Modelado y Control de Cuadricóptero

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Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey 
Modelado matemático y control inteligente de un 
cuadricóptero 
Tesis que para optar el grado de 
Maestro en Ciencias de la Ingeniería con Especialidad en 
Automatización y Control 
Presenta 
Eduardo Miguel Bucio Gallardo 
Asesor: 
Co-asesor: 
Comité de tesis: 
Dr. Ricardo Zavala Yoé 
Dr. Ricardo Ambrocio Ramírez Mendoza 
Dr. Pedro Ponce Cruz 
Dr. Ricardo Ambrocio Ramírez Mendoza 
Dr. Ricardo Zavala Yoé 
TECNOLÓGICO 
DE MONTERREY 
Biblioteca 
~ Clud9cf de Mb1c:o 
Jurado: Dr. Pedro Ponce Cruz Presidente 
Dr. Ricardo Ambrocio Ramírez Mendoza Secretario 
Dr. Ricardo Zavala Yoé Vocal 
México, D.F., mayo de 2015 
Preludio 
"La vida es muy peligrosa. No por las personas que hacen el mal, sino por las 
que se sientan a ver lo que pasa." 
Albert Einstein ( 1879-1955) 
Actualmente, la mayor parte de los vehículos o máquinas producidas por el ser humano invo-
lucran algún tipo de teoría de control (para simplificar la escritura, los vehículos y máquinas 
se mencionarán como "sistemas" en este documento). Asimismo, se sabe que muchos de estos 
sistemas son totalmente multivariables. Esto quiere decir que reciben más de una variable de 
entrada y tienen más de una salida. Sin embargo, muchos de estos sistemas siguen siendo con-
trolados como sistemas univariables y por ende, tienen ciertos errores al seguir la consigna o 
en períodos transitorios. Por ello es que el control lineal multivariable, no lineal multivariable, 
robusto e inteligente, han tenido mucho auge desde hace algunos años hasta el día de hoy. 
Cuando se habla de sistemas de alta complejidad, es mucho mejor tomarlos de la manera 
más realista posible, para poderlos controlar de una forma efectiva. En otras palabras, se deben 
de considerar los errores de estimación, de modelado, el ruido, las no linealidades y el acopla-
miento de estados. Esto último quiere decir que el cambio de un estado afecta a otro u otros. 
De manera sencilla, se puede imaginar un avión. Cuando se desea aumentar su velocidad, se 
aumenta la fuerza de empuje. Sin embargo, al aumentar la velocidad de crucero, el avión tam-
bién comienza a incrementar su altitud. Esto no es lo que se busca, sino que solo se aumente la 
velocidad de crucero, sin afectar ningún otro estado. Esto se logra correctamente con controles 
multivariables, mas no con univariables. Si se controla un sistema como un todo y no como 
una unión de muchos estados separados, se obtendrán respuestas mucho más eficientes. En el 
caso del avión, si el control es multivariable y se desea aumentar la velocidad de crucero, el 
controlador generará acciones para variar la velocidad de crucero, mas ningún otro estado. 
Después de haber mencionado la gran importancia del control multivariable, se debe men-
cionar que la no linealidad también es un tema de alto interés, dado que la mayor parte de los 
sistemas del mundo son intrínsecamente no lineales. Empero, dada la dificultad de los sistemas 
no lineales, por lo general se buscan modelos lineales aproximados a la realidad. Sin embargo, 
el trabajar con modelos no lineales le proporciona más realidad al sistema y finalmente, un 
control mucho más eficiente. Aunque es cierto que muchos modelos lineales aplican muy bien 
para sistemas no lineales, cuando se toman sistemas muy complejos, las no linealidades no son 
tan fáciles de eludir y deben de estar presentes en el diseño del control. 
Justamente por la abundancia de sistemas multivariables no lineales y la importancia de 
saberlos modelar y controlar, esta tesis se encuentra completamente enfocada a sistemas de 
4 
5 
esta índole. No solo es la aplicación que se le pueda dar a la aeronave de este trabajo a nivel 
industria, sino las grandes aplicaciones académicas que trae consigo. 
Resumen 
"Si uno no puede comunicar lo que ha estado haciendo, su trabajo carecerá de 
valor." 
Erwin Schrodinger ( /887-196/) 
La presente tesis ataca el problema del cuadricóptero. Dicho sistema se contempla simétrico 
con respecto a sus centro de masa. Primeramente se analiza su dinámica para poder ofrecer un 
modelado matemático adecuado y acorde a la realidad. De hecho, el autor explica detallada-
mente cómo se consigue el modelo matemático y permite que el lector comprenda cada paso 
que se siguió. Para ello se utilizan ecuaciones Euler-Lagrange. 
Habiendo conseguido el modelo matemático, se procede con el control inteligente del cua-
dricóptero. Para ello se implementó un control difuso PD más I exacto. Con esto se consiguió 
una respuesta eficiente del sistema y que además admite perturbaciones, así como errores en el 
modelo matemático. De igual forma, analizando de forma correcta la salida del controlador, el 
autor estudia la salida demandada en los motores, con la intención de saber si el controlador 
podrá funcionar correctamente en un sistema físico. 
6 
Índice genera I 
Índice general 
Índice de figuras 
1 Introducción 
1.1 Propósito del estudio 
1.2 Antecedentes . 
1.3 Marco Teórico . 
1.3.1 Sistemas Lineales Multivariables . 
1.3.2 No linealidades ......... . 
1.3.3 Sistemas dinámicos no lineales y controladores no lineales 
1.3.4 Mecánica de vuelo de cuadricópteros 
l.3.5 Ángulos de Euler ...... . 
1.3.5.1 Ángulos Tait-Bryan 
1.4 Planteamiento del problema . 
1.5 Objetivos . . . . . . . . . . 
2 Estado del Arte 
7 
9 
14 
14 
15 
19 
19 
20 
23 
24 
27 
28 
29 
30 
32 
2.1 Condensado ........................ 32 
3 Modelado matemático del sistema 
3. 1 Referencias y diagramas del cuadricóptero a modelar 
3.1.1 Hipótesis de modelado .... . 
3.2 Ecuaciones de Euler-Lagrange .... . 
3.2. 1 Ecuación de movimiento para X 
3.2.2 Ecuación de movimiento para Y 
3.2.3 Ecuación de movimiento para Z 
3.2.4 Ecuación de movimiento para (} 
3.2.5 Ecuación de movimiento para 1/J 
3.2.6 Ecuación de movimiento para ljl 
3.3 Modelo matemático en representación de espacio de estados 
4 Control del cuadricóptero 
35 
35 
38 
38 
40 
41 
42 
42 
45 
46 
47 
52 
4.1 Controladores difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 
7 
4.1.1 
4.1.2 
4.1.3 
Control difuso PD con salida diferencial .......... . 
Control difuso PD con salida nominal para el estado x5 = Z 
Control difuso PD con salida nominal para los 6 GDL (con desacopla-
mienlo de estados) ...... . 
4.1.3.1 
4.1.3.2 
4.1.3.3 
4.1.3.4 
4.1.3.5 
4.J.3.6 
Control para x11 = 1/f 
Control para X9 ""' tfJ 
Control para x7 = 8 
Control para x1 = X 
Control para x., '" Y 
Resultados ..... 
8 
53 
58 
64 
64 
67 
70 
71 
72 
73 
4.1.4 Control difuso PD con salida nominal + l exacto para 6 GOL . 79 
4.1.4.1 Comprendiendo las funciones de rnembresía para estados an-
gulares del cuadricóptero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 
4.1.4.2 
4.1.4.3 
4.1.4.4 
4.1.4.5 
Resultados en trayectoria de la letra '"E'' . . . . . . . . . . . 82 
Resultados de trayectoria comparativa entre escalones y rampas 88 
Desacoplamiento de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 
Cargas externas y cambios en los valores de las constantes 
del modelo matemático del cuadric6ptero . . . . . . . . . . . 94 
4.1.5 Comparativo de la respuesta i¡, del sistema contemplando y sin con-
templar el efecto de la aceleración de los rotores . . . . . . . . . . . . 99 
5 Análisis de resultados 102 
6 Conclusiones 105 
7 Trabajo futuro y posibles aplicaciones del sistema 106 
Bibliografía 109 
Índice de figuras 
l. l Helicóptero de doble hélice: La segunda hélice. girando en sentido opuesto, 
compensa el momento de la primera[2]. (Original en colores) . . . . . . . . . . 16 
1.2 Helicóptero con hélice lateral trasera: La hélice trasera no genera fuerza de sus-
tentación, sino solo compensa el momento de la hélice principal[23]. (Original 
en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 
1.3 El helicópterode Bothezat-.Jerome de 1922, mientras desciende en un vuelo de 
prueba el 21 de Febrero de 1923[15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
1.4 Jeep volador Curtiss-Wright VZ-7AP de 1958, en uno de sus vuelos de prueba 
en el ejercito de E.U.A.[ 15]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
l.5 Cuadricóptero a pequeña escala[ 19]. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . 18 
1.6 Diagrama de bloques de un sistema lineal multivariable en espacio de estados 
en lazo abierto[6]. . . . . . . . . . . . . 20 
1. 7 Curva característica para Saturación. . . 21 
1.8 Curva característica de la Zona Muerta. 22 
1.9 Curva característica del comportamiento Todo-Nada. 22 
1. 1 O Curva característica de la Histéresis. . . . . . . . . . 23 
1.11 Diagrama de fuerzas básico de un helicóptero[ 14]. (Original en colores) 25 
l.12 Fuerza de sustentación inclinada de un helicóptero[ 14]. (Original en colores). 25 
1.13 Vuelo de traslación y frenado de un helicóptero[14]. (Original en colores) . . 25 
1.14 Sentido de giro de las hélices de un cuadric6ptero[7]. (Original en colores) . . 26 
1.15 Representación de un un cuerpo celeste con respecto a sus tres ángulos de giro[ 3]. 28 
1.16 Secuencia de rotación de ángulos Tait-Bryan ZYX[:26]. . . . . . . . . . . . . . 29 
3.1 Diagrama de velocidades angulares, torques(,) y fuerzas de sustentación en el 
marco no inercial del cuadricóptero. . .............. . 
