Ensenanza-de-la-funcion-cuadratica-en-el-aprendizaje-de-las-matematicas

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26/7/2022

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE
MÉXICO

MAESTRÍA EN DOCENCIA PARA LA
EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

Enseñanza de la Función Cuadrática en el
Aprendizaje de las Matemáticas

TESIS

QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE:
MAESTRO EN DOCENCIA PARA LA
EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR
EN MATEMÁTICAS

P R E S E N T A:
INGENIERO MECÁNICO- ELECTRICISTA
VÍCTOR ROMERO CORREA

Comité Tutoral:
DR. MIGUEL MERCADO MARTÍNEZ, TUTOR PRINCIPAL, C.C.H.
NAUCALPAN
MTRO. JUAN RECIO ZUBIETA, F.E.S. ACATLÁN
DRA. MARÍA TERESA ALICIA SILVA Y ORTÍZ, F.E.S. ACATLÁN

MÉXICO, D.F. AGOSTO 2015

UNAM – Dirección General de Bibliotecas
Tesis Digitales
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fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro,
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el
respectivo titular de los Derechos de Autor.

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN
AGRADECIMIENTOS
A Dios por guiar mi camino y brindarme muchas bendiciones
A mi asesor DR. MIGUEL MERCADO MARTÍNEZ, por su dedicación,
interés, consejos y recomendaciones
Al MTRO. JUAN RECIO ZUBIETA, por su dedicación, por su interés en mi
formación académica, consejos y recomendaciones
A la DRA. MARÍA TERESA ALICIA SILVA Y ORTÍZ por sus atenciones y
sugerencias
Al Seminario Multidisciplinario de Formación de MADEMS
A mis demás Tutores, en especial a la Mtra. Matilde, que contribuyeron
con sus valiosas aportaciones y experiencias
Al Mtro. Fernando Ávila Villanueva por su valioso apoyo, su
incondicionalidad y amistad
A todos mis Maestros que con sus experiencias me ayudaron a ampliar
la visión de la Docencia
A mis amigos que me animaron a continuar con la Maestría
A mis compañeros de la Maestría por compartir sus experiencias e
ilusiones
A mis compañeros Maestros que me brindaron su apoyo para tomar la
Maestría.
A mis PADRES José (Finado) y Esperanza que siempre me impulsaron a
no perder el ánimo, el entusiasmo y brindarme su amor incondicional
A mis Hijos Víctor Manuel y Rebeca Daniela que me dieron esa alegría y
entusiasmo por ser mejor
A todos mis Hermanos con mucho cariño

ÍNDICE PAG
RESUMEN 1

ABSTRACT

INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1

PROBLEMÁTICA DEL BACHILLERATO EN MÉXICO

7
Características comunes de los subsistemas del
bachillerato en la enseñanza aprendizaje de las
matemáticas

17
Fallas en la enseñanza de la función
cuadrática: La Parábola
18

CAPÍTULO 2

FUNCIÓN CUADRÁTICA: APRENDIZAJE DE LA
PARÁBOLA, CONCEPTO Y BOSQUEJO HISTÓRICO

20
Algunos factores del aprendizaje 20
Definición de función 22
Bosquejo histórico de la función 23
El trazo de la gráfica 31
CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN 34
Naturaleza de la investigación 34
Participantes de la investigación 34
Los instrumentos de la investigación 37
Actividad diagnóstica 37
Diseño del instrumento 47
Tipos de dificultades 48

CAPÍTULO 4

ANÁLISIS DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA

53
Labor del profesor 53
La estrategia 57
La planeación 58
La evaluación 60
Aprendizaje guiado de Ausubel 68
Criterios para el material de aprendizaje 70
Relación del significado con el aprendizaje
significativo
70
Contraste entre el aprendizaje significativo con el
aprendizaje de material significativo
73
Inclusión 73
Aprendizaje supraordinado 75
Aprendizaje combinatorio 75
Aprendizaje por descubrimiento 76
Lo cognoscitivo y la percepción del aprendizaje 78
Importancia del aprendizaje significativo en la
adquisición del conocimiento
79
Teoría de la asimilación 79
Organizadores previos 81
Desarrollo de la planeación de clase 85
Programa 85
Aprendizajes de la unidad 86
Estrategia 87
Primera clase 88
Segunda clase 105
Tercera clase 119
Examen del tema 125

CAPÍTULO 5

ANÁLISIS DE RESULTADOS

130
Problematización de la función cuadrática 130
Identificación de la ecuación cuadrática
Concepto de raíz y su interpretación geométrica
Métodos para resolver una ecuación cuadrática
Función cuadrática
La gráfica de una función cuadrática
131
133
133
134
135
Situaciones que dan lugar a la función cuadrática 136
Análisis de los conocimientos previos 139
Resultados por pregunta 139
Dificultad por pregunta 140
Tipo de dificultad por alumno 142
Análisis del examen del tema de función cuadrática 144
Resultados por pregunta 144
Resultados del examen 146
Trabajos extra clase realizados 149
CONCLUSIONES 154
Consideraciones finales 157
Glosario 158
ANEXOS

162
A 1 Ejemplos de Examen de Conocimientos Previos 162
A 2 Ejemplos de “Cómo me fue en Matemáticas” 170
A 3 Ejemplos de Tarea Extra-Clase 172
A 4 Ejemplos de Examen del Tema: Función Cuadrática 179
A 5 Lista de Tablas, Figuras y Gráficas 185

REFERENCIAS 187
Bibliografía 187
Cibergrafía 195

RESUMEN
En este estudio se propone una estrategia didáctica del aprendizaje guiado de la
función cuadrática: la parábola, en el segundo semestre del Colegio de Ciencias y
Humanidades (CCH), UNAM, considerando los conocimientos previos de los
alumnos al iniciar el curso, abordando la metodología de la investigación usando el
estudio del caso.
Con ella es posible contribuir a una mejor comprensión de la conversión de la
función de su forma algebraica a la gráfica.
Este material está dirigido a profesores de bachillerato de las asignaturas de
Matemáticas II y IV, de manera que utilicen la estrategia didáctica como una
sugerencia para mejorar su práctica docente.
Para los estudiantes el concepto de función es difícil de comprender en la
conversión de su forma algebraica a la gráfica desde el inicio del curso de
Matemáticas II; e influye de manera crítica en la Universidad. La función es
importante pues tiene una parte comunicativa, de construcción y de organización de
ideas matemáticas al interrelacionarse con las gráficas.
Con la estrategia se pretende integrar los aprendizajes actuales y pasados de los
alumnos de una manera guiada y con un ambiente de confianza y apoyos, así el
estudiante mejora en su comprensión, manejo y aprendizaje en el cambio de
representación.
Algunos de los resultados de la propuesta muestran que hay alternativas para
mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje, del concepto de función en su
conversión de la forma algebraica a la gráfica y viceversa.

ABSTRACT
In this study is proposed a didactical strategy of guided learning of the quadratic
function: the parable, in the second semester of the Colegio de Ciencias y
Humanidades (CCH), UNAM, considering the previous knowledge of students at the
beginning of the course, addressing investigation methodology using the study of
the case.
With it is possible to contributeto a better understanding of the conversion of its
algebraic to graphical form.
This material is intended for high school teachers of the subjects of Mathematics
II and IV, so that they would use the didactical strategy to improve their teaching.
For students, the function concept is difficult to understand, in the conversion of its
algebraic to the graphics form since the beginning of the course of Mathematics II;
and influences critically at the University.
This is important because it has a communicative part, construction and
organizational mathematical ideas at being interrelated with graphics.
With the strategy is intended that in a guided way integrate the current and past
learnings and with an environment of trust and support the students improve their
understanding, learning management and change of representation.
Some of the results of the proposal shows that there are alternatives for improving
the teaching-learning process, about the concept of function in his conversion to the
algebraic form to the graphic form and vice versa.

