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DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 3 “ESTANISLAO RAMÍREZ RUIZ” DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 3 “ESTANISLAO RAMÍREZ RUIZ” Instrucciones Generales: Lee cuidadosa y detenidamente las siguientes cuestiones y resuélvelas mostrando la metodología o procedimiento a seguir, así como los cálculos realizados, en forma clara, ordenada y limpia. ¡ Éxito !. I. Instrucciones.- Subrayar la respuesta correcta para cada una de las siguientes oraciones: 1. Es una relación entre dos o más Variables, en donde al darle un Valor a la Variable Independiente, la Variable Dependiente adquiere uno y solamente un valor. a) Dominio b) Variable c) Función d) Relación 2. Es una dependencia entre Variables, en donde al darle un Valor a la Variable Independiente, la Variable Dependiente adquiere más de un valor. a) Función b) Relación c) Constante d) Ámbito 3. Son Símbolos Alfabéticos que se caracterizan porque pueden adquirir diferentes valores. a) Constantes b) Variables c) Imagen d) 2,4,16,23 4. Es el Conjunto de Números Reales para los cuales la expresión matemática (función) existe o esta definida. a) Contradominio b) Función c) Constante d) Dominio 5. Es el conjunto de Imágenes en una expresión matemática (función). a) Variable b) Dominio c) Contradominio d) Relación 6. Es el Valor que adquiere una expresión matemática (función) al asignarle un Valor a la Variable Independiente y al aplicar la Regla de Correspondencia. a) Ámbito b) Función c) Imagen d) Relación DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN II. Instrucciones.- Escribe en el paréntesis de la izquierda, la letra de la expresión que indique la respuesta correcta en cada una de las siguientes cuestiones: a) 7. ( ) Es una forma de denotar la Derivada. L) 3.5)(,5)( 22 −=−= nnZcccI 8. ( ) Es el conjunto de todos los puntos ),( yx , en el Plano Cartesiano, es decir, de todas las parejas ordenadas [ ])(, xfx . Q) dx yd 9. ( ) Son ejemplos de funciones trascendentes. N) Gráfica de una Expresión Matemática 10. ( ) Es un ejemplo de Constante Parámetro. Ñ) )3(cos)(,)6( +== xxRA x 11. ( ) Es un ejemplo de Constante Absoluta. P) dx d )( 12. ( ) Son ejemplos de FUNCIONES. R) )(2)(,)( xxfmmS ±=±= 13. ( ) Son ejemplos de RELACIONES. S) 35− 14. ( ) Es una forma de denotar el Operador Diferencial. T) g (gravedad) b) 15. ( ) Es una forma de denotar la Derivada de Orden Superior de una función. A) 25 2 2 1,1)( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= − = xY m mmA 16. ( ) Se interpreta como la pendiente )(m de la recta tangente a la curva )]([ xf en un punto ),( yxP . B) [ ]2 2 )( xd xfd 17. ( ) Son funciones Trascendentes. C) Interpretación Geométrica de la Derivada 18. ( ) Es un ejemplo de Constante Parámetro. D) )()(, 3 1 2hsenhKG =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= α 19. ( ) Es un ejemplo de Constante Absoluta. E) )(xD 20. ( ) Son ejemplos de FUNCIONES. F) La derivada, su interpretación como una tasa de variación. 21. ( ) Se interpreta como la variación del Volumen con respecto al tiempo, es decir, [ ] ')( V td tVd = . G) 15 11 22. ( ) Es una forma de denotar el Operador Diferencial. H) 1q de 2 21)( d qqKdF = DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN III. Instrucciones.