Electromagnetismo__Cap_tulo_6__Tarea_resnick

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Capítulo 6: Corriente y resistencia
Solución de los ejercicios 1, 9, 10, 18, 19 y 20.
1. Durante 4.0 minutos se establece una corriente de 5.0 amperes en un cable, ¿cuántos a) Coulombs y b)
electrones pasan por cualquier sección transversal a lo ancho del cable?
SOLUCIÓN: a) Partimos de que la corriente eléctrica está definida como
i =
dq
dt
y para una corriente eléctrica constante en un intervalo de tiempo t podemos decir
q =
∫
dq =
∫ t
0
i dτ = i
∫ t
0
dτ = it
Donde dτ es un diferencial de tiempo. Entonces la cantidad de carga en Coulombs en un tiempo t que pasa
sobre un cable con una corriente eléctrica constante i es
q = it = 5.0 A( 240 s) = 5.0
C
s
( 240 s) = 1200 C
b) Además sabemos que
1C = 6.24150975 × 1018e
Entonces la cantidad de electrones que pasan a través del cable es
1200 C = (1200)(6.24150975 × 1018 e) = 7.4898 × 1021e.
9. La magnitud J(r) de la densidad de corriente en un alam-
bre cilíndrico está dada como una función de la distancia radial
desde el centro de una sección transversal del alambre como
J(r) = Br, donde r está en metros, J en amperes por metro cua-
drado y B = 2.00 × 105 A/m3. Esta función es válida a distan-
cias radiales mayores a 2.00 mm. ¿Cuánta corriente es contenida
dentro del ancho de un delgado anillo concéntrico con el alambre si el anillo tiene un ancho de 10.0 µm y está
a una distancia radial de 1.20 mm?
SOLUCIÓN: Si se corta al cilindro con el plano xy de tal manera que se obtiene una sección transversal de
este y cuyo centro radial coincide con el origen del sistema de referencia como se observa en la Figura 26-9 y
suponiendo que la densidad de corriente tiene la misma dirección que el vector ẑ, el vector diferencial de área
está dado por d ~A = dAẑ = rdrdθ ẑ. Entonces, para obtener la corriente contenida en el anillo, se integra desde
r = r1 = 1.2 × 10−3 m hasta r = r2 = 1.21 × 10−3 m y desde un ángulo θ = 0 rad hasta θ = 2π:
i =
∫ 2π
0
∫ r2
r1
(Br ẑ) · (rdrdθ ẑ) = B
(∫ r2
r1
r2dr
) (∫ 2π
0
dθ
)
=
2
3
πB(r2 3 − r1 3) =
2
3
π(2.00 × 105A/m3)(1.00 × 10−5m3) = ((1.21 × 10−3m)3 − (1.2 × 10−3m)3)
= 18.27 µA
1
10. La magnitud J de la densidad de corriente en un cierto cable de laboratorio con una sección circular trans-
versal de radio R = 2.00 mm está dado por J = (3.00×108)r2 con J en amperios por metro cuadrado y distancia
radial r en metros. ¿Cuál es la corriente a través de la sección exterior entre r = 0.900R y r = R?
SOLUCIÓN: Ya que la densidad de corriente no es constante a través de una sección transversal, utilizaremos
la siguiente ecuación:
i =
∫
~J · d ~A
Debemos integrar la porción del cable correspondiente a r = 0.900R y r = R. La densidad de corriente de ~J
(a lo largo del cable) y el vector del diferencial de área d ~A (perpendicular a la sección circular transversal del
cable) tienen la misma dirección, así:
~J · ~A = J dA cos 0 = J dA
Sustituiremos el diferencial de área dA con el área de un anillo delgado con ancho dr y circunferencia 2π r tal
que r sea la variable de integración.