3.2 Diagrama del cuadricóptero para análisis de torques. . ..... . 
3.3 Diagrama del cuadricóptero para análisis de torques con lfl = n/2. 
4.1 Matriz de reglas difusas para controlar el estado x5 = Z, del controlador difuso 
36 
43 
45 
PD con salida diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 
4.2 Funciones de membresía para el error de Z, del controlador difuso PD con 
salida diferencial. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 
9 
10 
4.3 Funciones de rnembresía para la derivada del error de Z, del controlador difuso 
PD con salida diferencial. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 
4.4 Funciones de membresía para la salida del controlador difuso PD con salida 
diferencial. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 
4.5 Respuesta de Z con el controlador difuso PD con salida diferencial. (Original 
en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 
4.6 Salida de los motores con el controlador difuso PD con salida diferencial. (Ori-
ginal en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 
4.7 Funciones de membresía para la salida del contTolador difuso PD con salida 
nominal, estado Z. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 
4.8 Funciones de membresía para el e1TOr de Z. del controlador difuso PD con 
salida nominal. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 
4.9 Matriz de reglas difusas para controlar el estado xs , Z. del controlador difuso 
PD con salida diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 
4.10 Superficie de la salida del controlador difuso para Z.(Original en colores) 60 
4.11 Respuesta de Z con el controlador difuso PD con salida nominal. (Original en 
colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 
4.12 Respuesta de Z con el controlador difuso PD con salida nominal. en el punto 
que alcanza la referencia de 20m. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . 62 
4.13 Salida de los motores con el controlador difuso PD con salida nominal. contro-
lando el estado xs = Z. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 
4.14 Salida de los motores con el controlador difuso PD con salida nominal, contro-
lando el estado x5 ••••••· Z y en estado estable. (Original en colores) . . . . . . . . 63 
4.15 Salida de los motores con el controlador difuso PD con salida nominal. contro-
lando el estado x5 = Z. durante el frenado cuando se dirige hacia -Z. (Original 
en colores) ............................. . 63 
4.16 Funciones de membresía para el eJTor de i¡t. (Original en colores) . . . . . . . . 65 
4.17 Funciones de membresía para la derivada del error de 1/f. (Original en colores) . 65 
4.18 Funciones de membresía para la salida del controlador difuso PD con salida 
nominal. estado i¡t. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 
4.19 Funciones de membresía para el error de </J. ( Original en colores) . . . . . . . 67 
4.20 Funciones de membresía para la derivada del eJTor de </J. (Original en colores) 68 
4.21 Funciones de membresía para la salida del controlador difuso PO con salida 
nominal, estado </J. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 
4.22 Funciones de membresía para el error de X. (Original en colores) . . . . . . . 71 
4.23 Funciones de mernbresía para la derivada del e1rnr de X. (Original en colores) 72 
4.24 Funciones de mernbresía para la salida del controlador difuso PD con salida 
nominal. estado i¡t. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 
4.25 Trayectoria del cuadricóptero en el marco inercial XY con el controlador difuso 
PD con salida nominal para 6 GDL. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . 73 
11 
4.26 Trayectoria del cuadricóptero en el marco inercial XYZ con el controlador di-
fuso PD con salida nominal para 6 GDL. (Original en colores) . . . . . . . . . 74 
4.27 Respuesta de Z con el controlador difuso PD con salida nominal para 6 GDL. 
(Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 
4.28 Respuesta de Z con el controlador difuso PD con salida nominal para 6 GDL. 
(Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 
4.29 Respuesta de Y con el controlador difuso PD con salida nominal para 6 GDL. 
(Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 
4.30 Respuesta de 1f1 con el controlador difuso PD con salida nominal para 6 GDL. 
(Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 
4.31 Respuesta de q, con el controlador difuso PO con salida nominal para 6 GDL. 
(Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 
4.32 Respuesta de e con el controlador difuso PD con salida nominal para 6 GDL. 
(Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 
4.33 Salida de los motores con el controlador difuso PD con salida nominal. contro-
lando los 6 GOL. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 
4.34 Funciones de membresía para el e1Tor de X (así como de Y), del controlador 
difuso PO con salida nominal + l exacto para 6 GOL (Original en colores) . . . 79 
4.35 Funciones de membresía para la derivada del e1Tor de X (así como de Y). del 
controlador difuso PO con salida nominal + I exacto para 6 GDL (Original en 
colores). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 
4.36 Funciones de membresía para el en'OI' de q,. (Original en colores) . . . . . . . . 81 
4.37 Funciones de mcmbresía para la derivada del em,r de </). (Original en colores) . 81 
4.38 Funciones de membresía para la salida del controlador difuso PD con salida 
nominal. estado ¡p. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 
4.39 Trayectoria del cuadricóptero en el marco inercial XY con el controlador difuso 
PO con salida nominal + 1 exacto para 6 GDL. (Original en colores) . . . . . . 83 
4.40 Trayectoria del cuadricóptero en el marco inercial XYZ con el controlador di-
fuso PO con salida nominal + I exacto para 6 GDL. (Original en colores) . . . . 83 
4.41 Respuesta de Z con el controlador difuso PO con salida nominal+ I exacto para 
6 GDL. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 84 
4.42 Respuesta de X con el controlador difuso PO con salida nominal + I exacto 
para 6 GDL. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 
4.43 Respuesta de Y con el controlador difuso PD con salida nominal + 1 exacto 
para 6 GDL. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 
4.44 Respuesta de V' con el controlador difuso PD con salida nominal + 1 exacto 
para 6 GDL. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 
4.45 Respuesta de ~ con el controlador difuso PO con salida nominal + I exacto 
para 6 GDL. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 
4.46 Respuesta de (J con el controlador difuso PO con salida nominal + 1 exacto 
para 6 GOL. (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 
12 
4.47 Salida de los motores con el controlador difuso PD con salida nominal + l 
exacto para 6 GOL. (Original en colores). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 
4.48 Respuesta de Z con el controlador difuso PD con salida nominal + I exacto para 
6 GDL (segunda trayectoria). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . 88 
4.49 Respuesta de X con el controlador difuso PD con salida nominal + I exacto 
para 6 GDL (segunda trayectoria). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . 89 
4.50 Respuesta de Y con el controlador difuso PD con salida nominal + I exacto 
para 6 GDL (segunda trayectoria). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . 89 
4.51 Respuesta de 1/f con el controlador difuso PD con salida nominal + 1 exacto 
para 6 GDL (segunda trayectoria). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . 90 
4.52 Salida de los motores con el controlador difuso PD con salida nominal + 1 
exacto para 6 GDL (segunda trayectoria). (Original en colores) . . . . . . . . . 91 
4.53 Salidas del cuadricóptero en sus estados ca1tesianos y en Psi (Z variable y los 
demás estados estáticos). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 
4.54 Salidas del cuadricóptero en sus estados cartesianos y en Psi (X v:.u-iable y los 
demás estados estáticos). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 
4.55 Salidas del cuadricóptero en sus estados caitesianos y en Psi (Y variable y los 
demás estados estáticos). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 
4.56 Salidas del cuadricóptero en sus estados cartesianos y en Psi (Psi variable y los 
demás estados estáticos). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 
4.57 Masa variable del cuadricóptero, asemejando cargas externas. (Original en co-
lores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 
4.58 Salida del cuadricóptcro en Z inercial (Parámetros del modelo distintos y con 
masa variable). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 
4.59 Salida del cuadricóptero en X inercial (Parámetros del modelo distintos y con 
masa vmiable). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 
4.60 Salida del cuadricóptero en Y inercial (Parámetros del modelo distintos y con 
masa variable). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 
4.61 Salida del cuadricóptero en 1/f inercial (Parámetros del modelo distintos y con 
masa v:.u"iable). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 
4.62 Trayectoria del cuadricóptero en el marco inercial XY con el controlador difuso 
PD con salida nominal+ I exncto para 6 GDL. (Original en colores) . . . . . . 98 
4.63 Trayectoria del cuadricóptero en el marco inercinl XY con el controlador difuso 
PD con salida nominal+ I exacto para 6 GDL (Parámetros del modelo distintos 
y con masa variable). (Original en colores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 
4.64 Respuesta de lfl con el controlador difuso PD con salida nominal + l exacto para 
6 GDL (sin contemplar los valores de aceleración de rotores y con K"'II = 1.7). 
(Original en colores) ............................... 100 
4.65 Respuesta de lfl con el controlador difuso PD con salida nominal+ l exacto para 
6 GDL (contemplando los valores de aceleración de rotores y con K,1.., = 1.7). 
(Original en colores) ............................... 100 
4.66 Respuesta de t¡t con el controlador difuso PO con salida nominal+ I exacto para 
6 GOL (contemplando los valores de aceleración de rotores y con Kc1,
1 
ce-:: O). 
13 
(Original en colores) ............................... 101 
1 1 ntrod ucción 
"Cualquier persona que se ha visto seriamente comprometida en el trabajo 
científico de cualquier tipo, se da cuenta de que en las puertas de entrada del 
templo de la ciencia están escritas las palabras: << Debes tener fe. >> Es una 
virtud que los científicos no pueden prescindir." 
Max Planck ( 1858-1947) 
Los vehículos aéreos no tripulados son tema muy importante de la actualidad. Estos tienen 
una gran gama de aplicaciones como seguridad, monitoreo, reconocimiento de terreno, entre 
muchas otras. De hecho, estos sistemas también han sido muy atractivos para la industria del 
entretenimiento de radio control. Sin embargo, también son de gran utilidad académica. Al 
ser sistemas completamente no lineales, con grandes inestabilidades y el hecho tener sus esta-
dos totalmente acoplados, se vuelven sistemas muy atractivos para probar nuevas técnicas de 
control, algoritmos inteligentes y otras herramientas que pudieran querer analizar los investi-
gadores. 
1.1. Propósito del estudio 
"Lo importante en ciencia no es tanto obtener nuevos hechos como descubrir 
nuevas formas de pensar sobre ellos." 
William Lawrence Bragg ( 1890-1971) 
La finalidad principal de esta tesis es el conocimiento académico que se puede extraer de los 
cuadricópteros. Con este proyecto se logra una enseñanza práctica del modelado de un siste-
ma. De igual forma, la implementación de diversas técnicas de control permite compararlas, 
analizarlas y además, desarrollar nuevos controladores, algoritmos inteligentes, planeación de 
trayectorias, entre otras. 
De hecho, un cuadricóptero podría llegar a ser una gran herramienta escolar para los alumnos 
de control, sin importar si se encuentran estudiando una ingeniería o un posgrado. 
