Electromagnetismo__Cap_tulo_8__Tarea_resnick

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Capítulo 8: Campo magnético debido a la corriente
Solución de los ejercicios 6, 7, 13, 35 y 46.
6. En la Fig. 29-38, el punto P está a una distancia perpendicular R = 0.02 m de un cable recto muy fino que
lleva una corriente. El campo magnético ~B que actúa sobre el punto P se debe a las contribuciones de todos los
elementos idénticos de longitud de corriente i d~s a lo largo del cable. ¿Cuál es la distancia s al elemento que
hace (a) la mayor contribución al campo ~B y (b) el 10.0 % de la mayor contribución en el punto P?
SOLUCIÓN: Se considerará que los electrones libres de conducción se dirigen en dirección de −k̂, por lo que
la corriente eléctrica fluye en dirección de k̂. Con esto y el diagrama, se tiene:
~r = R ĵ,
~r ′ = sk̂ y
d~s = dsk̂.
Como cada elemento idéntico de la longitud de corriente realiza una contribución al campo magnético en el
punto P, que es perpendicular al elemento de corriente, hacemos uso de la ley de Biot-Savart, ya que, esta
relaciona la contribución del campo magnético y su elemento de corriente generador:
d~B(~r) =
µ0
4π
id~s × (~r − ~r ′)
|~r − ~r ′|3
,
donde
~r − ~r ′ = R ĵ − sk̂,
|~r − ~r ′| =
√
(R ĵ − sk̂) · (R ĵ − sk̂) =
√
R2 + s2,
id~s × (R ĵ − sk̂) = (idsR)
(
k̂ × ĵ
)
− (isds)
(
k̂ × k̂
)
= iRds(−î).
1
Sustituyendo estos valores en nuestra ecuacion, obtenemos que
d~B(~r) =
µ0
4π
iRds(
R2 + s2
) 3
2
(−î).
Por lo tanto, la magnitud del campo eléctrico está dada de la siguiente manera:
dB(r) =
µ0
4π
iRds
(s2 + R2)
3
2
.
a) A partir de la ultima ecuación, podemos notar que la magnitud de la contribución diferencial dB al campo
magnético es inversamente proporcional a la distancia s, por lo que, la contribución al campo magnético
será máxima cuando s = 0, de esta forma obtenemos
dB(r)max =
µ0
4π
iRds
(0 + R2)
3
2
=
µ0
4π
ids
R2
.
b) Buscamos la distancia s del elemento cuya contribución al campo magnético es igual al 10.0 % de la
máxima contribución, es decir buscamos el valor s para el cual
dB(r) =
dB(r)max
10
µ0
4π
iRds
(s2 + R2)
3
2
=
1
10
(
µ0
4π
ids
R2
)
.
Resolviendo la ecuación para s:
µ0
4π
iRds
(s2 + R2)
3
2
=
1
10
(
µ0
4π
ids
R2
)
=⇒
R
(s2 + R2)
3
2
=
1
10R2
=⇒ 10R3 = (s2 + R2)
3
2
=⇒ s = R
√
10
2
3 − 1.
La ecuación anterior solo toma el caso donde la raíz es positiva, debido a que s es una distancia.
Sustituyendo el valor de R
s = (0.02 m)
√
10
2
3 − 1
= 0.0382 m.
7. En la figura 29-39 dos arcos circulares tienen un radio a = 13.5 cm y b = 10.7 cm con un ángulo θ = 74.0◦,
llevan corriente i = 0.411 A y comparten el mismo centro de curvatura P. ¿Cuál es (a) la magnitud y (b)
dirección, (adentro o afuera del texto) del campo magnético en el punto P?
2
SOLUCIÓN: Las partes de los extremos del alambre, al ser radiales al punto P su longitud de arco es 0 por lo
que podemos descartar su aporte al campo magnético ya que es 0, por lo que únicamente nos concentraremos
en el campo magnético dado por los 2 arcos.