INTRODUCCIÓN
El propósito de enseñanza - aprendizaje en este estudio es dar una propuesta de
intervención pedagógica mediante actividades de aprendizajes guiados, que
promuevan y contribuyan una buena comprensión de la conversión de la función
cuadrática: la parábola, de la forma algebraica a la forma gráfica y viceversa,
utilizando la metodología de la investigación del estudio del caso.
La propuesta se desarrolló en dos partes: la primera consistió en descubrir cuáles
son los conocimientos previos de los alumnos y la segunda en la aplicación de la
estrategia didáctica del aprendizaje guiado mediante actividades en el salón de
clases.
La primera parte de este estudio documenta el tipo de conocimientos que tiene el
grupo con el que se trabajó para poder resolver problemas de cambio de
representación de la forma algebraica a la gráfica y viceversa.
Una pregunta que dio pie a la investigación fue: ¿Qué tan importante es el papel
que juegan los conocimientos previos de los alumnos en el tema de la función
cuadrática? Fue relevante considerar los contenidos del tema para responder a ésta
y a preguntas como: ¿Es conveniente visualizar desde el inicio los conocimientos
sobre la ecuación cuadrática?, ¿cómo se representan las raíces de una ecuación
cuadrática?, ¿cuál es la diferencia entre una ecuación cuadrática y una función
cuadrática?, ¿qué forma tiene una función cuadrática?, ¿cuáles son los elementos
básicos que se pueden identificar en una representación gráfica de una función
cuadrática (vértice, concavidad, punto máximo, dominio, etc.)?.
Todo esto fue importante para visualizar como llegan los alumnos al curso y el
punto de partida para aplicar la estrategia de aprendizaje guiado.
Se elaboró un cuestionario con preguntas como éstas para explorar los
conocimientos previos de los alumnos.
Este cuestionario fue aplicado a 38 de 41 alumnos inscritos al curso sabatino de
Matemáticas II, en el CCH Azcapotzalco, del turno matutino. Los resultados fueron
analizados globalmente y después en términos del tipo de pregunta conceptual y de
procedimiento.
4

La segunda parte consistió en la aplicación de la estrategia de aprendizaje guiado
para que los alumnos puedan pasar de una forma de representación algebraica a la
forma gráfica y viceversa. En esta estrategia se les fue dosificando la información a
los alumnos para que pudieran asimilar de mejor manera los conceptos relevantes
de la función cuadrática.
Todos nos vemos obligados a pensar en conceptos que nos son familiares y no
podemos utilizar los que no lo son.
“¿Por qué aprenden tan poco los estudiantes? ¿Por qué parecen
tan ineficaces las escuelas a la hora de ayudar a la gente a aprender?
dice Novak (1982. p 11)… el factor más importante para mejorar la
educación es la aplicación de los conocimientos cada vez mayores
que poseemos sobre el modo en que la gente aprende”…
O como dice Ausubel en su libro de Psicología educativa (Un punto de vista
cognoscitivo):
“ Si tuviese que reducir toda la psicología educativa a un solo
principio, enunciaría este: el factor más importante que
influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe.
Averígüese ésto y enséñese consecuentemente”.
(Ausubel et al. 1991. p 4)
Al finalizar la estrategia didáctica, se les aplicó un examen cuyas respuestas, se
analizaron globalmente y después, de acuerdo a las respuestas se encontró que:
los alumnos deben tener un cierto tipo de competencia desarrollado para poder
tratar los conceptos y recursos básicos adecuadamente para el trazo de gráficas,
sin embargo:
1) Los alumnos mostraron inconsistencias en los conceptos y recursos básicos
para pasar de la forma gráfica a la forma algebraica de inicio, después se acoplaron.
2) Los alumnos mostraron dificultades en la comprensión de conceptos básicos
en los procedimientos y serias dificultades en las manipulaciones algebraicas.

El contenido de la función cuadrática, es un tema importante dentro del curriculum
en el nivel medio superior, y que el alumno debe haber adquirido, esto es, debe
haber desarrollado una notación y tener conocimiento de las operaciones básicas
que le ayuden a transformar las expresiones algebraicas. Debe establecer
relaciones entre los conceptos, las formas de explorarlas y de representarlas. El
reconocimiento de expresiones, fenómenos y que pueda modelarlos a través de una
función cuadrática. Que pueda buscar conexiones en la solución de problemas con
su entorno.
En este producto se presenta cómo dos sistemas simbólicos, el cambio de
representación de un función algebraica a la representación gráfica se articulan
para construir y definir el concepto de función. Parafraseando a Leinhardt (1990),
los alumnos emplean las funciones y las gráficas como sistemas simbólicos para
entender unas y desarrollar las otras.

La propuesta se desarrolló en un grupo de Matemáticas II del segundo semestre,
PAE sabatino matutino en el CCH de la UNAM.
Este documento se dividió en 5 capítulos y 5 Anexos. En el capítulo I, se trata la
Problemática del Bachillerato en México. Se presenta el problema de investigación,
las preguntas de investigación y la justificación del problema, se mencionan
algunos trabajos de investigación como antecedente que se relacionan con la
función cuadrática: la parábola y logros obtenidos.
El capítulo II, Función Cuadrática: aprendizaje de la parábola, concepto y
bosquejo histórico, se desarrolla el concepto de función cuadrática: la parábola y su
aprendizaje y un bosquejo histórico.
En el capítulo III, Metodología de la Investigación. Se desarrolla el diseño y los
procedimientos del estudio, el grupo que participó, las dificultades y concepciones
sobre algunas investigaciones de la función cuadrática
En el capítulo IV, Análisis de la secuencia didáctica. Se analizan los objetivos, la
justificación y descripción de las actividades didácticas, así como la descripción de
la secuencia didáctica de la investigación.
En el capítulo V, Análisis de los resultados. Se analizan los resultados del
aprendizaje, los conocimientos desarrollados por los alumnos durante las
6

actividades del aprendizaje guiado. Y se presentan las conclusiones más
importantes de la investigación.
En la última parte del trabajo se encuentra un Glosario, los Anexos y las
Referencias Bibliográficas.
En el Anexo 1, se encuentran ejemplos del Examen de Conocimientos Previos,
contestadospor algunos alumnos. En el Anexo 2, se presentan respuestas de
“Cómo me fue en Matemáticas”. En el Anexo 3, se presentan algunos ejemplos de
tarea extra-clase. En el Anexo 4, se encuentran algunos ejemplos contestados del
examen función cuadrática. Por último en el Anexo 5, se encuentra el índice de
tablas, gráficas y figuras.

Con esta propuesta se intenta contribuir a encontrar estrategias que mejoren la
comprensión en la conversión del cambio de representación de la función cuadrática
de su forma algebraica a la gráfica y viceversa, tomando en cuenta el aprendizaje
guiado, contribuyendo a solucionar las dificultades de los alumnos del bachillerato
y de esta manera mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje en la asignatura
de Matemáticas II.

CAPÍTULO 1
PROBLEMÁTICA DEL BACHILLERATO EN MÉXICO
La idea de la enseñanza y el aprendizaje del concepto de función nacen del
interés de apoyar a los alumnos en la comprensión y manipulación de este concepto
y que lo aprendan de una mejor manera, en el primer año de bachillerato, ya que
cuando llegan a semestres posteriores les resulta difícil poder operar el concepto y
manipular las funciones que se desarrollan en los cursos de matemáticas. Previendo
este punto, vale la pena poner énfasis en cómo brindarles con anticipación un mejor
aprovechamiento matemático de su curso de Matemáticas II, en especial, en el
tema de la función cuadrática (la parábola).
El tema le servirá al alumno para que desarrolle su capacidad de análisis y lo
aplique dando sentido a su aprendizaje.
Al investigar algunos antecedentes al respecto de función cuadrática se encontró
el trabajo de tesis de Agüero, en el cual documenta el tipo de conocimientos que los
profesores del nivel medio superior tienen de la función cuadrática, (Agüero, 2003,
p.vi). En su estudio concluye que los profesores deben comprometerse en procesos
y actividades que los ayuden a comprender e incorporar los cambios sugeridos por
las reformas del curriculum matemático, y a que reexaminen su propio
conocimiento.
En el trabajo de tesis de Totolhua (2012, p. III), se desarrolla la idea de
experiencias de enseñanza y aprendizaje contextualizadas de las funciones
cuadráticas a partir de problemas clásicos de máximos y mínimos. Los resultados
que obtuvo mostraron que los alumnos avanzaron en la idea de la covariación de
magnitudes en contexto, utilizaron la computadora como herramienta de
aprendizaje pero tuvieron dificultad en la asociación de variables en la relación
funcional debido a la falta de manejo adecuado en las expresiones algebraicas.

Estos antecedentes son interesantes e importantes para el presente trabajo pues
marcan una pauta que confirma el interés por dar un apoyo a los alumnos para una
mejor comprensión y manipulación del tema función cuadrática.

Las representaciones algebraicas y gráficas son dos sistemas simbólicos
diferentes que se articulan para construir y definir el concepto de función, ésta
característica conduce al estudio específico de la función cuadrática para promover
su aprendizaje en los estudiantes en el cambio de representación, tanto de la
algebraica a la gráfica como de la gráfica a la algebraica. En la práctica la mayoría
de los profesores solo trabajan con la expresión algebraica para obtener la gráfica
de la función, dejando de lado las demás formas de representación. Si el docente
se preocupara por explorar concepciones, carencias y dificultades que tienen sus
estudiantes se podría disminuir la problemática que presenta en el estudio de la
función y en especial de la función cuadrática.

El concepto de función es primordial, tiene una parte comunicativa, de
construcción y de organización de ideas matemáticas al interrelacionarse con las
gráficas, estos dos sistemas simbólicos se utilizan también para aportarse nociones
y conceptos entre ellos.

Esta característica demanda en el estudiante de Bachillerato la adquisición de
nuevas nociones y conceptos de unicidad notacional y correspondencia simbólica
de la función cuadrática para posteriormente aplicar estos aprendizajes en la
Geometría Analítica y en el Cálculo y que perciba las conexiones entre las distintas
ramas de la matemática, en particular las Geometrías, la Trigonometría, el Álgebra
y la Aritmética. Los conocimientos surgen de las necesidades en la solución de
problemas y la sistematización, tanto en las representaciones como en los
conceptos, de los procedimientos de solución que realicen los alumnos de acuerdo
a sus posibilidades.

