Diseño de sistema carro-péndulo para control de posición

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LA PAZ
DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
MAESTRÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
DISEÑO, CONSTRUCCIÓN Y CONTROL DE UN
SISTEMA CARRO-PÉNDULO
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
PRESENTA:
Ing. IVAN ULISES VELAZQUEZ MURILLO
DIRECTOR DE TESIS:
Dr. JESÚS ALBERTO SANDOVAL GALARZA
LA PAZ, BAJA CALIFORNIA SUR, MÉXICO, AGOSTO 2019.
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A mis hijos Javier y Ximena, mi universo.
En nuestro crecimiento personal nos trazamos infinidad de retos, metas por cumplir y trabajos
por realizar, pero las verdaderas batallas son las que te pone la vida enfrente y ustedes, mis
guerreros, me han mostrado la magnitud de fe y el coraje con que se deben enfrentar.
"Sigo aquí de pie dando pelea y puede que me caiga,
pero te aseguro que en el suelo no me quedo".
-anónimo
Cum Deus Calculat Fit Mundus
(Según Dios calcula se crea el mundo).
-Gottfried Leibniz
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Agradecimientos
Gracias a Dios por haberme permitido culminar una etapa más en mi vida y colocar en mi
camino a personas tan maravillosas que me brindan su apoyo.
Agradezco a mis padres por seguir haciendo de mí una persona de bien, con principios y
valores. Los triunfos que hoy en día tengo son de ustedes, yo simplemente soy reflejo de su
amor, humildad, cariño y comprensión. Mi único triunfo y que toda la vida he de celebrar, el
de tener a los mejores padres que dios puede brindar a un hijo. Una madre amorosa, de valores
familiares, tierna, excelente amiga y que no importa la edad siempre tiene tiempo para ti. Un
padre responsable, disciplinado, trabajador como pocos, humilde y sincero, en el que siempre
habrá un gran consejo. Creo que faltan palabras para describir tanto apoyo!!, gracias por estar
siempre para nosotros y sacrificar hasta el ultimo aliento, los amo padres....
A mi esposa, amiga, compañera y confidente para toda la vida, que emprendió este viaje
junto a mí hace 2 años y que también lucho conmigo. La vida es mas fácil y maravillosa con
una mujer como tu, que sacrifican todo por salir adelante como familia y pareja. Iris gracias
por tanto amor y dedicación en tu labor de esposa y compañera, dios recompensara toda tu
fortaleza mi vida.
A mi hermano Alejandro, mi cuñada Valeria y valiosa suegra Marylu de los cuales siempre
escuche palabras de aliento en momentos difíciles. A mis amigos, compañeros y alumnos del
Dojo (oss!), que sacrificaron su tiempo y entrenamiento.
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Agradezco a mi director de tesis Dr.Jesús Alberto Sandoval Galarza; por compartir su vasto
conocimiento y por la paciencia que me tuvo durante este proceso. Gracias por los valores,
motivación y pasión, con la cual realiza su labor docente y de investigador, un verdadero ejemplo
de ser humano a seguir.
Gracias a mi compañero de posgrado, Ing. Jerónimo Moyron Durán, por ser parte fundamental
en mi proceso académico. Por esas horas extra-clase, pero sobre todo por lo que no encuentras
en cualquier persona, una gran y confiable amistad!.
Un enorme agradecimiento a la MSC. Iliana Castro Liera, por su valioso tiempo y apoyo
cada semestre. Una gran persona que realiza su trabajo con pasión, dedicación y amor. De igual
manera para el Dr. Marco Antonio Castro Liera y el MATI. Luis Armando Cárdenas Florido por
sus sabios y oportunos consejos en cada avance presentado durante el desarrollo de mi trabajo.
Agradezco también al MSC. Cesar Higuera Verdugo, MSC. Abigail Chargoy y MSC. Diego
García Molleda, por su apoyo en la parte experimental y dentro del laboratorio. Así como a
todo el contingente de investigadores que pusieron su grano de arena.
Agradezco a CONACYT por otorgarme una beca, la cual fue un gran apoyo económico
durante este periodo y al Tecnológico Nacional de México a través del Instituto Tecnológico de
La Paz, por recibirme una vez más como alumno, ahora de posgrado.
Continuara?....
Resumen
Se presenta una plataforma didáctica de un sistema carro-péndulo la cual ha sido diseñada
y construida en forma modular caracterizada por aprovechar el hardware-software de la marca
QUANSER R© (un servo motor, una tarjeta de adquisición de datos y el software QUARC R©)
con que cuenta el laboratorio de control de vehículos móviles (División de Estudios de Posgrado
e Investigación) del Instituto Tecnológico de La Paz. Este sistema es popular en numerosos
laboratorios de control automático debido las características que describen su comportamiento
físico. La modularidad de la plataforma, que puede ser ensamblada y desarmada manualmente
permite reducir el espacio de almacenamiento. Se presentan resultados experimentales para
validar el desempeño de un Regulador Cuadrático Lineal (LQR) diseñado para el control de
posición del carro-péndulo propuesto y un control no lineal diseñado con una extensión del
método IDA-PBC (Interconnection and Damping Assingment Passivity-Based Control) donde
se obtiene un controlador en términos de voltaje en lugar de par.
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Abstract
A didactic platform of a cart–pole system which has been designed and built in a modular
way characterized by leveraging the QUANSER R© hardware-software (a servo motor, a data
acquisition card and the QUARC R©software) with which has the mobile vehicle control laboratory
(Division of Postgraduate Studies and Research) of the Technological Institute of La Paz. This
system is popular in numerous automatic control laboratories due to the characteristics that
describe their physical behavior. The modularity of the platform, which can be assembled and
disassembled manually, reduces storage space. Experimental results are presented to validate
the performance of a Linear Quadratic Regulator (LQR) designed for position control cart–
pole proposed and a non-linear control designed with an extension of the IDA-PBC method
( Interconnection and Damping Assingment Passivity-Based Control ) where a controller is
obtained in terms of voltage instead of torque.
v
Índice general
1. Introducción 1
1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Descripción del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Propuesta de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6. Limitaciones y alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Diseño y construcción del prototipo 6
2.1. Elementos mecánicos del prototipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1. Unidad QUANSER R© SRV02 (Rotary Servo Base Unit) . . . . . . . . . 6
2.1.2. Poleas y correa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3. Prensa de soporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4. Carro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5. Péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.6. Base fija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Elementos para la adquisición de datos y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Elementos de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Construcción y costo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
vi
ÍNDICE GENERAL vii
3. Modelo y control del sistema 16
3.1. Modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1. Ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . .. . . . 16
3.1.2. Función de energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.3. Función de energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.4. Modelo carro-péndulo con motor de CD (actuador) . . . . . . . . . . . . 21
3.1.5. Identificación paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Algoritmos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1. Diseño de un regulador lineal cuadrático (LQR) . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2. Diseño de IDA-PBC en voltaje para regulación del sistema . . . . . . . . 29
3.3. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1. Resultados para LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.2. Resultados para IDA-PBC con extensión en voltaje . . . . . . . . . . . . 43
4. Conclusiones 45
4.1. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A. Manual de usuario 47
A.0.1. Ensamble del prototipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.0.2. Conexión de la etapa de adquisición de datos y potencia . . . . . . . . . 51
B. Planos isométricos 52
C. Código MATLABr y Simulink 60
C.0.1. Regulador Lineal Cuadrático (LQR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
C.0.2. IDA-PBC con extensión en voltaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Bibliografía 74
Índice de figuras
1.1. Familia de péndulos invertidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Diagrama esquemático de un sistema carro-péndulo. . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1. Servo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Componentes para transmisión de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Prensa soporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4. Carro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5. Propiedades físicas estimadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6. Péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7. Contra base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8. Adquisición de datos y etapa de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9. Paro de emergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.10. Prototipo final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11. Sistema completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1. Diagrama esquemático de un sistema carro-péndulo. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Circuito eléctrico del motor CD y tren de engranes . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3. Modelo fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Respuesta velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5. Resultados de simulación y experimentales del LQR . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6. Resultados de simulación y experimentales del IDA-PBC . . . . . . . . . . . . . 44
A.1. Colocacion de polea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.2. Colocacion de prensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.3. Ensamble de guías y carro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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ÍNDICE DE FIGURAS ix
A.4. Colocacion de soporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.5. Clips de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.6. Clips de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.7. Conexion tipica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
C.1. Diagrama de implementación en Simulink para LQR . . . . . . . . . . . . . . . 64
C.2. Diagrama de implementación en Simulink para IDA-PBC . . . . . . . . . . . . . 69
C.3. Diagrama del bloque Ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Índice de tablas
2.1. Presupuesto de fabricación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1. Parámetros de la unidad SRV02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Parámetros del carro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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Capítulo 1
Introducción
Tomando su nombre del latín pendere, que significa colgar, el péndulo es uno de los ejemplos
más importantes en dinámica y se ha estudiado ampliamente desde la época de Galileo. De hecho,
el estudio empírico de Galileo sobre el movimiento del péndulo planteó cuestiones importantes
en la mecánica que fueron contestadas solo con la formulación de Newton de las leyes del
movimiento y el trabajo posterior de otros.
En los últimos años la familia de péndulos invertidos (Figura 1.1) se ha colocado dentro de
los sistemas más utilizados en el campo de investigación del control automático y la robótica.
El gran interés se debe principalmente a sus características de no-linealidad e inestabilidad, lo
cual permite el desarrollo o control de sistemas empleados en la industria o nueva tecnología,
el despegue de un cohete y la marcha bípeda por mencionar algunos. Por tal motivo los
