408-Calculo-Vectorial-Completo

Vista previa del material en texto

Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2023
PRIMER PARCIAL
I. Introducción
En los trabajos realizados anteriormente referentes a temas de cálculo diferencial y cálculo integral se han aprovechado de buena manera para distintos estudios, ahora trataremos cálculo vectorial para el cual se realizan operaciones como análisis multivariable de vectores en 2 o mas dimensiones principalmente en ejes x, y, z. Lleva un enfoque como un conjunto de fórmulas y técnicas muy útiles para solucionar problemas para ingeniería así como de física.
II. Palabras clave:
Funciones, integrales, vector, derivada, campo polar
III. Objetivo
Analizar el sistema de ecuaciones y algebra de vectores para la materia de calculo vectorial.
IV. Operaciones con vectores 
Supongamos que tenemos dos vectores u y v expresados a partir de sus vectores constituyentes, en dos dimensiones para simplificar: 
 
 
 
Suma de vectores, se define el vector suma de ambos (w) a otro vector cuyas componentes se calculan sumando las componentes de cada uno de ellos.
Producto escalar (·)
El producto escalar de dos vectores u y v que forman un ángulo φ se define como:
De la expresión anterior se observa que el producto escalar de dos vectores no es un vector, es un número (un escalar). Además, el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo. Se deducen entonces los siguientes resultados:
Si los vectores están expresados en componentes, en tres dimensiones y aplicando los resultados anteriores se obtiene que: 
El producto escalar de dos vectores posee la propiedad conmutativa.
Producto vectorial (x)
El producto vectorial de dos vectores que forman un ángulo φ es otro vector, de dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores, sentido el que da la regla de la mano derecha y módulo el que se especifica a continuación:
El producto vectorial no posee la propiedad conmutativa, ya que se cumple que:
Además, se cumple que el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo. Se obtienen entonces las siguientes relaciones:
Si los vectores vienen expresados en componentes el producto vectorial se calcula desarrollando el determinante:
 =
Ejemplo de operaciones.
A. (1,2,3)
B. (3,-7,1)
C. (3,2,6)
D. (-7,-1,3)
a. 
b. 2C+3B+2D = (1,-19,9)
c. A+B+C+D = (-7,-5,4)
V. Propiedades de los vectores
Asociativa:
A+B+C+D = (A+C) + (C+D)
Distributiva:
A+B = B+A
A+B+C = A+C+B
C+A+B
Producto punto y Producto cruz
Es una operación aritmética de los 2 vectores para entrar a un valor 
A (3,2,1) B( 3,6,2)
AB
) 9 + 12 + 2 = 23
A. (3,6,2)
B. (-2,6,1)
C. (3,8,6)
D. (2,7,4)
E. (-5,6,2)
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
VI. Producto Cruz de Vectores
Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores ()  el vector. Cuya longitud equivale al área del paralelogramo construido en vectores v y w. Y el vector resultante es perpendicular al plano de estos vectores.
Para obtener el producto vectorial entre u y v: 
A (3,2,1) B (2,4,6)
Se colocan las componentes de ambos vectores como elementos de una matriz. 
Las componentes del vector resultante: obtén una sub matriz que contenga todas las componentes de la matriz original excepto la columna con la componente a calcular, es decir: Sí deseo la componente en x, mi sub matriz contendrá las columnas de y y z. Sí deseo la componente en y, mi sub matriz contendrá las columnas de x y z. Sí deseo la componente en z, mi sub matriz contendrá las columnas de x y y. 
Calcular la determinante de cada sub matriz obtenida en el paso anterior.
El resultado será un vector en R3.
Propiedades del producto cruz, sean A y B y C tres vectores y un escalar.
Como ejemplo:
a. E () C 
b. C D (2,6,3)
c. D E
I. Ecuaciones de una recta
El nombre que recibe la Expresión algebraica (Función) que determine a una Recta dada se denomina Ecuación de la Recta.
Una recta puede ser expresada mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada pendiente de la recta y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el Plano. Mientras que b es el término independiente y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un Plano cartesiano), con Abscisas (x) y Ordenadas (y). • Aclaración: Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano. Conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación: Ax + By + C = 0, y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta.
Formas de la ecuación de una línea recta
· Ecuación de la recta que pasa por el origen: y = mx
· Ecuación de la recta conocida su pendiente e intercepto con el eje y: y = mx + b (pendiente m y su intercepto b con el eje y).
· Ecuación de la recta que pasa por un punto y pendiente conocida: y = mx + (y1 – mx1). Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por: b = y1 – mx1.
· Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
· Ecuación segmentaria de la recta: (Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente).
· Ecuación general de la recta: Ax+ By + C = 0.
Ejemplo de ecuación de una recta. Determinar la ecuación para el punto:
Sustituyendo 
Calcular ecuaciones paramétricas para 
Sustituyendo 
Calcular las ecuaciones simétricas.
Ejemplos. Calcular: 
A)
 
