Importância do Risco Individual em Investimentos

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L 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO Y ADMINISTRACIÓN 
UNIDAD TEPEPAN 
 
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN. 
 
“IMPORTANCIA DEL RIESGO INDIVIDUAL EN LA FORMACIÓN DE PORTAFOLIOS 
ÓPTIMOS DE INVERSIÓN CON ACCIONES DE LA BOLSA MEXICANA DE VALORES”. 
 
TESIS 
Que para obtener el grado de Maestría en Ciencias en Administración de 
Negocios. 
 
Presenta: 
C.P. Dolores Adelina Reyes López. 
 
Director de Tesis: 
M. en F. Rafael Guadalupe Rodríguez Calvo. 
 
 
México D.F. Marzo 2009. 
 
2 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
4 
 
AGRADECIMIENTOS. 
 
 
A Dios por darme una vida llena de bendiciones. 
 
 Al Instituto Politécnico Nacional, por brindarme el conocimiento. 
 
Mi más grande agradecimiento a mi Director de Tesis, por compartir sus conocimientos y 
experiencias conmigo, por impulsarme en la realización de esta tesis y por la paciencia que 
siempre me ha tenido, muchas gracias maestro Rafael. 
 
A mis padres mi especial agradecimiento por sus consejos de superación constante, su apoyo por 
la culminación de mi carrera, y por su cariño, a mi madre donde quiera que esté, gracias por su 
amor. 
 
A mi esposo por ser la persona más importante de mi vida, por su tiempo, por su cariño, por todos 
los momentos de apoyo, y por el amor que le tengo. 
 
A mis suegros y a Itzel por su cariño y por su gran apoyo en todo momento. 
 
A mi amigo Raúl, gracias por su tiempo, por sus sugerencias y por su amistad incondicional. 
 
A mis hermanos y amigos cercanos que siempre me han apoyado. 
 
 
5 
 
ÍNDICE 
Acta de revisión de tesis………………………………………………………………………………. 2 
Carta cesión de derechos……………………………………………………………………………... 3 
AGRADECIMIENTOS…………………………………………………………………………………. 4 
Índice de tablas………………………………………………………………………………………… 7 
Índice de ecuaciones…………………………………………………………………………………... 9 
Índice de Gráficas……………………………………………………………………………………… 10 
Resumen……………………………………………………………………………………………….. 11 
Introducción…………………………………………………………………………………………… 12 
CAPÍTULO 1. METODOLOGÍA……………………………………………………………………… 13 
1.1. El problema general de la inversión en valores……………………………………………. 13 
1.2. Objetivo General………………………………………………………………………………. 13 
1.3. Pregunta particular de investigación………………………………………………………… 13 
1.4. Hipótesis……………………………………………………………………………………….. 13 
1.5. Variables……………………………………………………………………………………….. 14 
1.6. Diseño de investigación………………………………………………………………………. 16 
1.7. Unidades de análisis y población……………………………………………………………. 17 
1.8. Métodos de análisis y procesamiento de información…………………………………….. 18 
1.9. Datos y fuentes de información……………………………………………………………… 18 
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO: TEORÍA MODERNA DE LA CARTERA………………….. 19 
2.1. Inversión en valores……………………………..…………………………………………... 19 
2.2. Problema de la inversión……………………………………………………………………. 19 
2.3. Medición del rendimiento en un periodo…………………………………………………... 19 
2.4. La inflación y el rendimiento real…………………………………………………………… 20 
2.5. Medición del rendimiento promedio esperado real, para una inversión sencilla……… 21 
2.6. Medición del riesgo de una inversión sencilla…………………………………………….. 22 
2.7. Relación de dominación entre acciones…………………………………………………… 24 
2.8. Cartera de riesgo con dos activos……………………..…………………………………… 25 
2.8.1. Rendimiento esperado de una cartera de riesgo con dos activos……………….. 26 
2.8.2. Riesgo de una cartera con dos activos……………………………………………... 27 
2.8.3. Riesgo y correlación de carteras de dos activos…………………………………... 30 
2.9. Carteras de dos activos, con un activo libre de riesgo…………………………………... 34 
2.10. Carteras de tres activos, con un activo libre de riesgo………………………………….. 37 
2.11. Apalancamiento de una cartera riesgosa con dos activos………………………………. 40 
2.12. Consecuencia contrastable……………………………................................................... 43 
 
6 
 
CAPÍTULO 3. EL MERCADO DE VALORES MEXICANO……………………………………….. 50 
3.1. Características del mercado de valores……………………………..…………………… 50 
3.2. Participantes del mercado de valores…………………………………………………… 52 
3.3. Activos negociados en el mercado………………………………………………….......... 54 
3.3.1. Instrumentos de deuda……………………………………………………………….. 54 
 3.3.1.1. Deuda gubernamental………………………………………………………… 54 
 3.3.1.2. Deuda privada…………………………………………………………………. 57 
3.3.2. Acciones…………………………………………………………………………….….. 59 
CAPÍTULO 4. FORMACIÓN DE CARTERAS ÓPTIMAS CON ACCIONES DE LA BOLSA 
MEXICANA DE VALORES………………………………………………………………………..….. 
64 
 4.1. Acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores……………………………..… 64 
 4.2. Rendimiento promedio real y riesgo de las acciones que cotizan en la Bolsa 
 Mexicana de Valores………………………………………………………………………… 
66 
4.3. Correlación de carteras de dos activos………………………………………………….… 68 
4.4. Carteras de prueba con dos activos riesgosos………………………………………… 83 
4.5. Rendimiento esperado de una cartera de riesgo con dos activos……………………. 84 
4.6. Riesgo de cartera con dos activos………………………………………………………… 86 
4.7. Riesgo y rendimiento de las carteras con dos activos riesgosos……………………… 88 
4.8. Rendimiento real del activo libre de riesgo (CETES)…………………………………… 94 
4.9. Carteras de tres activos, con un activo libre de riesgo…………………………………. 98 
 4.10. Carteras deudoras y acreedoras…………………………………………………………. 102 
CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………… 109 
ANEXO. PERFIL DE LAS EMPRESAS EMISORAS DE LAS ACCIONES DE LAS 
MUESTRAS…………………………………………………………………………………………….. 
113 
 A.1. CONSORCIO ARA S.A.B. de C.V………………………………………………………… 113 
 A.2. FARMACIAS BENAVIDES S.A.B. de C.V……………………………………………….. 114 
 A.3. CEMEX S.A.B. de C.V……………………………………………………………………... 116 
 A.4. GRUPO CONTINENTAL S.A.B. de C.V…………………………………………………. 117 
 A.5. FOMENTO ECONÓMICO MEXICANO, S.A.B. de C.V………………………………… 119 
 A.6. GRUPO MODELO, S.A.B. de C.V………………………………………………………... 121 
 A.7. HILASAL MEXICANA, S.A.B. de C.V…………………………………………………….. 123 
 A.8. GRUPO POSADAS, S.A.B. de C.V………………………………………………………. 124 
 A.9. ORGANIZACIÓN SORIANA, S.A.B. de C.V…………………………………………….. 125 
 A.10. TELEFONOS DE MÉXICO S.A.B. de C.V……………………………………………….. 127 
GLOSARIO……………………………………………………………………………………………... 129 
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………………… 131 
 
 
7 
 
ÍNDICE DE TABLAS. 
Tabla 2.1. Rendimiento real de una acción X……………………………………………………......... 21 
Tabla 2.2. Rendimiento real de una acción A………………………………………………………… 23 
Tabla 2.3. Rendimiento real de las acciones B y C…………………………………………………… 25 
Tabla 2.4. Rendimiento promedio comparado con el rendimiento real de las acciones A y 
B…................................................................................................................................. 
28 
Tabla 2.5. Desviación estándar de las acciones A y B………………………………………............. 29 
Tabla 2.6. Rendimiento, riesgo de las acciones A y B………………………………………….......... 30 
Tabla 2.7. Carteras con los valores A y B……………………………………………………………… 33 
Tabla 2.8. Riesgo y rendimiento de carteras de dos activos: un activo libre de riesgo F y otro 
activo con riesgo A…………………………………………………………………………… 
35 
Tabla 2.9. Riesgo y rendimiento de una cartera de dos activos: un activo libre de riesgo F y otro 
activo con riesgo B……………………………………………………………………… 
36 
Tabla 2.10. Carteras formadas con dos activos de riesgo A y B…………………………………....... 38 
Tabla 2.11. Carteras formadas, con la cartera óptima y el activo libre de riesgo…………………... 40 
Tabla 2.12. Carteras formadas, con los fondos propios y prestados e invertidos en carteras 
riesgosas……………………………………………………………………………………… 
42 
Tabla 2.13. Proporción de inversión de los activos A y B que conforman la cartera 1, riesgos y 
rendimientos………………………………………………………………………………… 
44 
Tabla 2.14. Proporción de inversión de los activos X y Y queconforman la cartera 2, riesgos y 
rendimientos………………………………………………………………………………… 
44 
Tabla 2.15. Carteras formadas con fondos propios y prestados e invertidos en el activo libre de 
riesgo y el portafolio óptimo PD…………………………………………………………… 
45 
Tabla 2.16. Carteras formadas con fondos propios y prestados e invertidos en el activo libre de 
riesgo y el portafolio óptimo P6…………………………………………………………… 
46 
Tabla 2.17. Proporción de inversión de los activos C y D que conforman la cartera 3, riesgos y 
rendimientos………………………………………………………………………………….. 
47 
Tabla 2.18. Proporción de inversión de los activos H y J que conforman la cartera 4, riesgos y 
rendimientos………………………………………………………………………………….. 
47 
Tabla 2.19. Carteras formadas con fondos propios y prestados e invertidos en el activo libre de 
riesgo y el portafolio óptimo P8…………………………………………………………….. 
48 
Tabla 2.20. Carteras formadas con fondos propios y prestados e invertidos en el activo libre de 
riesgo y el portafolio óptimo PG…………………………………………………………….. 
49 
Tabla 3.1. Mercado de valores por su forma de negociación………………………………………... 51 
Tabla 3.2. Empresas que cotizan actualmente en la Bolsa Mexicana de Valores……………… 62 
Tabla 4.1. Acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores, durante los periodos 2001-
2007……………………………………………………………………………………………. 
64 
Tabla 4.2. Rendimientos reales del período 2001-2007, de las acciones seleccionadas………... 65 
Tabla 4.3. Rendimiento esperado y riesgo de las acciones seleccionadas………………………... 67 
Tabla 4.4. Coeficiente de correlación de las 56 acciones seleccionadas, en el periodo 2001 al 
2007……………………………………………………………………………………………. 
69 
Tabla 4.5 Pares de carteras de prueba……………………………………………………………...... 83 
Tabla 4.6. Rendimiento individual de las acciones que forman el primer par de carteras 1 y 2…. 84 
Tabla 4.7. Rendimientos esperados de las carteras 1 y 2, formadas por los activos: CONTAL*, 
FEMSA UBD-POSADAS L, y ARA*. 
 