sistemas tipo pendular se pueden considerar como herramientas esenciales para las instituciones
que realizan investigaciones en el campo de la robótica, teoría de control y automatización.
Dentro de esta familia el sistema carro-péndulo, a pesar de su simplicidad, como plataforma
de validación de algoritmos de control resulta atractivo para estudiantes e investigadores que
buscan comprobar sus resultados, ya sea de nuevos controladores o de aquellos establecidos en
la literatura, por lo que la simulaciones mediante software no son suficientes y se hace necesario
la implementación de dispositivos operativos reales que faciliten la validación de los objetivos,
requerimientos, métodos y teoría de las acciones de control [2], [3].
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.1: Familia de péndulos invertidos
El sistema carro-péndulo empleado comúnmente en la literatura de control para fines didácticos
es un sistema mecánico subactuado que consiste de un carro moviéndose horizontalmente con
un péndulo acoplado al carro, el cual gira libremente (Figura 1.2). El desplazamiento del carro
es controlado con un actuador que aplica una fuerza sobre él, mientras la ausencia de actuación
en el péndulo determina la naturaleza subactuada del mecanismo [4].
Figura 1.2: Diagrama esquemático de sistema carro-péndulo.
2
1.1. ANTECEDENTES
1.1. Antecedentes
1.2. Descripción del problema
La adquisición de equipos mecatrónicos comerciales presenta varias limitaciones:
Alto costo.
Algoritmos encriptados que no permiten validar diferentes algoritmos de control.
Demora en reparaciones con el proveedor.
Costo anual por actualización del software.
Además, uno de los problemas de los laboratorios en la actualidad es el espacio para
resguardar el equipo por lo que es deseable contar con equipo modular que pueda transportarse
y desmontarse fácilmente, así como mantener el buen desempeño de su funcionamiento por un
largo periodo.
1.3. Objetivos
1.3.1. Objetivo general
Diseñar, construir y controlar un prototipo carro-péndulo, para la validación experimental
de algoritmos de control.
1.3.2. Objetivos específicos
Obtener el modelo dinámico del prototipo.
Identificar los parámetros del prototipo.
Validar mediante simulación y de manera experimental, una ley de control lineal y/o no
lineal.
3
1.4. PROPUESTA DE SOLUCIÓN
1.4. Propuesta de solución
Es posible el diseño, construcción y control de un sistema carro-péndulo, aprovechando el
equipo existente en el laboratorio de control de vehículos móviles, para la validación experimentalde algoritmos de control.
1.5. Justificación
En el laboratorio de control de vehículos móviles en la División de Estudios de Posgrado e
Investigación (DEPI), del Instituto Tecnológico de La Paz (ITLP), se carece de un prototipo
carro-péndulo que permita validar experimentalmente varios algoritmos de control, lo cual limita
los resultados para trabajos de investigación.
1.6. Limitaciones y alcance
Se realizó el diseño modular, construcción y control de un sistema carro-péndulo, que permite
valorar su funcionamiento mediante algoritmos de control. El prototipo es funcional para un
laboratorio de investigación y ofrece versatilidad por su fácil manejo.
La principal limitación es la adquisición de componentes que no se ofrecen en la localidad
en caso de una reparación o sustitución del equipo comercial que se ha integrado.
4
1.7. METODOLOGÍA
1.7. Metodología
La metodología que se siguió abordó los siguientes puntos:
Estudio del estado del arte del sistema carro-péndulo y de técnicas de control, mediante
la revisión de literatura, publicaciones especializadas y de tesis relacionadas con el diseño,
modelo y control de la familia de péndulos invertidos.
Elaboración del diseño tridimensional del prototipo, con ayuda de un software de diseño
3D que permita obtener el dimensionado del sistema, manteniéndose al margen de que
sea un prototipo compacto que permita su fácil transportación y ensamblaje, así como la
adquisición de los materiales para su construcción.
Obtención del modelo matemático, considerando los parámetros pertinentes y las tareas
a desarrollar por el sistema.
Validación mediante simulación de una ley de control aplicada al modelo del sistema.
Construcción del prototipo diseñado con la ayuda de herramienta y equipo necesario para
su elaboración.
5
Capítulo 2
Diseño y construcción del prototipo
En el presente capítulo se explica el diseño y desarrollo de cada una de las partes que
conforman al prototipo. Algunos de los componentes empleados para el diseño y la fabricación
del equipo ya se encontraban en el laboratorio de control de vehículos móviles de la DEPI, para
el diseño se buscó que el equipo fuera modular tal que las dimensiones de cada una de las piezas
fabricadas se ajustaron al equipo existente de la marca Quanser R©. Cada una de las piezas
fabricadas se diseñaron con apoyo del software inventor 2018 de AutoDesk R©, para después ser
impresas en una impresora 3D. Las dimensiones y los detalles físicos se anexan en el apéndice
B.
2.1. Elementos mecánicos del prototipo
2.1.1. Unidad QUANSER R© SRV02 (Rotary Servo Base Unit)
La unidad Quanser SRV02 (Figura 2.1), consta de un motor de CD que está fijo en un marco
de aluminio sólido y está equipado con una caja de engranajes planetarios. El motor tiene su
propia caja de engranajes interna que impulsa engranajes externos. El SRV02 está equipado
con tres sensores: potenciómetro, encoder y tacómetro. La medición de la posición del engrane
de carga se realiza mediante el encoder (DBPEN-ROT) el cual ofrece una resolución de 4096
conteos por revolución en modo cuadratura.
6
2.1. ELEMENTOS MECÁNICOS DEL PROTOTIPO
El motor DC, modelo 2338S006 de Faulhaber Coreless DC Motor, tiene una alta eficiencia
y baja inductancia el cual puede obtener una respuesta mucho más rápida que un motor de CD
convencional. Se pueden consultar las especificaciones completas del motor en [1]. Como medida
de precaución, una señal de alta frecuencia aplicada al motor eventualmente dañará la caja de
engranajes y sus escobillas, para proteger el motor es necesario siempre limitar la señal a un
valor de 50 Hz.
Figura 2.1: Actuador incluido en unidad SRV02
2.1.2. Poleas y correa
La unidad SRV02 fue tomada como la base del diseño para el prototipo, de tal forma que
fuese fácil de ensamblar y sin afectar su correcto funcionamiento. Para proporcionar la fuerza
que origina el desplazamiento del carro se empleó una correa dentada (Figura 2.2a) con alma
de acero y un paso de 1 [mm] (desplazamiento mínimo del carro), la cual gira sobre dos poleas
dentadas del tipo GT2 (Figura 2.2b) con 40 dientes cada una y un paso de 1 [mm], la primera
montada sobre el eje del engrane de carga y la segunda sobre una base en el otro extremo con
las mismas dimensiones que la unidad SRV02.
7
2.1. ELEMENTOS MECÁNICOS DEL PROTOTIPO
(a) Correa (b) Polea GT2
Figura 2.2: Componentes para transmisión de movimiento
2.1.3. Prensa de soporte
El desplazamiento del carro se realiza sobre dos guías de 8 [mm] de acero inoxidable (Figura
2.3b), las cuales están sujetas en uno de sus extremos a la unidad SRV02 mediante una prensa
de soporte (Figura 2.3a) y dos bases de piso de 8 [mm] (Figura 2.3b). Este soporte puede ser
manipulado manualmente por el usuario (para montaje y desmontaje) mediante una tuerca
mariposa colocada en la parte inferior del soporte. Por motivo de seguridad del equipo y del
usuario, se instaló un interruptor límite como paro de emergencia del prototipo.
(a) Soporte (b) Riel y bases
Figura 2.3: Prensa soporte
8
2.1. ELEMENTOS MECÁNICOS DEL PROTOTIPO
2.1.4. Carro
Consiste en una plataforma que se desplaza de manera horizontal mediante dos rodamientos
lineales del tipo Scs8uu con 8 [mm] de diámetro interior y su cuerpo maquinado en aluminio, los
cuales se encuentran en la parte inferior del carro. Montado sobre el carro se localiza el encoder
(resolución de 4096 conteos por revolución en modo cuadratura) y su respectiva conexión, el
cual es encargado de medir la posición angular del péndulo (Figura 2.4).
Figura 2.4: Carro
Dentro de la gran variedad de herramientas que ofrece el software inventor, una de ellas
permite estimar de forma muy aproximada las propiedades físicas del diseño tan solo con
especificar los materiales de fabricación. En la figura 2.5 se muestran los valores de las propiedades
físicas del diseño del carro proporcionados por el software.
9
2.1. ELEMENTOS MECÁNICOS DEL PROTOTIPO
Figura 2.5: Propiedades físicas estimadas por el sotware inventor
10
2.1. ELEMENTOS MECÁNICOS DEL PROTOTIPO
2.1.5. Péndulo
Es parte del equipo Rotary Inverted Pendulum del mismo fabricante QUANSER R© y es
mostrado en la figura 2.6. Su longitud es de 0,337 [m] y tiene un momento de inercia de 0,0012
[kg.m2] [1]. Este va colocado por medio de una base y tornillo sobre el encoder del carro, el cual
le permite girar libremente.
Figura 2.6: Péndulo
2.1.6. Base fija
Las guías o rieles están sujetas en el otro extremo, también por dos bases de 8 [mm] y a
su vez están colocadas sobre una plataforma, cuya función es la de contrabase. Se coloca un
rodamiento KFL180 para una polea dentada tipo GT2 y un interruptor límite como paro de
emergencia del prototipo (Figura 2.7 ).
Figura 2.7: Contrabase
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2.2. ELEMENTOS PARA LA ADQUISICIÓN DE DATOS Y POTENCIA
2.2. Elementos para la adquisición de datos y potencia
La adquisición de datos se realiza con la tarjeta Q8-USB v2, la cual ofrece un rendimiento
confiable en tiempo real a través de una interfaz USB y una placa de terminales para facilitar
el acceso rápido a las señales. Para la etapa de potencia se emplea la unidad VoltPAQ-X1
Amplifier, este amplificador de potencia controlado por voltaje lineal están diseñado para lograr
un alto rendimiento. Ambos componentes son de la marca QUANSER R©, y se pueden consultar
sus fichas técnicas en [5].
(a) Q8-USB v2 (b) VoltPAQ-X1 Amplifier
Figura 2.8: Adquisición de datos y etapa de potencia
2.3. Elementos de seguridad
Para seguridad del equipo y el usuario, como ya se mencionó anteriormente, el sistema
cuenta con un par de interruptores límite de final de carrera con palanca de lámina y rodaja
(Figura 2.9a), de 5 Amperes y 125 Vca, su vida útil es de 200,000 operaciones eléctricas y
100,000 mecánicas [6]. Para detener al sistema se diseñó un circuito de parada, el cual funciona
mediante el enclavamiento de un relé activado por los interruptores límite o de forma manual
por el botón de paro(Figura 2.9b). El esquema electrónico se muestra en el apendice B.
12
2.4. CONSTRUCCIÓN Y COSTO
(a) Interruptor límite (b) Botón de paro
Figura 2.9: Paro de emergencia
2.4. Construcción y costo
Las piezas diseñadas se imprimieron mediante una impresora 3D de la marca CREATOR
PRO, y en un polímero de ácido poliláctico (PLA, Polylactic acid or polylactide) con un diámetro
de 1.75 [mm] y en un 30 % de relleno. El ácido poliláctico es un polímero biodegradable derivado
del ácido láctico, es un material altamente versátil, que se hace a partir de recursos renovables
al 100 %, como son la maíz, la remolacha, el trigo y otros productos ricos en almidón. Este ácido
tiene muchas características equivalentes e incluso mejores que muchos plásticos derivados del
petróleo, lo que hace que sea eficaz para una gran vardad de usos [7]. La tabla ?? muestra el
presupuesto de los materiales adquiridos, la figura 2.10 muestra el prototipo terminado y la
figura 2.11 el equipo montado para su operación.
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2.4. CONSTRUCCIÓN Y COSTO
Accsesorio Cantidad Peso unitario
(peso)
Unidad
Chumacera 8mm Kfl08, para
husillo 9 [mm]
1 55.00 pza
Balero Lineal [8mm] Sc8u 1 64.00 pza
Soporte Para Guía Lineal O
Varilla Lisa [8mm], Sk8
4 42.00 pza
Banda Dentada Gt2, Paso:
1[mm] Ancho: 6 [mm]
2 45.00 [m]
Polea Gt2 Interior 8 [mm], para
banda 6 [mm]
4 32.00 pza
Guía Lineal 8 [mm] X500, Barra
Cromada 8 [mm], Para Sc8uu
1 150.00 [m]
Botón de paro dos tiros 1 175.00 pza
Interruptores límite 1 5.00 pza
Componentes electrónicos
(varios)
1 300.00 pza
Cable duplex cal. 14 por metro 2 15.00 [m]
Filamento PLA, diámetro 1.75
[mm], por kilogramo
0.25 110.00 [kg]
TOTAL 1,475.00
Tabla 2.1: Presupuesto de fabricación
