Fortalecimento em Matemática para o COMIPEMS 2020

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COMIPEMS 2020 
 
 
TALLER DE APOYO PARA EL FORTALECIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS CURSO 
COMIPEMS 
Docentes que elaboraron: 
Ma. Rosalba Patricia Moran 
Perla Ortiz Romo 
Yudith Aglae Dorantes villa 
Juan José Serrano Barrientos 
Adán Gómez Espinosa 
José Alberto Cruz Barrios 
 
Este taller está centrado en el estudiante para fortalecer el uso del pensamiento lógico 
matemático, mediante una serie de pasos, etapas, acciones para el logro de resultados 
previstos y la vinculación cotidiana de los estudiantes, que se lleva a cabo mediante el análisis, 
la planeación, la modelación y con la finalidad de presentar posibles soluciones. 
Uno de los aprendizajes esperados es aprovechar momentos de aprendizaje fuera del aula, 
consolidando el aprendizaje en el aula y llevando en práctica los conocimientos adquiridos 
para el fortalecimiento del aprendizaje. 
Se publicará por cada sesión durante el periodo de contingencia sanitaria 
 
 
 
 
 
 
 
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS 
 
CURSO SABATINO DE PREPARACIÓN PARA EL INGRESO AL NIVEL 
MEDIO SUPERIOR 
Sesión correspondiente al 14 de marzo de 2020 
 
Tema 2: Álgebra 
Contenido: 2.1 Significado y uso de las literales. 
Sesión: 10 de 22 Número de horas: 0.5 Número de semana: 10 Fecha: 14/03/2020 
Objetivo: El alumno debe ser capaz de comprender el uso de las literales como una representación general 
de una cierta magnitud. 
 
Algebra: Es el lenguaje mediante símbolos y términos técnicos para elaborar fórmulas de cálculos que se 
aplican en todas las ciencias. 
 
La parte literal es formada por las mismas letras que intervienen en los monomios del producto. El uso de 
literales se da en ecuaciones, en polinomios, en límites, en integrales y en derivadas especialmente que 
cualquier letra tiene significado distinto. 
 
Expresiones algebraicas: Son todas aquellas expresiones que representan situaciones generales abstractas 
que utilizan por lo regular números, letras y signos. 
 
Es importante no olvidar lo que representa cada una de las partes de una expresión algebraica. 
 
 
 
 
 
 
 
Si se tienen dos variables diferentes, no se pueden 
sumar, restar, multiplicar o dividir, solo que se transforme a un valor numérico o la misma variable. 
 
En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual 
factor literal, es decir, aquellos términos que tienen las mismas letras y exponentes. 
 
Ejemplos: 
 
3x y -7x son términos semejantes 
89b2 y 34b2 son términos semejantes 
 
5c y 7c2 son términos no semejantes 
-7m y 8d son términos no semejantes 
 
 
http://algebrar1.blogspot.com/p/usos-y-significados-de-la-laterales.html 
https://www.tes.com/lessons/luXkN-c9SqG85g/algebra-terminos-semejantes 
 
Referencias: Guías IPN, UNAM, COMIPEMS 
 
 
Tema 2: Álgebra 
Contenido: 2.2 Expresión común de problemas algebraicos de adición y sustracción. 
Sesión: 10 de 22 Número de horas: 0.5 Número de semana: 10 Fecha: 14/03/2020 
 
Objetivo: El alumno debe ser capaz de comprender las operaciones de adición y sustracción de las 
expresiones algebraicas. 
 
Las operaciones con expresiones algebraicas se utilizan las mismas reglas que en los números enteros. 
 
Reducción de términos semejantes: Es una operación que se realiza en una expresión algebraica con el fin 
de convertir en un solo término dos o más cantidades semejantes. 
 
Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo: Se suman los coeficientes colocando al 
término el mismo signo. 
Ejemplo: 
2a + 8a = 10a 
-3b -5b = -8b 
4a2b + 2a2b = 6a2b 
 
Reducción de dos o más términos semejantes de diferente signo: Se restan los coeficientes colocando el 
signo del número de mayor valor. 
 
Ejemplo: 
3a – 2a = a 
5b2 – 8b2 = -3b2 
-5x + 8x -7x +9x = sumamos primero los términos del mismo signo y después los restamos, es decir: 
-5x – 7x = -12x 
 
Sumamos 8x + 9x = 17x 
 
Ahora estos dos términos los restamos por tener signos diferentes y queda el signo del número mayor: 
-12x + 17 x = 5x resultado final 
 
Recordemos que cuando tenemos un signo y paréntesis debemos de aplicar la ley de los signos para quitar 
el paréntesis y solamente nos quede la parte algebraica el signo y parte algebraica, es decir: 
 
Ejemplo: 
5x – (-3y) + 9y + (- 8x)+ 3 – (y) = 
 
Aplicamos ley de signos para quitar los paréntesis 
5x + 3y + 9y – 8 x + 3 -y 
Agrupamos términos semejantes 
5x – 8 x = - 3x 
3y + 9y – y = 11y 
3 no hay más números se queda solo el numero 3 
Respuesta final es -3x + 11y + 3 
 
 
 
Ejercicios: 
Simplificar las siguientes expresiones 
algebraicas sumando y restando los términos 
semejantes. 
 
A) 5a + (-3a) +4b – 2b + 3c = 
B) -2a2 + 4b2 -3b2 + a - b2 + a2 = 
C) 5a2 b – (- 4a2 b) = 
D) 6a2 – 5b + 2c – (3a2 + 2b – 4c) = 
5b -4x + 6 - 3b – 6x +7b – 9x -14 + 8x = 
Tema 2: Álgebra 
Contenido: 2.3 Resolución de problemas con expresiones algebraicas. 
Sesión: 10 de 22 Número de horas: 1 Número de semana:10 Fecha: 14/03/2020 
 
Objetivo: El alumno debe ser capaz de resolver problemas con expresiones algebraicas. 
 
Para poder resolver los problemas con expresiones algebraicas podemos seguir los 
siguientes pasos: 
 
1. Comprende el problema: Lee el enunciado, hasta entender. ¿En qué consiste? ¿Qué 
conoces? ¿Qué se te pide? ¿Cuáles son las condiciones…? 
 
2. Elabora un plan de solución: Se refiere a plantear una expresión algebraica con los datos 
que se obtienen del problema. 
 
3. Solución del problema: Juntar términos semejantes realizando las operaciones 
correspondientes (suma o resta) para que la final se realice el despeje de la incógnita y 
encontrar el valor de la variable. 
 
Ejemplos: 
 
Problema1 
Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 219. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 
 
Vicente se gasta 20 euros en un pantalón y una camisa. No sabe el precio de cada prenda, 
pero sí sabe que la camisa vale dos quintas partes de lo que vale el pantalón. ¿Cuánto vale 
el pantalón? 
 
 
 
 
Ejercicios 
 
Problema 1 
Tenemos tres peceras y 56 peces. Los tamaños de las peceras son pequeño, mediano y 
grande, siendo la pequeña la mitad de la mediana y la grande el doble. Como no tenemos 
ninguna preferencia en cuanto al reparto de los peces, decidimos que en cada una de ellas 
haya una cantidad de peces proporcional al tamaño de cada pecera. ¿Cuántos peces 
pondremos en cada pecera? 
 
Problema 2 
Encontrar tres números consecutivos que sumen 36. 
 
Problema 3 
Juan tiene 21 años menos que Andrés y sabemos que la suma de sus edades es 47. ¿Qué 
edad tiene cada uno de ellos? 
 
 
 
 
Problema 4 
Si hemos recorrido 21 km, que son las tres séptimas partes del trayecto, ¿cuántos 
kilómetros quedan por recorrer? 
 
Problema 5 
En una empresa de pinturas hay diferentes envases, los cuales el 1° envase equivale a la 
cuarta parte del total de la suma de todos los envases, el 2° es igual a la mitad del 1°, el 3° 
es igual a las dos terceras partes del 1°, el 4° es el triple del 2°, y el 5° es igual a la mitad 
del 3°. Si la suma total de los envases es de 24 litros, ¿cuál es la capacidad de cada envase? 
 
 
Referencias: 
 
 
https://soymatematicas.com/resolver-problemas-de-matematicas/ 
 
https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-problemas-ecuaciones.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://soymatematicas.com/resolver-problemas-de-matematicas/
https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-problemas-ecuaciones.html
 
 
 
COMIPEMS 2020 
 
 
TALLER DE APOYO PARA EL FORTALECIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS CURSO 
COMIPEMS 
Docentes que elaboraron: 
Ma. Rosalba Patricia Moran 
Perla Ortiz Romo 
Yudith Aglae Dorantes villa 
Juan José Serrano Barrientos 
Adán Gómez Espinosa 
José Alberto Cruz Barrios 
 
Sesión correspondiente al 21 de Marzo de 2020. 
 
Tema 2: Álgebra - Ecuaciones de primer grado. 
Contenido: 2.4 Resolución de ecuaciones de primer grado. 
Sesión: 11 de 22 Número de horas:1 Número de semana: 11 Fecha: 21/03/2020 
Objetivo: El alumno debe ser capaz de comprender el concepto de una igualdad en la que 
hay que hallar el valor de la incógnita que hace verdadera una ecuación. 
 
Definición: Una ecuación es una igualdad en la que hay o existen una o más cantidades desconocidas 
llamadas incógnitas y que sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas. 
En una ecuación las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto; 
U, V, W, X, Y, Z. 
 
 
 
Elementos de una ecuación: 
 
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS 
 
CURSO SABATINO DE PREPARACIÓN PARA EL INGRESO AL NIVEL 
MEDIO SUPERIOR 
Los elementos principales de una ecuación son los siguientes: 
 
a) Miembro derecho 
b) Igualdad 
c) Miembro izquierdo 
d) Términos de una ecuación 
e) Incógnita 
 
Una ecuación está formada por dos miembros, se llama primer miembro de una ecuación 
a toda la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad y a toda la expresión que 
está a la derecha se le llama segundo miembro. 
 
Los términos de una ecuación son cada una de las cantidades que están conectadas con 
otros términos por el signo ¨+¨ o ¨-¨, existen ecuaciones donde un término representa a 
uno de los miembros de la ecuación. 
 
La incógnita es un valor tal que al sustituirlo en la ecuación se verifica la igualdad y en este 
caso decimos que es una raíz o solución de dicha ecuación. 
 