 
84 
8 
 
Tabla 4.8. Rendimiento individual de las acciones que forman el segundo par de carteras 3 y 4. 85 
Tabla 4.9. Rendimientos esperados de las carteras 3 y 4, formadas por los activos: POSADAS 
L, HILASAL A- TELMEX, GMODELOS C…………………………………………………. 
85 
Tabla 4.10. Rendimiento individual de las acciones que forman el tercer par de carteras 5 y 6…. 85 
Tabla 4.11. Rendimientos esperados de las carteras 5 y 6, formadas por los activos: CEMEX 
CPO, BEVIDES B – SORIANA B, CONTAL*…………………………………………… 
86 
Tabla 4.12. Riesgo de las carteras 1 y 2, formadas por los activos CONTAL*, FEMSA UBD – 
POSADAS L, ARA*………………………………………………………………………...... 
87 
Tabla 4.13. Riesgo de las carteras 3 y 4, formadas por los activos: POSADAS L, HILASAL A – 
TELMEX, GMODELO C……………………………………………………………………... 
87 
Tabla 4.14. Riesgo de las carteras 5 y 6, formadas por los activos CEMEX CPO, BEVIDES B – 
SORIANA B, CONTAL*……………………………………………………………………… 
88 
Tabla 4.15. Rendimiento, riesgo y coeficiente de correlación de las acciones de CONTAL*, 
FEMSA UBD, POSADAS L y ARA* que conforman la cartera 1 y 2…………………… 
88 
Tabla 4.16. Riesgo y rendimiento de las carteras 1 y 2, que está integrada por acciones de: 
CONTAL*, FEMSA UBD – POSADAS L, ARA*………………………………………… 
89 
Tabla 4.17. Rendimiento, riesgo y coeficiente de correlación de las acciones de POSADAS L, 
HILASAL A, TELMEX L, GMODELO C, que conforman la cartera 3 y 4………………. 
90 
Tabla 4.18. Riesgo y rendimiento de las carteras 3 y 4, que está integrada por acciones de: 
POSADAS L, HILASAL A - TELMEX L, GMODELO C………………………………...... 
91 
Tabla 4.19. Rendimiento, riesgo y coeficiente de correlación de las acciones de CEMEX CPO, 
BEVIDES B – SORIANA B, CONTAL*…………………………………………………….. 
92 
Tabla 4.20. Riesgo y rendimiento de las carteras 5 y 6, que está integrada por acciones de: 
CEMEX CPO, BEVIDES B – SORIANA B, CONTAL*…………………………………… 
93 
Tabla 4.21. Tasas de rendimiento promedio mensual de CETES a 360 días, 2001-2003………… 95 
Tabla 4.22. Tasas de rendimiento promedio mensual de CETES a 360 días, 2004-2006………… 95 
Tabla 4.23. Tasas de rendimiento promedio mensual de CETES a 360 días, 2007……………… 96 
Tabla 4.24. Índice de Precios al Consumidor, tasas de inflación, 2001 al 2007……………………. 96 
Tabla 4.25. Tasas de rendimientos reales, del activo libre de riesgo (CETES) 2001 – 2007…… 97 
Tabla 4.26. Rendimiento, riesgo y correlación de las carteras 1 y 2, formadas con los activos 
riesgosos: CONTAL *, FEMSA UBD y POSADAS L y ARA*, y el activo libre de 
riesgo (CETES)………………………………………………………………………………. 
98 
Tabla 4.27. Rendimiento, riesgo y correlación de las carteras 3 y 4, formadas con los activos 
riesgosos: POSADAS L, HILASAL A – TELMEX L, GMODELO C y el activo libre de 
riesgo (CETES)………………………………………………………………………………. 
99 
Tabla 4.28. Rendimiento, riesgo y correlación de las carteras 5 y 6, formadas con los activos 
riesgosos: CEMEX CPO, BEVIDES B – SORIANA B, CONTAL* y el activo libre de 
riesgo (CETES)………………………………………………………………………………. 
101 
Tabla 4.29. Riesgo y rendimiento del portafolio óptimo P6CF y el activo libre de riesgo………….. 103 
Tabla 4.30. Portafolios formados, con las carteras óptimas P6CF y el activo libre de riesgo…….. 103 
Tabla 4.31. Riesgo y rendimiento del portafolio óptimo P3TG y el activo libre de riesgo………….. 105 
Tabla 4.32. Portafolios formados, con las carteras óptimas y el activo libre de riesgo, de las 
carteras 3 y 4…………………………………………………………………………………. 
105 
Tabla 4.33. Riesgo y rendimiento del portafolio óptimo P7SC y el activo libre de riesgo………….. 107 
Tabla 4.34. Portafolios formados con las carteras óptimas y el activo libre de riesgo, de la 
carteras 5 y 6………………………………………………………………………………… 
107 
 
 
9 
 
ÍNDICE DE ECUACIONES. 
 
Ecuación 2.1. Tasa de rendimiento nominal de una inversión …………………...…………… 20 
Ecuación 2.2. Tasa de rendimiento real de una inversión……………………………………… 20 
Ecuación 2.3. Rendimiento promedio esperado real …………………………………………… 21 
Ecuación 2.4. Varianza….…………………………………………………………..……………… 22 
Ecuación 2.5. Desviación estándar………………………………………………………………... 23 
Ecuación 2.6. Rendimiento esperado de una cartera con dos activos………………………… 26 
Ecuación 2.7. Riesgo de una cartera con dos activos…………………………………………… 28 
Ecuación 2.8. Coeficiente de correlación………………………………………………………..... 28 
Ecuación 2.9. Covarianza…………………………………………………………………………... 28 
Ecuación 2.10. Valor ponderado a los activos que integran una cartera libre de riesgo……… 32 
Ecuación 2.11. Rendimiento esperado de una cartera compuesta por un activo libre de 
riesgo y dos activos riesgosos…………………………………………………… 
34 
Ecuación 2.12. Riesgo esperado de una cartera compuesta por un activo libre de riesgo y 
dos activos riesgosos……………………………………………………………… 
34 
Ecuación 2.13. Riesgo esperado del portafolio riesgoso y el activo libre de riesgo…………… 39 
Ecuación 2.14. Proporción de inversión a un activo riesgoso “A”……………………………… 39 
Ecuación 2.15. Proporción de inversión a un activo riesgoso “B”……………………………… 39 
Ecuación 2.16. Proporción de inversión al activo libre de riesgo y al portafolio riesgoso…… 39 
Ecuación 3.1. Precio descontado de los CETES…………………………………………………. 55 
Ecuación 4.1. Tasa de inflación…………………………………………………………………… 96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
ÍNDICE DE GRÁFICAS. 
 
 
Gráfica 2.1. Espacio de riesgo – rendimiento…………………………………………………........ 24 
Gráfica 2.2. Riesgo/rendimiento de las acciones B y C…………………………………………… 25 
Gráfica 2.3. Combinación de riesgo y rendimiento, cuando la correlación es igual a 1……….. 31 
Gráfica 2.4. Combinaciones de riesgo y rendimiento, cuando la correlación es igual a -1…… 32 
Gráfica 2.5. Combinaciones posibles de riesgo y rendimiento de A y B de diversas 
carteras…………………………………………………………………………………... 
33 
Gráfica 2.6. Combinación de un activo libre de riesgo F y un activo riesgoso A……………….. 35 
Gráfica 2.7. Combinación de dos carteras con dos activos: un activo libre de riesgo y un 
activo riesgoso. FA y FB………………………………………………………………..37 
Gráfica 2.8. Combinación del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo óptima….………. 38 
Gráfica 2.9. Carteras formadas con apalancamiento de una cartera riesgosa con dos 
activos………………………………………………………………………………........ 
42 
Gráfica 2.10. Formación de dos carteras riesgosas 1, 2 y un activo libre de riesgo, con 
recursos propios y prestados………………………………………………………….. 
45 
Gráfica 2.11. Formación de dos carteras riesgosas (3 y 4.)……………………………………… 48 
Gráfica 2.12. Formación de dos carteras riesgosas 3 y 4, y el activo libre de riesgo, con 
fondos propios y prestados…………………………………………………………….. 
49 
Gráfica 4.1. Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 1: CONTAL*, FEMSA 
UBD)(cartera 2: POSADAS L, ARA*)……………………………………………........ 
90 
Gráfica 4.2. Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 3: POSADAS L, HILASAL A) 
(cartera 4: TELMEX L, GMODELO C)…………………………………………… 
92 
Gráfica 4.3. Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 5: CEMEX CPO, BEVIDES 
B)(cartera 6: SORIANA B, CONTAL*)……………………………………………… 
94 
Gráfica 4.4. Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 1: CONTAL*, FEMSA 
UBD)(cartera 2: POSADAS L, ARA*) y el activo libre de riesgo…………………… 
99 
Gráfica 4.5. Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 3: POSADAS L, HILASAL A) 
(cartera 4: TELMEX L, GMODELO C) y el activo libre de riesgo………………….. 
100 
Gráfica 4.6. Formación de dos carteras riesgosas: (cartera 5: CEMEX CPO, BEVIDES 
B)(cartera 6: SORIANA B, CONTAL*) y el activo libre de riesgo………………….. 
102 
Gráfica 4.7. Formación de carteras deudoras y acreedoras, con activos riesgosos (cartera 
1: CONTAL*, FEMSA UBD)(cartera 2: POSADAS L, ARA*)y el activo libre de 
riesgo………………………………………………………………............................... 
104 
Gráfica 4.8. Formación de carteras deudoras y acreedoras, con activos riesgosos (cartera 3: 
POSADAS L, HILASAL A) (cartera 4: TELMEX L, GMODELO C) y el activo libre 
de riesgo…………………………………………………………………………………. 
106 
Gráfica 4.9. Formación de carteras deudoras y acreedoras, con activos riesgosos (cartera 
5: CEMEX CPO, BEVIDES B)(cartera 6: SORIANA B, CONTAL*) y el activo 
libre de riesgo……………………………………………………………...................... 
108 
11 
 
RESUMEN. 
El objetivo planteado en esta tesis fue determinar la importancia que tiene el nivel de riesgo 
individual de las acciones que forman una cartera sobre el nivel de riesgo y rendimiento esperado 
de largo plazo de carteras de acciones cotizadas en la Bolsa Mexicana de Valores. La hipótesis 
planteada fue que a similares rendimientos individuales y correlaciones entre los rendimientos de 
las acciones que conforman dos carteras con dos acciones cada una, listadas en la Bolsa 
Mexicana de Valores, y un activo libre de riesgo, CETES a 364 días, las carteras que tuviera por lo 
menos una acción con un riesgo individual menor que el riesgo individual de las acciones de la otra 
cartera apareada, sería la que permitiría construir los mejores portafolios de inversión. De las 
pruebas hechas con tres pares de carteras apareadas se obtuvieron los siguientes resultados: 
mejores portafolios óptimos de inversión con las carteras CONTAL*/FEMSA UBD, TELMEX 
L/GMODELO C y SORIANA B/CONTAL*; contra las carteras POSADASL/ARA*, 
POSADASL/HILASAL A y TELMEX CPO/BEVIDES B, respectivamente. Resultados que 
confirmaron la hipótesis de investigación dado que las tres primeras carteras tienen por lo menos 
una acción con menor riesgo individual que sus contrapartes. 
Palabras clave: acciones, activo libre de riesgo, rendimiento individual, rendimiento esperado, 
riesgo de variabilidad en el rendimiento, correlación entre los rendimientos, diversificación, carteras 
deudoras y acreedoras, portafolios óptimos de inversión. 
 
