Electromagnetismo__Cap_tulo_3__Tarea_1_p5_resnick

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33. En la figura 23-44, dos grandes placas finas de metal se en-
cuentran cerca y son paralelas la una a la otra. Sobre sus caras in-
teriores, tienen un exceso de densidad de carga superficial de sig-
nos opuestos y de magnitud 7.00 × 10−22 Cm2 . En notación de vec-
tores unitarios, ¿cuál es el campo eléctrico en los puntos: (a) a
la izquierda de las placas, (b) a la derecha de ellas y (c) entre
ellas?
SOLUCIÓN: Para realizar los cálculos se aislará cada placa , por lo
que la densidad de carga se redistribuirá y usando el principio de superposición se sumaran algebraicamente
los campos eléctricos. Se sabe que el campo eléctrico debido a la placa con carga positiva está dirigido hacia
afuera de ella, mientras que el campo eléctrico debido a la placa con carga negativa se dirige hacia ella. Así, el
campo eléctrico a la izquierda de ellas estará dado por
~E =
(
σ
2�0
) (
−î
)
+
(
σ
2�0
) (
î
)
= 0
En donde el primer término de la suma es el campo eléctrico debido a la placa con carga positiva, y el segundo
es el campo eléctrico debido a la placa con carga negativa Similarmente, el campo eléctrico a la derecha de las
placas es:
~E =
(
σ
2�0
)
( î ) +
(
σ
2�0
)
(−î ) = 0
Ahora, el campo eléctrico entre las placas está dado por:
~E =
(
σ
2�0
)
(−î ) +
(
σ
2�0
)
(−î )
=
(
σ
�0
)
(−î )
= −
7.00 × 1022 Cm2
8.85 × 10−12 C
2
Nm2
î
=
(
−7.91 × 10−11
N
C
)
î
Esto se debe a que las líneas del campo eléctrico debido a placa positiva salen de ella hacia la placa con carga
negativa, mientras que las líneas del campo eléctrico debido a la placa negativa se dirigen hacia ella.
39. En la figura 23-49, una pequeña bola no conductora de masa m = 1 × 10−6
kg y carga q = 2.0 × 10−8 C (distribuido uniformemente a través de su volumen)
cuelga de un hilo aislante que forma un ángulo = 30◦ con una lámina vertical no
conductora uniformemente cargada (mostrada en la sección transversal). Con-
siderando la fuerza gravitacional sobre la bola y suponiendo que la lámina se
extiende verticalmente y dentro y fuera de la página, calcule la densidad de carga
superficial de la lámina.
SOLUCIÓN: Para la lámina vertical uniformemente cargada sobre el plano
xy, el campo eléctrico será perpendicular al plano xy, por lo que, es con-
veniente usar una superficie gaussiana cilíndrica perpendicular a esta lámina
(como lo muestra la figura 39-1), entonces aplicando la ley de Gauss, tene-
mos:
Φ =
∮
s
~E · d ~A =
∫
S 1
~E · d ~A +
∫
S 2
~E · d ~A +
∫
S 3
~E · d ~A
Y dado que el vector normal es perpendicular al vector del campo eléctrico en cualquier punto de S 3 (Figura
39-1), tenemos que: ∫
S 3
~E · d ~A = 0→ Φ =
∮
s
~E · d ~A =
∫
S 1
~E · d ~A +
∫
S 2
~E · d ~A∫
S 1
EdA cos 0 +
∫
S 2
EdA cos 0 = E
∫
S 1
dA + E
∫
S 2
dA = 2EA
Como la lámina está uniformemente cargada y tiene una densi-
dad de carga superficial σ = qA , entonces q = σA.
φ = 2EA =
qenc
�0
=
σA
�0
Luego, despejando para E, tenemos que la magnitud del campo
eléctrico esta dado como
E =
σ
2�0
Analizando el problema, tenemos una bola con cierta carga q
distribuida uniformemente sobre su volumen, así, podemos con-
siderarla como una partícula puntual de carga q que cuelga de
un hilo aislante y mantiene cierto ángulo θ con la vertical de la lámina. Es decir, se encuentra en equilibrio.
De acuerdo a nuestro sistema de referencia (Figura39.2.) definimos las fuerzas implicadas
~T = −T sin θx̂ + T cos θŷ
~Fg = 0 x̂ − mg ŷ
~Fq = Fq x̂ + 0ŷ
Como el sistema está en equilibrio, es decir la fuerza neta es igual a cero, la suma de las componentes de las
fuerzas igual será cero, así, aplicando la segunda ley de Newton y resolviendo por componentes
2∑
i=1
Fext Xi = −T sin θ + Fq = 0
2∑
i=1
Fext Yi = T cos θ − mg = 0
Despejamos T , de nuestra segunda ecuación, y tenemos que:
T =
mg
cos θ
Ahora sustituimos este valor, en nuestra primera ecuación
−
mg
cos θ
sin θ + Fq = 0
Resolvemos para Fq
Fq =
mg sin θ
cos θ
= mg tan θ
Dado que en magnitud, E = Fqq entonces Fq = Eq, y como E =
σ
2�0
, entonces:
Eq = mg tan θ
σ
2�0
q = mg tan θ
σ =
mg tan θ 2�0
q
Por lo que la densidad de carga superficial σ de la lámina, está dada por:
σ =
mg tan θ 2�0
q
Y finalmente, sustituimos valores
σ =
(
1 × 10−6 kg
) (
9.81 ms2
)
tan (30◦) 2
(
8.85 × 10−12 C
2
Nm2
)
(
2 × 10−8C
) = 5.012 × 10−9 C
m2
Por lo tanto, la densidad de carga superficial de la lámina es
σ = 5.012 × 10−9
C
m2