Finalmente, es importante mencionar que las teorías de control que se mencionan en esta te-
sis, serían aptas para implementarse en cuadricópteros con aplicaciones industriales. Estas pue-
den ir desde vehículos de vigilancia, reconocimiento de terrenos y rescate, hasta aplicaciones 
novedosas como construcción, mantenimiento superficial de edificios (pintura, por ejemplo) y 
paquetería. 
14 
1.2. Antecedentes 
"La persona que simplemente observa el vuelo de un pájaro se queda con la 
impresión de que el pájaro no piensa nada para hacerlo. En realidad esa es una 
parte muy pequeña de su trabajo mental. El pájaro ha aprendido el arte del 
equilibrio; esta habilidad no es evidente a nuestros ojos. Sólo aprendemos a 
apreciarla cuando tratamos de imitarla." 
Wilbur Wright ( /867-1912) 
15 
El vuelo es algo con lo que el ser humano soñó desde que tocó la Tierra. Sin embargo, hasta 
finales del siglo XIX logró el verdadero inicio de la aeronáutica. Pero esto no era todo, dado 
que el ser humano no solo quería volar, sino también despegar de manera vertical. Justamente 
por ello es que comenzó a trabajar en el helicóptero, el cual comenzó a principios del siglo XX. 
Hoy en día, el helicóptero es un medio de transporte aéreo muy utilizado. Sin embargo, este 
sistema conlleva grandes problemáticas. Entre ellas, se encuentran las siguientes: 
• Debe tener un motor muy grande para sus aspas principales. 
• Debe de tener dos hélices principales, con mismo torque nominal pero cada una girando 
en sentido opuesto, para así lograr estabilidad de momentos (Figura 1.1 ). O bien, puede 
tener una pequeña hélice en la parte posterior que no ofrezca fuerza desustentación, sino 
más bien, que genere un momento que contrarreste a la hélice principal. Estos últimos 
son los más utilizados (Figura 1.2). 
• Las aspas principales deben ser flexibles y deben de poder cambiar su ángulo de paso 1. 
• Las aspas son muy grandes. 
• Es un sistema sumamente inestable y muy complejo de modelar. En sistemas simplifica-
dos lineales multivariables, estos modelos llegan a tener 6 estados tan solo para controlar 
2 ángulos del cuerpo del helicóptero[8]. 
• Si falla una de sus aspas o se daña, es muy difícil poder controlar al helicóptero. En otras 
palabras, no son buenos para soportar fallas. 
• Por su falta de estabilidad, es difícil y caro construir helicópteros pequeños que se man-
tengan estables en lugares cerrados y con muchos obstáculos. 
I El ángulo de paso se refiere al ángulo de ataque, o bien, al ángulo entre el eje de dirección del viento y la 
inclinación que se la da a un aspa, con la intención de poder mover a un helicóptero hacia delante, hacia atrás o 
hacia un lado. 
Figura 1.1: Helicóptero de doble hélice: La segunda hélice, girando en sentido opuesto, 
compensa el momento de la primera[2]. (Original en colores) 
16 
Figura 1.2: Helicóptero con hélice lateral trasera: La hélice trasera no genera fuerza de 
sustentación, sino solo compensa el momento de la hélice principal[n] . (Original en colores) 
Por todas las problemáticas que se encuentran en un helicóptero, es que el cuadricóptero 
ha parecido una gran solución en los últimos años. Sin embargo, no se debe pensar que es-
tos sistemas son novedosos, sino todo lo contrario. A principios de 1900, cuando comenzaron 
a trabajar seriamente en vuelos con despegues verticales, analizaron la posibilidad de un he-
licóptero. Empero, posiblemente por carecer de tecnología para fabricar rotores tan grandes, 
17 
optaron por un sistema de 4 rotores más pequeños. Asimismo, dadas las carencias tecnológicas 
de la época y del control de antaño, les pareció más fácil tener dos aspas girando hacia un lado 
y dos hacia el otro, logrando así tener un equilibrio de momentos[ 15]. 
A pesar de los tempranos comienzos de los cuadricópteros, estos no fueron muy utilizados 
dado que no se lograba conseguir gran maniobrabilidad. No fue sino hasta 1922 que se logró 
conseguir un modelo con un poco de estabilidad y maniobrabilidad; este fue el comienzo del 
helicóptero (Figura l.3). Después de esto, los helicópteros comerciales fueron de un solo rotor 
principal, más uno en la parte posterior para compensar momentos. Sin embargo, uno de los 
principales problemas que existían y siguen existiendo con los helicópteros, es que para cam-
biar de rumbo se requiere cambiar el ángulo de paso de aspas. Esto requiere de un mecanismo 
elaborado y de un control complejo[ 15]. 
Figura 1.3: El helicóptero de Bothezat-Jerome de 1922, mientras desciende en un vuelo de 
prueba el 21 de Febrero de 1923[ l 5]. 
Aunque los helicópteros comerciales eran de un solo rotor principal, algunos equipos de 
trabajo continuaron con los cuadricópteros; algunos de ellos fondeados por el ejercito de E.U.A. 
Pero no fue sino hasta el año 1956 que se logró el primer cuadricóptero totalmente estable, que 
modificaba su velocidad y dirección con la combinación de propulsiones de cada uno de los 
cuatro rotores (Figura 1 .4 ). Este sería el primer vehículo aéreo que despegara de manera vertical 
y no requiriera de cambiar el ángulo de paso de aspas. A pesar del éxito de este proyecto, 
dados los cortes de presupuesto del ejercito de E. U.A, este último tuvo que dejar de financiar 
desarrollos de cuadricópteros[l 5]. 
Figura 1.4: Jeep volador Curtiss-Wright VZ-7AP de 1958, en uno de sus vuelos de prueba en 
el ejercito de E.U.A.[ 15]. 
18 
Sin importar la falta de fondos para proyectos de este tipo de sistemas, varios grupos si-
guieron elaborando cuadricópteros y técnicas de control para ellos. Ya a finales del siglo XX, 
comenzaron a construirse cuadricópteros a pequeña escala. De hecho, los avances en la física 
del estado sólido lograron llevar estos sistemas al alcance de mucha más gente, dado que los 
sensores inerciales (como los giroscopios) se volvieron circuitos integrados económicos. La 
Figura 1.5 muestra un cuadricóptero a pequeña escala. 
Figura 1.5: Cuadricóptero a pequeña escala[ 19]. (Original en colores) 
Después de haberle dado al lector el conocimiento general de la historia de los cuadricóp-
teros, se deben mencionar las principales ventajas que estos tienen por sobre los helicópteros 
convencionales: 
• Control direccional que no requiere control de ángulo de paso de aspas. El cambio de 
dirección se genera con combinaciones de momentos y velocidades en cada una de las 4 
turbinas. 
• Mayor agilidad. 
• Mayor estabilidad. 
• Mayor resistencia a choques o fallas. 
• Dada la gran estabilidad, se pueden utilizar fácilmente en locaciones cerradas y con 
muchos obstáculos. 
19 
• Se requieren rotores de menor tamaño que el de un helicóptero. 
• Al utilizar aspas más pequeñas y no flexibles, la manufactura se simplifica. 
• No se consume energía en rotores que no aporten fuerza de sustentación (recordar que 
el helicóptero de un solo rotor principal, requiere un rotor lateral en la parte trasera para 
compensar el momento generado por el principal). 
Dadas las ventajas que ofrecen los cuadricópteros, se han comenzado a desarrollar para diver-
sas aplicaciones como vigilancia, monitoreo, rescate y muchas otras. Asimismo, estos sistemas 
han sido muy útiles en la academia dado que son muy prácticos para desarrollar controladores 
de diversos tipos y de distintos niveles de complejidad. El modelo matemático que los cuadri-
cópteros ofrecen, permite que el desarrollador pruebe técnicas de control novedosas y de alta 
complejidad. 
1.3. Marco Teórico 
"Los que se enamoran de la práctica sin la teoría son como los pilotos sin 
timón ni brújula, que nunca podrán saber a dónde van." 
Leonardo Da Vinci ( /452-1519) 
Para poder llegar al desarrollo de esta tesis, es importante que el lector recuerde lo básico de 
ciertos temas que serán ampliamente utilizados durante este proyecto. Por ello es que en esta 
sección se le da una breve introducción a varias temáticas. 
1.3.1. Sistemas Lineales Multivariables 
Un sistema dinámico tiene un comportamiento que se encuentra determinado por las accio-
nes que se tomen sobre él. Dando un ejemplo, una de las acciones que determina la velocidad 
de un auto, es la cantidad de gasolina que ingresa al motor. De igual manera, dicho sistema se 
ve afectado por perturbaciones externas como el viento, la geometría e inclinación de la calle, 
el peso extra que lleve, entre otras. Por el otro lado, si se habla de sistemas multivariables, se 
encuentran sistemas en los cuales sus variables internas o estados, se muestran acoplados. 
Un claro ejemplo de sistemas multivariables es el cuadricóptero. Pensando en dos variables 
acopladas que tiene este sistema, es la velocidad de crucero y la altura. Si se decide incrementar 
la velocidad de crucero, el cuadricóptero se inclina hacia adelante y comienza a perder altura. 
En palabras más técnicas, la altura y velocidad de crucero del cuadricóptero se encuentran 
acopladas. El cambio en una, genera un cambio en la otra. Para estos sistemas se requieren 
controles multivariables; los cuales toman en cuenta los acoplamientos y buscan modificar una 
variable, sin afectar a las demás. 
20 
Un sistema lineal multivariable puede ser representado en estados, tal como se muestra en la 
Figura 1 .6. Asimismo, este puede ser representado en ecuaciones. Las ecuaciones Ecuación 1 .1 
y Ecuación 1.2, son las que lo representan de forma adecuada. 
o 
11(() 
A 
Figura 1.6: Diagrama de bloques de un sistema lineal multivariable en espacio de estados en 
lazo abierto[6]. 
X =AX +BU ( 1.1) 
Ecuación de evolución de los estados 
Y =CX +DU (1.2) 
Ecuación de salida 
Las ecuaciones Ecuación1.1 y Ecuación 1.2, representan el modelo matemático de una plan-
ta. Sin embargo, es importante recalcar que dichas ecuaciones pueden llegar a tener ciertas 
modificaciones, si se toman en cuenta algunas perturbaciones o no linealidades. De hecho, el 
modelo más preciso de un cuadricóptero no es lineal, sino un modelo no lineal. 
Para poder controlar un sistema lineal multivariable, se requiere modelar matemáticamente 
al sistema sin utilizar no linealidades (ver SubseccilÍn 1.3.2) y después implementar un contro-
lador lineal. 