En general, una ecuación es una proposición que afirma cuando dos objetos son iguales. Si 
la proposición sólo involucra números, podemos identificar a la ecuación como numérica y 
si se involucran expresiones algebraicas, diremos que la ecuación es algebraica. 
 
Una ecuación de primer grado o lineal con una variable es de la forma: 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 
 
En la siguiente ecuación se muestran los nombres de cada uno de los elementos que conforman una 
ecuación: 
 
 
Grado de una ecuación: El grado de una ecuación es el mayor exponente que tenga uno de los términos 
de la ecuación. 
 
 
Ejemplo: Decir que grado es la ecuación y su incógnita: 
 
Ecuación: Grado de la ecuación: Incógnitas: 
5𝑋 = 3𝑋 + 2𝐴 Primer grado X 
𝑋2 + 3𝑋 − 2 = 2 
𝑋 + 𝑌 = 5 
𝑌 + 𝑋3 = 9𝑋 Tercer grado X,Y 
𝑋3 − 2𝑋2 + 3𝑋 − 5 = 2 
 
 
 
Axioma fundamental de las ecuaciones: Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los 
resultados serán iguales. 
 
 1. Si a cada miembro de una ecuación se suma o resta una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad 
se conserva. 
2. Si a cada miembro de una ecuación se multiplica por una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad 
se conserva. 
3. Si a cada miembro de una ecuación se divide por una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad se 
conserva. 
4. Si a cada miembro de una ecuación se eleva a una misma potencia o se extrae una misma raíz, la igualdad 
se conserva. 
 
Regla para resolver una ecuación entera de primer grado con una incógnita: 
 
1) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan 
la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. 
2) Se reducen términos semejantes en cada miembro. 
3) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita 
4) Se obtiene el valor de la incógnita.. 
 
 
Ejemplos: 
 
Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación: 𝟑𝒙 − 𝟓 = 𝒙 + 𝟑 
a) Se pasan las incógnitas al miembro 1 y las 
Constantes al miembro 2: 𝟑𝒙 + 𝒙 = 𝟑 + 𝟓 
b) Simplificar términos semejantes: 𝟒𝒙 = 𝟖 
c) Despejar la incógnita: 𝒙 =
𝟖
𝟒
 
d) Obtener el valor de la Incógnita: 𝒙 = 𝟐 
 
 
 
 
 
 
Regla para resolver una ecuación de primer grado con signos de agrupación: 
 
1) Se efectúan las operaciones indicadas para eliminar signos de agrupación o paréntesis aplicando la 
ley de los signos tanto para la multiplicación como para la división. 
2) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan 
la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. 
3) Se reducen términos semejantes en cada miembro. 
4) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita 
5) Se obtiene el valor de la incógnita. 
 
 
Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación aplicando la regla anterior: 
 𝟑𝒙 − (𝟐𝒙 − 𝟏) = −𝟔𝒙 − (𝟑 − 𝟓𝒙) 
1) 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = −𝟔𝒙 − 𝟑 + 𝟓𝒙 
2) 3𝑥 − 2𝑥 + 6𝑥 − 5𝑥 = −3 − 1 
3) 𝟐𝒙 = 𝟒 
4) 𝒙 =
𝟒
𝟐
 
5) 𝒙 = 𝟐 
 
Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones según la reglas estudiadas anteriormente: 
 
1) 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟏𝟎𝒙 + 𝟓 
 
 
2) −𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝒙 − 𝟏𝟓 
 
 
3) 𝟖𝒙 + 𝟗 − 𝟏𝟐𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟑 − 𝟓𝒙 
 
 
4) 𝒙 − (𝟐𝒙 + 𝟏) = 𝟖 − (𝟑𝒙 + 𝟑) 
 
 
5) 𝟐(𝒙 − 𝟐) + 𝟏 = −𝟑(𝟐𝒙 − 𝟑) + 𝟏𝟎𝒙 
 
Visitar las siguientes ligas para complementar los conocimientos de una ecuación lineal. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=IHblqjW8RY8 
 
https://www.youtube.com/watch?v=LxLISyKykM4 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=IHblqjW8RY8
https://www.youtube.com/watch?v=LxLISyKykM4
 
Tema 2: Álgebra – Ecuaciones de primer grado. 
Contenido: 2.5 Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado. 
Sesión: 11 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 11 Fecha: 21/03/2020 
Objetivo: 
Procedimiento general para la resolución de problemas de ecuaciones de primer grado: 
El procedimiento para resolver problemas de ecuaciones de primer grado es el siguiente: 
1. Identificar las incógnita del problema: Debemos saber qué es lo que nos está 
preguntando el problema 
2. Asignar la variable x a la incógnita del problema. 
3. Plantear la ecuación de primer grado traduciendo el enunciado a lenguaje 
algebraico 
4. Resolver la ecuación de primer grado 
5. Interpretar la solución: Una vez teniendo la solución de la ecuación (que no es la 
solución del problema), debemos interpretarla para darle un sentido, obteniendo así 
la solución del problema. 
 
Problemas: 
1) Encontrar el número que cumple que la suma de su doble y de su triple es igual a 
100. 
 
Si x es el número que buscamos, su doble es 2X y su triple es 3x. La suma de los dos 
últimos debe ser 100: 
 
 
Resolvemos la ecuación: 
 
 
El número buscado es 20. 
 
2) Si Ana es 12 años menor que Eva y dentro de 7 años la edad de Eva es el doble que 
la edad de Ana, ¿qué edad tiene Eva? 
 
 
Supongamos que x es la edad de Ana. Como Eva tiene 12 años más que Ana, su edad 
es x+12. 
Dentro de 7 años, Ana tendrá la edad actual más 7, es decir, tendrá x+7. Del mismo modo, 
Eva tendrá (x+12)+7=x+19. Además, el doble de la edad de Ana será 2⋅(x+7). 
 
Debemos resolver la ecuación 
 
Resolvemos la ecuación: 
 
 
 
Por tanto, la edad actual de Ana es 5 y la de Eva es 17. Dentro de 7 años, Ana tendrá 12 y 
Eva tendrá 24 (el doble que Ana). 
 
3) El número de mesas en un salón de clase es el doble del número de sillas más 6 si en 
el salón hay 36 muebles entre mesas y sillas. ¿Cuántas mesas y sillas hay? 
 
Ecuación: 
2x+6+x = 36 
Resolución: 
2x+6+x = 36 
3x + 6 = 36 
3 x = 36 - 6 
X = 30 / 3 
X= 10 
Solución: 
 
Mesas: 2x+6 = 26 
Sillas: x = 10 
La suma de mesas y sillas es de 36. 
Hay 10 sillas y 26 mesas. 
 
4) Al preguntar a una abuela por sus nietos dice: “si al quíntuple de años que tiene se le 
quita el doble de los años que tenía hace dos y se le resta 6, tendrás la edad actual 
de mi nieto el menor”. 
 
 
Planteamiento: edad nieto actualmente: x 
 hace dos años: x - 2 
 
Ecuación: “si al quíntuple de años que tiene se le quita el doble de los años que tenía hace 
dos años menos 6, tendrás la edad actual de mi nieto” 
 
5x – 2(x-2) -6 = x 
 
Resolución: 
 5x – 2(x-2) -6= x5x -2x +4 -6= x 
 3x - x = 6-4 
 2x = 2 
 X = 2/ 2 
 X = 1 
Solución: Edad actual 1 año 
 
5) Encontrar dos números positivos y consecutivos de modo que su la suma de sus 
dobles sea igual al triple del mayor de los dos números. 
Supongamos que x es el menor de los números. Entonces, su consecutivo es el número que 
le sigue, es decir, es x+1. 
El doble del número menor es 2⋅x y el doble de mayor es 2⋅(x+1) 
Por tanto, la suma de los dobles es: 
 
Queremos que esta suma sea igual al triple del mayor de los dos números y como x+1 es el 
mayor de los números, la suma debe ser igual a 3⋅(x+1) 
La ecuación que tenemos es 
 
Resolvemos la ecuación: 
 
 
 
Por tanto, los números buscados son x=1x=1 y x+1=2x+1=2. 
En efecto, los números 1 y 2 son positivos, consecutivos y la suma de sus dobles es 2+4 = 6, 
que es el triple del mayor. 
 
6) El padre de Andrés tiene 30 años más que él y su madre tiene 5 años menos que su 
padre. Averiguar la edad de actual de Andrés sabiendo que la suma de las edades de 
sus padres es 7 veces la edad de Andrés. 
 
Si Andrés tiene x años, su padre tiene x+30. Como la madre tiene 5 años menos que su 
padre, tiene x+30−5=x+25. 
La suma de las edades de los padres es 7 veces la de Andrés: 
 
 
 
Resolvemos la ecuación: 
 
 
La edad de Andrés es 11 años y las edades de su padre y de su madre son 41 y 36, 
respectivamente. 
 
 
7) Si el doble de un número más 28 es igual 82, ¿qué número es? 
 
La incógnita x es el número que buscamos. 
Como el doble se obtiene multiplicando por 2, el doble de x es 2x. 
El resultado de sumar 28 al doble x es 82, lo que algebraicamente se escribe como 
 2x+28=82 
Resolvemos la ecuación: 
 2x=82−28 
 2x=54 
 x=54 
 2 
 x=27 
 
Por tanto, el número buscado es 27. 
 
8) En el colegio de Miguel hay un total de 1230 estudiantes (alumnos y alumnas). Si el 
número de alumnas supera en 150 al número de alumnos, ¿cuántas alumnas hay en 
total? 
 
La incógnita x del problema es el número total de alumnas. 
Como hay 150 alumnas más que alumnos, el número de alumnos es el número de alumnas 
menos 150. Es decir, x−150. 
El número total de estudiantes es 1230 y es la suma del número de alumnas y de alumnos: 
 x+(x−150)=1230 
Resolvemos la ecuación: 
 x+x−150=1230 
 2x−150=1230 
 2x=1230+150 
 2x=1380 
 2x=1380/2 
 x=690 
 
Por tanto, el número de alumnas es 690. 
 
 
9) Si el resultado de restar el doble de x al quíntuple de x es 33, ¿qué número es x? 
Solución: 
 
El quíntuple de x es 5x. 
El doble de x es 2x. 
La ecuación queda: 
 5x−2x=33 
 3x=33 
 x=33/3 
 x=11 
El número x es 11. 
 
 
 
10) Se tiene el mismo número de cajas de manzanas que de limones. Si en una caja 
de manzanas caben 13 unidades y en una de limones caben 17, ¿cuántas cajas se 
tiene si hay un total de 180 frutas? 
 