14
2.4. CONSTRUCCIÓN Y COSTO
Figura 2.10: Prototipo final
Figura 2.11: Equipo completo en funcionamiento
15
Capítulo 3
Modelo y control del sistema
En este capítulo se presenta el modelo dinámico del sistema carro-péndulo, así como resultados
experimentales para validar el desempeño de un Regulador Cuadrático Lineal (LQR) diseñado
para el control de posición del carro-péndulo propuesto y un IDA-PBC (Interconnection and
Damping AssingmentPassivity-Based Control) en voltaje para regulación del sistema.
3.1. Modelo matemático
El modelo dinámico de un sistema permite explicar fenómenos físicos intrínsecos o propios de
la naturaleza del sistema. La mecánica analítica representa la herramienta sólida de las ciencias
exactas para formular modelos matemáticos de sistemas mecánicos, en este contexto la dinámica
es la parte de la física que estudia la relación que existe entre las fuerzas que actúan sobre un
cuerpo y el movimiento que en él se origina [8].
3.1.1. Ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange
Las ecuaciones dinámicas del sistema pueden obtenerse a partir de las ecuaciones de movimiento
de Newton, pero en este caso, se emplean las ecuaciones de movimiento de Lagrange. Estas
últimas reciben el nombre de Lagrange, debido a que fue el primero que las dio a conocer en
1788 [9] [10].
16
3.1. MODELO MATEMÁTICO
Considerando el sistema mostrado en la figura 3.1. La energía total E del sistema es la suma
de sus energías cinética K(q(t), q̇(t)) y potencial U(q(t)):
E(q(t), q̇(t)) = K(q(t), q̇(t)) + U(q(t))
donde q(t) = [q1(t), q2(t)]T es el vector de posiciones y q̇(t) = [q̇1(t) q̇2(t)]T es el vector de
velocidades.
El lagrangiano L(q(t), q̇(t)) del sistema es la diferencia entre su energía cinética K(q(t), q̇(t))
y su energía potencial U(q(t)):
L(q(t), q̇(t)) = K(q(t), q̇(t)) − U(q(t)) (3.1)
Las ecuaciones de movimiento de Lagrange para el sistema, vienen dadas por:
d
dt
[
∂L(q, q̇)
∂q̇
]
− ∂L(q, q̇)
∂q̇
= τ (3.2)
donde τ es el par que origina la fuerza para el desplazamiento del carro así como las fuerzas no
conservativas (fricción)[8].
Figura 3.1: Diagrama esquemático de un tpico sistema carro-péndulo.
donde M es la masa del carro, m la masa del péndulo, I el momento de inercia del péndulo, q1
y q2 la posición del carro y péndulo respectivamente, q̇1 y q̇2 la velocidad del carro y péndulo,
17
3.1. MODELO MATEMÁTICO
g es la aceleración de la gravedad
3.1.2. Función de energía cinética
De la figura 3.1, se establece la posición lineal del carro xc
xc = q1 (3.3)
y para la posición angular del péndulo
 xp
yp
 =
 q1 + lsen(q2)
lcos(q2)
 (3.4)
de (3.3) y (3.4) se obtiene las velocidades correspondientes
v̇c = q̇1 (3.5)
 ẋp
ẏp
 =
 q̇1 + lcos(q2)q̇2
−lsen(q2)q̇2
 (3.6)
De acuerdo a la definición de energía cinética K(q(t), q̇(t)) = 12m ‖ v ‖
2= 12mv
T v, de (3.3)
la función de energía cinética para el carro Kc(q(t), q̇(t)) resulta:
Kc(q(t), q̇(t)) =
1
2Mv
2
c =
1
2Mq̇
2
1 (3.7)
De (3.6) la función de energía cinética para el péndulo
‖ v ‖2= vT v =
[
q̇1 + lcos(q2)q̇2 −lsen(q2)q̇2
]  q̇1 + lcos(q2)q̇2
−lsen(q2)q̇2
 ,
‖ v ‖2= (q̇1 + lcos(q2)q̇2)2 + (−lsen(q2)q̇2)2 ,
18
3.1. MODELO MATEMÁTICO
‖ v ‖2= q̇21 + 2lcos(q2)q̇1q̇2 + l2q̇22, (3.8)
Kp(q(t), q̇(t)) =
1
2m ‖ v ‖
2 +12Iq̇
2
2,
Kp(q(t), q̇(t)) =
1
2mq̇
2
1 + mlcos(q2)q̇1q̇2 +
1
2
[
ml2 + I
]
q̇22. (3.9)
quedando la función de energía cinética total K(q(t), q̇(t)), como la suma de kc y kp
K(q(t), q̇(t)) = 12 [M + m] q̇
2
1 + mlcos(q2)q̇1q̇2 +
1
2
[
ml2 + I
]
q̇22 (3.10)
3.1.3. Función de energía potencial
La energía potencial de un objeto depende de su altura respecto a un punto de referencia
(potencial cero) [11]. En el caso del carro se observa que su altura nunca cambia respecto al eje
de desplazamiento horizontal, por lo que se puede tomar esa altura como la referencia, por lo
que su energía potencial Uc(q(t)) = 0 y para el péndulo
Up(q(t)) = mglcos(q2) (3.11)
Por tanto, sustituyendo (3.10) y (3.11) en (3.1), obtenemos el lagrangiano del sistema
L(q, q̇) = 12 [M + m] q̇
2
1 + mlcos(q2)q̇1q̇2 +
1
2
[
ml2 + I
]
q̇22 − mglcos(q2) (3.12)
Desarrollando (3.2) de acuerdo a (3.12), se obtiene
∂L(q, q̇)
∂q̇1
= [M + m] q̇1 + mlcos(q2)q̇2,
d
dt
[
∂L(q, q̇)
∂q̇1
]
= [M + m] q̈1 + ml
[
cos(q2)q̈2 − sen(q2)q̇22
]
,
∂L(q, q̇)
∂q1
= 0,
19
3.1. MODELO MATEMÁTICO
esto es, la primera ecuación queda:
[M + m] q̈1 + mlcos(q2)q̈2 − mlsen(q2)q̇22 = τ (3.13)
Por otro lado, para la segunda ecuación procedemos de manera similar como sigue:
d
dt
[
∂L(q, q̇)
∂q̇2
]
= mlcos(q2)q̇1 +
[
ml2 + I
]
q̇2,
d
dt
[
∂L(q, q̇)
∂q̇2
]
= ml [cos(q2)q̈1 − sen(q2)q̇1q̇2] +
[
ml2 + I
]
q̈2,
∂L(q, q̇)
∂q2
= −mlsen(q2)q̇1q̇2 + mlgsen(q2)
y la segunda ecuación resulta:
mlcos(q2)q̈1 +
[
ml2 + I
]
q̈2 − mlgsen(q2) = 0 (3.14)
donde g es la aceleración de la gravedad.
Las ecuaciones de movimiento sin considerar fricción, pueden ser escritas en forma compacta
como:
M(q)q̈ + C(q, q̇)q̇ + g(q) = τ (3.15)
donde M(q) es la matriz de inercias, C(q) es la matriz de fuerzas centrífugas y de Coriolis, g(q)
es el vector de pares gravitacionales y τ es el vector de fuerzas externas.
20
3.1. MODELO MATEMÁTICO
Para el modelo del carro–péndulo (3.15), se tiene que
M(q) =
(M + m) mlcos(q2)
mlcos(q2) (ml2 + I)
 , (3.16)
C(q, q̇) =
0 −ml sen(q2)q̇2
0 0
 , (3.17)
g(q) =
 0
−mgl sen(q2)
 , (3.18)
τ =
u
0
 , (3.19)
u es la fuerza aplicada al carro para su desplazamiento traslacional. Por tanto, el modelo
dinámico (3.15) con (3.16)-(3.19) puede ser reescrito explícitamente de la siguiente manera:
[M + m]q̈1 + mlcos(q2)q̈2 − mlsen(q2)q̇22 = u, (3.20)
mlcos(q2)q̈1 + [ml2 + I]q̈2 − mglsen(q2) = 0. (3.21)
3.1.4. Modelo carro-péndulo con motor de CD (actuador)
Dado que el par que genera la fuerza para mover el carro es originado por el motor (actuador),
se puede considerar como entrada de control el voltaje aplicado en las terminales del mismo. Para
esto es necesario considerar la dinámica del actuador en el modelo del sistema carro-péndulo.
Para obtener el modelo dinámico del motor, se considera el esquema mostrado en la figura 3.2.
Se asume que idealmente la fuerza contraelectromotriz eg es proporcionala la velocidad de
rotación del rotor, ωm, y la constante de fuerza contraelectromotriz del motor km está dada por
eg = kmωm (3.22)
Por la ley de voltajes de Kirchhoff puede obtenerse
Va − Raia − La
dia
dt
− kmωm = 0 (3.23)
donde Va es el voltaje aplicado en las terminales del motor, ia es la corriente de armadura,
21
3.1. MODELO MATEMÁTICO
Figura 3.2: Circuito eléctrico del motor CD y tren de engranes
Ra y La son la resistencia de armadura e inductancia del motor, respectivamente.
Por otro lado, de acuerdo a la segunda ley de Newton, Jα = τ , la inercia de carga incluye
la inercia del tren de engranes y de cualquier carga externa conectada. La ecuación del eje del
motor es expresado como
Jm
dωm
dt
+ Bmωm + τml = τm (3.24)
donde Jm es el momento de inercia del motor, τml es el par de la carga reflejada sobre el eje del
motor y Bm el coeficiente de fricción viscosa en el eje del motor. El par del motor expresado
en término de la corriente de armadura, la eficiencia del motor ηm y su constante de par kt, se
define como
τm = ηmktia (3.25)
Si se define el par en el eje de la carga τl, por efecto de un par motor, como el producto de la
eficiencia del tren de engranes ηg, la ganancia por la relación de engranes kg y τml
τl = ηgkgτml (3.26)
se puede expresar τml de (3.26)
τml =
τl
ηgkg
(3.27)
considerando la relación del tren engranes y la eficiencia del mismo, la velocidad del motor ωm
22
3.1. MODELO MATEMÁTICO
puede definirse como
ωm = kgωl. (3.28)
De (3.25) resolviendo para la corriente de armadura, y asumiendo que la inductancia del motor
puede despreciarse (La ∼= 0), se tiene que
ia =
Va − kmωm
Ra
(3.29)
sustituyendo (3.29) en (3.25)
τm = ηmkt
(
Va − kmωm
Ra
)
(3.30)
igualando (3.24) y (3.30), y sustituyendo (3.27), τl queda
Jm
dωm
dt
+ Bmωm +
τl
ηgkg
= ηmkt
(
Va − kmωm
Ra
)
, (3.31)
τl =
ηgkgηmkt
Ra
Va −
(
ηgkgηmktkm
Ra
+ ηgkgBm
)
ωm
−ηgkgJm
dωm
dt
. (3.32)
La velocidad angular en el eje de la carga ωl, en este caso la polea dentada, expresada en
términos de la velocidad del carro q̇1 y el radio r de la polea, resulta
ωl =
q̇1
r
(3.33)
para expresar la velocidad angular en el eje del motor en términos del desplazamiento lineal del
carro, se sustituye (3.33) en (3.28)
ωm = kg
q̇1
r
(3.34)
De la definición de par, el par en el eje de carga es
τl = Fr (3.35)
donde la fuerza F es perpendicular a la dirección del radio r de la polea desde su centro, y es
responsable del desplazamiento del carro. Si igualamos (3.35) con (3.32) y sustituimos (3.34)
23
3.1. MODELO MATEMÁTICO
para obtener F , se obtiene
F = KvVa − Beq q̇1 − Jeq q̈1 (3.36)
donde las constantes están definidas como
Kv =
ηgkgηmkt
rRa
,
Beq =
ηgk
2
gηmktkm
r2Ra
+
ηgk
2
g
r2
Bm,
Jeq =
ηgk
2
gJm
r2
,
por conveniencia y dado que el par que genera la fuerza para mover el carro es originado por el
motor, éste se puede expresar en términos de un voltaje aplicado en las terminales del motor,
igualando (3.36) y (3.20), resulta
[M + m + Jeq]q̈1 + mlcos(q2)q̈2 − ml sen(q2)q̇22 + Beq q̇1 = KvVa (3.37)
Las ecuaciones (3.21) y (3.37) representan la dinámica completa del sistema en términos del
voltaje aplicado al motor.
Finalmente, para regulación (control de posición), el objetivo de control consiste en llevar
al péndulo a la posición vertical superior, q2 = 0, con el carro en una posición deseada qd1,
iniciando desde una vecindad de esta configuración, donde la posición deseada del carro está
acotada por los límites físicos del mecanismo. Formalmente, el objetivo de control puede ser
establecido como
ĺım
t→∞
q1(t)
q2(t)
 =
qd1
0
 . (3.38)
3.1.5. Identificación paramétrica
A continuación se presenta el procedimiento utilizado (método reportado en [12]) para
obtener los parámetros que intervienen en el cálculo del modelo dinámico del mecanismo. La
masa total del carro se obtuvo fácilmente midiendo el peso de las piezas con una báscula, el valor
obtenido fue de 0.258 [Kg]. También se obtuvieron los valores de los coeficientes de Coulomb
(fc) y de fricción viscosa ( fv ) para el carro.
24
3.1. MODELO MATEMÁTICO
En este procedimiento los autores aprovechan la respuesta de velocidad como punto de
partida, suponiendo que el voltaje aplicado a la etapa de potencia es proporcional al par generado
por el motor y al aplicar un voltaje de entrada tipo rampa, puede considerar que la fuerza
aplicada al motor es la de la forma f(t) = mt, donde t es el tiempo en [s] y m es la pendiente
de la rampa en [N/s].
De acuerdo a [12], idealmente la velocidad del sistema a una entrada rampa debe ser como
se muestra en la figura 3.3 y se pueden determinar los valores de a (pendiente de la rampa a
velocidades grandes) y b (cruce de la rampa de velocidad con el eje vertical). Para emplear las
siguientes expresiones:
fv =
m
a
(3.39)
fc =
b
a
m (3.40)
Figura 3.3: Modelo de fricción viscosa más fricción de Coulomb (Memoryless Model)
25
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
Figura 3.4: Respuesta de velocidad del carro a una entrada rampa con m = 0,5 [V/s]
Se realizó el experimento con una entrada rampa 0,5 [V/s], la figura 3.4 muestra la respuesta
de la velocidad obtenida. La línea de color rojo es la respuesta del carro en el experimento y
en color azul se muestra la simulación con los parámetros ya calculados. Con esta respuesta se
tomaron los valores de a y b, para después con (3.41) y (3.42) obtener:
fv = 33,33 [Nm s/rad] (3.41)
fc = 0,15 [Nm] (3.42)
3.2. Algoritmos de control
3.2.1. Diseño de un regulador lineal cuadrático (LQR)
Puede verificarse que es posible obtener un modelo lineal alrededor del origen [q1 q2 q̇1 q̇2]T =
[0 0 0 0]T usando la serie de Taylor para aproximar el modelo no lineal (3.21) y (3.37) dado
por [3]:
mlq̈1 + [ml2 + I]q̈2 − mglq2 = 0, (3.43)
[M + m + Jeq]q̈1 + mlq̈2 + Beq q̇1 = KvVa (3.44)
26
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
Enseguida, se define el vector de estados
x =
[
x1 x2 x3 x4
]T
=
[
q1 q2 q̇1 q̇2
]T
(3.45)
con el fin de reescribir el modelo lineal (3.43) y (3.44) en su forma canónica:
ẋ = Ax + Bu, (3.46)
y = Cx. (3.47)
Por tanto, luego de algunas manipulaciones algebraicas, el modelo (3.43) y (3.44) queda expresado
de la siguiente manera
d
dt