- Resuelve correctamente en forma clara y ordenada, mostrando el procedimiento: 1) Determina el Dominio de Definición de las siguientes funciones: 1. 2318)( xxxf −= { }ℜ∈xx 2. 44 )( 23 +−− −= kkk kkN { }22,1, −≠≠≠ℜ∈ kykkkk 3. 13 2)( 2 + + = x xxY { }ℜ∈xx 4. 2 1)( − = m mR { }2, ≠ℜ∈ mmm 5. 3 12 )( − = u uuP ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ >ℜ∈ 6 1, uuu 6. 23 13 3 5 8)( + − = i iQ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −≠ℜ∈ 115 39, iii 7. ( )( )12 2 +− = xx xY { }12, −≠≠ℜ∈ xyxxx 8. ttS 7100)( +−= π ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −≥ℜ∈ 7 100, ttt 9. 3108 )( 2 −+ + = gg wzgO ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −≠≠ℜ∈ 2 3 4 1, gyggg 10. 3+ = y yX { }3, −≠ℜ∈ yyy 11. 33 9 7)( bbbE += { }ℜ∈bb 12. w w wA −=)( { }0, ≠ℜ∈ www 13. ⎩ ⎨ ⎧ > <+ = 0,1 0,2 )( msi msim mK { }0, ≠ℜ∈ mmm 14. exY −=)( { }ℜ∈xx 15. 11 112 − −+ = x xy { }11, >ℜ∈ xxx 16. 11 1)( 2 2 −+ + = x xxf { }0, ≠ℜ∈ xxx 17. 20)10(1)( −=ñP { }ℜ∈ññ 18. 0)( =ny { }ℜ∈nn DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN 2. Determina el Dominio y Contradominio de las siguientes funciones: 19. 102 −= xY { }ℜ∈xx { }10, −≥ℜ∈ yyy 20. ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = 0,9 0, )( ksi ksim kM { }ℜ∈kk { }90, =≤ℜ∈ MyMMM 21. 29)( yyX −= { }33, ≤≤−ℜ∈ yyy { }30, ≤≤ℜ∈ XXX 22. qqP =)( { } { }ℜ ℜ ∈ ∈ PP qq 23. 2)( ttR = { }ℜ∈tt { }0, ≥ℜ∈ RRR 24. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >+ ≤≤− −<− = 5,5 55, 5,5 )( nsi nsin nsi nP { }ℜ∈nn { }55, ≤≤−ℜ∈ PPP 25. 2 1)( =mA { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =ℜ ℜ ∈ ∈ 2 1, AAA mm 26. 937)( −+= rrT { }3, ≥ℜ∈ rrr { }7, ≥ℜ∈ TTT 27. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤− <≤− <≤− <≤ = 43,3 32,2 21,1 10, )( xsix xsix xsix xsix xY { }40, ≤≤ℜ∈ xxx { }10, ≤≤ℜ∈ YYY 28. y yyN =)( 29. ⎩ ⎨ ⎧ ≥+ <− = 0,1 0,1 )( esi esi eB { } { }11, , −==ℜ ℜ ∈ ∈ ByBBB ee 30. ⎩ ⎨ ⎧ <− ≥− = 1,1 1,1)( ssis ssissf { }ℜ∈ss { }0, ≥ℜ∈ fff 31. xxF += 2)( { }0, ≥ℜ∈ xxx { }2, ≥ℜ∈ FFF 32. j jC 1)( = { }0, ≠ℜ∈ jjj { }0, >ℜ∈ CCC 33. uy = { }0, ≥ℜ∈ uuu { }0, ≥ℜ∈ yyy 34. z zP 1)( = { } { }0)(,)()( 0, >ℜ ≠ℜ ∈ ∈ zPzPzP zzz 35. xy 88−= ),0[ ]1,( ∞+ ∞− 36. ⎩ ⎨ ⎧ < >− = 0,10 0,10 xsi xsi y ( ) ]10[]10[ ),0(0, y− ∞+∪∞− DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN 3. Determina la imagen de las siguientes funciones: 24)( 3 +−= xxxf para: 37. )1(f 38. )2(−f 39. )(af40. 3 1 21 )1()( ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = q qqqP si 0=q 2 1)( 2 + − = x xxf para: 41. )0(f 42 )1(−f 43. )2( af 44. )1( x f 45. 652 )3()1()( xxxF ++= si 1−=x 46. 3)( 3 −++= xxxxA si 1=x 47. 3 5 2 1 1)( ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = h hhM si 2=h 4. Dada las funciones: a) 7)( 2 += wwK b) 25)( zzR += c) 2 3 5)( vvY += Determina y/o indica, además realiza: 1) El Dominio de definición. 2) El Contradominio. 3) La Variable independiente. 