SUMMARY. 
The planning objective in this tesis was to determine the importance that has the individual risk level 
of the assets that form a portfolio about the risk level and waited for yield of long term of portfolios 
of quoted assets in Mexican stock -market of values the raised hypothesis went that to similar 
individual yields and correlations between the yields of the assets that conform two portfolios with 
two assets each one, listed in Mexican stock-market of values and free assets of risk, like CETES to 
364 days, the portfolios that have at least an asset with an individual risk of the assets of the other 
matched up portfolio, it would be the one that would allow construit the best portfolios of investment. 
Of tested with the three pairs of matched up portfolios the following results were obtained: better 
optimal portfolios of investment with the portfolios CONTAL*/FEMSA UBD; TELMEX L/GMODELO 
C; y SORIANA B/CONTAL* against the portfolios POSADAS L/ARA*; POSADAS L/HILASAL A; y 
TELMEX CPO/ BEVIDES B, respectively. Results that confirmed the investigation hypothesis 
because the three first portfolios at least have an asset with smaller individual risk than their 
counterparts. 
 
Key words: assets, free assets of risk, individual yield, waited for yield, risk of variability in the yield, 
correlation between the yields, indebted and deserving diversification, portfolios, optimal portfolios 
of investment. 
 
 
 
12 
 
INTRODUCCIÓN 
 
Los inversionistas y los administradores de inversiones en su intento por amortiguar el riesgo de 
variabilidad en el rendimiento de las inversiones no suelen invertir en un solo activo financiero, sino 
que invierten en carteras de valores. Esta práctica de mantener muchos activos riesgosos en vez 
de concentrar toda la inversión en uno solo se llama diversificación. Sin embargo, no toda la 
diversificación conduce a buenos resultados. Para obtener buenos resultados se debe considerar 
de manera explícita la correlación entre los rendimientos de los activos que conforman las carteras, 
así como los rendimientos esperados y riesgos individuales. La teoría de la cartera de Harry 
Markowitz, que considera esos parámetros de manera explícita para construir carteras de 
inversión, se utiliza en esta tesis para demostrar la importancia del riesgo individual en la formación 
de portafolios óptimos considerando carteras de acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de 
Valores y CETES a 364 días. 
En el primer capítulo se expone la metodología de investigación. Se plantea el objetivo, la pregunta 
y la hipótesis de investigación. Se definen las variables conceptual y operativamente. Se propone 
un diseño de investigación de carteras apareadas para probar la hipótesis. Se especifican las 
unidades de análisis, los métodos y fuentes de información. 
En el capítulo segundo se desarrolla el marco teórico. Este se basa en la teoría de la cartera de 
Harry Markowitz. Se explica el cálculo del rendimiento real esperado de una inversión sencilla y de 
su riesgo. Se formula el principio de dominación entre inversiones financieras, para después 
aplicarse en la selección de portafolios óptimos. Se forman carteras de dos activos riesgosos y se 
explica la manera de calcular el riesgo y su rendimiento esperado. Se destaca el papel de la 
correlación entre los rendimientos de las acciones que forman las carteras para definir los 
portafolios óptimos. Después se introduce el activo libre de riesgo para formar carteras deudoras y 
acreedoras óptimas. Se resalta la importancia de la determinación del portafolio óptimo de activos 
de riesgo que cualquier inversionista racional debe seleccionar para formar sus portafolios de 
inversión cuando se introduce el activo libre de riesgo. Finalmente se consideran las 
consecuencias de los riesgos individuales diferentes en los resultados de los portafolios al suponer 
igualdad en las correlaciones y rendimientos individuales de dos carteras riesgosas. 
En el capítulo tercero se expone un perfil del mercado de valores mexicano. Se describen los 
participantes y los instrumentos negociados. En particular se describen las características de los 
CETES y de las acciones, queson los que se utilizan para formar las carteras de inversión en el 
capítulo cuarto. 
En el capítulo cuarto se forman carteras con acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores 
y con CETES a 364 días. Se forman tres pares de carteras apareadas que cumplen con las 
condiciones iniciales de la hipótesis de investigación y se calcula el rendimiento y riesgo de un 
conjunto de portafolios factibles. Después se calcula el rendimiento real de los CETES a 364 días y 
se introduce para determinar el portafolio óptimo de activos de riesgo que se utiliza para formar 
carteras deudoras y acreedoras óptimas. De la comparación de los portafolios óptimos se llega a la 
contrastación de la hipótesis de investigación. 
Finalmente, se exponen las conclusiones de la investigación y en un anexo se describe 
brevemente la historia y los consejos de administración de las empresas emisoras de las acciones 
analizadas. 
13 
 
CAPÍTULO 1. METODOLOGÍA. 
 
1.1. EL PROBLEMA GENERAL DE LA INVERSIÓN EN VALORES. 
Resulta fácil establecer la meta de la inversión en valores: ganar dinero. Pero para ganar dinero 
mediante la inversión en valores se requiere que el inversionista seleccione un nivel de riesgo. 
Conociendo el hecho de que el inversionista está en posición constante de tratar de asegurar altos 
rendimientos sobre la inversión al mismo tiempo que trata de controlar la exposición al riesgo, el 
problema general de la inversión en activos financieros, se puede expresar en la siguiente forma: 
Para un determinado nivel de riesgo, ¿cómo lograr el rendimiento más alto posible?, o de manera 
equivalente: para una determinada tasa de rendimiento esperada, ¿cómo lograr el menor riesgo 
posible?
1
 
 
1.2. OBJETIVO GENERAL. 
El objetivo general de la presente tesis es determinar qué importancia tiene el nivel de riesgo 
individual de las acciones que conforman una cartera de activos financieros sobre los posibles 
portafolios con el menor riesgo posible, para determinadas tasas de rendimiento esperadas de 
largo plazo, considerando carteras formadas con acciones listadas en la Bolsa Mexicana de 
Valores y un activo libre de riesgo del mercado de dinero: CETES a 364 días. 
 
1.3. PREGUNTA PARTICULAR DE INVESTIGACIÓN. 
Para dar cause al objetivo se propone la siguiente pregunta de investigación: 
Si se forman dos carteras con un activo libre de riesgo, como los CETES a 364 días, y dos 
acciones cotizadas en la Bolsa Mexicana de Valores, con rendimientos individuales y correlaciones 
entre sus rendimientos similares, y riesgos diferentes. ¿Con cuál cartera el inversionista podrá 
resolver de mejor manera la decisión de su inversión? O, en otras palabras: ¿Con cuál cartera 
podrá el inversionista formar portafolios de inversión que den un mayor rendimiento esperado de 
largo plazo, para un nivel determinado de riesgo o un menor riesgo, para un determinado nivel de 
rendimiento esperado de largo plazo? 
 
1.4. HIPÓTESIS. 
De acuerdo con la teoría moderna de la cartera que se presenta en el capítulo segundo de esta 
tesis: “A similares rendimientos individuales y correlaciones entre los rendimientos de las acciones 
que conforman una cartera con dos acciones y un activo libre de riesgo, la cartera que tenga por lo 
menos una acción con un riesgo individual menor que el riesgo individual de las acciones de la otra 
cartera, será la que permita construir los mejores portafolios de inversión, es decir, los portafolios 
que den a igual nivel de riesgo el mayor rendimiento posible de largo plazo o a igual nivel de 
rendimiento a largo plazo el menor riesgo posible.”
2 
1 
Kolb Robert, Inversiones, Limusa, México, primera edición 1993, p.25. 
2 
 Rodríguez Calvo Rafael Guadalupe, Teoría moderna de la cartera, Papeles de trabajo, ESCA Tepepan, México, 2008, 
p.14. 
 
14 
 
1.5. VARIABLES. 
Las variables utilizadas en la pregunta e hipótesis de investigación son el rendimiento y el riesgo 
de la inversión, tanto de los activos individuales, como de las carteras formadas con estos. 
También se ha hablado de la correlación entre los rendimientos de los activos que conforman las 
carteras de inversión y de manera implícita de las proporciones de inversión en cada activo que 
definen un portafolio de inversión. 
En el planteamiento se tienen dos variables dependientes y cuatro variables independientes. Las 
variables dependientes son el rendimiento esperado de largo plazo y el riesgo de las carteras de 
inversión; mientras que las variables independientes son el riesgo individual y el rendimiento 
individual de los activos que conforman las carteras, la correlación entre esos rendimientos y las 
proporciones de inversión en cada activo. Sin embargo, tres de las cuatro variables independientes 
son parámetros definidos por las condiciones del mercado de valores, a saber: el riesgo y el 
rendimiento individual de los activos y la correlación entre esos rendimientos. La otra variable 
independiente: las proporciones de inversión en cada activo que forma la cartera, es una variable 
de decisión que depende del inversionista, la cual se puede modificar a voluntad.
3
 
Esquemáticamente las relaciones entre estas variables son las siguientes: 
 
 
Variables independientes 
 
Variables dependientes 
 
 
Rendimiento individual de los activos 
 
 
 
Rendimiento de la cartera 
 
Proporciones de inversión en cada activo 
 
 
 
Riesgo individual de los activos 
 
 
Riesgo de la cartera 
 
Correlación entre los rendimientos 
individuales de los activos 
 
 
 
El rendimiento individual de los activos se define como el cambio en el valor de la inversión. Para el 
caso de las acciones se mide con el promedio aritmético de las ganancias anuales por dividendos 
y por la variación anual de su precio de mercado, mientras que para el activo libre de riesgo se 
mide con el promedio aritmético de las tasas anuales de interés que proporciona. 
Su definición operativa es la siguiente: 
 
R = 
 Rini=1
n
 
3
 Ibidem. 
15 
 
Donde: 
R = Rendimiento promedio esperado. 
 Ri = Suma de los rendimientos reales durante el periodo de valuación.
n
i=1
 
n = Número de períodos. 
 
Las proporciones de inversión en cada activo son simplemente la razón de la inversión que se 
destina a cada activo sobre el monto de la inversión total. La suma de las cuales debe ser igual a la 
unidad. 
El riesgo individual de cada acción o la posibilidad de que el rendimiento real se desvíe del 
rendimiento esperado, se mide con la desviación estándar de los rendimientos anuales de cada 
valor. Es decir, su definición operativa es como sigue: 
 
σ2 = 
 Ri − R i)2 ni=1
n
 
Donde: 
σ2 = Varianza. 
Ri = Rendimiento real en el año i. 
R = Rendimiento promedio esperado. 
n = Número de periodos. 
 