II. Determinación de la ecuación de un plano.
Un plano del espacio queda determinado cuando conocemos un punto P del mismo y dos vectores uy v, no nulos y linealmente independientes contenidos en el plano, llamados vectores directores del mismo.
Sea un plano π que tiene como vectores directores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) y pasa por un punto P0(x0,y0,z0), si P(x,y,z) es un punto cualquiera del plano: OP=OP0+tu+sv.
Determinar la ecuación de un plano para los puntos:
SEGUNDO PARCIAL
I. Introducción
A continuación, se podrán encontrar los apuntes vistos en la materia de cálculo vectorial y con ello diversos ejemplos y su representación gráfica para mayor entendimiento del segundo parcial.
.
II. Palabras clave:
Funciones, integrales, vector, derivada, campo polar
III. Objetivo
Analizar el sistema de ecuaciones y algebra de vectores para la materia de cálculo vectorial.
IV. Derivadas vectoriales 
El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también para ser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta es la función vectorial.
IX. Integral de funciones vectoriales
 
= k
Ejercicio 1.- 
u=t³
du=3t²
dv=sent dt
v=-cost
uv-
t³(-cost)—cost 3t² dt
-t³ cost + 3cost dt
u= t²
du= 2 t dt
dv= cos t dt
v= sen t
uv-
-t³cost + 3[t² sent - 
-t³cost + 3[t² sent -2 
u=t
du=dt
dv=sentdt
v=-cost
uv-
-t³ cost + 3[t² sent – 2[t ( -cost) - 
-t³ cost + 3[t² sent – 2[t ( -cost) + sen]]
-t³ cost + 3[t² sent +2t cost – 2sent]
-t³ cost + 3t² +6 tcost – 6sent
Ejercicio 2.- 
u=3t³
du=9t²
dv=sent dt
v=-cost
uv-
3t³(-cost)—cost 9t² dt
-t³ cost + 9cost dt
u= t²
du= 2 t dt
dv = cos t dt
v= sen tuv-
-3t³cost + 9[t² sent - 
-3t³cost + 9[t² sent -2 
uv-
u=t
du=dt
dv=sent
v=-cost
-3t³ cost + 9[t² sent – 2[t ( -cost) - 
-3t³ cost + 9[t² sent – 2[t ( -cost) + sen]]
-3t³ cost + 9[t² sent +2t cost – 2sent]
-3t³ cost + 9t²sent + 18tcost – 18sent
Ejercicio 3.- 
+ t² cost k
 + 2t² cost 
u= t²
du= 2t dt
dv= cos 2t
v=sen 
- 
u=t
du=dt
dv=sen 2t
v=sen 
Por lo tanto
= -
Ejercicio 4.- = - cos t d 
Ejercicio 5.- 
X. Integral por sucesión trigonométrica
1.-
c²=a²+b²
a²=c²-b²
a=
c²=4
c²=2²
c=2
Sen 
Cos = 2 cos Ꝋ 4
Utilizando una identidad trigonométrica 
cos²Ꝋ= 
4
4 
Utilizando identidad 
Sen 2 Ꝋ = 2 sen Ꝋ cos Ꝋ
2Ꝋ+2 sen Ꝋ cos Ꝋ
Sen Ꝋ = 
cos Ꝋ = 
2 
2 
2.-
c²=a²+b²
a²=c²-b²
a=
c²=4
c²=2²
c=2
Sen 
Cos = 3 cos Ꝋ 9
Utilizando una identidad trigonométrica 
cos²Ꝋ= 
9
 
Utilizando identidad 
Sen 2 Ꝋ = 2 sen Ꝋ cos Ꝋ
Ꝋ + 18 sen Ꝋ cos Ꝋ)
Sen Ꝋ = 
cos Ꝋ = 
 
