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Modelagem de Risco Operacional com Distribuição Generalizada de Pareto Multivariada
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Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey
Campus Ciudad de México
Uso De La Distribución Generalizada De
Pareto Multivariada Para Modelar Riesgo
Operativo
Tesis que para recibir el título de
doctorado en ciencias financieras
presenta:
José Juan Chávez Gudiño
Director de tesis:
José Antonio Núñez Mora
México D.F., 4 Junio 2009
RESUMEN:
Esta investigación trata de la medición del riesgo que implican las pérdidas operativas,
en particular las extremas que suceden en forma conjunta, eventos que se yerguen como
una amenaza a la viabilidad y existencia de muchas instituciones, mediante un modelo
inscrito en el enfoque de modelos avanzados de Basilea JI (AMA). Trata del paradigma
de distribuciones de pérdidas en su modalidad multivariada; la distribución abordada es
la generalizada de Pareto (DGP-M), dado que la inserción de ésta en el análisis de
pérdidas catastróficas se da en forma muy natural.
De los modelos existentes para generar variables aleatorias con la distribución
generalizada de Pareto multivariada, se encontró que el logístico anidado se presenta
como una opción viable para modelar pérdidas operativas, dado que permite diferentes
niveles de dependencia entre variables y funciona bien para problemas que no
involucren demasiadas variables. Esta investigación se beneficia de las investigaciones
recientes del Doctor Rene Michel sobre las distribuciones generalizadas de Pareto
multivariadas.
En este trabajo se aplica, como un paso inicial necesario, una prueba estadística para
confirmar o descartar independencia en la ocurrencia de pérdidas extremas (Falk-
Michel), prueba que resulta también ser útil para determinar el umbral multivariado de
laDGP.
Se demuestra la obtención de las ecuaciones para la densidad angular del modelo
logístico anidado de la DGP-M para 3,4 y 5 variables, generalizando el procedimiento
para n variables; Utilizando tal expresión se hacen las adaptaciones necesarias a los
algoritmos de Michel para obtener parámetros de dependencia de variables empíricas de
pérdidas operativas, y con éstos simular variables aleatorias de pérdidas que sigan la
distribución indicada, y que a su vez permitan medir el riesgo operativo de una entidad
cualquiera sea.financiera o no.
Se desarrolla el procedimiento para, con las variables simuladas, construir las medidas
de riesgo, se hace notar la relevancia del uso del déficit esperado en las medidas a
utilizar para evaluar en riesgo implícito en un patrón de pérdidas y se presenta un
algoritmo para escalar la medida de riesgo en el tiempo, equivalente a la regla de la raíz
cuadrada del tiempo en los modelos gaussianos, la aplicación se basa en la distribución
agregada de pérdidas.
IV
INDICE
Contenido Pag.
Introducción. 1
1.- Riesgo Operativo. 1
2.- Objetivo y alcance. I
3.- Base de datos con pérdidas operativas. Confidencialidad 2
4.- Investigaciones Previas. 2
4.1.- Investigación reciente en modelos multivariados de valores extremos para Riesgo 2
Operativo
4.2.- La propuesta del uso de la descomposición espectral, o densidad angular en la 3
Distribución Generalizada de Pareto.
4.3.- Metodologías Previas Requeridas y Existentes. 4
4.3.1.- Bivariado y Trivariado.
4.3.2.-Multivariado
4.3.3.-Severidades: Distribuciones de Valores Extremos Multivariadas.
5.- Plan de la Tesis. 1 O
Capítulo 1: Riesgo operativo definición y principales problemas actuales; teoría 13
de valores extremos.
1.1.- Riesgo Operativo. 13
l. 1 .1.- Riesgo Operativo y Riesgo Residual; Pérdidas brutas y Pérdidas netas 14
1.1.2.- Gestión y Modelado del Riesgo Operativo. 15
1.1.3 .- Modelado del Riesgo Operativo. 17
l. 1 .3.1.- AlGOR Problemas en el modelado del riesgo operativo e implicaciones
prácticas.
1.2.- Tratamiento de Frecuencias distintas. 20
l.3.- Teoría de Valores Extremos y Formas Univariadas. 21
1.4.- Variables Independientes: Descartando Correlación Serial. 23
1.5.- Determinación de parámetros de la distribución para algunas variables de RO. 26
1.5.1.- Análisis Univariado (VARIABLES: RO_!, R0_2 y R0_3).
1.6.- Basilea: Estimación de parámetros y medidas de riesgo con modelos de valores extremos 31
univariados (Moscadelli 2004).
1.7.- Dominio de Atracción, Fréchet. 33
1.8.- Transformación de las variables empíricas en exponenciales negativas. 34
1.9.- Conclusiones. 37
Capítulo JI: Probando independencia en la cola en Distribuciones de Valores 39
Extremos y modelos relacionados.
II.1.- Introducción. Relevancia de la realización de las pruebas 39
1.2.- Dependencia y Correlación. 40
1.3.- Necesidad Teórica de la Prueba. 41
11.4- Fundamento Teórico de la Prueba 41
11.5.- Exposición de las pruebas 42
11.5.1.- Prueba Basada en la distancia C. 42
11.5.2.- Prueba Neyman- Pearson 42
11.5.3.- Prueba Kolmogorov Smirnov (KS) 44
11.6.- Aplicación de las pruebas de independencia a casos bivariados simulados. 45
11.7.- Aplicación a Pares de Variables Empíricas de Riesgo Operativo. 49
11.8.- Exposición de las versiones multivariadas de las pruebas de independencia. 52
II.8.1.- Función OVE multivariada. 52
V
11.8.2.- Neyman-Pearson Versión Multivariada: 53
11.8.3.- Prueba Kolmogorov Smirnov (KS) Versión Multivariada: 53
11.9.- Aplicación de la Prueba Multivariada a Tres conjuntos de Datos con d=3. 54
11.10.- Algunas Conclusiones de Falk y Michel sobre su investigación. 56
11.11.- Conclusiones. 57
Capítulo 111: Estimación de los parámetros de dependencia de la distribución 59
generalizada de Pareto multivariada; relevancia en la medición de
riesgo operativo
111.-1.- Introducción 59
111.-2.- Modelos DVE y DGP multivariados. 59
111.-3.- Modelo Logístico Anidado: Definición y Características 61
111.-4.- Densidad Angular por medio de Transformaciones de Pickands y de Fréchet. 62
111.4.1 Transformación de Fréchet. 63
111.4.2.- Transformación de Pickands. 64
111.-5.- Obtención de las Expresiones para obtener las densidades Pickands y angular. 65
111.5.1.- Elementos Previos 65
111.5.2.- Obtención de las expresiones de las densidades de Pickands y angular para 3 66
variables aleatorias que siguen una DGP-M.
111.5.2.1.- Obtención de la Expresión para la Densidad Angular 3 dimensiones.
111.5.2.2.- Obtención de la Expresión para la densidad de Pickands en 3 dimensiones.
111.5.2.3.- Expresión de la Densidad Angular parad= 4
111.5.2.4.- Expresión de la Densidad Angular parad= 5:
111.5.2.5.- Expresión para el caso Bivariado
111.6.- Aplicación de la Densidad Angular en la Obtención de Parámetros de dependencia 75
del Modelo Logístico Anidado.
111.7.- Relevancia de los Hallazgos en la Medición del Riesgo Operativo. 79
111.8.- Conclusiones: 81
Capitulo IV: Simulación de variables distribuidas generalizada de Pareto 83
multivariada con la densidad angular.
IV. l.- Introducción 83
IV.2.- Algoritmos de Michel para simular variables aleatorias DGP-M. 83
IV.2.1.- Simulación de vectores de números aleatorios en el Simplex unitario 83
(Algoritmo 4.10 en Michel (4)).
IV.2.2. Elección de los vectores válidos mediante el método de rechazo utilizando la 87
Densidad de Pickands (Algoritmo 4.1 en Michel ( 4 )).
IV.2.3. Simular un Componte Radial Aleatorio. 88
IV.3.- Algoritmos de simulación de DGP multivariada, modificados para la densidad 90
angular multivariada, con distribuciones marginales Fréchet.
IV.3.1.- Proceso general de simulación de las variables DGP-M. 90
IV.3.2.- Algoritmos de Michel modificados para Simulación de variables DGP-M con 92
la densidad angular acotada.
lV.3.3.- Aplicación del algoritmo modificado para la Densidad angular con d=5. 93
IV.4.- Verificación de los parámetros de dependencia de los vectores DGP-M generados. 106
IV.5.- Conclusiones: 108
Anexo IV-A Códigos en VBA (Excel) y Mathematica para generar variables en el Simplex 109
Unitario
Capítulo V: Integración; procesos aleatorios para riesgo operativo; construcción 111
de las medidas de riesgo.
V.1.- Introducción. 111VI
V.2.- El umbral multivariado de una DGP-M. Relación entre las Distribuciones
Marginales (OVE) y la Distribución Conjunta Multivariada (DGP-M).
V.3.- Transformando los Umbrales Radiales y las variables simuladas en Umbrales y
Eventos de Pérdida por Tipo de Evento.
V.4.- Marco Fundamental para Modelar el Riesgo Operativo.
V.5.- Simulación de Frecuencia de Eventos.
V.6.- El Proceso de las Pérdidas Agregadas.
V.6.1.- Caso multivariado y notación OpVaR.
V.6.2- El Problema de la Ruina y el Capital Requerido.
V.7.- Construcción de los Procesos de Pérdidas de Riesgo Operativo y Simulación de
Variables.
V.7.1.- Parámetros de las Distribuciones Marginales y transformación a Marginales
Unifom1es.
V. 7 .2.-Transformación en Exponenciales Negativas.
V.7.3.-Realización de Pruebas de independencia. Obtención de algunos Parámetros
para Simulación DGP-M.
V.7.4.-Determinación de los Parámetros de Dependencia.
V.7.5.-Simulación de Variables de los Procesos de Pérdidas Subyacentes.
V.7.6.-Tratamiento de las Frecuencias.
V.7.7.-Promedio de las Pérdidas Debajo del Máximo.
V.7.8.- DGP univariadas.
V.7.9.-Resumen de Variables simuladas.
V.8.- Obtención y Análisis de las Medidas de Riesgo
V.8.1.- OpVaR con Subyacentes Fréchet vs. OpVaR con Subyacentes DGP-M.
V.8.2.- OpVaR con Procesos Subyacentes DGP univariados Comparado con el
OpVaR con Procesos Subyacentes DGP-M.