1.3.2. No linealidades2 
El conjunto de técnicas de análisis y diseño para sistemas de control no lineales, se llama 
control no lineal. Este aplica para cualquier sistema con al menos un componente no lineal, 
2Gran parte de la información plasmada en esta subsección, se obtuvo de [5]. 
21 
lo cual significa que no cumple con la propiedad de homogeneidad o superposición. Estos sis-
temas pueden ser univariables o multivariables, así como contener linealidades diferenciables 
o no diferenciables (no linealidades fuertes). Los sistemas multivariables no lineales tienen el 
principio de los sistemas lineales multivariables (ver Subsección 1.3.1) pero sí involucran no 
linealidades. Las no linealidades más comunes, son las siguientes: 
• Saturación 
• Zona muerta 
• Todo-nada 
• Histéresis 
• Huelgo 
• Fricciones 
• Resorte no lineal 
• Compresibilidad de fluidos 
• Producto de estados, raíces de estados, polinomios que involucran estados, funciones 
trigonométricas de estados, entre otras. (No linealidades diferenciables) 
Este tipo de no linealidades, si no se toman en cuenta, pueden generar errores en el estado per-
manente y en ciertos casos, llevar al sistema a la inestabilidad. Algunas de estas no linealidades, 
se explican a continuación: 
Saturación 
Esta no linealidad significa que para valores de entrada pequeños, en valor absoluto, el cam-
bio de la salida se comporta de forma lineal, para entradas un poco superiores, la salida puede 
cambiar a no lineal y finalmente, para entradas grandes, la salida permanece constante. La 
gráfica que muestra este comportamiento, se puede observar en la Figura 1. 7. 
Figura 1.7: Curva característica para Saturación. 
22 
Zona Muerta 
Existe cierto nivel de entradas pequeñas, que no generan ningún cambio en la salida del 
sistema. Este tipo de no linealidad es conocida como "zona muerta". La curva característica se 
muestra en la Figura 1.8. 
s.nd. 
Figura 1.8: Curva característica de la Zona Muerta. 
Todo-Nada (Función Signo) 
La salida de estos sistemas es una constante positiva o bien, una constante negativa. Su curva 
característica se muestra en la Figura 1.9. 
Salid• 
M-----
o Entrad• 
-------11 
Figura 1.9: Curva característica del comportamiento Todo-Nada. 
23 
Histéresis 
Es similar a un componente con función signo, con la diferencia de que su cambio de negati-
vo a positivo no se da en el mismo valor de entrada que cuando cambia de positivo a negativo. 
De cierta forma, el sistema guarda una especie de memoria y dependiendo de su estado actual, 
es que se determina el valor de entrada que se requiere para realizar el cambio de estado. Su 
curva se muestra en la Figura 1. 1 O. 
_,, M 
Entra de 
Figura 1.10: Curva característica de la Histéresis. 
Huelgo 
Este tipo de no linealidad quiere decir que si la entrada cambia de dirección, de manera 
inicial, la salida no muestra cambio en su dirección. En otras palabras, esta no linealidad es 
la holgura que existe entre la entrada y la reacción de la salida. Un ejemplo de estos sistemas 
sería un yoyo. En este juego, cuando se deja caer el yoyo, este comienza a girar con dirección 
al suelo. Empero, al darle un jalón hacia arriba para regresarlo, el yoyo no comienza a subir de 
forma instantánea, este tarda unas fracciones de segundo en detener su bajada y emprender la 
subida. 
1.3.3. Sistemas dinámicos no lineales y controladores no lineales 
De forma general, un sistema dinámico no lineal diferenciable se representa con las ecuacio-
nes Ecuaáín 1.3 y Ecuación I A. 
X= F(X) + G(X)U ( 1.3) 
Ecuación no lineal de evolución de los estados 
24 
Y = H(X) + L(X)U ( 1.4) 
Ecuación no lineal de salida 
Este tipo de sistemas son de suma importancia, puesto que muestran un mejor desempeño, 
que los que se intentan representar de forma lineal. Dado que la naturaleza es intrínsecamente 
no lineal, estas aproximaciones matemáticas son más acertadas que las lineales. Las principales 
ventajas que se consiguen al analizar los sistemas en forma no lineal y controlarlos también con 
leyes no lineales, son las siguientes: 
1. El control es válido en un rango mucho más amplio que en un análisis lineal. Cabe men-
cionar que hay que considerar validez local o global del modelo matemático a utilizar. 
2. Reducción de efectos indeseables, causados por no linealidades no contempladas. 
3. Los modelos no lineales y el control no lineal, son muy útiles para tratar incertidumbres 
en el modelo matemático a utilizar. Es prácticamente imposible modelar matemática-
mente un sistema real, sin falla alguna. Por ello es que los controladores que soportan 
incertidumbres, son mucho más eficientes. 
4. Puede ser menos costoso, dado que se pueden evitar sensores lineales para toda la gama 
de valores de salida. 
Sencillamente, este tipo de sistemas y control son fundamentales, dado que el mundo en el 
que se vive es inherentemente no lineal. La gama de controladores no lineales es sumamente 
amplia. Dentro de los controladores no lineales más conocidos se encuentran el control por 
método geométrico, regulador cuadrático no lineal (NLQR por sus siglas en inglés), control 
deslizante, control difuso, entre otros. 
1.3.4. Mecánica de vuelo de cuadricópteros 
Para explicar la mecánica de vuelo de los cuadricópteros se pueden utilizar a los helicóp-
teros como ejemplo, hasta cierto límite. Dado que ambos funcionan con hélices y no tienen 
alerones para virar o cambiar altitud, lo básico de un helicóptero es aplicable a los cuadricóp-
teros. Sin embargo, al momento de explicar los cambios de dirección, sí se tiene que hablar 
específicamente de los cuadricópteros. 
Un helicóptero genera sustentación a partir del giro de su hélice principal. Dado que las 
aspas tienen cierta geometría, por el principio de Bernoulli, estas disminuyen la presión en 
su parte superior. Al tener una presión mayor en la parte inferior de las aspas, tal que genere 
una fuerza mayor que el peso y la fuerza generada por la presión en la parte superior de las 
aspas, el helicóptero comenzará a elevarse. Entre más rápido gire la hélice, mayor fuerza de 
sustentación. La l-i_c"ur;1 1 .1 1 muestra un diagrama sencillo. 
25 
Fuerza de sustentación 
Peso 
Figura 1.11: Diagrama de fuerzas básico de un helicóptero[ 1-.(]. (Original en colores) 
En el caso de un cuadricóptero, son 4 hélices las que deben superar al peso y a la fuerza 
ejercida por la presión superior. Justamente por ello es que los cuadricópteros requieren rotores 
mucho más pequeños, así como hélices de menores dimensiones. 
Como siguiente punto, avanzar hacia delante o frenar en un helicóptero es ocasionado por el 
cambio de inclinación de las aspas de su hélice, logrando así que el helicóptero se incline y se 
consiga una fuerza de sustentación inclinada (ver Figura 1.12). Dicha fuerza tiene dos compo-
nentes, una vertical que mantiene al helicóptero en vuelo y otra horizontal, la cual impulsa al 
helicóptero hacia adelante o hacia atrás, en el caso del frenado. 
Fuerza de sustentación Componente vertical 
Figura 1.12: Fuerza de sustentación inclinada de un helicóptero[ 1-1-]. (Original en colores) 
Los movimientos de traslación y frenado se pueden observar claramente en la Figura 1.11. 
Frenado 
Vuelo de 
Aceleración 
~·(~~~ 
~ ~ 
Aterrizaje Despegue 
Figura 1.13: Vuelo de traslación y frenado de un helicóptero[ 1-1-]. (Original en colores)26 
Los movimientos de traslación y frenado mencionados funcionan de manera similar en un 
cuadricóptero. Este también se tiene que inclinar hacia adelante o hacia atrás, para desplazarse 
o frenar. Sin embargo, en un cuadricóptero no se cambia el ángulo de las aspas para inclinar al 
rotor. Más bien, se aumenta la velocidad de dos rotores y se disminuye proporcionalmente en 
los dos restantes. 
Suponiendo el centro de masa del cuadricóptero en el centro geométrico del mismo e imagi-
nando ese punto como un pivote, si cada una de las 4 hélices generan una fuerza de sustentación 
idéntica, el cuadricóptero no tendrá ninguna inclinación ni balanceo. Sin embargo, si las dos 
hélices de atrás generan mayor sustentación que las de adelante, el cuadricóptero comenzará 
a inclinarse hacia esta dirección. Si las fuerzas siguieran disparejas, el cuadricóptero seguiría 
girando hasta estar de cabeza y perder el control. Empero, si cuando el cuadricóptero logra 
la inclinación adecuada, se vuelven a balancear las fuerzas, el cuadricóptero se mantendría 
en cierta inclinación y volaría hacia adelante. Al momento de frenar, sucede lo contrario, las 
hélices de adelante aumentan su fuerza y las de atrás la disminuyen. 
El mismo principio observado en el movimiento hacia adelante y hacia atrás, aplica al volar 
hacia los lados. Esto ofrece otra ventaja a un cuadricóptero sobre un helicóptero. El cuadri-
cóptero puede volar hacia cualquier lado sin problemáticas. Dado que puede ser totalmente 
simétrico con respecto a su centro, no importa hacia qué lado vuele, siempre podrá hacerlo sin 
complicaciones. Un helicóptero, por el otro lado, no puede hacer esto de manera eficiente. 
Con respecto al equilibrio de momentos en un cuadricóptero, dos de sus hélices giran en sen-
tido horario y dos en sentido antihorario. La Figura 1 .14 muestra un diagrama que representa 
el sentido de giro de las hélices. 
Figura 1.14: Sentido de giro de las hélices de un cuadricóptero[7]. (Original en colores) 
Tal como Newton mencionó, a toda acción, corresponde una reacción. Si un motor gira 
hacia un lado, generará un torque hacia el otro. Por ello es que si un helicóptero solo tuviera 
una hélice de sustentación y no tuviera hélice lateral trasera, el helicóptero giraría sin control 
27 
al lado opuesto de su hélice. En el caso de los cuadricópteros, observando la Figura J. 14, si el 
motor 1 y el motor 3 giran en un sentido, generando un torque ,, y los motores 2 y 4 giran en 
sentido opuesto con un torque -,, el cuadricóptero no girará sobre su propio eje y se mantendrá 
estable. 