Así el concepto de función sirve como un puente entre el razonamiento de lo
concreto a lo abstracto y el razonamiento entre las abstracciones.

Como dice Leinhardt:
“Las matemáticas sin embargo, también consisten de abstracciones
y formalismos, los cuales en algún punto llegan a ser la base a
partir de lo cual uno razona más bien para lo que uno razona… Si
los estudiantes no pueden razonar a partir del conocimiento
matemático previo, las matemáticas serían inconmensurablemente
más difíciles. El hecho de que a veces lo hagan inapropiadamente,
hace la enseñanza más compleja”. (Leinhardt, 1990. p. 2)

Se reitera la importancia de ayudar al estudiante en su aprendizaje de la función
cuadrática que no logró en su curso normal con la idea puntual de la gráfica, en su
lugar se aplica la idea global de la graficación como lo mencionan Leinhardt y Duval.
El concepto de función es muy importante para la ciencia pues permite modelar
una infinidad de fenómenos, en la física, en lo social, en lo económico, en lo
administrativo, en la estadística, etc., en general, para todo el conocimiento y en
todas las carreras. Einsenberg (1992) señala que ese concepto debería ser un
objetivo esencial en el curriculum de la educación media superior.
¿Qué es lo que se espera que los alumnos aprendan de la función cuadrática: la
parábola?
El segundo semestre de matemáticas del CCH se inicia con el estudio de la
función cuadrática, lo que permite, por un lado avanzar en el concepto de función al
introducir ahora un nuevo tipo de variación que conlleva conceptos como
concavidad, simetría, etc., que adquieren significados en la resolución de
ecuaciones. Programa de estudios de matemáticas del Colegio de Ciencias y
Humanidades 2011, pp 32 – 38).
Los propósitos del curso en la Unidad 1, en la que se estudia esta parte de la
función cuadrática, son el avance en la comprensión del concepto de función,
distinguir las diferencias y las similitudes entre las funciones lineales y cuadráticas
y modelar con estas últimas algunas situaciones de variación cuadrática.
¿Qué tipo de aprendizaje es el que se quiere para los alumnos?
10

El Programa de estudios del Colegio de Ciencias y Humanidades [CCH] indica
que tipos de aprendizajes se esperan:
1) El alumno explora en una situación o problema que dé lugar a una función
cuadrática, valores, condiciones, relaciones y comportamientos a través de
tablas.
2) Obtiene el modelo de la función cuadrática de una situación dada.
3) Relaciona el número de intersecciones de la curva de una función cuadrática
con el eje x, con la naturaleza de las raíces. En particular identificará su
ausencia con la existencia de las raíces complejas.
4) Transita por los diferentes tipos de registro de la función cuadrática: tabular,
algebraico y gráfico.
5) Encuentra el significado del papel que juegan los parámetros en el
comportamiento de una gráfica.
6) En el modelo 𝑦 = 𝑎𝑥2, analiza el impacto de la constante 𝑎 , y deducirá la
orientación de la parábola, según la constante𝑎 sea mayor o menor que
cero.
7) El modelo 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐 comprende el papel del parámetro 𝑐 , en la
translación de la gráfica 𝑦 = 𝑎𝑥2 hacia arriba o hacia abajo del eje X, según
se le asignan valores positivos o negativos a 𝑐 .
8) En el modelo 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2, interpreta el papel del parámetro h, como la
forma para desplazar la parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2 a la derecha o a la izquierda,
según sea el valor de h, positivo o negativo.
9) En el modelo 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 deduce que el impacto de los parámetros
ℎ y 𝑘 es el de trasladar y desplazar la parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2.
10) Integra a su lenguaje los términos como concavidad, vértice, máximo,
mínimo, traslación y simetría.
11) Expresa una función cuadrática escrita en la forma general 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥
+ 𝑐 a la forma estándar 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 y puede describirla a partir del
análisis de sus parámetros.
11

12) Otorga significado a las coordenadas del vértice en términos del valor
máximo o mínimo de la función.
13) Interpreta el comportamiento de la gráfica dentro del contexto de una
situación dada.

¿Qué importancia tiene que el alumno aprenda función cuadrática: la parábola?

En el estudio de la función cuadrática destacan aspectos importantes como la
formulación y discusión de preguntas que se relacionan con el reconocimiento de
expresiones y fenómenos que se representen con una función cuadrática, otro es
el planteamiento de relaciones y la búsqueda de formas, de explorarlas y
sustentarlas. Es primordial el uso de las representaciones como un medio para
entender y explorar las propiedades con los fenómenos que puedan ser modelados
con una función cuadrática.
Ver la utilidad de la función cuadrática en la misma área y en otras en donde se
pueda encontrar una conexión en la resolución de problemas. El estudio de la
función cuadrática sirve para poder relacionar diferentes recursos matemáticos
como: la correspondencia entre pares de números reales y puntos en el plano o
entre puntos y pares ordenados de números y su representación en el empleo del
sistema cartesiano.
¿Cómo identificamos a la función cuadrática?; ¿sus representaciones cómo son?,
el modelo físico, descripción verbal, tabular, gráfica y algebraica o modelo
matemático; los conceptos de área y perímetro, por ejemplo en los rectángulos: la
relación entre sus lados y sus áreas.
¿Por qué el aprendizaje de cambiar de forma de representación de la algebraica
a la gráfica y de la gráfica a la algebraica?
En el aprendizaje de las matemáticas, el lenguaje juega un papel importante, se
puede afirmar que la adquisición de un concepto va a depender en gran medida de
la capacidad de reconocer y de interpretar una representación, un concepto
raramente está aislado de otros, pues en muchos casos detrás de un concepto hay
otros; así, en el caso de función están: las variables, dependencia, transformación,
12

sucesión, etc. Se puede abordar el concepto de función desde cada uno de ellos, y
para ello se apreciarían distintas características de lo que se entiende por función.
Cuando consideramos una función bajo el concepto de variable, el papel del
dominio es poco relevante; se pone acento en la forma en que cambia la variable
dependiente. Si la apreciamos bajo la idea de transformación se puede ver la
relación entre el dominio y la imagen, sin ver como se produce un cambio.
Azcárate (1990, p. 61) menciona que estos enfoques, son llamados dominios
semánticos y Janvier (1983, p. 24) refiere que tienen gran importancia para el
aprendizaje, puesto que cada uno de ellos tiene unas características determinadas.

Partiendo de que la función es una expresión de una dependencia entre variables,
se puede decir que hay varias formas de representarlas:

1 Modelo físico

2 Descripción verbal

3 Tabla de valores

4 Gráfica

5 Modelo matemático o algebraico

El aprendizaje de las funciones pasa, en primer lugar, por un conocimiento de
cada uno de los lenguajes de representación, es decir por la adquisición de la
capacidad de leer e interpretar cada uno de ellos y posteriormente para traducir de
uno a otro. (Azcárate, 1990 p. 63)

Janvier (1978. p. s/r) muestra en la tabla la variedad de las posibles
traducciones.
13

Tabla 1. Variedad de posibles traducciones
Hacia

Desde

Descripción
verbal
Tabla Gráfica Fórmula
Descripción
verbal
- Medida Boceto Modelo
Tabla Lectura - Trazado Ajuste
Gráfica Interpretación Lectura - Ajuste
Fórmula Interpretación cómputo Gráfica -

Al respecto menciona que algunos procedimientos que aparecen en la tabla son
difíciles de abordar en el nivel introductorio, dado que hay que realizar un trabajo
previo sobre los modelos y un avance en el dominio de los mismos, en otros casos
como la lectura, la construcción de tablas y la lectura e interpretación de gráficas
son abordables y permiten una introducción al concepto de función a partir de la
realidad, que van a servir como soporte para la elaboración del concepto.
En cada forma de representación se puede representar un fenómeno de cambio,
es decir una relación entre variables. Para el presente trabajo se deja de lado el
modelo físico por ser el menos simbólico y la descripción verbal; no quiere decir que
estos no sean importantes sino que sólo se trabajó con la tabla de valores, la gráfica
y la expresión algebraica que son los que interesan.
La tabla de valores o tabulación nos da una forma cuantitativa, desde el punto de
vista de una correspondencia de pares de valores.
La gráfica nos da una visión general, global y completa de la función de forma
cualitativa y cuantitativa de manera aproximada y una mejor posibilidad de
caracterizar el modelo matemático o algebraico, sus características globales de la
función como variaciones, continuidad, los períodos constantes, crecimiento,
concavidad, máximos, mínimos.

A partir del modelo matemático o algebraico se pueden obtener las características
globales de manera exacta, las variaciones, continuidad, períodos constantes,
concavidad, máximos, mínimos y para ello es necesario conocer el significado de
los símbolos utilizados así como la interpretación a través de los conceptos
abstractos, cosa que en la gráfica se puede intuir de manera sencilla. Las variables
se pueden calcular con precisión, siempre que se conozca el algoritmo de solución.

