Alternativa Didática para Ensinar Limite Matemático

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INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE 
MONTERREY 
CAMPUS EUGENIO GARZA SADA 
UNA ALTERNATIVA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA IDEA DE 
LIMITE 
Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de Maestro en 
Educación con Especialidad en Matemátcas 
Autor: Marlene de la Torre Vargas 
Asesor: Dr. Alejandro López Yáñez 
Monterrey, N. L. Enero de 1994 
UNA ALTERNATIVA DIDACTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA IDEA 
DELIMITE 
lng. Mar lene de la Torre Vargas 
Trabajo de Grado aprobado en el nombre del Instituto Tecnológico y de Estudios 
Superiores de Monterrey, Campus Eugenio Garza Sada, por el siguiente Jurado. 
RECONOCIMIENTOS 
Al Dr. Alejandro López Y áñez por el entusiasmo, con que asesoró y motivó la 
realización de este trabajo. 
Mi agradecimiento al Ing. Apolonio Castillo Ferreira, por su apoyo en la 
realización de mis estudios y la culminación de los mismos. 
A la Lic. Dora Esthela Rodríguez, directora de la Maestría en Educación del 
ITESM Campus Eugenio Garza Sada, por el apoyo administrativo para la 
realización del trabajo de tesis. 
Mi gratitud a mis compañeras; Elizabeth, Eugenia, Norma, Alma Rosa, y Maria 
Elena que me apoyaron en la realización de este trabajo. 
11 
LISTA DE FIGURAS 
Figura Págs. 
2 1 Gráfri. d 1 fun ·' 16 -x
2 
14 . . ca e a c10n/(x)=--
4+x 
2.2.Gráfica de la función/(x) = -x2 + 2x +2 17 
X+2 X~ 5 
2.3.Gráfica de la función/(x) = 19 
-x+lO X>5 
2.4.Gráfica de la función f (x) = -
1
- 20 
x-2 
2.5.Gráfica de la función f(x) = 2x+6 25 
2.41.Representación gráfica del límite de una función 27 
2.3.3.2.Relaciones entre los diferentes 
tipos de aprendizaje 46. 
2.3.3.6.Esquema del proceso de aprendizaje en 
la mente del estudiante 55. 
3 .1.1.1. Cuadrado inscrito en un círculo 65. 
111 
3 .1.1.2. Octágono inscrito en un círculo 65. 
3.1.2.Intervalo en la recta 66. 
3.1.3.1.Circunferencia con recta móvil 68. 
3.1.4.1.Elipse 68. 
3 .1.4.2.Elipses con mallas 69. 
3.1.4.3.Sección de la elipse 70. 
3.3.1.Representación gráfica del margen de error para un 
ejemplo específico 94 
3.4. 1.Un ejemplo particular de la característica esencial de la 
idea de limite. 98. 
3.4.2.Intervalo con centro P y radio Da lo largo de la cuva 100 
3.4.3.Intervalo con centro P y radio D 101 
3.5.1.Definición de limite en terminos de la recta real. 104 
IV 
LISTA DE TABLAS 
Tabla 
16-x2 
2.1.Valores de las funcion / (x) = --
4 + x 
2.2.Valores de las funcion / (x) = -x2 + 2x + 2 
2.3.Valores de las funcion/(x) = x+
2 
-x+lO 
2.4.Valores de la función/ (x) = senx 
X 
2.5.Valores de la función f(x) = l-cosx 
X 
V 
Págs. 
15 
18 
19 
21 
22 
INDICE GENERAL 
PRESENTACION ....................................................................... .i 
RECONOCIMIENTOS .............................................................. ii 
LISTA DE FIGURAS ................................................................. iii 
LISTA DE TABLAS ................................................................... v 
INDICE GENERAL ................................................................... vi 
RESUMEN .......•........................................................................•............. 1 
INTRODUCCION .................................................................................. 3 
ANTECEDENTES Y DEFINICION DEL PROBLEMA .................... 6 
1.1. ANTECEDENTES ......................................................................................... 6 
1.2. PLANTEAMIENTO DE LA NECESIDAD ................................................... 1 O 
1.3. ENUNCIADO DE LOS OBJETIVOS ............................................................ 11 
1.4. DELIMITACION DEL TRABAJO ................................................................ 11 
MARCO TEORICO ............................................................................. 13 
2.1 REVISION DE LA PRESENTACION USUAL DE LIMITES EN LOS 
LIBROS DE TEXTO ..................................................................................... 13 
2.2. INVESTIGACIONES SOBRE EL TEMA .................................................... .29 
2.3. FUNDAMENT ACION DE LA PROPUESTA ............................................... 36 
2.3.1. TIPO DE INVESTIGACION ......................................................................... 36 
2.3.2. UBICACION DEL TRABAJO DENTRO DE UN EXPERIMENTO DE 
ENSEÑANZA A LARGO PLAZO ................................................................ 39 
2.3.3. TEORIAS RELEVANTES DEL PROCESO ENSEÑANZA-
APRENDIZAJE ............................................................................................. 43 
2.3.3.1. TIPOS DE APRENDIZAJE .......................................................................... 43 
2.3.3.2. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: ............................................................. 47 
2.3.3.3. ¿COMO LOGRAR UN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO? ......................... 48 
2.3.3.4. CARACTERISTICAS DE ENSEÑANZA EXPOSITORIA ........................... 49 
2.3.3.5. ¿COMO SABER SI SE HA DADO EL APRENDIZAJE 
SIGNIFICATIVO? .......................................................................................... 51 
2.3.3.6. TEORIA DEL PROCESAMIENTO DE LA INFORMACION ...................... 52 
2.3.3.7. TIPOS DE RESULTADOS DEL APRENDIZAJE GAGNE .......................... 57 
2.4 CONCLUSIONES DEL CAPITULO DE MARCO TEORICO ...................... 60 
PROP"UESTA DIDACTICA .........•......•......••......•••..•.•...••.•...•.•..••.•.•.•.. 62 
3.0 INTRODUCCION .......................................................................................... 62 
VI 
3.1 EJEMPLOS GEOMETRICOS ....................................................................... 64 
3.1.1. EJEMPLO 1 .................................................................................................. 64 
3.1.2. EJEMPLO 2 .................................................................................................. 66 
3.1.3. EJEMPLO 3 .................................................................................................. 67 
3.1.4. EJEMPLO 4 .................................................................................................. 68 
3.1.5. CARACTERISTICAS COMUNES A LOS CUATRO EJEMPLOS ............... 71 
3.2. EXPANSION DECWAL .............................................................................. 72 
3.2.1. RECORDANDO IDEAS BASICAS .............................................................. 72 
3.2.2. ANALISIS DE EXPANSIONES DECIMALES FINITAS ............................. 74 
3.2.3. ANALISIS DE EXPANSIONES DECIMALES INFINITAS ......................... 76 
3.2.4. PROCESO INFINITO DE APROXIMACIONES INFINITAS ...................... 77 
3.2.5. APROXIMACIONES QUE SATISFACEN UN MARGEN DE 
ERROR ......................................................................................................... 81 
3.2.6. RELACION ENTRE LOS EJEMPLOS GEOMETRICOS Y LA 
EXP ANSION DECIMAL .............................................................................. 83 
3.3. EJEMPLOS INTERPRETADOS COMO FUNCION ..................................... 84 
3.3.1. RECORDANDO CONCEPTOS BASICOS DE FUNCIONES ...................... 84 
3.3.2. RETOMANDO EL EJEMPLO 1 PARA EXPRESARLO EN 
TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 87 
3.3.3. RETOMANDO EL EJEMPLO 2 PARA EXPRESARLO EN 
TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 88 
3.3.4. RETOMANDO EL EJEMPLO 3 PARA EXPRESARLO EN 
TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 89 
3.3.5. RETOMANDO EL EJEMPLO 4 PARA EXPRESARLO EN 
TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 91 
3.3.6. RETOMANDO EL EJEMPLO 5 PARA EXPRESARLO EN 
TERMINOS DE UNA FUNCION ................................................................. 92 
3.3.7. ASPECTOS IMPORTANTES .......................................................................93 
3.3.7.1. MARGENDEERROR ................................................................................. 93 
3.3.7.2. EXCLUYENDO UN VALOR PARA LA VARIABLE 
INDEPENDIENTE ......................................................................................... 95 
3.4. INTERPRETACIONMATEMATICADELAS "APROXIMACIONES 
SUBSECUENTES A UNADADA" ............................................................... 96 
3.4.1. CARACTERISTICA ESENCIAL PARA LA IDEA DE LIMITE ................... 97 
3.4.2. INTERPRETACION EN TERMINOS DE INTERVALOS DE LA 
CARACTERISTICA ESENCIAL ANTERIOR ............................................. 99 
3.5. DEFINICION DE LIMITE DE UNA FUNCION ......................................... 102 
3.5.1. NOCION INTUITIVA EN TERMINOS DE INTERVALOS 
(DEFINICION FORMAL) ........................................................................... 102 
3.5.2. INTERPRETACION DE LA DEFINICION EN TERMINOS DE LA 
RECTA REAL ............................................................................................ 103 
ELEMENTOS DE LA PROPUESTA DIDACTICA ........................ 106 
4.1 .. PLANTEAMIENTO DIDACTICO ............................................................. 106 
4.2 .. CARACTERISTICAS DEL PROFESOR ..................................................... 113 
4.3. CARACTERISTICAS DEL ALID.1NO ....................................................... 115 
Vll 
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................ 118 
6. NOTAS ............................................................................................ 121 
7. BIBLIOGRA.FIA ............................................................................ 122 
Vlll 
RESUMEN 
En este trabajo de tesis se asprra meJorar la calidad del proceso de 
enseñanza aprendizaje del concepto de limite de una función, inscrito en la 
materia de Cálculo Diferencial e Integral del área de Matemáticas a nivel 
profesional. 
En primera instancia se presentan los aspectos más importantes que dieron 
origen al trabajo, como son: los problemas detectados en los alumnos por la 
tesista para comprender dicho concepto; comentarios y opiniones de maestros 
colegas que comparten este problema. 