V.8.3.- El OpVaR más allá del cuantil 0.999.
V.8.4.- La no subaditividad del OpVaR.
V.8.5.- El Déficit Esperado (o Esperanza Condicional de la Cola u OpVaR de la Cola)
V.9.- Escalamiento del OpVaR en el tiempo.
V. I 0.- Digresión Acerca Del proceso de Difusión de las Pérdidas Operativas visto como
un Proceso de Lévy
V .11.- Conclusiones.
Anexo V.I
Anexo Y.11
Anexo Y.III
Anexo V.IV
Bibliografía
Código VBA para simular la distribución Poisson inversa.
Frecuencias Poisson y Binomial Negativa.
Función Uniforme [0,1] Truncada
Transformaciones de Variables Empíricas a Exponencial Negativa.
113
118
120
122
122
128
129
134
134
134
136
138
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141
141
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145
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160
164
165
167
Vil
INTRODUCCION.
1.- Riesgo Operativo.
Si en riesgo de crédito los créditos que incumplen suelen ser llamados "ángeles caídos",
denotando con esto una posición de riesgo inicialmente reputada como buena que sin
embargo se ha desgraciado y terminado en pérdida; el mundo de las pérdidas operativas
es igualmente dramático y poblado de entes equivalentemente trágicos. Ingresar a este
mundo es parecido a ingresar a los círculos del infierno financiero: en su derredor el
paisaje es de destrucción, lamentos y cantos trágicos generados por pérdidas que debilitan
la salud financiera de las instituciones y más aún, las pueden conducir a la extinción.
Ejemplos de lo devastador que es no cuidar este riesgo existen en abundancia en la
literatura financiera, porque si bien en todas las entidades, y en los individuos también,
existen pérdidas por el simple hecho de operar ( existir en el caso de los individuos), los
controles omitidos o laxos se transforman en pérdidas económicas mayores; operar con
sistemas obsoletos e ineficientes implican paros, retrasos, transacciones equivocas o
incompletas, quejas, demandas y al final de todo, pérdidas. Es decir las decisiones que
dan marco a la forma en que la entidad existe y realiza el objeto de su existencia la
exponen a mayores o menores pérdidas.
Porque a perder se acostumbran las entidades y los individuos, es algo tan rutinario que
se vuelve parte del paisaje: extraviamos objetos, nos timan en pequeña o gran monta;
falla el auto; el sistema informático; la maquinaria; sufrimos hurtos o accidentes; y de
todo esto solo nos queda registro en la memoria cuando las pérdidas son significativas,
las pequeñas las borramos rápido del registro; Importa saber sin embargo si la ley que
rige esas pérdidas nos puede dar una idea de su potencial de aniquilación.
Es bastante malo que existan pérdidas, peor aún que estas sean grandes, pero que sucedan
eventos malos de tamaño significativo, en forma conjunta, debiera ser una preocupación
primaria. Por esta razón se deben estimular las investigaciones que permitan determinar
la probabilidad de estos eventos, tanto en forma individual como conjunta. El disertante
se propone investigar un modelo particular para medir el riesgo operativo de pérdidas
conjuntas.
2.- Objetivo y alcance.
El objetivo de este trabajo es resolver problemas metodológicos ligados a la medición del
riesgo operativo mediante la teoría de valores extremos, en particular con la Distribución
Generalizada de Pareto Multivariada (DGP-M de aquí en adelante). El número de
problemas a abordar es amplio, ya que la exploración de estas metodologías está en su
fase incipiente.
Sin intención de resolver todos los problemas asociados a la aplicación de los modelos
multivariados de la teoría de valores extremos, se abordan los siguientes ligados al
modelo DGP-M:
• El problema de la dependencia en la cola de la distribución,
• El uso de frecuencias de ocurrencia distintas entre factores de riesgo típico del
Riesgo operativo.
• La determinación o no existencia de tal dependencia.
• La estimación de parámetros de dependencia.
• La simulación de variables distribuidas como Generalizadas de Pareto
Multivariadas.
• La obtención de medidas de riesgo en función a las simulaciones realizadas.
• El escalamiento del la medida de riesgo en el tiempo.
• Orientar cada uno de los elementos abordados al Riesgo Operativo.
3.- Base ele datos con pérdidas operativas. Confidencialidad
Si bien este trabajo no es el estudio de un caso, para su investigación el disertante contó
con una base de datos con más de 25,000 eventos de pérdidas operativas de una entidad
específica, que fue sumamente útil para resolver los problemas prácticos del trabajo con
variables empíricas, por razones de confidencialidad no se revelan los datos y parámetros
específicos obtenidos.
4.- 1 nvestigaciones Previas.
4.1.- Investigación reciente en modelos multivariaclos de valores extremos
para Riesgo Operatirn
Recientemente las investigaciones en riesgo operativo han confirmado la existencia de
correlaciones de importancia, asimismo se ha empezado a avanzar en los modelos
multivariados con correlación o dependencia. Los enfoques que los autores han
identificado son:
• Modelado de cuerpos lognormales (para pérdida esperada), colas GDP para
colas. Incluyendo correlación -efecto diversificación-.
• Uso de Cópulas de Teoría de Valores Extremos. Uso de la cópula t.
Marginales GDP estrnctura de dependencia con cópulas t y empírica.
• Escenarios multivariados con Cópula Gaussiana obteniendo distribuciones
Poisson multivariadas.
2
• Modelado de la estructura de dependencia de las diferentes unidades de riesgo
vía el nuevo concepto de Cópula de Lévy.
• Estimación por máxima verosimilitud de un modelo estadístico multivariado.
Modela con distribuciones de valores extremos donde los datos lo sugieren,
estimando por análisis de escenarios y eliminación de "outliers" de las
distribuciones marginales y dependencia con cópulas.
En fechas recientes ha florecido la investigación en el campo del riesgo operativo y
los valores extremos. Varios investigadores especializados en teoría de valores
extremos (Embrechts, Klüpelberg, Mikosch 2008, Falk, Chávez-Desmoulin,
Embrechts, Neslehová 2006), han sido atraídos al análisis de problemas en la
medición del riesgo operativo por la naturalidad con que éste encaja con la teoría,
realizando contribuciones importantes; estás van desde la agregación de las pérdidas,
al uso de distribuciones para modelar las frecuencias, pasando por el tratamiento de
datos, enfoques multivariados distintos, hasta el abordar de lleno el cálculo del valor
en riesgo y la esperanza condicional de la cola. El modelo que se trata en esta
investigación, no ha sido abordadoen tales enfoques.
4.2.- La propuesta del uso de la descomposición espectral, o densidad angular
en la Distribución Generalizada de Pareto.
Por otro lado la teoría estadística ha desarrollado técnicas para generar distribuciones
generalizadas de Pareto multivariadas. Recientemente fueron publicados varios artículos
por René Michel (2001-2006), en donde aborda problemas teóricos y prácticos de la
Distribución Generalizada de Pareto Multivariada (DGP-M). Sus investigaciones son
exhaustivas, y el practicante de la administración de riesgos financieros y los
investigadores en otros campos, encontrarán amplio material de aplicación. Con la
intención de ahondar en aspectos prácticos, y en particular en el modelado del riesgo
operativo, son relevantes particularmente los siguientes temas:
• Aspectos teóricos de los modelos: logístico, logístico asimétrico y
logístico anidado.
• Simulación: algoritmos para los dos primeros modelos anteriores, e
indicaciones sobre cómo abordar el tercero.
• Estimación de Parámetros: para los modelos logísticos con mismo
parámetro de dependencia; Para el modelo logístico anidado con
parámetros de dependencia distintos entre pares, en particular el método
de máxima verosimilitud.
En su investigación Michel hace uso de la descomposición espectral, también llamada
angular (Falk, Hüessler y Reiss).
La descomposición angular consiste en transformar las variables de pérdida en
componentes (angular y radial) equivalentes a una representación polar, y donde los
3
componentes angulares son la materia prima para los diferentes modelos, estimación de
parámetros y simulación de variables.
En la revisión de investigaciones previas no se encontró el uso directo de esta
descomposición aplicada a medir riesgo operativo tal como se propone.
4.3.- \lctodologías Previas Requeridas y Existentes.
Ahora bien, para utilizar los modelos de distribuciones DVE (Distribución de Valores
Extremos) y DGP (Distribución Generalizada de Pareto) en sus diferentes dimensiones:
univariada, bivariada, trivariada y multivariada, se debe contar con metodologías para:
•Estimarlos parámetros de forma, localización y escala (modelos paramétricos).
• Pruebas para verificar la bondad del ajuste a la distribución, dados los parámetros
encontrados.
• Formas cerradas para estimar cuantiles de la distribución encontrada o métodos de
simulación para generar variables aleatorias bajo los parámetros determinados.
Cuando se trata de dos o más dimensiones se añaden las metodologías siguientes para:
• Estimar funciones que determinen las relaciones de dependencia entre las
variables (cópulas o semi-cópulas).
• Estimar los parámetros de las distribuciones marginales y los parámetros de
dependencia entre estas.
• Obtener formulas cerradas para generar variables aleatorias con dependencia
(Casos bivariados y trivariados).
• En su caso desarrollar métodos de simulación para generar variables aleatorias,
dada la relación de dependencia obtenida.
• Escalar las variables simuladas con los parámetros de escala, forma y
localización.
• Transformar las variables obtenidas en las variables de estudio (pérdidas
operativas por ejemplo) y generar sus medidas de riesgo.
-/.3. l.- Birnriaclo r Tri\'Clriaclo.
Para el caso bivariado y en algunos casos trivariado hay varios modelos desarrollados e
implementados en diferentes programas, Stephenson en su programa "evd", incluye para
9 modelos bivariados de OVE:
• Cálculo de densidad y de la densidad angular;
• Obtención de parámetros de modelos de cópulas condicionales para modelar
dependencia.
• Estimación de parámetros.
4
• Obtención de simulaciones
4. 3. 2. -Mu/ti\ ·arictclo
Para el caso multivariado, hay principalmente dos investigaciones que abordan la
estimación de parámetros y simulación multivariada de los modelos de la teoría de
valores extremos:
• Stephenson en el caso de las de Valores Extremos. En el programa señalado
incluye, para los modelos logístico y logístico asimétrico de las OVE; cálculo de
distribución, densidad y obtención de simulaciones.