La correlación entre los rendimientos de los activos que conforman la cartera, es medida con el 
coeficiente de correlación como una medida de la intensidad de la asociación entre los 
rendimientos de cada par de acciones. Por ello su definición operativa está dada por: 
rA,B = 
COVA,B
σAσB
 
Donde: 
COVA,B = Covarianza de los rendimientos de A con B. 
 
Por lo que, para poder calcular el coeficiente de correlación, primero se debe determinar la 
covarianza: 
 
16 
 
COVA,B = 
 RA,i − R A (RB,i − R B )
n
i=1
n
 
Mientras que el rendimiento de la cartera se calcula como el promedio ponderado de los 
rendimientos individuales de los activos que la forman, considerando como factores de 
ponderación a las proporciones de inversión en cada activo. Es decir, se calcula con la siguiente 
fórmula: 
 
R P = WA R A + WB R B 
 
 
Donde: 
RP = Rendimiento real del portafolio. 
WA,WB = Proporción que se invierte en el activo A y en el activo B. 
R A,R B = Rendimiento esperado real del activo A y del activo B. 
 
Por último el riesgo de la cartera se calcula con la desviación estándar de sus rendimientos realesanuales y su definición operativa es la siguiente: 
 
σP = WA
2σA
2 + WB
2σB
2 + 2WA WBσAσB rA,B 
Donde: 
σp = Riesgo de la cartera. 
WA,WB = Proporción que se invierte en el activo A y en el activo B. 
𝜎𝐴σB = Desviación estándar de A y B. 
rA,B = Coeficiente de correlación entre los rendimientos de A y B. 
 
1.6. DISEÑO DE INVESTIGACIÓN. 
El diseño de investigación que se utiliza para poner a prueba la hipótesis de trabajo consiste en 
comparar dos carteras de activos, con dos acciones cada una y un activo libre de riesgo, que 
cumplan con las condiciones de la pregunta e hipótesis de investigación, es decir, que tengan 
rendimientos individuales y correlaciones entre sus rendimientos similares. 
 
17 
 
Utilizando la simbología de Hernández Sampieri et al 
4 
 el diseño de investigación se plantea como 
sigue: 
 
 
Es decir, para lograr la equivalencia inicial de las carteras C1 y C2 en cuanto a rendimientos y 
correlaciones entre estos, se aplicará la técnica de emparejamiento o apareo E de tal manera que 
las carteras formadas tengan rendimientos individuales de los activos y correlaciones entre estos, 
similares. 
Posteriormente se mide el nivel de riesgo individual de cada activo que conforman las dos carteras 
el cual debe ser diferente, es decir, X1 ≠ X2. 
Por último, se calculan los niveles de riesgo y rendimiento O1 y O2 de las carteras C1 y C2, 
esperando comprobar que si el riesgo individual de por lo menos uno de los activos que conforman 
una cartera C1 es menor que el de la otra C2, ante la igualdad de los niveles de las otras variables 
independientes, los resultados en cuanto a riesgo y rendimiento de la primera cartera, O1, serán 
mejores que los resultados de la segunda cartera, O2. 
Adicionalmente se introducirá un activo libre de riesgo en las carteras riesgosas, con el cual se 
determinará el portafolio óptimo de riesgo para cada una y a partir de éste se formarán portafolios 
deudores y acreedores. 
 
1.7. UNIDADES DE ANÁLISIS Y POBLACIÓN. 
 
El mercado accionario mexicano se divide en siete grandes rubros: industria extractiva, de la 
transformación y de la construcción; sectores comercio, de comunicaciones y transportes, de 
servicios financieros y de empresas controladoras. Exceptuando a la industria extractiva, cada uno 
de esos grandes rubros cuenta con más de tres acciones, sumando en total 137 acciones listadas 
en la Bolsa Mexicana de Valores a diciembre del 2007.
 5
 
No obstante, de acuerdo con lo que ha quedado de manifiesto de manera reiterada en el objetivo, 
pregunta, hipótesis y diseño de investigación, las unidades de análisis no son las acciones 
individuales, sino las carteras de inversión formadas con ellas. En particular, las carteras formadas 
con dos acciones y un activo libre de riesgo. 
De esta población se toman tres pares de carteras apareadas que cumplan con las condiciones 
iniciales establecidas en nuestra pregunta de investigación: rendimientos individuales y 
correlaciones similares, a las cuales se aplica el diseño de investigación, para comprobar la 
hipótesis de trabajo. 
 
4
 Hernández Sampieri Roberto et al, Metodología de la investigación, Cuarta edición, McGraw-Hill, México, 2006, p.203. 
5
 Bolsa Mexicana de Valores, Indicadores bursátiles de la BMV, México, diciembre de 2007. 
 
 E C1 X1 O1 
 
 E C2 X2 O2 
 
18 
 
1.8. MÉTODOS DE ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO DE INFORMACIÓN. 
Los métodos de análisis utilizados son de dos tipos: estadísticos y matemáticos. Dentro de los 
instrumentos estadísticos apropiados son los métodos tabulares y gráficos para representar series 
de tiempo y diagramas de dispersión, además de métodos de cálculo de medidas de tendencia 
central, de dispersión y de correlación entre variables. Mientras que los métodos matemáticos que 
se utilizan son métodos numéricos de aproximación y gráficas de funciones y relaciones lineales y 
cuadráticas. En todo momento se hará uso de la hoja electrónica de Microsoft Excel para realizar 
los cálculos. 
Una vez recolectados los datos sobre los rendimientos históricos reales obtenidos por las acciones 
listadas en la Bolsa Mexicana de valores y por los Certificados de la Tesorería de la Federación a 
364 días, se procederá a calcular su rendimiento esperado aplicando la media aritmética. 
Enseguida se calcula su riesgo, aplicando la desviación estándar, y se forman todos los pares de 
acciones para calcular el coeficiente de correlación entre sus rendimientos. Después se aplica el 
método de apareamiento para seleccionar por lo menos tres pares de carteras para replicar el 
diseño de investigación por lo menos tres veces. 
Para cada par de carteras apareadas de dos acciones que cumplan con las condiciones iniciales 
del problema de investigación, se calculan los rendimientos y riesgos para un conjunto 
seleccionado de portafolios de inversión, primero considerando únicamente las acciones y después 
integrando a la cartera los Certificados de la Tesorería de la Federación a 364 días. 
Se forman los portafolios de inversión asignando porcentajes de fondos a cada activo de las 
carteras y de la comparación gráfica y numérica de los resultados de los portafolios formados, se 
contrastará nuestra hipótesis de investigación. Además se formarán portafolios deudores y 
acreedores con cada una de las carteras apareadas. 
 
1.9 DATOS Y FUENTES DE INFORMACIÓN. 
Los datos que se utilizan son los rendimientos anuales del 2001 al 2007 de las acciones listadas en 
la Bolsa Mexicana de Valores del boletín mensual “Indicadores Bursátiles de la Bolsa Mexicana de 
Valores”. Y los rendimientos de los Certificados de la Tesorería de la Federación a 364 días y los 
valores del Índice Nacional de Precios al Consumidor, se toman de la página web del Banco de 
México: www.banxico.org.mx. 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO: TEORÍA MODERNA DE LA CARTERA. 
 
2.1. INVERSIÓN EN VALORES. 
 
La inversión se define, como el proceso que consiste en colocar fondos en determinados 
instrumentos con el propósito de que su valor aumente o de que produzca un retorno positivo. 
6 
A las inversiones que representan instrumentos o valores de deuda, propiedad de un negocio o el 
derecho legal a adquirir o vender una participación en la propiedad de un negocio se les conoce 
con el nombre de valores, es decir “un valor es un derecho financiero, por lo general representado 
por una hoja de papel” 
7. 
Los tipos más comunes de valores son las acciones y los Certificados de 
la Tesorería de la Federación (CETES). 
Considerando que una inversión financiera es la adquisición de valores, comprometiendo para 
esto un capital por un determinado tiempo, con el fin de obtener una ganancia por la tenencia de 
los mismos, entonces cuando se decide realizar inversiones financieras se precisan interrogantes 
en cuanto a rendimiento y riesgo. 
 
2.2. PROBLEMA DE LA INVERSIÓN. 
 
El problema básico al que se enfrenta cualquier inversionista es cómo lograr el rendimiento 
deseado, al mismo tiempo que el riesgo sea mínimo, lo mejor es invertir en valores que ofrezcan 
altos rendimientos y riesgo bajo. No obstante, las oportunidades de inversión con altos 
rendimientos esperados van acompañados por lo regular de un alto riesgo, esto hace que el 
inversionista busque la mejor combinación entre riesgo y rendimiento.
8
 
Si el inversionista está en posición constante de tratar de lograr altas utilidades sobre la inversión 
al mismo tiempo que trata de controlar la exposición al riesgo, el problema de la inversión se 
expresa de la siguiente manera: 
Para una determinada tasa de rendimiento requerida, lograr el rendimiento con el menor riesgo 
posible.
9 
 
2.3. MEDICIÓN DEL RENDIMIENTO EN UN PERIODO. 
 
El propósito de un análisis de valores es determinar sus beneficios futuros posibles, las 
condicionesbajo las cuales se recibirán estos beneficios y la probabilidad de ocurrencia de estas 
condiciones, es decir, comprender las características del rendimiento de los valores.
10 
 
6 
Gitman Lawrence J. y Michael D. Joehnk, Fundamentos de inversiones, OUP- Harla, México, 1997, p. 10. 
7
 Kolb Robert, Inversiones, Limusa, México, primera 1993 p. 23. 
8 
Ibidem, p. 24. 
9 
Ibidem, p. 25. 
10
 Gordon Alexander et al, Fundamentos de inversión, teoría y práctica , Tercera edición, Printice Hall, México, 2003, p.2. 
 
20 
 
Cuando se invierte en valores de capital como acciones ordinarias, el rendimiento proviene de dos 
fuentes: 
 
1. De los dividendos en efectivo pagados al accionista. 
2. De la ganancia o pérdida del precio de mercado de la acción durante el periodo de 
tenencia.
11
 
 
La manera de medir la tasa de rendimiento es: 
 
Porcentaje de rentabilidad =
Ganancia de capital + dividendos
Precio inicial de las acciones
 (Ecuación 2.1. ) 
Ejemplo: 
Supongase que se ha comprado acciones de la empresa Televisa, a comienzos de 2007, cuando 
su precio era de $100 cada una. A finales del año, el valor de esa inversión había aumentado a 
$137, proporcionando una ganancia de capital de 100-137 = $37. Además en 2007 la empresa 
pago un dividendo de $8 por acción. 
12
 Sustituyendo la fórmula, el rendimiento del período es de: 
 
Porcentaje de rentabilidad =
37 + 8
100
= 45% 
 
2.4. LA INFLACIÓN Y EL RENDIMIENTO REAL. 
A los cambios de precios de bienes, servicios y activos ocurridos durante un periodo determinado, 
se le llama inflación, la inflación tiene un impacto significativo en las decisiones y resultados de la 
inversión. 
Para corregir los efectos de la inflación, se distinguen dos tipos de tasas de rendimiento, 
nominales y reales. La tasa de interés nominal, mide la cantidad de dinero que se tendrá a final del 
periodo. La tasa de rendimiento real, muestra cuánto se podrá comprar más con el dinero 
recibido.
13
 
Para determinar la tasa de rendimiento real, se utiliza la siguiente fórmula: 
 
Tasa de rendimiento real = 
Tasa de interés nominal − tasa de inflación
1 + tasa de nflación
 (Ecuación 2.2. ) 
 
11 
Bodie Zvi, Merton Robert, Finanzas, Prentice Hall, México, 2003, p. 39. 
12
 Brealey, Myers, Marcus, Fundamentos de finanzas corporativas, Mc Graw Hill Quinta edición, España, 2007, p.278. 
13
 Bodie Zvi y Merton Robert, Op. cit., p. 45. 
 