Ya conociendo el efecto de los torques, se puede explicar cómo cambiar la orientación de 
un cuadricóptero. Para lograr esto, se disminuye el torque de dos motores que giran en el 
mismo sentido, en la misma proporción que se aumenta el torque de los otros dos motores. 
Esto generará que el cuadricóptero gire sobre su propio eje, hasta que los torques se vuelvan a 
equilibrar y la fricción del aire frene su movimiento giratorio. 
1.3.5. Ángulos de Euler 
U no de los grandes matemáticos y físicos que han pisado la tierra fue Leonhard Euler ( 1707-
1783). Dentro de sus aportaciones a la ciencia, se encontraron numerosos estudios de mecánica 
celeste. Dentro de este tema, estableció un teorema que establece que dos sistemas coordenados 
ortonormales pueden estar relacionados por una secuencia de máximo tres rotaciones sobre ejes 
coordenados, donde dos rotaciones sucesivas no pueden realizarse sobre el mismo eje. 
El ángulo de rotación alrededor de un eje coordenado se llama ángulo de Euler. Una secuen-
cia de dichas rotaciones se llama secuencia de ángulos de Euler. Dichas secuencias contienen 
a dos rotaciones sobre el mismo eje dentro de las tres rotaciones a realizar. Por consiguiente, 
sabiendo que no se puede rotar un mismo eje de forma consecutiva, las posibles secuencias 
son: XYX, XZX, YXY, YZY, ZXZ y ZYZ. Donde cada rotación está dada por las siguientes 
ecuaciones: 
o 
cos( ¡p) 
sin( ¡p) 
-si~(¡p) ] 
cos( ¡p) 
Matriz de rotación en X (dentro de esta tesis, ip es el ángulo para el eje X) 
[ 
cos(8) 
Rr = O 
-sin(8) 
O sin(8) l 
1 O 
O cos(8) 
Matriz de rotación en Y (dentro de esta tesis, 8 es el ángulo para el eje Y) 
[ 
cos( l/1) - sin( l/f) O l 
Rz = sin( l/f) cos( l/f) O 
O O 1 
Matriz de rotación en Z (dentro de esta tesis, l/f es el ángulo para el eje Z) 
( 1.5) 
(1.6) 
( 1.7) 
28 
Una de las rotaciones más utilizadas, al menos en mecánica celeste, es la rotación ZXZ, 
donde la tercera rotación es sobre el eje Z del cuerpo que se genera después de las primeras 
dos rotaciones (ZX). La Figura 1.15 muestra a un cuerpo celeste con sus tres giros posibles, 
precesión, nutación y rotación sobre su propio eje. 
Figura 1.15: Representación de un un cuerpo celeste con respecto a sus tres ángulos de 
giro[.1]. 
La ecuación que describe la rotación ZXZ está dada por, Rzxz = RzRxRz. 
Teniendo identificada una matriz de rotación, se pueden mapear las coordenadas de un cuerpo 
rígido desde un marco de referencia a otro. En un marco de referencia en el cual un giro en 
sentido opuesto a las manecillas del reloj es positivo y con el eje Z siendo positivo hacia arriba, 
las rotaciones se realizan pre-multiplicando un vector columna (V= [ Vx Vy Vz] T) por una 
matriz de rotación. Un ejemplo es el siguiente: 
R13 l [Vxl R23 Vy 
R23 Vz 
( 1.8) 
Ecuación de rotación de un vector columna 
1.3.5.1. Ángulos Tait-Bryan 
Estos ángulos son muy similares al los ángulos de Euler y el formalismo del nombre se dio a 
partir de Peter Guthrie Tait y George H. Bryan. Estas secuencias de rotación incluyen a los tres 
29 
ejes cartesianos y son muy útiles en la aeronáutica. Las secuencias de rotación posibles son: 
XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY y ZYX. La figura l. l 6muestra la secuencia de rotación ZYX. 
z 
N(y') 
y 
Figura 1.16: Secuencia de rotación de ángulos Tait-Bryan ZYX[2fi]. 
1.4. Planteamiento del problema 
"Investigar es ver lo que todo el mundo ha visto, y pensar lo que nadie más ha 
pensado." 
Albert Szent-Gyorgyi ( /893-1986) 
En la actualidad, grandes cantidades de dinero han sido enfocadas a conseguir UAVs (Vehículos 
Aéreos No Tripulados, por sus siglas en inglés) que sean de alta eficiencia, fáciles de utilizar 
y muy confiables; la mayoría de las compañías han invertido en aviones autónomos. Esto trae 
ciertas ventajas, como las altas velocidades de crucero que se consiguen, grandes distancias de 
recorrido con poca energía, entre otras. Sin embargo, estos sistemas también traen ciertos pro-
blemas, como el aterrizaje que es muy complejo para ser autónomo, la distancia que se requiere 
para despegar y aterrizar, el no poderse quedar estáticos en una posición al estar volando, entre 
otros. Aquí es donde entran los cuadricópteros. 
30 
Para situaciones en donde se requiere monitorear o vigilar con detenimiento, es mejor tener 
un UAV que pueda quedarse quieto en un punto al estar volando. De igual manera, cuando se 
requiere tener controlada un área pequeña o hasta una localidad dentro de alguna construcción, 
es mejor tener un UAV que pueda virar fácilmente, sin necesidad de grandes curvas y vuelos a 
altas velocidades de crucero. Asimismo, si se piensa en recorrer zonas con muchos obstáculos 
o cerca del suelo, es mejor tener un UAV con altas prestaciones de agilidad y precisión, como 
Jo es un cuadricóptero. 
Para este tipo de situación, un UAV de tipo helicóptero es mejor que uno de tipo avión. 
Empero, como ya se mencionó en este documento, los helicópteros son mucho más difíciles 
de controlar que un cuadricóptero y no son buenos para Jugares con muchos obstáculos. Asi-
mismo, es importante volver a mencionar que los cuadricópteros son altamente no lineales y 
son plataformas muy útiles para probar diversas técnicas de control multivariable. Por ello es 
que este tipo de sistemas no solo puede ser utilizados en la industria, sino que tambiénpue-
de ser implementado como módulos de aprendizaje a nivel Profesional o Posgrado. Al tener 
una plataforma de gran complejidad, totalmente práctica y probablemente entretenida para los 
alumnos, la enseñanza y el aprendizaje se podrían volver más sencillos y efectivos. 
Aunque los controladores que se desarrollen en esta tesis pueden ser implementados en cua-
dricópteros de diversas aplicaciones, la verdadera intensión es conseguir una herramienta de 
aprendizaje que permita un modelado no lineal y la implementación de controladores no linea-
les para sistemas altamente inestables. De hecho, esta herramienta podría llegar a ser de gran 
utilidad en el sector académico para la enseñanza de control. 
1.5. Objetivos 
"Quiero compartir con ustedes el secreto que me ha llevado a alcanzar todas 
mis metas: mi fuerza reside únicamente en mi tenacidad." 
Louis Pasteur ( 1822-1895) 
Los objetivos principales de esta tesis son los siguientes: 
"Modelado matemático no lineal de un cuadricóptero simétrico con respecto a su centro de 
masa, en el eje XY. De igual forma, se implementará un controlador inteligente no lineal, que 
controle eficientemente a sus estados y logre un buen desacoplamiento entre ellos." 
El comprender el proceso matemático que se requiere para modelar un sistema, es de gran 
utilidad en la mayoría de las industrias. Los modelos matemáticos de sistemas o procesos, 
sirven ampliamente para entenderlos y a su vez, controlarlos de una forma eficiente. De igual 
forma, tener el conocimiento para generar controladores no lineales que logren desacoplamien-
to de estados, ofrece una gran ventaja a la hora de implementarlos. Como ya se ha mencionado, 
el manejo correcto de las no linealidades garantiza un desempeño más fiable en cualquier siste-
ma. Si además se le agrega al controlador la capacidad de desacoplamiento, se podrá controlar 
31 
cada estado de una forma más eficiente y sin alterar los demás estados involucrados en el sis-
tema. Esto último llega a ser de gran relevancia en ciertas industrias, en donde un pequeño 
cambio en ciertos estados, puede ocasionar fallas importantes en el sistema a controlar. 
2 Estado del Arte 
"Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparación para 
comprender las cosas que hay más allá." 
Hipatia ( 370-415) 
Antes de comenzar cualquier desarrollo tecnológico, es de suma importancia investigar lo que 
hay actualmente en relación al tema en cuestión. Esto sirve no solo para saber qué es lo ya se 
ha desarrollado o investigado, sino también para conocer los caminos que otros investigadores 
han tomado y los han llevado a tropezar. De igual manera, conocer los andares fructíferos 
de otros desarrolladores puede conducir al nuevo investigador por direcciones más eficientes. 
Cabe mencionar que no se trata de copiar lo que otra persona ya hizo, sino de tomar como 
ejemplo y apoyo los resultados que han surgido de su tiempo invertido. 
Los nuevos desarrollos deben apoyarse de investigaciones pasadas, para así poder ir acrecen-
tando las posibilidades de mayores y mejores resultados. En toda investigación o desarrollo, 
lo más importante es siempre buscar generar nuevos conocimientos, o bien, otorgarle nuevos 
enfoques, horizontes u aplicaciones, a conocimientos ya existentes. 
2.1. Condensado 
"Las puertas de la sabiduría nunca están cerradas." 
Benjamín Franklin ( 1706-1790) 
Desde ya hace varios años, se han desarrollado muchos prototipos de cuadricópteros a pequeña 
escala. Estos han sido con el afán de encontrarles aplicaciones como rescate al aire libre, rescate 
dentro de construcciones, monitoreo, seguridad, vigilancia, milicia, entre muchos otros. De 
igual manera, existen muchos otros autores que han empleado a los cuadricópteros como bases 
de prueba para controladores de alta complejidad. 
Por el otro lado, se han desarrollado muchos tipos de controladores clásicos para los cua-
dricópteros y aunque menos, también una cantidad considerable de controladores inteligentes. 
Uno de los controladores clásicos más interesantes para el autor de esta tesis, es el sugeri-
do por Imada Hidratas y Sutiliza Akhtar [ 13]. Ellos proponen un controlador adaptivo, para 
cuadricópteros con parámetros del modelo desconocido. 
