Electromagnetismo__Cap_tulo_1__Tarea_2_resnick

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Solución de los problemas 17, 22, 23, 38, 60, 62.
Figura 1: El sistema de referen-
cia se coloca con el origen a la
mitad entre la partícula 1 y 2,
de tal forma que la partícula 3
queda sobre el eje x
17. En la figura 1, las partículas 1 y 2 tienen carga q1 = q2 =
20.0µC cada una, y tienen una separación d = 1.50m. (a) ¿Cuál es
la magnitud de la fuerza electrostática sobre la partícula 1 debido a
la partícula 2? En la figura 1, la partícula 3 de carga q3 = 20.0µC
está posicionada de tal forma que completa un triángulo equilátero
(junto con las partículas 1 y 2). (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza
electrostática neta sobre la partícula 1 debido a las partículas 2 y 3?
SOLUCIÓN.
(a) Para comenzar, necesitamos encontrar los vectores de posición
de las partículas 1 y 2. Del sistema de referencia (Figura 1), vemos
que estos son, respectivamente:
~r1 = 0m x̂+
d
2
ŷ
~r2 = 0m x̂−
d
2
ŷ
Ahora calcularemos la diferencia ~r1 − ~r2:
~r1 − ~r2 =
(
d
2
ŷ
)
−
(
−d
2
ŷ
)
= d ŷ
Calculando la magnitud del vector anterior:
|~r1 − ~r2| =
√
(d ŷ) · (d ŷ) = |d| = d
ya que d > 0. Entonces, la fuerza electrostática que actúa sobre la partícula 1 debido a la partícula 2
está dada por
~F12 =
1
4πε0
q1q2(~r1 − ~r2)
|~r1 − ~r2|3
Sustituyendo los datos conocidos en la fórmula anterior, tenemos que la fuerza es:
~F12 =
1
4πε0
q1q2(d ŷ)
d3
=
1
4πε0
q1q2
d2
ŷ
= 8.99× 109 N ·m
2
C2
(20× 10−6 C)(20× 10−6 C)
(1.5m)2
ŷ
= 1.6N ŷ
|~F12| =
√
~F12 · ~F12
|~F12| =
√
(1.6N ŷ) · (1.6N ŷ) = 1.6N
(b) Para el segundo inciso, utilizamos el teorema de Pitágoras para encontrar la coordenada en el eje
x del vector de posición de la partícula 3, cuya carga es q3 = 20× 10−6 C. Entonces tenemos:
x =
√
d2 − d
2
4
=
√
3
4
d2
=
√
3
2
d
Así, el vector de posición ~r3 está dado por:
~r3 =
√
3
2
d x̂
Ahora calcularemos la diferencia ~r1 − ~r3
~r1 − ~r3 = −~r3 + ~r1 = −
√
3
2
d x̂+
d
2
ŷ
Calculando la magnitud de la diferencia anterior
|~r1 − ~r3| =
√√√√(−√3
2
d x̂+
d
2
ŷ
)
·
(
−
√
3
2
d x̂+
d
2
ŷ
)
=
√
3
4
d2 +
d2
4
=
√
d2
= d
Entonces, la fuerza electrostática que se ejerce sobre la partícula 1 debido a la partícula 3 está dada
por
~F13 =
1
4πε0
q1q3(~r1 − ~r3)
|~r1 − ~r3|3
Sustituyendo los datos conocidos en la fórmula anterior
~F13 =
1
4πε0
q1q3(−
√
3
2 d x̂+
d
2 ŷ)
d3
= 8.99× 109 N ·m
2
C2
(20× 10−6 C)(20× 10−6 C)(−
√
3
2 (1.5m) x̂+
1.5
2 m ŷ)
(1.5m)3
= (−1.39 x̂+ 0.8 ŷ)N
Finalmente, por el principio de superposición
~F1neta = ~F12 + ~F13 = (1.6 ŷ)N+ (−1.39 x̂+ 0.8 ŷ)N = (−1.39 x̂+ 2.4 ŷ)N
⇒ |~F1neta| =
√
(−1.39 x̂+ 2.4 ŷ)N · (−1.39 x̂+ 2.4 ŷ)N
=
√
(−1.39)2 (x̂ · x̂)N2 + (2.4)2 (ŷ · ŷ)N2
=
√
(−1.39)2 N2 + (2.4)2 N2
=
√
7.6921N2
= 2.77N
22. La figura 21-31 muestra una disposición de cuatro partículas cargadas, con un ángulo θ=30.0° y
una distancia d=2.00 cm. La partícula 2 tiene carga q2 = 8.00 × 10−19 C; las partículas 3 y 4 tienen
cargas q3 = q4 = −1.60 × 10−19 C. a) ¿Cuál es la distancia D entre el origen y la partícula 2 si la
fuerza electrostática neta en la partícula 1 debido a las otras partículas es cero? b) Si las partículas 3 y
4 se movieron más cerca del eje x pero mantuvieron su simetría sobre ese eje, ¿sería el valor requerido
de D mayor, menor o igual que en la parte a)?
