Electromagnetismo__Cap_tulo_2__Tarea_1_p2_resnick

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Figura 22-37
9. La figura 22-37 muestra dos partículas cargadas en el eje x. La par-
tícula 1 con carga −q = −3.20× 10−19 C en x = −3.00m y la partícula
2 con carga q = 3.20 × 10−19 C en x = +3.00m. ¿Cuáles son (a) la
magnitud y (b) la dirección (relativa al eje x en la dirección positiva)
del campo eléctrico neto producido en el punto P en y = 4.00m?
SOLUCIÓN. Se le llamará a a la distancia del origen del sistema de
referencia a la partícula 1, que es la misma distancia del origen del
sistema de referencia a la partícula 2. Además, la distancia del origen
del sistema coordenado a la partícula P se le denotará con la letra p.
Las unidades de todas estas cantidades están en metros, con a = 3.00m
y p = 4.00m. Para conocer la magnitud del campo eléctrico neto producido en el punto P , es necesario
suponer que en dicho punto existe una carga de prueba q0. Como las cargas de prueba son siempre
positivas, la dirección de ~E1 está hacia «afuera» del campo, mientras que la dirección de ~E2 está
dirigida hacia la partícula 2, por tener carga negativa. Los campos eléctricos también obedecen el
principio de superposición, por tanto, ~E = ~E1 + ~E2. Calculemos por separado ~E1 y ~E2 para después
sumarlos.
~E1 =
~F01
q0
=
1
4πε0q0
q0q1(~r0 − ~r1)
|~r0 − ~r1|3
=
1
4πε0
q1(~r0 − ~r1)
|~r0 − ~r1|3
~E2 =
~F02
q0
=
1
4πε0q0
q0q2(~r0 − ~r2)
|~r0 − ~r2|3
=
1
4πε0
q2(~r0 − ~r2)
|~r0 − ~r2|3
Identifiquemos en el sistema de referencia quiénes son los vectores ~r0, ~r1, ~r2 y calculemos ~r0−~r1, ~r0−~r2,
así como también las magnitudes de ambos.
~r0 = 0m x̂+ p ŷ = p ŷ
~r1 = a x̂+ 0m ŷ = a x̂
~r2 = −a x̂+ 0m ŷ = −a x̂
~r0 − ~r1 = −a x̂+ p ŷ ⇒ |~r0 − ~r1| =
√
(−a x̂+ p ŷ) · (−a x̂+ p ŷ) =
√
a2 + p2
~r0 − ~r2 = a x̂+ p ŷ ⇒ |~r0 − ~r2| =
√
(a x̂+ p ŷ) · (a x̂+ p ŷ) =
√
a2 + p2
El campo eléctrico total está descrito por la siguiente relación:
~E = ~E1 + ~E2 =
1
4πε0
q1(~r0 − ~r1)
|~r0 − ~r1|3
+
1
4πε0
q2(~r0 − ~r2)
|~r0 − ~r2|3
=
1
4πε0
[
q1(~r0 − ~r1)
|~r0 − ~r1|3
+
q2(~r0 − ~r2)
|~r0 − ~r2|3
]
Reemplazando ahora por los valores obtenidos de ~r0 − ~r1, |~r0 − ~r1|, ~r0 − ~r2 y |~r0 − ~r2|, tenemos lo
siguiente:
~E =
1
4πε0
[
q1(−a x̂+ p ŷ)
(a2 + p2)
3
2
+
q2(a x̂+ p ŷ)
(a2 + p2)
3
2
]
=
1
4πε0(a2 + p2)
3
2
[a(q2 − q1) x̂+ p(q1 + q2) ŷ]
Recordemos que q1 = −q2, por tanto, q1 + q2 = 0C. Entonces, ~E queda de la siguiente manera:
~E =
2aq2
4πε0(a2 + p2)
3
2
x̂ =
aq2
2πε0(a2 + p2)
3
2
x̂
Para conocer la magnitud de ~E, calculemos la raíz cuadrada del producto punto de ~E consigo mismo.
| ~E| =
√
~E · ~E =
√(
aq2
2πε0(a2 + p2)
3
2
x̂
)
·
(
aq2
2πε0(a2 + p2)
3
2
x̂
)
=
a|q2|
2πε0(a2 + p2)
3
2
4
Como q2 < 0, |q2| = −q2. Por tanto:
| ~E| = − aq2
2πε0(a2 + p2)
3
2
= − (3m)(−3.2× 10
−19 C)