La incógnita x es el número de cajas de manzanas, que también es el número de cajas de 
limones. Entonces, el número total de cajas (de ambas frutas) es x+x, es decir, 2x. 
Como en una caja de manzanas caben 13 unidades, el número total de manzanas es 13x. 
Como en una caja de limones caben 17 unidades, el número total de limones es 17x. 
El total de manzanas y de limones es 180: 
 13x+17x=180 
 Resolvemos: 
 30x=180 
 x=180/30 
 x=6 
 
 
Hemos calculado el número de cajas de manzanas, pero ya hemos dicho al comienzo que 
el número total de cajas es 2x 
2x=2⋅6=12 
Por lo tanto hay un total de 12 cajas. 
 
11) Si la suma de un número x con su consecutivo es 27, ¿qué número es x? 
 
Es importante saber que el consecutivo de un número se calcula sumando 1. 
 Por ejemplo, el consecutivo de 2 es 3 (2+1 = 3) y el consecutivo de 100 es 101 (100+1 = 
101). 
 
Por tanto, el consecutivo de x es x+1. 
La suma de x y de x+1 es igual a 27: 
 x+(x+1)=27 
Resolvemos: 
 x+x+1=27 
 2x+1=27 
 2x=27−1 
 2x=26 
 x=26/2 
 x=13 
Por tanto, el número x del enunciado es 13. 
 
12) Si la suma de dos números consecutivos es -13, ¿qué números son? 
La incógnita x es uno de los números que buscamos. Como el otro es su consecutivo, es x+1. 
La suma de los números es -13: 
 
Entonces, x+(x+1)=−13 
 2x+1=−13 
 2x=−13−1 
 2x=−14 
 x=−14/2 
 x=−7 
 
Calculamos el otro número, que es x+1: 
x+1=−7+1=−6 
 
Por tanto, los números consecutivos que suman -13 son -6 y -7. 
 
13) La suma de un número par y el siguiente par que le sigue es igual a 66, ¿qué 
números son? 
 
Tener en cuenta que los números naturales (0, 1, 2, 3, 4..) están ordenados y el siguiente 
de un número par siempre es uno impar y viceversa. 
Por tanto, el número par que le sigue a otro par se calcula sumando 2. Por ejemplo, 2+2 = 
4, 4+2 = 6, 6+2 = 8... 
El si x es el primer número par (el pequeño), el par que le sigue es x+2. 
La suma de los dos números es 66: 
 x+(x+2)=66 
Resolvemos: 
 2x+2=66 
 2x=66−2 
 2x=64 
 x=642 
 x=32 
 
Uno de los pares es 32. El otro es x+2: 
 x+2=32+2=34 
Los dos pares consecutivos que suman 66 son 32 y 34. 
 
14) Si Manuel es 3 años mayor que Andrea y la suma de sus edades es 35, ¿qué 
edades tienen? 
 
Llamamos x a la edad de Andrea. 
Como Manuel es 3 años mayor que Andrea, su edad es x+3. 
La suma de las edades es 35: 
 x+(x+3)=35 
 2x+3=35 
 2x=35−3 
 2x=32 
 x=32/2 
 x=16 
Andrea tiene 16 años y Manuel tiene 19. 
 
15) Si el perímetro de un cuadrado es 24cm, ¿cuánto miden sus lados? 
 
Recuerda que el perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.Como un cuadrado tiene 4 lados que miden lo mismo, llamamos x a la longitud de uno de 
ellos. 
El perímetro es la suma de los 4 lados: 
 x+x+x+x=24 
 4x=24 
 x=24/4 
 x=6 
Los lados del cuadrado miden 6cm (cada uno). 
 
16) Calcular un número x de modo que sumar 5 al doble de x tiene el mismo 
resultado que restar 1 al triple de x. 
 
El doble de x es 2x. Le sumamos 5, entonces: 2x+5 
El triple de x es 3x. Le restamos 1: 3x−1. 
Los dos números anteriores tienen que ser iguales: 
 2x+5 = 3x−1 
Resolvemos la ecuación: 
 5=3x−1−2x 
 5=x−1 
 5+1=x 
 6=x 
 
El número x del problema es 6. 
 
17) La resta de las edades de dos hermanos es 5 y la suma es 49. ¿Qué edades 
tienen? 
 
Si la resta de las edades es 5 es porque uno de ellos tiene 5 años más que el otro. Así, si la 
edad de uno es x y la del otro es x+5. 
Comprobamos que la resta de las edades es 5: x+5−x=5 
También sabemos que sus edades suman 49: 
La ecuación queda y se resuelve: 
 x+(x+5)=49 
 2x+5=49 
 2x=49−5 
 2x=44 
 x=44/2 
 x=22 
 
 
La edad de uno es 22 y la del otro es 27. 
18) Calcular tres números consecutivos que sumen 24. 
El primer número es x. 
El consecutivo de x es x+1. 
El consecutivo de x+1 también se calcula sumando 1: 
x+1+1=x+2 
La suma de los tres números es 24: 
 x+(x+1)+(x+2)=24 
Resolvemos la ecuación: 
 3x+3=24 
 3x=24−3 
 3x=21 
 x=21/3 
 x=7 
Los números son 7, 8 y 9. 
 
 
 
19) Entre Andrés y Carla tienen un total de 42 lápices. ¿Cuántos lápices tiene 
Andrés si Carla tiene 6 veces más? 
La incógnita x es el número de lápices que tiene Andrés. 
Como Carla tiene 6 veces más que Andrés, tiene 6x. 
En total hay 42 lápices: 
 x+6x=42 
Resolviendo: 
 x+6x=42 
 7x=42 
 x=42/7 
 x=6 
 
Por tanto, Andrés tiene 6 lápices. 
 
20) La suma de un número x con su mitad y con su tercera parte es igual a 22. ¿Qué 
número es x? 
La mitad del número x es 
X 
2 
La tercera parte de x es 
X 
3 
La suma de x y de las dos fracciones es 22: 
x+ x+ x=22 
 2 3 
Común denominador (mcm) =6 y solo trabajando con la primera parte de la ecuación, 
tenemos: 
x+ x+ x= 6x +3x + 2x = 11x 
 2 3 6 6 
11x = 22 
 6 
11x=132 
x=132/11 
x=12 
 
El número x del problema es 12. 
 
21) La mitad de un número x más la tercera parte del consecutivo de x es igual 2. 
Calcular x 
La mitad del número x es x 
 2 
El consecutivo de x es x+1, así que su tercera parte es x+1 
 3 
La suma de ambas fracciones es 2: 
 x + x+1 = 2 
 2 3 
Obteniendo y aplicando el mcm 
x + x+1 = 3x + 2x +2 = 5x + 2 
 2 3 6 6 
5x + 2 = 2 
 6 
5x + 2 = 2(6) 
5x + 2 = 12 
5x = 12 – 2 
5x = 10 
 x = 10/5 
 x = 2 
 
El número x del problema es 2. 
 
22) Antonio ha recorrido la quinta parte de un camino recto. Si le quedan por recorrer 
520 metros, ¿cuál es la longitud del camino? 
 
Antonio ha recorrido la quinta parte de x, es decir, ha recorrido x/5 
. 
Como ha recorrido la fracción 1/5 de x, le quedan por recorrer las otras cuatro quintas 
partes de x. Es decir, le queda por recorrer 
4x 
5 
Como esta fracción sabemos que es igual a 520m, tenemos la ecuación 
4x=520 
5 
 
 
Resolviendo: 
 
4x=520 
5 520 
 x= __520_ = 1___ = 520 (5) = 2600 = 650 
 4 4 1(4) 4 
 5 5 
 
 
Por tanto, la longitud del camino es 650 metros. 
 
 
 
Retroalimentación: 
Resolver los reactivos de la guía del IPN, UNAM y de los 500 reactivos que se publicaron en la 
página del cecyt5.ipn.mx correspondiente a lo que se ha trabajado hasta el momento. 
 
Favor de estudiar tus libros de matemáticas de Secundaria. 
 
 
 
 
 
 
Continuaremos en la próxima sesión del 28 de marzo de 2020. ¡ADELANTE! 
 
 
 
COMIPEMS 2020 
 
 
TALLER DE APOYO PARA EL FORTALECIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS CURSO 
COMIPEMS 
Docentes que elaboraron: 
Ma. Rosalba Patricia Moran 
Perla Ortiz Romo 
Yudith Aglae Dorantes villa 
Juan José Serrano Barrientos 
Adán Gómez Espinosa 
José Alberto Cruz Barrios 
 
Sesión correspondiente al 28 de Marzo de 2020. 
 
Tema 2: Álgebra - Ecuaciones de primer grado. 
Contenido: 2.6 Resolución de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. 
Sesión: 12 de 22 Número de horas: 2 Número de semana: 12 Fecha: 28/03/2020 
 
Objetivo: El alumno debe ser capaz de comprender los tres métodos para resolver las ecuaciones 
lineales: sustitución, reducción e igualación. 
 
DEFINICIONES 
 
Método de Sustitución: Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y 
reemplazar este valor en la otra ecuación, de esta forma se llega a una ecuación de primer grado con 
una incógnita. 
 
 
 
 
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS 
 
CURSO SABATINO DE PREPARACIÓN PARA EL INGRESO AL NIVEL 
MEDIO SUPERIOR 
y = 7 – 2x 
x + 3(7 – 2x) = 11 
x + 21 – 6x = 11 
-5x = 11 - 21 
 
x = 2 
Método de reducción: Consiste en sumar las dos ecuaciones del sistema, resulte una 
ecuación con una sola incógnita. Se multiplica los dos miembros de una ecuación y en 
algunos casos los de las ecuaciones por números convenientes para que en las dos 
ecuaciones los coeficientes de una de las incógnitas sean números opuestos y, 
 
Método de igualación: Hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones 
e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer 
grado. 
 
 
Pasos para resolver el método de sustitución: 
1. Despejar una incógnita en una de las dos ecuaciones. 
2. Se sustituye en la otra ecuación la incógnita despejada. 
3. Resuelve la ecuación resultante, que es de primer grado y se obtiene el valor de 
una de las incógnitas. 
4. Se sustituye el valor obtenido en la ecuación despejada al principio para obtener 
el valor de la incógnita. 
5. Por último se comprueba con los resultados sustituyendo los valores de “x” e 
“y”, en las dos ecuaciones para ver si se cumple. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pasos para resolver el método de reducción: 
 
Reduciendo las “x” 
 
Para eliminar la “x”, se necesitaba tener el mismo número de “x” en las dos ecuaciones 
y deben estar cambiadas de signo. Para conseguirlo como en la 1a ecuación tenemos 
una “x’ y en la 2a “3x”debemos multiplicar la 1a ecuación por -3 para conseguir el mismo 
número y que estén cambiadas de signo. 
 