Duval en su libro de Semiosis y Pensamiento Humano (1988c) pp. 29- 30) dice
lo siguiente:
“La conversión es la transformación de la representación de un objeto, de una
situación o de una información dada en un registro, en una representación
de este mismo objeto, esta misma situación o de la información en otro
registro. Las operaciones que habitualmente se han designado con los
términos “traducción”, “ilustración”, “transposición”, “interpretación”, “codificación”
, etc., son operaciones que se hacen corresponder una representación dada en
un registro con otra representación en otro registro.
La conversión es pues una transformación externa relativa al registro de la
representación de partida. La ilustración es la puesta de correspondencia de
una palabra, de una frase o un enunciado, con una figura o con uno de sus
elementos. El pasaje inverso, de una imagen a texto, puede ser una descripción
o una interpretación.
El planteamiento en ecuación de los datos del enunciado de un problema, es
la conversión de las diferentes expresiones lingüísticas de las relaciones en
otras expresiones de esas relaciones en el registro de una escritura simbólica.Este último ejemplo muestra que el contenido de la representación obtenida
puede cubrir solo muy parcialmente el de la representación de partida: la
puesta en correspondencia que permite la conversión frecuentemente se
efectúa al precio de una selección en el contenido de la representación de
partida y también al precio de una reorganización de los elementos.

…Podría esperarse que si hay conjunto de reglas tan bien explícitas para
los cambios de registro, tal problema no exista para las actividades cognitivas
de formación de las representaciones semióticas y de expansión de
las representaciones formadas. En realidad este no es el caso. Con frecuencia
no hay reglas. Basta con considerar el pasaje de enunciados en lengua
natural a expresiones correspondientes en lenguaje formal, o a una escritura
simbólica, así como el pasaje inverso. O también el pasaje de imágenes a
textos y de textos a imágenes. Incluso aun cuando las reglas de conversión
puedan estar bien definidas, las dificultades y las ambigüedades no
desaparecen por ello. Es el caso, por ejemplo, del pasaje entre la escritura
simbólica (Algebraica) de las relaciones y los gráficos cartesianos.

Ahora bien, numerosas observaciones en clase, el análisis de los resultados
de encuestas y evaluaciones, así como experiencias del aprendizaje,
muestran que la conversión de las representaciones semióticas constituyen la
actividad cognitiva menos espontánea y más difícil de adquirir para la gran
mayoría de los alumnos. No solo el cambio de registros ocasiona obstáculos
que son independientes de la complejidad del campo conceptual en el que
trabaja; también la ausencia de coordinación de los diferentes registros
produce con mucha frecuencia un hándicap para los aprendizajes
conceptuales. A la inversa, un aprendizaje específicamente centrado en el
cambio y en la coordinación de los diferentes registros de representación,
produce efectos espectaculares sobre las macro – tareas de producción y de
comprensión. Así, si pide una producción discursiva a los alumnos, se
obtienen textos radicalmente diferentes según que ellos hayan tenido la
ocasión o no de descubrir en otro registro la organización de lo que ellos
deben expresar: un trabajo previo en el registro de las gráficas proposicionales
da a los alumnos la posibilidad de una facilidad y de un dominio redacción de
los textos de demostración (Egret, 1989; Duval, 1991b). Igualmente, un cambio
explícito de textos” (Duval, 1986, 1990c, p. 31).

Es por ello que la conversión de la representación, es para el aprendizaje una
actividad fundamental, como las actividades de formación o de tratamiento. Sólo la
conversión puede favorecer la coordinación de los registros de las
representaciones.
¿Por qué nace esta idea de desarrollar el cambio de representación simbólica de
la forma algebraica a la gráfica? En los cursos de Matemáticas IV, los alumnos
tienen muchas dudas y no han aprendido a relacionar dos variables y además pasar
de la forma algebraica a la gráfica y viceversa, ya desde Matemáticas II. ¿Qué es lo
que ocurre? o ¿puede preverse en Matemáticas II?

Hammonds (1979) dice:
“1. Que se aprende por la propia actividad, es decir, por lo que el individuo
mismo realiza. Aprender no es un proceso de absorción o embebecimiento, así
como la enseñanza tampoco es un proceso de transmitir o impartir. Nadie puede
dar aprendizaje a los demás; puede dar un lápiz pero no aprendizaje. El maestro
puede orientar o influir en el proceso de aprendizaje tan solo influyendo en las
actividades del que aprende. La actividad es esencial para el aprendizaje, pero no
sea tal vez la adecuada… La actividad abarca todo lo que una persona realiza:
actos externos, pensamientos, sentimientos, percepción, imaginación,
comprensión, visión de relaciones, etc., es decir, no se limita a la actividad exterior”.

“2. El aprendizaje provoca modificaciones en la conducta. La mejor prueba
o evidencia de que se ha aprendido son los cambios en la conducta: cambios en la
ejecución, cambios en la respuesta a determinada situación. … Si alguien ha
aprendido a reconocer un cuadrado (figura plana), su conducta es diferente de lo
que era. Si una persona llega a experimentar cierto sentimiento hacia algo, su
actitud respecto a ello es diferente de lo que era. Las modificaciones en la conducta
no se limitan a cambios apropiados. También pueden darse cambios inconvenientes
y de la misma forma. Por ejemplo, se aprenden malos hábitos, se fijan los errores
que se practican y se adquieren actitudes inadecuadas” (p.139).

Características comunes de los subsistemas del Bachillerato en la
Enseñanza - aprendizaje de las Matemáticas
En el libro editado por la UNAM (2014): Consideraciones para la mejora de la
educación matemática en la UNAM; se presenta la inquietud de los universitarios
en su preocupación por los bajos resultados de sus estudiantes en el aprendizaje
de las matemáticas en todos los niveles, pero sobre todo en los que tienen bajo
desempeño y eso llama a la reflexión y plantearse qué se puede hacer para mejorar
la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la UNAM.

Enseñar y aprender matemáticas no es una tarea fácil. Dice el mencionado texto:
“Los resultados de aprendizaje de los alumnos son el reflejo de muchas variables
que intervienen a la vez, haciendo difícil concluir que es lo que hay que hacer para
mejorarlos. Sin embargo, estamos convencidos de que la mejora de la enseñanza
y del aprendizaje depende de todos los involucrados: profesores, investigadores,
técnicos académicos, funcionarios, alumnos, padres y sociedad.
Se sabe que la problemática en el bachillerato se caracteriza por bajo rendimiento,
carencia de hábitos de estudio, problemas de adaptación a la institución, altos
niveles de reprobación, deserción, malas relaciones entre maestros y alumnos”
(UNAM 2014. pp11-13).
También la enseñanza se ve agravada por: la dificultad de vinculación con las
demás materias, las deficiencias en los conocimientos previos, sobre todo en la
matemática misma, el manejo del español, etc., todo esto se ve traducido en que el
estudiante no tiene una buena motivación, saliendo a relucir su baja actitud y un
desempeño deficiente.

En esta propuesta se considera la Teoría de Ausubel porque tiene una orientación
cognoscitiva del aprendizaje verbal significativo y en el desarrollo cognoscitivo en el
aula. El aprendizaje, dice Ausubel, se da en el salón de clases y lo sitúa en dos
dimensiones independientes: la dimensión repetición aprendizaje significativo y la
dimensión recepción descubrimiento (tabla 2, p. 22).
18

Enmarca que el aprendizaje por recepción, es decir, la enseñanza explicativa
como por repetición, y todo aprendizaje puede ser significativo: 1) si el estudiante
tiene una actitud de aprendizaje significativo, es decir una disposición para
relacionar de manera significativa el nuevo material de aprendizaje con su estructura
existente de conocimiento, y 2) si la tarea de aprendizaje es potencialmente
significativa, es decir un material razonable o sensible y si puede relacionarse de
manera sustancial y no arbitraria con la estructura cognoscitiva del estudiante.
La función interactiva en las estructuras cognoscitivases importante en el proceso
del nuevo aprendizaje.
Además enfatiza que el factor que más influye en el aprendizaje, es lo que el alumno
ya sabe, averígüese esto y enséñese consecuentemente.
Los organizadores previos contribuyen a que el alumno reconozca que los
elementos de los materiales nuevos pueden aprenderse significativamente
relacionándolos con los aspectos pertinentes de la estructura cognoscitiva
existente, o dicho de otra forma se establece un puente entre lo que sabe y lo que
va a aprender.
La teoría de Ausubel hace hincapié en los conceptos (inclusores) como
componentes de la organización cognitiva y en su papel en la asimilación de nuevos
conocimientos.

El propósito de la investigación es documentar como el aprendizaje guiado como
estrategia puede ser útil de acuerdo con lo que nos dice Ausubel y Novak, aplicarlo
en el tema de la función cuadrática; identificando los conocimientos previos con
que cuenta el alumno, y analizar cómo interactúan los conocimientos básicos con la
estrategia y dar una relación de los conocimientos que poseen los alumnos.