2π(8.85× 10−12 C2/(N ·m2))(25m2) 32
= 1.38× 10−10 N
C
Para saber la dirección con respecto al eje x positivo, solamente hace falta recordar la expresión para
el campo eléctrico neto en forma vectorial.
~E =
aq2
2πε0(a2 + p2)
3
2
x̂
Como el campo tiene una componente 0N/C ŷ y q2 es negativa, este apunta hacia el lado negativo del
eje x. Por lo tanto, su dirección con respecto al eje x positivo es de 180°.
Figura 1: Figura 22-43 proble-
ma 16.
16. La figura 22-43 muestra un anillo de plástico de radio R = 50.00
cm. En el anillo hay dos pequeñas cuentas cargadas: la cuenta 1
de carga +2.00µC está fijada en su lugar en el lado izquierdo; la
cuenta 2 de carga +6.00µC se puede mover a lo largo del anillo. Las
dos cuentas producen un campo eléctrico neto de magnitud Een el
centro del anillo. ¿En qué valor (a) positivo y (b) negativo del ángulo
se debe colocar la cuenta 2 de tal manera que E = 2.00× 105NC ?
SOLUCIÓN: Los vectores de posición están dados de la siguiente
forma a partir de nuestro sistema de referencia, donde el punto p es
el centro del anillo y el origen de nuestro sistema (figura 22-43)
~p = 0mx̂+ 0mŷ
~r1 = −Rx̂+ 0ŷ = −Rx̂
~r2 = R cos θx̂+R sin θŷ
Por el principio de superposición tenemos que el campo eléctrico neto es:
~E =
q1
4πε0
(~p− ~r1)
|~p− ~r1|3
+
q2
4πε0
(~p− ~r2)
|~p− ~r2|3
Ahora calculemos:
~p− ~r1 = 0x̂+ 0ŷ − (−Rx̂) = Rx̂
~p− ~r2 = 0 x̂+ 0 ŷ − (R cos θx̂+R sin θŷ) = −R(cos θx̂+ sin θŷ)
|~p− ~r1| =
√
Rx̂ ·Rx̂ =
√
R2 = R
|~p− ~r2| =
√
−R(cos θx̂+ sin θŷ) · −R(cos θx̂+ sin θŷ) =
√
R2( cos2 θ + sin2 θ)
=
√
R2 = R
Sustituimos estos valores en ~E, entonces:
~E =
q1
4πε0
Rx̂
R3
+
q2
4πε0
−R(cos θx̂+ sin θŷ)
R3
=
q1
4πε0
x̂
R2
− q2
4πε0
(cos θx̂+ sin θŷ)
R2
=
1
4πε0R2
(q1x̂− q2(cos θx̂+ sin θŷ))
=
1
4πε0R2
((q1 − q2 cos θ)x̂+ (q2 sin θ)ŷ)
5
Con estos datos, calculemos la magnitud del campo eléctrico neto.
| ~E| =
√
1
4πε0R2
((q1 − q2 cos θ)x̂+ (q2 sin θ)ŷ) ·
1
4πε0R2
((q1 − q2 cos θ)x̂+ (q2 sin θ)ŷ)
=
√(
1
4πε0R2
)2
(q1 − q2 cos θ)2 + (q2 sin θ)2
=
1
4πε0R2
√
q12 − 2 q2 q1 cos θ + q22 cos2 θ + q22 sin2 θ
=
1
4πε0R2
√
q12 − 2 q2 q1 cos θ + q22(cos2 θ + sin2 θ)
=
1
4πε0R2
√
q12 − 2 q2 q1 cos θ + q22
Ahora bien, despejemos θ de la ecuación anterior
cos(θ) = (
−
(
| ~E|(4πε0R2)
)2
+ q1
2 + q2
2
2 q2 q1
como coseno es una función par, tenemos dos soluciones posibles, entonces:
±θ = arc cos
−
(
| ~E|(4πε0R2)
)2
+ q1
2 + q2
2
2 q2 q1

Sustituyendo valores, tenemos:
±θ = arc cos
−
((
2.00× 105NC
)
(4π)
(
8.85× 10−12 C
2
N ·m2
)
(0.50m)2
)2
+ (2.00× 10−6 C)2 + (6.00× 10−6 C)2
2 (6.00× 10−6 C) (2.00× 10−6 C)

= arc cos
(
−−3.0920× 10
−11 C2 + 4.00× 10−11 C2
2.40× 10−11
)
= arc cos
(
−9.0795× 10
−12 C2
2.40× 10−11 C2
)
= arc cos (0.3783125)
±θ = 67.77◦
Por lo cual la partícula se debe poner en +67.77◦ y − 67.77◦
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