Electromagnetismo__Cap_tulo_1_resnick

Vista previa del material en texto

Tarea 1: Solución de ejercicios del Capítulo 1
Solución de ejercicios 3, 5, 10, 11 y 13.
3. ¿Cuál debe ser la distancia entre la carga puntual q1 = 26.0µC y la carga q2 = −47.0µC para que
exista una fuerza electrostática entre ellas con magnitud de 5.70N?
SOLUCIÓN. Se tiene un sistema formado por dos partículas donde,
por conveniencia, se situará en un marco de referencia sobre el plano xy a la
primera de ellas (con carga q1 = 26.0µC) en el origen del mismo, mientras
que se posicionará a la segunda partícula (con carga q2 = −47.0µC) a
una distancia L (a determinar) del origen sobre el eje positivo x. Ahora,
según la figura 21-26, el vector de posición de la partícula 1 denotado por
~r1 está dado por ~r1 = 0 x̂+ 0ŷ, es decir, es un vector idénticamente nulo,
mientras que el vector de posición de la segunda partícula denotado por
~r2 es ~r2 = L x̂+0 ŷ. Sabiendo que la fuerza electrostática que actúa sobre
la partícula 1 debido a la partícula 2 está dada por la ecuación:
~F12 =
1
4πε0
q1q2(~r1 − ~r2)
|~r1 − ~r2|3
y que las partículas se atraen debido a que sus cargas tienen signos opuestos, se deduce que el vector
de fuerza ~F12 tiene la misma dirección que el vector ~r2 − ~r1, es decir, la misma que x̂. Calculando el
vector ~r1 − ~r2 y su módulo, se tiene:
~r1 − ~r2 = ~0− ~r2 = −~r2 = −L x̂
⇒ |~r1 − ~r2| =
√
(−L x̂) · (−L x̂) =
√
(−L)2 (x̂ · x̂) = |L|.
Entonces, la magnitud de ~F12 está dada por:
|~F12| =
√(
1
4πε0
q1q2(−L x̂)
|L|3
)
·
(
1
4πε0
q1q2(−L x̂)
|L|3
)
⇒ |~F12| =
√(
−q1q2(−L)
4πε0|L|3
)2
(x̂ · x̂) = |q1q2||L|
4πε0|L|3
=
|q1q2|
4πε0|L|2
,
donde se ha usado que el producto punto de un vector unitario consigo mismo es igual a 1. Por lo
tanto, despejando |L|, se tiene:
|~F12| =
|q1q2|
4πε0|L|2
|L|2 = |q1q2|
4πε0|~F12|
1
⇒ |L| = ±
√
|q1q2|
4πε0|~F12|
y dado que L es una distancia, por lo que es siempre mayor o igual a cero y por lo tanto, su valor
absoluto es igual a sí mismo (L = |L|), se debe considerar únicamente el resultado positivo en la
igualdad anterior. Al sustituir los datos conocidos y el valor de ε0 = 8.85× 10−12 C2/N·m2, finalmente
se tiene:
L =
√
|(2.6× 10−5C)(−4.7× 10−5C)|
4(5.7N)(8.85 × 10−12C2/N ·m2)π
= 1.38 m
5. Una partícula con carga de +3.00× 10−6 C se encuentra a una distancia L = 12.0 cm de una segunda
partícula con carga −1.50× 10−6 C. Calcula la magnitud de la fuerza electrostática que existe entre
ellas.
SOLUCIÓN. Por conveniencia, se colocará a la partícula q1 de carga +3.00× 10−6 C en el origen
de nuestro sistema de referencia, y a la segunda partícula q2 con carga de −1.50 × 10−6 C a una
distancia L = 12.00 cm de la primera sobre el eje x positivo.(Figura 21-26)
El vector de posición de la partícula q1 estará dado por ~r1 = 0 x̂ + 0 ŷ, y el vector de posición de la
segunda partícula estará dado por ~r2 = L x̂+ 0 ŷ.
Nótese que |~F12| = |~F21|. Así, es indistinto calcular |~F12| de |~F21|.