Se aplicará un cuestionario a los alumnos del curso sabatino matutino del CCH
Azcapotzalco, de manera de explorar los conocimientos previos con que están
iniciando y partir de ahí para aplicar el aprendizaje guiado en la función cuadrática:
la parábola.

Al realizar el estudio se espera obtener respuesta de:
¿El aprendizaje por descubrimiento guiado es relevante en la enseñanza de la
función cuadrática: la parábola?
¿Con el aprendizaje guiado la conducta ante las matemáticas cambia
favorablemente?
¿Los cambios de registro ayudan al alumno en su comprensión de la información
que le puede proporcionar una gráfica?
¿Cómo se caracterizan las respuestas del alumno al aprender las formas de
representación de la algebraica a la gráfica y de la gráfica a la algebraica?

Fallas en la enseñanza de la función cuadrática: La Parábola

¿Qué es lo que motiva el estudio presente?
Primero centrar la atención en el estudiante y segundo en su proceso de
aprendizaje; esto conlleva un conocimiento de las estrategias de aprendizaje y de
los conocimientos previos del estudiante con la finalidad de diseñar las actividades
adecuadas para mejorar su desempeño, tal conocimiento se puede lograr a través
de la evaluación en el aula.

El profesor debe generar el interés por la materia de estudio, inspirar el empeño
por aprender, motivar a los alumnos y ayudarlos a inducir aspiraciones realistas de
logro educativo (Ausubel 1983. p 23). Averiguar qué es lo que están listos para
aprender, conducir la enseñanza a un ritmo apropiado y decidir la magnitud y el nivel
de dificultad propio de las tareas de aprendizaje. También se espera que se
presenten con claridad los materiales, que simplifiquen las tareas de aprendizaje en
su etapa inicial y que integren los aprendizajes actual y pasado.

Agüero, (2003) menciona a Santos (1993) refiriendo que los profesores de
matemáticas enseñan esta disciplina de acuerdo con ciertas ideas que ellos tienen
de las matemáticas y cómo estas deben ser aprendidas por los estudiantes (p135).
20

Otro aspecto importante a considerar y que coincide con lo que expresa Agüero es
la forma en que los profesores imparten la materia. Kaput (1999) señala que:
“las fallas para que se dé un aprendizaje con comprensión son a menudo, el
resultado de romper el vínculo con la experiencia significativa” (Kaput, 1999. p 135).
El alumno puede tener información incorrecta, de acuerdo a sus conocimientos y
creencias y eso es lo que posee. El aprovechamiento del aprendizaje de los
alumnos depende en gran medida del enfoque en que imparte la materia el profesor
y logre romper algunas de las concepciones y creencias de los alumnos con la
experiencia del aprendizaje guiado.

CAPÍTULO 2
FUNCIÓN CUADRÁTICA: APRENDIZAJE DE LA PARÁBOLA, CONCEPTO Y
BOSQUEJO HISTÓRICO
Algunos factores del aprendizaje
Los aprendizajes por recepción y por descubrimiento se hallan en un continuo
separado del aprendizaje por repetición y el aprendizaje significativo.

Todo aprendizaje en el salón de clases puede ser situado a lo largo de dos
dimensiones independientes: repetición, aprendizaje significativo y la dimensión
recepción descubrimiento. En el pasado se generó mucha confusión al considerar
axiomáticamente a todo aprendizaje por recepción es decir basado en la
enseñanza explicativa como repetición, y a todo aprendizaje por descubrimiento
como significativo.

En realidad los tipos de aprendizaje pueden ser significativos, primero, si el
estudiante emplea una actitud de aprendizaje significativo es decir una disposición
para relacionar de manera significativa el nuevo material de aprendizaje con su
estructura existente de conocimiento, y segundo, si la tarea de aprendizaje es en
sí potencialmente significativa, es decir, si consiste en sí de un material razonable
o sensible y si puede relacionarse de manera sustancial y no arbitraria con la
estructura cognoscitiva del estudiante particular.

En el aprendizaje por recepción, el contenido principal de la tarea de aprendizaje
simplemente se le presenta al alumno; él únicamente necesita relacionarlo activa y
significativamente con los aspectos relevantes de su estructura cognoscitiva y
retenerlo para el recuerdo o reconocimiento posteriores, o como una base para para
el aprendizaje del nuevo material relacionado. Ausubel (1977, p.17).
22

Tabla 2. Los aprendizajes por repetición y por recepción.

Aprendizaje
significativo

Clarificación de las
relaciones entre
los conceptos

Enseñanza audio
tutelar bien
diseñada

Investigación
científica(música o
arquitectura
nuevas)

Conferencias o
presentaciones de
la mayor parte de
los libros de texto

Trabajo escolar en
el laboratorio

Investigación más
rutinaria o
producción
intelectual

Aprendizaje
Por
repetición

Tablas de
multiplicar

Aplicación de
fórmulas

Soluciones o
rompecabezas por
ensayo y error

Aprendizaje por
recepción

Aprendizaje por
descubrimiento
guiado

Aprendizaje por
descubrimiento
autónomo
23

Definición de función
¿Qué es una función?
Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera
queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera
es función de la segunda. (Granville, 1974. p 12-13)
Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta
naturaleza, y en la experiencia de la vida diaria nos encontramos constantemente
con situaciones en las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras.
La segunda variable, a la cual se puede asignar valores a voluntad dentro de los
límites que dependen del problema particular, se le llama variable independiente o
argumento. La primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor
a la variable independiente, se llama variable dependiente o la función.
Frecuentemente, cuando se consideran dos variables ligadas entre sí, queda a
nuestro arbitrio el elegir una de ellas como variable independiente; pero una vez
hecha esta elección, no es permitido cambiar de variable independiente sin tomar
ciertas precauciones y hacer las transformaciones pertinentes. El área de un
cuadrado, por ejemplo, es una función de la longitud del lado, y, recíprocamente, la
longitud del lado es una función del área.
Notación de función
El símbolo 𝑓(𝑥) se emplea para designar una función de x. Con objeto de distinguir
entre diferentes funciones se cambia la letra inicial, como F(x), ø(x), 𝑓′(𝑥), etc.
(Granville,1974. p 13).
Función polinomial
Es una función de variable real la función polinomial.
P = ∑ 𝑎𝑘𝑛𝑘=0 𝑥𝑘 ; n, k ∈ N; 𝑎𝑘, constantes
Un ejemplo sería la función cuadrática: 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 𝑓(𝑥).
24

Estas funciones implican efectuar solamente un número finito de operaciones de
adición y multiplicación con la variable y las constantes que la forman. Un ejemplo
es: 𝑥2 - 3 𝑥 + 6. (Mendoza 1990. p 32).
Los fenómenos más elementales pueden describirse con las funciones
algebraicas.
𝑦 = 2 𝑥

Bosquejo histórico de la función
Idea matemática: El Concepto de Función
En la educación el estudio del concepto de función ha mostrado diferentes
obstáculos para su comprensión. Los estudiosos de la educación matemática han
realizado investigaciones sobre la evolución del concepto de función, con la
esperanza de encontrar las causas de esa dificultad.
Las ideas intuitivas de funciones datan de la época de los babilonios, según los
registros de tablillas de barro que se han encontrado como testimonio, sobre su
conocimiento matemático. En ellas se pudieron encontrar las primeras ideas
fundamentales del concepto de función: la relación, por ejemplo en el
establecimiento de una correspondencia entre números y sus cuadrados, números
y sus raíces cuadradas.
Posteriormente esas mismas ideas intuitivas fueron el resultado de estudio de
matemáticos posteriores.
Gottfried Wilheim von Leibniz (1646 – 1716) fue el primero en introducir el término
de función para la descripción de ciertas cantidades asociadas con las curvas. Este
concepto evolucionó y proporcionó al cálculo un marco analítico poderoso. (Rumbos
Pellicer, 2011, p 95)
El Primero en proporcionar una definición explícita de función fue Johann Bernoulli
(1667- 1748), la cual es:
25

Se llama función de una variable a una cantidad compuesta, de la manera que
sea, por esta variable y por constantes.
Leonhard Euler (1707 – 1783) fue uno de los matemáticos que realizó una gran
aportación a la matemática en general y al concepto de función también.
Gran parte de la notación matemática moderna se debe a Euler, incluyendo la
notación 𝑓(𝑥) para representar a las funciones o expresiones algebraicas que
contienen a la variable 𝑥.
En uno de sus escritos (Análisis Infinitorum, 1748) complementa la idea de
Bernoulli. Euler afirma:
a) Una cantidad constante es una cantidad determinada que conserva siempre el
mismo valor.
b) Una cantidad variable es una cantidad indeterminada, o si se quiere, una cantidad
universal que comprende todos los valores determinados.
c) Una cantidad variable se determina cuando se le atribuye un valor específico
cualquiera.
d) Una función de cantidad variable es una expresión analítica compuesta, de
cualquier manera en que se de esa composición, de esta misma cantidad y de
números, o de cantidades constantes.
e) Entonces, una función de variable es también una cantidad variable.
Euler cambió la palabra cantidad de la definición de Bernoulli a la de expresión
analítica.
Los ejemplos de funciones que proporcionó Euler: 𝑎 + 3𝑧 𝑥, a 𝑧 – 4 𝑧𝑧, a 𝑧,
actualmente forman parte de nuestro repertorio de funciones. De hecho las
expresiones son funciones de la variable z, cuyo dominio de definición es todos los
números reales.
26

Si se analizan los ejemplos que Euler proporcionó de expresiones bajo la forma
aparente de funciones de variables, que son realmente cantidades constantes, se
observa que para Euler su noción de función está basada en la idea de variación.

