑬 =
1
𝑐2
𝜕2𝑬
𝜕𝑡2
 y ∇2𝑩 =
1
𝑐2
𝜕2𝑩
𝜕𝑡2
 
 
87. Haga una investigación del tema de coordenadas curvilíneas ortogonales y determine el gradiente, la 
divergencia, el rotacional y el laplaciano en coordenadas cilíndricas y esféricas. 
 
88. Calcule 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 𝑦 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
 para la función 𝐹(𝑥, 𝑦) dada por la expresión: 
 a) 𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑦𝑒𝑡𝑑𝑡
𝑥
1
 b) 𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ (𝑦 + 𝑡)2𝑑𝑡
𝑥
1
 
 c) 𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ (𝑥 + 3𝑡)𝑑𝑡
𝑦
1
 d) 𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ ln(𝑡𝑥)𝑑𝑡
𝑦
1
 
 
89. Determine si las siguientes funciones vectoriales tienen una función potencial y, en su caso, hallarla. 
 a) 𝑭(𝑥. 𝑦) = (𝑒𝑥 , sen(𝑥𝑦)) b) 𝑭(𝑥. 𝑦) = 2𝑥𝑦𝐢 + 𝑥𝟐𝐣 
 c) 𝑭(𝑥,𝑦) = (𝑥𝑦)2𝐢 + (𝑥 + 𝑦4)𝐣 d) 𝑭(𝑥. 𝑦) = (𝑥2𝑦, 𝑥𝑦2) 
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90. Calcule las integrales de línea de las funciones proporcionadas a continuación, para el contorno 
señalado. 
 a) 𝑭(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 2𝑥𝑦)𝐢 + (𝑦2 − 2𝑥𝑦)𝐣 a lo largo de la curva 𝑦 = 𝑥2 de los puntos (−2,4) a (1,1). 
 b) 𝒇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑥𝑧 − 𝑦) sobre el segmento de recta que une los puntos (0,0,0) y (1,2,4). 
 c) 𝑮(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦2, 𝑥) para la curva 𝒓(𝑡) = (cos 𝑡 , sen 𝑡) en el intervalo 𝑡 ∈ [0, 𝜋]. 
 d) 𝒈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = sin 𝑧 𝐢 + cos 𝑧 𝐣 − (𝑥𝑦)
𝟏
𝟑𝐤 a lo largo de la curva 𝒓(𝑡) = (cos 3𝑡, sen3𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ [0,
7𝜋
2
]. 
 e) 𝒇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦, 𝑥2) a lo largo del cuadrado de longitud 1 centrado en el origen y recorrido en el 
sentido positivo. 
 
91. Determine el valor de las siguientes integrales iteradas. 
 a) ∫ ∫ cos(2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
3𝑦
𝑦
𝜋
0
 b) ∫ ∫ 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑦𝑑𝑥
2𝑥
0
1
0
 c) ∫ ∫ 2𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥
√𝑥
1
4
1
 
 d) ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
1+cos 𝜃
3 cos 𝜃
𝜋
3⁄
0
 e) ∫ ∫ 6𝑟 cos 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃
sen 𝜃
0
𝜋
2⁄
𝜋
6⁄
 f) ∫ ∫ ∫ 24𝑥𝑦𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥𝑦
2
𝑥
1
3
1
 
 g) ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥2
0
2
√𝑦
√2
0
 h) ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
√25−𝑥2−𝑦2
4
√9−𝑥2
0
3
0
 
 
92. Obtenga el volumen de la superficie descrita por la función 𝑧 = 𝐹(𝑥, 𝑦) para la región delimitada por las 
curvas señaladas. 
 a) 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦2; 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1 b) 𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦 + 1; 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥3 
 c) 𝐹(𝑥, 𝑦) =
𝑥
√𝑦
; 𝑦 = 𝑥2 + 1, 𝑦 = 3 − 𝑥2 d) 𝐹(𝑥, 𝑦) =
1
1+𝑥𝑦
; 𝑦 = 0, 𝑦 = 1, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 
 e) 𝑧 = sen (
𝜋𝑥
𝑦
) ; 𝑥 = 𝑦2, 𝑥 = 0, 𝑦 = 1, 𝑦 = 2 
 
93. Aplique una integral doble para hallar el área de la región limitada por las curvas indicadas. 
 a) 𝑦 = −𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 b) 𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑦 = ln 𝑥, 𝑥 = 1, 𝑥 = 4 
 c) 𝑦 = −𝑥2 + 3𝑥, 𝑦 = −2𝑥 + 4 d) 𝑦 = 𝑥2 − 3, 𝑦 = 5 − 𝑥2 
 
94. Determine el volumen del tetraedro limitado por los planos 3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 − 12 = 0, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0. 
 
95. Calcule el volumen del sólido delimitado por las superficies descritas por las siguientes ecuaciones 𝑧 =
𝑥 + 𝑦, 𝑥2 + 𝑦2 = 9, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0. 
 