2x + y = 7 
x + 3y = 11 
y = 7 – 2(2) 
y = 7 – 4 
y = 3 
 
x = 
-10 
-5-3x – 6y = -27 
3x – y = 20 
 
x = 9 – 2y 
x = 9 – 2(1) 
x = 9 – 2 
 
 
Multiplicamos la 
2ª ecuación por 2 
 
y = 
-7 
-7 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Suma o resta 
 
Calculamos el valor de la “x” sustituyendo el valor de “y” en cualquiera de las dos 
ecuaciones. 
Se sustituye en la 1ª ecuación el valor obtenido y = 1 
 
 
 
 
 
 
 
Reduciendo las “y” 
 
En la 1ª tenemos “2y”, en la segunda una “y”, están cambiadas de signo. Si 
multiplicamos la 2ª por “2”, ya hemos conseguido tener el mismo número. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª x + 2y = 9 
2ª 3x - y = 20 
 
1ª (-3) 
2ª 
 
1ª x + 2y = 9 
2ª 3x - y = 20 
 
-7y = -7 
 
y = 1 
 
x + 2y = 9 
 
x = 7 
 
1ª x + 2y = 9 
2ª 3x - y = 20 
 
1ª 
2ª • (2) 
 
x – 2y = 9 
6x – 2y = 40 
 
7x = 49 
 
x = 7 
 
2 
y = 
2 
y = 
8 + 2y 
3 
x = 6 - y 
 
3 
8 + 2y 
= 6 - y 
 8 + 2y = 3(6) – 3y 
8 + 2y = 18 – 3y 
2y + 3y = 18 – 8 
5y = 10 
y = 
10 
5 
 
 
Calculamos el valor de la otra incógnita sustituyendo la “x” en cualquiera de las dos 
ecuaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pasos para resolver el método de igualación 
1. Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. 
2. Igualamos las dos expresiones. 
3. Resolvemos la ecuación resultante y obtenemos el valor de una de las incógnitas 
4. Sustituimos el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones 
despejadas al principio para obtener el valor de la otra incógnita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 + 2y = 9 
 
2y = 9 – 7 
2y = 2 
y = 9 – 2 
 
 
y = 1 
 
1ª 3x – 2y = 8 
2ª x + y = 6 
 
y = 2 
 
Suma o resta 
 
EJERCICIOS 
Resuelve por sustitución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resuelve por reducción: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resuelve por igualación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R = x = 4, y = 2 
R = x = 4, y = -3 R = x = 25, y = 35 
R = x = 4, y = -3 
R = x = 2, y = 3 R = x = 1, y = 2 
R = x = 1, y = 2 
R = x = 1, y = 2 R = x = 2, y = 0 
HOJA DE PROCEDIMIENTO Y DESARROLLO 
SUSTITUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REDUCCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
REDUCCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IGUALACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si crees que ya estás listo para la siguiente clase…. Adelante, en 
caso contrario vuelve a leer, analizar y resolver los ejercicios. 
 
Recuerda que tu meta es quedarte en tu opción deseada, el éxito no llega por arte de magia, 
tienes que hacer acciones para que se cumpla. 
Y una de ellas es prepararte con responsabilidad, estudiando, analizado, comprendiendo y 
realizando ejercicios. 
 
 
ADELANTE, ¡TU PUEDES! 
 
 
 
 
 
 
COMIPEMS 2020 
 
TALLER DE APOYO PARA EL FORTALECIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS CURSO 
COMIPEMS 
Docentes que elaboraron: 
Ma. Rosalba Patricia Moran 
Perla Ortiz Romo 
Yudith Aglae Dorantes villa 
Juan José Serrano Barrientos 
Adán Gómez Espinosa 
José Alberto Cruz Barrios 
 
 
Sesión correspondiente al 04 de abril de 2020 
 
Tema 2: Álgebra – Ecuaciones de primer grado. 
Contenido: 2.7 Resolución de problemas con sistemas de dos ecuaciones lineales con 
dos incógnitas. 
Sesión: 13 de 22 Número de horas: 2 Número de semana: 13 Fecha: 04/04/2020 
Objetivo: Identificar y resolver problemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas aplicando 
estrategias y escogiendo el método conveniente para resolverlo o bien lo puede realizar mentalmente 
y/o analíticamente. 
 
En este tipo de ecuaciones aparecen dos variables o incógnitas. Para resolver este tipo de ecuaciones se 
despeja una de las variables para expresarlo en términos de la otra, así el conjunto de soluciones puede 
ser infinito. 
 
 
 
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS 
 
CURSO SABATINO DE PREPARACIÓN PARA EL INGRESO AL NIVEL 
MEDIO SUPERIOR 
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas 
que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que 
satisfacen dichas ecuaciones, por lo anterior existen diversos métodos para su resolución. 
 
El razonamiento es una facultad del ser humano (aunque no es exclusiva de nosotros) que 
le permite resolver un problema. Para ello recurre a una serie de procesos mentales que 
le permiten llegar a una idea, una vez que desarrolla esa idea puede encontrar la solución 
del problema. Cuando realizamos este proceso decimos que usamos la razón. 
Por ejemplo, supongamos que nos hacen este tipo de preguntas: El número de mi casa es 
el doble que el de la de mi amigo Beto que vive en el mismo lado. Las casas con números 
pares están del lado izquierdo de la cerca y las casas que tienen números impares del lado 
derecho. ¿De qué lado está mi casa? 
A primer estancia parecería incluso una pregunta sin sentido, pero si hacemos un pequeño 
de procesos matemáticos podríamos llegar a lo siguiente: 
Se dice que el número de su casa es el doble que la de su amigo, podemos imaginar un 
número comenzando por el 1 para la casa de su amigo, así el doble sería 2. Luego, si fuera 
el 2 la casa de su amigo, el doble sería 4. Si la casa de su amigo fuera el número 3, el doble 
sería 6. Podríamos continuar así y llegaríamos a la siguiente conclusión. Si todos los 
números aunque sean impares, el doble es un número par, entonces la casa debe estar en 
donde están los números pares, puesto que son vecinos. Así que la respuesta correcta es 
que la casa está del lado izquierdo de la acerca. 
Los problemas que se presentarán por lo general no tiene un única forma de resolverlos 
y/o plantearlos, para encontrar la solución de algunos podrás utilizar un esquema o dibujo, 
para otros una fórmula matemática, para otros leyendo el problema se te ocurrirá la 
solución y muchas veces lo encontrarás por ensayo y error. 
 
También existen diversas técnicas para resolver problemas. A continuación te planteamos 
un esquema que puede serte útil a la hora de abordar un problema. 
1) Entiende el problema. El problema debe ser leído, releído y analizando 
cuidadosamente, hasta entender completamente ¿Qué es lo que se te está 
pidiendo? 
2) Elabora un plan. Haz un dibujo o diagrama, busca un patrón, elabora una tabla de 
datos, piensa o recuerda un problema similar más sencillo. 
3) Realiza tu plan, es decir, resuelve el problema. 
4) Revisa y comprueba. comprueba tu respuesta para ver que es razonable. 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: La diferencia de dos números es 14 y ¼ de su suma es 13. Hallar los números. 
 
Datos: 
Sea: 
X= el número mayor 
Y= el número menor 
Operaciones: 
De acuerdo con las 
condiciones del problema, 
tenemos el siguiente sistema: 
 
{
𝑋 − 𝑌 = 14 … (1)
𝑋+𝑌
4
 … (2)
 
Quitando denominadores y 
sumando: 
𝐴 = 𝜋𝑟2 
{
𝑥 − 𝑦 = 14
𝑥 + 𝑦 = 52
 
 
𝑋 − 𝑌 = 14
𝑋 + 𝑌 = 52
2𝑋 = 66
 𝑋 = 33
 
 
Sustituyendo 𝑋 = 33 en (1) 
33 − 𝑌 = 14
 𝑌 = 19
 
 
Resultados: 
 
Por lo tanto los números 
buscados son 33 19. 
 
 Ejercicios, FAVOR DE REALIZARLOS EN TU LIBRETA DE TRABAJO. 
 
1) Se tienen $1950.00 en 27 billetes de $50 y $100.00 ¿Cuántos billetes son de cada denominación? 
 
2) En una función de teatro escolar se vendieron 205 boletos, unos a $7.00 y otros a $9.00. ¿Cuántos 
vendieron de cada precio si el total de la venta fue de $1,565.00? 
 
3) 5 trajes y 3 sombreros cuestan $4,180.00 y 8 trajes y $9 sombreros cuestan $6,940.00. Encontrar 
el precio de un traje y de un sombrero. 
 
4) La diferencia entre dos números es 16. El triple del mayor es siete veces el menor. Encuentra esos 
números. 
 
 
Favor de continuar estudiando y analizando tus apuntes, cuando la contingencia termine, te 
presentas preparado para hacer todas las preguntas que lleves anotadas en tu libreta de 
trabajo, recuerda tu meta, ¡Quedarte en tu escuela de preferencia! 
 
 
 
 
 
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TALLER DE APOYO PARA EL FORTALECIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS CURSO 
COMIPEMS 
Docentes que elaboraron: 
Ma. Rosalba Patricia Moran 
Perla Ortiz RomoYudith Aglae Dorantes villa 
Juan José Serrano Barrientos 
Adán Gómez Espinosa 
José Alberto Cruz Barrios 
 
Sesión correspondiente al 18 de abril de 2020. 
 
Tema 2: Álgebra 
Contenido: 2.8 Productos notables y factorización. 
Sesión: 14 de 22 Número de horas: 2 Número de semana: Fecha: 18/04/2020 
Objetivo: Uno de los objetivos es identificar un producto notable (un binomio al 
cuadrado, un binomio al cubo, un binomio conjugado, etc.), y seguir cada una de las 
reglas correspondientes para su pronta resolución sin necesidad de realizar un 
producto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURSO SABATINO DE PREPARACIÓN PARA EL INGRESO AL NIVEL 
MEDIO SUPERIOR 
Productos Notables 
 
Los productos notables, como su nombre lo indica, son el producto de dos 
polinomios en los que claramente se nota cuáles son los factores de la 
multiplicación. Una simple inspección nos permite identificarlos. Los más conocidos 
son tres: 
 
1) Binomio al cuadrado. 
 