Al hacer una revisión bibliográfica de textos de Cálculo Diferencial e 
Integral de autores como: Zill, Leithold, Edwards y Penney, Larson, Pinzón, 
Purell, Taylor, se detectó que coinciden al abordar el tema de limites, en que el 
concepto de límite de una función es el más importante del Cálculo Diferencial e 
Integral así como también el más dificil de enseñar y entender. La forma en la que 
ellos presentan el concepto, en general es muy similar, se parte de lo que llaman 
una definición intuitiva la cual se da analizando ejemplos de gráficas de funciones 
y realizando cálculos numéricos. "La definición formal épsilon-delta de limite se 
expone de tal manera que puede omitirse si se desea" (Zill, pág.1987). Esta 
definición se obtiene generalizando algunos ejemplos de funciones muy 
partículares. 
En cuanto a las investigaciones realizadas en el área de Educación 
Matemática, se revisaron algunas de investigadores como; Comu, Vinner, 
Sierpinka entre otros. En estas investigaciones se observa una clara preocupación 
1 
por la dificultad que causa a los estudiantes este concepto y se enfocan los 
estudios a hacer análisis fenomenológicos de las posibles causas que lo generan, 
sin presentar alguna alternativa de solución. 
Con base en lo anterior en este trabajo se presenta una propuesta didáctica., 
como apoyo para el profesor y el estudiante que ayude a mejorar la comprensión 
de dicho concepto. En la propuesta se pretende visualizar la idea de limite desde 
diferentes perspectivas; Ejemplos de carácter geométrico que van con el 
desarrollo histórico de la idea de limite, así como ejemplos de expansiones 
decimales. Los ejemplos son simples e intuitivos para que sean accesibles al 
estudiante y a lo largo de la guía, éstos se desarrollan gradualmente y de forma 
natural, para conformar los elementos escenciales del concepto de límite en una 
función. 
Los motivos señalados anteriormente originan la necesidad de alternativas 
que mejoren el proceso enseñanza-aprendizaje del concepto "Límite de una 
función" en el primer semestre de profesional. 
2 
INTRODUCCION 
En los últimos cien años la ciencia y la técnica han tenido un impresionante 
desarrollo, la reserva de la información se multiplica de manera acelerada y se 
perfeccionan métodos y técnicas de creciente eficacia. Una de las disciplinas 
científicas que han apoyado fuertemente este desarrollo son las Matemáticas. 
Es muy conocido que las Matemáticas han sido esenciales en las teorías 
fisicas ya que existe un cierto paralelismo entre algunas ramas de aquellas y ésta. 
Un ejemplo clásico de este paralelismo es el desarrollo del Análisis Infinitesimal 
por Newton y Leibnitz, donde se puede apreciar que no sólo las Matemáticas 
influyen en el desarrollo de la Física, sino que la Física aporta elementos para el 
desarrollo de éstas. 
Las Matemáticas son consideradas como una herramienta importante para 
las ciencias ya que con ellas también se atacan múltiples problemas de Física, 
Ingeniería, Química, Astronomía, Geología, Biología y otros campos incluyendo 
algunos de las Ciencias Sociales. 
Es así que la enseñanza de las Matemáticas en todos los niveles educativos 
recobra una gran importancia, de forma tal que en el nivel medio superior y 
superior se imparten cursos del área de Matemáticas como son: Lógica, Algebra, 
Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial e Integral con una o 
varias variables con el propósito de cumplir con el objetivo general de éstas, el 
cual consiste en dar al alumno las herramientas y habilidades necesarias para 
desempeñarse adecuadamente en su actividad profesional. 
3 
De todas las asignaturas de Matemáticas el Cálculo Diferencial es la más 
importante ya que es la base para muchos cursos posteriores de Física y 
Matemáticas, es la primera herramienta puesto que el Algebra, la Trigonometría y 
la Geometría Analítica se aplican a través del Cálculo (Leithold, 1992, pag. 1). 
El Cálculo no es sólo un instrumento técnico, sino que también involucra 
por sí mismo ideas fascinadoras y atrayentes como son: velocidad, volumen, área, 
razón de crecimiento, tangente de una curva y otros conceptos referentes a otros 
dominios. 
Sin embargo, existe un problema común en las materias de Matemáticas en 
las instituciones educativas con relación al bajo rendimiento que presentan los 
estudiantes a diferencia de otras materias. "La materia de Matemáticas 
generalmente presenta uno de los más altos índices de reprobados, aún más se 
puede afirmar que existe una gran cantidad de alumnos que se consideran 
brillantes por su rendimiento en otras materias y sin embargo tienen graves 
problemas dentro de esta disciplina" (Piaget, 1969). 
El Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey no es la 
excepción y los índices de reprobación son altos, siendo el Cálculo una de las 
materias en las que esta situación se manifiesta fuertemente. 
Esta problemática preocupa a todos los involucrados en el quehacer 
educativo (maestros, directivos, alumnos etc.) y las causas pueden ser variadas, no 
es posible decir que el bajo rendimiento de los alumnos es causado sólo por los 
discípulos o el profesor; el problema se complejiza porque en el intervienen todos 
los participantes del quehacer educativo. 
4 
No existe una respuesta única para solucionar el problema de la enseñanza 
del Cálculo, la diversidad de normas y funciones que presentan los temas de las 
Matemáticas en general, es un aspecto que influye en su enseñanza, por lo que se 
espera que cada tema deba apoyarse en su propia didáctica, que estará 
determinada en gran parte por la naturaleza del contenido matemático, claro que 
sin excluir el papel del docente que en opinión de la autora, esquien debe crear 
una didáctica para su propia asignatura, promoviendo la investigación educativa 
dentro de sus salones de clases; la solución a los problemas debe surgir del 
mismo sitio donde éstos se generan, es decir, del aula. 
5 
CAPITULO 1 
ANTECEDENTES Y DEFINICION DEL PROBLEMA 
En este capítulo se presentan los antecedentes y el diagnóstico global del 
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en el Instituto Tecnológico y 
de Estudios Superiores de Monterrey. 
1.1. ANTECEDENTES 
El encargado de impartir los cursos de Matemáticas y de dar a través de sus 
servicios el apoyo, que en esta materia se requiera, es el Departamento de 
Matemáticas del ITESM, tanto en las carreras de Ingeniería como en las de las 
Ciencias Sociales. 
El sector curricular de las Matemáticas correspondientes al tronco común 
de las carreras de Ingeniería que ofrece el ITESM , está integrado por los cursos: 
Matemáticas I, Matemáticas TI y Matemáticas ID los cuales tienen secuencia 
vertical, ya que cada curso es requisito del siguiente. 
El sector curricular de las Matemáticas correspondientes al tronco común 
de las carreras de Ciencias Sociales que ofrece el ITESM, es también de 
secuencia vertical y está integrado por los cursos de Matemáticas I y II . Los 
contenidos académicos de estas materias son diferentes a los del sector curricular 
de Matemáticas para las carreras de Ingeniería. 
6 
Al iniciar cada semestre el Departamento de Matemáticas, entrega al 
profesor el programa analítico del curso que impartirá, así como el calendario que 
lo rige. 
En él se enuncian los objetivos generales y específicos del curso, el tiempo 
asignado a cada tema, exámenes parciales y final, así como de los objetivos a 
evaluar en cada uno de los mismos. De esta manera se garantiza la cobertura de 
todo el programa. 
El sistema ITESM y particularmente el departamento antes mencionado, 
establecen un estricto cumplimiento de los contenidos específicos en cada uno de 
los programas analíticos de los diferentes cursos de Matemáticas. Para garantizar 
tal cumplimiento, se utiliza el método de evaluación llamado Sistema de Ayuda 
para la Evaluación del Aprendizaje (SAEA). 
El sistema (SAEA) consiste en una serie de exámenes departamentales de 
opción multiple que son generados con la ayuda de una computadora que cuenta 
con un banco de reactivos. Estos han sido elaborados por un grupo de profesores 
del Campus Monterrey, con base en los objetivos específicos de aprendizaje de 
los programas del sector curricular de las Matemáticas. 
La normatividad del proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas 
se ve reflejada en el programa analítico, el calendario y el sistema de evaluación. 
Sin embargo, hay consenso general por parte de docentes y alumnos que el 
tiempo asignado para el cumplimiento del mismo es limitado y algunos docentes 
requieren horas adicionales para terminar el contenido del curso en cuestión. 
7 
En los programas de estudio de profesional del Instituto Tecnológico y de 
Estudios Superiores de Monterrey (ITESM) existe el tema de limite de una 
función inserto en la materia de Matemáticas l. 
El tema de limites se considera como parte esencial dentro de la materia de 
Cálculo que se enseña en el primer semestre de todas las carreras existentes en el 
Campus Zacatecas. El concepto de límite es considerado por la mayoría de los 
autores de los libros de Cálculo como el más importante. Purcell, 1988 considera 
que es esta idea la que distingue al Cálculo de otras ramas de las Matemáticas. 
Leithold 1992, menciona que las dos operaciones Matemáticas 
fundamentales del Cálculo son la diferenciación y la integración y ambas están a 
su vez basadas en el concepto de límite. 
"El concepto de límite de una función es la idea central del Cálculo, tal vez 
la más importante y a la vez el más dificil de asimilar" (Pinzón, 1973). 
Desde el punto de vista de la experiencia docente, así como de la 
conformación del conocimiento matemático se sabe que la idea de límite tiene 
fuertes dificultades para la enseñanza-aprendizaje . 
Un indicador de tipo histórico de lo anterior es que el desarrollo de esta 
idea desde sus orígenes hasta la forma actual llevó más de 20 siglos a los 
matemáticos. 
En los programas de Matemáticas de profesional se tiene por objetivo al 
enseñar el tema de limite que el alumno comprenda el concepto de límite, 
8 
conozca sus propiedades, lo aplique en la resolución de problemas para encontrar 
el límite de una función dada así como definir intuitivamente y obtener límites al 
infinito, infinitos y asíntotas. 
En cuanto a la conducción del proceso enseñanza-aprendizaje, a lo largo de 
la experiencia de los profesores de Matemáticas del ITESM, se ha observado que 
los alumnos que cursan Matemáticas I, tanto para Ingeniería como para el área de 
las Ciencias Sociales, tienen fuertes dificultades en el entendimiento del concepto 
de limite de una función. Sin descartar otras dificultades como la utilización de 
conceptos de Algebra, Geometría Analítica y Trigonometría requeridos. Por otro 
lado se han detectado dificultades en el manejo de aspectos lógicos. 