21 
 
Ejemplo: 
Se retoma el anterior ejemplo: con la tasa de rendimiento nominal del 45%, e incluiremos la 
inflación del 7%, 
14
 sustituyendo la fórmula: 
Tasa de rendimiento real = 
0.45 − 0.07
1 + 0.07
= 38% 
Por tanto la tasa de rendimiento real equivale a 38%, comparada con la nominal del 45%. 
 
2.5. MEDICIÓN DEL RENDIMIENTO PROMEDIO ESPERADO REAL, PARA UNA INVERSIÓN 
SENCILLA. 
 
El promedio de vida de una inversión en valores por lo general es a largo plazo, durante el periodo 
de tenencia de la inversión, los accionistas obtienen información del rendimiento esperado para 
cada uno de los periodos. 
Para medir el rendimiento promedio esperado de largo plazo, se calcula el promedio aritmético de 
las rentabilidades. 
 
Ejemplo: 
Se compra una acción de Telmex y se mantiene durante cuatro años. Los rendimientos esperados 
durante este periodo son los siguientes: 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula: 
R = 
 Rini=1
n
 (Ecuación 2.3. ) 
 
 
14
 Brealey, Myers, Marcus, Op. cit., p. 278. 
 
Tabla 2.1. Rendimiento real de una acción 
X. 
Periodo 
Rendimiento real al final 
del periodo ( % ) 
2004 28 
2005 31 
2006 32 
2007 35 
Fuente: Elaboración propia. 
22 
 
Donde: 
R = Rendimiento promedio esperado. 
 Ri = Suma de los rendimientos reales durante el periodo de valuación.
n
i=1
 
n = Número de períodos. 
 
Sustituyendo en la fórmula los valores, el resultado es el siguiente: 
 
R = 
0.28 + 0.31 + 0.32 + 0.35
4
= 31.5 % 
 
Durante el periodo el rendimiento promedio esperado es de 31.5 %. 
 
2.6. MEDICIÓN DEL RIESGO DE UNA INVERSIÓN SENCILLA. 
 
El riesgo según Van Horne se define como la variabilidad de los rendimientos en relación con lo 
que se espera recibir a largo plazo
15
. 
Una manera de considerar el riesgo de la rentabilidad de algún título valor es la dispersión de la 
frecuencia, es decir, cuanto se puede desviar una rentabilidad determinada de la rentabilidad 
media esperada a largo plazo. 
La varianza y la desviación estándar es la forma más usual para medir la posibilidad de que el 
rendimiento real se desvíe del rendimiento esperado. 
 
Primero se calcula la varianza, con la siguiente fórmula: 
 
σ2 = 
 Ri − R i)2 ni=1
n
 (Ecuación 2.4. ) 
 
 
15
 Van Horne, Wachowicz, Fundamentos de administración financiera. Pearson Educación, Undécima edición, México, 
2002, p. 95. 
 
 
23 
 
Donde: 
σ2 = Varianza. 
Ri = Rendimiento real en el año i. 
R = Rendimiento promedio esperado. 
n = Número de periodos. 
 
Posteriormente a la varianza se le aplica la raíz cuadrada, para determinar la desviación 
estándar.
16
 
σ = σ2 (Ecuación 2.5. ) 
Ejemplo: 
Se compra una acción y los rendimientos son los siguientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sustituyendo en la fórmula de la varianza, se tiene lo siguiente: 
 
𝜎2 = 
(0.153 − 0.15)2 + (0.162 − 0.15)2 + (0.165 − 0.15)2 + (0.137 − 0.15)2
4
= 0.0005 
 
Al aplicar la raíz cuadrada a 0.0005, para determinar la desviación estándar se tiene: 
𝜎 = . 0005 = 2.3% 
El riesgo que se genera es de 2.3%. 
 
16 
Rodríguez Calvo Rafael G. Teoría moderna de la cartera, papeles de trabajo, ESCA Tepepan. México, 2008, p.11. 
 
Tabla 2.2. Rendimiento real de una acción A. 
Año 
Rendimiento real de la 
acción A (%) 
2004 15.3 
2005 16.2 
2006 16.5 
2007 13.7 
Rendimiento 
promedio 
15.4 
Fuente: Elaboración propia. 
24 
 
 
2.7. RELACIÓN DE DOMINACIÓN ENTRE ACCIONES. 
 
 
Los inversionistas prefieren un mayor rendimiento esperado y desean evitar riesgo. Robert W. 
Kolb expresa: "Un título domina a otro si al menos se encuentra una de las siguientes tres 
condiciones: 1) Si un determinado título ofrece más alto rendimiento esperado y el mismo nivel de 
riesgo que un segundo título, entonces el primer título domina al segundo; 2) Si un determinado 
título tiene el mismo rendimiento esperado pero un más bajo riesgo que un segundo título, 
entonces el primer título domina al segundo, y 3) Si un determinado título tiene tanto un 
rendimiento esperado más alto como un riesgo más bajo que un segundo título, entonces el primer 
título domina al segundo". 
17 
En la siguiente gráfica, C domina a D y el valor E domina a F por la primera condición 
anteriormente mencionada. El primer valor C domina a E y el valor D domina a F por la segunda 
condición. Por último, el valor C domina a F por la tercera condición. 
18 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
En el siguiente ejemplo, se muestran los rendimientos históricos de las acciones de B y C, de 
cuatro años, así como el rendimiento y el riesgo que se esperan al invertir en cada una de ellas. 
 
 
17 
Kolb Robert, Op. cit., p. 443. 
18
 Ibidem, p. 443. 
 
C
E
D
F
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
R
en
d
im
ie
n
to
Riesgo
Gráfica 2.1. Espacio de riesgo y rendimiento.
25 
 
Tabla 2.3. Rendimiento real de las acciones B y C. 
AÑO 
Rendimiento real 
de la acción B (%) 
Rendimiento real 
de la acción C (%) 
2004 25 12 
2005 27 19 
2006 29 29 
2007 31 32 
Rendimiento 
promedio 
28 23 
Riesgo 
esperado 
2.24 7.96 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
Como se puede observar la acción B domina a la acción C. En la siguiente gráfica se muestra al 
inversionista la posibilidad de analizar los diferente valores, donde muestra la relación 
riesgo/rendimiento, en donde es evidente que la acción B tiene un mayor rendimiento y un menor 
riesgo que la acción C. 
 
 
Fuente: Elaboraciónpropia. 
 
2.8. CARTERA DE RIESGO CON DOS ACTIVOS. 
 
Una cartera es un conjunto de instrumentos de inversión, o un grupo de valores. Para crear una 
cartera eficiente, que proporcione el mayor rendimiento para cierto grado de riesgo o con el menor 
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0% 2% 4% 6% 8% 10%
R
en
d
im
ie
n
to
Riesgo
Gráfica 2.2. Riesgo/rendimiento de las acciones B y C. 
c
B
26 
 
riesgo para cierto nivel de rendimiento, el inversionista debe analizar al menos dos posibilidades de 
inversión para conseguir las mejores combinaciones de riesgo y rendimiento. 
19 
 
2.8.1. RENDIMIENTO ESPERADO DE UNA CARTERA DE RIESGO CON DOS ACTIVOS. 
El rendimiento esperado de una cartera integrada de dos activos dependerá de los rendimientos 
esperados de los activos por separados, y del porcentaje invertido en cada uno de ellos.
20
 
 
La fórmula para calcular el rendimiento esperado de la cartera es: 
 
R P = WA R A + WBR B ( Ecuación 2.6. ) 
Donde: 
RP = Rendimiento real del portafolio. 
WA,WB = Proporción que se invierte en el activo A y en el activo B. 
R A,R B = Rendimiento esperado real del activo A y del activo B. 
 
La suma de las proporciones de los dos activos A y B es igual a 1, debido a que los fondos están 
asignados a un activo u otro para formar la cartera, es decir: 
 
𝑊𝐴 + 𝑊𝐵 = 1 
 
A continuación se da un ejemplo: 
Supongase que la cartera está integrada por las acciones A y B, y tiene una proporción de 
inversión del 70% para la acción A y 30% para la acción B. El rendimiento promedio esperado real, 
para cada uno de ellos es de 28% para la acción A y 23% para la acción B. 
 
Sustituyendo en la fórmula: 
R P = 0.70 × 0.28 + 0.30 × 0.23 = 26.5% 
 
19
.Gitman Lawrence J y Michael D. Joehnk. Op. cit., p. 698. 
20
 Kolb Robert, Op. cit., p. 443. 
27 
 
Como el activo A, tiene un rendimiento esperado mayor, el rendimiento esperado de la cartera 
siempre será mayor, mientras mayor sea la proporción de los fondos invertidos en A. 
 
2.8.2. RIESGO DE UNA CARTERA CON DOS ACTIVOS. 
El riesgo de una cartera depende del riesgo de cada uno de los valores en la cartera, del 
porcentaje de fondos invertidos en cada valor y de la tendencia que tengan a covariar los 
rendimientos de los valores de la cartera. 
21 
El grado de riesgo de una cartera no es un promedio ponderado de la desviación estándar de los 
valores individuales que la forman: el riesgo es por lo general más pequeño que el promedio 
ponderado de las desviaciones de las acciones. Es posible combinar dos acciones que por sí 
mismas sean muy riesgosas tal como lo miden sus desviaciones estándar y formar una cartera que 
se encontrará completamente libre de riesgo.
 22
 
La razón por la que una cartera está libre de riesgo, es que sus rendimientos se desplazan en 
forma opuesta entre sí, es decir, cuando los rendimientos de A disminuyen, los de B aumentan y 
viceversa. La relación que existe entre dos variables se mide a través de la correlación. 
 
El coeficiente de correlación, r, mide el grado de relación que existe entre las variables. Su medida 
va de +1 para series de correlación positiva perfecta, a -1 para series de correlación negativa 
perfecta. 
 
 Si una correlación es mayor que cero, esto significa que las dos variables tienden a 
moverse en la misma dirección cuando cambian. 
 
 Un valor negativo para la correlación señala que las dos variables tienden a moverse en 
direcciones opuestas. 
 
 Si la correlación entre dos variables es igual a cero, no existe relación entre ellas y se 
consideran independientes.
23
 
 
 
 
La fórmula del riesgo de una cartera de dos activos, medido a partir de la desviación estándar y 
utilizando el coeficiente de correlación, es la siguiente: 
 
 
 
21 
Ibidem, p. 446. 
22
 Scott Besley, Eugene F. Brigham, Fundamentos de administración financiera, Mc Graw Hill, México, 2001, p. 220. 
23
 Kolb Robert, Op. cit., p. 448. 
 