ẋ1
ẋ2
ẋ3
ẋ4

=

ẋ3
ẋ4
−IeqBeqx4−gl2m2x2+IeqKvVa
D
mlBx4+ml(M+m+Jeq)gx2−mlKvVa
D

(3.48)
donde D = −m2l2 + (M + m + Jeq)Ieq con Ieq = ml2 + I. Note que la entrada de control de este
modelo linealizado sigue siendo el voltaje Va. Considerando los valores numéricos de las tablas
3.1 y 3.2 en (3.48), se obtienen las matrices en (3.46) y (3.47) en forma numérica:
27
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
A =

0 0 1 0
0 0 0 1
0 −0,2 −37,57 0
0 46,2 173,5 0

, (3.49)
B =

0
0
1,4
−6,5

, (3.50)
C =
1 0 0 0
0 1 0 0
 . (3.51)
Tabla 3.1: Parámetros de la unidad SRV02
Símbolo Descripción Valor
Ra Resistencia de armadura 2,6 Ω
kt Constante de par del motor 7,68 × 10−3
[
Nm
A
]
km Constante de fuerza contraelectromotriz 7,68 × 10−3
[
V
rad/s
]
kg Relación de transmisión total de 70
alta velocidad
ηm Eficiencia del motor 0.69
ηg Eficiencia de caja de engranes 0.90
Jm Momento de inercia del rotor 3,9 × 10−7 [Kg m2]
Bm Coeficiente de fricción viscosa 1,5 × 10−4
[
Nm
rad/s
]
28
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
Tabla 3.2: Parámetros del carro
Símbolo Descripción Valor
m Masa del péndulo 0,127 [kg]
l Distancia del pivote al centro de masa 0,156 [m]
fv Fricción viscosa del carro 33,33 [Nm s/rad]
fc Fricción de Coulomb 0,15 [Nm]
M Masa del carro 0,258 [kg]
Para el diseño del LQR se utilizó el software MATLAB R©, con el fin de determinar la matriz
de ganancias K de la ley de control:
Va = −Kx (3.52)
ya que el modelo (3.48) con (3.49)-(3.51) es controlable. La matriz K fue obtenida con el
comando lqr, la cual está dada por
K =
[
−14,14 −105,99 −58,65 −16,14
]
(3.53)
donde se asignaron Q y R comoQ =

1000 0 0 0
0 1500 0 0
0 0 10 0
0 0 0 100

,
R = 1.
3.2.2. Diseño de IDA-PBC en voltaje para regulación del sistema
El método de interconexón e inyección de amortiguamiento (IDA) —una extensión del
Control Basado en Pasividad (PBC)— introducido en [13] permite asignar una dinámica deseada
en malla cerrada. Fue motivado por el paradigma de control por moldeo de energía e inyección
de amortiguamiento y está demostrado que el moldeo de energía y diseños de control basados en
pasividad, son efectivos al resolver problemas de control para una clase de sistemas mecánicos
subactuados [14].
29
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
El método IDA-PBC en [13] permite diseñar una ley de control en términos de un par
mecánico y en ocasiones debe ser convertido a un voltaje para su implementación en sistemas
mecánicos accionados por motores eléctricos. Para lograr la conversión de par a voltaje, una
estrategia natural es incorporar la dinámica de los actuadores al esquema de control, sin
embargo, estos elementos adicionales no son considerados comúnmente en el diseño y análisis
del sistema de control. En [15] se presentó una extensión del método IDA-PBC que incorpora la
dinámica de motores eléctricos de corriente directa (CD) con escobillas e imánes permanentes.
El método IDA-PBC
En el caso de los sistemas mecánicos subactuados, el mayor reto que presenta el método
IDA-PBC es el resolver un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales (PDE’s) para el diseño
de la ley de control y cuya solución, en general, es una tarea difícil. De manera breve se describe
el método IDA-PBC reportado en [13].
El método IDA-PBC se basa en una estructura matemática tipo hamiltoniana de una clase de
sistemas mecánicos subactuados, en el que la función de energía total es la suma de la función
de energía cinética más la función de energía potencial del sistema mecánico1
H(q, p) = 12 p
>M−1(q)p + V (q) (3.54)
donde q ∈ IRn y p ∈ IRn son los vectores de posiciones y momentos generalizados, respectivamente,
M = M> > 0 es la llamada matriz de inercia y V es la energía potencial, la cual se supone que
es al menos una vez diferenciable.
Para el sistema sin amortiguamiento natural, las ecuaciones de movimiento pueden ser
escritas como
d
dt
q
p
 =
 0 In
−In 0