Son de la forma y por lo mismo, se pueden ver como el área de un cuadrado 
cuyo lado es : 
 
 
Por lo cual: 
 
El cuadrado de la suma, es igual al cuadrado del primer término, más dos veces el 
primero por el segundo, más el segundo al cuadrado. 
 
 
Ejercicio 1. 
 
Calcula el área del cuadrado de las dos formas diferentes: 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2. 
 
El resultado de es: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2) Binomios conjugados. 
 
Son de la forma su característica principal es que tienen los mismos 
términos, pero uno de ellos tiene signo contrario, de ahí el nombre de conjugados, 
al realizar el producto se obtiene una diferencia de cuadrados, esto es: 
 
 
 
 Geométricamente se puede interpretar que el área de un 
rectángulo cuyos lados son y es igual a la resta de dos cuadrados cuyos 
lados son a y b respectivamente. 
 
 
 
 
 
Observar que al efectuar el producto (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
También obtenemos 
 
 
 
 
 
Ejercicio: 
Al desarrollar se obtiene: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Binomios con término común. 
 
Son de la forma en este caso, sólo un elemento se repite en ambos 
paréntesis y al realizar el producto se obtiene que: 
 
 
 
El desarrollo es: 
 
El producto de dos binomios con término común es igual al cuadrado del término 
común más la suma de los términos no comunes por el común más el producto de 
los no comunes. 
 
Ejercicio: 
¿Cómo se vería geométricamente este producto? 
 
 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. 
 
Otro producto notable es el cuadrado de la diferencia de dos cantidades, es decir, 
supongamos que a y b son dos que primero se van a restar y el resultado se va a 
elevar al cuadrado. Donde: 
 
 
Por lo tanto: 
 (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 
Ejercicio: 
¿Cómo se vería geométricamente este producto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Factorización 
 
Como ya habíamos visto en aritmética, la multiplicación es la operación que consiste 
en multiplicar dos números llamados factores. Factorizar significa expresar un 
número o expresión algebraica como el producto de varios factores. Algunas 
factorizaciones muy frecuentes son las siguientes: 
 
1) Factorización de un monomio. 
 
Factorizar un monomio consiste en expresarlo como el producto de dos o más 
monomios. 
Ejemplo: 
 
10𝑎𝑏 = (2𝑎)(5𝑏) 
 
2) Factorización de polinomios 
 
No todo polinomio puede ser expresado como el producto de dos o más factores 
distintos de 1, pues hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas 
mismas y por 1, y que por lo tanto, no son el producto de otras expresiones 
algebraicas. 
Así 
 
 
Por lo tanto, existen diferentes formas de factorizar un polinomio: 
 
a) Polinomios, que tiene un monomio por factor común. 
 
Uno de los factores comunes más usados es el producto del máximo común divisor 
de los términos del polinomio, multiplicado por las variables comunes elevadas al 
menor exponente en que aparecen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo. 
Factorizar: 
Solución: 
Sabemos que: 
• El m.c.d. (9,18) = 9 
• Las variables comunes elevadas al menor exponente son: a y 𝑥2 
• El factor común: 9𝑥2𝑎 
 
Por lo tanto la factorización queda así: 
9𝑎3𝑥2 − 18𝑎𝑥3 = 9𝑥2𝑎(𝑎2 − 2𝑥) 
 
b) Factorización de un Trinomio cuadrado Perfecto 
 
Un Trinomio Cuadrado Perfecto es el producto de un binomio al cuadrado, para 
encontrar su factorización debes identificar el producto notable. 
 
Ejemplo. 
 
 
c) Factorización de una Diferencia de Cuadrados. 
 
Siempre que te encuentres una diferencia de cuadrados, es decir un polinomio de 
 la forma , recuerda que se puede factorizar como un binomio 
conjugado: 
 
 
Ejemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Factorización de Trinomios de la 
Forma: 𝒙𝟐 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
 
Un trinomio de la forma , se obtiene de desarrollar el producto de dos 
binomios en los que la variable , es un término común. Para factorizar este tipo de 
polinomios se busca una pareja de números cuyo producto sea “c” y cuya suma sea 
“b”. 
 
Por ejemplo, para factorizar 
: 
 
Se buscan dos números que al multiplicarlos nos de 8 y al sumarlos nos de 6. En este 
caso, los números que cumplen esto son 2 y 4. 
 Pues 2 𝑥 4 = 8 𝑦 2 + 4 = 6 
 
Por lo tanto: 
 
 
Los números también se pueden encontrar usando la formula general de segundo 
grado que se verá más a continuación. 
 
Ejercicio. Factorizar: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusiones: 
Hemos abreviado de la mejor manera lo que es el Algebra y algunos temas como lo son las 
expresiones algebraicas, términos semejantes, las ecuaciones de primer grado con una y con 
dos incógnitas, productos notables, factorización, entre otros temas; Nos ayuda a reconocer 
diferente métodos y procesos de resolución, aprendimos a resolver las ecuaciones de primer 
grado con métodos analíticos y gráficos así como también, nos ayuda a reconocer la 
importancia de los recursos tecnológicos de aprendizaje de las matemáticas. 
 
Retroalimentación: 
Resolver los ejercicios de matemáticas de la guía del IPN y de la UNAM 
Resolver los reactivos que se publicaron en la página del cecyt5.ipn.mx de la liga 500 reactivos. 
 
Pronto buscaremos una estrategia para resolver dudas usando medios de comunicación, 
favor de esta pendiente en la página y correos electrónicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sesión correspondiente al 25 de abril de 2020. 
 
Tema 2: Álgebra – Ecuaciones de segundo grado. 
Contenido: 2.9 Resolución de ecuaciones de segundo grado. 
Sesión: 15 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 15 Fecha: 25/04/2020 
 
Objetivo: Que los alumnos identifiquen de forma clara una ecuación cuadrática y pueda 
determinar que método puede utilizar para su solución. 
 
Aprendizajes esperados: Resolver una ecuación de segundo grado por medio de la 
factorización. 
 
Ecuación de la forma: ax2 + bx = 0, x2 + bx + c =0, formula general. 
 
Solución de las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0: 
 
Si se analiza esta forma se puede observar que los términos tienen un factor común, que es 
x, por lo tanto, se puede resolver por factorización. 
Ej. Resolver la ecuación. 
 
8x2 – 32x = 0 
 
Se factoriza el 1° miembro y se iguala cada factor a 0: 
 
X= 0 x (8x - 23) = 0 
 8x – 32 = 0 
 X = 32/8 
 X= 4 
Po último. Se comprueba los resultados, en la ecuación origina. 
 
8x2 – 32x = 0 
X1= 0 8(0) – 32(0) = 0 
X2= 4 8(4)2 32(4) = 0 
 8(16) – 128 = 0 
 128 – 128 = 0 
 
 
Ecuaciones de la forma x2 + bx+ c = 0: 
 
Se puede aplicar la factorización para resolver ecuaciones completas, si este en su3° 
termino es el producto de dos números y el 2° la suma o diferencia de éstos mismos. 
 
Ej. Resolver la ecuación. X2 + 9x + 18 = 0 
 
Se determina por medio de localizar dos números (6 y 3), si el 2° y 3° término cumple con 
las condiciones antes mencionadas. 
 
 18 = (6) (3) 
 9 = 6 + 3 
 
Por lo que cada número se coloca entre paréntesis con su respectiva x y se iguala 
a 0. 
 
 (x + 6 ) ( x + 3 ) = 0 
 
Se iguala a 0 cada factor y se resuelven las ecuaciones. 
 
 X + 6 = 0 
 X1 = -6 
 
 X + 3 = 0 
 X2 = -3 
 
Por último, se comprueban los resultados en la ecuación original. 
 
X1 = - 6 
(-6)2 + 9(-6) + 18 = 0 
36 – 54 + 18 =0 
54 – 54 = 0 
 
 
 
 
X2= -3 
(-3) 2 +9(-3) + 18 = 0 
9 – 27 + 18 = 0 
27 – 27 = 0 
 
La fórmula general es: 
 
𝑋 = 
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 
2𝑎
 
 
a = Coeficiente cuadrático 
b = Coeficiente lineal 
c = Coeficiente independiente 
 
 
Ejemplo 2x2 – 7x + 3 = 0 
 
Procedemos a obtener los valores de las variables para sustituir en la formula general. 
 
a = 2 b = - 7 c = 3 
 
𝑋 = 
−(−7) ± √(−7)2 − 4(2)(3) 
2(2)
 
 
X1 = (7 + 5 ) / 4 = 3 
 
X2 = (7-5) / 3 = 1/2 
 
Ejercicios 
 
A) 5x2 + 3x = 0 
B) 3x2 – 12x = 0 
C) 3x2 + 26x = 0 
D) 6x2 + 12x= 0 
E) 2x2 – 32= 0 
 
 
Conclusión: El alumno resuelve las ecuaciones de segundo grado identificando que método 
de factorización a utilizar. 
 
Referencia: 
 
https://ejerciciosalgebra.wordpress.com/2014/05/13/ecuaciones-incompletas-de-la-
forma-ax²bx-0/ 
https://www.google.com.mx/search?q=ecuaciones+de+segundo+grado+forma+ax2+%2B+
bx+%3D+0+ejercicios+resueltos&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwji86nU7s3o
https://www.google.com.mx/search?q=ecuaciones+de+segundo+grado+forma+ax2+%2B+bx+%3D+0+ejercicios+resueltos&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwji86nU7s3oAhVVYs0KHfdrAa0Q_AUoAXoECAwQAw&cshid=1585972203426380&biw=1366&bih=655#imgrc=QL1L3wgN30zdIM&imgdii=Ab_mdNbY0aXhtM
https://www.google.com.mx/search?q=ecuaciones+de+segundo+grado+forma+ax2+%2B+bx+%3D+0+ejercicios+resueltos&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwji86nU7s3oAhVVYs0KHfdrAa0Q_AUoAXoECAwQAw&cshid=1585972203426380&biw=1366&bih=655#imgrc=QL1L3wgN30zdIM&imgdii=Ab_mdNbY0aXhtM
AhVVYs0KHfdrAa0Q_AUoAXoECAwQAw&cshid=1585972203426380&biw=1366&bih=655
#imgrc=QL1L3wgN30zdIM&imgdii=Ab_mdNbY0aXhtM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 2: Álgebra – Ecuaciones de segundo grado. 
Contenido: 2.10 Solución de ecuaciones de segundo grado por el método gráfico. 
Sesión: 15 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 15 Fecha: 25/04/2020 
 
Objetivo: Que el alumno resuelva ecuaciones cuadráticas por el método gráfico 
 
Aprendizajes esperados: Que el alumno identifique una ecuación cuadrática para 
graficarla. 
 