En uno de sus escritos de 1734 Euler usó paréntesis para denotar una función: Si
f (𝑥 / 𝑎 + 𝑐) denota una función…

En 1797 Lagrange propuso la notación:
Para denotar una función en una variable 𝑥, nosotros primero ponemos la letra o
carácter 𝑓, … Entonces, 𝑓(𝑥) designa una función de 𝑥 , f (𝑥2), f (𝑎 + 𝑏𝑥), etc.
Ellas designan funciones 𝑥2, 𝑎 + 𝑏𝑥 , etcétera.

En la actualidad, 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥, por ejemplo, se dice que f es función en términos
de la variable independiente 𝑥, con 𝑎 y 𝑏 como constantes.

Otro aspecto importante relativo a la otra forma de representar una función es su
gráfica. En siglos anteriores era difícil incluir dibujos en los libros debido a problemas
de impresión. Hubo libros que incluían las gráficas al final, pero como posibilidad
eso afecto la presentación de la matemática.

René Descartes (1596 – 1650) en su trabajo Geometría estableció los sistemas
coordenados, que ahora conocemos como geometría analítica, de ahí en adelante
se adoptó la representación gráfica de una función como una curva en el plano
coordenado.
27

Posteriormente Serret, mejoró la definición de Euler en 1894, en su libro Análisis
como sigue:
“En toda cuestión donde se tengan que considerar varias variables, se
pueden atribuir a algunas de ellas valores arbitrarios; entonces las otras
variables toman valores determinados. Las primeras son llamadas
variables independientes, las otras son nombradas variables
dependientes o funciones de las variables independientes”
El concepto de variación lo mantiene, y aclara el papel que desempeña la variable
al introducir el concepto de función en términos de variable independiente y variable
dependiente. Un aspecto que trasciende para el logro de una definición de función
más acorde con las necesidades de las argumentaciones matemáticas lo constituyó
el uso de asignación arbitraria. “… se puede atribuir a algunas de ellas valores
arbitrarios…”
La nueva definición, con la cual se daba un gran paso en el desarrollo de la
matemática, se desprendía de una idea intuitiva a la que debía su surgimiento.
La noción de conjunto se respira desde finales del siglo XIX e inicios del siglo XX.
Así en 1939 un grupo de matemáticos llamado grupo Bourbaki, se dio a la tarea de
realizar una revisión y sistematización de la matemática, publicando una serie de
libros con el enfoque de conjuntos. Su impacto en la enseñanza fue tan grande que
desaparecieron las ideas intuitivas como la de variación. Definiendo a la función
como:

Una función F es un conjunto de pares ordenados de números
F = { (𝑥1,𝑦1), (𝑥2,,𝑦2) … } , con la propiedad de que si (𝑥𝑘, 𝑦𝑘) E F, si
(𝑥𝑝, 𝑦𝑝) E F y si 𝑥𝑘 = 𝑦𝑝, entonces: 𝑥𝑘 = 𝑦𝑝.

La notación de los conjuntos imprimió mayor formalidad a la definición de función
y además imprimió un acercamiento estático sobre la idea intuitiva de variación. Así
se logró que con esta definición vino a ser natural el planteamiento de función,
ejemplo:
F (𝑥)
1 + +
0 + +
1 2 3 4
𝑥
Gráfica 1. Pares ordenados de números

Sea f N {0, 1}, tal que

0 si 𝑥 es par
𝐹(𝑥) =
1 si 𝑥 es impar

Con lo anterior se ha visualizado la evolución del concepto de función, en donde
se muestra rápidamente el proceso de cambio de su definición.
Podría parecer que conforme se avanza en la precisión de nociones
matemáticas, se promueve la comprensión de las mismas. Sin embargo, esto no
ha sido así, pues esa formalización y ese uso de notación eficiente desprovistos
de la base intuitiva que dieron origen a los conceptos matemáticos resulta en
dificultadespara aprenderlos. Tal es el caso de función.

Esto menciona Hitt (2002, p 74) en su libro Funciones en contexto.
En los años sesenta la reforma de las matemáticas promovió la presentación de
la disciplina de manera más formal, en los que la teoría de conjuntos prevalecía. Se
les enseñó a los alumnos definiciones como la mencionada anteriormente.
Surgieron problemas de aprendizaje nuevamente; y en un intento por conciliar la
formalidad y enseñanza, se presentó a los alumnos una definición de función
haciendo énfasis en la correspondencia:
“Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es una regla que asocia
a cada a cada elemento 𝑥 de X un único elemento 𝑦 de Y. El elemento 𝑦
se llama la imagen de 𝑥 bajo f y se denota por 𝑓(𝑥) . El conjunto X se
llama dominio de la función. El rango de la función consta de
todas las imágenes de los elementos de X.”
En ese mismo período, algunos autores de los libros de texto prefirieron
desarrollar en los estudiantes una idea intuitiva que les fuera fácil de recordar, en
lugar de alguna de las anteriores.
Surge entonces la idea de que la función es una caja negra, o como una máquina
que recibe una entrada y produce una salida.
Se muestra en seguida las definiciones más comunes en los libros de texto
durante el siglo XX:
 Función en términos de variable: una función es una variable relacionada con
otra variable tal que a cada valor de la última le corresponde únicamente un
valor de la primera.
 Función en términos de conjuntos de parejas ordenadas: una función es un
conjunto de pares ordenados, uno de los cuales tiene la misma primera
componente.

 Función en términos de regla de correspondencia: una función f de un conjunto
A, a un conjunto B, es una regla de correspondencia que asigna a cada x de
cierto subconjunto D de A, un elemento determinado de manera única f(x) de
B.
 Funciones en ambiente Logo: una función es un procedimiento P que tiene la
propiedad de que cualquiera de dos apelaciones a P con las mismas entradas
producen las mismas salidas.

El fracaso de la reforma de la matemática de 1960 – 1975, provocado por la
presentación de una matemática muy formal y con la influencia de la teoría de
conjuntos, originó una reorganización de la enseñanza matemática. Surge entonces
una corriente que enfatizaba aspectos de la vida real con la enseñanza de
conceptos y aplicaciones. Se presentó otro desequilibrio en el aprendizaje de la
matemática, derivado de una presentación formal como la anterior pero con un
ligero toque de realidad.

Todos estos ensayos han provisto información sobre los fenómenos ligados al
aprendizaje y han propiciado el mejoramiento de propuestas de enseñanza.

La experimentación en educación matemática, específicamente sobre el concepto
de función, ha demostrado que las definiciones utilizadas en el siglo XX no son
equivalentes en cuanto al aprendizaje de dicho concepto. Los estudios
desarrollados sobre la comprensión de funciones muestran que para la enseñanza
media la definición más apropiada es la que se refiere a la variable.
Para usar la definición en términos de regla de correspondencia entre conjuntos
se puede posponer hasta la universidad.

Y la definición conjuntista, como la que se presentó del grupo Bourbaki, se puede
enseñar en una carrera de matemáticas.

En el libro de Fernando Hitt (2002, p.75) sugiere que para adquirir el concepto
de función se desarrolle la idea intuitiva de variación. Por lo tanto los estudios
realizados sobre las dificultades en la adquisición del concepto de función, en
términos de variable independiente y dependiente resulta ser lo más atinado para
el nivel medio superior.

Una función relaciona una variable independiente con otra dependiente, de tal
forma que a cada valor de la primera le corresponde un y solo un valor de la
segunda.

En general, en cursos de enseñanza media superior y superior se estudian las
funciones de variable real. Por lo tanto se introduce una idea intuitiva del concepto
de función restringiéndose al caso real. De esta manera, la variable independiente
tomará valores en los reales R, o en un subconjunto de R. Al conjunto donde toma
valores la variable independiente lo llamaremos dominio de la función. Al conjunto
de llegada donde la función deposita los valores, lo llamaremos contradominio de la
función.
Por convención, la gráfica de una función es una curva dibujada con respecto a
un sistema coordenado. Este tipo de representación es importante porque resume
el comportamiento de la variable dependiente según la variación de la
independiente.
Con esta representación gráfica se pude verificar visualmente si la curva es la
representación de una función; y si es así, ver si es creciente o decreciente, si tiene
puntos máximos o mínimos, etc.
32

Se puede decir que la idea de variación es primordial y en la solución de
problemas el alumno genera ideas intuitivas que le ayudan a desarrollar el
concepto de función.