∇qH
∇pH
+
 0
G(q)
u (3.55)
donde u ∈ IRm es el vector de entradas de control con la matriz G, tal que el rango de G = m,
1Para simplificar las expresiones, los argumentos de todas las funciones serán omitidas, y serán explícitamente
escritas sólo cuando la función sea definida por primera vez.
30
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
con m < n, ∇(.) = ∂∂(.) . Esta metodología asigna una estructura deseada en lazo cerrado imitando
la estructura en (3.55). Por tanto la función de energía deseada para el sistema está dada por:
Hd(q, p) =
1
2 p
>M−1d (q)p + Vd(q) (3.56)
donde Md = M>d > 0 y Vd son la matriz de inercia y la función de energía potencial deseadas,
respectivamente, donde Vd se supone que es al menos una vez diferenciable. El sistema en lazo
cerrado es
d
dt
q
p
 =
 0 M−1Md
−MdM−1 J2(q, p) − GKvG>

∇qHd
∇pHd

(3.57)
donde J = −JT2 y Kv = KTv > 0 son matrices libres para el usuario en el diseño de la ley de
control. La principal dificultad en el diseño de la ley de control u es encontrar las soluciones
Md y Vd que resuelvan el siguiente conjuto de PDE’s
G⊥
[
∇q
(
p>M−1p
)
− MdM−1∇q
(
p>M−1d p
)
+
2J2M−1d p
]
= 0n−m, (3.58)
G⊥
[
∇qV − MdM−1∇qVd
]
= 0n−m, (3.59)
las cuales definen la ley de control dada por
u = [GT G]−1GT [∇qH − MdM−1∇qHd + J2M−1d p] − KvGT M−1d p (3.60)
Si Md es definida positiva en una vecindad de q∗, y
q∗ = arg min{Vd} (3.61)
entonces [qT pT ]T = [q∗T 0Tn ]T es un equilibrio estable del sistema en lazo cerrado (3.90) con
una función de Lyapunov Hd. Finalmente, siguiendo los argumentos reportados en [13], bajo
condiciones de detectabilidad se puede demostrar estabilidad asintótica y por tanto cumplir con
31
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
el objetivo de control (3.38).
Diseño de IDA-PBC
El modelo hamiltoniano (3.55) puede ser escrito con (3.16),
G = [1 0]>, (3.62)
y la función de energía potencial
V (q2) = mgl cos(q2) (3.63)
Por conveniencia de notación los elementos de (3.16) se definen como:
β1 = M + m, β2 = ml, β3 = ml2 + I, β4 = mgl (3.64)
por lo tanto (3.16) queda
M(q) =
 β1 β2 cos(q2)
β2 cos(q2) β3
 (3.65)
y con el fin de cumplir con el objetivo de control (3.38) se procede al diseño de un IDA-PBC en
términos de un voltaje. Enseguida, se sigue el procedimiento reportado en [16] y [17], donde
q =
q1
q2
 , p =
p1
p2
 , G⊥ = [0 1] . (3.66)
Un paso importante para para la solución de la PDE en (3.58) es la selección de la matriz
J2 =
 0 p̃T α(q2)
−p̃T α(q2) 0
 = p̃T αW (3.67)
con p̃ = Md−1p, α = [α1(q2) α2(q2)]T libre y W ∈ so(2). Más aún, utilizando la identidad
dM−1
dqi
= −M−1 dM
dqi
M−1
32
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
y siendo e2 el vector base, (3.58) queda
−pTM −1 dMdq2
M −1 p + G⊥MdM −1 e2 pTM −1d
dMd
dq2
M −1d p + 2pTM −1d αG⊥WM −1d p = 0 (3.68)
el cual puede ser expresado como
pT
−M −1 dMdq2 M −1 +
[
G⊥MdM −1 e2
]
M −1d
dMd
dq2
M −1d − M −1d
2α1 α2
α2 0
M −1d
p = 0 (3.69)
en donde se ha asignado únicamente la parte simétrica de la matriz 2αG⊥W dado por A =
αG⊥W + [αG⊥W ]T . De (3.69) se tiene
−M−1 dM
dq2
M−1 +
[
G⊥MdM
−1e2
]
M−1d
dMd
dq2
M−1d − M−1d
2α1 α2
α2 0
M−1d = 0 (3.70)
y definiendo
Λ =
λ1 λ2
λ3 λ4
 , MdM−1
al multiplicar (3.70) tanto por la izquierda como por la derecha por Md y considerando la
definición anterior queda
β2sen(q2)Λ
0 1
1 0
ΛT + λ4 dMd
dq2
−
2α1 α2
α2 0
 = 0 (3.71)
Considerando de la definición de Λ
Md = ΛM ,
d1 d2
d3 d4

donde
33
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
d1 = λ1β1 + λ2β2 cos(q2),
d2 = λ1β2 cos(q2) + λ2β3, (3.72)
d3 = λ3β1 + λ4β2 cos(q2),
d4 = λ3β2 cos(q2) + λ4β3.
considerando (3.72) y (3.71), resulta el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas, las cuales
no presentan obstáculo alguno en la solución de Md, debido a que α1 y α2 son libres:
2β2 sin(q2)λ1λ2 + λ4
d
dq2
(λ1β1 + λ2β2 cos(q2)) − 2α1 = 0, (3.73)
β2 sin(q2)[λ1λ4 + λ2λ3] + λ4
d
dq2
(λ1β2 cos(q2) + λ2β3) − α2 = 0, (3.74)
2β2sen(q2)λ3λ4 + λ4
d
dq2
(λ3β2 cos(q2) + λ4β3) = 0. (3.75)
De acuerdo a (3.59), resulta la siguiente PDE
λ3∇q1Vd + λ4∇q2Vd = −β4sen(q2) (3.76)
Con la asignación de λ3 = cos(q2) y λ4 = −k4 permite resolver (3.75), siendo k4 una constante
arbitraria. Al incorporar los resultados anteriores en (3.76) se obtiene la siguiente PDE
Vd = −
β4
√
cos(q2)2
k4
+ Φ[−k4(q1 − qd) + sen(q2)] (3.77)
donde Φ(·) ∈ C1 es libre. Para que q∗ = arg min{Vd} requiere que Vd sea definida positiva en
q∗. Esto puede ser verificado con
Vd = −
β4 cos(q2)
k4
+ kp2 [−k4(q1 − qd) + sen(q2)]
2 (3.78)
cumple lo requerido previamente con las constantes kp positiva y k4 negativa. Para probar la
positividad de Vd, el gradiente de Vd es
34
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
∇qVd =
 −k4kp[sen(q2) − k4((q1 − qd)]
β4sen(q2)
k4
+ kp cos(q2)[sen(q2) − k4(q1 − qd)]

Es fácil verificar que el Hessiano de Vd es
∇2qVd =
 k24kp −k4kp cos(q2)
−k4kp cos(q2) β4 cos(q2)k4 + kp cos(q2)
2 − kp[sen(q2)2 − k4sen(q2)(q1 − qd)]

el cual al evaluarlo en (q1 = qd, q2 = 0), resulta
∇2qVd =
 k24kp −k4kp
−k4kp −β4k4 + kp