Mucho tiempo ha prevalecido esta problemática y muy comentada ha sido, 
sin embargo nada trascendental se ha hecho al respecto. 
En cuanto a los métodos y modelos de enseñanza no se presentan mejores 
perspectivas, se sigue oscilando frecuentemente entre la intuición y el rigor 
matemático. 
Por lo anterior, en el presente estudio se sostiene que es indispensable que 
en los cursos de Matemáticas el alumno logre aprender significativamente el tema 
de limite y para ello es necesario que tenga un conocimiento claro de dicha idea 
para posteriormente operar en forma adecuada los límites de funciones y así 
lograr las bases indispensables para tener un desempeño satisfactorio en el tema y 
en la materia en sí, como en las que se interrelacionan. 
9 
1.2. PLANTEAMIENTO DE LA NECESIDAD 
En los textos de Cálculo Diferencial e Integral es posible identificar dos 
tendencias distintas de presentar el tema. Un grupo de autores establece una 
definición intuitiva del concepto de límite y a partir de ella enuncian los teoremas 
sobre limites, hacen operaciones con ellos y pasan a las definiciones de derivada 
e integral definida. Otro grupo de autores además de esta presentación intuitiva 
de la idea de límite, agrega la definicion formal con épsilon y delta. Se establece 
una distinción entre ambas definiciones (intuitiva y formal) en lugar de ser 
presentada como complemento una de la otra. 
Los resultados de las evaluaciones de este tema durante el semestre enero-
mayo de 1993 en el ITESM Campus Zacatecas, revelan un 23.5% de error al 
responder las preguntas relacionadas con el tema de límites, contra el 18% de 
error en el resto de los temas incluidos en el primer parcial del curso de 
Matemáticas l. 
Es de esperarse que si el concepto fundamental de Cálculo Diferencial e 
Integral como es la idea de límite no es clara y accesible para el alumno su nivel 
de aprovechamiento no sea del todo satisfactorio. Ya que existe un 32% de no 
aprobados en la materia, cuando estudian este tema. 
El elevado índice de error al responder las preguntas relacionadas con el 
tema de límite y el alto índice de reprobación de la materia de Matemáticas I 
ponen de manifiesto la problemática del aprendizaje, que presenta este tema. 
10 
Debido a lo anterior, es necesario dirigir la atención a revisar el tratamiento 
que generalmente se hace del tema y generar una propuesta didáctica para la 
enseñanza de la idea de límite. 
1.3. ENUNCIADO DE LOS OBJETIVOS 
El objetivo principal de este trabajo es proponer un enfoque de 
presentación para el concepto de límite, desde un punto de vista diferente, a la 
manera tradicional, presentándolo como una guía de apoyo tanto para el profesor 
como para el alumno. 
1.4. DELIMITACION DEL TRABAJO 
Laproblemática en cuestión se presenta generalmente en los alumnos de 
primer semestre de profesional cuando cursan la materia de Cálculo, estos tienen 
como referente los temas de Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. 
En esta propuesta se parte de situaciones muy familiares y accesibles para 
el alumno que lo conducen de manera gradual a la comprensión y entendimiento 
de la idea de límite. 
El desarrollo del trabajo se hace a manera de guía didáctica que pueda 
auxiliar al profesor en la enseñanza del concepto de límite. No se pretende sugerir 
que deba enseñarse íntegramente este desarrollo, sino mas bien el profesor debe 
adecuarlo a sus condiciones y propósitos y en particular, decidir hasta qué punto 
del desarrollo enseñar. 
11 
Este trabajo no incluye la parte referente a llevar a la práctica la propuesta 
didáctica, aunque la autora del trabajo en particular tratará de usarla en sus 
cursos. 
La propuesta que aquí se presenta va dirigida a la definición de limite, por 
tanto no incluye nada referente al uso de la idea; para calcular limites específicos, 
para demostrar resultados o teoremas relativos a límites, además estos temas están 
ampliamente tratados en algunos libros de Cálculo. 
12 
CAPITULO2 
MARCO TEORICO 
En este capítulo se pretende como punto número uno, dar una visión 
general de cómo se presenta en la mayoría de los libros la idea de límite, 
ejemplificando mediante una selección de ejercicios. 
Segundo punto, hacer un análisis de las investigaciones realizadas en el 
área. 
Como último punto de este capítulo se presentan las características más 
importantes del tipo de investigación y la ubicación del trabajo en ese contexto, 
así como algunas teorías relevantes para proceso enseñanza-aprendizaje en el 
área. 
2.1 REVISION DE LA PRESENTACION USUAL DE LIMITES EN LOS 
LIBROS DE TEXTO 
La presentación que dan autores como; Taylor, Swokowski, Thomas, 
Pinzón, Purcell, Leithold, Zill, entre otros, al tema de límites en los textos de 
Cálculo Diferencial e Integral consta principalmente de lo que ellos llaman 
definición intuitiva y definición formal. 
A continuación se muestra un ejemplo representativo de esta presentación 
tomada del libro de Zill, el cuál es el libro de texto de la materia de Cálculo en el 
Sistema ITESM. 
13 
NOCION INTUITIVA DE LIMlTE 
Límite de una función cuando x tiende a un número. 
Considerése la función : f (x) = l6-x2 
4+x 
Cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el -4. 
Aunque f(-4) no está definido, f(x) puede calcularse para cualquier valor de x 
cercano a -4. La tabla de la Figura 2.1 muestra que cuando x se acerca a -4 por la 
izquierda o por la derecha, los valores funcionales de f (x) están acercándose a 8; 
esto es, cuando x está próximo a -4, f (x) está próximo a 8. Entonces, 8 es el 
límite de f cuando x tiende a -4 y se escribe, 
f (x)~S cuando x~-4 o bien lim 
x~-4 
y 
Figura 2.1 
14 
16- x 2 
--=8. 
4+x 
X f (x) X f (x) 
-4.1 8.1 -3.9 7.9 
-4.001 8.001 -3.99 7.99 
-3.9 7.9 -3.999 7.999 
Tabla 2.1 
Para x :;; -4 se puede simplificar f mediante la cancelación: 
f(x) = l6-x 2 = (4+x)(4-x) =4 -x 
4+x 4+x 
Como se observa en la figura 2.1 la gráfica de f es esencialmente igual a 
la de y = 4 + x, excepto que la gráfica de f tiene un hueco en el punto 
correspondiente a x = -4 . Cuando x se aproxima cada vez más a -4, lo cual se 
representa con las dos puntas de flecha sobre el eje x, simultáneamente con las 
dos puntas de flecha sobre el eje y se aproximan cada vez más al número 8. 
15 
DEFINICION INTUITIVA 
La noción de que f (x) tiende al número L cuando x tiende al número 
a se define, en general de la manera siguiente: 
Si J(x) puede aproximarse arbitrariamente a un número finito L, 
tomando a x suficientemente cercano pero distinto de un número a tanto por 
el lado izquierdo como por el derecho de a entonces lim x--a 
f (x) = L 
Se usará la notación x--a- para denotar que x tiende a a por la 
izquierda y x--a+ para expresar que x tiende a a por la derecha. De este 
modo, si los límites unilaterales : 
Iim f (x) 
x--a 
y lim f ( x) tienen un valor común L 
x--a+ 
lim f (x) = lim f (x) = L 
x--a x---a+ 
se dice entonces que lim f (X) existe y se escribe: x---a 
lim f (x) = L 
X >a 
Usualmente se hará referencia al número L como el límite de f en a. Sin 
embargo, se debe observar que: 
16 
La existencia del límite de una función f en a no depende de si f está 
realmente definida en a, sino solamente de si f esta definida para x cerca 
de a. 
EJEMPLO 1 
La figura 2.2 muestra la gráfica de la función f (x) = - x 2 + 2x + 2. 
Como se observa en la gráfica y en la tabla adjunta, parece razonable que 
Iim f (x) = -6 
x--4-
y lim f (x) = -6 
x--4+ 
y en consecuencia lim f (x) = -6 x--4 
y 
Figura 2.2 
17 
X J(x) X J(x) 
3.9 -5.41000 4.1 -6.61000 
3.99 -5.94010 4.01 -6.06010 
3.999 -5.99400 4.001 -6.00600 
Tabla2.2 
Obsérvese que la función dada en el Ejemplo 1 está definida en x = 4, 
pero en ningún momento se sustituye x = 4 en la función para encontrar el valor 
de Iim f (x) x--4 
EJEMPLO 2 
En la figura 2.4 se presenta la gráfica de la función definida por secciones: 
x+2 .................. x'.5:5 
J(x)= 
-x+10 .............. x>5 
De la gráfica y de la tabla adjunta se observa que 
Iim f (x) = 7 
X >5-
y lim f(x)=5. 
x--5+ 
Como X Iim 
5
_ f (X) * x Iim 
5
+ f (X), se concluye que 
18 
Iim f (x) No Existe 
X )5 
y 
Figura 2.3 
X J(x) X f(x) 
4.9 6.9 5.1 4.9 
4.99 6.99 5.01 4.99 
4.999 6.999 5.001 4.999 
Tabla 2.3 
EJEMPLO 3 
En la figura 2.4 la gráfica de y = f (x) muestra que cuando x tiende a 2 
por la izquierda, los valores funcionales de f ( x) se vuelven cada vez más 
19 
grandes, o sea, X lim) 2_ f (X) no existe. Esto es suficiente para decir que 
lim f (X) no existe 
X )2 . 
y 
y= f(x) 
Figura 2.4 
No siempre es una tarea fácil determinar s1 lim f (x) existe, 
X )a 
mediante la gráfica de la función f 
20 
EJEMPL04 
Unicamente a partir de los datos de la tabla siguiente, se conjetura en forma 
natural que : 
X 
-0.1 
-0.01 
-0.001 
EJEMPLO 5 
lim 
x--0 
senx = 1 
X 
Tabla2.4 
J(x) X 
0.9983341 0.1 
0.9999833 0.01 
0.9999998 0.001 
La tabla siguiente sugiere que: 
lim 
x---0 
21 
1-cosx =O 
X 
f(x) 
0.9983341 
0.9999833 
0.9999998 
Tabla2.5 
X J(x) X f(x) 
-0.1 0.0499583 0.1 0.0499538 
-0.01 0.0049999 0.01 0.0049999 
-0.001 0.0005001 0.001 0.0005001 
-0.0001 0.0000510 0.0001 0.0000510 
2.5 DEFINICION DE LIMITE 
En esta sección se considerará una noción alternativa de límite con base en 
los conceptos analíticos en vez de conceptos intuitivos. Si bien las gráficas y las 
tablas de valores funcionales pueden ser convincentes para determinar si un límite 
existe o no, el lector debe prever que todas las calculadoras trabajan sólo con 
aproximaciones y que las gráficas se pueden trazar sin precisión. Una 
demostración de la existencia de un límite nunca debe basarse en la habilidad 
personal para dibujar ilustraciones; aunque una buena comprensión de las 
definiciones intuitivas de lim f (X) x--a 
y lim f (x) dadas en 
x--oo 
las secciones 2.1 y 2.3 es suficiente para proseguir el estudio del Cálculo en este 
texto, tales "definiciones" son demasiado vagas para considerarlas en la 
demostración de teoremas. A fin de ofrecer una demostración rigurosa de la 
existencia de un límite, o para demostrar los teoremas de la sección 2.2, hay que 
comenzar primero con la definición precisa de límite. 