Para identificar la dirección del campo magnético producido por los arcos se considerará al plano formado por
el conductor y la regla de la mano derecha. El campo magnético producido por el arco de radio a apunta hacia
"dentro"de la página (la cual se considerará como la dirección negativa del versor k̂ perpendicular al plano); el
campo magnético producido por el arco de radio b, hacia "fuera"de la pantalla (esta será la dirección de k̂). Por
lo que el campo magnético en P está dado por:
~B(~r) = (Bb − Ba)k̂
La magnitud del campo magnético producido por una corriente que circula en un conductor en forma de arco
es igual a la magnitud del campo magnético producido por una corriente de la misma intensidad que circula en
un conductor con forma de aro del mismo radio multiplicado por el arco que subtiende el primer conductor, lo
que significa que:
~B(~r) =
(
µiθ
4πb
−
µiθ
4πa
)
k̂
=
µiθ
4π
(
1
b
−
1
a
)
k̂.
Al sustituir los valores conocidos se obtiene:
~B(~r) =
(4π × 10−7 Tm/A)(0.411 A)(1.29 rad)
4π
(
1
0.107 m
−
1
0.135 m
)
k̂.
Por lo que la magnitud del campo magnético (a) es:
B = 1.02 × 10−7 T.
Se tiene que su dirección es k̂, es decir, la dirección del campo magnético (b) es hacia "fuera"de la hoja.
13. En la figura 29-44 el punto P1 está a una distancia R = 13.1 cm
en la bisectriz perpendicular de un alambre recto de longitud L =
18.0 cm que lleva una corriente i = 58.2 mA (Note que el alambre
no es largo). ¿Cuál es la magnitud del campo magnético debido a
la corriente i?
3
SOLUCIÓN: Para calcular la magnitud del campo magnético de-
bido a la corriente i se utiliza la siguiente relación:
dB =
µ0i
4π
sin(θ)
r2
dx.
Al integrar a ambos lados se obtiene:
B =
∫
µ0i
4π
sin(θ)
r2
dx =
µ0i
4π
∫
sin(θ)
r2
dx. (1)
Procedemos a trabajar con la integral
∫
sin(θ)
r2 dx, por lo que buscamos ponerla en términos de x. Para esto
colocamos el origen del sistema de coordenadas en el punto medio del alambre (como se muestra en la figura
29-44), y de esto podemos tener las siguientes relaciones:
sin(θ) =
R
(x2 + R2)
1
2
y r2 = x2 + R2.
Dado que nos interesa calcular la magnitud del campo magnético en el alambre, integraremos de − L2 hasta
L
2 .
Al sustituir con las relaciones anteriores obtenemos lo siguiente:
∫
sin(θ)
r2
=
L
2∫
− L2
R
(x2 + R2)
3
2
dx = R
L
2∫
− L2
dx
(x2 + R2)
3
2
(2)
Procedemos a calcular (2)
Sea x = R tan(u)→ u = arctan( xR ). Y además dx = R sec
2(u)du. Sustituimos estas relaciones en (2) (Omitiendo
por ahora los límites de la integral y la constante resultante)
R
∫
dx
(x2 + R2)
3
2
dx = R
∫
R sec2(u)
((R tan(u))2 + R2)
3
2
du = R
∫
R sec2(u)
(R2 tan2(u) + R2)
3
2
du
⇒ R
∫
R sec2(u)
(R2(tan2(u) + 1))
3
2
du = R
∫
R sec2(u)
(R2 sec2(u))
3
2
du
⇒ R
∫
R sec2(u)
R3 sec3(u)
du = R
∫
1
R2 sec(u)
du =
R
R2
∫
du
sec(u)
⇒
1
R
∫
cos(u)du =
sin(u)
R
.
Recordemos que u = arctan( xR )
sin u
R
=
sin(arctan( xR ))
R
=
x
R2
√
x2
R2 + 1
=
x
R
√
x2 + R2
.
Ahora, volvemos a la ecuación 1 con los resultados anteriormente obtenidos:
B =
µ0i
4π
∫
sin(θ)
r2
dθ =
µ0i
4π
x
R
√
x2 + R2
∣∣∣∣∣∣
L
2
− L2
B =
µ0i
4πR
 (
L
2 )√
( L2 )
2 + R2
−
(− L2 )√
(− L2 )
2 + R2

4
B =
µ0i
4πR
[
2L
√
L2 + 4R2
]
Finalmente, sustituimos con los datos conocidos:
B =
(1.26 × 10−6 TmA )(58.2 × 10
−3A)
4π(0.131m)
 2(0.18m)√
(0.18m)2 + 4(0.131m)2

= 5.04 × 10−8T
Figura 29-63.