 
Cuando encontramos los valores de “x” de una ecuación cuadrática “parábola” son 
muy importantes estos datos, porque nos define en donde la gráfica va a intersectar 
el eje “x”. 
https://www.google.com.mx/search?q=ecuaciones+de+segundo+grado+forma+ax2+%2B+bx+%3D+0+ejercicios+resueltos&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwji86nU7s3oAhVVYs0KHfdrAa0Q_AUoAXoECAwQAw&cshid=1585972203426380&biw=1366&bih=655#imgrc=QL1L3wgN30zdIM&imgdii=Ab_mdNbY0aXhtM
https://www.google.com.mx/search?q=ecuaciones+de+segundo+grado+forma+ax2+%2B+bx+%3D+0+ejercicios+resueltos&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwji86nU7s3oAhVVYs0KHfdrAa0Q_AUoAXoECAwQAw&cshid=1585972203426380&biw=1366&bih=655#imgrc=QL1L3wgN30zdIM&imgdii=Ab_mdNbY0aXhtM
 
Ejemplo: x2 – 4x + 1 = 0 graficamos y = x2 – 4x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 2x2 = 0 Graficamos Y = 2x2 
 
 
 
Ejemplo = -x2 + 3 graficamos Y = -x2 + 3 
 
 
 
Ejercicios 
 
A) Y = 3x2 – x +1 
B) Y = -x2 + x - 3 
C) Y = x2 + 5 
D) Y = 2x2 + 3 
E) Y = -5x2 
 
Conclusión: Que el alumno pude identificar una ecuación cuadrática y realiza la 
gráfica correspondiente. 
 
Referencias 
 
https://www.ck12.org/book/ck-12-álgebra-i-en-español/section/10.2/ 
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/metodo-grafico/ 
https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/ecuaciones-de-segundo-
grado/representacion-grafica-de-las-ecuaciones-de-segundo-grado-l10886 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/metodo-grafico/
https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/ecuaciones-de-segundo-grado/representacion-grafica-de-las-ecuaciones-de-segundo-grado-l10886
https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/ecuaciones-de-segundo-grado/representacion-grafica-de-las-ecuaciones-de-segundo-grado-l10886
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sesión correspondiente al 02 de Mayo de 2020. 
 
Tema 3: Triángulos y trigonometría. 
Contenido: 3.1 Rectas y ángulos. 
Sesión: 16 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 16 Fecha: 02/05/2020 
 
Objetivo: Identificar los conceptos básicos de trigonometría y geometría plana así 
como sus aplicaciones en un triángulo cualquiera. 
 
Aprendizajes esperados: 
 
Distinguir conceptos básicos como punto, recta, semirrecta, segmento de recta, línea 
curva. Interpretar los elementos y las características de los ángulos. 
Justificará que la suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo e 180°. 
Establecerá las relaciones de igualdad de ángulos que se forman al cortar dos rectas 
paralelas y una transversal y buscar argumentos que justifiquen dichas relaciones. 
 
Definición: 
 
La trigonometría es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las 
relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. 
 
Conceptos básicos: 
 
El punto: Es una figura geométrica adimensional, es decir, no tiene longitud, área, 
volumen, ni otro ángulo dimensional. El punto describe una posición en el espacio y 
está determinado respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas. 
 
La línea: Es una sucesión continua de puntos interminables e infinitos. 
 
La línea recta: Es una sucesión continua e indefinida de puntos en una sólo dimensión 
y está compuesta de infinitos segmentos. 
 
La línea curva: Es una línea continua de una dimensión que varía de dirección 
paulatinamente. 
 
Semirrecta: Es una línea que tiene un principio pero no tiene fin. 
 
Segmento: Es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados 
puntos extremos o finales. 
 
Ángulo: Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado 
vértice. El ángulo se designa por una letra mayúscula situada en el vértice, a veces se 
usa una letra griega dentro del ángulo o bien, tres letras señalando la letra central el 
vértice de dicho ángulo. Un ángulo se denota de la siguiente manera: ∡. 
 
 
 
 
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS 
 
A) Clasificación de acuerdo a la abertura de sus ángulos. 
 
Los ángulos se pueden clasifican de acuerdo a su abertura, reciben nombres 
específicos que los ubican en algún rango sin necesidad de realizar su medición o de 
asignarles una medida específica que permita su localización en las siguientes figuras 
geométricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) Clasificación de ángulos de acuerdo a su posición: 
 
Los ángulos de acuerdo a su posición con respecto a otros ángulos los clasificaremos 
en parejas de tal manera que facilite la medición. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1 de ángulos opuestos por el vértice: Encontrar el valor de 𝑋 e Y: 
 
 
 
 
Solución: Como son ángulos opuestos por el vértice, tenemos lo siguiente: 
 
Como ∡𝐴 = 110° entonces el ángulo ∡𝑋 = 110° por ser ángulo opuesto por el 
vértice. 
Y como el ∡𝐵 = 70° entonces el ángulo ∡𝑌 = 70° por ser ángulo opuesto por el 
vértice. 
 
Por lo tanto: 
 
 
C) Clasificaciónde ángulos según su suma: 
 
Según la suma de sus medidas, dos ángulos pueden ser complementarios o 
suplementarios. 
 
Dos ángulos son complementarios si suman 90°. 
 
 
 
 
Ejemplo 1: Cuál es el complemento de 80°? 
 
Solución: 
 
𝑋 + 80° = 90° 
Al despejar 𝑋 tenemos: 
𝑋 = 90° − 80° 
𝑋 = 10° 
 
Por lo tanto el complemento de 80° es un ángulo de 10°. 
 
 
 
Ejemplo 2: De la siguiente figura determinar los siguientes ángulos complementarios. 
a) ∡𝐾𝑂𝐿 = 
b) ∡𝐿𝑂𝑀 = 
 
 
 
Solución: 
 
La suma de los ángulos deben sumar 90° por ser complementarios, por lo que: 
4𝑋 + 2𝑋 = 90° 
 6𝑋 = 90° 
 𝑋 =
90°
6
 
 𝑋 = 15° 
Por lo tanto: 
a) ∡𝐾𝑂𝐿 = 2(15°) = 30° 
b) ∡𝐿𝑂𝑀 = 4(15°) = 60° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. 
 
Ejemplo 1: Cuál es el suplemento de 40°? 
 
Solución: 
 
𝑋 + 40° = 180° 
Al despejar 𝑋 tenemos: 
𝑋 = 180° − 40° 
𝑋 = 120° 
 
Por lo tanto el suplementario de 40° es un ángulo de 120°. 
 
Ejemplo 2: De la siguiente figura calcular el valor de los siguientes ángulos 
suplementarios. 
 
a) ∡𝐴𝑂𝐵 = 
b) ∡𝐵𝑂𝐶 = 
c) ∡𝐶𝑂𝐷 = 
 
 
La suma de los tres ángulos deben sumar 180° por ser suplementarios, por lo que: 
𝑋 − 1 + 𝑋 + 1 + 𝑋 − 1 = 180° 
 3𝑋 − 1 = 180° 
 3𝑋 = 180° + 1 
 3𝑋 = 181° 
 𝑋 =
181°
3
 
 𝑋 = 60.33° 
Por lo tanto: 
a) ∡𝐴𝑂𝐵 = 𝑋 − 1 = 60.33° − 1 = 59.33° 
b) ∡𝐵𝑂𝐶 = 𝑋 + 1 = 60.33° + 1 = 61.33° 
c) ∡𝐶𝑂𝐷 = 𝑥 − 1 = 60.33° − 1 = 59.33° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARALELISMO 
Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarlas no tienen 
ningún punto en común. 
El paralelismo se denota o expresa con el signo: ‖, ⫽. 
Así: 𝐿1 ⃡ ‖ 𝐿2 ⃡ . 
 
 
 
Una recta que corta a dos o más paralelas la llamaremos transversal o secante. 
Así: �⃡� , es la transversal y �⃡� ‖ �⃡�. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rectas paralelas cortadas por una secante 
 
 
• Ángulos internos: ∡𝐸, ∡𝐹 𝑦 ∡𝐺, ∡𝐻. Son aquellos ángulos que quedan 
determinados por la recta transversal y entre las rectas paralelas. 
 
• Ángulos externos: ∡𝐴, ∡𝐵 𝑦 ∡𝐶, ∡𝐷, Son aquellos ángulos que quedan 
determinados fuera de las rectas paralelas. 
 
• Ángulos alternos internos: ∡𝐸 𝑦 ∡𝐻; ∡𝐹 𝑦 ∡𝐺, como son ángulos no 
adyacentes ubicados en lados opuestos a la transversal y que además son iguales 
en medida, es decir, ∡𝐸 = ∡𝐻; ∡𝐹 = ∡𝐺. 
 
• Ángulos alternos externos: ∡𝐴 𝑦 ∡𝐷; ∡𝐵 𝑦 ∡𝐶, como son ángulos no 
adyacentes ubicados en lados opuestos a la transversal y que además son iguales 
en medida, es decir, ∡𝐴 = ∡𝐷; ∡𝐵 = ∡𝐶. 
 
 
• Ángulos conjugados internos: ∡𝐸 𝑦 ∡𝐺: ∡𝐹𝑦 ∡𝐻, se ubican en la misma 
transversal y que además son suplementarios, ∡𝐸 + ∡𝐺 = 180°; ∡𝐹 + ∡𝐻 =
180°. 
 
• Ángulos conjugados externos: ∡𝐴 𝑦 ∡𝐸; ∡𝐵 𝑦 ∡𝐷, se ubican en el mismo lado 
transversal y mismo lado de las rectas paralelas y que además son 
suplementarios, es decir; ∡𝐴 + ∡𝐸 = 180°; ∡𝐵 + ∡𝐷 = 180°. 
 
 
• Ángulos correspondientes: ∡𝐴 𝑦 ∡𝐺; ∡𝐵 𝑦 ∡𝐻, ∡𝐸𝑦 ∡𝐶; ∡𝐹 𝑦 ∡𝐷 están 
situados en el mismo lado de la transversal o secante, uno interno y otro externo 
y que además son iguales en medida, es decir; ∡𝐴 = ∡𝐺; ∡𝐵 = ∡𝐻, 
∡𝐸 = ∡𝐶; ∡𝐹 = ∡𝐷. 
 