22 
2.5.1 Definición 
E-O de lim f (x) = L 
Intentemos demostrar que 
x~a 
lim (2x + 6) = 1 O 
x--2 
Elaborando la idea siguiente: "si puede hacerse que J(x) = 2x+6 esté 
arbitrariamente cercana a 1 O tomando a x suficientemente cercano a 2, tanto por 
un lado como por el otro, pero sin llegar a ser igual a 2, entonces 
11 
limx-+2 f(x)= 10 . Es necesario precisar los conceptos de "arbitrariamente cercano" 
y "suficientementecercano". Para establecer un criterio de carcanía arbitraria, se 
requiere que la distancia entre los números J(x) y 10 sea menor que 0.1, esto 
es, 
lf (x)-lül < 0.1 o bien 9.9 < f (x) < 10.1 (2.4) 
Luego, ¿Cuán próximo a 2 debe estar x para satisfacer (2.4)? Para 
averiguarlo puede resolverse la desigualdad 
9.9 < 2x+6 < 10.1 
por álgebra ordinaria, y obtener que 
1.95 <X< 2.05 
23 
De este modo, para una "cercanía arbitraria a 10" de 0.1, entonces 
"suficientemente cercano a 2" significa estar a una distancia de menos de 0.05 por 
cualquier lado del 2. En otras palabras, si x es un número diferente de 2 en el 
intervalo abierto de (1.96, 2.05), entonces se garantiza que f(x) está en (9.9, 
10.1). 
Tratemos de generalizar mediante el mismo ejemplo. Supóngase que E 
(épsilon) denota un número positivo pequeño cualquiera que sea la medida de la 
cercanía o proximidad arbitraria al número 10. Si se requiere que 
IJ(x)-lOl<E obien 10-E<f(x)<lO+E, (2.5) 
entonces de f ( x) = 2x + 6 y por álgebra, se obtendrá 
E E 
2--<x<2+-. 
2 2 
El empleo de valores absolutos y un nuevo símbolo O (delta) permite 
escribir (2.5) y (2.6) como: 
lf (X) - 1 OI < E siempre que 
en donde O = ½. De este modo , para un nuevo valor de E, por ejemplo, E = O.001, 
24 
S =½ = 0.0005 indica la cercanía correspondiente al 2. Para cualquier número 
* x diferente de 2 en (1.9995, 2.0005), hay la seguridad de que f (x) está en 
(9.999, 10.001). Véase la figura 2.40 
y 
10 
y=2x+6 
X 
2 
Figura 2.5 
DEFINICION DE LIMITE: 
lim f (x) = L A continuación se presenta la definición de 
x--a 
la denominada definición E - 8 de límite. 
esta es 
* Esto explica que se use O< jx - 2j < 8 en lugar de jx- 2j < 8. Téngase presente 
lim 
que al considerar 
x-->2 
f(x) 
no interesa f en 2. 
25 
DEFINICION 2.2 
Supóngase una función f definida en un intervalo abierto que contiene al 
número a, excepto posiblemente en el propio a . Entonces: 
lim f(x) = L 
x-->a 
significa que para todo 
Sea 
8> O existe un 8> O tal que 
IJ(x)- LI < E siempre que O< lx-al < o 
lim f (X) = L y supóngase que 8 > O es el número que 
x-->a 
"funciona" de acuerdo con la definición 2.2 para un 8> O dado. Como se muestra 
en la figura 2.41 (a), todo X en (a-8,a+o) con posible excepción del propio a 
tendrá su imágen f ( x) en ( L - 8, L + 8). Además, como se indica en la Figura 
2.41(b), escoger un 81< 8 también "funciona" para el mismo 8 en el sentido de 
que todo X en (a-81,a+8i) distinto de a, nos da 
f(x) en (L- 8, L + 8). Sin embargo, la Figura 2.41(c) muestra que 
escoger un &
1 
menor, O < &
1 
< &, requerirá obtener un nuevo valor de 8. 
26 
Figura. 2.41 
y 
L+ E 
L 
a-~ 11 x a+~ 
X 
a) Un 8 que funciona para un E dado 
y 
L 
L-Et-----+-
(b). Para 81 menor también funcionará para el mismo E 
27 
y 
Lu: 
L+El 
i---........ 
L 
L-E1 
f(xJ----------+-
L-et------+-
(c)Un E1 menor requerirá un 01 <O.Para x en (a-8,a+o), f(x) no ésta 
necesariamente en (L - e,L + e) 
Aquí termina el ejemplo representativo de la presentación usual de los 
textos para el concepto de límite. Se observa que en este tipo de presentaciones se 
hace una marcada diferencia entre la definición intuitiva y la formal, donde es 
difícil vincular ambas definiciones. Se maneja la idea someramente con ejemplos 
particulares sin hacer un análisis de sus componentes. 
En la definición intuitiva la presentación dada es por medio de tabulaciones 
y en algunos ejemplos gráficos, donde mas que explicar lo que es el concepto se 
enfatiza en cómo distinguir si el límite de una función dada existe o no. 
28 
En cuanto a la presentación de la definición formal, a partir de un ejemplo 
muy sencillo, se generaliza, se enuncia, se da una representación geométrica, y a 
partir de aquí se asume que el alumno ha comprendido tal definición por lo que el 
paso siguiente es trabajar con ella. 
2.2. INVESTIGACIONES SOBRE EL TEMA 
Se revisaron algunos artículos sobre el tema, los cuales fueron obtenidos a 
través de el Centro de Información Científica y Humanista de la UNAM. Con la 
finalidad de analizar que elementos podrían ser de utilidad en este trabajo. 
De 1 O referencias seleccionadas para su revisión se consiguieron las seis 
siguientes: 
Artículo A: Comu, B. (1981). Apprentissage de la notion de limite Modeles 
Spontanes et Modeles Propres. 
Artículo B: David, R.B. and Vinner, S. (1986) The notion of Limit: Sorne 
seemingly unavoidable misconception stages.Joumal of Mathematical 
Behavior 5, 281-303. 
Artículo C: Sierpin'ska, A. (1987). Humanities Students and epistemological 
obstacles related to limits. Educational Studies in Mathematics, 18, 371-
391. 
Artículo D: Robert, A (1982) L'acquisition de la notion de convergence de 
suites numeriques dans L'enseignement superieur. Recherches en 
Didactique de Mathématiques, 3, 307-341. 
29 
Artículo E: Tall, D. and Vinner, S. (1981) Concept image and concept 
definition in Mathematics with particular reference to limits and 
continuity. Educational studies in mathematics, 12, 151-169. 
Artículo F: Steven, R. Williams (1991). Models of limit Held by college 
calculus students. Journal form Research in mathematics education, 22, 
212-236. 
A continuación se presenta el resumen que los autores dan en cada uno 
de los artículos. 
ARTICULO A 
Aprendizaje de la noción del límite. Modelos espontáneos y modelos 
propios 
Bemard Cornu 
RESUt\IBN 
Dentro de la actividad matemática, las nociones matemáticas no sólo se 
usan de acuerdo a su definición formal, sino también a través de representaciones 
mentales, las cuales pueden ser distintas para diferentes personas. Estos modelos 
individuales son elaborados con base en modelos espontáneos (modelos pre-
existentes, antes del aprendizaje de la noción matemática y los cuales se originan 
por ejemplo, en la experiencia diaria), interfiriendo con la definición matemática. 
En este trabajo estudiamos los modelos y la elaboración de los individuales para 
30 
la noción de límite entre estudiantes. "Nos percatamos que la noción del límite 
presenta muy a menudo una barrera que no se puede cruzar, la cual puede ser 
alcanzada o no. Esto a veces se ve como alcanzable y otras como inalcanzable. La 
frase "Tiende a" también se usa con distinto significado los cuales no siempre 
están de acuerdo con el uso matemático correcto. Asociamos este estudio con la 
evolución histórica del concepto del límite. 
ARTICULOB 
La noción de límite: Algunas etapas de malentendido aparentemente 
inevitables. 
Autores: Davis, R.B. and Vinner, S. 
En este estudio se representa un matrimonio de dos tendencias recientes. 
El punto de vista de la primera es el enfoque pedagógico o de currículum basado 
en la idea de que la enseñanza comienza con el entendimiento. El aspecto 
analítico del estudio continúa con el importante tema de la conceptualización 
ingenua que impide la adquisición de conceptualizaciones "científicas" más 
abstractas y más poderosas. 