• Michel en el caso de la Generalizada de Pareto, en sus investigaciones provee
algoritmos para estimar parámetros y realizar simulaciones de los modelos
logístico y logístico anidado. Provee además código en el programa
"Mathematica" para la realización de simulaciones para los mismos modelos.
Comparten los modelos Multivariados OVE y DGP que estudian Stephenson y Michel las
siguientes características:
• Las variables de pérdida sufren las siguientes transformaciones:
o Variable empírica 7
• Estandarización en términos de la marginal paramétrica 7
• Transformación a variables exponenciales negativas
• Utilizan la descomposición angular.
• Distribuciones marginales paramétricas univariadas.
• Distribuciones marginales Fréchet, de relevancia en finanzas debido a las colas
pesadas que exhiben estas variables.
• Modelos Logísticos, Simétricos y asimétricos
o Logístico: Parámetro de dependencia único (constante).
o Logístico asimétrico, parámetros de dependencia diferentes y parámetros
de asimetría. Número de parámetros elevado.
• Su espacio probabilístico se encuentra en el Simplex unitario.
• Existencia de Algoritmos de simulación implementados para los modelos
logístico y logístico asimétrico.
• La existencia de modelos logísticos anidados con diferentes parámetros de
dependencia. Modelos más complejos de implementar debido a las expresiones
involucradas.
• Ambos apuntan que los algoritmos de simulación que presentan se pueden
modificar para aceptar el logístico anidado.
• Las simulaciones entregan resultados en forma de cuantiles marginales
relacionados por los parámetros de dependencia de la distribución conjunta.
s
• Los cuantiles se convierten en variables de pérdida con las transformadas inversas
de las distribuciones marginales.
Es conveniente señalar las características que dan la relevancia a los modelos logísticos
en la posibilidad de obtener medidas de riesgo operativo,
• Modelo logístico: de manejo sencillo para cualquier dimensión, con la
desventaja de suponer un parámetro de dependencia constante. Como se comentó,
tanto Stephenson como Michel proveen algoritmos específicos de simulación. El
modelo es útil en riesgo operativo si se encuentra un parámetro de dependencia
muy similar en el conjunto de variables a modelar.
• Modelo logístico asimétrico: permite el manejo de diferentes parámetros de
dependencia, pero requiere asimismo muchos parámetros de asimetría. El número
de parámetros requerido lo hace inmanejable para muchas variables. Tanto
Stephenson como Michel proveen algoritmos específicos de simulación.
• Modelo logístico anidado: permite modelar las dependencias relevantes entre
variables, utilizando d-1 parámetros de dependencia. El modelo deriva en
expresiones complejas. Tanto Stephenson como Michel indican que es factible
trabajar con estos modelos a pesar de su complejidad. El trabajo de Stephenson
provee de una indicación muy general para los modelos de Valores Extremos; el
de Michel provee soluciones tanto en la simulación de variables como en la
estimación de parámetros que se pueden adaptar a las versiones multivariadas del
modelo logístico. Por sus características el modelo puede ser de mucha utilidad
para modelar el riesgo operativo.
Como se puede observar, el modelo logístico anidado ofrece un campo amplio de
oportunidad en la investigación de su aplicación al riesgo operativo, sin embargo las
investigaciones actuales no lo abordan con toda la profundidad de los primeros.
Las dificultades en la obtención de expresiones de la densidad angular y las asociadas
para dimensiones elevadas limita el uso del modelo para portafolios o problemas
financieros de muchas variables, pero lo hace idóneo para modelar situaciones de número
limitado de variables, tal como en el caso del Riesgo Operativo, en el que las
características de las variablespermiten suponer independencia respecto a diferentes
líneas de negocio, pero diferentes niveles de dependencia entre eventos dentro de las
líneas de negocio; y además en número reducido de variables de pérdida a modelar.
En la Tabla I se muestra lo actualmente disponible y no para generar variables aleatorias
de valores extremos:
6
Tabla l. Distribuciones de Valores Extremos: Metodologías existentes para utilizar
los modelos en diferentes dimensiones.
Metodología Vnivariado Bivariado \lultivariaclo
Estimar los parámetros de forma, DVEy DGP: DVE y DVE: existen,
localización y escala. Existen. mismos que para las
DVEy DGP: distribuciones
Existen. marginales.
Pruebas para verificar la bondad del DVEy DGP: No DVE: No hay
ajuste a la distribución, dados los hay. DGP: Michel 2005.
parámetros encontrados.
Formas cerradas para estimar DVEy DGP:
cuantiles de la distribución Existen
encontrada o métodos de simulación DVE: Stephenson 2003
para generar variables aleatorias
bajo tales parámetros. DGP: Michel 2005.
Estimar funciones que determinen
las relaciones de dependencia entre
las variables (cópulas). DVEy DGP:
Existen
Estimar los parámetros de
dependencia.
Obtener formulas cerradas para DVE: NA
generar variables aleatorias con DGP: NA
dependencia. DVE: NA
DGP: NA
O en su caso desarrollar métodos de DVE: Existen DVE: Stephenson 2003
simulación para generar variables DVE: DGP: Michel 2005
aleatorias, dada la relación de Stephenson 2003
dependencia obtenida. DGP: Existen
DGP: Michel
2005
Escalar las variables simuladas con DVEy DGP: DVE y DGP: Existen
los parámetros de escala, forma y Existen
localización
Nota: Se verificó la existencia de las metodologías a diciembre de 2008.
Sin w I oc i án:
Respecto a la simulación de variables, necesaria para modelar riesgo operativo ya que se
ha aceptado el supuesto de comportamiento multivariado y la relevancia de los
parámetros de dependencia Michel (2006,2001) señala que hay relativamente pocos
trabajos que tratan la simulación de distribuciones de valores extremos multivariadas:
• Tajvidi (1996) señaló la necesidad de tales simulaciones.
• Falk, Michael; Hüsler, Jürg; Reiss, Rolf-Dieter (2004) Simulan la DGP
Marshal-Olkin bivariada.
• Reiss, R., Thomas M., (2001) desarrollan técnicas para simular modelos OVE
bivariados: Marshal-Olkin; Hüsler-Reiss. Stephenson implementa los modelos
7
logístico, logístico asimétrico, Hüsler - Reiss, negativo logístico, bilogístico,
negativo bilogístico, Coles-Tawn y asimétrico mixto.
• La mayoría de los trabajos conocidos hoy en día tratan casos bivariados y
tri variados.
• Stephenson (2003), es la única fuente que aborda la simulación en
distribuciones DVE para n dimensiones. Los algoritmos de Stephenson están
implementados en el paquete en R (Ihaka y Gentleman, 1996) llamado "evd"
(Stephenson, 2002), y está disponible en http://www.maths.lancs.ac.uk/
stephena/.
• La investigación de Michel (2006) aborda por primera vez la simulación de
DGP en dimensiones arbitrarias para los modelos logístico y logístico
asimétrico, y provee de algoritmos generales adaptables a otros modelos.
Para la estimación de funciones de dependencia.
• Para el caso de las distribuciones DVE, hay amplia literatura para la estimación
del parámetro de dependencia en el caso bivariado (Michel lista al menos 13).
• Para dimensiones mayores en distribuciones DVE, Michel menciona los trabajos
de Tawn (1998), Coles y Tawn (1991) Joe _et al. (1992), Coles y Tawn (1994),
Coles et al. (1999), Kotz y Naradajah (2000).
• Para distribuciones DGP Michel aplica varios métodos previamente utilizados en
la estimación de parámetros de las distribuciones DVE.
Michel señala que la razón de que la mayoría de los trabajos tratan el tema bivariado, o a
lo más trivariado, es porque en teoría de valores extremos las cosas se complican al pasar
de dos a tres dimensiones:
"Esto se debe a que la función de dependencia de Pickands, que gobierna esos
modelos, es una función univariada en el caso bivariado. Por tanto el paso de la
dimensión 2 a la 3 es, para la función de dependencia el paso de la dimensión 1
a la 2. Esto lleva a fórmulas más complicadas, y no toda aseveración válida en el
caso bivariado, se sostiene para el caso trivariado ". Michel [Abril 2006}
4. 3. 3. -Sei ·eridacles: !Jisl ri huciones de Valores Ext re111os M11/ t il ·ariodas.
Aunque esta investigación no aborda el caso de la distribución de valores extremos
multivariada DVE-M, es conveniente notar lo siguiente:
Si bien los algoritmos recopilados e implementados por Stephenson para la DVE
multivariada están disponibles en forma libre, no se ha hecho aplicación de tales modelos
a la medición del riesgo operativo. Mucho menos se ha explorado el modelo logístico
anidado, mismo que, como se apuntó, puede ser de gran importancia en la medición del
riesgo operativo.
Unas notas más sobre la el trabajo de Stephenson: Su trabajo "Simulating Multivariate
Extreme Value Distributions" es muy compacto y se centra efectivamente solo en los
problemas de la simulación de las variables aleatorias mediante los modelos logístico y
logístico asimétrico, proponiendo para cada uno dos algoritmos.
Al final de ese trabajo Stephenson aborda el problema de la generalización de los
modelos indicados, en particular se aborda el modelo logístico anidado, con
distribuciones marginales Fréchet. De hecho concluye el artículo diciendo:
"El modelo presentado aquí, incorpora solo un nivel de anidación. En teoría es
posible construir y simular de una distribución logística de valores extremos
formas que contengan cualquier número de niveles de anidación". Stephenson,
Ob. cit. Pág. 58
Los trabajos de Stephenson en tomo a su Software "evd" se refieren al uso del programa,
pero también aporta elementos teóricos de los diferentes modelos allí donde es necesario.
<)
5.- Plan de la Tesis.
El Gráfico 1 presenta el mapa conceptual que esta obra desarrolla a lo largo de 5
capítulos.
Capítulo 1: Presenta el problema del riesgo operativo, los retos que presenta y la forma en
que este trabajo contribuye al enfoque de modelos avanzados.
Capítulo 11: Presenta e implementa dos pruebas de independencia en valores extremos. El
objetivo es modelar dependencia conjunta en la cola solo en donde las pruebas indican
que debe hacerse. Modelar riesgo con dependencia en donde las pruebas estadísticas
indican que no existe, es sobreestimar la medida de riesgo. De hecho, descartar
dependencia para algunos conjuntos de variables simplifica enormemente la obtención de
medidas de riesgo operativo.
