Electromagnetismo__Cap_tulo_3__Tarea_1_p2_resnick

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12. La figura 23-36 muestra la sección transversal de dos cas-
carones esféricos no conductores fijos. El primer cascarón tiene
una densidad de carga superficial uniforme σ1 = +6.0 µC/m2
en su superficie externa y un radio R = 3.0 cm; el segun-
do cascarón tiene una densidad de carga superficial uniforme
σ2 = +4.0 µC/m2 en su superficie externa y un radio r = 2.0
cm; los centros de ambos cascarones están separados una dis-
tancia L = 10 cm. En notación de vectores unitarios, ¿cuál es es
el campo eléctrico neto en el punto p = 2.0 cm sobre el eje x?
SOLUCIÓN: Colocando el sistema de referencia xyz de tal ma-
nera que su origen coincide con el centro del cascarón de radio
R y el punto p tiene las mismas coordenadas que se indican en
el planteamiento del problema (por lo que su vector de posición, ~p, está dado por ~p = 2 cm x̂) y conociendo
que el campo eléctrico neto en un punto puede calcularse usando el principio de superposición, se tiene que
~E = ~E1 + ~E2, donde el subíndice denota el número de cascarón señalado en la figura 23-36, se tiene que:
a) El punto p puede situarse sobre un cascarón esférico de radio r′ = 2 cm concéntrico al de radio R y se
cumple que r′ < R; la ley de Gauss indica que el campo eléctrico producido por la esfera de radio R en
el punto p es nulo (dado que no encierra a ninguna carga), es decir, ~E1 = ~0.
b) El punto p es externo al cascarón 2 y este tiene una densidad de carga superficial σ2 uniforme. Entonces,
la ley de Gauss permite suponer que toda su carga se encuentra concentrada en su centro como si fuese
una partícula, por lo que se puede conocer su vector de posición, ~r = L x̂, y obtener así el campo eléctrico
que produce en el punto p como:
~E2 =
q
4πε0
(~p − ~r )
|~p − ~r |3
,
donde q es la carga de la esfera y está dada por q = σ2A (por ser σ2 uniforme) y el área del cascarón es
A = 4πr2. Entonces, se tiene:
~E2 =
4πσ2r2
4πε0
(~p − ~r )
|~p − ~r |3
=
σ2r2
ε0
(~p − ~r )
|~p − ~r |3
.
Sustituyendo los datos conocidos con sus respectivas unidades, se tiene:
~E2 =
(4.0 × 10−6 C/m2)(0.02 m)2
8.85 × 10−12 C2/(Nm2)
(0.02 m − 0.1 m)x̂
| − 0.08 m|3
= −2.8 × 104
N
C
x̂.
Por lo tanto, el campo eléctrico neto en el punto p es ~E = ~E1 + ~E2 = ~E2 = −2.8 × 104 N/C x̂.
17. En la figura 23-39, una esfera solida conductora uniforme-
mente cargada y de 1.2 m de diámetro tiene una densidad de
carga superficial de 8.1 µCm2 . Encuentre (a) la carga neta en la es-
fera y (b) el flujo eléctrico total que sale de la superficie.
SOLUCIÓN: Debido a que la esfera es conductora, podemos
suponer que su carga total se encuentra distribuida en su su-
perficie, ahora, por definición de densidad de carga superficial
sabemos que esta se expresa como:
σ =
Q
A
⇒ σ A = Q
Donde A es el área de la superficie de la esfera de radio r y Q es
la carga total sobre esta misma.
De donde se sabe que:
A = 4πr2
Así, expresamos a Q como:
σ r2 4π = Q
Ahora, calculamos Q con los datos dados:
4 (8.1x10−6
C
m2
) (0.6 m)2(3.1416) = 4 (8.1x10−6) (0.36)(3.1416)
C m2
m2
= 3.66x10−5 C
Conociendo esto, suponemos una superficie gaussiana en forma de esfera concéntrica con la esfera conductora
y con un radio mayor, sin ninguna otra carga en el espacio. Por lo cual tenemos dos esferas cuyas superficies
denotaremos como S 1 y S 2 donde S 2 > S 1. Esto quiere decir que S 2 encierra únicamente a la carga superficial
Q. Por lo cual el flujo es:
Φ =
∮
S 1
~E · d~A =
∮
S 2
~E · d~A
Donde: ∮
S 2
~E · d~A =
∫ π
0
∫ 2π
0
qencerrada
4π�0
sin θ dθ dφ =
2π qencerrada
4π�0
∫ π
0
sin θdθ =
qencerrada
2�0
[
− cos θ|π0
]
⇒
qencerrada
2�0
[− cos π + cos 0] =
2 qencerrada
2�0
=
qencerrada
�0
De esta forma Q = qencerrada por lo cual tenemos la expresión:∮
S 1
~E · d~A =
Q
�0
Finalmente, podemos calcular el flujo eléctrico total que sale de la superficie S 1 con los datos dados obtenidos:
Φ =
3.66x10−5 C
8.85x10−12 C2N m2
= 4.13x106
N m2
C