96. Obtenga el volumen del sólido limitado por las superficies: 𝑥2 + 𝑦2 = 4, 𝑧 = 0, 𝑧 = 1. 
 
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97. Aplique coordenadas polares para calcular el valor de las siguientes integrales dobles. 
 a) ∫ ∫ √𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑦 𝑑𝑥
√9−𝑥2
0
3
−3
 b) ∫ ∫ sen(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 𝑑𝑦
√𝜋−𝑦2
0
√𝜋
−√𝜋
 
 c) ∫ ∫
𝑥𝑦
√𝑥2+𝑦2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
√4−𝑥2
0
2
0
 d) ∫ ∫
1
(1+𝑥2+𝑦2)2
∞
0
∞
0
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
 e) ∬ √4 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝐴𝑅 donde 𝑅 es la región limitada por el sector del primer cuadrante del círculo 
𝑥2 + 𝑦2 = 4, entre 𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑥. 
 
98. Evalúe las siguientes integrales. 
 a) ∫ ∫ ∫ 𝑟 sen 𝜃𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃
4−𝑟2
0
2𝑐𝑜𝑠2𝜃
0
𝜋
2⁄
0
 b) ∫ ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃
3−𝑟2
0
√3
0
2𝜋
0
 
 c) ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑒𝑟 𝑑𝜗 𝑑𝑟 𝑑𝑧
𝜋
2⁄
0
𝑧
0
4
0
 d) ∫ ∫ ∫ (2 cos 𝜑) 𝜌2 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜑
sen 𝜃
0
𝜋
0
𝜋
2⁄
0
 
 e) ∫ ∫ ∫ 𝜌2
5
2
sin 𝜑 𝑑𝜌 𝑑𝜑 𝑑𝜃
𝜋
0
2𝜋
0
 f) ∫ ∫ ∫ 𝜌2 sin 𝜑 cos 𝜑 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜑
cos 𝜃
0
𝜋
4⁄
0
𝜋
4⁄
0
 
 
99. Transforme a coordenadas cilíndricas y evalúe las integrales: 
 a) ∫ ∫ ∫ 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
√4−𝑥2−𝑦2
0
√1−𝑦2
0
1
0
 b) ∫ ∫ ∫ √𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑥2+𝑦2
0
√2𝑥−𝑥2
−√2𝑥−𝑥2
2
0
 
 c) ∫ ∫ ∫ (4𝑧 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧
√𝑥−𝑥2
0
1
1
2⁄
2
0
 d) ∫ ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
(𝑥2+𝑦2)
2
⁄
0
√4−𝑥2
−√4−𝑥2
2
−2
 
 
100. Transforme a coordenadas esféricas y calcule el valor de las siguientes integrales. 
 a) ∫ ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
√8−𝑥2−𝑦2
√𝑥2+𝑦2
√4−𝑥2
−√4−𝑥2
2
−2
 b) ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√9−𝑥2−𝑦2
0
√9−𝑥2
0
3
0
 
 c) ∫ ∫ ∫ √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
√4−𝑥2−𝑦2
0
 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
√4−𝑦2
𝑦
√2
0
 d) ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√1−𝑥2−𝑦2
0
√1−𝑥2
0
1
0
 
 
101. Aplique una integral múltiple y un sistema de coordenadas apropiado para hallar el volumen del sólido 
señalado. 
 a) El sólido limitado por los planos 𝑧 = 0 𝑦 𝑧 = ℎ, fuera del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 y dentro del 
hiperboloide 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 1. 
 b) El sólido que queda tras taladrar un agujero de radio 𝑏 a través de una esfera de radio 𝑅, (𝑏 < 𝑅). 
 c) El sólido que se halla fuera del cono 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 y dentro de la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1. 
 d) El sólido limitado por las superficies 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, 𝑥2 + 𝑦2 = 4 y 𝑧 = 0. 
 
 
 
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102. Empleé el teorema de Green para calcular el valor de las siguientes integrales de línea. 
 a) ∫ (5𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥3 𝑑𝑦)𝐶 donde 𝐶 es la trayectoria cerrada, recorrida en el sentido positivo, que consta 
de las curvas 𝑦 = 𝑥2 y 𝑦 = 𝑥, entre los puntos (0,0) 𝑦 (2,4). 
 b) ∫ (2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + [𝑥2 + 𝑦2] 𝑑𝑦)𝐶 donde 𝐶 es la curva cerrada 𝐶(𝑡) = 3 cos 𝑡 𝐢 + 2 sin 𝑡 𝐣 , 𝑡 ∈ [0,1]. 
 c) ∫ (𝑥𝑦 𝑑𝑥 + [𝑥 + 𝑦] 𝑑𝑦)𝐶 donde 𝐶 es la circunferencia de radio 1 con centro en el origen y recorrida 
en el sentido positivo. 
 d) ∫ (𝑥2𝑦2 𝑑𝑥 + [𝑥2 − 𝑦2] 𝑑𝑦)𝐶 donde 𝐶 es el cuadrado con vértices (0,0), (1,0), (1,1) 𝑦 (0,1), recorrido 
en el sentido positivo.