Electromagnetismo__Cap_tulo_9__Tarea_

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Capítulo 9: Inducción e inductancia
Solución de los ejercicios 5, 7, 8, 10 y 15.
5. En la figura 30-36 un cable forma un loop cerrado circular de radio R = 2.0 m y con una resistencia de 4.0 Ω.
El círculo está centrado en un cable largo y derecho. En un tiempo t = 0, la corriente en el cable es de 5.0 A hacia
la derecha. Después de un tiempo la corriente cambia mediante la siguiente expresión: i = 5.0 A − (2.0 A/s2)t2.
¿Cuál es la magnitud de la corriente inducida en el círculo para un tiempo t > 0?
SOLUCIÓN: Antes que nada, hay que saber que éste ejercicio es un tanto distinto a los otros debido a que
puede ser resuelto sin necesidad alguna de realizar cálculos, usando únicamente los conocimientos de física
que tenemos.
Como se puede apreciar en la figura, tenemos un alambre circular en forma de loop la cual es atravesada de
forma simétrica por una corriente en un cable que va hacia la derecha, esta misma simetría provoca algunas
propiedades interesantes.
Mediante la regla de la mano derecha es posible apreciar que esta corriente produce un campo magnético hacia
fuera de la pantalla en el plano superior formado por la hoja y una dirección que apunta dentro de esta en la
parte inferior a donde pasa el cable.
Esto quiere decir que en la mitad de arriba del círculo la corriente se mueve en dirección de las manecillas
del reloj y que en la parte de abajo se mueve en la dirección opuesta, esto debido a las leyes de inducción
electromagnética descritas por Faraday y Lenz.
Debido a esto mismo, se tiene que el flujo magnético en el área circular formada por el conductor sin corriente
es igual a la suma de los flujos que hay en cada una de los medios círculos cortados por el el conductor con
corriente. Así, dado que ambos son iguales en magnitud pero de distinto signo, el flujo neto es igual a cero,
por lo que no varía respecto al tiempo y deriva en que sobre el conductor circular no se induzca una fuerza
electromotriz que genere una corriente sobre este.
7. En la figura 30-38, el flujo magnético a través del bucle incrementa de acuerdo a la relación ΦB(t) =
6.0 t2 + 7.0 t donde ΦB está dado en miliwebers y t en segundos. (a) ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida
en el bucle cuando t = 2.0 s’ y (b) ¿la dirección de la corriente a través de R es hacia la izquierda o derecha?
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SOLUCIÓN: Sabemos que la fuerza electromotriz inducida está dada por la ley de Faraday como:
E = −
dΦB
dt
. (1)
Al derivar respecto al tiempo t la expresión conocida para ΦB(t) se tiene que
E(t) = −
dΦB
dt
= −12.0t − 7.0
⇒E(2 s) = −31.0 mV,
cuya magnitud es
|E(2 s)| = 31 mV.
Se puede ver con la regla de la mano derecha que la dirección de la corriente en R respecto a la figura 30-38 es
hacia la izquierda, pues de esta forma la dirección de las lineas del campo magnético inducido por la corriente
se oponen al incremento producido por el aumento en flujo magnético.
8. Un campo magnético uniforme ~B es perpendicular al plano de un bucle circular de d1 = 0.1 m de diámetro
formado por un alambre de diámetro d2 = 2.5 × 10−3 m y una resistividad ρ = 1.69 × 10−8 Ω ·m. ¿A qué tasa
debe cambiar la magnitud de ~B para inducir una corriente i de 10 A en el bucle?
SOLUCIÓN: Sabemos que la fuerza electromotriz está dada por
E = −
dΦB
dt
.
Además, la relación entre la corriente inducida i y la fuerza electromotrizE es
i =
E
R
y R = ρ
L
As
=⇒ ρ
iL
As
= E,
donde R es la resistencia del alambre, As el área de la sección transversal por la que circulan los portadores de
carga y cuyo valor es As = π(d2)2/4, L = πd1 la longitud del alambre, i = 10 A la corriente inducida deseada y
ρ = 1.69 × 10−8 Ω ·m la resistividad.
Entonces, al sustituirE en la ley de inducción de Faraday tenemos que
ρ
iL
As
= −
dΦB
dt
. (2)
Ahora, dado que el campo magnético es perpendicular a la superficie de área Al = π(d1)2/4 formada por el
bucle, entonces el flujo magnético es
ΦB =
∫
~B · d ~Al =
∫
BdAl cos 0 = B
∫
dAl = BAl.
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Considerando que el área del bucle circular de área Al = π(d1)2/4 se mantiene constante y que el campo
magnético varía con el tiempo tenemos que
−
dΦB
dt
= −Al
dB
dt
.
Sustituyendo en (2) se tiene:
ρ
iL
As
= −Al
dB
dt
=⇒
dB
dt
= −
ρ L i
Al As
= −
16ρi
πd1(d2)2
.