Primeramente, en el documento recién mencionado, los autores modelan la dinámica del 
cuadricóptero pero dejando sus parámetros como incógnitas. A esto lo procede el diseño de los 
32 
33 
dos lazos de control, uno para la altitud y el otro para la postura del cuadricóptero (inclinación, 
balanceo y orientación). Dichos controladores, en lazo cerrado, se hacen pasar por un análisis 
de estabilidad de Lyapunov. Esto se realiza puesto que no se conocen los parámetros y se 
requiere saber si el sistema será estable o no, sin importar los datos del sistema. Finalmente, 
se comprueba que el controlador es estable y se continúa con la parte de simulación. En esta 
última sección, se puede apreciar claramente que las consignas son alcanzadas por el sistema de 
forma asintótica. A pesar de que el documento muestra resultados muy buenos en simulación, 
carece de pruebas físicas. Aunque muchas veces la simulación es muy apegada a la realidad, 
sería útil probar este controlador en un modelo físico. 
Otro documento importante en el tema de control adaptivo no lineal, para parámetros desco-
nocidos, se encuentra el desarrollo plasmado en el documento, "Non linear adaptive regulation 
control of a Quadrotor unmanned aerial ve hiele" [24 ]. Este también muestra la simulación del 
sistema, obteniendo resultados muy efectivos. Sin embargo, tampoco realiza pruebas físicas. 
Como se puede apreciar en los dos documentos que se acaban de exponer, los controladores 
del sistema no son totalmente multivariables, dado que el lazo de control de la altitud está total-
mente separado. Esto trae consigo ciertos problemas, como variación en la altitud, al momento 
de mover al cuadricóptero a manera de traslación. De igual manera, esto es algo que se nota 
en el documento, "Linear vs. Nonlinear Control Techniques for a Quadrotor Vehicle" [ l ]. En 
este último, se muestra de manera efectiva como el control no lineal tiene mejores resultados 
que el control lineal. Aunque de nuevo, los controladores no son multivariables, dado que cada 
uno ataca a variables que se toman como independientes. 
Si se observa el desarrollo realizado en el documento, "Backstepping Control of Each Chan-
nel for a Quadrotor Aerial Robot" [ 2R ], se podrá notar que el controlador que realizan muestra 
una gran eficiencia. Esto se logra porque el control Backstepping se muestra muy apto para 
los medios no lineales. Asimismo, los autores de este documento toman muy en cuenta los 
acoplamientos entre estados, logrando así, un control mucho más eficiente. 
Como los documentos ya expuestos, se encuentran muchos más que utilizan controladores 
LQR, LQG, Backstepping, deslizantes, deslizantes adaptivos y otras técnicas de control clásico. 
Sin embargo, la mayoría de ellos tiene grandes similitudes en sus controladores y no es de gran 
relevancia el ahondar en ellos. 
Cambiando el enfoque del control, hacia el control inteligente, se pueden encontrar varios 
documentos que utilizan redes neuronales, algoritmos genéticos, control difuso, combinaciones 
de estos o bien, combinaciones de control inteligente con control clásico. La importancia que 
tiene el control inteligente sobre sistemas como los cuadricópteros, es que no requiere conocer 
un modelo muy preciso, para poder controlarlo de manera eficiente. De hecho, el documento, 
"Intelligent fuzzy controller of a Quadrotor" [22], ofrece resultados sumamente efectivos. Es-
tos son causados por un control inteligente totalmente multivariable, que toma en cuenta todos 
los acoplamientos de estados. Aunque el controlador no usa un modelo matemático, el experto 
le ofrece al sistema difuso las reglas necesarias para poder controlar al cuadricópterode la me-
jor forma posible. Cabe mencionar que este documento utiliza una lógica difusa basada en un 
modelo Mamdani. 
34 
También es importante analizar el documento que ofrece el autor Rabhi, junto con otros 
colaboradores [20]. Este muestra un control difuso de tipo Sugeno, el cual basa sus funciones de 
salida en parámetros no medibles del sistema. Por ello es que requieren utilizar un observador 
de orden elevado de tipo deslizante. A partir de este observador, obtienen los parámetros no 
conocidos y el controlador difuso es el que se encarga de estabilizar al cuadricóptero y llevarlo 
a las consignas. De nuevo, se muestra como el control inteligente ofrece respuestas muy rápidas 
y efectivas. Sin embargo, al igual que muchos otros documentos, no tiene pruebas físicas. 
Así como los documentos descritos, existen más que realizan controladores inteligentes para 
cuadricópteros. Lo importante a mencionar es que estos muestran respuestas muy eficientes, 
dado que no se basan en un modelo estricto, sino en la siguiente pregunta, ¿cómo debe funcio-
nar el sistema? Esto hace que aunque el modelo no sea tan preciso y pueda ir variando con el 
tiempo, el controlador siga funcionando correctamente. 
Como conclusión de las investigaciones realizadas por otros autores, se puede mencionar que 
hay controladores clásicos e inteligentes, que funcionan de manera muy eficiente. Sin embargo, 
los que se han investigado que son de control inteligente, muestran respuestas más rápidas y 
mucho más robustas que sus análogos clásicos. 
3 Modelado matemático del sistema 
"Las ciencias no tratan de explicar, incluso apenas tratan de interpretar, 
construyen modelos principalmente. Por modelo, se entiende una construcción 
matemática que, con la adición de ciertas interpretaciones verbales, describe los 
fenómenos observados. La justificación de tal construcción matemática es sólo y 
precisamente que se espera que funcione. 
John von Neumann ( 1903-1957) 
Para poder controlar un sistema con teoría de control clásico, es fundamental contar con un 
modelo matemático que describa al sistema. Sin embargo, si se quiere implementar un control 
inteligente, el modelo matemático del sistema no es necesario. Cuando se requiere, como en 
esta tesis, es cuando se van a hacer simulaciones computacionales para probar las técnicas 
de control. Si no hubiera modelo matemático, no habría forma de comprobar que el control 
funciona correctamente, a menos de que se implementara en el sistema físico. Cabe mencionar 
que una de las ventajas importantes que tiene un buen control inteligente, sobre un tradicional, 
es el nivel de robustez que se puede manejar. Si el control inteligente se elabora correctamente, 
este puede aceptar sin ningún problema falta de exactitud en el modelo matemático y cambios 
bruscos en los parámetros del modelo. 
3.1. Referencias y diagramas del cuadricóptero a modelar 
El ingeniero, y más generalmente, el diseñador, tiene que ver con cómo 
debieran ser las cosas para alcanzar metas. 
Herbert Alexander Simon ( 1916-2001) 
El diagrama que muestra los sentidos de giro de los motores, sus torques(,) correspondientes, 
las fuerzas de sustentación y los ejes coordenados del marco no inercial (marco de referencia 
del cuerpo libre), se encuentra en la Figura 3.1. 
35 
36 
7j 
Figura 3.1: Diagrama de velocidades angulares, torques(,) y fuerzas de sustentación en el 
marco no inercial del cuadricóptero. 
Es importante notar que el cuadricóptero analizado en esta tesis, es simétrico con respecto a 
los ejes X y Y. Asimismo, su centro de masa se localiza en el centro del cuerpo. Esto quiere 
decir que con respecto al marco no inercial, el centro de masa se localiza en CM= (O, O, O). De 
igual manera, sus ejes coordenados (marco no inercial) están fijos al cuerpo y se trasladan y ro-
tan junto con él. Dado que todo el análisis está referenciado al centro de masa del cuadricóptero 
y este es simétrico, se obtienen los siguientes momentos de inercia: 
• /xy = /,2 = fy: = O 
Nota: Los momentos de inercia que presentan barra, se refieren al momento de inercia con 
respecto al centro de masa (C.M.). 
El movimiento de un cuadricóptero está dado por tres coordenadas cartesianas y tres ángulos 
de postura. Dada la naturaleza del sistema, el cual se desplaza a través de un marco inercial (o 
al menos se contempla como tal), una forma común de analizarlo es directamente desde este 
37 
marco de referencia. Las ecuaciones que describen la posición del cuadricóptero y su postura, 
en el marco inercial, son Ecuación 3. l y Ecuación 3.2. 
(3.1) 
Ejes coordenados del cuadricóptero en el marco inercial 
(3.2) 
Postura del cuadricóptero en el marco inercial 
Cabe mencionar que los ángulos de postura de la Ecuación 3.2, se obtienen a partir de los 
ángulos de Tait-Bryan. Estos son similares a los ángulos de Euler, pero están más enfocados a 
la aeronáutica, tal como se comentó en la Subsubsección l .3.5. l. La rotación utilizada en esta 
tesis está dada por YXZ y se encuentra expresada en la Ecuación 3.3 1• 
Ryxz 
[ 
cos(0)cos(i¡,) +sin(q>)sin(0)sin(i¡,) 
cos( q>) sin( i¡,) 
cos( 0) sin( q>) sin( i¡,) - cos( i¡,) sin( 0) 
cos(q>)sin(0) l 
-sin( q>) 
cos( q>) cos( 0) 
cos( i¡,) sin( q>) sin( 0) - cos( 0) sin ( i¡,) 
cos( q>) cos( i¡,) 
sin( 0) sin( i¡,) + cos( 0) cos( i¡,) sin( q,) 
(3.3) 
Matriz de rotación Tait-Bryan YXZ 
4 
Dado que la fuerza de sustentación del cuadricóptero (Fs = k E ro';¡, donde k es la constante 
n=I 
de sustentación de las hélices y Wn es la velocidad angular de cada hélice) está totalmente 
orientada hacia el eje Z del marco no inercial (Fs = [ O O Fs] r) , la rotación de dicho vector 
hacia el marco de referencia inercial CFD, queda de la siguiente fonna: 
[
cos(q>)sin(q>)Fsl 4 [cos(q>)sin(0)] 
F1=RyxzF's= -sin(q>)Fs =k[.w; -sin(q>) 
cos(q>)cos(0)Fs n=I cos(q>)cos(0) 
(3.4) 
Ecuación de la fuerza de sustentación en el marco de referencia inercial F{ 
I Las matrices de rotación que se multiplican para obtener la matriz RzxY, se encuentran en la Subsección 1.3.5. 
38 
La razón por la cual se utilizó la rotación de Tait-Bryan YXZ, es porque es la única que al 
rotar el eje Z no inercial (en el cual se encuentra Fs), no aparece el ángulo de giro sobre Z, t¡t. Se 
requiere de este tipo de rotación, dado que como se puede analizar a partir de la l-i~ur:1 , 1, no 
importa qué tanto gire el cuadricóptero sobre su eje Z, la fuerza de sustentación nunca cambiará 
de dirección ni sentido. Dado que la fuerza de sustentación es paralela al eje Z no inercial, t¡t 
no debe afectar al momento de mapear dicha fuerza del marco no inercial al marco inercial. 