Es importante notar que una vez que no ha sido posible descartar independencia en la
cola entre un grupo de variables, existe la posibilidad de que sean modeladas con
distribuciones de valores extremos multivariadas (DVE-M) o distribuciones
generalizadas de Pareto multivariadas (DGP-M); este trabajo solo trata el caso de la
generalizada de Pareto multivariada. (Ver gráfico 1 parte inferior izquierda).
Capítulo III: Se demuestra la expresión de la densidad angular para la distribución
Generalizada de Pareto Multivariada, tipo logístico anidado, para 3 variables y escala el
procedimiento hasta 5. La densidad angular es útil en algoritmos de simulación de
variables aleatorias con esta distribución y para estimar sus parámetros de dependencia.
Se utilizan las expr~siones obtenidas para estimar, por máxima verosimilitud, los
parámetros de 5 variables con parámetro conocido (Con el objetivo de verificar
confiabilidad en la metodología propuesta). El modelo tiene características que lo hacen
adecuado como modelo avanzado de riesgo operativo. Se propone un método para
determinar el orden jerárquico de las variables en la aplicación del modelo a variables
empíricas.
Capítulo IV: Presenta los algoritmos de simulación de Michel, mismos que utilizan la
densidad de Pickands para obtener los vectores aleatorios; asimismose proponen las
modificaciones necesarias a tales algoritmos para realizar tales simulaciones utilizando la
densidad Angular del modelo logístico anidado. En particular, cuando se expongan los
algoritmos modificados, se utilizará el caso de 5 variables para mostrar en forma
detallada el proceso para generar tales variables aleatorias.
Capítulo V: Muestra como utilizar las variables simuladas del modelo DGP-M para ser
transformadas en simulación de pérdidas operativas con dependencia; se presenta el
marco fundamental para modelar el riesgo operativo. Este capítulo es de naturaleza
integradora ya que reúne los elementos que se vierten en los capítulos previos, se
articulan con elementos que se vierten en este capítulo referentes a la conformación de
los procesos de pérdidas agregadas y la obtención de las medidas de riesgo operativo
cuando se ha modelado mediante una DGP-M.
10
Gráfico 1.- Mapa Conceptual de la Obra
H] 8S ~ o CJ fJ 8f~rr] \JD Severidad de La Pérdida.
: Capítulo 1 :
Modelado de la Distribución la Cola
·----------- 1
,------------.
: Capítulo 11 :
1_ - - - - ----- - -·
Series
dela
máxima
pérdida
: Capítulo 11 :
·- - - - - - - - - - - -·
Máxima
por
Bloques
_ Prueba: ~No
·¿Independencia
•Pares~"
•Múltiple ,,,,,-,, \ , -->'º ,
< ,,C,-,il~_ , ,',
', .. , ...
,,'
Modelado
Univariado de la
Distribución
• Cuerpo
• Cola)
: Capítulo 111 :
1 __ - - - - - - - - - - 1
Piecing
Together:
Marginales +
Función de
Dependencia
y<O
Dominio
de
tracción?~·-.
/'~o' ;. ., ... v ,'
C,1R ,,'
Modelado con Metodologías
Estándar.
', .......
,,'
r----------
:_ Capítulos _lll_y IV_.
! Modelado
I Multivariado• de j I la Cola.
•OVE
•DGP
DGP Multivariada con Dependencia
Estimación de Parámetros.
•Máxima Verosimilitud : capítulo 111 :
·- - - - - - - - - - - - 1
Simulación Variables : Capítulo IV :
1 ____________ 1
r-----------
: Capítulo 1 :
Marginales:Estimación
de Parámetros
y>O
DVE; DGP
Gumbel
Fréchet
Transformación de
Variables: T P y T F
Capítulo 111 :
·- - - - - - - - - - - - 1
,-----------
: Capítulo V : ·- - - - - - --- - - - ·
Riesgo Operativo
Medidas de Riesgo
11
12
CAPÍTULO I:
RIESGO OPERATIVO DEFINICIÓN Y PRINCIPALES PROBLEMAS ACTUALES;
TEORÍA DE VALORES EXTREMOS.
l. l.- Rirsgo Operatirn.
Ésta investigación es acerca del Riesgo Operativo y de la importancia de la Distribución
Generalizada de Pareto multivariada en la obtención de sus medidas de riesgo
considerando dependencia entre eventos.
Riesgo operativo se define como el riesgo de pérdida debido a las deficiencias o a fallos
de los procesos, el personal y los sistemas internos o bien a causa de acontecimientos
externos. El tipo y frecuencia de eventos que abarca es muy diverso.
Esta definición incluye el riesgo legal, pero excluye el riesgo estratégico y el de
reputación.
Del riesgo operativo se pueden destacar las siguientes características
• El riesgo operativo es el más antiguo de todos y está presente en cualquier
clase de negocio y casi en toda actividad.
• Es inherente a toda actividad en que intervengan personas, procesos y
plataformas tecnológicas.
• Es complejo, como consecuencia de la gran diversidad de causas.
• Las grandes pérdidas que ha ocasionado a la industria financiera muestran el
desconocimiento que de él se tiene y la falta de herramientas para gestionarlo.
Es conveniente indicar de una vez la principal diferencia relevante para el modelado del
riesgo legal:
En tanto que en el riesgo operativo las pérdidas ocurren durante una ventana dada, en el
riesgo legal aparte de los eventos esperados que suceden con determinada frecuencia
(para cuyos parámetros utilizamos información histórica), existen eventos en curso
(demandas) cuya conclusión en pérdida es incierta, pero incluye una probabilidad de que
suceda.
Por otro lado está la severidad de la pérdida, en este caso tenemos una situación parecida
al riesgo de crédito, es decir, tenemos un monto expuesto inicial (monto demandado) y
una pérdida final (Resolución de la situación). La pérdida final se evalúa como pérdida
económica, esto es, incluye gastos de juicio y otros gastos relacionados con la obtención
de la resolución, incluidos los gastos de mantenimiento en caso de estar involucrado un
bien que lo requiera.
Finalmente existen montos con reclamo propio y montos con reclamo en contra, etc.
13
Riesgo Operativo Significativo es un riesgo, que por su importancia tiene un impacto
potencial adverso ( cualitativo o cuantitativo) en:
• Asegurar la existencia de un negocio en marcha.
• Consecución de Objetivos;
• Alcanzar metas de Rentabilidad;
• Mejorar la Competitividad y Productividad;
• Mantener y mejorar Reputación;
Los Riesgos Operativos Significativos, pueden terminar en verdaderos desastres que
amenacen la misma existencia de la entidad.
l. t. 1.- Riesgo Operativo y Riesgo RcsiduaJ; Pérdidas brutas y pérdidas netas
Riesgo Operativo intrínseco: Es un riesgo que se deriva de realización de las actividades
propias de la entidad. Está implícito en la actividad que realizamos. Es medible,
gestionable y factible de mitigare.
Mitigación del Riesgo Operativo: es la parte del riesgo intrínseco con posibilidad de ser
eliminado: mediante mejoras en procesos; modernización de sistemas y equipos;
aseguramiento contra ciertos eventos (robo, fallas en sistemas, fenómenos naturales, etc.)
El Riesgo Operativo Residual: es el remanente y es el que se manifiesta en forma de
eventos de pérdidas. El objetivo de la administración de riesgos debe ser minimizar el
riesgo residual.
La mitigación es la medida más eficiente contra el riesgo operativo. No todas las acciones
de mitigación tienen un beneficio asignable de forma inmediata, pero otras sí (Seguros).
Riesgo Operativo Intrínseco - Mitigación = Riesgo Operativo Residual
De lo anterior se deriva que existirán pérdidas brutas y pérdidas netas. Esto trae a
discusión si se deben utilizar unas u otras apara modelar el riesgo. De hecho se pueden
seguir ambos caminos:
• Se modelan las pérdidas brutas: en tal caso se debe hacer el cálculo de la
severidad de pérdida, restando pagos por cobertura (mitigación del riesgo) y
sumando costos y gastos.
• Modelar pérdidas netas: por neto se debe entender no solo por la deducción de
la mitigación (pago del seguro por ejemplo, pago del daño en caso legal), sino
la inclusión del costo (el pago de primas y deducibles, gastos de juicio y
demás).
En uno y otro caso el resultado es el mismo, pero cuando se trabaje con pérdidas netas se
debe estar seguro que se incluyen los beneficios de la mitigación pero también sus costos.
14
Por otro lado las series históricas de pérdidas se registran a valor histórico, y se requieren
series largas en tiempo para capturar eventos escasos, pero el análisis debe hacerse a
valor presente (pérdida económica) cercano a la fecha de análisis para dimensionar mejor
las pérdidas pasadas.
Además de lo anterior, se debe tener en cuenta que en el caso de riesgo legal, el concepto
de pérdida económica es más relevante, debido a que:
• La ventana del evento suele ser larga.
• A lo largo del evento se suceden gastos y costos legales y de otro tipo.
• Los rezagos en el cobro de seguros y demás beneficios también aconsejan el uso
del valor presente.
Esta investigación parte de las pérdidas netas de costos y beneficios de mitigación.
1.1.2.- Gestiún y Modelado del Riesgo Operativo.
La administración de riesgo operativo incluye el modelado de éste y la gestión de éste en
base a tales resultados, este artículo pone más énfasis en el modelado del riesgo. Solo
como referencia se debe comentar que la obtención de información no es sencilla y que la
gestión del mismo tiende a modificar el tamaño y la frecuencia de las pérdidas en el
tiempo.
Las siguientes preguntas acercan a los problemas que han de ser resueltos para construir
una base de datossólida en base a la cuál se pueda modelar el riesgo, y establecer las
estrategias de seguimiento y administración de éste riesgo.
• ¿Quién identifica los riesgos?
• ¿Cuál va a ser el mapa de riesgos: Líneas de negocio y eventos de pérdida?
• ¿Cuál es la definición de ventana del evento?, es decir ¿cuando se considera
que un evento ha sucedido y concluido?, ¿Pérdidas en diferentes tiempos
deben ser acumuladas en un solo evento?
• La definición de evento, acumulación de pérdidas asociadas a un mismo
evento y ventana de evento se vuelven relevantes.
• ¿Se registran solo los eventos que efectivamente terminan en pérdida?
• ¿ Todas las pérdidas son registrables?
• ¿Quién identifica y reporta las pérdidas?
• ¿Quién construye la base de datos de pérdidas, quién la valida?
• ¿Qué controles aseguran que toda pérdida es reportada y clasificada
adecuadamente?