ARTICULO C 
Estudiantes de Humanidades y obstáculos epistemológicos relacionados con 
límites 
Autor: Anna Sierpin'ska 
RESUMEN 
31 
El artículo representa un reporte sobre 4 sesiones de 45 minutos con un 
grupo de estudiantes de humanidades de 17 años de edad. Estas sesiones fueron 
la primera de una serie organizada con la finalidad de explotar las posibilidades 
de elaborar situaciones didácticas que los ayudara a superar obstáculos 
epistemológicos relacionados con límites. Las actitudes pertinentes de los 
estudiantes para el desarrollo de la noción de límites también como los cambios 
de estas actitudes serán descritas y analizadas. 
La tesista considera que en este artículo la autora hace un análisis de los 
obstáculos que se presentan en los alumnos para la comprensión de la noción de 
límite de una función, sin llegar a plantear una alternativa de solución a dicho 
problema. 
ARTICULO D 
L'acquisition de la notion de convergencesuites numeriques dans 
L' enseigment superieur. 
Autor: Aline Robert 
"En este trabajo se estudia el proceso de adquisición de la noción de 
convergencia de las series numéricas en estudiantes universitarios que van a 
especializarse posteriormente en Matemáticas, en Química o en Física. En Francia 
la noción se enseña en el primer año de la Universidad. 
32 
Utilizando un cuestionario en el cual presentamos un cierto número de 
situaciones, hemos podido clasificar los· procedimientos utilizados y establecer los 
diferentes tipos de modelos expresados sobre la convergencia de las series 
(dinámicas o no). Más de mil estudiantes respondieron nuestro cuestionario. 
Las regularidades observadas en la relación entre procedimientos y 
modelos nos permitieron establecer diferentes jerarquías que deberían ser tomadas 
en cuenta en el aprendizaje de la noción". 
ARTICULO E 
La imagen del concepto y la definición del concepto en Matemáticas con 
referencia particular a Límites y Continuidad. 
Autor. Tall,D. and Vinner, S. 
La imagen del concepto consiste en todas las estructuras cognoscitivas que 
en la mente del individuo son asociadas con el concepto dado. Esto puede o no 
ser globalmente coherente y puede tener aspectos diferentes de la definición 
formal del concepto. 
El desarrollo de límites y continuidad son consideradas como son 
enseñados en secundaria y universidad. 
V arias investigaciones reportadas demuestran que el concepto imagen 
individual difiere en teoría formal y contiene factores que causan conflicto 
cognoscitivo. 
33 
ARTICULO F 
Modelos de Límite Mantenidos por Estudiantes Universitarios. 
Autor: Steven R. Williams 
"Este estudio representa el entendimiento del concepto de límite de 1 O 
estudiantes universitarios y los factores que influyen para que se den cambios en 
ese entendimiento. 
Algunos modelos informales de límite fueron identificados por los 1 O 
estudiantes, y fueron presentados como modelos alternativos de límites y con 
problemas defectuosos. Los problemas estaban diseñados para motivar a los 
estudiantes a hacer cambios en sus propios modelos, para reflejar una concepción 
más formal. Los modelos individuales de límite variaron ampliamente entre los 
estudiantes que inicialmente describieron límites de manera semejante. El aspecto 
dinámico de estos modelos fue estrechamente resistente al cambio, la resistencia 
fue influida por la creencia de los estudiantes que una existencia apriori de 
gráficas de sus experiencias con gráficas de funciones simples, el valor que ellos 
conceden a modelos útiles, prácticos y conceptualmente simples, y su tendencia a 
ver problemas anómalos como excepciones menores a reglas. Estos factores 
combinados inhiben la motivación de los estudiantes para adoptar la definición 
formal de límite". 
34 
CONCLUSIONES 
Los Artículos analizados muestran diferentes explicaciones sobre las 
causas del conflicto cognoscitivo de los estudiantes al enfrentarse a la idea de 
límite de una función. 
Hacen una distinción entre lo que es la imagen conceptual de la idea y el 
concepto mismo. Se refiere la imagen conceptual del objeto a todas aquellas 
imágenes, características, relaciones, que el individuo asocia en su mente en 
relación al objeto, lo que Freudenthal llama "objeto mental", y el concepto mismo 
como la definición formal (para este caso el objeto es límite). 
Partiendo de la afirmación anterior se analiza si realmente esta diferencia 
es el obstáculo principal para la comprensión de la idea de límite y cómo lo afecta 
tratando de aclarar de qué tipo ( epistemológico, heurístico, rigorístico, etc) son 
estos obstáculos. 
Con base en lo anterior se concluye que las investigaciones analizadas no 
van más allá de un diagnóstico fenomenológico que pudiera intervenir en el 
proceso de enseñanza-aprendizaje del tema. 
35 
2.3. FUNDAMENTACION DE LA PROPUESTA 
2.3.1. TIPO DE INVESTIGACION 
La propuesta didáctica aquí presentada se encuentra enmarcada con el 
experimento de enseñanza soviético y de Freudenthal que tiene la siguiente 
postura: 
DESCRIPCION. 
Kantowski considera que si fuera necesario caracterizar el experimento de 
enseñanza por medio de una palabra, esta sería "dinámico" ya que el movimiento 
es lo que les interesa a los soviéticos, movimiento de la ignorancia hacia el 
conocimiento, de un nivel de operación a otro, de un problema a otro. 
El propósito de esta investigación es "cachar" procesos en su desarrollo y 
determinar cómo la instrucción puede influir en esos procesos. 
l. Características principales del experimento de enseñanza 
•En las formas de investigación pedagógica el análisis estadístico de datos 
cuantitativos es de mucho menor interés que el análisis diario de datos subjetivos. 
•La mayoría de los estudios tratan con algún aspecto de la situación escolar 
formal. 
•Los datos son con frecuencia reunidos únicamente de muestras de alumnos 
fuertes o débiles, quienes son categorizados con la ayuda del profesor de clase. 
36 
•Los datos recolectados son con frecuencia cualitativos obtenidos de un 
contexto clínico, grabando versiones verbales para ser analizados posteriormente. 
•Se basa fuertemente en la observación del salón de clases. 
•Su naturaleza es compensatoria ya que la cantidad de datos macroscópicos 
tales como las calificaciones de pruebas objetivas, generalmente obtenidas en un 
estudio experimental son intercambiadas por detalles microscópicos de los 
procesos observados usando una muestra pequeña, entrevistas de prueba, diálogos 
con estudiantes individuales se agregan a cualquier grupo de datos recolectados 
para apoyar generalizaciones que dan lugar a decisiones para futuras secuencias 
de instrucción. 
•Los datos son reunidos en un periódo extenso de tiempo. 
• "La planeación de la instrucción es hecha a la luz de observaciones de 
sesiones previas" (Kantowski). 
•Existe una cooperación entre profesores e investigadores. 
•Durante el desarrollo de los procesos estudiados se aceptan sugerencias, 
dado que el objetivo central en todo momento, de esta corriente es el 
mejoramiento del aprendizaje y del estudiante. 
•En la mayoría de los casos los resultados son reportados de forma 
narrativa y se incluye un análisis de las conductas observadas y las conclusiones 
obtenidas de ese análisis. 
37 
•Los datos cuantitativos son generalmente reportados usando estadística 
descriptiva. 
•Las pruebas estadísticas inferenciales son raramente usadas. 
•El experimento pensado es una "estrategia" utilizada para mejorar la 
instrucción, basada en la observación y experiencia principalmente del profesor. 
•No puede ser caracterizado por: 
* Procedimientos de muestreo. 
* Grupos experimentales. 
* Pruebas estadísticas. 
Usamos la expresión experimento pensado en el sentido que se le ha dado 
en la Física , esto es básicamente el experimento usual de las ciencias naturales 
excepto que la fase de experimentación en el laboratorio es remplazada por la 
acción mental de imaginar lo que sucedería si en efecto se llevara a cabo lo 
planeado. Esto es, las ideas, las dudas, las conjeturas, la información que se 
maneja para entender y modificar un cierto fenómeno, son confrontadas con el 
experimento simulado dentro de la mente del investigador. 
"La observación de los proceso de aprendizaje puede servir para cambiar la 
actitud matemática y didáctica de los observadores, de los profesores de cada 
nivel, y en consecuencia la de sus alumnos".(Freudenthal, 1982, pp395-408) 
38 
¿ Qué uso o qué utilidad tiene el conocimiento obtenido al observar 
procesos de aprendizaje por el profesor; si no es beneficiarse ampliamente en su 
planeación y toma de decisiones para instrucciones subsiguientes ?(Freudenthal, 
1991, pág. 95).El propone el experimento pensado como un componente para el 
experimento educativo. 
Dada la experiencia del profesor dentro del salón de clase, como alumno en 
primerainstancia y posteriormente como profesor, va desarrollando capacidades 
que le permiten suponer, diseñar, imaginar, ciertas condiciones que pasarían 
dentro del salón de clases y como sería posible corregirlas. Una propuesta 
didáctica de un tema, como resultado de la observación dentro del salón de clase, 
es un experimento pensado. 
2.3.2. UBICACION DEL TRABAJO DENTRO DE UN EXPERl1\.1ENTO 
DE ENSEÑANZA A LARGO PLAZO 
La propuesta didáctica que aquí se presenta es parte de un "experimento de 
enseñanza" que comenzó a desarrollarse en 1981, y cuyas principales etapas se 
describen a continuación: 
1.El Grupo de Enseñanza de las Matemáticas de la Facultad de Ciencias de 
la UNAM (integrado por: Profra. Eloísa Ortíz Femández, Mat. María Juana 
Linares, Mat. Guillermo Custodio, M. en Psic. Lucía Femández Bañuelos y Dr. 
Alejandro López Y añez ( coordinador del grupo) preparó una serie de tres cursos 
de Cálculo Diferencial, para ser impartidos en la Facultad de Ciencias de la 
UNAM , con la finalidad de detectar dificultades de aprendizaje específicas , así 
39 
como deficiencias en la enseñanza, por medio de la observación y análisis, 
intensivos y sistemáticos.(López Yáñes, 1982) 
Uno de los temas que recibió especial atención durante la preparación y 
desarrollo de los cursos fue el de "límite de Funciones" a este tema se le 
incorporó material histórico propedéutico, así como definiciones alternativas . 