 
Fracciones parciales
2t²+3t+2=A(t+2)(t+3)+B(t-1)(t+3)+C(t-1)(t+2)
2t²+3t+2=A(t²+5t+6)+B(t²+2t-3)+C(t²+t-2)
2t²+3t+2=At²+5At+6At+Bt²+2Bt-3B+Ct²+Ct-2C
2t²+3t+2= t²(A+B+C) + t(5ª+2B+C) + 6ª-3B-2C
2=A+B+C
3=5ª+2B+C
2=&a-3B-2C
V. Vector tangente
La velocidad c’(t) es un vector tangente a la trayectoria c’ (t) en el instante (t).
Si c es una curva trazada por c y si c’(t) no es igual entonces c’(t) es un vector tangente a la curva c en el punto c’(t). 
Calcular 
k
VI. Vector normal 
Si (t) es un vector tangente unitario a la curva c en el punto p (c), el vector normal unitario denotado por N(t) es el vector unitario en la direccion de la derivada del vector T(t).
.
.
VII. Vector binormal
Se denomina vector binormal al producto cruz entre el vector tangente y vector normal.
 Ejercicios. 
A. Encontrar el vector unitario tangente a la curva dada por: 
cuandosolucion de la derivada:
Por lo tanto el vector unitario tangente es:
Cuando t=1, el vector unitario tangente es:
En el ejemplo 1 observe que la direccion del vector unitario tangente depende de la orientacion de la curva 
B. Encuentre T(t) y enseguida halle un conjunto de ecuaciones parametricas:
En el punto:
La derivada de r(t) es: 
Lo que implica que 
En el punto : y el vectorunitario tangente es: 
Usando los numeros directores y el producto de 
C. Encuentre N (t) y N(i) se representa por:
Lo que implica: 
Por lo que el vector unitario tangente es: 
Ontenemos: 
D. Encuentre el vector unitario normal principal para la helice dada por:
De acuerdo con el ejemplo 2, sabemos que el vector unitario tangente es:
Asi esta dado por:
Como se deduce que el vector unitario principal es:
a. 
VIII. Derivada paracial 
Una derivada es una representacion geometrica de una aplicación tangente en (x, y, x).
F(x)= 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
1) 
2) 
IX. Derivadas parciales implicitas
2x²=4y³-3x 
4x = 12y² y’ -3
4x +3 = 12y² y’
y’= 
4xx’=12y²-3x’ 
4xx’+3x’=12y²
x’(4x+3)= 12y²
x’=
X. Determinacion de un gradiente de un campo escalar 
El gradiente de una función escalar multivariable f(x, y, \dots)f(x,y,…), denotado como \nabla f∇f, empaqueta toda la información de sus derivadas parciales en un vector.
Evaluando en el punto (3,4,1).
Determinar 
A) 
Evaluando en el punto (3,2).
B) 
Evaluando en el punto: (2,1,3)
Graficas de GeoGebra:
Bibliografía: 
(Manual de formulas y tablas matemáticas- Murray R. Spiegel)
(carpeta del curso)
TERCER PARCIAL
I. Introducción
A continuación, se podrán encontrar los apuntes vistos en la materia de cálculo vectorial y con ello diversos ejemplos y su representación gráfica para mayor entendimiento del tercer parcial.
.
II. Palabras clave:
Funciones, integrales, vector, derivada, campo polar
III. Objetivo
Analizar el sistema de ecuaciones y algebra de vectores para la materia de cálculo vectorial.
IV. Convertir coordenadas rectangulares a polar 
Es una representación gráfica que tiene por características un ángulo y su magnitud, dadas en radianes y se pueden convertir de una coordenada rectangular a una polar. 
Se usa para encontrar el ángulo: ) =53.13
Coordenada polar, coordenada rectangular.90°
180°
270°
+,+
+,-
-,-
-,+
o°
Ejercicios:
Convertir las siguientes coordenadas rectangulares a polares.
1) (8,1)
2) (3,-6)
3) (-3,-6)
4) (-6,4)
gráfica de funciones en planos polares.
1)
2 π
0
 π
0=1 5 π/4=0.3
π/4=1.70 3 π/2=0
π/2=2 7 π/4=0.3
3 π/4=1.70 2 π=1
2) 
0=1 5 π/4=0.3
π/4=1.70 3 π/2=1
π/2=1 7 π/2=1.70
3 π/4=0.3 2 π=2
 π=0
V. Rosa de n pétalos 
Es una rosa de n pétalos de longitud a, si n es impar.
Ecuación polar 
Posición del primer pétalo:
Ecuación: 
Dividir: por n
VI. Integrales dobles
A)
y=+4
y=x²
Se iguala
-x²+4=x²
4=2x²
x²=2
x1=
x2=-
Por lo tanto - 4 - 4 -88
=16u²
B)
y=+2
y=-x²+4
Se iguala
-x²+4=x²+2
2=2x²
x²=1
x1=
x2=-
Por lo tanto 
=
C)
y=2
y=x²-6
Se iguala
-x²+2=x²-6
8=2x²
x²=4
x1=
x2=-
Por lo tanto 
=
D)
y=
y=x²-1
Se iguala
-x²+5=x²-1
6=2x²
x²=6
x1=
x2=-
Por lo tanto 
=8 u²
E)
x=-1
x=2y²-1
Se iguala
-3y²+2=2y²-1
3=5y²
y²=
y1=
y2=-
Por lo tanto 
=4u²
F)
x=
x=y²-2
Se iguala
-y²+4=y²-2
6=2y²
y²=6
y1=
y2=-
Por lo tanto =8 u²
G)
x=-+2
x=y²
Se iguala
-y²+2=y²
2=2y²
y²=1
y1=
y2=-
Por lo tanto 
=
H)
x=-+5
x=y²+3
Se iguala
-y²+3=-y²+5
2=2y²
y²=1
y1=
y2=-
Por lo tanto 
=
I)
x=+3
x=y²-1
Se iguala
-y²+3=y²-1
4=2y²
y²=2
y1=
y2=-
Por lo tanto-88
=16u²
J)
x=-+1
x=y²-1
Se iguala
-y²+1=-y²-1
2=2y²
y²=1
y1=
y2=-
Por lo tanto 
=
VII. Integrales triples
Calcular las integrales triples 
Solido limitado por la superficie z = xy y los planos y = x, x = 1, z = 0
Descripción de D: 
Solido limitado por el plano x + y + z = 1 y los planos coordenados
 	