• ¿Debe ser modificado el esquema contable para clasificar pérdidas?
• ¿Quién decide qué riesgo debe ser mitigado?
15
• ¿Quién establece los planes de acción?
• ¿Quién da seguimiento a los planes de mitigación?
• ¿Quién construye los modelos de administración del riesgo operativo?
• ¿Qué cambios en la estructura de control y reporte deben ser implementados
como resultado de las pérdidas observadas y de los parámetros de riesgo
obtenidos?
Un ejemplo de esquema global de la gestión del Riesgo Operativo es el siguiente:
G
E
s
T
1
__________ Gráfico - Gestión del_Ries_gQ__Operativo
Segmentar la entidad por t I Métodos para Identificar l ~--O-b_t_e,-1e-r-, --~
Fuentes ele ruesgo -• y Evaluar
1
..... Implementar y ciar
Operativo Significativo Riesgos Significativos . Seguimiento a Planes
(Linea ele Negocio) Por Línea ele Negocio ele Mitigación
--- --·-····- ..... -------------------------------------------------------------------
·o
N
M
o
D
E'
L
A
e
1
o
N
Priorizar Riesgos; Establecer Estrategias de mitigación
Creación Inelicaclores
clave ele Riesgo {:
egui111ienlo a
-- cadores Clave de
Riesgo
--·-------·
Informar ?I Organismos
ele Toma ele
Deci~iones~ Aclión
Alertas Tempranas; Cursos estándar de acción
Diseño del esquerna de
reg istro ele pérd idas.
Dimensiones, Unidades, Sub-
Unidacles, Tipos ele Evento, Etc.
Construcción ele Base
ele Datos que
Registre los Eventos
de Pérdida.
Impacto en Util idad.
+
Pérdida Económica
Fuente de datos con orientación a Gestión del RO
Decidir Objet ivo en e l Uso
del Capita l.
Asignar Recursos
Decidir Etapa'> en la
rvloclelación clel
Riesgo¡
Básirn~Avanzado
!Medidas ele Riesgo:
1 •Op. Var.¡
•Contribución
J\·1arglnal a 11.0.
Estimación de Reservas y Capital (Sea Económico o Regulatorio)
Fuente: Elaboración propia.
1 /
1 /
i/ ,·
A.
R.
o.
16
1.1.3.- i\fodelado del Riesgo Operativo.
La regulación propuesta en el Acuerdo de Capitalización de Basilea II de Junio de 2004,
para el cálculo de capital en los bancos, ha ido filtrándose a las regulaciones locales,
poniendo a las instituciones financieras ante el reto real de implementar estas
metodologías. Ya la implementación del proceso de sistematizar el registro y
clasificación de las pérdidas de tipo operativo implica cambios sustanciales en las
organizaciones; el modelado de este tipo de riesgo es aún más complejo, actualmente no
hay estándares para su medición, es un campo que continuamente ofrece novedades en
soluciones pero también abre problemas nuevos.
La regulación existente ha tratado de ser conservadora, pero aplicar tal conservadurismo
implica un costo para las instituciones, mientras más sencillo y fácil de implementar el
método, más caro en costo de capital: Existen las siguientes opciones (de las simples a las
complejas):
• Indicador Básico.
• Método Estándar.
• Método Estándar Alternativo.
• Modelos Avanzados (AMA).
En México únicamente están regulados los dos primeros, no obstante es de esperar que
conforme avance la gestión del riesgo operativo se avance también hacia los siguientes
modelos. Los enfoques a que se hace referencia en esta obra se inscriben en los modelos
avanzados (AMA).
Dependiendo del riesgo de cada entidad, que en el caso de riesgo operativo está definido
por sus estructuras de control y las plataformas tecnológicas que utiliza, cada enfoque
puede implicar un menor costo de capital, pero su complejidad en el modelado aumenta
mucho cuando se trata de los modelos avanzados y exige la solución de problemas
nuevos.
1.1.3.1.- A.ICOR Problemas en el modelado del nesgo operativo e
i111plicaciones prácticas.
El enfoque de modelos avanzados tiene importantes incentivos por sus beneficios en
gestión y asignación de capital, pero también es el que más retos implica. El Comité de
Basilea constituyó el AIGOR (Grupo de Implementación de Riesgo Operativo para
modelos avanzados) mismo que se enfoca en los retos prácticos ligados a la
implementación de este tipo de riesgo, especialmente en lo tocante a los modelos
avanzados.
Hay varios aspectos relacionados con el modelado del riesgo operativo que el AIGOR
aborda. En Jo que sigue se citan los párrafos del documento de análisis que ha liberado el
mencionado grupo que son relevantes para el objeto de este artículo, asimismo se
17
comentan sus implicaciones. Las referencias son al documento de convergencia del
Comité de Basilea de octubre de 2006, y al documento denominado "Observed range of
practice in key elements of Advanced Measurement Approaches" del AIGOR:
Granularidad:
"El sistema de medición de riesgo del banco debe ser suficientemente 'granular'
para capturar los principales factores clave del riesgo operativo que afectan la
forma de la cola de las estimaciones de pérdida." (Párrafo 669(c))
Implicaciones prácticas:
• El menos granular es el que modela una sola distribución para todas las
pérdidas, su supuesto implícito es independencia entre las pérdidas; El
supuesto es que son independientes e idénticamente distribuidas.
• El enfoque más granular establece pérdidas por línea de negocio o tipo de
evento de riesgo operativo, o bien ambas (tipo de evento por línea de
negocio); Retos: disponibilidad de datos y diferencia en frecuencias.
• La falta inicial de datos puede llevar inicialmente a modelos de baja
granularidad (agrupación de eventos en categorías más generales).
Dependencia (correlación),
"Las medidas de riesgo para diferentes estimaciones de riesgo operativo deben
ser sumadas con el propósito de calcular el requerimiento de capital regulatorio
mínimo. Sin embargo, al banco le puede ser permitido utilizar correlaciones
determinadas internamente en riesgo de pérdidas entre estimaciones individuales
de riesgo operativo, siempre que pueda ser demostrado a la satisfacción del
supefllisor nacional que sus métodos para determinar las correlaciones son
sólidos, implementados con integridad, y que toman en cuenta la incertidumbre
que rodea a tales estimaciones de correlación (Particularmente en periodos
críticos). El banco debe validar sus supuestos de correlación utilizando técnicas
cuantitativas y cualitativas adecuadas." (Párrafo 669(d))
Implicaciones prácticas:
• Sumar las medidas de riesgo (OpVaR) implica perfecta dependencia entre
riesgos; esto es un incentivo para probar modelos con dependencia
imperfecta.
• La dependencia imperfecta implica incorporar el efecto de portafolio en la
modelación del riesgo.
• Es necesario distinguir correlación de dependencia, la correlación está
relacionada con fenómenos modelados con el supuesto de linealidad, aquí
se tiene presente el concepto de dependencia en el sentido más amplio que
incluye la dependencia en la cola de la distribución. Correlación no
necesariamente implica dependencia.
18
• No hay un solo tipo de dependencia, al menos se deben considerar:
Dependencia entre frecuencia de eventos; dependencia en tiempo de
eventos; dependencia entre las severidades de pérdida.
• La diversidad de las frecuencias y severidades,así como del tiempo entre
eventos lleva a la conclusión de que podemos tener variables aleatorias no
idénticamente distribuidas que se deban modelar en forma multivariada, en
forma natural esto conduce al uso de cópulas.
• El concepto de dependencia en la cola se vuelve relevante, la dependencia
es más relevante en los casos de ocurrencia simultánea de pérdidas
grandes.
"Es también posible considerar estructuras de dependencia más generales,
para la cuales la correlación es diferente entre la cola y el cuerpo de la
distribución y varía dentro de la cola. Estructuras complejas de dependencia
que suponen altas dependencias en eventos de riesgo operativo en la cola
son particularmente importantes y podrían conducir a resultados de
requerimiento de capital por riesgo operativo que son mayores que cuando se
hace el supuesto de correlación de 100%, aun cuando estos resultados no son
probables para propósito de capital regulatorio "AIGOR
La cita alude al hecho de que las distribuciones de valores extremos y la distribución
generalizada de Pareto consideran como posibles pérdidas extremas no observadas. Sin
embargo también hay que apuntar que es muy dificil hallar dependencia entre diferentes
tipos de eventos y además qué estos, cuando exhiben severidades mayores son más
escasos, por lo que es de esperar que las pruebas estadísticas sugieran también el uso de
modelos univariados para algunos tipos de pérdida.
Técnica utilizada en el modelado (Supuesto de distribución y estimación),
"Dada la continua evolución de los enfoques analíticos para el riesgo operativo,
el Comité no especifica supuestos a ser utilizados respecto al un enfoque o
distribución para generar las medidas de riesgo operativo con propósito de
determinar el capital regula/ario. Sin embargo el banco debe ser capaz de
demostrar que su enfoque captura eventos de pérdida en la cola potencialmente
severos. Cualquiera que sea el enfoque utilizado, el banco debe demostrar que
sus medidas de riesgo operativo cumplen con estándares sólidos comparables con
el enfoque de medidas de riesgo de crédito basadas en cal(ficaciones internas
(por ejemplo, comparables a de un periodo anual y e intervalo de confianza
equivalente al percentil 99. 9 de la distribución), " (Párrafo 667)
" .. . El banco debe tener un umbral mínimo interno de pérdidas brutas para la
recolección de pérdidas, por ejemplo €10,000. El umbral apropiado de pérdidas
puede variar entre bancos y dentro de cada banco entre líneas de negocio o tipos
de evento .... " (Párrafo 673, segunda viñeta)
19
Implicaciones prácticas:
• Percentiles de confianza muy altos son dificiles de manejar cuando los
datos de pérdidas son escasos, se necesitan 1,000 datos para tener una sola
medida al 99.9%.
• La discriminación de pérdidas bajas lleva a trabajar con umbrales y datos
truncados y por tanto a determinar el umbral óptimo.
• Se deben determinar las distribuciones óptimas para los datos separados
(sea por línea de negocio, tipo de evento o tipo de evento por línea de
negocio) para determinar distribuciones marginales y decidir la mejor
manera de modelarlas en forma conjunta.