• Ángulos opuestos por el vértice: ∡𝐴 𝑦 ∡𝐹; ∡𝐸 𝑦 ∡𝐵, ∡𝐺𝑦 ∡𝐷; ∡𝐶 𝑦 ∡𝐻, 
como son opuestos por el vértice entonces, ∡𝐴 = ∡𝐹; ∡𝐸 = ∡𝐵, 
∡𝐺 = ∡𝐷; ∡𝐶 = ∡𝐻. 
 
Ejemplo 1: Encontrar la medida de los siguientes ángulos 
 
 
Solución: 
 
Como son ángulos alternos externos, entonces son iguales, es decir: 
2𝑋 + 10 = 𝑋 + 20 
2𝑋 − 𝑋 = 20 − 10 
 𝑋 = 10 
Por lo tanto cada ángulo mide: 
 
2𝑋 + 10 = 2(10) + 10 = 20 + 10 = 30° 
 𝑋 + 20 = 10 + 20 = 30° 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Encontrar las medidas de los siguientes ángulos: 
 
 
Solución: 
 
Como son ángulos correspondientes, entonces son iguales, es decir: 
4𝑌 = 2𝑌 + 60 
4𝑋 − 2𝑌 = 60 
 2𝑌 = 60 
 𝑌 =
60
2
 
 𝑌 = 30 
 
Por lo tanto, al sustituir el valor de Y, cada ángulo mide: 
 
4𝑌 = 4(30) = 120° 
2𝑌 + 60 = 2(30) + 60 = 60 + 60 = 120° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIÁGULOS Y GENERARLIDADES 
 
Triángulo es la porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. 
 
 
Elementos básicos de un triángulo: 
 
Vértices: Son los puntos que unen los lados (aristas) del triángulo; A, B, C. 
Lados: Son los segmentos de recta del triángulo; a, b, c. 
Ángulos interiores: Son los ángulos que forman los lados del triángulo: 𝜶, 𝜷, 𝜸. 
 
 
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS 
 
1. De acuerdo a la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en tres tipos: 
 
 
 
2. De acuerdo a la abertura de sus ángulos internos, los triángulos se clasifican en 
tres tipos: 
 
 
 
CONCEPTOS GENERALES DE LOS TRIÁNGULOS 
 
A. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180°. 
 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180° 
 
B. La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo suman 360°. 
 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 360° 
 
C. Todo ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no 
adyacentes a él. 
 𝛼 + 𝛽 = 𝑋 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: Encontrar la medida de los ángulos. 
 
 
Solución: 
 
Para encontrar el valor de los ángulos se suman los tres ángulos y se igualan a 180° 
por ser ángulos interiores de un triángulo. 
 
2𝑌 + 3𝑌 + 4𝑌 = 180° 
 9𝑌 = 180° 
 𝑌 =
180°
9
 
 𝑌 = 20° 
 
Por lo tanto cada ángulo mide: 
 
2𝑌 = 2(20) = 40° 
3𝑌 = 3(20) = 60° 
4𝑌 = 4(20) = 80° 
 
Por lo que al sumar los tres ángulos nos tiene que dar 180°. 
40° + 60° + 80° = 180° 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios: 
 
1) Encontrar el valor Encontrar el valor de “X” y sus ángulos opuestos por el vértice. 
 
 
 
2) Observa la siguiente figura y contesta lo que se te pide delante de cada 
pregunta. 
 
 
 
a) ¿Cómo son los ángulos 1 y 4? 
b) ¿Cómo son los ángulos 1 y 3? 
c) ¿Cómo son los ángulos 2 y 4? 
d) ¿Cómo son los ángulos 2 y 3? 
 
 
3) Encontrar el valor de cada ángulo: 
 
 
 
a) ∡𝐴𝑂𝐵 = 
b) ∡𝐵𝑂𝐶 = 
c) ∡𝐶𝑂𝐷 = 
 
 
4) De la siguiente figura calcular 
 
a) ∡𝐾𝑂𝐿 = 
b) ∡𝐿𝑂𝑀 = 
c) 𝑀𝑂𝑁 = 
d) ∡𝑁𝑂𝑃 = 
 
 
5) Encontrar el valor del ángulo “X”. 
 
 
6) Encontrar el valor de los ángulos que faltan. 
 
 
 
Conclusión: Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de 
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos para la comprensión y análisis 
de situaciones reales o formales, formula y resuelve problemas matemáticos, 
aplicando diferentes enfoques. 
 
Referencias: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=2OPoYzg_E58 
https://www.youtube.com/watch?v=RIIx0r3V7Yw 
 
 
Tema 3: Triángulos y trigonometría. 
Contenido: 3.2 Semejanza de triángulos. 
Sesión: 16 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 16 Fecha: 02/05/2020 
 
Objetivo: Reconocer y construir triángulos semejantes utilizando cualquier criterio 
estudiado. 
 
Aprendizajes esperados: 
 
Caracteriza a las relaciones trigonométricas según sus disposiciones y sus 
propiedades. 
Interpreta y construye relaciones trigonométricas en el triángulo. 
Significa los criterios de congruencia de triángulos constructivamente mediante 
distintos medios. 
Interpreta visual y numéricamente al Teorema de Tales en diversos contextos y 
situaciones cotidianas. 
 
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS 
 
Definición: Un triángulo es congruente con otro, o igual a otro, si tiene todos sus 
lados y ángulo respectivamente iguales a los lados y ángulos del otro. 
La congruenciase denota de la siguiente forma: ≅. 
 
Criterios de congruencia: 
 
1. Lado – ángulo – lado (LAL): Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son 
iguales a los correspondientes de otro triángulo. El símbolo que se utiliza es la 
siguiente: ≅. 
https://www.youtube.com/watch?v=2OPoYzg_E58
https://www.youtube.com/watch?v=RIIx0r3V7Yw
 
𝑆𝑖 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅ , ∡𝐶 = ∡𝐶´ 𝑦 𝐶𝐵̅̅ ̅̅̅ = 𝐶´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ , Entonces ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴´𝐵´𝐶´ 
 
 
 
2. Ángulo – lado – ángulo (ALA): Dos ángulos y el ángulo común a ambos son 
iguales a los correspondientes de otro triángulo. 
 
𝑆𝑖 ∡𝐴 = ∡𝐴´, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑦 ∡𝐵 = ∡𝐵´ Entonces ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴´𝐵´𝐶´ 
 
3. Lado – lado – lado (LLL): Tres lados son iguales a los correspondientes de otro 
triángulo. 
 
𝑆𝑖 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅̅̅̅ = 𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅ Entonces ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴´𝐵´𝐶´ 
 
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
 
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y 
sus lados proporcionales. 
 
El símbolo que se utiliza es la siguiente:~. 
 
Criterios de semejanza 
 
1. Primer criterio (AA): Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos 
iguale y sus lados proporcionales. 
 
 
 
 Si el ∡𝐴 = ∡𝐴´ 𝑦 ∡𝐵 = ∡𝐵´ Entonces ∆𝐴𝐵𝐶~𝐴´𝐵´𝐶´ además 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
𝐶´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 
 
2. Segundo criterio (LAL): Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos 
lados proporcionales y un ángulo igual. 
 
 
 Si el ∡ ∝= ∡ ∝ ´ Y 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
 Entonces ∆𝐴𝐵𝐶~𝐴´𝐵´𝐶´. 
 
3. Tercer criterio (LLL): Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres 
lados proporcionales. 
 
Si 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
𝐶´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
 Entonces ∆𝐴𝐵𝐶~𝐴´𝐵´𝐶´. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo1: De la siguiente figura determinar el valor de 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ . 
 
Solución: 
 
El triángulo ∆𝐾𝑀𝐿~𝐾𝑁𝑍 si sus ángulos ∡𝑍 = ∡𝐿 ; ∡𝑁 = ∡𝑀 Usando el primer 
criterio de semejanza 
𝐿𝐾̅̅ ̅̅
𝑍𝐾̅̅ ̅̅
=
𝑀𝐿̅̅ ̅̅
𝑁𝑍´̅̅ ̅̅ ̅
 
Sustituyendo los valores, tenemos: 
 
44
4
=
𝑀𝐿̅̅ ̅̅
5
 despejando 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , tenemos: 
𝑀𝐿̅̅ ̅̅ =
5(44)
4
 
𝑀𝐿̅̅ ̅̅ =
220
4
 
𝑀𝐿̅̅ ̅̅ = 55 
Por lo tanto 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ vale 50. 
 
Ejemplo 2. Calcular la altura del globo aerostático tomando en cuenta que el 
triángulo entre el carro y el árbol es semejante al del globo y al del carro. 
 
 
 
Solución: Tomando en cuenta que los triángulos formados son semejantes, podemos 
observar que la base del triángulo pequeño es proporcional a la base del triángulo 
grande y de la misma forma nos podemos percatar de que la altura del triángulo 
pequeño es proporcional a la altura del triángulo grande. 
 
 
 
Entonces 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴´𝐵̅̅ ̅̅ ̅
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
 Sustituyendo los valores nos queda: 
 
62
2
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
1
 despejando 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ nos queda 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =
1(62)
2
=
62
2
= 31 
 
Por lo tanto, la altura del globo aerostático es de 31m. 
 
THEOREMA DE THALES 
 
Dado un triángulo 𝐴𝐵𝐶, si se traza un segmento paralelo, 𝐵´𝐶´ , a uno de los lados 
del triángulo se obtiene otro triángulo 𝐴𝐵´𝐶´, cuyos lados son proporcionales a los 
del triángulo 𝐴𝐵𝐶. 
 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐵´̅̅ ̅̅ ̅
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐶´̅̅ ̅̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐵´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 
Ejemplo 1: Sabiendo que el segmento DE es paralelo a la base del triángulo, cuánto 
mide “a” y cuanto mide “b”. 
 
 
Solución: Para el valor de a hacemos lo siguiente: 
𝑎 = 20𝑚 − 5𝑚 = 15𝑚 
Por lo tanto “a” mide 15m. 
 