4) La Variable dependiente 5) La imagen si: a) 2 1 =w b) 3 1 =z c) 5 3 −=v 6) El Gráfico de la función para: a) 43 ≤≤− w , en donde w es entero. b) 53 ≤≤− z , en donde z es entero. c) 44 ≤≤− v , en donde v es entero. DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN 5. Realiza las OPERACIONES MATEMÁTICAS o DEMOSTRACIONES indicadas para las funciones: a) Demuestra que si 42)()( −= yayA , entonces )42()2()2( 2 +=+⋅− xAxAxA b) Obtén ( ) )4(fg ,es decir, ( ))4(fg , si 5 4)( −= xxf y 34)( −= xxg c) Obtén ( ) )5(gf , es decir, ( ))5(gf , si 5 10)( − = x xf y 43)( −= xxg d) Si 12)( += mmA , determina el valor de [ ]1)1(23 )3()()2( 2 ++ ++ mm mAmAmA e) Si aaM 21)( += , determina el valor de [ ] )()2()3( 32)1(1 2 aMaMaM aa ++ ++ f) Sea ( )xx aaxf −+= 2 1)( y ( )xx aaxg −−= 2 1)( , demuestra que: )()()()()( ygxgyfxfyxf +=+ g) Si xxf 2)( = , demuestra que: )4( )1( )3( f xf xf = − + h) Si z zR 1)( = , demuestra que: zzz zzRzzR Δ− Δ =−Δ− 2)()( 6. Resuelve los siguientes cuestionamientos relacionados con el límite de una función: 1. El alcohol es eliminado del organismo por los pulmones, por los riñones y mediante procesos químicos en el hígado. A niveles de concentración moderados el hígado efectúa la mayor parte del trabajo de eliminación del alcohol, mientras que pulmones y riñones eliminan menos del 5%. El hígado procesa el alcohol de la corriente sanguínea en una proporción r relacionada con la concentración x de alcohol en la sangre según la función racional DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN β α + = x xxr )( en donde α y β son constantes positivas. Este es un caso especial de la llamada Ley de Michaelis-Menten. Determina el ∞→ + x x xLim β α α Obtén, Evalua o Determina: a) ∞→ −−+ −+− y yyy yyyLim 2434254.2 45338 910 210 b) 0 65 23 3 2 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + x xx xxLim c) 3 5 53 12527)()( 3 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = g g ggMsigMLim d) 0 54 24 35 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + y yy yyLim e) 5 5 43 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +− x x xLim f) 3 2 23 49 2 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − x x xLim g) 5 3 925 310 2 2 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −− m m mmLim h) 1 1 432 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −+ x x xxLim i) ∞→ −−+ −+− m mmm mmmLim 734244.91 457711 910 210 j) 2 82 4 2 2 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ − x xx xLim k) ( )[ ] 0 1 33 → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ h xhx h Lim l) 0 39 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ s s sLim m) 5 34 5 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ − y y yLim n) 0 11 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−+ k k kkLim o) ∞→ −++ +−+ a aaa aaa Lim 1243548.30 54997 2 3 895 329 p) 2 1100 25 2 2 → − ++ x x xxLim DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN q) 0 )( )(cos1 → − x xsen xLim 0 r) 0 1)(cos → − α α αLim 0 s) 0 )(tan →x x xLim 1 t) 0 )( )(cos1 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − θ θθ θ sen Lim 2 1 u) v) ( ) +∞→ −+− x xxxLim 652 2 5 − w) 0 cos1 2 → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x x xLim 2 1 x) 0 tan 3 → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x x xsenxLim 2 1 y) ( ) +∞→ −+ x xaxxLim )( 2 a z) ∞→ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ x x xxLim 38 12 8 1 aa) 0 11 → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− x x xLim 2 bb) ax ax axaxLim → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ++− 33 2 )1( 23 1 a a − cc) 8 2 8 3 → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − x x xLim 12 dd) 0 33 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ h h xhxLim 3 23 1 x ee) 0 11 → ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+ x x xsenxsen Lim 1 DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN ff) ( ) ∞→ −++ x xxxLim 132 2 3 gg) 0 11 525 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ −+ v v vLim hh) 5 1 ( ) 2 )( →x xfLim si ⎩ ⎨ ⎧ >+− < = 26 2 )( 2 xparax xparax xf 4 ( ) 5 )( →z zQLim si ⎩ ⎨ ⎧ >+− ≤+ = 510 52 )( zparaz zparaz zQ existeNo 7. Resuelve los siguientes cuestionamientos referidos a la CONTINUIDAD de una función: I. Determina la Continuidad o Discontinuidad de las siguientes funciones: a) 1, 1 1)( 3 ≠ − − = x x xxf Discontinua en 1=x Continua para cualquier número diferente de 1 b) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >+− = < = 2,6 2,5 2, )( 2 xx x xx xf Discontinua en 2=x c) 2 2)( 2 − −− = k kkkf Discontinua en 2=k Continua para cualquier número diferente de 2 d) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0,1 0,1 )( 2 m m mmP No es continua en 0=m e) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − −− = 2,1 2, 2 2 )( 2 q q q qq qA Discontinua en 2=q f) 21 1)( x xf − = Discontinua en el intervalo [ ]1,1− Continua en el intervalo )1,1(− g) ( )2 1 1)( −= ttS Continua en el intervalo [ ]1,1− DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN 8. Obtén la derivada de: 1. 231 2 1 3 1 4 1)( 234 +−+−= xxxxxf 2. ( )35 3 8)( kkM π= 3. ( ) 433 1025)( −= xxy 4. 3 51215 )2()3()( ++= xxqP 5. 3 28 )537()( −+= wwwH 6. 23 22 )10()( qhxqZ ++= 7. ( )23 )5( )( − + = q qq qD 8. 7 113 7 1 5 1 3 1)( 753 ++−+= xxxxxf 9. 7)()()( 2 +−= yCotyyR y 10. 23 22 )10()( qhxqZ +++= 11. [ ])()()( 3 xTgxSecLnxA = 12. ( ) ( ) ( ) 2110 )()( yArcCoteyP yArcSec += + 13. ( ) 344 912)( −= xxy 14. )9()()7()( 35 +−−= + nTanArcnLognJ n 15. 5 37 )456()( +−= zzzP 16. ( )mSecmLnmH )1()( 2 += 17. 1003 )1( 300 1 −= xy 9932' )1( −= xxy 18. 435 )1()12( +−+= xxxy )39617()1()12(2 23334' +−++−+= xxxxxxy 19. 9 12 2)( ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = t ttg 10 8 ' )12( )2(45)( + − = t ttg 20. 3 2 1 1)( ++ = xx xf 3 4)1(3 12)( 2 ' +++ −= xx xxf 21. )(tan)10()( wwT w π= [ ])(tan)10(ln)(sec)10()( 2' wwwT w πππ += 22. )tan(log)( xxR = )10(ln)(tan2 )(sec)( 2 ' x xxR = 23. [ ]xx xsenexA =)( [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + = )(ln)cos()(' xsene xsene xsenxexxsenexA xx x xx 24. xsenxxxsenxy 2cos22 −+= xxy cos2' = 25. Demuestra que la derivada de )2(tan 2 1 xsenxy = es igual a )2( xsen . 26. Obtén dx dy si )(cos21 )( 2 2 x xseny − = [ ] ( )22 2 )(cos21 2)(cos2 x xx dx dy − − = 27. Diferenciar o Derivar 34cos 2 +++−= xxxxxseny y demostrar que 42' ++= xxsenxy 28. )(log )3( 8 log x y x = DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN { } )(log 18lnlog 8ln2 )3( 2 8 8 log ' 8 x x xy x − = 29. xxsen xxseny cos cos − + = 2 ' )cos( 2 xxsen y − − = 30. 5 cos23)( zzsenzK −= zzsen zsenzzK cos10152 2cos3)(' − + = 31. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+−−= a axsenarcaxxaaxxY 222)()( 2' 22)( xxaxY −= 32. yaya yaya ee eeyH − − + − =)( 2 ' )( 4)( yaya ee ayH −+ = 33. x x arcxxy 2 2 1tan4)4(ln 2 −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++= )4(ln 2' xy += 34. { })(lncos)ln( xxsenxy −= )ln(2' xseny = 9) Obtén dx dy de las siguientes expresiones implícitas: a) ( ) xyxyxx 788831 +=+−+ b) 5 2 2 =+ x y y x c) ( ) 33622 yxyx −=+ d) 123663 +=⋅+⋅ −− xxyxy e) ( ) ( )yxsenyx +=cos f) π+=+ 22 zxyx g) 222 2 2 yxyyeex xx =++− yxye yexyxey x xx 42 )(2)12( 2 22 ' −+ −−− = − h) 