2. Una de las fuertes deficiencias observadas previamente del aprendizaje 
de los estudiantes es la relativa al escaso significado que los números irracionales 
presentaban para ellos, ya que su contacto o familiaridad con estos números se 
reducía a saber que existe ese "tipo" de números, a disponer de algunos ejemplos 
(J2,.F,.$,, .... e, .... ) y a saber, que la forma general de representarles es por 
medio de su expansión decimal, siendo ésta infinita y no periódica . 
Este último hecho les da a los números irracionales un aspecto de 
evasividad. ya que ni su nombre se puede escribir de manera clara y completa. 
Otro factor de gran peso en esta problemática es la ausencia de una arittnética de 
los números irracionales. Como consecuencia de estas observaciones y a partir de 
la idea de que en la expansión decimal de 1/3 ya está involucrada la idea de 
límite, el Dr. López Yáñez elaboró, por medio de un experimento pensado, un 
bosquejo de propuesta didáctica para tratar de disminuir las deficiencias 
observadas. 
3. El bosquejo de propuesta didáctica citado en el punto anterior fue 
desarrollado con detalle en su tesis de licenciatura en Matemáticas por la pasante 
María Edda Sandra Valencia Montalván bajo la dirección del Dr. López Y áñez. 
(Montalvan,V. 1984) 
40 
4. Posteriormente la Mat. Valencia Montalván y otros profesores del CCH 
de la UNAM, pusieron en práctica dicha propuesta didáctica, obteniendo 
resultados positivos. 
5. El siguiente paso de este experimento de enseñanza, consistió en 
explotar la idea de que en la expansión decimal de 1/3 ya está involucrada la 
noción de límite, para darle un significado intuitivo a la noción de límite de una 
función antes de llegar a su definición formal. 
Otras ideas que se manejan en este experimento pensado fueron el uso de 
ejemplos geométricos para ilustrar el proceso de límite y la caracterización de los 
componentes básicos de la idea de límite interpretada como proceso infinito de 
aproximaciones sucesivas. Este experimento pensado fue realizado por el Dr. 
López Y áñez, quien lo llevo a la práctica en dos cursos de Calculo que impartió 
en la Escuela de Ingeniería de la Universidad Panamericana. Los resultados 
observados sugirieron fuertemente que una propuesta didáctica más desarrollada y 
refinada a lo largo de estos lineamientos tendría grandes posibilidades de éxito. 
6. La siguiente etapa es la presente, esto es, la elaboración de una propuesta 
didáctica detallada y fundamentada, que es lo que constituye el tema de la 
presente tesis. 
7. El próximo paso será llevar a la práctica esta propuesta para su 
confrontación y mejoramiento. 
Finalmente una observación: Si las dos propuestas didácticas, esto es la 
elaborada en la tesis de la Mat. Valencia Montalván y la presentada en esta tesis, 
41 
se usaran con los mismos estudiantes longitudinalmente, es prácticamente un 
hecho, que los resultados del aprendizaje se verían reforzados mutuamente en lo 
referente a los números irracionales y a límite de funciones. La confrontación en 
la práctica de esta observación constituirá la última etapa de este experimento de 
enseñanza a largo plazo. 
42 
2.3.3. TEORIAS RELEVANTES DEL PROCESO ENSEÑANZA-
APRENDIZAJE 
2.3.3.1. TIPOS DE APRENDIZAJE 
Desde el punto de vista del desarrollo del aprendizaje escolar, es necesario 
distinguir con claridad los principales tipos de aprendizaje que se pueden dar en el 
salón de clase. Para Ausubel (1986), la manera más importante de diferenciar los 
tipos de aprendizaje en el salón de clases consiste en formar 2 distinciones de 
procesos; La primera distinción es la del aprendizaje por recepción y por 
descubrimiento, y la se2unda, entre aprendizaje mecánico o por repetición y 
significativo. Esto es: 
lera. Distinción entre: 
Aprendizaje por recepción V s Aprendizaje por descubrimiento. 
2da. distinción entre: 
Aprendizaje mecánico o por repetición Vs. Aprendizaje Significativo. 
En el aprendizaje por recepción, el contenido total de lo que se va a 
aprender, se le presenta al alumno en su forma final. Mientras que en el 
aprendizaje por descubrimiento, el contenido principal de lo que va a ser 
aprendido no se da si no que debe ser descubierto por el propio alumno. 
"La primera fase del aprendizaje por descubrimiento involucra un proceso 
muy diferente al del aprendizaje por recepción; el alumno debe recordar la 
información , integrarla con la estructura cognoscitiva existente, y reorganizar o 
transformar la combinación integrada de manera que produzca el producto final 
deseado o se descubra la relación entre medios y fines que hacían falta. Después 
43 
de realizado el aprendizaje por descubrimiento, el contenido descubierto se hace 
significativo, en gran parte, de la misma manera que el contenido presentado se 
hace significativo en el aprendizaje por recepción" (Ausubel,989,ág. 35) 
De esta forma el aprendizaje por recepción y por descubrimiento, son dos 
tipos muy diferentes de procesos, estos difieren en sus principales funciones en el 
desarrollo y el funcionamiento intelectuales. Para volúmenes grandes de material 
en su mayoría se adquieren en virtud del aprendizaje por recepción, mientras que 
los problemas cotidianos se resuelven gracias al aprendizaje por descubrimiento, 
esto no significa que el conocimiento que se adquiere por recepción no se utiliza 
para resolver problemas de la vida diaria y el aprendizaje por descubrimiento sea 
usado comúnmente en el salón de clases para aclarar, aplicar, integrar 
conocimientos de la materia o evaluar la comprensión. 
Jerome Bruner es un teórico cognoscitivo moderno que ha demostrado un 
especial interés en la instrucción basada en una perspectiva cognoscitiva del 
aprendizaje por descubrimiento y él recomienda que los profesores fomenten la 
curiosidad a través del pensamiento intuitivo. "Hay que estimular a los alumnos a 
que hagan suposiciones intuitivas basadas en pruebas insuficientes y a que luego 
confirmen más sistemáticamente tales suposiciones." (Woolfollk) 1986, pág. 228) 
considerando que de esa forma los alumnos tendrán la oportunidad de practicar su 
capacidad para ver más allá de la información proporcionada. 
Gilstrap y Martin(. G. tro, R. L. y Martin, W:R., Current Strategies for 
teachers: A resource for personalizing education, Goodyear, Pacific Palisades, 
Calif. 1975) encuentran 6 ventajas en el aprendizaje por descubrimiento: 
44 
l. Ayuda a los alumnos a aprender cómo aprender. 
2. Este aprendizajeproduce una sensación de excitación y automotivación 
3. Permite a los alumnos a obrar de una manera que acomoda a sus propias 
posibilidades. 
4. Puede contribuir a fortalecer el concepto que cada estudiante tenga de sí 
nnsmo. 
5. Es posible que los alumnos desarrollen un sano escepticismo respecto a 
las soluciones simplistas de los problemas. 
6. Los estudiantes son responsables de su propio aprendizaje. 
Sin embargo, no siempre es conveniente aplicar este método debido a los 
altos costos, en el tiempo principalmente. 
"El aspecto más singular de la cultura humana es el hecho de que los 
conocimientos acumulados durante milenios pueden transmitirse a cada 
generación sucesiva en el curso de la infancia y la juventud y no necesariamente 
en cada generación dada, descubrirlos de nuevo." (Ausubel, 1983) 
Ausubel ofrece una alternativa al aprendizaje por descubrimiento a la que 
llama aprendizaje significativo. El considera que los aprendizajes significativo y 
mecánico son procesos cognoscitivos de aprendizaje distintos de las estrategias o 
procedimientos de aprendizaje que comúnmente se denominan como aprendizaje 
por recepción o aprendizaje por descubrimiento. Ambos procesos (aprendizaje 
por recepción y por descubrimiento) pueden ser repetitivos o significativos, según 
45 
las condiciones en las que ocurra el aprendizaje. Existe la creencia injustificable 
de que el aprendizaje por recepción es invariablemente repetitivo y que el 
efectuado por descubrimiento es inherente y forzosamente significativo. En 
realidad, cada distinción (aprendizaje repetitivo en contraste con significativo y 
por recepción en contraste con por descubrimiento) constituyen una dimensión 
completamente independiente del aprendizaje. 
Ausubel presenta las relaciones entre los aprendizajes por repetición y 
significativos, así como su relación ortogonal con la dimensión recepción 
descubrimiento, en la figura siguiente: 
Aprendizaje Clarificación de Enseñanza Audiotute- Investigación 
Significativo las relaciones lar bien diseñada Científica 
entre los Conceptos 
Conferencias o Pre- Trabajo Escolar en Investigación más 
sentacioncs de la - el Laboratorio rutinaria o produ~ 
mayor parte de li- ción intelectual 
bros de texto 
Aprendizaje Tablas de multi- Aplicación de fórmulas Solución y recom-
por repetición plicar para resolver proble- penzas por ensayo 
mas y error 
Aprendizaje por Aprendizaje por des- Aprendizaje por des-
recepción cubrimiento guiado cubrimiento autónomo 
Figura 2.3.3.2 
46 
2.3.3.2. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: 
Este ocurre cuando la nueva información es adquirida mediante el esfuerzo 
deliberado por parte del alumno de vincular aquélla con los conceptos o 
proposiciones pertinentes que ya existen en la estructura cognoscitiva. 
Las condiciones para el aprendizaje significativo dependen de: 
a) Un material de aprendizaje potencialmente significativo 
b) Una disposición hacia el aprendizaje significativo. 
La conexión entre el contenido nuevo y el conocimiento pre existente 
depende de la experiencia previa y de la disposición prevaleciente del alumno. La 
teoría de asimilación en la que se basa el aprendizaje significativo, postula que el 
nuevo aprendizaje significativo modifica tanto la naturaleza de la información 
nueva aceptada por la estructura como los conceptos o proposiciones de 
afianzamiento que existen con anterioridad. "La interacción del conocimiento 
potencialmente nuevo con los aspectos pertinentes de la estructura cognoscitiva 
preexistente produce un resultado interactivo (el Significado) que constituyen el 
núcleo del proceso de asimilación (Ausubel 1986, Pág. 148) 
En el aprendizaje significativo en cuanto más organizada y significativa sea 
su representación más profundamente aprenderá la persona. Aunque éste puede 
parecer un aprendizaje memorístico, no lo es. "El objetivo de la enseñanza estriba 
en ayudar a los alumnos a comprender el significado de la información presentada 
de forma tal que puedan combinar sensiblemente el nuevo material con lo que ya 
saben. No es aprendizaje significativo la simple memorización del contenido de 
47 
un texto o de una explicación, es preciso realizar conexiones con el conocimiento 
ya existente de los alumnos." (Woolfolk, 1986, Pág. 235) 
Es claro que existe diferencia entre el aprendizaje significativo y el 
aprendizaje memorístico o por repetición, pero también existen relaciones como 
se mostraron en la figura 2.3.3.2. 
