Electromagnetismo__Cap_tulo_3__Tarea_1_p4_resnick

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29. Figura 23-42 es una sección de una varilla conductora de R1 = 1.30 mm y longitud L = 11.00 m dentro
de una cáscara cilíndrica conductora coaxial de paredes delgadas de radio R2 = 10.0R1 y la (misma) longitud
L. La carga neta en la varilla es Q1 = +3.40 × 10−12 C; la de la cascara es Q2 = −2.00Q1. ¿Cuáles son (a) la
magnitud E y (b) la dirección (radialmente hacia adentro o hacia afuera) del campo eléctrico en la distancia
radial r3 = 2.00R2 ¿Cuáles son (c) E y (d) la dirección en r4 = 5.00R1? ¿Cuál es la carga en la (e) cara interior
y (f) exterior de la cáscara?
SOLUCIÓN: Para resolver este problema, consideremos que se trata de un cilindro gaussiano, como el ~E tiene
dirección radial, ya sea hacia afuera o hacia dentro, entonces, solo se tomara la cascara del cilindro, ya que,
en las superficies de las tapas, d ~A y ~E son perpendiculares. Encontremos la magnitud y dirección del campo
eléctrico para la distancia radial r3 = 2.00R2, , donde qenc = Q1 + Q2.
Por la ley de Gauss tenemos:
Φ =
∮
S
~E · d ~A =
qenc
�0
=
Q1 + Q2
�0
.
Como la carga encerrada es negativa (Q1 + Q2 < 0), entonces, d ~A y ~E tienen direcciones contrarias, por lo que
θ = π, entonces tenemos que:∮
S
~E · d ~A =
∮
S
E(r3)dA cos (π) = − E(r3)
∮
S
dA = −E(r3)2πr3L =
Q1 + Q2
�0
.
Por lo que la magnitud del campo electrostático, está dada como:
E(r3) = −
Q1 + Q2
�02πr3L
.
Como Q1 + Q2 < 0 =⇒ ~E = ~E(r3) = E(r3)(−r̂), entonces:
~E(r3) = −
Q1 + Q2
�02πr3L
(−r̂).
a) Sustituyendo valores, tenemos que la magnitud de campo eléctrico es:
E(r3) = −
3.40 × 10−12 C − 2
(
3.40 × 10−12 C
)
(8.85 × 10−12 C
2
N m2 )2π(0.026 m)(11 m)
= −
−3.40 × 10−12 C
(8.85 × 10−12 C
2
N m2 )2π(0.026 m)(11 m)
≈ 0.2137
N
C
.
b) La dirección del campo eléctrico, es:
Ê(r3) =
~E(r3)
E(r3)
=
0.21379 NC
0.21379 NC
(−r̂) = −r̂.
Esto implica que la dirección del campo eléctrico es radialmente hacia adentro.
Ahora encontremos la magnitud y dirección del campo eléctrico para la distancia radial r4 = 5.00R1, donde
qenc = Q1
Por la ley de Gauss tenemos:
Φ =
∮
W
~E · d ~A =
qenc
�0
=
Q1
�0
.
Como la carga encerrada es positiva, entonces, d ~A y ~E tienen la misma dirección radial, por lo que:
∮
w
~E · d ~A =
∮
w
E(r4)dA(r̂ · r̂) = E(r3)
∮
w
dA = E(r4)2πr4L =
Q1
�0
.
Entonces, la magnitud del campo eléctrico esta dado, como:
E(r4) =
Q1
�02πr4L
.
Entonces:
~E(r4) =
Q1
�02πr4L
(r̂).
c) Sustituyendo valores, tenemos que la magnitud de campo eléctrico es:
E(r4) =
3.40 × 10−12 C
(8.85 × 10−12 C
2
N·m2 )2π(6.5 × 10
−3 m)(11 m)
=
3.40 × 10−12 C
(8.85 × 10−12 C
2
N m2 )2π(6.5 × 10
−3 m)(11 m)
≈ 0.8551
N
C
.
d) La dirección del campo eléctrico es:
Ê(r4) =
~E(r4)
E(r4)
=
0.8551646 NC
0.8551646 NC
(r̂) = r̂.
Esto implica que la dirección del campo eléctrico es radialmente hacia afuera.
Como sabemos que el campo eléctrico dentro de un conductor es cero, y nuestra cáscara cilíndrica lo es, en-
tonces la carga encerrada (qenc) por la superficie debe de ser igual a cero.
e) Como qenc = qint + Q1 y qenc = 0, tenemos que:
qint + Q1 = 0 =⇒ qint = −Q1 = −3.40 × 10−12 C
∴ qint = −3.40 × 10−12 C.
f) Para la carga de la cáscara exterior, tenemos:
Q2 = qint + qext =⇒ qext = Q2 − qint = −2(3.40 × 10−12 C) + 3.40 × 10−12 C = −3.40 × 10−12 C
∴ qint = −3.40 × 10−12 C.