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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MEXICO 
MAESTRÍA EN DOCENCIA PARA LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR 
FACULTAD DE CIENCIAS 
MATEMÁTICAS 
Los conocimientos matemáticos de límites algebraicos 
para el Nivel Medio Superior 
T E S I S 
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE: 
MAESTRA EN DOCENCIA PARA LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR 
(MATEMÁTICAS) 
PRESENTA: 
Mat. Itzalá Rosa Mendoza Guevara 
DIRECTORA DE TESIS: 
M. en D. Giselle Ochoa Hofmann 
FACULTAD DE CIENCIAS 
 
CIUDAD UNIVERSITARIA, CDMX. AGOSTO, 2019 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
ÍNDICE 
DEDICATORIAS i 
AGRADECIMIENTOS ii 
LISTA DE FIGURAS iii 
LISTA DE TABLAS iv 
RESUMEN v 
ABSTRACT vi 
INTRODUCCIÓN 1 
I.1 Justificación 3 
I.2 Objetivos 4 
I.2.1 Objetivo general 4 
I 2.2 Objetivos Específicos 4 
I.3 Preguntas de Investigación 5 
CAPÍTULO 1. Problema de Investigación 6 
1.1 Problemática de la Enseñanza del Cálculo 6 
1.2 Problemática en el Aprendizaje del Cálculo 8 
1.2.1 Problemática en el tema de límites finitos 8 
1.3 Problemática de la Educación Matemática en el Nivel Medio Superior 13 
1.3.1 Panorama internacional 13 
1.3.2 Panorama nacional 20 
CAPÍTULO 2. Marco de la Secuencia Didáctica 24 
2.1 Importancia de la Enseñanza del Cálculo 24 
2.2 Importancia de los Límites en Cálculo 27 
2.2.1 Desarrollo de habilidades matemáticas 29 
2.2.2 Desarrollo de procesos cognitivos 31 
2.2.3 Importancia de la visualización matemática 35 
2.3 La Concepción del Límite en el Bachillerato 39 
2.4 Metodología de la Secuencia Didáctica 45 
2.4.1 Enfoque constructivista cognitivo de la secuencia 46 
2.4.2 Primera situación: representaciones semióticas y enseñanza directa 51 
2.4.3 Segunda situación: Uso de tecnología y modelo inductivo 55 
2.4.4 Tercera situación: Recordatorio de procedimientos algebraicos previos 57 
2.4.5 Cuarta situación: Enseñanza lúdica 59 
CAPÍTULO 3. Planeación e Implementación de la Secuencia Didáctica 63 
3.1 Población 63 
3.2 Diseño y Planeación de la Secuencia 64 
3.3 Implementación de la Secuencia 68 
3.3.1 Examen diagnóstico 68 
3.3.2 Primera situación: Concepto intuitivo de límite 70 
3.3.3 Segunda situación: Propiedades de los límites 74 
3.3.4 Tercera situación: Límites indeterminados 80 
3.3.5 Cuarta situación Juego didáctico 90 
3.3.6 Examen final 95 
3.3.7 Encuesta de opinión 96 
CAPÍTULO 4. Evaluación y Resultados de la Secuencia Didáctica 99 
4.1 Evaluación de la Secuencia 99 
4.2 Evaluación Diagnóstica 101 
4.2.1 Resultados 102 
4.3 Evaluación Formativa 103 
4.3.1 Resultados 104 
4.4 Evaluación Sumativa 108 
4.4.1 Resultados 109 
4.4.1.1 Examen de conocimientos previos (diagnóstico vs. final) 110 
4.4.1.2 Examen de límites 113 
4.5 Encuesta de Opinión 117 
4.5.1 Resultados 118 
CONCLUSIONES 123 
RECOMENDACIONES Y TRABAJOS A FUTURO 132 
REFERENCIAS 133 
ANEXOS 138 
 
i 
 
DEDICATORIAS 
 
Para todos los que contribuyeron a la realización de este trabajo. 
 
ii 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
A mi familia, por haberme apoyado durante todo este proyecto, y sobre todo por 
haberme soportado en mis días de mayor estrés. 
A mis compañeros, por haber compartido sus experiencias e ideas conmigo y por 
ser un gran apoyo en las incontables noches de desvelo semestre tras semestre. 
A mis maestros, por sus enseñanzas y consejos que me brindaron las herramientas 
necesarias para mejorar mi labor docente. 
A mi tutora, por siempre haber estado detrás de mí para guiarme a lo largo de todo 
el camino. Porque sin su ayuda seguramente no habría terminado este trabajo. 
 