35. La figura 29-63 muestra la sección transversal del cable 1: el
cable es largo y recto, transporta una corriente de 4.00 mA fuera de
la página y está a una distancia d1 = 2.40 cm de la superficie. El
cable 2, paralelo al cable 1 y también es largo, está a una distancia
horizontal d2 = 5.00 cm del cable 1 y transporta una corriente de
6.80 mA dentro de la página. ¿Cuál es la componente x de la fuerza
magnética por unidad de longitud en el cable 2 debido al cable 1?
SOLUCIÓN: La magnitud de la fuerza magnética sobre el cable 2
debido al cable 1 se define de la siguiente forma:
F21 =
µ0Li1i2
2πd
,
donde µ0 = 4π × 10−7T ·m/A, L es la longitud del cable 2; i1, i2 son las corrientes que transportan los cables 1
y 2 respectivamente y d es la distancia entre ambos cables.
La distancia que separa a ambos cables es: d =
√
(d1)2 + (d2)2. Con esta información, calculemos la magnitud
de ~F21.
F21 =
µ0Li1i2
2πd
=
Lπ(4.00 × 10−7T ·m/A)(4.00 × 10−3 A)(6.80 × 10−3 A)
2π
√
3.076 × 10−3 m2
.
Como se nos pide la magnitud de la fuerza magnética ~F21 por unidad de longitud, dividamos la expresión de
F21 por L.
F21
L
=
5.44 × 10−12 T · A
√
3.076 × 10−3
.
La fuerza ~F21 debe estar a lo largo de una línea que una a los cables 1 y 2 y que además sea perpendicular a
ambos. Por lo tanto, la componente de la fuerza magnética ~F21 a lo largo del eje x se obtiene al multiplicar la
magnitud F21 por el coseno del ángulo α que se encuentra en la figura. Recordemos que:
cosα =
d2√
(d1)2 + (d2)2
=
5 × 10−2
√
3.076 × 10−3
.
Por lo tanto, la componente x de la fuerza magnética por unidad de longitud en elcable 2 debido al cable 1 es
igual a:
F21x =
(5.44 × 10−12 T · A)(5 × 10−2)
3.076 × 10−3
= 8.84 × 10−11 N/m.
46. Ocho cables cortan la página perpendicularmente en los puntos señalados en la Figura 29-70. Un cable
marcado con el entero k (k = 1, 2, . . ., 8) lleva la corriente ki, dónde i = 4.50 mA. Para los cables marcados con
un número impar k, la corriente fluye hacia fuera de la página, para los cables con un número par, la corriente
5
circula hacia dentro de la página. Evalúa
∮
~B · d~s a lo largo del camino y la dirección señalados.
SOLUCIÓN: Si enrollamos nuestros dedos hacia adentro del bucle de amperio apuntando con nuestros dedos
en dirección de la trayectoria de integración, el pulgar nos indicará qué signo (+ o -) se les asignará a cada una de
las corrientes. En este caso, al aplicar la regla de la mano derecha, la dirección positiva se encuentra hacia afuera
de la página y la dirección negativa está hacia adentro de la página. Se observa en la figura que los cables dentro
del camino señalado son los cables 1, 3, 6 y 7, los cuales tienen las corrientes i1 = i, i3 = 3i, i6 = 6i, i7 = 7i.
También se sabe que las corrientes i1, i3, i7 (números impares) circulan hacia dentro de la página y la corriente
i6 (número par) hacia fuera de esta. Entonces la corriente adjunta/añadida está dada por:
ienc = i1 + i3 − i6 + i7 = i + 3i − 6i + 7i = 5i .
Donde i = 4.50 mA. Se tiene que la Ley de Ampère está dada por:∮
~B · d~s = µ0ienc .
Sustituyendo ienc = 5i y las otras cantidades conocidas, se tiene:∮
~B · d~s = µ05i
= 5(4π × 10−7 T ·
m
A
)(4.50 mA)
= 5(4π × 10−7T ·
m
A
)(4.50 × 10−3A)
= 2.83 × 10−8 T ·m.
6