Sabemos que la fuerza electrostática que actúa sobre la partícula 1 debido a la partícula 2 está dada
por la fórmula:
~F12 =
1
4πε0
q1q2(~r1 − ~r2)
|~r1 − ~r2|3
Además,
~r1 − ~r2 = −L x̂
|~r1 − ~r2| =
√
(−L x̂) · (−L x̂) = |L| = L
Sustituyendo los datos en la fórmula, nos queda:
~F12 =
1
4πε0
q1q2(~r1 − ~r2)
|~r1 − ~r2|3
= 8.99× 109 N ·m
2
C2
(+3.00× 10−6 C)(−1.50× 10−6 C)(−0.12m x̂)
(0.12m)3
= 2.809375N x̂
Finalmente, para calcular la magnitud tenemos:
|~F12| =
√
(2.809375N x̂) · (2.809375N x̂)
= 2.809375N
2
10. En la figura 21-25, cuatro partículas forman un cuadrado. Sus cargas
son q1 = q4 = Q y q2 = q3 = q. (a) ¿Cuál es el valor del cociente Q/q si
la fuerza electrostática neta sobre las partículas 1 y 4 es cero? (b) ¿Hay
algún valor de q que haga que la fuerza electrostática neta sobre cada una
de las cuatro partículas sea cero?
SOLUCIÓN. a) Dada la ley de Coulomb para partículas puntuales
cargadas electricamente y por el principio de superposición, tenemos que
la fuerza electrostática neta que experimenta la partícula 1 debido a las
partículas 2, 3 y 4 está dada de la forma:
(1) ~F1neta = ~F12 + ~F13 + ~F14
Al reescribir (1) con la Ley de Coulomb, se obtiene lo siguiente:
~F1neta =
1
4π�0
Qq(~r1 − ~r2)
|~r1 − ~r2|3
+
1
4π�0
Qq(~r1 − ~r3)
|~r1 − ~r3|3
+
1
4π�0
Q2(~r1 − ~r4)
|~r1 − ~r4|3
(2) ~F1neta =
1
4π�0
[
Qq(~r1 − ~r2)
|~r1 − ~r2|3
+
Qq(~r1 − ~r3)
|~r1 − ~r3|3
+
Q2(~r1 − ~r4)
|~r1 − ~r4|3
]
Ahora, partiendo de la Figura 21-25 y ubicando el origen de coordenadas en donde se encuentra la
partícula 3, se calculan los vectores de posición:
~r1 = 0x̂+ aŷ
~r2 = ax̂+ aŷ
~r3 = 0x̂+ 0ŷ
~r4 = ax̂+ 0ŷ
Se realizarán unos cálculos para facilitar la resolución de (2):
~r1 − ~r2 = −ax̂
~r1 − ~r3 = aŷ
~r1 − ~r4 = −ax̂+ aŷ
|~r1 − ~r2| =
√
(−ax̂) · (−ax̂) =
√
a2(x̂ · x̂) = a
|~r1 − ~r3| =
√
(aŷ) · (aŷ) =
√
a2(ŷ · ŷ) = a
|~r1 − ~r4| =
√
(−ax̂+ aŷ) · (−ax̂+ aŷ) =
√
a2(x̂ · x̂) + a2(ŷ · ŷ) =
√
2a2 = a
√
2
Ahora se utilizan estas relaciones para sustituir en (2), y se simplifica:
~F1neta =
1
4π�0
[
−Qqax̂
a3 +
Qqaŷ
a3 +
Q2(−ax̂+aŷ)
2a3
√
2
]
⇒ ~F1neta = 14π�0
[
−2Qq
√
2x̂+2Qq
√
2ŷ−Q2x̂+Q2ŷ
2a2
√
2
]
⇒ ~F1neta = 14π�0
[
−(2Qq
√
2+Q2) x̂+(2Qq
√
2+Q2) ŷ
2a2
√
2
]
⇒ ~F1neta = 14π�0
[
−(2Qq
√
2+Q2)
2a2
√
2
x̂+ 2Qq
√
2+Q2
2a2
√
2
ŷ
]
⇒ ~F1neta = 14π�0
[
−2Qq
√
2−Q2
2a2
√
2
x̂+ 2Qq
√
2+Q2
2a2
√
2
ŷ
]
3
Sabemos que ~F1neta = ~0 = 0x̂+ 0ŷ por lo que el numerador de los escalares que multiplican a x̂ y ŷ
es igual a 0. Se procede a calcular ambos:
Para x̂
⇒ −2qQ
√
2−Q2 = 0⇒ Q2 = −2qQ
√
2⇒ Q
2
qQ = −2
√
2
Q
q = −2
√
2
Para ŷ
⇒ 2qQ
√
2 +Q2 = 0⇒ Q2 = −2qQ
√
2⇒ Q
2
qQ = −2
√
2
⇒ Qq = −2
√
2
Dado que ~F1neta = −~F4neta los cálculos hechos con anterioridad son análogos con los que se realizarían
para ~F4neta, concluyendo en la misma respuesta para Qq .