El aprendizaje por repetición se da cuando la tarea de aprendizaje consta 
de puras asociaciones arbitrarias, como las de pares asociados, y esto ocurre 
cuando el alumno carece de conocimientos previos relevantes, necesarios para 
hacer que la tarea del aprendizaje sea potencialmente significativa, y también si el 
alumno toma la tarea simple de intemalizarla de modo arbitrario y al pie de la 
letra. 
2.3.3.3. ¿COMO LOGRAR UN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO? 
A diferencia de Brunner, Ausubel considera que el aprendizaje debe tener 
lugar a través de la recepción, no del descubrimiento. Los materiales que se 
presentan a los alumnos por los profesores deben de estar cuidadosamente 
organizados, en secuencia y de cierto modo acabados, de tal forma que dicho 
material sea más utilizable para los alumnos. Ausubel ha denominado a este 
método Enseñanza Expositora, Este método no resulta útil para la enseñanza de 
destrezas físicas o de las tablas de multiplicar, probablemente el empleo más 
apropiado de dicho método corresponde a la enseñanza de relaciones entre 
conceptos. 
48 
Desde el punto de vista de Ausubel el método de enseñanza expositoria, es 
el medio por el cual se logra el aprendizaje significativo, que lo hace superior a 
los demás tipos de aprendizaje. 
2.3.3.4. CARACTERISTICAS DE ENSEÑANZA EXPOSITORIA 
Son Cuatro las Características Especiales: 
1. Exige una considerable interacción entre el profesor y los alumnos. 
Aunque el profesor pueda hacer la presentación inicial a lo largo de 
cada tema son necesarias las ideas, preguntas y respuestas de los 
alumnos. 
2. Usa considerablemente los ejemplos en los que pueden figurar dibujos, 
gráficos e imágenes. 
3. Es deductivo, se presentan ejemplos donde se jerarquizan diferencias y 
semejanzas generales para dar lugar a características particulares 
4. Es secuencial. En la presentación del material hay que seguir 
determinados pasos. Ausubel propone como paso número uno el uso 
de organizadores previos. 
En cuanto a la secuencia de la presentación del material según la 
concepción de Ausubel, siempre se tiene que comenzar con lo que él llama un 
organizador previo, cuyo objetivo consiste en dar al alumno la información que 
precisará para que proporcionen un sentido al material que sobreviene o para 
ayudarles a recordar y a utilizar información que ya tiene, pero que quizás no 
considera relevante en relación con el tema. El organizador actúa así como una 
49 
especie de puente conceptual entre el nuevo material y el antiguo. Estos 
organizadores atienden a tres finalidades: dirigir la atención del lector hacia lo 
que es importante en el próximo material; destacar relaciones entre ideas que 
serán presentadas, y le recuerda cosas que ya conocen y que poseerán importancia 
cuando halle el nuevo material. 
El siguiente paso en la secuencia de la presentación del material es utilizar 
cierto número de ejemplos en relación al tema que se va a tratar para como tercer 
paso establecer tanto semejanzas como diferencias generales. 
Dar al alumno un panorama generalizado de todas las semeJanzas y 
diferencias principales entre ambos cuerpos de ideas antes de que se enfrenten a 
los nuevos conceptos aislados y evitar la especificación explícita, lo alienta 
activamente a realizar sus propias diferenciaciones en función de sus fuentes 
particulares. "En el aprendizaje de conceptos, la presentación de secuencias, de 
estímulos que proporcionen contrastessucesivos entre atributos de criterio 
esenciales y no esenciales tienden a facilitar la formación de conceptos" 
(Ausubel, 1986, pág. 168). 
El cuarto paso en la presentación del material consiste en hacer ésta de 
forma organizada. La posibilidad de afianzar las ideas para lograr el aprendizaje 
significativo, obviamente puede aumentar al máximo, aprovechando la 
dependencia consecutiva y natural de los diferentes componentes de una 
disciplina; es decir, el hecho de que la comprensión previa de otro tema 
relacionado. 
50 
Arreglar el orden de los temas, tanto como sea posible para ponerlos de 
acuerdo a su secuencia natural y así el aprendizaje de cada unidad no sólo se 
convertirá en logro por sí mismo sino que además contribuye al armazón ideal 
específico para el siguiente tema de la secuencia. 
La programación adecuada de los materiales presupone también un máximo 
de atención a ciertos aspectos como la claridad, la organización y el podeI 
explicativo e integrador del contenido. 
"La importancia de plantear la secuencia de aprendizaje, radica 
principalmente en que hace posible que se eviten los errores que surgen de 
"saltarse" pasos esenciales en la adquisición de conocimiento de una área de 
estudio determinada" (Gagné, 1977, pág. 173) 
Así pues, el material nuevo dentro de la secuencia no deberá introducirse 
hasta no dominar totalmente los pasos previos. 
2.3.3.5. ¿COMO SABER SI SE HA DADO EL APRENDIZAJE 
SIGNIFICATIVO? 
Esta tarea no es fácil, las pruebas de comprensión deberán por lo menos 
redactarse en lenguaje distinto y presentarse en contextos algo distintos a aquéllos 
en los que se encontró originalmente el material de aprendizaje, para evitar que el 
alumno sólo extraiga conceptos memorizados mecánicamente. 
La comprensión genwna implica la posesión de significados claros, 
precisos, diferenciados y transferibles, por lo que es deseable la evolución activa 
en el proceso ya sea por medio de preguntas y problemas que sean a la vez 
51 
novedosos y desconocidos, por lo que se requiere de una retroalimentación 
directa en el proceso. 
En resumen se puede decir que el enfoque de Ausubel con respecto al 
aprendizaje en el aula tiene las siguientes características: 
Recomienda que sea deductivo, basado en la creencia de que las personas 
necesitan elaborar jerarquías internas encabezadas por conceptos generales o 
subsumidores, con el objeto de dominar los detalles y disponer de un sistema que 
abarque más conceptos específicos. 
La enseñanza expositoria, que es el sistema de instrucción recomendada 
por Ausubel, utiliza organizadores previos (para introducir conceptos básicos) y 
un contenido subordinado dispuesto en términos de semejanzas y diferencias. Se 
espera que al final de la lección los alumnos aprecien las relaciones no sólo entre 
los diferentes términos del contenido subordinado, si no que también entre el 
organizador previo y los otros términos abarcados por éste. (W oolfolk, 1986) 
2.3.3.6. TEORIA DEL PROCESAl\flENTO DE LA INFORMACION 
Este enfoque representa la concepción cognitiva más reciente y sistemática 
del aprendizaje . 
La teoría del procesamiento de la información sostiene que el aprendizaje 
es un proceso que se realiza en la mente del individuo, el cual percibe los 
estímulos del entorno, los transforma en información significativa que se 
almacena en la memoria para luego ser recuperada y traducida en conductas 
observables. 
52 
El modelo Básico del aprendizaje y memoria que sostiene esta teoría, 
supone básicamente que las personas disponen de cierto número de estructuras en 
el sistema nervioso central, dichas estructuras procesan la información corno se 
muestra en la figura siguiente: 
' R ' 
REGISTRO 
' 
MEMORIA A --3 MEMORIAA 
' E --------;; " 
e SENSORIAL CORTO PLAZO E- LARGO PLAZO 
E 
p 
Entorno T 
o 
R 
E 
s 
,1., ... ., ,, ,, 
1 GENERADOR DE RESPUESTAS 1 ' ' 
MODELO BASICO DEL APRENDIZAJE 
Los Estímulos del entorno (imágenes, sonidos, olores, etc.) bombardean 
constantemente nuestros receptores. Los receptores son los elementos del sistema 
sensorial para ver, oír, gustar y palpar. 
Se produce una actividad nerviosa cuando los estímulos del entorno llegan 
a los receptores y es advertida por el re~istro sensorial sólo durante un cuarto de 
segundo, en ese pequeño tiempo se selecciona la información para su tratamiento 
posterior. Una vez transformada en modelos, imágenes o sonidos, la información 
del registro sensorial puede entrar a la Memoria a Corto Plazo (su permanencia 
allí, es breve probablemente alrededor de 20 seg.). 
Para el desplazamiento de la memoria a Corto Plazo a la Memoria a Largo 
Plazo, se requiere otra transformación de la información a la que se denomina 
53 
codificación Semántica que consiste en organizar la transformación de acuerdo 
con su significado. 
"La transformación de la información de la forma que pueda entrar a la 
memoria a largo plazo constituye uno de los aspectos más críticos del aprendizaje. 
Desde luego a los profesores le interesa ayudar a los alumnos a recordar la 
información más allá de 20 seg. Por lo que el proceso de codificación es un punto 
especial de importancia para ellos." (Woolfolk, 1986, Pág. 238 ) 
Una vez que la información ha entrado a la memoria a largo plazo ¿Cómo 
tener acceso a la información? El acceso a la memoria de largo plazo depende de 
la organización. 
El proceso de aprendizaje y la secuencia con la que se realiza en la mente del 
estudiante durante la instrucción, está clasificando de acuerdo a la figura 2.3.3.6. 
54 
EXPECTATNA: 
EXPECTATIVA 
ATENCION 
CIFRADO 
ACUMULACION EN 
LA MEMORIA 
RECUPERACION 
TRANSEFENCIA 
RESPUESTA 
AFIRMACION 
Figura 2.3.3.6 
El primer paso del proceso del aprendizaje en el aula es la expectativa que 
tiene el alumno sobre el terna. Los eventos externos que durante la instrucción 
tienen influencia, es decir, la motivación del individuo para alcanzar el objetivo 
realizable. 