i =
∫
J dA
=
∫ R
.9R
3.00 × 108 r22πr dr
= 2π (3 × 108)
A
m4
∫ R
.9R
r3 dr
Integrando se tiene que:
= 2π (3 × 108)
A
m4
[
1
4
r4
]R
.9R
= 2π (3 × 108)
A
m4
[
1
4
R4 −
1
4
(.9R)4
]
=
π (3 × 108)
2
A
m4
[
R4 − .9R4
]
=
π (3 × 108)
2
A
m4
[
(2 × 10−3 m)4 − (.9 (2 × 10−3 m))4
]
= 2.59 mA
18. Un cable de 4, 00 m de largo y 6, 00 mm de diá-
metro tiene una resistencia de 15, 0 mΩ, al que se le
aplica una diferencia de potencial de 23, 0 V entre
los extremos. (a) ¿Cuál es la corriente en el cable?
b) ¿Cuál es la magnitud de la densidad actual? (c)
Calcule la resistividad del material de alambre. (d)
Utilizando la Tabla 26-1, identifique el material.
SOLUCIÓN: a) Por definición de resistencia cono-
cemos la siguiente expresión:
R =
V
i
2
⇒ i =
V
R
Sustituimos los valores dados por el problema:
i =
23 V
0.015 Ω
= 1, 533.3 A
b) Si expresamos a la corriente en términos de la densidad de corriente podemos escribir:
i =
∫
~J · d ~A (1)
Dado nuestro sistema de referencia de la figura 18.6 podemos observar que el vector con dirección a la que
se dirigen los portadores de carga positiva ~v forma un ángulo θ = 0◦ con el vector de dirección del área de la
sección tranversal del objeto por el que pasa la corriente d ~A, por lo cual podemos desarrollar (1) de la siguiente
forma:
i =
∫
~J · d ~A =
∫
J dA cos 0◦ = J
∫
dA = J
∫ 2π
0
∫ D
2
0
r dr dθ = J
D2
4
2
2π =
J D2 π
4
⇒ J =
4i
πD2
Sustituyendo por los valores dados en el problema:
J =
4 (1, 533.3 A)
π (0.006 m)2
=
6, 133.333
π (0.000036)
A
m2
= 54, 230, 570.25
A
m2
c) Sabemos que la resistividad ρ está definida por:
ρ =
E
J
=
V
L
i
A
=
V
i
A
L
= R
A
L
Sustituimos los valores dados por el problema en la expresión anterior, por lo que tenemos:
ρ =
0.015 π (0.006)2
4 4
Ω m2
m
=
1.696 × 10−6
16
Ω m = 1.06 × 10−7 Ω m = 10.6 × 10−8 Ω m
3
d) De acuerdo a la tabla 26-1 y a la resistividad obtenida previamente, el material del que está hecho el cable
es de platino
19. ¿Cuál es la resistividad de un cable de 1.0 mm de diámetro, 2.0 m de largo y 50 mΩ de resistencia?
SOLUCIÓN: De acuerdo a nuestro libro, la resistencia de un cable de longitud L y área de sección transversal
uniforme viene dada por la siguiente relación:
R = ρ
L
A
⇒
RA
L
= ρ.
Donde ρ es la resistividad de algún cable de área de sección transversal A y longitud L. El área de sección
transversal del cable corresponde al área de un círculo de radio r = (1/2) mm = 5 × 10−4 m. Es decir:
A = πr2 = π(2.5 × 10−7) m2.
La resistencia es R = 50 mΩ = 5 × 10−2Ω
⇒ ρ =
(5 × 10−2 Ω)((π)(2.5 × 10−7)) m2
2 m
= 2.0 × 10−8 Ω ·m.
Por lo tanto, la resistividad del cable es de 2.0 × 10−8 Ω ·m.
20. Cierto alambre tiene una resistencia R ¿cuál es la resistencia de un segundo alambre hecho del mismo
material que es la mitad de largo y tiene la mitad de diámetro?
SOLUCIÓN: Sabemos que la resistencia del primer alambre viene dada mediante la siguiente fórmula:
R = ρ
L
A
= ρ
L
πr2
.
Si ahora nuestro segundo alambre del mismo material tiene la mitad de largo y la mitad de diámetro, su resis-
tencia viene dada por:
R2 = ρ
1
2
L
π
(
1
2
r
)2 = ρ
1
2
L
π
1
4
r2
= ρ
4L
2πr2
= 2ρ
L
πr2
.
Por lo tanto la resistencia del segundo alambre es:
R2 = 2R.
4