28 
 
σP = WA
2σA
2 + WB
2σB
2 + 2WA WBσAσB rA,B (Ecuación 2.7. ) 
Donde: 
σp = Riesgo de la cartera 
WA,WB = Proporción que se invierte en el activo A y en el activo B. 
𝜎𝐴σB = Desviación estándar de A y B.. 
rA,B = Coeficiente de correlación 
 
A su vez, la fórmula para calcular en coeficiente de correlación r es: 
rA,B = 
COVA,B
σAσB
 (Ecuación 2.8. ) 
Donde: 
COVA,B = Covarianza de los rendimientos de A con B. 
 
Por lo que, para poder calcular el coeficiente de correlación, primero se debe determinar la 
covarianza: 
 
COVA,B = 
 RA,i − R A (RB,i − R B)
n
i=1
n
 (Ecuación 2.9. ) 
 
 Suponga que se pretende calcular el riesgo de una cartera de los activos A y B, con los datos de 
la siguiente tabla: 
 
Tabla 2.4. Rendimiento promedio comparado con el rendimiento real de las acciones A y B 
Año 
Rendimiento 
real acción A 
𝑅𝐴,𝑖 
Rendimiento 
real acción B 
𝑅𝐵,𝑖 
Desviación 
de A 
𝑅𝐴,𝑖 − 𝑅 𝐴 
Desviación 
de B 
𝑅𝐵,𝑖 − 𝑅 𝐵 
Producto de las 
desviaciones 
(𝑅𝐴,𝑖 − 𝑅 𝐴)(𝑅𝐵,𝑖 − 𝑅 𝐵) 
2004 0.25 0.12 -0.03 -0.0875 0.002625 
2005 0.27 0.19 -0.01 -0.0175 0.000175 
2006 0.29 0.20 0.01 -0.0075 -0.000075 
2007 0.31 0.32 0.03 0.1125 0.003375 
Rendimiento 
promedio 𝑅 
0.28 0.2075 0.006100 
Fuente: Elaboración propia. 
29 
 
Sustituyendo en la fórmula de la covarianza el resultado es: 
𝐶𝑂𝑉𝐴,𝐵 = 
0.0061
4
= .001525 
 
El segundo cálculo es la desviación estándar, para las acciones A y B. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Sustituyendo la fórmula del coeficiente de correlación: 
𝑟𝐴,𝐵 = 
. 00152
 . 022360 (.071894)
= 0.948619601 
 
El resultado de correlación significa que los rendimientos de A y B tienden a moverse en la misma 
dirección cuando cambian. 
 
La proporción en la cartera de A es del 70% y de B es del 30 %. El desarrollo de la fórmula de 
riesgo de la cartera es: 
 
𝜎𝑃 = (.70)
2(.022360)2 + (.30)2(.071894)2 + 2 . 70 . 30 . 022360 . 071894 (.948619) 
 
𝜎𝑃 = .015661 
 
El riesgo de la cartera es del 1.56%, es menor que el promedio de las desviaciones individuales del 
valor A y B. 
 
Tabla 2.5. Desviación estándar de las acciones 
 A y B. 
Año Desviaciones 
cuadráticas de A 
Desviaciones 
cuadráticas de B 
2004 0.0009 0.00765625 
2005 0.0001 0.00030625 
2006 0.0001 0.00005625 
2007 0.0009 0.01265625 
∑ 0.0020 0.02067500 
σ 0.022360679 0.071894019 
Fuente: Elaboración propia. 
30 
 
2.8.3. RIESGO Y CORRELACIÓN DE CARTERAS DE DOS ACTIVOS. 
 
En la creación de la cartera uno de los factores que más afectan al riesgo de cualquier cartera es el 
grado de covarianza o correlación entre los valores individuales que componen la cartera.
24
 
Para determinar la importancia de la correlación de los rendimientos y determinación del riesgo 
total de la cartera, se muestran dos casos especiales: primero, cuando la correlación es igual a 1 y 
la segunda situación cuando la correlación es igual a -1. 
 
Correlación = 1. 
Para ejemplificar la correlación se tienen los siguientes datos: 
 
 
 
 
 
 
El rendimiento de la cartera para estos datos es de: 
R P = 13.90% 
 
Mientras que el riesgo de cartera es: 
σP = 11% 
 
Cuando la correlación es igual a 1, el riesgo de cartera depende del riesgo de los activos 
individuales y del valor ponderado que representan las carteras únicamente. En la gráfica 2.3 se 
muestra la posición de los valores de A y B en el espacio de riesgo y rendimiento, y la cartera 
compuesta de 30% de A y 70% de valor B. 
 
 
24
 Kolb Robert, Op. cit., p. 448. 
 
 
Tabla 2.6. Rendimiento, riesgo de las acciones A y B. 
 Acción A Acción B 
Rendimiento esperado 0.16 0.13 
riesgo 0.1293 0.1055 
valor ponderado .30 0.70 
Fuente: Elaboración propia. 
31 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
Correlación = -1. 
En este caso, se simplifica la fórmula del riesgo de la siguiente manera: 
 
𝜎𝑃 = 𝑊𝐵𝜎𝐵 −𝑊𝐴𝜎𝐴 
 
Sustituyendo losvalores, tomando los datos de la tabla 2.6, el resultado es: 
 
𝜎𝑃 = . 70 . 1055 − . 30 . 1293 = 3.5% 
 
El 3.5% es más bajo, que si el riesgo de la cartera tuviera los activos perfectamente 
correlacionados. Cuando la correlación es igual a -1, da lugar a la idea de que pudiera ser posible 
crear una cartera sin riesgo. Para ser esto posible, la desviación estándar seria igual a 0, y la 
fórmula quedaría de la siguiente manera: 
 
𝜎𝑃 = 𝑊𝐴𝜎𝐴 −𝑊𝐵𝜎𝐵 = 0 
 
Realizando los despejes de las fórmulas a partir de que WB = 1 − WA , 
se tiene lo siguiente: 
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
7% 9% 11% 13% 15%
Gráfica 2.3. Combinación de riesgo y rendimiento, cuando la 
correlación es igual 1.
A
B
P
Riesgo
R
en
d
im
ie
n
to
32 
 
𝑊𝐴 =
𝜎𝐵
𝜎𝐴 + 𝜎𝐵
 (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2.10) 
 
Esta ecuación determina el valor ponderado que se debe asignar a un valor (A), en esta cartera de 
dos activos para tener una cartera con riesgo de cero: 
 
WA =
. 1055
. 1293 + .1055
= 45% 
 
La desviación estándar es de: 
σP = . 55 . 1055 − . 45 . 1293 = 0 
 
El resultado demuestra que si existen activos que estén correlacionados en forma perfectamente 
negativa, es posible formar una cartera libre de riesgo. 
La gráfica muestra, las posibles combinaciones de cartera que se pueden crear a partir de dos 
valores, cuando la correlación es igual a-1, las dos líneas muestran las oportunidades, que incluye 
una cartera libre de riesgo. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%
Gráfica 2.4. Combinaciones de riesgo y rendimiento, cuando la 
correlación de rendimiento es igual a - 1.
R
en
d
im
ie
n
to
Riesgo
A
B
P
33 
 
Para la gran mayoría de los pares de valores, la correlación de rendimiento entre ellos no se 
encuentra ni en el extremo 1 ó -1. La mayor parte de los valores están relacionados positivamente 
entre ellos mismos, como se muestra en las siguientes tabla y gráfica. 
 
Tabla 2.7. Carteras con los valores A y B. 
Proporción de 
inversión “A” 
Proporción de 
inversión “B” 
Riesgo Rendimiento 
1 0 0.13 0.160 
0.9 0.1 0.12 0.157 
0.8 0.2 0.11 0.154 
0.7 0.3 0.10 0.151 
0.55 0.45 0.09 0.147 
0.6 0.4 0.09 0.148 
0.5 0.5 0.08 0.145 
0.4 0.6 0.08 0.142 
0.3 0.7 0.08 0.139 
0.2 0.8 0.09 0.136 
0.1 0.9 0.10 0.133 
0 1 0.11 0.130 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
De los casos presentados se deduce que entre menor sea la correlación entre los rendimientos 
que forman la cartera, más posibilidades se tienen de minimizar el riesgo, sin sacrificar de manera 
proporcional el rendimiento de la cartera. 
 
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14%
R
en
d
im
ie
n
to
Riesgo
Gráfica 2.5. Combinaciones posibles de riesgo y rendimiento de A y B 
de diversas carteras.
34 
 
2.9. CARTERAS DE DOS ACTIVOS, CON UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO. 
 
Cuando se analiza cómo se puede combinar el activo libre de riesgo con una cartera de activos 
riesgosos, es importante recordar que se está considerando un modelo de un período. 
Un inversionista que compra un activo libre de riesgo al principio de un periodo de tenencia sabe 
exactamente cuál será el valor del activo al final de periodo de tenencia. Puesto que no hay 
incertidumbre acerca del valor terminal del activo libre de riesgo, la desviación estándar del activo 
libre de riesgo es, por definición, cero.
25
 
A su vez, la covarianza entre la tasa de rendimiento del activo libre de riesgo y la tasa de 
rendimiento de cualquier activo riesgoso es cero. 
En este análisis, la consideración inicial es determinar el rendimiento esperado y la desviación 
estándar de una cartera. 
 El rendimiento esperado de una cartera compuesta por un activo libre de riesgo y dos activos con 
riesgo, es tan solo el promedio ponderado de los dos rendimientos esperados, siendo las 
ponderaciones los porcentajes de los fondos asignados a los dos activos. Sin embargo, en el caso 
del activo libre de riesgo el rendimiento esperado es seguro. Por lo tanto el rendimiento esperado 
para la cartera que incluye el activo libre de riesgo es: 
26 
 
R P = WFRF + WA R A (Ecuación 2.11) 
 
Para determinar la desviación estándar se simplifica la ecuación original, dado que la covarianza 
entre una constante y una variable aleatoria, es siempre cero. Debido a que una constante no tiene 
covarianza con ningún otro activo. La correlación y la covarianza están estrechamente 
relacionados. Esto significa que la correlación entre dos activos será cero. Éste será el caso 
cuando uno de los activos sea un valor libre de riesgo. Como consecuencia de ello, en este caso 
especial, se pueden eliminar todos los términos que estén multiplicados por la variación o 
correlación. Por lo que la desviación estándar de la cartera queda de la siguiente manera: 
 
σp = WAσA (Ecuación 2.12) 
 
Se observa en la ecuación que la desviación estándar sólo depende del nivel de riesgo del activo 
riesgoso y de la proporción de los fondos asignados al mismo. 
 
Como ejemplo de estos principios se considerará una cartera que se va a integrar con un activo 
libre de riesgo F y una cartera con riesgo A. La información se muestra en la siguiente tabla y 
gráfica. 
 