El trazo de la gráfica
En los libros de texto, el trazo de la gráfica en relación con las funciones es un
tema extra y de carácter opcional en la mayoría de los ciclos básicos. Stein y
Baxter (1989) hacen referencia a ello:
“La mayoría de los textos tienen un acercamiento a la graficación como
un despliegue de información, usualmente en forma de gráficos de
barras, pictogramas, gráficas circulares o gráficos de líneas” (p. 3).
El National Council of Teachers of Mathematics ha hecho un llamamiento para
que se introduzca el desarrollo de funciones en la escuela elemental (1989).
Una característica importante en el estudio de las funciones y las gráficas es que
las representaciones algebraica y gráfica son dos sistemas simbólicos que se
articulan de tal manera que ayudan a construir y definir el concepto matemático de
función.
La mayoría de las acciones que se relacionan con las tareas de trazo de graficas
de las funciones pueden apreciarse en dos categorías: la de interpretación y
construcción. La mayoría de los estudios que existen tratan de las tareas de
interpretación como lo menciona Leinhardt et al en Funciones, Gráficas y
Graficación en donde refiere a Barr, 1980; Bell y Janvier, 1981, Bestgen, 1980;
Clement, 1989; Dreyfus y Einsenberg, 1982; Janvier, 1981a; Karplus, 1979;
Kerslake, 1981; Krabbendam, 1982; Mackenzie y Padilla, 1986; Monk, 1987;
Preerce, 1983a; Vinner 1983. Solo unos pocos enfocan las tareas de construcción.
(Leinhardt et al., 1990, p. 10)
33

La interpretación y construcción de gráficas se pueden apreciar desde una
dimensión local a global y desde una dimensión cuantitativa a una cualitativa. Las
tareas de interpretación tienden a que los gráficos representen situaciones.
Cuando el alumno obtiene el sentido o significado de una gráfica o de una parte de
la gráfica, hace una interpretación y esta a su vez puede ser local o global, para el
caso del estudio es global. Si es local la interpretación es punto a punto, o lectura
de puntos y si es una interpretación global el alumno hará lectura de intervalos o
lectura de toda la gráfica.
La interpretación que se le da de una forma de representación a otra es, de
acuerdo a Janvier (1987 d) y Kaput (1987 c), un tipo de traducción. Si la gráfica
describe una situación específica interpretarla involucra un cambio de la
representación gráfica a la situación misma.
Hay muchas características globales que se pueden interpretar. Por ejemplo la
forma global de la gráfica, los intervalos de extremo aumento o disminución, y los
intervalos de aumento o disminución. Es conveniente poner atención a las
característicasglobales de una gráfica ya sea que represente una situación
específica o que represente una relación funcional abstracta. La comprensión global
de una gráfica es valiosa para la matemática avanzada como para la comprensión
de total de las situaciones representadas por las gráficas. El tratamiento de estas
características es soslayado en los primeros años del currículum. Autores como Bell
y Janvier (1981); Janvier, (1980); Kerslake, (1981); Monk, 1987; Preece, 1983 a;
arguyeron que existe un énfasis no proporcional en las tareas que involucran las
interpretaciones locales. Esto es, se sobreenfatiza las interpretaciones punto a
punto y estas puede dar como resultado el concepto de una gráfica como una
colección de puntos, más que como un objeto o una entidad conceptual ( Schoenfeld
et al., en prensa; Stein, Baxter y Leinhardt, en prensa; Yerushalmy, 1988).
Una dimensión que también es importante es su interpretación a partir de una
interpretación cuantitativa a una cualitativa.

Una interpretación que requiere mirar toda la gráfica o parte de ella y darse cuenta
del significado de la relación entre las dos variables, y en particular su
representación algebraica es la interpretación cualitativa. La interpretación
cualitativa se asocia frecuentemente con características globales.

La construcción de una gráfica se refiere al acto de generar una gráfica o trazar
puntos a partir de datos, o a partir de la función, dada su regla de correspondencia
o de la tabla de datos; o construir una función algebraica para una gráfica. La
construcción de la gráfica involucra el nombrar los ejes, la escala, las unidades, y el
trazo de la gráfica. Este proceso debe ser cuidadoso de forma numérica y
algebraica, para producir la gráfica.

Leinhardt menciona en su artículo que las tareas de construcción no aparecen
frecuentemente como las tareas de interpretación. Y los estudios que contienen
tareas de construcción referencia a Bell y Janvier (1981), Brasell y Rowe, (1989),
Clement (1989), Dreyfus y Eisenberg (1983), Herscovics (1982), Janvier, (198 b),
Kerslake, (1981), Krabbendam, (1982), Lovell (1971), Markovits, Eylon y
Bruckheimer (1983, 1986), Schoenfeld et al. (en prensa), Wavering (1985) y
Yerushalmy (1988). De éstos solo unos pocos enfocan únicamente a la construcción
Krabbendam, 1982; Wavering, 1985.

La construcción es diferente a la interpretación. En la interpretación esta requiere
y depende de la reacción ante los datos de una gráfica, de una ecuación o el
conjunto de datos; la construcción requiere generar datos nuevos que no se dan. La
interpretación como la construcción puede ser local, graficar los puntos Kerslake
(1981) y Wavering (1985) o puede ser global, como completar una gráfica dados un
cierto número de sus puntos, Karplus (1979) y Markovits et al. (1986). La
construcción puede ser cuantitativa o también cualitativa.

CAPÍTULO 3
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
En este capítulo se realiza la descripción de la metodología utilizada en la
investigación el diseño de los instrumentos y los procedimientos que se dieron en
el desarrollo de la misma, el grupo que participó y los instrumentos que se utilizaron
para recabar la información.
En el diseño de enseñanza aprendizaje se utiliza el aprendizaje guiado propuesto
por Ausubel y Novak, para la dinámica de la clase para cambiar de un registro a otro
en este caso de la representación algebraica a la gráfica y de la gráfica a la
algebraica.
Ni las funciones ni las gráficas pueden ser tratadas como conceptos aislados. Son
sistemas comunicativos por un lado y por otro una construcción y organización de
ideas matemáticas, Leinhardt (1990, p. 2).

Naturaleza de la investigación
Es una investigación de tipo cualitativo, es decir, es necesario conocer las
competencias matemáticas de los alumnos en el dominio de temas que involucran
la función cuadrática.

Participantes en la investigación
En la investigación participaron 38 alumnos del grupo EM41 sabatino del turno
matutino del CCH Azcapotzalco de un total de 41 en lista.

Tabla 3. Relación de alumnos participantes
Nombre

Semestre
Oscar 5°
Miranda 5°
Andrea 5°
Valeria 5°
Giddalthy 3°
Arnulfo 5°
Sthefany 5°
Erik 5°
José 5°
Blas 5°
Mauricio 5°
Elizabeth 5°
Alejandra 5°
Daniela 3°
Celia 5°
Alan 5°
Bryan 5°
Nohemí 5°
Jorge 3°
Andrea 3°
Samaria 5°
Oscar 5°
Miguel Ángel 5°
Rosa María 3°
Ana 3°
Mauricio 5°
Earvin 5°
37

Esbeidy 5°
Adán 5°
Gemma 3°
Berenice 3°
America 3°
José 5°
Isaac 5°
Karla 5°
Michell 5°
Gerardo 3°
María 3°
Total 38 alumnos

Total de participantes 38 alumnos.
El Promedio de edad del grupo fue de 18 años.
El Promedio escolar de alumnos integrantes del grupo fue de 7.3 de calificación

Tabla 4. Ubicación del total de alumnos por semestre:
Semestre N° Cantidad de alumnos

3° semestre 11
5° semestre 27
Total 38

Los instrumentos de la investigación
Actividad diagnóstica
Al inicio del curso, en una primera parte, se les pidió a los alumnos que en una hoja
anotaran solo su nombre, su edad, y semestre que cursan. Y que escribieran cómo
les fue en matemáticas en cada semestre, si aprendieron o no, si pasaron o no, si
entraron al curso; con ésta referencia ya pudo el profesor tomar una decisión y
brindarles apoyo en donde hay deficiencias, a partir de lo que dicen que saben. La
mayoría de los alumnos de este grupo llevan acreditadas las asignaturas de
matemáticas, pero no saben, ya sea porque el profesor los pasó, no asistieron al
curso y aun así pasaron, porque no les enseñaron, o si les enseñaron pero no
quisieron aprender, o sí asistieron pero no pasaron o les costaba mucho trabajo
estudiar, no hacían tareas para reafirmar, etc.