"El rango de distribuciones supuestas para modelar la severidad del
riesgo de pérdidas operativas es diverso, con algunos de los más
granulares enfoque de modelado suponiendo más de una forma de
distribución alineada a las características de una línea de negocio o tipo
de pérdida en particular. Las distribuciones usadas incluyen las
distribuciones generalizada de Pareto de la teoría de valores extremos,
distribuciones empíricas, distribuciones lognormales, distribuciones de
colas pesadas y distribuciones de colas ligeras.
Hay mucha menos diversidad en el rango de distribuciones supuestas por
los bancos para estimar la frecuencia de las pérdidas de riesgo operativo.
La más comúnmente utilizada es la distribución Poisson. Un número mas
pequeño de bancos supone una distribución binomial negativa" AIGOR
Es de notar que la distribución generalizada de Pareto referida es generalmente la versión
univariada.
Otros temas tocados por el AIGOR incluyen, el uso de análisis de escenarios de pérdidas
en conjunción con datos externos para evaluar la exposición a eventos muy extremos y el
uso de mitigantes, en el cual solo se propone reconocer una mitigación máxima de 20%
del cargo total por riesgo operativo bajo los modelos avanzados.
1.2.- Tratamiento de Frecuencias distintas.
En la medición de riesgo operativo se sigue el enfoque tradicional de modelar por un lado
las frecuencias de las perdidas y por otro las severidades de pérdida. Aunque la
investigación toca solo el modelado de las severidades, es necesario comentar en aras de
la integridad del tema algunos puntos sobre las frecuencias.
El riesgo operativo, exhibe una gran dispersión en la frecuencia de los eventos, algunos
pueden suceder a diario, cada semana o mes (o incluso meses), sin existir necesariamente
regularidad
20
Venegas refiere que:
" ... para un banco típico que realiza diversas operaciones y transacciones con
clientes, el riesgo de un fraude interno es de baja frecuencia y de alta severidad,
el riesgo por fraude externo es de media/alta frecuencia y baja/media severidad,
el riesgo por no atender medidas de seguridad en el lugar de trabajo es de baja
frecuencia y baja severidad, el riesgo por errores de captura, ejecución y
mantenimiento de operaciones con clientes es de baja/ media frecuencia y
media/alta severidad, el riesgo por daños a activos frjos es de baja frecuencia y
baja severidad y, por último, el riesgo por la falta de sistemas es de baja
frecuencia y baja severidad"
Como reconoce este autor, estas asociaciones a tipos de evento/frecuencia/severidad
varían según la naturaleza de la entidad o institución.
Por otro lado es necesario considerar que el uso de modelos de valores extremos, que se
centran en la distribución de la cola, requiere que se tome en cuenta la frecuencia de la
ocurrencia de valores extremos. En particular para modelo DGP, ya que esta distribución
existe a partir de un umbral dado, es necesario saber con que frecuencia las observaciones
exceden tal umbral y modelar en consecuencia.
Por otro lado es común el supuesto de considerar que la frecuencia de los eventos es
independiente de la severidad de pérdida.
1.3.- Teoría de Valores Extremos y Formas Univariadas.
En general hay dos maneras de modelar valores extremos:
• El primero se denomina Máxima por bloques, que implica recoger solo las
observaciones más grandes para un periodo dado, suponiendo grandes muestras
de observaciones idénticamente distribuidas. El método discrimina una gran
cantidad de datos y está relacionada con las Distribuciones Generalizadas de
Valores Extremos (DVE), cuya forma estándar está dada por:
Gy(x)=exp(-(l+y·xr 111 ), l+y·x>O, y-:t:-0
Donde si y = O, es la Gumbel estándar; si y > O, es la Fréchet, si y < O, es la
Weibull.
• El segundo método ( o grupo de métodos) se denomina "excesos sobre un
umbral". Se modelan todas las observaciones grandes que exceden un umbral
dado (Generalmente alto), el método discrimina menos datos (de por sí escasos) y
se considera muy útiles en aplicaciones prácticas. Están relacionados con las
Distribuciones Generalizadas de Pareto (DGP), cuya forma estándar está dada
por:
21
W/x) = 1-(1 +y· xf 11 r
Donde, si x > O y y = O, es la exponencial; Si O < x y y>O, es la Pareto, y si O < x
<111 y 1, y y< O, es la Beta.
Es necesario comentar también los siguientes puntos:
1. Los dos métodos se centran en una parte de la distribución (la cola) no en
toda. El modelado de lo que no es valor extremo se puede hacer por otros
métodos más sencillos.
2. Se puede notar que existe una relación sencilla y directa entre las
distribuciones DVE y las DGP:
Wr(x)=l+logG(x),si logG(x) >-1
Esta relación será muy útil durante la investigación.
3. El teorema de Pickands-Balkema-De Hann, establece que es posibleencontrar una función positiva y medible dados parámetros de forma,
localización y escala, tal que:
I Flul (x) - Wr,u.a-,, (x) I~ O, u ~ w(F)
Si y solo si, F pertenece al dominio de atracción del máximo.
Así la distribución para la cual la máxima normalizada converge a una
distribución DVE constituye un grupo de distribuciones para las cuales la
distribución de los excesos converge a una DGP cuando el umbral se
incrementa. Más aun "El parámetro de forma de la DGP límite para los
excesos es el mismo parámetro de forma que para la distribución DVE
límite para el máximo" Alexander McNeil et. al. [2005].
Es muy posible que cuando en un fenómeno existan observaciones
extremas, buscando un umbral suficientemente alto, la cola tenderá se
ajustar a una DGP.
El enfoque de utilizar distribuciones de pérdidas implica por un lado demostrar que las
variables de pérdida ( o sus máximos) son independientes e idénticamente distribuidas, en
la sección 1.4 siguiente, se presenta la técnica para probar que las variables son
independientes entre sí, y en la 1.5 se muestra cómo se prueba que son idénticamente
distribuidas ( con las pruebas de ajuste a las distribuciones de probabilidad univariadas ).
22
1.4.- Variables Independientes: Descartando Correlación Serial.
Probar la independencia en una serie de pérdidas operativas con el enfoque de valores
extremos, equivale a probar que la serie no presenta autocorrelación serial. Cuando se
habla de una serie, se hace referencia a la serie que representa las pérdidas ( o máximos de
éstas) para un tipo de pérdida que se desea modelar (celda).
Al trabajar con las series de pérdidas operativas se encuentra que la frecuencia de
ocurrencia de los eventos no son siempre sincrónicas, hay periodos en que un variable
exhibe eventos cuando la otra no, la propuesta de este trabajo es buscar un periodo más
largo en el cual haya una o varias observaciones por tipo de variable. De cada periodo se
toma la observación máxima, a este procedimiento, como se apunto antes, se le conoce
como "máxima por bloques". De esta manera tenemos ahora series de ambas variables
cada una de las cuales exhibe un valor máximo por periodo.
Se puede partir de la máxima frecuencia, probar si la serie bajo este supuesto tiene
autocorrelación, si la tiene se amplia el periodo de extracción del máximo, de los
contrario se acepta la frecuancia inicial.
Por otro lado se debe encontrar un nivel de extracción del máximo que sea adecuado para
el conjunto de variables para las cuales se desea probar dependencia (siguiente capítulo).
Para descartar autocorrelación en las series, se parte de la hipótesis nula siguiente:
H0: No hay autocorrelación hasta el k-ésimo rezago
Para la prueba, se utilizó el estadístico Q de Ljung-Box y su p-value. Como se sabe
mientras más pequeño es el p-value es mas fuerte la evidencia para rechazar la hipótesis
nula. Luego entonces para considerar que las series no tienen autocorrelación, el p-value
del k-ésimo rezago debe ser mayor a 0.05. Con lo cual se aplica la prueba con un error de
5%.
Por supuesto existe el problema práctico de elegir el k-ésimo rezago para la prueba, un
rezago muy corto omitirá correlación serial en elevados rezagos, con uno muy largo la
prueban tendrá bajo poder.
Recuérdese que las series corresponden a las máximas por bloques de cada serie, por
ejemplo la máxima pérdida en un día, pero también puede ser la máxima semanal,
quincenal o de cualquier otro periodo. Por supuesto que al ampliar el tamaño del periodo
se tienen menos observaciones.
Por otro lado, la toma de los máximos debe dejar suficientes observaciones multivariadas,
es decir la frecuencia elegida debe proveer de observaciones en las variables para las
cuales se quiere probar la independencia en las observaciones extremas de variables.
23
Lo anterior es importante porque la técnica para elegir la serie de máximos que no tiene
autocorrelación consiste en tomar la mayor frecuencia posible, si en esta frecuencia la
prueba indica autocorrelación, se amplia el periodo para la extracción del máximo, por
ejemplo pasando de una frecuencia diaria a cada cinco días. Se procede del mismo modo
hasta que la ampliación de periodo de extracción del máximo ofrece una serie sin
autocorrelación serial.
En la Tabla 1.1 se incluye el resultado de la aplicación de la prueba Ljung-Box a las
variables R0-1, R0-2 y R0-3 hasta con 12 rezagos. Se puede notar que solo cuando la
máxima por bloques se toma de la Frecuencia 3, las tres series se encuentran libres de
correlación. En el caso de la variable R03, desde la frecuencia diaria esto es así, en los
otros casos hubo de ser ampliado el periodo (bloque) del cual se extrae el máximo.
24
Tabla 1.1.- Resultado de las pruebas de autocorrelación.