3.1.1. Hipótesis de modelado 
Antes de comenzar con el modelado del sistema, es de suma importancia que el lector co-
nozca las suposiciones hechas por el autor, con la intención de comprender correctamente el 
modelo matemático obtenido. Dichas suposiciones son las hipótesis de modelado y son las 
siguientes: 
1. El cuadricóptero se contempla como cuerpo rígido. 
2. Centro de masa en el centro del cuerpo rígido (CM= (0,0,0)). 
3. Cuadricóptero totalmente simétrico con respecto al centro de masa. 
4. No se toma en cuenta la fuerza de Coriolis dado que el cuadricóptero se moverá en áreas 
pequeñas y por consiguiente, su marco de referencia, la Tierra, se contempla como un 
marco de referencia fijo. Asimismo, dado que este cuadricóptero no está diseñado para 
acrobacias, su movimiento de traslación casi nunca será paralelo a la fuerza centrípeta 
de sus giros sobre los ejes X (ángulo de giro(/)), Y (ángulo de giro B) y Z (ángulo de giro 
t¡t). 
5. No se contempla la fuerza centrífuga, que aun siendo una fuerza imaginaria, es perci-
bida por un observador sobre el marco de referencia no inercial giratorio. Dicha fuerza 
no se toma en cuenta dado que todo el modelo se referencia al marco inercial y por 
consiguiente, la fuerza centrífuga no tiene efecto. 
3.2.Ecuaciones de Euler-Lagrange 
"Si tu intención es describir la verdad, hazlo con sencillez y la elegancia 
déjasela al sastre." 
Albert Einstein ( 1879-1955) 
Uno de los método más eficientes para el modelado matemático de un sistema físico, es el 
método de Lagrange. Este se basa en la energía cinética del sistema (T) y la fuerza generalizada 
39 
(Fr) que provoca los cambios en dicha energía. Cabe mencionar que la fuerza generalizada 
corresponde a la sumatoria de fuerzas totales que afectan al sistema. La ecuación general de 
Euler-Lagrange se muestra en la Ern;1rní11 3 .5. 
:, ( ;;, ) - ;;, = Fq, (3.5) 
Ecuación de Lagrange 
Donde qr es una coordenada generalizada. Lo cual representa a uno de los estados no dife-
renciados que describen al sistema. En el caso del cuadricóptero, los estados no diferenciados 
son los 3 ejes coordenados y los 3 ángulos de postura. 
Primeramente, para obtener la ecuación diferencial matricial que define al cuadricóptero, es 
necesario obtener la ecuación que describe su energía cinética. Como se muestra en la página 
148 de la referencia [27], la expresión general de energía cinética para un cuerpo libre está 
dada por la l-:cu;1L i(ín 3.6. Si el lector quiere conocer el desarrollo detallado para llegar a dicha 
ecuación, se recomienda revisar la referencia mencionada en este párrafo. 
T 
Donde, 
] 2 1 [ 2 2 2 ] 
2Mv0 + 2 lxrox + lrror + (ro: - 2/xrroxror - 2lx:roxro: - 211:ro,ro: 
+M [ l'()x ( ro,z - roji) + Voy ( ro:i - roxz) + V(): ( <0;:Y - rori) l 
Ecuación general de energía cinética para un cuerpo libre 
• M: Masa del cuerpo libre 
(3.6) 
• vo: Velocidad lineal del origen del marco de referencia no inercial (cuerpo libre), con 
respecto al origen del marco inercial. 
• vox, voy, v0 :: Velocidades del origen del marco de referencia no inercial, con respecto a 
cada eje coordenado del marco inercial. 
• ~r, ror, ro;:: Velocidades angulares del cuerpo libre, con respecto a los ejes coordenados 
del marco inercial. 
• i, y, z: Distancias del origen del cuerpo libre en cada eje coordenado, al centro de masa 
del cuerpo libre. 
40 
Sin embargo, como se menciona en la SL'LTÍ(.111 .\ I, los ejes coordenados del marco del cuerpo 
libre están fijos a él, trasladándose y rotando junto con él. Asimismo, su centro de masa se 
encuentra localizado en el origen de sus ejes coordenados. Por consiguiente, se pueden hacer 
las siguientes afirmaciones: 
• Dado que el centro de masa se localiza en el origen del marco no inercial, i =y= z = O. 
• Puesto que es un cuerpo simétrico con respecto a los ejes X y Y, lxr = lx: = 11': = O. 
• Dado que la velocidad lineal del origen del marco no inercial, es la misma velocidad 
lineal que la del centro de masa del cuerpo libre, vo = VCM· 
Al reestructurar la Fcu:1ci(in 3.Ci, se obtiene la l-:u1c1L·i('in .1.7. 
1 2 ] ¡- ( 2 2) - 2] 
T = 2MvcM + 2 h wx + w\' + I:w~ (3.7) 
Ecuación reducida de energía cinética para un cuerpo libre 
Si se sabe que vcM = Jx2 +y2 +Z2, Wx = ~. Wi· = é y W: = ljt, se obtiene la Fcu;1ci(in \.~. 
que describe la energía cinética del cuadricóptero de estudio en esta tesis. 
(3.8) 
Ecuación de energía cinética para el cuadricóptero de estudio de esta tesis 
Teniendo definida la ecuación de energía que describe al cuadricóptero, se prosigue con la 
definición de las ecuaciones de movimiento para cada uno de los estados no diferenciados del 
sistema. Para ello, se toma en cuenta la ecuación diferencial parcial de Lagrange (Fcuac i1'111 , . 'i) 
y se divide en ecuaciones diferenciales por cada uno de los estados no diferenciados. El separar 
la ecuación diferencial parcial en ecuaciones diferenciales por estado, ayuda a visualizar más 
fácilmente las fuerzas que afectan a cada uno de los estados. En vez de utilizar una fuerza 
generalizada, se utiliza una fuerza particular para cada uno de los estados. 
3.2.1. Ecuación de movimiento para X 
S · 1 t..: · • , , • d 1 · , d ( dT ) dT r:- b · 1 I se toma a 1.cuac1u11 .,.:-: y se miro uce en a ecuac1on dt di: - dx = rx, se o tiene a ex-
presión que define la ecuación de movimiento para X. Esta última la representa la l·.rnacit'in ,_lJ. 
(3.9) 
Ecuación de movimiento reducida para X 
41 
Sin embargo, la ecuación de movimiento para X todavía muestra una fuerza que no ha sido 
debidamente expresada. Para desarrollar correctamente F.t, se debe utilizar el trabajo virtual, 
dWx = Fxdx. Dicho trabajo incluye fuerzas conservativas y no conservativas. Para el caso de X, 
las fuerzas conservativas vienen dadas por la propulsión de las hélices y las no conservativas 
por la fricción del aire. Por lo tanto, el trabajo virtual para X se muestra en la Ecuación 3. 1 O. 
dWt = (k [ ro; - Bxx) cos q, sin 8dx 
n=l 
(3.1 O) 
Trabajo virtual para X 
Donde, 
• k: Constante de sustentación de las hélices. 
• ron: Velocidad angular de cada hélice. 
• Bx: Constante de arrastre del aire para X. 
Teniendo el trabajo virtual de X, se procede a completar su ecuación de movimiento. Esta 
queda como lo indica la Ecuación 3.11. 
Mx= (k [ ro;-Bxx) sin8cosq, 
n=l 
(3.11) 
Ecuación de movimiento completa para X 
NOTA: Las ecuaciones de movimiento para cada estado ya incluyen la rotación Ryxz men-
cionada con anterioridad. 
3.2.2. Ecuación de movimiento para Y 
Esta es totalmente análoga a la ecuación de movimiento para X. Lo único que cambia es la 
rotación del marco no inercial al marco inercial. Por ende, la ecuación de movimiento para Y, 
queda definida por la Ecuación 3.12. 
My = -(k t ro;- Byy) sinq, 
11=1 
(3.12) 
Ecuación de movimiento completa para Y 
42 
Donde, 
• By: Constante de arrastre del aire para Y. 
3.2.3. Ecuación de movimiento para Z 
Para el caso de Z, la ecuación de movimiento reducida está dada por, Mz = F:. La fuerza de 
Z, F:, se obtiene a partir de su trabajo virtual, el cual se muestra en la Frn:1ci(í11 3.13. 
dW: = (k [ w; -Mg- B:z) cos(/, cos Bdz 
n=I 
(3.13) 
Trabajo virtual para Z 
Donde, 
• g: Aceleración de la gravedad. 
• B:: Constante de arrastre del aire para Z. 
Por lo tanto, con esto se obtiene la ecuación de movimiento completa para Z, la cual se encuen-
tra representada en la Frn;1cití11 3.1-1. 
Mz = (k [ w; -Mg- Bzz) cosBcos(/, 
n=I 
(3.14) 
Ecuación de movimiento completa para Z 
3.2.4. Ecuación de movimiento para e 
Para obtener la ecuación de movimiento para B, de nuevo se requiere resolver la ecuación de 
Lagrange. Dicha ecuación quedaría de la siguiente forma: f ( ~~) - ~~ = Fe. Al resolverla, la 
ecuación de movimiento reducida de B, queda como se indica en la 1-.cuacit'in 3.1 'i. 
iiJi = Fe (3.15) 
Ecuación de movimiento reducida para B 
43 
Sin embargo, hay que recalcar que la Ecuación 3. 15 tiene una fuerza igualada a un momento 
de inercia por aceleración angular. Esto no es correcto y por consiguiente, la fuerza que afecta 
a la ecuación de B, no es propiamente una fuerza sino más bien, un torque ('t'9). 
Para obtener el torque de esta ecuación de movimiento, se siguió analizando al sistema desde 
el marco inercial; tal como se ha hecho en las anteriores ecuaciones de movimiento. Para ello 
se requirió tomar en cuenta el diagrama que se muestra en la Figura 3.2, con ejes X y Y en el 
marco inercial. 
+Y 
Rotor4 Rotor 1 
,J/ 
+X 
Figura 3.2: Diagrama del cuadricóptero para análisis de torques. 