SOLUCIÓN. a) Para conocer la distancia D podemos analizar
la fuerza electrostática neta sobre la partícula 1, dada la ley de
Coulomb para partículas puntuales cargadas eléctricamente y por el
principio de superposición, tenemos que la fuerza electrostática neta
que experimenta la partícula 1 debido a las partículas 2, 3 y 4 está
dada de la forma:
(1) ~F1neta = ~F12 + ~F13 + ~F14 = ~0 = 0 x̂+ 0 ŷ
Al reescribir (1), se obtiene lo siguiente:
~F1neta =
1
4π�0
q1q2(~r1 − ~r2)
|~r1 − ~r2|3
+
1
4π�0
q1q3(~r1 − ~r3)
|~r1 − ~r3|3
+
1
4π�0
q1q4(~r1 − ~r4)
|~r1 − ~r4|3
= ~0 = 0 x̂+ 0 ŷ
(2) ~F1neta =
q1
4π�0
[
q2(~r1 − ~r2)
|~r1 − ~r2|3
+
q3(~r1 − ~r3)
|~r1 − ~r3|3
+
q4(~r1 − ~r4)
|~r1 − ~r4|3
]
= ~0 = 0 x̂+ 0 ŷ
Ahora, partiendo de la Figura 21-31 y ubicando el origen de coordenadas, se encuentran algunos
resultados para facilitar los cálculos. Primero hallamos los vectores de posición de las cuatro partículas
y, debido a que el ángulo θ que forma q1 con q3 y q4 es el mismo, así como sus vectores de posición tienen
la misma magnitud (pero diferente signo) de la componente para ŷ, por identidades trigonométricas,
podemos obtener la posición de q3 y q4 sobre el eje y, la cual llamaremos h, de la siguiente forma:
cos θ =
d
|~r1 − ~r3|
⇒ |~r1 − ~r3| =
d
cos θ
sin θ =
h
|~r1 − ~r3|
⇒ |~r1 − ~r3| sin θ =
d
cos θ
sin θ = d tan θ = h
Ahora, se realizarán unos cálculos para facilitar la resolución de (2)
~r1 = −d x̂+ 0 cm ŷ ~r2 = D x̂+ 0 cm ŷ ~r3 = 0 cm x̂+ d tan θ ŷ ~r4 = 0 cm x̂− d tan θ ŷ
~r1 − ~r2 = −d x̂−D x̂ = −(d+D) x̂
~r1 − ~r3 = −d x̂− (d tan θ ŷ) = −d x̂− d tan θ ŷ
~r1 − ~r4 = −d x̂− (−d tan θ ŷ) = −d x̂+ d tan θ ŷ
|~r1 − ~r2| =
√
(−(d+D) x̂) · (−(d+D) x̂) =
√
(−(d+D))2(x̂ · x̂) =
√
(d+D)2 = d+D
|~r1 − ~r3| =
√
(−d x̂− d tan θ ŷ) · (−d x̂− d tan θ ŷ) =
√
(−d)2 (x̂ · x̂) + (−d tan θ)2 (ŷ · ŷ)
⇒
√
d2 + d2 tan2 θ =
√
d2(1 + tan2 θ) =
√
d2 sec2 θ =
√
(d sec θ)2 = d sec θ
|~r1 − ~r4| =
√
(−d x̂+ d tan θ ŷ) · (−d x̂+ d tan θ ŷ) =
√
(−d)2 (x̂ · x̂) + (d tan θ)2(ŷ · ŷ)
⇒
√
d2 + d2 tan2 θ =
√
d2(1 + tan2 θ) =
√
d2 sec2 θ =
√
(d sec θ)2 = d sec θ
Posteriormente, se utilizan estas relaciones para sustituir en (2), y se simplifica:
~F1neta =
q1
4π�0
[
q2(~r1 − ~r2)
|~r1 − ~r2|3
+
q3(~r1 − ~r3)
|~r1 − ~r3|3
+
q4(~r1 − ~r4)