siendo definido positivo con kp estrictamente positiva y k4 estrictamente negativa. Se procede
con la asignación de los elementos de Md, los cuales aseguran su simetría y positividad. Con
este fin y realizando las manipulaciones algebraicas necesarias con (3.72)-(3.75), la matriz Md
queda finalmente
Md =
 k1 cos(q2)(β1 + k4β2)
cos(q2)(β1 + k4β2) β2 cos(q2)2 + k4β3
 (3.79)
en donde k1 es una constante estrictamente positiva, definida por k1 = λ1β1 + λ2β2 cos(q2), con
λ1 =
(k1β3 − β2(β1 + k4β2) cos(q2)2)
(β1β3 − cos(q2)2β22)
λ2 =
(λ3β1 + β2 cos(q2)(λ4 − λ1))
β3
por últimode (3.60), la ley de control queda:
u = GT [∇qH − MdM−1∇qHd + J2M−1d p − GkvGT M−1d p] (3.80)
35
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
donde
∇qH =
 0
−β2sen(q2)(−β2 cos(q2)p1+p1β3)(β2 cos(q2)p1−p2β1)
(β1β3−β22 cos(q2)2)2
− mlgsen(q2)
 ,
M−1 = 14
 β3 β2 cos(q2)
β2 cos(q2) −β1
 ,
4 = (β22 cos(q2)2 − β1β3),
∇qHd = −k4kp(−k4q1 + sen(q2))( sen(q2)(−p1 cos(q2)(β2k4+β1)+p2k1)((−β22k24+(−2β1k4+k1)β2−β21)p2 cos(q2)+k4β3p1(β2k4+β1))
((−β22k24+(−2β1k4+k1)β2−β21) cos(q2)2+k1k4β3)2
+ (−β4+kp)sen(q2)−k4k1q1
k4
)
 ,
GT GkvG
T M−1d p = kv
(cos(q2)2β2p1 − p2(β2k4 + β1) cos(q2) + β3k4p1)
(−β22k24 + (−2β1k4 + k1)β2 − β21) cos(q2)2 + β3k1k4
,
α1 =
β2((β1k4 − k1)β2 + β21)sen(q2)(β2(β2k4 + β1) cos(q2)2 + (2(β1k4 − (12)k1))β3) cos(q2)
(β1β3 − cos(q2)2β22)2
,
α2 = −
((β1k4 − k1)β2 + β21)sen(q2)(− cos(q2)4β32 + β2β3(−3β2k4 + β1) cos(q2)2 − β1β23k4)
(β1β3 − cos(q2)2β22)2
.
IDA-PBC en voltaje
Una extensión del método IDA-PBC fue presentada en [15], una aplicación en [18], en la
que se incorpora la dinámica de una clase de motores eléctricos de corriente directa (CD) con
escobillas e imánes permanentes. La aportación en ese trabajo es un IDA-PBC en términos de
un voltaje de CD en lugar del par mecánico que produce el método IDA-PBC estándar y para
validar el desempeño del esquema de control propuesto se presentaron resultados de simulación
de un IDA-PBC en términos de un voltaje para un sistema barra-bola.
El modelo (3.23) de un motor CD con escobillas e imanes permanentes puede ser reescrito
36
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
como
va = La
dia
dt
+ Raia + eg(q̇), (3.81)
τ m = Jmq̈ + Bf q̇, (3.82)
donde va ∈ IRn es el vector de voltaje aplicado a cada uno de los motores, La = diag{L1, L2, ..., Ln}
con Li inductancias de armadura, ia ∈ IRn es el vector de las corrientes de armadura, Ra =
diag{ra1 , ra2 , ..., ran} con rai la resistencia de armadura, eg ∈ IRn es el vector de fuerzas contra-
electromotriz (FEM) tal que
eg = Kgq̇ (3.83)
siendo Kg = diag{kg1 , kg2 , ..., kgn} con kgi constantes de la FEM, y
q̇ = M−1p = [q̇1 · · · q̇n]> (3.84)
es el vector de velocidades generalizadas. El vector τ m ∈ IRn es el par del motor, Jm y Bf son
matrices diagonales con jmi y bfi constantes positivas, las cuales representan la i-ésima inercia
del motor y la fricción viscosa de cada motor, respectivamente.
Se considera que el modelo dinámico eléctrico está presente sólo en la articulación actuada
(q1), lo cual es equivalente a decir que ia = [ia1 , · · · , iam , iam+1 , · · · , ian ]> con iak = 0, para
k = m + 1, . . . n. En virtud de que una carga externa es aplicada al motor dada por (3.55), el
modelo mecánico del motor (3.82) puede ser reescrito como sigue:
τ m = Jmq̈ + Bf q̇ + Gu (3.85)
tal que las matrices Jm y Bf pueden ser incorporadas en M y R, respectivamente. Simplificando
(3.85) se produce
τ m = Gu.
De (3.55) se tiene que Gu = ṗ + ∇qH + RM−1p, por la regla de la cadena en posiciones y
37
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
velocidades:
Gu = M q̈ + C(q, q̇)q̇ + g(q) + Rq̇
donde p = M q̇, Cq̇ = Ṁ q̇ − 12∇q(q̇
>M q̇), g = ∇qV y ∇q(p>M−1p) = −∇q(q̇>M q̇).
♦
Si se toma en cuenta (3.55), (3.81) y la función semi-definida positiva
WL(ia) =
1
2 i
T
a LaK
−1
g KT ia,
donde KT es una matriz diagonal con kti la constante de par, el modelo dinámico completo
puede ser escrito de la siguiente manera:
d
dt

q
p
ia
 =

0 I 0
−I −R A
0 −AT −B


∇qH
∇pH
∇iaWL
+

0
0
C
va
(3.86)
donde A = GG>KgL−1a , B = GG>L−1a RaK−1T KgL−1a , C = GG>L−1a y el término Gu de (3.55)
ha sido incluido en (3.86) por medio de la corriente de armadura como Gu = A∇iaWL, esto es
Gu = GG>KT ia (3.87)
la cual junto con (3.83) representa el acoplamiento del sistema mecánico (3.55) y el sistema
eléctrico (3.81), respectivamente. Las constantes kgi y kti son a menudo dadas por el fabricante
o ambas pueden ser obtenidas experimentalmente.
Para el sistema eléctrico, se introduce en la formulación una función semi-definida positiva
Wd(ia) =
1
2 [ia − i
∗
a]>Kd[ia − i∗a] (3.88)
donde Kd ∈ IRn×n es una matriz diagonal libre con elementos positivos e i∗a definida como:
i∗a = K−1T ∇qV (q∗) (3.89)
38
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
El sistema completo en lazo cerrado deseado es
d
dt