13 323 =+− ycyxbxa xbyc xayby 22 22 ' − − = i) Obtén dz dy de 48.308.9 736 =−+ zyyzzα 63 725 78.9 4.296 yzz yzyz dz dy − +−− = α j) ysenxy 3.0−= ydx dy cos310 10 − = k) byxa =+ )(cos2 1' −=y l) yxy =tan yx yyy 2 2 ' cos1 cos − = 10) Obtén la derivada sucesiva de las siguientes expresiones matemáticas: a) Si 85.32 1432)( 3468 −+−++= xxxxxxf Obtén ( )xf V b) Si ( ) 1 1 − + = x xxf , Obtén 2 2 xd yd c) Si 3223 8632 yyxx −=+− , Obtén 2 2 xd yd d) Si xSenxy 43 2= , Obtén 2 2 xd yd DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN e) Si xSeny 2= , Obtén 3 3 xd yd f) Si ( )( ) 2 1 2+= xseny , Obtén ''y 11) Resuelve los siguientes cuestionamientos de OPTIMIZACIÓN(Maximización/Minimización): a) La Potencia eléctrica (Volts) en un circuito de corriente continua con 2 resistencias 1R y 2R , conectados en serie, es 2 21 21 )( RR RRVP + = , donde V es el voltaje. Si V y 1R se mantienen constantes, ¿qué resistencia 2R produce la MÁXIMA potencia? 21 RR = b) Al estornudar, la tráquea se contrae, lo cual afecta a la velocidad v del aire que pasa por ella. Supongamos que la velocidad del aire durante un estornudo es: RrrrRKv <≤−= 0),()( 2 , donde K es una constante, R el radio normal de la tráquea y r el radio durante el estornudo. ¿Qué radio produce la MÁXIMA velocidad del aire? Rr 3 2 = c) A partir de 2108 in de lámina, se desea construir una caja sin tapa de base cuadrada, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la caja para obtener un volumen MÁXIMO? .3 .6 inh inl = = d) Sea 2001.010)( xxxI −= el Ingreso Total y 50002)( += xxC el Costo Total de manufacturar x artículos. La Utilidad Total se define como )()()( xCxIxU −= . Demuestra que en el valor de x que MAXIMIZA la Utilidad, el Ingreso Marginal es igual al Costo Marginal. e) Un granjero planea cercar un pastizal adyacente al río. El pastizal debe tener 200080 m para que proporcione alimento suficiente para el rebaño. ¿Qué dimensiones requerirá la MENOR cantidad de cerca, si esta no se necesita a lo largo del río? .200 .400 ma ml = = f) Determina las dimensiones del cuadrilátero de área MÁXIMA que se pueda inscribir en un círculo de radio r . rl rl 2 2 = = DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN g) Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de un cartón cuya forma es cuadrada y tiene 12 pulgadas de lado y si se doblan sus 4 lados, se obtiene una caja sin tapa. ¿Cuál debería ser el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener una caja de volumen máximo? .2 .2 inl inl = = h) De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 3100in , ¿cuál de ellos requiere la menor cantidad de material? 3 3 50 502 π π = = r h i) Una caja rectangular sin tapa con base cuadrada tiene un volumen de 3500cm . Determina las dimensiones que minimizan el área total de su base y sus 4 lados. cmy cmx 5 10 = = j) Un granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 21800 ft y utilizar algo de cerca para construir 2 cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere? .240 ftP = 12) Resuelve los siguientes cuestionamientos referidos a la Derivada y sus Interpretaciones: 1) La DERIVADA, su INTERPRETACIÓN como una TASA DE VARIACIÓN: a) La distancia, en metros, que ha recorrido una partícula en el tiempo t se modela por: ( ) 2 3 3 += ttD . Obtén [ ] dt tDd )( cuando 4=t segundos. s mD 