25
 Gordon Alexander, Op. cit., p. 170. 
26
Kolb Robert, Op. cit., p. 479. 
35 
 
Se tienen los siguientes datos: 
Activo 
Libre de riesgo 
F 
Activo con riesgo 
A 
Rendimiento 6% 15% 
Riesgo 0% 6% 
Correlación de F y A. 0 
 
Tabla 2.8. Riesgo y rendimiento de carteras de dos activos: un activo 
libre de riesgo F y otro activo con riesgo A. 
Portafolio 
Proporción 
de inversión 
𝑊𝐹 
Proporción de 
inversión 
𝑊𝐴 
Riesgo 
𝜎𝑃 
Rendimiento 
𝑅 𝑃 
A1 1.00 0.00 0.000 0.060 
A2 0.90 0.10 0.006 0.069 
A3 0.80 0.20 0.012 0.078 
A4 0.70 0.30 0.018 0.087 
A5 0.60 0.40 0.024 0.096 
A6 0.50 0.50 0.030 0.105 
A7 0.40 0.60 0.036 0.114 
A8 0.30 0.70 0.042 0.123 
A9 0.20 0.80 0.048 0.132 
A10 0.10 0.90 0.054 0.141 
A11 0.00 1.00 0.060 0.150 
Fuente: Elaboración propia. 
 
En la gráfica siguiente, se muestra el activo libre de riesgo F, el activo riesgoso A y las carteras 
combinadas. Mediante la combinación de F y A se han obtenido dichas carteras que se encuentran 
en una línea recta en el espacio de riesgo y rendimiento entre F y A. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
A1
A2 A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
14.0%
16.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Riesgo
Gráfica 2.6. Combinación de un activo libre de riesgo F y un activo 
riesgoso A.
R
en
d
im
ie
n
to
es
p
er
ad
o
36 
 
En el ejemplo anterior se combinó el activo riesgoso A, con el activo libre de riesgo F, para formar 
carteras. Sin embargo, los inversionistas pueden tener motivos para preferir utilizar otros activos 
riesgosos, además de A para combinarlos con F. 
 
De la misma manera se pueden combinar F y B para lograr carteras en la línea FB, tal como se 
muestra en las siguientes tablas y gráficas posteriores. 
 
Activo 
Libre de riesgo 
F 
Activo con riesgo 
B 
Rendimiento 6% 30% 
Riesgo 0% 6% 
Correlación de F y A. 0 
 
 
Tabla 2.9. Riesgo y rendimiento de una cartera de dos activos: un activo 
libre de riesgo F y otro activo con riesgo B. 
Portafolio 
Proporción de 
inversión 
𝑊𝐹 
Proporción de 
inversión 
𝑊𝐴 
Riesgo 
𝜎𝑃 
Rendimiento 
𝑅 𝑃 
B1 1.00 0.00 0 0.060 
B2 0.90 0.10 0.006 0.084 
B3 0.80 0.20 0.012 0.108 
B4 0.70 0.30 0.018 0.132 
B5 0.60 0.40 0.024 0.156 
B6 0.50 0.50 0.030 0.180 
B7 0.40 0.60 0.036 0.204 
B8 0.30 0.70 0.042 0.228 
B9 0.20 0.80 0.048 0.252 
B10 0.10 0.90 0.054 0.276 
B11 0.00 1.00 0.060 0.300 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
En la gráfica puede verse que cada cartera en la línea FA, está dominada por una cartera en la 
línea FB. Esto significa que todos los inversionistas preferiríanconservar las carteras riesgosas FB, 
en lugar de las carteras de FA, debido a que siempre se encontrarán en mejor situación en cuanto 
a riesgo y rendimiento. 
 
37 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
2.10. CARTERAS DE TRES ACTIVOS, CON UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO. 
 
Como se vió anteriormente se combinó una cartera riesgosa, con un activo libre de riesgo. Sin 
embargo, a los inversionistas por lo general les interesa formar carteras con más de un activo 
riesgoso, para combinarlas con un activo libre de riesgo. A continuación se muestra un ejemplo: 
Se presentan los siguientes parámetros para el activo libre de riesgo F, y para los dos activos 
riesgosos A y B. 
Activo F A B 
Rendimiento 5% 15% 30% 
Riesgo 0% 10% 15% 
Correlación F,A. 0 0 0 
Correlación F,B. 0 0 0 
Correlación A,B 0 0 0 
 
Al formar portafolios de inversión con los dos activos riesgosos A y B, con diferentes proporciones 
para cada activo, se obtienen los siguientes once portafolios. En la tabla 2.10, se observa que las 
alternativas de inversión son los portafolios P6 al P11. 
 
A1 A2
A3 A4
A5 A6
A7 A8
A9 A10
A11
B1 B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7%
Riesgo
Gráfica 2.7. Combinación de dos carteras con dos activos: un activo libre 
de riesgo y un activo riesgoso. FA y FB.
R
en
d
im
ie
n
to
 e
sp
er
ad
o
38 
 
Tabla 2.10. Carteras formadas con dos activos de riesgo, 
 A y B. 
Portafolio 𝑊𝐴 𝑊𝐵 Riesgo Rendimiento 
P1 1 0 0.10 0.15 
P2 0.9 0.1 0.091241 0.165 
P3 0.8 0.2 0.085440 0.180 
P4 0.7 0.3 0.083217 0.195 
P5 0.6 0.4 0.084853 0.210 
P6 0.5 0.5 0.090139 0.225 
P7 0.4 0.6 0.098489 0.240 
P8 0.3 0.7 0.109202 0.255 
P9 0.2 0.8 0.121655 0.270 
P10 0.1 0.9 0.135370 0.285 
P11 0 1 0.15 0.30 
Fuente: Elaboración propia. 
 
Al considerar invertir en un activo libre de riesgo que se integre a la cartera con dos activos 
riesgosos se presenta la situación de que sólo un portafolio de los mejores portafolios de riesgo 
encontrados con anterioridad es el que todo inversionista racional elegirá para integrar su cartera. 
En la gráfica se observa que el portafolio óptimo es el P6, en el que se invierte 50% en A Y 50% en 
B. Los portafolios P1 a P5, se encuentran dominados por la línea posible de portafolios de PF a P6. 
Se concluye que los inversionistas buscarán invertir en portafolios que se encuentren en la línea 
PF y P6, debido a que se dispone de mejores carteras no dominadas. 
Fuente. Elaboración propia. 
P1
P2
P3
P4
P5
P6 P7
P8
P9
P10
P11
PF
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Gráfica 2.8. Combinación del activo libre de riesgo con la cartera de riesgo 
óptima.
Riesgo
R
en
d
im
ie
n
to
es
p
er
ad
o
0
0
0
0
0 
39 
 
Para crear carteras que se encuentren en la línea PF y P6 el inversionista tiene que conservar la 
cartera de riesgo P6 y también invertir algunos fondos en un activo libre de riesgo. 
 
Para determinar el riesgo de la cartera formada por el portafolio riesgoso P6, y el activo libre de 
riesgo PF, se calcula con la fórmula siguiente: 
 
σP = WP6σP6 (Ecuación 2.13) 
 
Donde: 
WP6 = Proporción de inversión en la cartera óptima de riesgo. 
σP6 = Riesgo del portafolio riesgoso P6. 
 
Para determinar el rendimiento de la cartera, se utiliza la fórmula ya mencionada, donde su 
rendimiento es el promedio ponderado de los dos rendimientos esperados, siendo las 
ponderaciones los porcentajes de los fondos invertidos en el activo libre de riesgo y la cartera 
óptima. 
 
Se muestra la siguiente tabla de parámetros, de los dos activos PF y portafolio P6. 
 
 
 
 
Para calcular las proporciones de inversión que le corresponden a los activos riesgosos A y B, que 
forman la cartera P6, se debe considerar: 
 
WA
∗ = WP6(WA ) (Ecuación 2.14) 
 
WB
∗ = WP6(WB) (Ecuación 2.15) 
 
La proporción del activo libre de riesgo y la cartera P6, debe ser igual a 1, es decir: 
 
WF + WA
∗ + WB
∗ = 1 (Ecuación 2.16) 
Activo PF P6 
Rendimiento 0.05 0.225 
Riesgo 0 0.090139 
40 
 
Donde: 
WA = Proporción de inversión del activo de riesgo A, en la cartera P6. 
WB = Proporción de inversión del activo de riesgo B, en la cartera P6. 
WA
∗ = Proporción de inversión de A, considerando la inversión en el activo libre de riesgo. 
WB
∗ = Proporción de inversión de B, considerando la inversión en el activo libre de riesgo. 
 
La siguiente tabla muestra las diferentes proporciones de inversión del activo libre de riesgo y la 
cartera óptima, PF y P6, así como su riesgo y rendimiento de cada portafolio. 
Existirán diferencias de los inversionistas en las proporciones de sus fondos que decidan invertir 
en P6. Algunos invertirán una pequeña parte de sus fondos en P6 y otra en F. Otros inversionistas 
más osados, pudieran invertir más en P6, que en F. 
Como se ha supuesto que los inversionistas buscan rendimientos esperados mayores y desean 
evitar el riesgo, la inversión de cualquier cantidad de fondos en una cartera riesgosa que no sea 
P6, sería irracional.
27
 
 
Tabla 2.11. Carteras formadas, con la cartera óptima y el activo libre de 
riesgo. 
Portafolio WF 
P6 
Riesgo Rendimiento 
WA* WB* 
P1* 1 0 0 0 0.050 
P2* 0.8 0.1 0.1 0.018028 0.085 
P3* 0.6 0.2 0.2 0.036056 0.120 
P4* 0.4 0.3 0.3 0.054083 0.155 
P5* 0.2 0.4 0.4 0.072111 0.190 
P6* 0 0.5 0.5 0.090139 0.225 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
2.11. APALANCAMIENTO DE UNA CARTERA RIESGOSA CON DOS ACTIVOS. 
 
Anteriormente se analizaron carteras que se encuentran en la línea PF y P6, que son llamadas 
carteras deudoras, porque están integradas por una inversión parcial en el activo libre de riesgo y 
otra parte en activos con riesgo. 
27
Kolb Robert, Op. cit., p. 486. 
41 
 
También existen carteras acreedoras, que están compuestas de fondos prestados e inversión de 
los mismos, además del capital original, en alguna cartera riesgosa. 
Lo anterior es posible siempre y cuando se pida prestado a la tasa libre de riesgo. Los 
inversionistas como personas físicas no pueden tomar préstamos a la tasa libre de riesgo. Sin 
embargo, los grandes inversionistas institucionales si pueden acceder a dichas tasas. En estas 
condiciones es posible elaborar una cartera de préstamo obteniendo dinero prestado a la tasa libre 
de riesgo e invirtiendo los ingresos provenientes del préstamo en alguna cartera riesgosa.
28 
 
A continuación se presenta la siguiente tabla de parámetros, tomando los datos del activo libre de 
riesgo y del portafolio P6, del apartado anterior, para formar carteras acreedoras. 
 