Tabla 5. Cómo les fue a los alumnos en matemáticas
Alumno Semestre No
aprendió
Poco
aprendió
Medio
aprendió
Aprendió
Oscar 5°  1
Miranda 5°  2
Andrea 5°  3
Valeria 5°  4
Giddalthy 3°  5
Arnulfo 5°  6
Sthefany 5°  7
Erik 5°  8
José 5°  9
Blas 5°  10
Mauricio 5°  11
Elizabeth 5°  12
Alejandra 5°  13
Daniela 3°  14
39

Celia 5°  15
Alan 5°  16
Bryan 5°  17
Nohemí 5°  18
Jorge 3°  19
Andrea 3°  20
Samaria 5°  21
Oscar 5°  22
Miguel Á. 5°  23
Rosa María 3°  24
Ana 3°  25
Mauricio 5°  26
Earvin 5°  27
Esbeidy 5°  28
Adán 5°  29
Gemma 3°  30
Berenice 3°  31
America 3°  31
José 5°  33
Isaac 5°  34
Karla 5°  35
Michell 5°  36
Gerardo 3°  37
María 3°  38
8 18 11 1
21 % 47.4 % 29 % 2.6 %

Nota: La información de la tabla, solo es un indicativo de manera subjetiva si creen
o no saber matemáticas.

De la tabla 5 se observa que el 21 % de los alumnos del grupo no saben
matemáticas, el 47.4 % sabe poco, el 29 % medio aprendió y por último solo uno
(2.6 %) dice que sabe.
Esta parte es un factor importante para poder planear la clase.
Se complementa la actividad diagnóstica con la evaluación grupal, ver tabla 9 en
la página 65.

Actividad Diagnóstica
La segunda parte es la aplicación de un examen de conocimientos previos de los
alumnos de función cuadrática. Para ello se hizo un análisis de las competencias
sobre el tema y sobre todo, cuáles eran los aspectos que tienen mayor relevancia
y el manejo de las formas de representación, que sirviera de punto de partida para
la estrategia.
Como la parte de apoyo de los conocimientos previos es pobre, esta influyó en
que se les puede preguntar y así elaborar el examen.
De esta manera se preparó la actividad diagnósticao de conocimientos previos
de 15 preguntas.
Son las siguientes:
1.- Ubica en el plano cartesiano los puntos siguientes: A (1,7), B (-5,6), C (-1,-4), D
(3,-4), E (3,3), F (0,5), G (7,0)

2.- Indica en las expresiones siguientes si se trata de una función o una ecuación:

a) 3 𝑥 + 1 = 2x b) 6m = 7 + 1

c) f (𝑥) = 3 𝑥 +10 d) 2 𝑥 = y – 3

e) -5 + 𝑥 = -y

3.- ¿Cuál es la raíz de los factores que se indican?

1) (𝑥 + 2)

2) (𝑥 + 1) (𝑥 +2)

3) (𝑥 + 1
2
) (𝑥 - 1
2
)
42

4.- Escriba tres ejemplos de ecuación lineal con una variable:

1) ______________________________

2) ______________________________

3) ______________________________

5.- Grafica las raíces de la expresión algebraica 𝑥2 + 2 𝑥 - 3 = 0

6.- Escriba un ejemplo de la ecuación de segundo grado:

_______________________________________________________________
7.- ¿Cuáles son las formas en que se puede resolver una ecuación de segundo
grado?

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

8.- ¿Cuántas raíces tiene cada una de las expresiones siguientes?
Explique…
a) 4𝑥2 + 2 𝑥 + 1 = y

b) 𝑦 = 𝑥2

c) y = ( 𝑥 − 1)2

d) y = ( 𝑥 + 1)2 + 1
9.- ¿Cuáles son las raíces de las gráficas siguientes?
A) B)

10.- Encuentra las soluciones de las expresiones siguientes:
a) 9𝑥2 = -7 + 8 b) -81 = 𝑥2

11.- ¿Es posible conocer la expresión cuadrática si sus soluciones son - 3
2
y
5?

12.- Reducir la expresión (𝑥 + 1) (𝑥 – 5) + 3 (𝑥 - 5) a la forma 𝐴𝑥2 + B 𝑥 + C

13.- Factorizar los polinomios siguientes:
a) 𝑥2 - 5 𝑥 + 6

b) - 6 𝑥 + 8 + 𝑥2

c) 𝑥2 - 4

d) 4 𝑥 = 𝑥2

14.- Resuelva y diga si es un trinomio cuadrado perfecto cada una de las
expresiones siguientes:
a) 9𝑥2 + 12 𝑥 + 4

b) 𝑥2 + 4 𝑥

c) 𝑥2 - 4 𝑥 + 1
46

15.- ¿Cuáles son las raíces del polinomio siguiente? 𝑥2 + 2x

Ahora bien analizando cada pregunta relacionada se trata de:
Tabla 6 Descripción de los conceptos involucrados en las preguntas de la actividad
diagnóstica.
Pregunta N°

Concepto involucrado
1 Ubicación de un punto en plano cartesiano
2 Concepto de ecuación y de función, notación algebraica,
lenguaje algebraico
3 Concepto de raíz
4 Concepto de ecuación lineal, notación algebraica, lenguaje
algebraico
5 Concepto de raíz, formula general y gráfica de una raíz
6 Concepto de ecuación de segundo grado, notación algebraica,
lenguaje algebraico
7 Formas de solucionar una ecuación cuadrática, procedimiento
8 Número de raíces de una ecuación cuadrática
9 Representación gráfica de raíces, notación algebraica
10 Manipulación algebraica , solución de una ecuación cuadrática
11 Factorización y relación de raíces, lenguaje algebraico
12 Manipulación algebraica
13 Factorización, lenguaje algebraico, procedimiento
14 Resolución de ecuaciones cuadráticas, procedimiento
15 Raíces y completar cuadrados, procedimiento
47

En relación con la lista anterior se pueden agrupar por concepto como sigue:

Tabla 7 Clasificación de las preguntas de la actividad diagnóstica
1 Ubicación de un punto en plano cartesiano, correspondencia
de pares ordenados
2 Concepto de ecuación y de función, diferencia entre ecuación y
función, notación algebraica, lenguaje algebraico.
3 Concepto de raíz, factor, numero de raíces, interpretación
geométrica
4 Concepto de ecuación lineal, variable
5 Concepto de raíz, formula general y gráfica de una raíz
6 Concepto de ecuación de segundo grado, notación algebraica
7 y 10 Formas de solucionar una ecuación cuadrática: fórmula
general, factorización y completar cuadrados, resolución de
ecuaciones cuadráticas. Procedimiento. Lenguaje algebraico
8, 13 y 15 Número de raíces de una ecuación cuadrática, resolución de
ecuaciones cuadráticas en sus diferentes formas.
Procedimiento.
9, 11 Representación gráfica de raíces, factores, concavidad,
máximo, mínimo, vértice. Interpretación geométrica.
12 Manipulación algebraica e identificación de la ecuación
cuadrática A 𝑥2 + B x + C, lenguaje algebraico y notación.
14 Resolución de ecuaciones cuadráticas, trinomio cuadrado
perfecto.

La aplicación se realizará al inicio del curso

Diseño del instrumento
Para diseñar el cuestionario se tomaron en consideración aspectos relevantes
alrededor del tema, la función cuadrática, de manera que se pudieran determinar
las competencias de los alumnos, como mínimo así como los antecedentes
suficientes para adentrarse en la función cuadrática. Para avanzar en el tema es
necesario saber el nivel de conocimientos básicos de los alumnos, en referencia al
marco teórico de la investigación.
Otro aspecto que se consideró en el cuestionario es la falta de conocimientos de
los alumnos que se inscriben al curso sabatino, tienen una preparación deficiente,
y para detectar las deficiencias fue necesario tomarlo en cuenta, en la evaluación
diagnóstica.
Las preguntas del cuestionario requieren cierto manejo de esos conocimientos
básicos como son conceptos, terminología, manipulaciones aritméticas y
algebraicas y ubicación en el plano cartesiano.
¿Qué se pretende con el cuestionario?
 Identificar los recursos que poseen los alumnos, en una situación específica.
Después de aplicarlo se resuelve con detalle para:
 Estructurar las ideas y conceptos para aplicar los procesos algebraicos como
encontrar las raíces y darle sentido con la interpretación geométrica.
 Proporcionar procedimientos que les permitan realizar las manipulaciones
algebraicas.
 Aplicar técnicas de solución para la ecuación cuadrática: factorización,
completar cuadrados, fórmula general.
 Obtener soluciones de ecuaciones cuadráticas.
 Ubicar correspondencia de pares de valores en el plano cartesiano.
 Identificar una ecuación y una función.
49

Para ello, el alumno debe contar con un repertorio de conocimientos para
emplearlos en los procesos de solución. El alumno debe haber alcanzado la
habilidad para confrontar lo que quiere solucionar por muy elemental que sea.
Todo lo anterior se tomó en cuenta en la actividad diagnóstica, para identificar la
habilidad del alumno en relación con la función cuadrática.

Tipos de dificultades
Los tipos de respuestas que dan los alumnos se clasificaron en tres tipos:
a) Las correctas no hay ningún inconveniente

b) Conceptuales.- si el alumno tiene dificultad en el concepto.
Las incorrectas
c) Procedimiento.- si el alumno tiene dificultad en la
manipulación al resolver expresiones
algebraicas.

Dificultades y concepciones sobre algunas investigaciones

Como prolongación del punto anterior y ampliando un poco más sobre la realidad
de nuestros alumnos, como ya se ha mencionado, el punto