Descripción de D:
D solido limitado por el paraboloide z= el plano x + y = 1, y los planos de coordenadas
 
4.2 Calcular las integrales triples que se indican 
Por la simetría integrando:
Cambios polares:
4.3 Calcular las siguientes integrales triples empleando, según convenga, cambio a coordenadas cilíndricas o esféricas 
 solido limitado por las superficies z=2 y 
La intersección del plano z = 2 con el paraboloide es una curva cuya proyección en el plano xy es la circunferencia 
Empleando coordenadas cilíndricas:
El sólido D se describe como:
esfera de centro el origen y radio a.
Descripción de D en esféricas:
De solido limitado entre dos esferas concéntricas de radios respectivos a y b (b˃a˃0).
Se trata de hallar el volumen entre dos esferas concéntricas; podemos suponer que su centro es el origen de coordenadas.
Descripción de D en esféricas: 
Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro y los planos z=0, z=4.
Coordenadas cilíndricas:
 
Descripción de D en cilíndricas 
Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro y los planos z=2 –x, z=0 
	Coordenadas cilíndricas:
Descripción de D en cilíndricas:
 
4.6 Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro y los planos z = 0, x + y + z =2.
Coordenadas cilíndricas 
Descripción de D en cilíndricas:
Volumen (D) = 
4.7 Calcular el volumen comprendido entre las superficies y 
Proyección en el plano xy de la curva intersección:
 
n coordenadas cilíndricas:
D se describe como:
	
ol (D) = 
	
Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide .
Curva intersección del cono y el paraboloide:
Sustituyendo por z:
Llamado :
Soluciones: t=1, t=-2
Soluciones para z: 
La solución válida es z=1. L solución z=4 es el corte con la parte superior del cono (por encima de su vértice).
asi pues, la proyección de la curva intersección sobre el plano xy es:
Descripción del cuerpo D en coordenadas cilíndricas:
4.10 calcular el volumen del cuerpo limitado por el cono y la semiesfera 
Coordenadas esféricas:
Descripción de las fronteras de D en coordenadas esféricas:
Al considerar la parte superior:
Descripción en esféricas de D:
4.11 calcular el volumen común a los interiores de las esferas y .
Casquete superior de :
La esfera es:
Casquete inferior:
El casquete superior de es la frontera superior de D y el casquete inferior de es la frontera inferior de D.
Proyección sobre el plano xy de la curva intersección de ambas esferas:
VIII. Bibliografía
1.- (Manual de fórmulas y tablas matemáticas- Murray R. Spiegel)
2.- (carpeta del curso)