R01
k-ésimo I Diaria Frecuencia 2 Frecuencia 3
Rezaqo Q-Stat I Prob Q-Stat I Prob Q-Stat Prob
1 62.01 0.00 5.77 0.02 1.05 0.31
2 75.87 0.00 13.68 0.00 2.36 0.31
3 89.53 0.00 16.44 0.00 7.39 0.06
4 96.47 0.00 16.92 0.00 7.78 0.10
5 120.69 0.00 22.21 O 00 8.19 0.15
6 158.74 0.00 24.74 0.00 9.94 0.13
7 189.55 0.00 28.61 0.00 9.95 0.19
8 218.10 0.00 30.01 0.00 10.22 0.25
9 231.18 0.00 30.33 0.00 10.38 0.32
10 252.65 0.00 30.33 0.00 10.65 0.39
11 267.65 0.00 30.36 0.00 10.65 0.47
12 282.03 0.00 30.43 0.00 10.74 0.55
R02
k-ésimo Diaria Frecuencia 2 Frecuencia 3
Reza o Q-Stat Prob Q-Stat Prob Q-Stat Prob
1 1.43 0.23 2.44 0.12 0.32 0.57
2 7.07 0.03 3.75 0.15 2.13 0.35
3 7.08 0.07 4.39 0.22 2.30 0.51
4 7.12 0.13 4.39 0.36 3.34 o.so
5 7.25 0.20 9.49 0.09 3.82 0.58
6 32.55 0.00 9.75 0.14 4.87 0.56
7 32.72 0.00 10.27 0.17 5.13 0.64
8 35.00 0.00 10.36 0.24 5.38 0.72
9 35.07 0.00 11.72 0.23 5.40 0.80
10 65.58 0.00 11.85 0.30 5.79 0.83
11 67.44 0.00 12.69 0.31 5.89 0.88
12 68.94 0.00 13.14 0.36 6.13 0.91
R03
k-ésimo Diaria Frecuencia 2 Frecuencia 3
Rezago Q-Stat I Prob Q-Stat Prob Q-Stat Prob
1 0.14 0.71 0.02 0.89 0.11 0.74
2 0.25 0.88 0.14 0.93 0.28 0.87
3 0.49 0.92 1.02 0.80 0.71 0.87
4 0.49 0.97 1.17 0.88 1.07 0.90
5 0.52 0.99 1.24 0.94 2.01 0.85
6 0.52 1.00 1.27 0.97 2.22 0.90
7 0.73 1.00 1.38 0.99 2.30 0.94
8 0.87 1.00 1.55 0.99 2.51 0.96
9 0.92 1.00 2.76 0.97 5.88 0.75
10 3.97 0.95 2.76 0.99 6.14 0.80
11 4.66 0.95 3.97 0.97 6.15 0.86
12 4.67 0.97 4.73 0.97 6.46 0.89
En general esta metodología es la que se debe utilizar determinar las series libres de
correlación serial, ya que no son útiles las transformaciones usuales típicas de la
construcción de modelos econométricos: en este caso se necesitan máximos sin
transformaciones logarítmicas, y sin primeras o segundas diferencias, ya que lo que se
modela es precisamente la pérdida en su forma original.
25
Es importante sin embargo que al aumentar la amplitud del periodo del cual se extrae el
máximo, deje suficientes variables para modelar el riesgo. Para los cálculos que se
presentan en este capítulo, se utilizó el máximo de cada 7 días.
1.5.- Determinación de padmetros de la distribución para algunas variables de RO.
En esta sección del trabajo se utilizarán las series de máxima por bloques para modelar
estas en forma univariada. En particular se estiman los parámetros para cada variable que
corresponden a los modelos univariados DVE y DGP. Estos parámetros serán la base
para modelar en forma multivariada. A este paso se le conoce como determinación de los
parámetros de las distribuciones marginales. En suma en esta sección de debe probar que
las variables son idénticamente distribuidas (Ajustan bien a la distribución propuesta), y
cuáles son los parámetros de las distribuciones de valores extremos a utilizar.
1.5.1.- Análisis Univariado (VARIABLES: R0_1, R0_2 y R0_3).
Se llevó a cabo un análisis univariado de tres variables que incluye 135 observaciones
con el máximo semanal de cada una, por tanto se utilizó el método de máxima por
bloques, con bloques de 7 días para 945 días. La estimación de parámetros se realizó con
"Extremes".Variable R0-1
Máxima por bloques de 7 días.
,,,
/\ r L
,J ' 1 r I~
' \
Gráfico 1.2. Kernel de densidad de R0-1, y
Distribución de valores extremos ajustada.
'.\
'\
\
\"' ,,
, ___ _ -- --->~~>::".''.! ~----
26
Tabla 1.1.- Parámetros OVE estimados para R0-1
Parametrización Gamma
MU
SIGMA
GAMMA
10,741
5,960
0.554924
Parametrización Alfa
MU
SIGMA
ALFA
o
10,741
1.80205
La estimación de gamma es y=0.55, es positiva. Se puede modelar como una Fréchet.
En efecto, si observamos la gráfica cuantil-cuantil (Q-Q), se observa que una recta ajusta
bastante bien a la distribución:
Gráfico 1.3.- Variable RO-lGráfico Cuantil-Cuantil
Gráfico 1.4. Kernel de densidad de R0-1, y DGP ajustada.
27
Tabla 1.2.- Parámetros DGP estimados para R0-1
Extremos 15 40
Parametrización MU 13,885 13,851
Gamma. SIGMA 5,566 4,715
GAMMA 0.0348386 0.11251
Parametrización MU 145,891 -28,059
Alfa. SIGMA 159,776 41,910
ALFA 28.7038 8.88811
La estimación de gamma es y=0.034. Se puede modelar como una Pareto.
Variable R0-2
Máxima por bloques de 7 días.
Gráfico 1.5. Kernel de densidad de R0-2, y
Distribución de valores extremos ajustada.
: ~-::
Tabla 1.3.- Parámetros DVE estimados para R0-2
Parametrización Gamma
MU
SIGMA
GAMMA
6,551
6,031
0.920562
Parametrización Alfa
MU O
SIGMA
ALFA
6,551
1.08629
La gamma es y=0.92, positiva. Se puede modelar como una Fréchet.
28
Gráfico 1.6. Kernel de densidad de R0-2, y DGP Ajustada con Diferentes Extremos.
1
\
\
Tabla 1.4.- Parámetros DGP estimados para R0-2
Extremos 17 1
Parametrización MU -36,463
Gamma. SIGMA 22,657
GAMMA 0.2493
Parametrización MU
Alfa. SIGMA
ALFA
21 1 23 1 24
-9,846 4,121 9,753
11,314 5,474 3,296
0.435089 0.660084 0.829692
-4, 173 5,780
8,293 3,973
1.51496 1.20527
La gamma es positiva, y=0.82 para el mejor ajuste con 24 extremos. Se puede modelar
con una Pareto.
29
Variable R0-3
Máxima por bloques de 7 días.
Gráfico 1.7. Kernel de densidad de R0-3, y
Distribución de Valores Extremos ajustada.
'--~----------------
Tabla 1.5.- Parámetros OVE estimados para R0-3
Parametrización Gamma
MU 2,760
SIGMA 3,390
GAMMA 1.22817
Parametrización Alfa
MU O
SIGMA
ALFA
2,760
0.81422
La gamma es y=l.22, positiva. Se puede modelar como una Fréchet.
Gráfico 1.8. Kernel de densidad de R0-3, y DGP.
30
Tabla 1.6.- Parámetros DGP estimados para R0-3
Extremos 1 13 1 15 1 69
Parametrización
MU 365 -15,298 276
SIGMA 6,320 11,535 6,140
Gamma. GAMMA 0.507216 0.35618 0.4993
Parametrización MU -120,942 -47,683 -12,023
Alfa. SIGMA 12,459 32,385 12,299
ALFA 1.9715 2.81 2.00299
La gamma es positiva, y=;=0.499 para el mejor ajuste con 69 extremos. Se puede modelar
con una Pareto.
1.6.- Basilea: Estimación de parámetros y medidas de riesgo con modelos de valores
extremos univariados (Moscadelli 2004).
La aplicación de distribuciones univariadas de valores extremos, y generalizada de Pareto
a modelar la severidad de pérdida en eventos de riesgo operativo ha sido ya abordada en
fonna amplia en varias investigaciones. Una de las más sobresalientes es la de Marco
Moscadelli "The modeling of operational risk. Experience with the analysis of the data
collected by the Base! Coinmittee", de Julio de 2004. Este investigador tuvo el privilegio
de contar con la base de datos de 89 bancos participantes, e incluyó más de 47,000
observaciones, clasificadas por tipo de evento y línea de negocio.
Dado que el interés de este trabajo está en los modelos multivariados, solamente se
resaltarán los siguientes elementos de esta investigación:
1. Bajo desempeño de los modelos de severidad actuariales convencionales
para describir las características de los datos sobre todo debido al sesgo y
kurtosis exhibidos. "De hecho, toda distribución tradicional aplicada a
todos los datos de cada línea de negocio tienden a ajustar a las
observaciones centrales, y en consecuencia a no tomar en adecuada
consideración las pérdidas grandes" Moscadelli, Op. cit. Pág. 12.
2. En cambio la investigación mostró que el paradigma de la teoría de
valores extremos en su versión excesos sobre un umbral-Distribución
Generalizada de Pareto (POT-DGP), " ... proveen un estimado preciso de
la cola de las líneas de negocio a los percentiles 95 y mayores, esto es
confirmado por los resultados de tres pruebas de bondad de ajuste y
análisis de desempeño del VaR de la severidad" Moscadelli, Op. cit. Pág.
12.
31
3. En los resultados del VaR de la severidad Moscadelli encuentra que a
diferentes niveles de confianza (95%, 97.5%, 99%, 99.95% y 99.9%) el
modelo POT-DGP es el que menores excepciones exhibe en las pruebas
back test, comparado contra los modelos Gumbel y lognormal.
4. Las líneas de negocio "Finanzas corporativas" y "Banca Comercial"
resultaron ser las más riesgosas para la muestra utilizada, en tanto que las
de "Banca de Menudeo" y "Operaciones Bursátiles al Menudeo" son las
menos riesgosas. Es notable que el menor riesgo se encuentra en las líneas
de negocio menos concentradas.
5. Los resultados denotan que las pérdidas por riesgo operativo son en efecto
una fuente de riesgo importante para los bancos.
6. El consumo de capital que encuentra Moscadelli para cada línea de
negocio es en 4 casos inferior al que implica el uso de los multiplicadores
del modelo estándar de Basilea II para riesgo operativo, existiendo por
tanto un beneficio en el uso de los modelos avanzados. En los otros 4
casos el consumo es mayor, sin embargo es notable que los cuatro en los
que el consumo es menor, se acumula el 72% del cargo de capital, de tal
manera que en forma consolidada resulta un coeficiente de 13.3% contra
el 15% del modelo estándar de Basilea 11.
La siguiente tabla muestra el índice de la cola para cada línea de negocio, téngase en
mente los resultados para la Parametrización gamma.