 
 
 
 
El riesgo y el rendimiento se calcula, con las fórmulas ya mencionadas en el apartado anterior. 
Los fondos prestados a la tasa libre de riesgo (WF) y la cartera riesgosa (P6) es igual a 1 es decir: 
 
WF + WP6 = 1. 
WF < 1 ; Wp6 > 1 
Donde: 
WF = Proporción de los fondos préstados a la tasa libre de riesgo. 
WP6 = Proporción de la inversión a la cartera riesgosa. 
 
En la siguiente tabla se muestran cuatro posibles portafolios, con diferentes proporciones de 
apalancamiento, donde el inversionista invierte los fondos en préstamo (WF) más el capital 
original en la cartera de riesgo (WP6). Así como su riesgo y rendimiento respectivo. 
El uso de los préstamos o apalancamiento aumenta tanto los rendimientos esperados como la 
variabilidad de los rendimientos (riesgo).
29 
 
28
Ibidem, p. 483. 
29
 Ibidem, p. 484. 
 
 
Activo F P6 
Rendimiento 5% 0.225 
Riesgo 0% 0.090139 
42 
 
Tabla 2.12. Carteras formadas, con fondos propios y 
prestados e invertidos en carteras riesgosas. 
Portafolio WF WP6 Riesgo Rendimiento 
PA -.10 1.10 0.099153 0.243 
PB -.30 1.30 0.117180 0.278 
PC -.50 1.50 0.135208 0.313 
PD -.70 1.70 0.153236 0.348 
Fuente: Elaboración propia. 
Anteriormente se determinaron las mejores alternativas de inversión o la frontera eficiente,eran 
los portafolios P6 a P11. Ahora con la oportunidad de conseguir préstamos a la tasa libre de riesgo, 
el conjunto de oportunidades es mucho más amplio para el inversionista. 
 
En la gráfica 2.9, se observa que la curva entre los portafolios P6 y P11, antes era un grupo 
eficiente, pero ahora está dominada por una cartera apalancada que se encuentra entre los 
portafolios PA y PD. 
Ahora de esta forma todos los inversionistas institucionales (personas morales), que mantengan 
cualquier cantidad de fondos en activos riesgosos colocarán dichos fondos en los portafolios que 
se encuentran dentro de la línea que va de PF a PD. 
Por lo que cualquier inversionista que decida invertir en una cartera de riesgo debe invertir en la 
cartera riesgosa P6, de lo contrario será considerado irracional.
30
 Ya que no estará controlando el 
riesgo, sin sacrificar el rendimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
30
 Ibidem, pp. 485 ,486. 
 
 
P1
P2
P3
P4
P5 P6
P7
P8
P9 P10
P11
PF
PA
PB
PC
PD
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
Gráfica 2.9. Carteras formadas con apalancamiento de una cartera riesgosa con 
dos activos.
Riesgo
R
en
d
im
ie
n
to
es
p
er
ad
o
43 
 
2.12. CONSECUENCIA CONTRASTABLE. 
 
La introducción de un activo libre de riesgo crea una nueva gama de opciones de inversión para los 
inversionistas. También significa que, todo inversionista en el mercado puede mejorar su posición. 
Ahora es posible seleccionar una cartera que domine la cartera que hubiera seleccionado el 
inversionista sólo del total de activos riesgosos. Esto significa que los inversionistas estarán en 
posibilidad de alcanzar mejores alternativas de inversión de lo que hubiera sido posible sin la 
existencia del activo libre de riesgo. 
De esta teoría se pueden deducir una serie de consecuencias más específicas que pueden ser 
utilizadas en la formación de carteras de riesgo. 
En esta sección se analizan, dos carteras con dos acciones cada una con rendimientos 
individuales esperados y correlaciones similares y un mismo activo libre de riesgo, a partir de lo 
cual se deducirá que la que tenga, por lo menos, una acción con menor riesgo, será la que 
proporcione las mejores alternativas de inversión.
31 
 
A continuación se presenta el caso de una acción de una cartera con menor riesgo y después 
presentaremos el caso con las dos acciones de una de las carteras con menor riesgo. 
 
Caso 1. Una acción con menor riesgo y rendimientos y correlaciones similares. 
 
Tabla de parámetros de las carteras 1 y 2: 
 
Cartera 1 Cartera 2 
Activo F A B Activo F X Y 
Rendimiento 4% 12% 15% Rendimiento 4% 12% 15% 
Riesgo 0% 8% 10% Riesgo 0% 6% 10% 
Correlación F,A. 0 Correlación F, X. 0 
Correlación F,B. 0 Correlación F, Y. 0 
Correlación A,B. 0 Correlación X, Y. 0 
 
 
En la siguiente tabla se muestra la formación de posibles portafolios y la proporción de inversión 
para los activos A y B, que integran la cartera 1, así como el riesgo y rendimiento correspondiente. 
 
 
 
 
 
31
 Rodríguez Calvo, Op. cit, p.31. 
 
44 
 
Tabla 2.13. Proporción de inversión de los activos A y B 
que conforman la cartera 1, riesgos y rendimientos. 
Portafolio WA WB Riesgo Rendimiento 
P1 1 0 0.08 0.12 
P2 0.9 0.1 0.07269 0.123 
P3 0.8 0.2 0.06705 0.126 
P4 0.7 0.3 0.06353 0.129 
P5 0.6 0.4 0.06248 0.132 
P6 0.5 0.5 0.06403 0.135 
P7 0.4 0.6 0.06800 0.138 
P8 0.3 0.7 0.07400 0.141 
P9 0.2 0.8 0.08158 0.144 
P10 0.1 0.9 0.09035 0.147 
P11 0 1 0.10 0.15 
Fuente: Elaboración propia. 
 
En la tabla 2.14, se observa la formación de posibles portafolios, la proporción de inversión para 
los activos X, Y, y los diferentes riesgos y rendimientos que conforman cada cartera 2. 
 
Tabla. 2.14. Proporción de inversión de los activos X y Y que 
conforman la cartera 2, riesgos y rendimientos. 
Portafolio WX WY Riesgo Rendimiento 
PA 1 0 0.06 0.12 
PB 0.9 0.1 0.0549 0.123 
PC 0.8 0.2 0.0520 0.126 
PD 0.7 0.3 0.0516 0.129 
PE 0.6 0.4 0.0538 0.132 
PF 0.5 0.5 0.0583 0.135 
PG 0.4 0.6 0.0646 0.138 
PH 0.3 0.7 0.0723 0.141 
PI 0.2 0.8 0.0809 0.144 
PJ 0.1 0.9 0.0902 0.147 
PK 0 1 0.10 0.15 
Fuente: Elaboración propia. 
ç 
Con el activo libre de riesgo, el conjunto eficiente se vuelve una línea recta que va desde la tasa 
libre de riesgo hasta el punto tangente al conjunto eficiente curvo. Para el caso de los portafolios 
formados con las acciones A y B, el portafolio óptimo es P6 y para el caso de X y Y es el 
portafolio PG, como puede observarse en la gráfica 2.10. 
Hasta ahora el estudio determina que el inversionista desearía colocar sus fondos en los activos 
que se encuentran en la línea PA* y PD, que en la línea recta que cruza el portafolio P6. 
45 
 
Si considerara la oportunidad de conseguir préstamos a la tasa libre de riesgo el conjunto de 
oportunidades se vuelve más amplio, como se observa en los activos Pg* , Ph* y Pi*. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
En las siguientes tablas se presentan algunas alternativas de inversión formadas tanto con el 
portafolio óptimo PD, como con el portafolio óptimo P6. 
 
 
 
P1
P5
P11
P6 
PA 
PD 
PE 
PG
PH 
PI PJ 
PK
PA*
PB*
PC*
PD*
PE*
PF*
Pg*
Ph*
Pi*
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
0% 2% 4% 6% 8% 10%
R
en
d
im
ie
n
to
Riesgo
Gráfica 2.10. Formación de dos carteras riesgosas 1,2 y un activo libre de 
riesgo, con recursos propios y prestados.
Tabla 2.15. Carteras formadas con fondos propios y prestados e 
invertidos en el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo PD. 
Rendimiento WF 
PD 
Riesgo Rendimiento 
WX* WY* 
PA* 1 0 0 0 0.04 
PB* 0.8 0.14 0.06 0.01032 0.0578 
PC* 0.6 0.28 0.12 0.02065 0.0756 
PD* 0.4 0.42 0.18 0.03097 0.0934 
PF* 0.2 0.56 0.24 0.04129 0.1112 
PG* 0 0.7 0.3 0.05161 0.1290 
ph* -0.2 0.84 0.36 0.06194 0.1468 
pi* -0.3 0.91 0.39 0.06710 0.1557 
pj* -0.5 1.05 0.45 0.07742 0.1735 
Fuente: Elaboración propia. 
 
46 
 
Tabla 2.16. Carteras formadas con fondos propios y prestados e 
invertidos en el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo P6. 
Portafolio 
WF 
P6 
Riesgo Rendimiento 
WA* WB* 
P1* 1 0 0 0 0.040 
P2* 0.8 0.1 0.1 0.012806 0.059 
P3* 0.6 0.2 0.2 0.025612 0.078 
P4* 0.4 0.3 0.3 0.038419 0.097 
P5* 0.2 0.4 0.4 0.051225 0.116 
P6* 0 0.5 0.5 0.064031 0.135 
p7* -0.2 0.6 0.6 0.076837 0.154 
p8* -0.3 0.65 0.65 0.083241 0.164 
p9* -0.5 0.75 0.75 0.096047 0.183 
Fuente: Elaboración propia. 
 
Tanto en la gráfica 2.10, como en las tablas anteriores se observa que a igual nivel de correlación y 
rendimiento de las acciones que forman los portafolios A-B y X-Y, las mejores alternativas de 
inversión son las que se forman con la cartera que tiene una acción con menor riesgo. En este 
caso con las acciones X-Y. 
 
A continuación se ilustra el caso con una cartera que posee igual correlación e igual rendimiento 
individual de las acciones que otra, pero con menor riesgo en sus dos acciones que la conforman. 
 
Caso 2. Dos acciones con menor riesgo y rendimientos y correlaciones similares. 
 
Tabla de parámetros de las dos carteras: 
Cartera 3 Cartera 4 
Activo F C D Activo F H J 
Rendimiento 4% 15% 30% Rendimiento 4% 15% 30% 
Riesgo 0% 14% 15% Riesgo 0% 10% 11% 
Correlación F,C. 0 Correlación F, H 0 
Correlación F,D. 0 Correlación F, J. 0 
Correlación C,D. 0 Correlación H,J. 0 
 
 
La siguiente tabla muestra la formación de posibles portafolios de los activos riesgosos C, D, que 
integran la cartera 3, y observamos los diferentes riesgos y rendimientos que conforman cada una. 
 
 
47 
 
Tabla 2.17. Proporción de inversión de los activos C y D que 
conforman la cartera 3, riesgos y rendimientos. 
Portafolio WC WD Riesgo Rendimiento 
P1 1 0 0.14 0.15 
P2 0.9 0.1 0.1269 0.165 
P3 0.8 0.2 0.1159 0.180 
P4 0.7 0.3 0.1078 0.195