Finalmente, sustituyendo los datos conocidos para la magnitud de la tasa de cambio del campo magnético, se
tiene ∣∣∣∣∣dBdt
∣∣∣∣∣ = 16
(
1.69 × 10−8 Ω ·m
)
(10A)
π(0.1m)(2.5 × 10−3m)2
= 1.38 T/s.
10. La Figura 30-39 muestra un loop cerrado de alambre que consiste en un par
de semicírculos iguales, de radio de 3.7 cm, acostados en planos mutuamente
perpendiculares. El bucle se formó doblando un bucle circular plano a lo largo
de un diámetro hasta que las dos mitades se volvieron perpendiculares entre sí.
Un campo magnético ~B uniforme de magnitud 76 mT se dirige perpendicular-
mente al diámetro del pliegue y hace ángulos iguales de 45◦ con los planos de
los semicírculos. El campo magnético se reduce a cero a una velocidad uniforme
durante un intervalo de tiempo de 4.5 ms. Durante este intervalo, ¿cuáles son la
(a) magnitud y (b) dirección (en sentido horario o antihorario cuando se ve a lo
largo de la dirección de ~B) de la fem inducida en el bucle?
SOLUCIÓN: (a) Por el principio de superposición, el flujo magnético en la fi-
gura 30-39 podemos expresarlo como:
ΦB = ΦB1 + ΦB2 =
∫
~B · d ~A +
∫
~B · d ~A =
∫
B cos θ dA +
∫
B cos θ dA = 2
∫
B cos θ dA.
Dado que el campo magnético ~B no cambia de dirección y el ángulo θ que forma con los planos de los semi-
círculos es 45◦, podemos sustituir este valor y resolver la integral.
ΦB = 2
∫
B cos 45◦ dA =
2
√
2 B A
2
=
π r2 B
√
2
2
=
π r2 B
√
2
.
Ahora, expresamos la ley de Faraday sustituyendo el flujo magnético obtenido en la ecuación (1):
E = −
dΦB
dt
= −
d
dt
(
π r2 B
√
2
)
= −
π r2
√
2
dB
dt
.
Si nos fijamos en la fem durante el intervalo de tiempo de 4.5 ms podemos expresar dBdt como
4B
4t , con esto
podemos reescribir la ecuación anterior como:
E = −
π r2 (B f − Bi)
√
2 (t f − ti)
.
Sustituimos los valores dados por el problema.
E = −
π (0.037 m)2 (0 T − 0.076 T )
√
2 (0.0045 s − 0 s)
= −
0.0003 m2 T
0.0063 s
= 0.0518V = 51.8 mV.
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(b) Debido a que el campo magnético ~B disminuye durante el intervalo de 4.5 ms entonces el campo magnético
inducido también lo hace, de esto la corriente eléctrica inducida debe tener la misma dirección que la fem y
usando la regla de la mano derecha se puede observar que, vista desde la dirección de ~B, la dirección de la fem
es en sentido horario.
15. El plano sobre el que se encuentran los lados de 2.00 m de un bucle cuadrado
hecho de un cable conductor es perpendicular a un campo magnético uniforme,
con la mitad del área del bucle en el campo como se muestra en la figura 30-43.
El bucle contiene una batería ideal con una fem E = 20.0 V. Si la magnitud del
campo varía con el tiempo de acuerdo con B = 0.0420 − 0.870t, con B en teslas
y t en segundos, ¿cuáles son (a) la fem neta en el circuito y (b) la dirección de la
corriente neta al rededor del bucle?
SOLUCIÓN: De acuerdo a la ley de Faraday, E = − dΦBdt . Debido a que el flujo
magnético sobre un área determinada está descrito por la expresión ΦB = BA,
entonces el flujo sobre la mitad superior del circuito (que tiene 2 m2 de área) es
igual a ΦB = 2(0.0420 − 0.870t) m2. Calculemos el negativo de la derivada del
flujo magnético con respecto del tiempo.
−
dΦB
dt
= 2 m2(0.870) W/s = 1.74 V.
Debido a su expresión, el campo magnético ~B decrece conforme avanza el tiempo y por ende, el flujo ΦB
también decrece, por lo que la corriente inducida tiene que ir en una dirección tal que las lineas de campo
magnético que producen disminuyan el cambio en el flujo ΦB, es decir, los campos ~B y ~Bind deben ir en
la misma dirección (hacia afuera de la página). De ser así, la dirección de la corriente inducida por la fem
producida va en sentido antihorario. Como la dirección de la corriente producida por la fem de la batería va en
el mismo sentido,Enet es la suma de la fem inducida y la femde la batería. Por tanto:
Enet = 20.0 V + 1.74 V = 21.74 V.
La dirección de la corriente neta al rededor del bucle es la misma que la dirección de laEnet, es decir, en sentido
antihorario.
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