Como se puede observar en la Figura 3.2, si 'I' = O, los rotores 2 y 3 impulsan al cuadricóp-
tero hacia +B, mientras que los rotores I y 4 lo impulsan hacia -B. De hecho, también es fácil 
notar que cada rotor no solo tiene influencia sobre B, sin también sobre <f,. Con trigonometría 
se puede determinar el torque que genera cada rotor a partir de su fuerza de sustentación, sobre 
los ejes X y Y; lo cual se refleja en cambios en B y <f,. Analizando la Figura 3.2 y haciendo 
uso de la trigonometría, se obtiene el torque que cada rotor genera, a partir de su fuerza de sus-
tentación. Dichos torques están expresados en las ecuaciones Ecuación3.16, Ecuación 3.17, 
Ecuación 3.18, Ecuación 3.19, Ecuación 3.20, Ecuación 3.21, Ecuación 3.22 y licuación 3.23. 
r1,0 = -RFi cos(n/4+ 'I') (3.16) 
Torque con respecto a B generado por la fuerza de sustentación del rotor 1. 
r1,,p = €F1 cos(n/4- 'I') (3.17) 
Torque con respecto a <f, generado por la fuerza de sustentación del rotor 1. 
44 
(3.18) 
Torque con respecto a (J generado por la fuerza de sustentación del rotor 2. 
t2,,p = €F2 cos( ,r / 4 + lfl) (3.19) 
Torque con respecto a q, generado por la fuerza de sustentación del rotor 2. 
(3.20) 
Torque con respecto a (J generado por la fuerza de sustentación del rotor 3. 
(3.21) 
Torque con respecto a q, generado por la fuerza de sustentación del rotor 3. 
(3.22) 
Torque con respecto a (J generado por la fuerza de sustentación del rotor 4. 
(3.23) 
Torque con respecto a q, generado por la fuerza de sustentación del rotor 4. 
Donde, 
• €: Longitud de brazo del cuadricóptero. 
• F;: Fuerza de sustentación del rotor "i". 
• !;.o: Torque con respecto a (J generado por la fuerza de sustentación F;. 
• t;,,p: Torque con respecto a q, generado por la fuerza de sustentación F;. 
Analizando las ecuaciones de torques y la Figura 3.3, en la cual 1f1 = ,r/4, se puede deducir 
matemáticamente y visualmente que los rotores l y 3 tendrán un to = O. Sin embargo, el rotor 
2 aportará la totalidad de su torque hacia +e y el rotor 4 lo aportará hacia -8. 
45 
Rotor 2 
Rotor 3 
+l 
Figura 3.3: Diagrama del cuadricóptero para análisis de torques con t¡t = n/2. 
De igual forma, con la intención de dejar las ecuaciones de torques en ténninos de las entra-
das del sistema, se considera la igualdad F; = ko{ 
Cabe mencionar que además de los torques generados por las fuerzas de sustentación de ca-
da rotor, hay torques externos que genera la fricción del aire por razones de arrastre. Dichos 
torques de arrastre van en sentido opuesto a los torques que generan las fuerzas de sustenta-
ción. Asimismo, tal como sucede en la traslación, el arrastre es proporcional a la velocidad del 
cuerpo. En este caso, proporcional a la velocidad angular. Por ende, la ecuación de movimiento 
completa para e, queda expresada por la Ecuación 3.24. 
li_ij = -811 0 + ke [- ( rof- rof) cos(n/4 + t¡t) + ( roJ- ro¡) cos(n/4 - t¡t)] (3.24) 
Ecuación de movimiento completa para (J 
Donde, 
• B ¡¡: Constante de arrastre del aire para (J. 
3.2.5. Ecuación de movimiento para </J 
De fonna análoga a (J y utilizando las mismas ecuaciones de torque que han sido plasmadas 
en la Ecuación 3.24, se obtiene la ecuación de movimiento completa para</> (Ecuación 3.25). 
li~ = -8~~ + ke [ ( ror - rof) cos(n/4 - t¡t) + ( roJ - ro¡) cos(n/4 + t¡t)] (3.25) 
Ecuación de movimiento completa para </> 
• B~: Constante de arrastre del aire para </>. 
46 
3.2.6. Ecuación de movimiento para IJI 
Al igual que con los otros dos ángulos de postura, la ecuación de movimiento reducida para 
IJI, tiene una forma sencilla: ii 1{t = !y,. Sin embargo, para este caso, el torque viene dado a partir 
de variables muy distintas que en las ecuaciones de movimiento para q, y B. El torque que afecta 
a IJI, tal como comenta Teppo Luukkonen [ 16], lo describe la Ecuación 3.26. En el caso de este 
ángulo, el torque lo proporciona la reacción que genera la velocidad y la aceleración de cada 
rotor. Como se comentó en la Sección J .2, el giro de un rotor genera un torque en el sentido 
opuesto a su sentido de giro. 
Donde, 
!y,= -By, o/+ b [-COf + Wi - rof + co¡] + IM [-ci>¡ + (Í)z - <i>J + ci>4] 
Torque generalizado para 1Jf 
• By,: Constante de arrastre del aire para IJI. 
• b: Constante de arrastre para torque. 
• IM: Momento de inercia de los rotores. 
• ci>¡: Aceleración angular del rotor "i". 
(3.26) 
En la Ecuación 3.26, los signos positivos y negativos de cada término vienen dados a partir 
del sentido de cada torque. Dichos torques se pueden observar en la Figura 3.1. Tal como se 
maneja en todos los sentidos de giro dentro de esta tesis, las rotaciones en sentido opuesto a las 
manecillas del reloj se consideran positivas. 
En su documento de investigación, Teppo Luukkonen menciona que el termino /M(i)i es muy 
pequeño y por ende, despreciable. Sin embargo, con la intención de comprobar qué tan peque-
ño es dicho término, en esta tesis se cuantificó por medio de simulaciones computacionales la 
relación existente entre los términos bco¡ y IMW¡. Este análisis demostró que el ténnino que 
Luukkonen menciona como despreciable y no lo utiliza en su análisis, es suficientemente gran-
de para alterar al modelo. El término IM(i)¡ es en promedio el 10% de bco¡, aproximadamente. 
Dado que un 10% es un valor de gran consideración, en esta tesis no se despreció el término 
que involucra a las aceleraciones angulares de los rotores. En la Subsección 4.1.5, se muestra 
gráficamente la gran afectación que el ténnino /M(i)i genera sobre la salida. Aunque se verá 
que el control lo remedia, este tuvo que tener modificaciones para corregir la respuesta del 
sistema. Por consiguiente, si no se toma en cuenta dicho término, el modelo quedará aún más 
alejado de la realidad y el controlador podría no funcionar de forma eficiente, al momento de 
implementarlo en el cuerpo físico. 
A partir de la ecuación de movimiento reducida para 1Jf y su torque generalizado, se obtuvo 
su ecuación de movimiento completa. Esta se encuentra descrita por la Ecuación 3.27. 
.. B . b [ 2 2 2 2] IM [ . · . · ] 1/f = - 1(11/f +-=- -(01 + CiJi - COj + C04 +-=- -(01 + C0z - C0:J + (04 
[z [z 
Ecuación de movimiento completa para t¡t 
47 
(3.27) 
3.3. Modelo matemático en representación de espacio de 
estados 
"¿Porqué las cosas son como son y no de otra manera?" 
Johannes Kepler ( 1571-1630) 
Con la intención de tener un modelo matemático que sea fácil de utilizar al momento de generar 
y probar controladores, se utiliza la representación de espacio de estados. Primeramente, se 
establecen los estados que definen al sistema. Dichos estados se encuentran en las ecuaciones 
Ecuación 3.28. 
xi =X X3 = f X5 =Z 
x2 = i1 = X x4 = i3 = Y X6 =is= Z xs = i1 = é x10 = i9 = ~ x12=i11 = ljt 
(3.28) 
Estados del cuadricóptero 
Teniendo ya definidos los estados del sistema y las ecuaciones de movimiento para cada 
grado de libertad, se procede con la elaboración del modelo en representación de espacio de 
estados. Este se encuentra representado por las ecuaciones Ecuación 3.29 y Ecuación 3.30. 
J(x) +g(x)U (3.29) 
X3 
y (3.30) 
XII 
Modelo matemático del cuadricóptero en representación de espacio de estados 
Tecnológico de Monterrey, c.amous Ciudad ·:2 :-:..'.:> 
48 
Donde, 
Xz 
-ft cos (x9) sin (x1) x2 
X4 
~ sin (x9)x4 
X6 
f(x) = 
-g - f¡ cos (x1) cos (x9)x6 
(3.3 l) 
Xg 
-~Xg 
h 
XIO 
B¡, 
--¡¡:-X10 
X¡z 
B 
~X12 /z 
f(x) 
49 
o o o o 
~ cos (x9) sin (x1) ~ cos (x9) sin (x1) ~ cos (x9) sin (x1) ~ cos (x9) sin (x1) 
o o o o 
-~ sin (x9) -~ sin (xg) -~ sin (x9) -~sin(x9) 
o o o o 
g(x) 
b cos (x1) cos (x9) ~ cos (x1) cos (x9) ~ cos (x1) cos (x9) ~ cos (x1) cos (x9) 
o o o o 
-~cos (i +x11) ki (TC ) -¡zcos ¡ -x11 ~cosa+x11) -Y- cos (!!.-xi 1) h 4 
o o o o 
kf ( 1C ) -¡zcos ¡ -x11 ~cos (i +x11) _y_ cos ( !!. -x11) h 4 -~cos (i +x11) 
o o o o 
b b b b -lí 7í -lí 7í 
o o o o 
o o o o 
o o o o 
o o o o 
o o o o 
o o o o 
(3.32) 
o o o o 
o o o o 
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-!¡; !}4. _!M. !}4. /z ii /z 
g(x) 
50 
U= (3.33) 
Entradas del sistema (U) 
A continuación se muestran los valores que se utilizaron para las simulaciones: 
Parámetro I Abreviación I Valor I Unidades I 
Gravedad g 9.81 m ~ 
Masa M 0.5 kg 
Longitud de brazo e 0.225 m 
Momento de inercia en los ejes X y Y IÍ 4.856 X [O-) kg·m2 
Momento de inercia en el eje Z 1í 8.801 X 10-J kg·m2 
Constante de sustentación k 2.1 X 10-4 kg·m --;¡¡;r 
Constante de arrastre de torque b 1.14 X [O-? kg,,~2 rev-
Constante de arrastre del aire para el eje X Bx .25 ~ s 
Constante de arrastre del aire