16)4´( = b) La distancia, en metros, que ha recorrido una partícula en el tiempo t se modela por: ( ) 974 23 +−= tttD . Obtén la velocidad cuando 5=t segundos. s mtD 230)(' = DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN c) Un tanque cilíndrico, con eje vertical, está al principio lleno con 200,000 galones de agua. El tanque tarda 50 min. en vaciarse después de que se abre el desagüe en el fondo. Una consecuencia de la ley de Torricelli es que el volumen de agua que queda en el tanque después de ‘’t’’ minutos esta dado por la función: ( ) 2 50 1000200 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ttV en donde: [ ]galonesV = y [ ] utost min= . Determina la razón de cambio instantánea a la que fluye hacia afuera el agua del tanque cuando 30=t . NOTA: Suponer que el desagüe se abre en el tiempo 0=t . uto galonestV min 3200)(' −= d) Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 m/seg., su altura en metros después de ‘’t’’ segundos se expresa por 21640 tty −= . Obtén la velocidad instantánea cuando .2 segt = s mv 24−= e) Una partícula se mueve en una órbita descrita por el modelo matemático 122 =+ yx . Cuando pasa por el punto ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 3 2 1 2 1P su ordenada disminuye a razón de segundo unidades3 , ¿con qué rapidez varía su abscisa? s u dt dx 33= f) El peso W en gr. de un tumor maligno en el momento ‘’t’’ es ( ) tttW 09.02.0 2 −= , en donde ’’t’’ se mide en semanas. Encuentra el índice de crecimiento del tumor, es decir, la variación de peso del tumor con respecto al tiempo, cuando 10=t . semana gtW 91.3)(' = g) Un globo esférico se está expandiendo. Si su radio crece a razón de uto cm min 2 , con qué rapidez crece el volumen cuando el radio es de 5 cm. uto cm dt dV min 3185.628 3 = h) La altura h sobre el suelo, de un proyectil en el tiempo t está dada por ( ) SoVotgth ++−= 2 2 1 , en donde SoyVog , son constantes. Encuentra la razón de cambio instantánea de h con respecto a t en .4 segt = 0 ' 4)( Vgth +−= DISEÑO Y ELABORACIÓN:I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN i) El costo de producir x artículos lo da la función ( ) xxC 1025000+= . Obtén la función de costo marginal. x xC 5)(' = j) La Utilidad obtenida al producir y vender x artículos se indica como 22200)( xxxP −= . Determina: a) la Utilidad Marginal b) ¿cuándo es igual a 0 la Utilidad Marginal? artículosx xxP 50 4200)(' = −= k) La velocidad de un automóvil que arranca del reposo viene dada por ( ) 152 100 + = t ttV en donde ( ) [ ] s mtV = . Determina la aceleración al cabo de 5 seg. s ma 4.2= l) El lado a de un triángulo equilátero aumenta h cm40 y su área aumenta h cm2800 . Calcula el valor numérico del lado del triángulo. .09.23 cma = m) El radio de una circunferencia aumenta s cm5 , ¿con qué rapidez varía la longitud de la circunferencia? s cm dt dP π10= n) El periodo P (segundos) de oscilación de un péndulo simple de longitud L (pies) está dado por g LP π2= , donde 232 s ftg = . Determina la tasa de variación de P cuando 2=L . ft s dL dP 3926.0= o) Un tanque cónico recibe agua a una tasa de variación constante de .min 2 3ft . ¿Con qué rapidez se eleva el nivel cuando el agua tiene una profundidad de 6 ft.? Nota: hrVcono 2 3 1 π= .min36 8 ft dt dh π = DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN p) En una cisterna cónica