 
 
 
Para “b” hacemos lo siguiente: 
Aplicando el Teorema de Thales de Mileto, nos queda: 
𝑎
𝑏
=
6
7
 
 
Como 𝑎 = 9 Entonces: 
9
𝑏
=
6
7
 
 
6𝑏 = 9(7) 
6𝑏 = 63 
𝑏 =
63
6
 
𝑏 = 10.5 
 
Por lo tanto ”b” mide 10.5m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios: 
1. Determinar si las figuras siguientes son o no semejantes. 
Calcular el perímetro del ∆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑦 ∆𝐴´𝐵´𝐶´𝐷´ y decir en qué razón se 
encuentran. 
 
 
2. Un joven debe medir el ancho del rio que pasa cerca de su propiedad, pero no 
puede llegar al otro lado. Sabiendo que: 
a) El segmento de recta CD mide 2m. 
b) El segmento de recta CE mide 3m. 
c) El segmento de recta EB mide 18m. 
¿Cuánto mide el segmento de recta AB que es aproximadamente, el ancho del río? 
 
 
 
Conclusión: En el tema de semejanza de triángulos se realiza con la intensión de 
facilitar el proceso de enseñanza – aprendizaje del alumno, con diferentes 
actividades auxiliares para que el alumno identifique y comprenda los criterios de 
congruencia y semejanza de triángulos y así el alumno pueda hacer una aplicación 
útil en la vida cotidiana. 
 
Referencias: 
https://www.youtube.com/watch?v=U4MTmLvvKQ4 
https://www.youtube.com/watch?v=4MxChkgm370 
https://www.youtube.com/watch?v=staL7w-eT58 
https://www.guao.org/sites/default/files/Teorema%20de%20Thales.pdf 
 
Sesión correspondiente al 09 de Mayo de 2020. 
 
Tema 3: Triángulos y Trigonometría. 
Contenido: 3.3 Teorema de Pitágoras. 
Sesión: 17 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 17 Fecha: 09/05/2020 
 
Objetivo: Analizar y aplicar el Teorema de Pitágoras en la resolución de problemas. 
https://www.youtube.com/watch?v=U4MTmLvvKQ4
https://www.youtube.com/watch?v=4MxChkgm370
https://www.youtube.com/watch?v=staL7w-eT58
https://www.guao.org/sites/default/files/Teorema%20de%20Thales.pdf
 
Aprendizajes esperados: Analice, distinga y aplique el Teorema de Pitágoras en la 
resolución de problemas. 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Este teorema se empezó a aplicar en Babilonia y en la India, pero fue en la escuela 
pitagórica donde hicieron la demostración formal del mismo y de su converso. 
Pitágoras contribuyó al avance de las matemáticas, la filosofía y la geometría. 
Este teorema permite que se relacionen los tres lados de un triángulo rectángulo por 
lo que si se conocen las dimensiones de dos lados se puede encontrar la medida del 
otro. Y por el contrario si tres lados cumplen con este teorema podemos decir que el 
triángulo que los contiene es rectángulo. 
 
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (un ángulo que mide 90°). 
A los lados que forman el ángulo recto se les denomina CATETOS y al lado más grande 
que es el que queda frente al ángulo de 90° HIPOTENUSA. 
 
 
 
 
 HIPOTENUSA 
 CATETO 
 
 90° 
 
 CATETO 
 
 
 
 
 
Ejercicio: en los siguientes triángulos indica cuáles son los catetos y la hipotenusa 
(coloca un h si es la hipotenusa y una a, a los catetos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta: 
 a 
 
 h a a a 
 h 
 a h h 
 a a 
 a 
 
Para demostrar el Teorema, trazamos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 
3cm y 4cm respectivamente y la hipotenusa 5cm. 
 
 
 
 
Trazamos los cuadrados en cada uno de los lados del rectángulo y obtenemos sus 
áreas. 
Recordemos que el área de un cuadrado se obtiene multiplicando ladopor lado 
 
 
 
 
 
 
Si sumamos las áreas de los catetos nos da el área de la hipotenida a2 + b2 = c2 
 9 + 16 = 25 
Si restamos el área de un cateto a la hipotenuda nos da el área del otro c2 – a2 = b2 
 25 – 9 = 16 
 c2 – b2 = a2 
 25 -16 = 9 
 
 
 
 
Resuelve los siguientes ejercicios: 
 
 
 c 
 10cm 
 
 12 cm 
 
 12 
 
10 x 10 = 100 
12 x 12 = 144 
 
 
Como falta hipotenusa se suman 
100 + 144 = 244 que es el área del cuadrado de la hipotenusa 
 
 
 
 
 
Para obtener el valor de la hipotenusa se obtiene la raíz cuadrada del área del 
cuadrado de la misma. 
 244 = 15.62 cm 
 15.62 
 10 cm 
 
 12cm 
Ejercicio 2: 
 
 
 15 26 
 
 
 
 
 x 
15 x 15 = 225 
26 x 26 = 676 
676 – 225 = 451 
 
 
 
Raíz de 451 = 21.23 
Como falta cateto se restan 
X = 21.23 
 
Ejercicio 3: 
 
 18 
 
 38 
 
 
 Y 
 
 
 
18 x 18 = 324 
38 x 38 = 1444 
Como falta cateto se restan 
1444 – 324 = 1120 
Raíz de 1120 = 33.46 
Y = 33.46 
 
Ejercicio 4: 
 8 cm 
 
 
 12 cm 
 
 
 
 
 
 
 
12 x 12 = 144 
8 x 8 = 64 
Como falta hipotenusa se suman 
144 + 64 = 208 
Y para sacar la medida del lado teniendo el área del cuadrado se saca raíz cuadrada 
144 + 64 = 14.42 cm 
 
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 
 
1.- Un árbol mide 28m de alto y proyecta una sombra de 14m a una hora determinada 
del día. Se quiere colocar un cable de lo alto del árbol al punto final de su sombra 
¿Cuánto medirá el cable? 
 
 
 
 14 m 
El cable representa la hipotenusa del triángulo que se forma por lo que se aplica el 
Teorema de Pitágoras 
 
c2 = a2 + b2 
c2 = 282 + 142 
c2 = 784 + 196 
c2 = 980 
c = 980 
c = 31.30 
Por lo que el cable deberá medir 31.30 m. 
 
2.- Desde una torre de 96m de alto se coloca un cable de 185 m. con luces hasta el 
pie de un poste. ¿A qué distancia del poste se encuentra la torre? 
 c2 – b2 = a2 
 
 X 
 
 
185 x 185 = 34,225 
96 x 96 = 9,216 
Como falta cateto se restan 
34,225 – 9,216 = 25,009 
Se obtiene la raíz de 25,009 
 25,009 = 158.14 m. 
 
28 
185cm 
a2 + b2 = c2 
3.- Una escalera de 25 m. se recarga en una pared a una altura determinada, la 
distancia que hay de la pared al pie de la escalera es de 4 m. ¿A qué altura de la pared 
se recargó la escalera? 
 c2 – a2 = b2 
 
 
 X 25 
 
 
 4 
25 x 25= 625 
 4 x 4 = 16 
Falta cateto entonces se restan las áreas 
625 – 16 = 609 
Obtenemos la raíz cuadrada de 609 para conocer el lado del cuadrado del cateto 
Raíz de 609 = 24.6 m 
 
 
4.- Un papalote se encuentra se encuentra a una distancia de 6m. de Carla (a nivel 
del suelo), Y ha soltado 8 m. de hilo. ¿A qué altura se encuentra dicho papalote? 
 
b2 = c2 – a2 
 
8 x 8 = 64 
6 x 6 = 36 
Como falta cateto se restan las áreas obtenidas 
64 – 36 = 28 
Se obtiene la raíz de 28 que es 5.2 m 
El papalote se encuentra a 5.2 m de altura 
 
 
5.- ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero de 6 cm de lado? 
 
 
 
 
 
 6 
La fórmula del área de un triángulo es b x h 
 2 
Tenemos la medida del lado, pero no la de la altura la cual la obtenemos mediante 
el teorema de Pitágoras. 
El triángulo rectángulo que queda representado con la altura mide de base 3 y de 
apotema 6. 
 6 x 6 = 36 
 3 x 3 = 9 
Como falta un cateto se restan los valores obtenidos 
36 – 9 = 27 
Sacamos la raíz de 27 que es 5.1 cm 
Como ese valor es la altura, al sustituir en la fórmula del área queda: 
 
b x h = 6 x 5.1 = 15.3 cm2 
 2 2 
 
6.- ¿Cuánto miden los lados de un cuadrado cuya diagonal mide d= 298 cm? 
 
 
 
d = L2 + L2 
298 = 2L2 
Sustituimos los valores 
298/2 = L2 
Despejar L que es el valor desconocido 
169 = L2 
Raíz de 169 = 13 
Por lo que la diagonal vale 13cm 
 
 
7.- En un hospital se tiene que construir una rampa como la que se muestra en la 
figura. ¿Qué medida va a tener dicha rampa? 
 
 
 
Como tenemos el área del triángulo rectángulo que queda determinado, podemos 
obtener la altura despejándola de la fórmula del área. 
A = b h sustituyendo valores 9 = (6)a 
 2 2 
 
 
Despejando (9)(2) = 6a 
 18 = 6a 
 18/6 = a 
 3 = a 
 
Entonces ya tenemos el valor de la altura a que es 3. 
Para obtener el valor de la rampa (la hipotenusa), aplicamos el teorema de Pitágoras 
 
c2 = a2 + b2 
c2 = 32 + 62 
c2 = 9 + 36 
c2 = 45 
c = raíz de 45 
c = 6.7 m 
Por lo tanto, la rampa va a medir 6.7 m. 
 
 
8.- Calcula el perímetro del siguiente rombo 
 
 8cm 
 20 
 20 cm 
 
Se observa que se forma un triángulo rectángulo con medidas de catetos 10cm y 4cm 
respectivamente para poder encontrar el valor de la hipotenusa que es el lado del 
rombo para poder obtener su perímetro. 
c2 = a2 + b2 
c2 = 102 + 42 
c2 = 100 + 16 
c2 = 116 
y se obtiene la raíz de 116 
c = 10.77 
El lado del rombo mide 10.77 
Para obtener su perímetro es 
4L = 4(10.77) = 43.08 
Perímetro = 43.08 cm 
 
 
 
 
Conclusión: El teorema de Pitágoras para poder aplicarse tiene que ser en un 
triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto son los catetos y el lado 
mayor y que queda enfrente del ángulo recto es la hipotenusa. 
Si falta hipotenusa se suman los cuadrados de los catetos y se obtienen la raíz 
Si falta un cateto se resta el cuadrado del cateto al cuadrado de la hipotenusa y se 
saca la raíz de la diferencia encontrada.