Tabla 1.7.- Moscadelli, resultados riesgo operativo con DGP univariada
Gamma Alfa Umbral
# Línea ele :\ egocio y u. F(u;)
I Finanzas Corporativas 1.19 0.84034 0.901
2 l\ rgociación y V en tas 1.17 0.85470 0.900
3 Banca al :Vlenueleo 1.01 0.99010 0.965
-' Banca Comercial 1.39 0.71942 0.908
5 Pagos y Liquidación 1.23 0.81301 0.899
6 SerYicios de Agencia 1.22 0.81967 0.894
7 Administración ele Activos 0.85 1.17647 0.904
8 Productos Bursátiles (:Vlcnudeo) 0.98 1.02041 0.900
Fuente: Moscadelli 2004
Respecto al valor de gamma, Moscadelli apunta que:
• Si y?_.5 la DGP tiene varianza infinita,
• Si y?_. l la DGP no tiene momentos finitos, ni siquiera esperanza,
Citando a Moscadelli "Esta propiedad tiene una consecuencia directa para el análisis de
datos: de hecho el comportamiento pesado ( o no pesado) de los datos en la cola puede ser
fácilmente detectado del parámetro estimado de fonna"
32
La última columna indica para cada línea de negocio en umbral ( cuantil) a partir del cual
se puede modelar con una DGP.
Hay que tener en mente que la investigación citada fue realizada bajo el supuesto de
distribuciones univariadas. Los conceptos de dependencia están ausentes en las
estimaciones realizadas.
1.7.- Dominio de Atracción, Fréchet.
Como se observó en la estimación de parámetros de las variables empíricas, todas se
pueden modelar como OVE marginales Fréchet, si fuera el caso de modelarlas
multivariadas en forma conjunta.
Cuando en formas generales de valores extremos:
G
1
(x) = exp(-(1 +y· xt111 ),
1 + r · x > o, r * o
Wy(x) = 1 + log G(x),
si logG(x) > -1
Encontramos que y > O, se dice que las distribuciones están en el máximo dominio de
atracción de la distribución Fréchet. Cuando en cambio y = O, está en el máximo dominio
de atracción de la Gumbel. Ver Michel (3), Beirlant (Chapter 5 Tail estimation for ali
Domains of attraction), Coles, Reiss y Thomas.
Por ejemplo, la normal se encuentra en el máximo dominio de atracción de la Gumbel.
En hidrología los datos de descargas máximas en ríos semiden en promedios por lapso
de tiempo, los promedios extremos determinan por ejemplo un riesgo de inundación.
La relevancia de lo anterior es que en el campo financiero las variables suelen resultar
con y > O; además la distribución Fréchet es la que exhibe colas más pesadas; finalmente
las series obtenidas son los máximos por bloque, por lo que la elección de marginales
Fréchet para modelar las variables de riesgo operativo parece natural.
Beirlant indica en el capítulo 2 de su "Statistics of Extremes" que en el dominio de
atracción de la distribución Fréchet están entre otras: Pareto ( a), Generalizada de Pareto
(cr,y), Burr Tipo XIl (TJ,T,A), Burr tipo III(TJ,T,A), F(m,n), Invf(A, a), Logr(A, a),
Fréchet(a).
En ese mismo capítulo Beirlant presenta el caso como Fréchet-Pareto. También indica
que es conocida como "índice de la cola" y también "índice de Pareto"
33
1.8.- Transformación de las variables empíricas en exponenciales negativas.
Las variables no se utilizan ni para las pruebas estadísticas de independencia ni para la
estimación de parámetros en su forma cruda natural, requieren transformaciones previas
que son bien conocidas en la teoría de valores extremos.
Las variables para ser tratadas deben existir en el espacio d-dimensional negativo (-oo,O)ct,
por tanto si proceden de variables reales, ( como pérdidas o rendimientos en el terreno
financiero), deben estar precedidas por transformaciones adecuadas:
l. Obtener las distribuciones marginales de cada variable"'7 Realizado.
2. Determinar el dominio de atracción de la variable a través del índice de la cola
(Tail Index)"'7 Realizado.
3. Transformar las variables a la forma estándar de la distribución Fréchet F(x¡),
utilizando los parámetros obtenidos.
F ___ (x;)
µ ,a ,a
Para la parametrización gamma se utiliza:
Y los parámetros:
Gamma Mu Sigma
(Forma) (Localización) (Escala)
OR-1 0.554924 10,741 5,960
OR-2 0.920562 6,551 6,031
OR-3 1.22817 2,760 3,390
Para la parametrización alfa se utiliza:
c.(x)= expH x~µ r)
Y los parámetros:
Alfa Mu Sigma
(Forma) (Localización) (Escala)
OR-1 1.80205 o 10,741
OR-2 1.08629 o 6,551
OR-3 0.81422 o 2,760
34
4. Transformación a las variables de su forma estandarizada Fréchet F(x;) a la
exponencial negativa, y¡ en la siguiente transformación.
y¡~ F ___ (xJ-1 = y¡
µ,a,a
Restan los pasos 3 y 4. Después de aplicar ambas transformaciones obtenemos las
variables en el cuadrante negativo. Ahora las variables se pueden modelar como
resultantes "de una distribución uniforme en [-1,0]. ( ... ) El orden de los datos
permanecen intactos por la transformación, de modo tal que las observaciones extremas
ahora están cerca del O." Michel (3) capítulo 7.
Los datos en esta forma se aprecian como sigue:
Gráfico 1.9.- Variables OR-1 y OR-2 en el cuadrante negativo.
-1.00 -0.90 -0.80 -0.70 -0.60 -0.50 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00
. .
. .
. ' ~--~. . ', ·. """ .
"" '· . ,. ~·· ~'
. ~~~ . ":~'--·- ~
. -·
. .
-~- '. '
"-. .: -~. .
. .
"-. ~ .
·.~: . '~:
--~.
0.00
-0.10
-0.20
-0.30
-0.40
-0.50
-0.60
-0.70
f--_..__ ____________ --"-c-~~ •• ~_ --j -0.80
• • • ~ -0.90
~
-1.00
35
Gráfico 1.10.-0R-2 y OR-3 en el cuadrante negativo.
-1.00 -0.90 -0.80 -0.70 -0.60 -0.50 -0.40 -0.30 -0.20 -0.1 O 0.00
.. . .
.. . .
... .
0.00
-0.10
-0.20
-0.50
-0.60
-0.70
-0.80
-0.90
·'""'-..
---------. ···---~--~-----~~---~ -1.00
Gráfico 1.11.-0R-1 y OR-3 en el cuadrante negativo.
-1.00 -0.90 -0.80 -0.70 -0.60 -0.50 -0.40 -0.30 -0.20
1 •
' i
. . --..--. :
. . . . .
. .
.-~
-·-\ . . . . .
\ . .. . ....... - ... . ··········-··· • .. -·-·····-·····---······ ---··- ~- • ..... -. . ...... ··----·· ····--·-------·-------, .. -..
-0.10 0.00
0.00
-0.10
'~ -0.20
-0.30
-0.40
-0.50
-0.60
-0.70
.....
-0.80
'""'- -0.90
...........
' -1.00
Aunque en el siguiente capítulo se revisan las relaciones de dependencia entre las
variables, es notorio en las tres gráficas que en la vecindad del cero hay muy pocas
observaciones, y que las observaciones se encuentran más bien dispersas que conjuntas.
Con las variables transformadas se este tipo se puede proceder a aplicar las pruebas de
independencia en la cola, tanto bivariadas como multivariadas (Capítulo II).
36
Descartada la independencia se procede a modelar estas variables con dependencia
(Capítulo III). Michel (3) apunta que "Este método de estimar primero las distribuciones
marginales y estimar después los parámetros de dependencia de de los datos
adecuadamente transformados, es referida frecuentemente como estimados 'Piecing-
together"' Ver Reiss y Thomas (2001) sección 9.3.
1.9.- Conclusiones.
En este capítulo se han presentado los dos elementos básicos que constituyen el objeto
de esta investigación, por un lado el riesgo operativo, sus características y problemas
actuales en su modelado, por otro lado la teoría de valores extremos y sus formas básicas.
Se ha indicado la necesidad de probar (y cómo hacerlo) que una variable e independiente
e idénticamente distribuida.
Por otro lado se ha empezado a mostrar los problemas que se enfrentan cuando se trata
con variables empíricas, el tratamiento de las variables se ha empezado a fundir con los
modelos y nos ha entregado al final variables empíricas transformadas en marginales
exponenciales negativas con lo cual se queda en condiciones de realizar el análisis de las
relaciones de dependencia entre las mismas y arribar al modelado multivariado con
modelos de valores extremos.
37
38
Capítulo II
PROBANDO INDEPENDENCIA EN LA COLA EN DVE Y MODELOS
RELACIONADOS.
11.1.- Introducción. Relevancia de la realización ele las pruebas
Como se apuntó en la introducción a esta tesis, la importancia de poder demostrar
independencia en la cola de las distribuciones de los eventos de riesgo operativo es
enorme, es la diferencia entre trabajar con metodologías más simples o más complejas.
Si se puede demostrar que un conjunto de variables no tienen dependencia en la cola, se
pueden modelar en forma univariada, o bien con estructuras de dependencia más simples,
que las resultantes de los modelos de valores extremos.
Como también se apuntó en la introducción, en el enfoque Basilea, la forma estándar de
calcular el cargo de capital regulatorio por riesgo operativo implica la suma de los peores
escenarios estimados por las autoridades, traducidos en forma de betas sobre los ingresos
netos de las instituciones bancarias.
No obstante estas betas tienen tal dimensión que el cargo de capital puede representar no
solo el peor escenario de pérdidas en un periodo, sino más que la suma de las pérdidas de
varios periodos. Por otro lado no sabemos si tal cargo está cubriendo un riesgo real o no.
Una institución con una buena gestión de riesgo estaría castigada en cuanto a su consumo
de capital por este hecho.
Independientemente de que Basilea busque regular la medición de riesgos en las
instituciones bancarias, se debe reconocer su labor promotora en toda industria y el
terreno de la investigación: Ha establecido estándares; ha recopilado las prácticas en la
industria; ha puesto a discusión metodologías para medir el riesgo operativo; y ha dado
también incentivos al uso de los modelos avanzados.
Dice Mario Benedetti a propósito de la frase de Jorge Manrique: "Todo tiempo pasado
fue mejor", que para ver su alcance hay que completarla: "Todo tiempo futuro será peor".
De la misma manera parece en primera instancia que la propuesta para riesgo operativo
de Basilea lleva impresa la frase popular: "Las desgracias nunca vienen solas", que si se
completa se diría "Las desgracias siempre vienen juntas", es decir, los eventos de riesgo
operativo tienen perfecta dependencia, pero también nos permitiría decir "Siempre que no
puedas demostrar lo contrario". El objetivo de este capítulo es mostrar como se puede
demostrar lo contrario y poder
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