b) Para encontrar un valor de q que permita que la fuerza electrostática en cada partícula del plano
sea cero, se hará el análisis de la fuerza electrostática que se ejerce sobre la partícula 2. Dadas las
condiciones iniciales, se sabe que 2 y 3 experimentarán la misma magnitud de sus respectivas fuerzas
electrostáticas netas, por lo que por conveniencia se analizará solamente la partícula 2. Ahora, se
aplica la Ley de Coulomb:
~F2neta = ~F21 + ~F23 + ~F24 =
1
4π�0
Qq(~r2−~r1)
|~r2−~r1|3 +
1
4π�0
q2(~r2−~r3)
|~r2−~r3|3 +
1
4π�0
Qq(~r2−~r4)
|~r2−~r4|3
(3) ~F2neta =
q
4π�0
[
Q(~r2−~r1)
|~r2−~r1|3 +
q(~r2−~r3)
|~r2−~r3|3 +
Q(~r2−~r4)
|~r2−~r4|3
]
= ~0
Sabemos que la fuerza neta sobre 2 deber ser igual al vector cero.
Usando los vectores de posición de las partículas, previamente especificados, se calculan nuevas rela-
ciones:
~r2 − ~r1 = ax̂
~r2 − ~r3 = ax̂+ aŷ
~r2 − ~r4 = aŷ
|~r2 − ~r1| =
√
(ax̂) · (ax̂) =
√
a2(x̂ · x̂) = a
|~r2 − ~r3| =
√
(ax̂+ aŷ) · (ax̂+ aŷ) =
√
a2(x̂ · x̂) + a2(ŷ · ŷ) =
√
2a2 = a
√
2
|~r2 − ~r4| =
√
(aŷ) · (aŷ) =
√
a2(ŷ · ŷ) = a
Ahora sustituimos estas relaciones en (3)
~F2neta =
q
4π�0
[
Q(~r2−~r1)
|~r2−~r1|3 +
q(~r2−~r3)
|~r2−~r3|3 +
Q(~r2−~r4)
|~r2−~r4|3
]
= 0x̂+ 0ŷ
⇒ ~F2neta = q4π�0
[
Qax̂
a3 +
q(ax̂+aŷ)
2a3
√
2
+ Qaŷa3
]
= 0x̂+ 0ŷ
⇒ ~F2neta = q4π�0
[
Q(x̂+ŷ)
a2 +
q(x̂+ŷ)
2a2
√
2
]
= 0x̂+ 0ŷ
⇒ ~F2neta = q4π�0
[
2
√
2Q(x̂+ŷ)+q(x̂+ŷ)
2a2
√
2
]
= 0x̂+ 0ŷ
4
Continuamos desarrollando el álgebra del numerador del cociente
⇒ q
[
2
√
2Q(x̂+ ŷ) + q(x̂+ ŷ)
]
= 0x̂+ 0ŷ
⇒ q
[
2
√
2Qx̂+ 2
√
2Qŷ + qx̂+ qŷ
]
= 0x̂+ 0ŷ
⇒ q
[
2
√
2Qx̂+ qx̂+ 2
√
2Qŷ + qŷ
]
= 0x̂+ 0ŷ
⇒ q(2
√
2Q+ q)x̂+ q(2
√
2Q+ q)ŷ = 0x̂+ 0ŷ
Operamos para ambos componentes:
Para x̂:
q(2
√
2Q+ q) = 0⇒ q = −2
√
2Q o q = 0
Para ŷ:
q(2
√
2Q+ q) = 0⇒ q = −2
√
2Q o q = 0
De donde vemos que:
Q
q = −
1
2
√
2
6= −2
√
2
Esto implica que el valor de Qq para que ~F2neta = ~0 es distinto del valor de
Q
q para que ~F1neta = ~0.
Por lo tanto, no existe valor de q que permita que la fuerza electrostática neta en cada una de las
cuatro partículas sea cero.
5