|~r1 − ~r4|3
]
⇒ ~F1neta =
q1
4π�0
[
q2(−(d+D) x̂)
(d+D)3
+
q3(−d x̂− d tan θ ŷ)
(d sec θ)3
+
q4(−d x̂+ d tan θ ŷ)
(d sec θ)3
]
⇒ ~F1neta =
q1
4π�0
[[
q2(−d−D)
(d+D)3
+
q3(−d)
(d sec θ)3
+
q4(−d)
(d sec θ)3
]
x̂+
[
q3(−d tan θ)
(d sec θ)3
+
q4(d tan θ)
(d sec θ)3
]
ŷ
]
(3) ~F1neta =
q1
4π�0
[[
q2(−d−D)
(d+D)3
+
−q4d− q3d
(d sec θ)3
]
x̂+
[
q4(d tan θ)− q3(d tan θ)
(d sec θ)3
]
ŷ
]
Sabemos que q3 = q4 por lo cual podemos continuar simplificando (3) sustituyendo q4 por q3 tal
que:
(4) ~F1neta =
q1
4π�0
[
q2(−d−D)
(d+D)3
+
−2q3d
(d sec θ)3
]
x̂
Debido a que la incógnita D se encuentra únicamente sobre el eje x de nuestro sistema de referencia,
con (1) y (4) podemos plantear la ecuación de la fuerza electrostática ~F1neta en la componente x̂ como:
~F1neta =
q1
4π�0
[
q2(−d−D)
(d+D)3
+
−2q3d
(d sec θ)3
]
x̂ = 0 x̂⇒ q1
4π�0
[
−q2(d+D)
(d+D)3
− 2q3d
(d sec θ)3
]
(x̂·x̂) = 0 (x̂·x̂)
⇒ −q2(d+D)
(d+D)3
− 2q3d
(d sec θ)3
= 0
(
4π�0
q1
)
⇒ − q2
(d+D)2
=
2q3d
(d sec θ)3
⇒ −q2(d sec θ)
3
(d+D)2
= 2q3d⇒ −q2(d sec θ)3 = (d+D)2(2q3d)
⇒ −q2(d sec θ)
3
2q3d
= (d+D)2 ⇒ ±
√
−q2(d sec θ)
3
2q3d
= d+D
Y dado que tanto D como d son distancias y, por lo tanto, son positivas, se tomará la raíz positiva:
⇒ (5)D =
√
−q2(d sec θ)
3
2q3d
− d
Ahora sustituimos los valores dados del problema en la ecuación (5) y calculamos el valor numérico
de D:
D =
√
− (8× 10
−19 C)(2 cm sec 30◦)3
2(−1.6× 10−19 C)(2 cm)
− 2 cm⇒ D =
√
(8× 10−19)8(1.154)3 C cm3
4(1.6× 10−19)C cm
− 2 cm
⇒ D =
√
(8× 10−19)8(1.539) cm2
4(1.6× 10−19)
− 2 cm =
√
98.534
6.4
cm2 − 2 cm =
√
15.395 cm2 − 2 cm
⇒ D = 3.923 cm− 2 cm ⇒ D = 1.923 cm
b) Si q3 y q4 se acercan al eje x conservando su simetría, el ángulo θ respecto a q1 a una distancia
d entre ellas, será el mismo entre ellos y menor a 30 grados, por lo que desarrollando la ecuación (5)
podemos obtener:
D =
√
−q2(d sec θ)
3
2q3d
− d =
√
sec3 θ
(√
− q2d
3
2q3d
)
− d =
√
sec3 θ
(√
−q2d
2
2q3
)
− d
Nombramos
√
− q2d22q3 = C dado que d, q2 y q3 son constantes tal que:
D = C
√
sec3 θ − d
Podemos observar que
√
sec3 θ ∝ D por lo que si 30◦ > θ2 > θ1 ≥ 0 entonces
√
sec3 θ2 >
√
sec3 θ1
Por lo tanto, si q3 y q4 se acercan al eje x conservando su simetría, el valor de D será menor
respecto al valor de D en el inciso a).