q
p
ia
 =

0 M−1Md 0
−MdM−1 Cd(q, p) 0
0 0 −GG>


∇qHd
∇pHd
∇iaWd

(3.90)
donde Cd = J2(q, p) − GKv(q, p)G> − RM−1Md con J2 = −J>2 y Kv = K>v > 0 como matrices
libres ([13]).
Igualando d
dt
[q> p>]> de (3.86) con (3.90) se obtiene
GG>KT ia = ∇qH − MdM−1∇qHd + DM−1d p (3.91)
donde D = J2 − GKvG>. Al reescribir (3.91) de la siguiente manera
G>
G⊥
GG>KT ia =
G>
G⊥
 [∇qH − MdM−1∇qHd
+DM−1d p] (3.92)
donde G⊥ ∈ IR(n−m)×n es un aniquilador de rango pleno de G, tal que G⊥G = 0, se obtienen
las llamadas ecuaciones de igualación (3.58) y (3.59) [13].Las soluciones Md y Vd definen la
corriente de armadura ia de (3.92):
G>KT ia = G>[∇qH − MdM−1∇qHd + DM−1d p] (3.93)
donde G>GG> = G>, o bien,
ia = K−1T [∇qH − MdM−1∇qHd + DM−1d p] (3.94)
Note que ia sólo depende de las posiciones y velocidades del sistema mecánico, esto es, ia(q, p),
tal que,
ia(q∗, 0n) = K−1T ∇qV (q∗)
y por tanto i∗a = ia(q∗, 0), lo cual explica (3.89).
39
3.2. ALGORITMOS DE CONTROL
Por otro lado, igualando dia
dt
de (3.86) con (3.90), y tomando en cuenta que A = A>, se
obtiene la ley de control como sigue:
va = −LaKd[ia − i∗a] + KgM−1p + Raia (3.95)
con ia e i∗a dado por (3.93) y (3.89). En donde i∗a corresponde a i∗a = k−1t ∇q1Vd(q∗) = 0, donde
q∗ = [qd1 0]>.
40
3.3. RESULTADOS EXPERIMENTALES
3.3. Resultados experimentales
Se llevaron a cabo experimentos para validar el desempeño del LQR (3.52)-(3.53) e IDA
PBC (3.93)-(3.94) diseñados. Para la ejecución del control se utilizó Matlab R©–Simulink y
Quarc R©, una aplicación de Quanser R©, instalado en un equipo de cómputo que aloja la tarjeta
de adquisición de datos MultiQ-PCI R©y un periodo de muestreo de 1 [ms].
3.3.1. Resultados para LQR
Las condiciones iniciales utilizadas para los experimentos fueron: [q1(0) q2(0) q̇1(0) q̇20)]T =
[0, 10π/180, 0, 0]T . Las ganancias de (3.53) seleccionaron empíricamente (prueba y error) a
través de Q y R para mejorar la respuesta del experimento, hasta lograr una respuesta aceptable
con una matriz: K = [−14 − 105 − 52 − 25].
La línea punteada (rojo) en cada una de las gráficas mostradas en la figura 3.5 corresponde a
la respuesta del sistema en simulación, mientras la línea continua (azul) representa los resultados
del experimento.
41
3.3. RESULTADOS EXPERIMENTALES
(a) Evolución temporal de la posición del carro q1(t).
(b) Evolución temporal de la posición del péndulo q2(t).
(c) Voltaje requerido al motor
Figura 3.5: Resultados de simulación y experimentales del LQR
42
3.3. RESULTADOS EXPERIMENTALES
3.3.2. Resultados para IDA-PBC con extensión en voltaje
Las condiciones iniciales utilizadas para los experimentos fueron: [q1(0) q2(0) q̇1(0) q̇20)]T =
[0, 0,2, 0, 0]T . Las ganancias se seleccionaron empíricamente (prueba y error) para mejorar la
respuesta del experimento, hasta lograr una respuesta aceptable con k1 = 2500, kp = 0,5,
k4 = −1, kv = 250 y kd = 1.
La línea punteada (rojo) en cada una de las gráficas mostradas en la figura (3.5) corresponde a la
respuesta del sistema en simulación, mientras la línea continua (azul) representa los resultados
del experimento.
Las gráficas mostradas en la Figura 3.6 corroboran el cumplimiento del objetivo de control
(3.38) y una correcta sintonía de las ganancias del controlador permitió evitar que se excediera
el voltaje nominal del motor (Figura 3.5c).
En ambos controladores puede notarse un error en el desplazamiento q1 (figura 3.5b) y
(figura 3.6a), el cual está asociado a varios factores como: proceso de discretización del algoritmo
de control, velocidades estimadas a través del método ordinario de Euler; así como a otros
fenómenosno modelados como la fricción y las inercias de poleas y engranes . A pesar de lo
anterior, el desempeño de ambos controladores es aceptable dado que cumple el objetivo de
control (3.38), inclusive ante una perturbación externa provocada por el usuario al golpear el
péndulo momentáneamente.
43
3.3. RESULTADOS EXPERIMENTALES
(a) Evolución temporal de la posición del carro q1(t).
(b) Evolución temporal de la posición del péndulo q2(t).
(c) Voltaje requerido al motor
Figura 3.6: Resultados de simulación y experimentales del IDA-PBC
44
Capítulo 4
Conclusiones
Se ha presentado una plataforma didáctica de un sistema carro-péndulo, diseñada y construida
de forma modular, la cual permite reducir el tiempo de ensamble así como facilitar su manipulación
a la hora de transportarse y el espacio de resguardo, esto en comparación con la mayoría de los
equipos comerciales del sistema carro–péndulo.
Con la finalidad realizar simulaciones y validar de manera experimental las leyes de control
diseñadas, se obtuvo el modelo dinámico conforme a las ecuaciones de Euler-Lagrange y se
identificaron mediante métodos experimentales los parámetros propios del modelo dinámico del
sistema.
Su operación fue comprobada con la implementación de un control lineal (LQR) y un control
no lineal (IDA-PBC con extensión en voltaje), que al ajustar de manera correcta las ganancias
en cada controlador permitió proteger el actuador (no exceder su voltaje nominal ) y cumplir en
ambas leyes con el objetivo de control (3.38), al llevar al péndulo a su posición vertical superior
con el carro en el origen.
45
4.1. TRABAJO FUTURO
4.1. Trabajo futuro
Con la finalidad de dar seguimiento a este trabajo se contempla:
Incorporar a este sistema un segundo péndulo para el análisis y control del doble péndulo
invertido, así como utilizar este sistema carro-péndulo para evaluar algoritmos no diseñados
en el marco de esta tesis.
Maquinar las piezas mecánicas diseñadas para el carro en acero inoxidable o aluminio,
para mejorar la vida útil del sistema.
46
Apéndice A
Manual de usuario
A.0.1. Ensamble del prototipo
La unidad SRV02 se puede configurar en engranaje de baja velocidad o en alta velocidad
como se puede consultar en [1], partiendo de la configuración de alta velocidad se coloca sobre
el eje central de los engranes la polea dentada GT2 por medio de los opresores tipo hexagonal
con apoyo de una llave tipo allen de 2.5 [mm] como muestra la figura A.2
Figura A.1: Ensamble de polea dentada sobre unidad SRV02
47
APÉNDICE A. MANUAL DE USUARIO
Una vez colocada la polea dentada se fija la prensa de soporte sobre el costado opuesto a las
terminales de conexión de la unidad SRV02, en la cual se encuentran ya sujetas las dos bases
de piso de 8 [mm] sobre las cuales posteriormente se montaran las dos guías de 8 [mm] de acero
inoxidable (Figura 2.7). Este soporte puede ser manipulado manualmente por el usuario (para
montaje y desmontaje) mediante una tuerca mariposa colocada en la parte inferior del soporte.
Figura A.2: Ensamble de soporte prensa en unidad SRV02
48
APÉNDICE A. MANUAL DE USUARIO
Sujetar las guías de acero dentro de las bases de piso (Figura A.3a) para insertar el carro
(Figura A.3b) y la banda dentada se coloca en dentro de la polea montada en el eje del engrane
central.
(a) Colocar las guías (b) Colocar carro
Figura A.3: Ensamble de guías y carro
Posteriormente se fijan en su otro extremo de la contra base mediante otras dos bases de
piso. En esta se encuentra la segunda polea dentada montada sobre un rodamiento de pared
KFL08, la cual en la parte inferior cuenta con dos mariposas para su manipulación.
Figura A.4: Ensamble de soporte
49
APÉNDICE A. MANUAL DE USUARIO
Una vez ensamblado el sistema se procede a ajustar la banda dentada. La banda esta sujeta
al carro mediante dos seguros impresos en 3D, los cuales pueden ser desplazados para efectos
de seguridad y tensión en la banda (Figura A.5). La tensión de la banda sobre el carro puede
ser ajustada mediante el corrimiento de la polea en la contra base (Figura A.6)
Figura A.5: Clips de seguridad
Figura A.6: Ajuste de la tensión en la banda
50
APÉNDICE A. MANUAL DE USUARIO
A.0.2. Conexión de la etapa de adquisición de datos y potencia
Los cables suministrados con la unidad SRV02 se describen en la Sección 6.1 y el procedimiento
para realizar las conexiones de los componentes se da en la sección 6.2. en [1].
Las conexiones típicas utilizadas para conectar la unidad SRV02 al dispositivo de adquisición
de datos y al amplificador de potencia se describen en la sección 5.2 de [1], así como las
recomendaciones y precauciones de acuerdo a la Figura A.7.
Figura A.7: Conexión de la unidad SRV02 a la tabla de conexiones y al amplificador
51
Apéndice B
Planos isométricos
52
APÉNDICE B. PLANOS ISOMÉTRICOS
53
APÉNDICE B. PLANOS ISOMÉTRICOS
54
APÉNDICE B. PLANOS ISOMÉTRICOS
55
APÉNDICE B. PLANOS ISOMÉTRICOS
56
APÉNDICE B. PLANOS ISOMÉTRICOS
57
APÉNDICE B. PLANOS ISOMÉTRICOS
58
APÉNDICE B. PLANOS ISOMÉTRICOS
59
Apéndice C
Código MATLABr y Simulink
C.0.1. Regulador Lineal Cuadrático (LQR)
% Funcion para eva luar e l s i s tema
func t i on dx = c a r t p o l e ( t , x ,A,B,K)
u = −K∗x ;
dx = A∗x+B∗u ;
%−−−−−−− DISEÑO LQR Y SIMULACION DEL SISTEMA −−−−−−−−−
c l e a r ;
c l c ;
% Parametros de l s i s tema car ro / pendulo
mp=0.127;
l =0.156;
mc=0.258;
g =9.81;
I =0.0012;
r = 0 . 0 2 ;
% Parametros de l motor
60
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
Ra = 2 . 6 ;
km = 7.68 e −3;
jm = 3 .9 e −7;
bm = 0 ;
nm = 0 . 6 9 ;
kt = 7 .68 e −3;
ng = 0 . 9 ;
kg = 70 ;