fluye agua a una tasa de variación de .min 8 3ft . Si la altura de la cisterna es de 12 ft. y el radio de su base circular es de 6 ft., ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 4 ft. de profundidad? .min 2 ft dt dh π = q) Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial igual a s ft96 , describiendo su posición el modelo matemático ttth 9616)( 2 +−= . Si t es el tiempo transcurrido en segundos desde el momento en que el proyectil fue lanzado y que h es la distancia vertical desde el punto de lanzamiento al nivel del suelo, determina: a) El tiempo que le toma al proyectil alcanzar su altura máxima. .3st = b) La altura máxima del proyectil. .144)( ftth = c) El tiempo que tarda el proyectil en retornar a la tierra. st 6= d) La velocidad instantánea del proyectil al impactarse con el suelo. s ftv .96−= 13) La DERIVADA, su INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: a) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva 12 2 3 32 +−= xxy , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a cero. b) Determina la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 723)( 23 ++−= xxxxY , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a 1. c) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva 974 23 −+−= xxxy , en el punto ),( yxP , cuya abscisa es igual a cero. . d) Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva, cuya función es ( ) xxxf += , en el punto cuya abscisa es igual a 1. DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN e) La función 21 x xy + = recibe el nombre de “La Serpentina”. Deduce una ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto cuya abscisa es igual a 3. 027504 =−+ yx f) La función 21 1 x y + = recibe el nombre de “La Bruja de Agnesi”. Deduce una ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto cuya abscisa es igual a -1. 022 =+− yx g) Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva ( ) xxxf 23−= en el punto cuya abscisa es igual a -3. h) Encuentra las ecuaciones de la recta normal y tangente a la curva yxxy 64 44 += en el punto ( )2,1P . i) Determina las longitudes de la Subtangente, Subnormal, la Tangente y la Normal a las curvas: 1. 32 )1( −= xy en )8,5(P 2. 234 13 2 ++−= xxxy en )3,1(P 3. 2− = x xy en )3,3(P 1. Subtangente 3/8= Subnormal 24= Tangente 43.8= Normal 2.25= 2. Subtangente 3= Subnormal 4/41= Tangente 73 41 15 = Normal 73 4 5 = 3. Subtangente 2 3 −= Subnormal 6−= Tangente 5 2 3 = Normal 53= j) Obtén los ángulos de intersección de las curvas xy 42 = y yx 5122 2 −= . '546 '4083 °= °= θ θ k) Determina las ecuaciones de las rectas tangente a la curva 23)( 2 +−= tttR en los puntos cuya ordenada es igual a cero. 01 02 =−+ =+− tR tR DISEÑO Y ELABORACIÓN: I.Q.I. MIGUEL ANGEL VILLAGÓMEZ ARAGÓN l) Obtén la ecuación de la recta normal a la curva 4 1 23 2 3)( xxxxf +−= − en el punto cuya abscisa es igual a 1. 0897712 =+− yx o) Determina la ecuación de la tangente a la curva 0255 =−+ yxyx en el punto )1,1(P . 02 =−+ yx 14) Realiza el ANÁLISIS de las siguientes funciones a través de concepto, la definición e interpretación de la derivada: a) ( ) 21232 23 +−−= xxxxf b) 232 23 +−+= xxxy c) ( ) xxxxf 634 23 −+= d) 693 23 +−+= xxxy e) ( ) 23 3xxxf += f) ( ) 32 23 +++= xxxxf g) ( ) 23 23 +−= xxxf h) ( ) 22 2 5 23 +−−= xxxxf
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