LA ATENCION: 
Los profesores pueden ayudar a los alumnos a prestar atención a los 
materiales más importantes, esto puede ser de diferentes maneras, corno utilizar 
55 
fenómenos sorprendentes, colores, el hincapié en las palabras, el tono de voz, 
gestos, movimientos, demostraciones e imágenes, animación en sus explicaciones, 
etc. 
Para lograr la comprensión es necesario que el alumno preste atención a los 
aspectos pertinentes realizando una percepción selectiva, distinguiendo o 
discriminando los estímulos exteriores. 
CIFRADO: 
En este paso del proceso adquiere la información en la memoria corto plazo 
por medio de la capacidad de cifrado que tiene como propósito que lo que se 
aprenda resulte altamente memorizable. 
ACUMULACION EN LA MEMORIA 
Aquí se da la retención de la información lo que es aprendido pasa de la 
memoria a corto plazo a la memoria a largo plazo. 
RECUPERACION 
La entidad aprendida puede ser recuperada de la memoria de largo plazo, 
de esta forma, lo que se ha acumulado se vuelve accesible. 
TRANSFERENCIA 
Se logra la transferencia cuando la información aprendida puede ser 
transferida a contextos nuevos. 
56 
RESPUESTA: 
Se exhiben las respuestas cuando se presenta un estímulo, el estudiante al 
ser apoyado genera una actuación o desempeño. 
AFIRMACION 
Dada la actuación del estudiante, se verifica si el objeto ha sido alcanzado, 
es decir, se retroalimenta para fortalecer la entidad aprendida. 
2.3.3.7. TIPOS DE RESULTADOS DEL APRENDIZAJE GAGNE 
Gagné clasifica las facultades aprendidas en cinco categorías: 
1) Información Verbal: 
La información verbal es el "saber que", y representa el contenido de la 
mayoría de las lecciones, hechos, términos, nombres, descripciones, 
características, etc. 
De acuerdo con Gagné las condiciones que promueven el aprendizaje de la 
información verbal son: 
a) Disponer de las apropiadas estructuras cognitivas para abarcar la 
nueva información (en términosde Ausubel) 
b) Conocer la mayoría de las palabras utilizadas en la nueva 
información 
57 
c) Tener objetivo claro. 
d) El material debe ser presentado en un contexto significativo, de 
manera que pueda ser codificado . 
2) Destrezas Intelectuales 
Mientras que en la información verbal es el II saber que 11 , las destrezas 
intelectuales pueden ser consideradas el II saber como 11 • Son capacidades 
aprendidas que preparan al estudiante para llevar a cabo diversas actividades a 
través de representaciones simbólicas. 
Gagné las clasifica como: 
a) Discriminacionales: Ser capaz de establecer distinciones entre 
diferentes objetos o símbolos. 
b) Conceptos: Ser capaz de establecer juicios acerca de semeJanzas, 
donde la discriminación es un requisito previo y natural para trabajar 
con conceptos. 
c) Reglas : Una regla es una capacidad aprendida que permite al 
individuo hacer algo empleando símbolos. 
d) Reglas de orden Superior: constituidas por varias reglas simples. El 
aprendizaje de reglas actúa como un requisito previo y natural para el 
aprendizaje de reglas de orden superior. 
58 
3) Estrategias Cognitivas: 
Son capacidades aprendidas e internamente organizadas, de las cuales hace 
uso el estudiante para codificar, recuperar, discriminar diferentes tipos de 
información, es decir, regular su propio proceso de aprendizaje. 
4) Actitudes 
El aprendizaje de actitudes es a través de experiencias positivas o 
negativas, así como mediante la modelación. 
59 
2.4 CONCLUSIONES DEL CAPITULO DE MARCO TEORICO 
Partiendo del principio de que el conocimiento es procedimental y/o 
Semántico. 
PROCEDIMENTAL; La secuencia de pasos (Algoritmo) que se tienen que 
. ejecutar para llegar a algo (objetivo, propósito, resultado, etc.) Ejemplos: Calcular 
la masa de un cuerpo, calcular un límite, resolver un sistema de ecuaciones 
lineales, etc. El procedimiento para resolver un caso o problema". Se refiere al 
"como" de un conocimiento. 
SEMANTICA; El entendimiento del concepto, se refiere al "que" de un 
conocimiento, (ejemplo: qué es una variable, qué es el ozono), así como su 
relación con otros conceptos. 
El planteamiento que manejan los libros de Cálculo, didácticamente es 
correcto ya que es congruente con lo mencionado en los artículos, en relación a 
que no es lo mismo que el alumno sepa como obtener el valor del límite de una 
función, que entender su significado. "El conocimiento no comienza con 
conceptos sino más bien al revés, los conceptos son los resultados de los procesos 
cognitivos. "(Freudenthal, 1991,pág. 18). 
Sin embargo el material que presentan los libros acerca de límite es 
altamente insuficiente como lo demuestra la práctica docente y las investigaciones 
sobre el tema. 
Con base en lo anterior la autora considera necesario enfocar la atención al 
conocimiento semántico ( de significado) para la idea de límite de una función, 
60 
teniendo en cuenta las consideraciónes pedagógicas pertinentes para presentar una 
alternativa didáctica. 
61 
CAPITULOJ 
PROPUESTA DIDACTICA 
3.0 INTRODUCCION DE LA PROPUESTA 
El interés en esta guía es darle atención especial a la idea de límite, 
partiendo de situaciones muy elementales hasta llegar a la definición formal, con 
la intención de lograr un equilibrio desde el punto de vista intuitivo y operacional, 
teniendo en mente que el tema se ajuste a la experiencia y madurez del alumno. 
Esta guía consta de 5 secciones: 
3.1. Ejemplos geométricos. 
3.2. Expansión decimal. 
3.3. Ejemplos interpretados como funciones. 
3.4. Interpretación matemática de "aproximaciones subsecuentes a una dada". 
3.5. Definición de límite de una función. 
En la primera sección se presentan ejemplos o situaciones en donde 
aparecen aspectos constituyentes esenciales de la idea de limite, prácticamente 
todos estos ejemplos son de carácter geométrico, e involucran ideas Matemáticas 
elementales como las de área, subdivisión y recta tangente, por lo cual su 
62 
significado es muy accesible para el estudiante y por medio de estos ejemplos se 
construye una caracterización intuitiva de la idea de límite. 
En la segunda sección de la guía, se hace una revisión sistemática del 
trabajo que el estudiante ha realizado con fracciones y sus correspondientes 
expansiones decimales, para mostrar 4 cosas: 
a) Darle mayor significado matemático y claridad a ese trabajo previo. 
b) Relacionar conocimientos previos del estudiante acerca de números racionales 
y sus expansiones decimales, con la característica idea de límite. 
c) Mostrar de qué manera la idea de límite está involucrada en las expansiones 
decimales infinitas. 
d) Obtener una segunda caracterización intuitiva de la idea de límite. 
En la tercer sección se interpreta inductivamente el contenido de las dos 
primeras partes en términos del esquema de límite de una función. Se introducen 
las ideas de variable independiente y variable dependiente, y se replantean los 
ejemplos en términos de éstas, para finalmente dar una definición intuitiva de la 
idea de límite de una función. 
En la cuarta sección, se hace énfasis en una condición necesaria para que 
un límite exista y se hace una representación matemática en términos de 
intervalos de la noción: "todas las aproximaciones subsecuentes a una dada". 
63 
En la quinta sección presentamos la definición formal de limite de una 
función en términos de épsilon y delta y hacemos una interpretación geométrica 
de ella. 
3.1. EJEMPLOS GEOMETRICOS 
Antes de concentrar nuestra atención sobre lo que significa el limite de una 
función es necesario presentarle al alumno la importancia del tema, como podría 
ser la idea siguiente; 
En cálculo las operaciones fundamentales son la derivación e integración y 
estos conceptos se definen como límites, por lo que para poder adentrarnos en el 
estudio del cálculo diferencial e integral es necesario en primer lugar, centrar la 
atención en la idea de límite. 
Es importante que se mencione al alumno el objetivo a lograr. El cual es 
que el alumno tenga un entendimiento amplio y claro de la noción de limite. 
A continuación es necesario determinar lo que el estudiante recuerda o 
asocia con la idea de limite con preguntas como la siguiente: 
3.1.1. EJEMPLO 1 
Si tenemos un cuadrado inscrito en un círculo y dividimos los lados del 
cuadrado por su punto medio formamos un octágono regular, (como en la figura 
3 .1.1.1. ), se observará que el área es mayor que la del cuadrado pero menor que la 
del círculo. 
64 
Figura 3.1.1.1. 
Si nuevamente dividimos en sus puntos medios los lados del octágono y se 
forma un polígono regular de 16 lados cuya área es mayor que la del octágono 
pero menor que la del círculo. 
Figura 3.1.1.2. 
A continuación se les hace una pregunta del tipo: 
¿ Cuántas veces debemos hacer el procedimiento para que el área del 
polígono sea igual a la del círculo ? 
Entre las respuestas posibles tenemos: 
65 
• Muchas. 
• Una infinidad. 
• Mientras más divisiones hacemos más nos acercamos al área del círculo. 
3.1.2. EJEMPLO 2 
Consideremos el segmento AB y dividamos por la mitad, llamemos M 1 a 
su punto medio; ahora consideremos el segmento AMI y dividámoslo por la 
mitad, M2 su punto medio considerando ahora el segmento AM2 y dividámoslo 
por la mitad, siendo su punto medio M3, vemos como puede continuarse 
indefinidamente este proceso. 
M3 M2 M1 
A B 
Figura 3.1.2. 
Es claro que continuando este procedimiento obtenemos una sucesión de 
puntos M¡, M2 M3, M4 ... 
' 
La pregunta en este momento seria: 
¿Qué obtenemos si repetimos indefinidamente este proceso? 
Entre las respuestas posibles están: 
66 
*Que obtenemos inteivalos cada vez más pequeños. 
*Que el punto medio se va recorriendo cada vez más hacia A. 
*Que al final obtenemos el punto A. 
*Que en limite obtenemos el punto A. 
3.1.3. EJEMPLO 3 
Consideremos un punto fijo P de una circunferencia y la recta tangente