Jeq = ( ng∗jm∗kg ^2)/ r ^2;
Beq =(nm∗ng∗kt∗km∗kg ^2) /( r ^2∗Ra) ;
Kv = ( ng∗nm∗kt∗kg ) /( r ∗Ra) ;
%−−−−−−−−−−−−−−−SIMULACION−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
M = [mc+mp+Jeq mp∗ l ; mp∗ l (mp∗ l ^2)+I ] ;
Minv = (1/ det (M) ) ∗ [M(2 , 2 ) −M(1 ,2 ) ;−M(2 ,1 ) M(1 , 1 ) ] ;
E =[Beq 0 ; 0 0 . 0 0 2 4 ] ;
P = [0 0 ;0 −mp∗ l ∗g ] ;
G = [Kv ; 0 ] ;
A=[ z e ro s (2 , 2 ) eye (2 , 2 ) ;−Minv∗P −Minv∗E]
B=[ z e ro s (2 , 1 ) ; Minv∗G]
% Matriz Q y R
Q = eye (4 ) ;
Q(1 , 1 ) = 1000 ;
Q(2 , 2 ) =1500;
Q(3 , 3 ) =10; %0
Q(4 , 4 ) =100; %0 ;
R = 5 ;
61
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
%LQR
K = l q r (A,B,Q,R)
%−−−−−−−−−−−−−−−METODO NUMERICO−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
tspan = [0 1 8 ] ;
X0 = [ 0 ; 1 0 ∗ pi / 1 8 0 ; 0 ; 0 ] ;
[ t , x ] = ode45 (@( t , x ) c a r t p o l e ( t , x ,A,B,K) , tspan , X0) ;
% Sa l ida ( Po s i c i one s )
y1 = x ( : , 1 ) ;
y2 = x ( : , 2 ) ;
% Cálculo de l a l ey de con t r o l
u =−K∗x ’ ;
% Gra f i ca s
f i g u r e (1 )
p l o t ( t , y1 , ’ r ’ )
g r i d on
legend ( ’ q1 ’ )
x l a b e l ( ’ Tiempo [ s ] ’ )
y l a b e l ( ’ Pos i c i ón [m] ’ )
t i t l e ( ’ Pos i c i ón de l ca r ro ’ )
62
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
f i g u r e (2 )
p l o t ( t , y2 )
g r id on
legend ( ’ q2 ’ )
x l a b e l ( ’ Tiempo [ s ] ’ )
y l a b e l ( ’ Angulo [ rad ] ’ )
t i t l e ( ’ Pos i c i ón de l péndulo ’ )
f i g u r e (3 )
p l o t ( t , u , ’m’ ) ;
g r i d on ;
Co = ctrb (A,B) ;
rank (Co) ;
x l a b e l ( ’ Tiempo [ s ] ’ )
y l a b e l ( ’ Vo l ta j e [ v ] ’ )
t i t l e ( ’ Vo l ta j e de l motor ’ )
63
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
Figura C.1: Diagrama de implementación en Simulink para LQR
64
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
C.0.2. IDA-PBC con extensión en voltaje
% Funcion para eva luar e l s i s tema
func t i on dx= carpend2 ( t , x )
m=0.127;
l =0.156;
mc=5.4 ;
g =9.81;
B1 = mc ;
B2 = m∗ l ;
B3 = 0 . 0045 ;
B4 = m∗g∗ l ;
k1 = 1700 ;
kp = 0 . 1 ; % t_estab
kv = 250 ; % amorti
k4 = −0.5;
q = [ x (1 ) ; x (2 ) ] ;
p = [ x (3 ) ; x (4 ) ] ; % p’−−−−−>transpues ta
G=[1 ; 0 ] ;
L3 = cos (q (2 ) ) ;
L4 = k4 ;
L1 = ( k1∗B3−B2∗(B1+k4∗B2) ∗ cos ( q (2 ) ) ^2) /(B1∗B3−cos ( q (2 ) ) ^2∗B2^2) ;
L2 = (L3∗B1+B2∗ cos ( q (2 ) ) ∗(L4−L1) ) /B3 ;
M = [ B1 , B2∗ cos ( q (2 ) ) ; B2∗ cos ( q (2) ) ,B3 ] ;
DetM = det (M) ;
65
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
Minv=(1/DetM) ∗ [M(2 , 2 ) , −M(1 ,2 ) ; −M(2 ,1 ) ,M(1 , 1 ) ] ;
dM = [0 −B2∗ s i n (q (2 ) ) ; −B2∗ s i n (q (2 ) ) 0 ] ;
gV =[ 0 ; −m∗ l ∗g∗ s i n (q (2 ) ) ] ;
gK =[0 ; −0.5∗p ’∗ Minv∗dM∗Minv∗p ] ;
gH = gK + gV ;
Md = [ k1 cos ( q (2 ) ) ∗(B1+k4∗B2) ; cos ( q (2 ) ) ∗(B1+k4∗B2) B2∗ cos ( q (2 ) )^2+
k4∗B3 ] ;
DetMd = det (Md) ;
Mdinv = (1/DetMd) ∗ [Md(2 , 2 ) , −Md(1 ,2 ) ; −Md(2 ,1 ) , Md(1 , 1 ) ] ;
gVd = [−k4∗kp∗(−k4∗q (1 )+s i n (q (2 ) ) ) ; kp∗ cos ( q (2 ) )∗(−k4∗q (1 )+s i n (q (2 )
) )−(B4∗ cos ( q (2 ) ) ∗ s i n (q (2 ) ) ) /( k4∗ s q r t (1− s i n (q (2 ) ) ^2) ) ] ;
dMd = [0 −s i n (q (2 ) ) ∗(B1+k4∗B2) ; −s i n (q (2 ) ) ∗(B1+k4∗B2) −2∗B2∗ s i n (q
(2 ) ) ∗ cos ( q (2 ) ) ] ;
gKd = [0 ; −0.5∗p ’∗ Mdinv∗dMd∗Mdinv∗p ] ;
gHd = gKd + gVd ;
a1 = B2∗ ( (B1∗k4−k1 ) ∗B2+B1^2)∗ s i n (q (2 ) ) ∗(B2∗(B2∗k4+B1) ∗ cos ( q (2 ) )
^2+(2∗(B1∗k4 −(1/2)∗k1 ) ) ∗B3) ∗ cos ( q (2 ) ) /(B1∗B3−cos ( q (2 ) ) ^2∗B2^2) ^2;
a2 = −((B1∗k4−k1 ) ∗B2+B1^2)∗ s i n (q (2 ) )∗(− cos ( q (2 ) ) ^4∗B2^3+B2∗B3∗(−3∗B2
∗k4+B1) ∗ cos ( q (2 ) )^2−B1∗B3^2∗k4 ) /(B1∗B3−cos ( q (2 ) ) ^2∗B2^2) ^2;
a = [ a1 ; a2 ] ;
j = p ’∗ Mdinv∗a ;
J=[0 j ; −j 0 ] ;
66
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
% Para e s t e caso l a i nve r s a de G’∗G = 1
u = G’ ∗ ( gH−Md∗Minv∗gHd+J∗Mdinv∗p−G∗kv∗G’∗ Mdinv∗p) ;
FV =[0 0 ; 0 0 ] ; %[ 3 3 . 3 0 ; 0 0 . 0 0 4 ] F r i c c i on
dx = [ Minv∗p;−gH+G∗u−FV∗Minv∗p ] ;
end
%−−−−−−−−−−− SIMULACION DEL SISTEMA −−−−−−−−−−−−−−−
c l e a r ;
c l o s e a l l ;
c l c ;
x0 = [0 ; 0 . 2 ; 0 ; 0 ] ; % cond i c i on i n i c i a l
% tiempo de s imulac ion
t i =0;
t f =10;
opc=odeset ( ’ RelTol ’ ,1 e −3, ’ I n i t i a l S t e p ’ , 2 . 5 e −3, ’ MaxStep ’ , 2 . 5 e−3) ;
% s imulac ion
[ t , x ] = ode45 ( ’ carpend2 ’ , ( t i : 0 . 0 0 1 : t f ) , x0 , opc ) ;
% Sa l ida
q1 =x ( : , 1 ) ;
q2=x ( : , 2 ) ;
p1 =x ( : , 3 ) ;
p2=x ( : , 4 ) ;
67
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
% Respuesta malla cer rada
f i g u r e (1 )
subplot ( 2 , 1 , 1 ) ; p l o t ( t , q1 , ’b ’ , ’ LineWidth ’ , 1 ) ;
t i t l e ( ’ Respuesta de l s i s tema en la zo cer rado ’ ) ; hold on
x l a b e l ( ’ tiempo [ s ] ’ ) ;
y l a b e l ( ’ Pos i c i on de l ca r ro [m] ’ ) ;
l egend ( ’ q1 ( t ) ’ ) ;
g r i d on
subplot ( 2 , 1 , 2 ) ; p l o t ( t , q2 , ’ r ’ , ’ LineWidth ’ , 1 )
x l a b e l ( ’ tiempo [ s ] ’ ) ;
y l a b e l ( ’ Pos i c i on de l pendulo [ gra ] ’ ) ;
l egend ( ’ q2 ( t ) ’ ) ;
g r i d on
hold on
68
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
Figura C.2: Diagrama de implementación en Simulink para IDA-PBC 69
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
Figura C.3: Diagrama del bloque Ley de control
70
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
% Funcion CARPENVOL dentro de l bloque Ley de con t r o l
f unc t i on Va = carpenvo l (x , ga in )
%PARAMETROS
m=0.127;
l =0.156;
mc=5.4 ;
g =9.81;
Ra = 2 . 6 ;
km = 7.68 e −3;
kt = 7 .68 e −3;
r = 1 .912/100 ;
ke = 70/ r ;
%ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE INERCIA
B1 = mc ;
B2 = m∗ l ;
B3 = 0 . 0045 ;
B4 = m∗g∗ l ;
%GANANCIAS
k1 = gain (1 ) ; % 1700
kp = gain (2 ) ; % 0 .2 t_estab
kv = gain (3 ) ; % 350 amorti
k4 = gain (4 ) ; % −0.5 ,
% IDA−PBC EN VOLTAJE
71
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
q = [ x (1 ) ; x (2 ) ] ;
dq = [ x (3 ) ; x (4 ) ] ; % p’−−−−−>transpues ta
i = [ x (5 ) ; x (6 ) ] ;
G=[1 ; 0 ] ;
% L3 = cos (q (2 ) ) ;
% L4 = k4 ;
% L1 = ( k1∗B3−B2∗(B1+k4∗B2) ∗ cos ( q (2 ) ) ^2) /(B1∗B3−cos ( q (2 ) ) ^2∗B2^2) ;
% L2 = (L3∗B1+B2∗ cos ( q (2 ) ) ∗(L4−L1) ) /B3 ;
M = [ B1 , B2∗ cos ( q (2 ) ) ; B2∗ cos ( q (2 ) ) ,B3 ] ;
p = M∗dq ;
DetM = det (M) ;
Minv=(1/DetM) ∗ [M(2 , 2 ) , −M(1 ,2 ) ; −M(2 ,1 ) ,M(1 , 1 ) ] ;
dM = [0 −B2∗ s i n (q (2 ) ) ; −B2∗ s i n (q (2 ) ) 0 ] ;
gV =[ 0 ; −m∗ l ∗g∗ s i n (q (2 ) ) ] ;
gK =[0 ; −0.5∗p ’∗ Minv∗dM∗Minv∗p ] ;
gH = gK + gV ;
Md = [ k1 cos ( q (2 ) ) ∗(B1+k4∗B2) ; cos ( q (2 ) ) ∗(B1+k4∗B2) B2∗ cos ( q (2 ) )^2+
k4∗B3 ] ;
DetMd = det (Md) ;
Mdinv = (1/DetMd) ∗ [Md(2 , 2 ) , −Md(1 ,2 ) ; −Md(2 ,1 ) , Md(1 , 1 ) ] ;
gVd = [−k4∗kp∗(−k4∗q (1 )+s i n (q (2 ) ) ) ; kp∗ cos ( q (2 ) )∗(−k4∗q (1 )+s i n (q (2 )
) )−(B4∗ cos ( q (2 ) ) ∗ s i n (q (2 ) ) ) /( k4∗ s q r t (1− s i n (q (2 ) ) ^2) ) ] ;
dMd = [0 −s i n (q (2 ) ) ∗(B1+k4∗B2) ; −s i n (q (2 ) ) ∗(B1+k4∗B2) −2∗B2∗ s i n (q
(2 ) ) ∗ cos ( q (2 ) ) ] ;
72
APÉNDICE C. CÓDIGO MATLABr Y SIMULINK
gKd = [0 ; −0.5∗p ’∗ Mdinv∗dMd∗Mdinv∗p ] ;
gHd = gKd + gVd ;
% Al fa s
% a1 =(2∗B2∗ s i n (q (2 ) ) ∗L1∗L2+L4∗dt1 ) /2 ;
% a2 =B2∗ s i n (q (2 ) ) ∗(L1∗L4+L2∗L3)+L4∗dt2 ;
a1 = B2∗ ( (B1∗k4−k1 ) ∗B2+B1^2)∗ s i n (q (2 ) ) ∗(B2∗(B2∗k4+B1) ∗ cos ( q (2 ) )
^2+(2∗(B1∗k4 −(1/2)∗k1 ) ) ∗B3) ∗ cos ( q (2 ) ) /(B1∗B3−cos ( q (2 ) ) ^2∗B2^2) ^2;
a2 = −((B1∗k4−k1 ) ∗B2+B1^2)∗ s i n (q (2 ) )∗(− cos ( q (2 ) ) ^4∗B2^3+B2∗B3∗(−3∗B2
∗k4+B1) ∗ cos ( q (2 ) )^2−B1∗B3^2∗k4 ) /(B1∗B3−cos ( q (2 ) ) ^2∗B2^2) ^2;
a = [ a1 ; a2 ] ;
j = p ’∗ Mdinv∗a ;
J=[0 j ; −j 0 ] ;
% Ley de con t r o l en v o l t a j e
i s=ze ro s (2 , 1 ) ;
i a = (1/( kt∗ke ) ) ∗(G’ ∗ ( gH−Md∗Minv∗gHd+J∗Mdinv∗p−G∗kv∗G’∗ Mdinv∗p)+35∗
dq (1) ) ;
KD = 10 ;
Va = ke∗km∗dq (1)+Ra∗ i a ;
end
73
Bibliografía
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based control of the pendubot,” IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline), vol. 17,
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de un Sistema Barra-Bola Experimental,” in Congreso Nacional de Control Automático
2017, (Monterrey, Nuevo León, Mexico), pp. 137–142, 2017.
75
	Introducción
	Antecedentes
	Descripción del problema
	Objetivos
	Objetivo general
	Objetivos espec�ficos
	Propuesta de solución
	Justificación
	Limitaciones y alcance
	Metodolog�a
	Diseño y construcción del prototipo
	Elementos mecánicos del prototipo
	Unidad QUANSER® SRV02 (Rotary Servo Base Unit)
	Poleas y correa
	Prensa de soporte
	Carro
	Péndulo
	Base fija
	Elementos para la adquisición de datos y potencia
	Elementos de seguridad
	Construcción y costo
	Modelo y control del sistema
	Modelo matemático
	Ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange
	Función de energ�a cinética
	Función de energ�a potencial
	Modelo carro-péndulo con motor de CD (actuador)
	Identificación paramétrica
	Algoritmos de control
	Diseño de un regulador lineal cuadrático (LQR)
	Diseño de IDA-PBC en voltaje para regulación del sistema
	Resultados experimentales
	Resultados para LQR
	Resultados para IDA-PBC con extensión en voltaje
	Conclusiones
	Trabajo futuro
	Manual de usuario
	Ensamble del prototipo
	Conexión de la etapa de adquisición de datos y potencia
	Planos isométricos
	Código MATLAB"472 y Simulink
	Regulador Lineal Cuadrático (LQR)
	IDA-PBC con extensión en voltaje
	Bibliograf�a