Muchas gracias a todos. 
 
iii 
 
LISTA DE FIGURAS 
Imagen 2.1. Representación gráfica del límite de la función 54 
Imagen 2.2. Ejemplo de gráfica realizada en GeoGebra 56 
Imagen 2.3. Tablero del juego didáctico 60 
Imagen 3.1. Implementación del examen diagnóstico 69 
Imagen 3.2. Implementación de la primera situación 71 
Imagen 3.3. Implementación de la segunda situación 76 
Imagen 3.4. Implementación de la tercera situación 82 
Imagen 3.5. Tablero del juego didáctico 91 
Imagen 3.6. Tarjetas del juego didáctico 92 
Imagen 3.7. Implementación de la cuarta situación 93 
Imagen 3.8. Implementación del examen final 97 
Imagen 4.1. Formulario para el examen diagnóstico 102 
Gráfica 4.1. Resultados del examen diagnóstico 102 
Imagen 4.2. Ejemplo de respuestas de los alumnos en la primera situación 104 
Imagen 4.3. Ejemplos de respuestas de los alumnos en la segunda situación 105 
Imagen 4.4. Ejemplos de respuestas de los alumnos en la tercera situación 106 
Gráfica 4.2. Entrega de las actividades de clase 107 
Imagen 4.5. Formulario para la primera parte del examen final 109 
Gráfica 4.3. Resultados del examen final (conocimientos previos) 110 
Gráfica 4.4. Comparación entre el examen diagnóstico y el examen final 111 
Imagen 4.6. Respuesta al reactivo de racionalización del examen final 112 
Gráfica 4.5. Cambio de nivel de conocimientos previos 113 
Imagen 4.7. Reactivos de límites indeterminados del examen final 114 
Imagen 4.8. Ejemplo de respuestas de los alumnos en los límites indeterminados del examen final 114 
Imagen 4.9. Ejemplo de respuestas de los alumnos en las preguntas extras del examen final 115 
Gráfica 4.6. Resultados del examen final (límites) 115 
Imagen 4.10. Formulario para la encuesta de opinión 117 
Gráfica 4.7. Exposición del profesor: Cantidad, Claridad 118 
Gráfica 4.8. Complejidad de ejercicios: Exposición, Hojas de actividades 119 
Gráfica 4.9. Aceptación de la exposición de la secuencia y algunas razones 119 
Gráfica 4.10. Aceptación del uso de GeoGebra y algunas razones 120 
Gráfica 4.11. Aceptación del juego final y algunas razones 120 
Gráfica 4.12. Opinión general: Nivel de comprensión, Secuencia didáctica 121 
 
iv 
 
LISTA DE TABLAS 
Tabla 1.1. Niveles de competencia matemática. Subescala: cambios y relaciones (PISA) 17 
Tabla 1.2. Niveles de competencia matemática global (PISA) 18 
Tabla 1.3. Niveles de logro en Matemáticas: cambios y relaciones (PLANEA) 21 
Tabla 1.4. Niveles de logro en Matemáticas (PLANEA) 21 
Tabla 2.1. Dimensiones y tipos de aprendizaje que ocurren en el aula 51 
Tabla 2.2. Ejercicios de la categoría de cálculo de límites por factorización 60 
Tabla 3.1. Descripción general de la secuencia didáctica 66 
Tabla 3.2. Planeación del examen diagnóstico 69 
Tabla 3.3. Planeación de la primera situación didáctica 72 
Tabla 3.4. Planeación de la segunda situación didáctica 76 
Tabla 3.5. Planeación de la tercera situación didáctica 82 
Tabla 3.6. Planeación de la cuarta situación didáctica 93 
Tabla 3.7. Planeación del examen final y la encuesta de opinión 97 
Tabla 4.1. Síntesis de evaluación curricular 100 
Tabla 4.2. Resultados del examen diagnóstico por tema 103 
Tabla 4.3. Rúbrica para la evaluación de reactivos de límites indeterminados 105 
Tabla 4.4. Resultados de las actividades por tema 108 
Tabla 4.5. Resultados por tema del examen final (conocimientos previos) 111 
Tabla 4.6. Resultados por tema del examen final (límites) 116 
Tabla 4.7. Resultados de las calificaciones finales 116 
Tabla 4.8. Elementos de la secuencia didáctica más y menos gustados por los alumnos 121 
 
v 
 
RESUMEN 
En este trabajo de investigación se realiza un estudio de la problemática presente 
enel proceso de enseñanza-aprendizaje del tema de límites que forma parte del curso 
de Cálculo del último año de bachillerato. Debido a la importancia de este tema en la 
construcción de otros conceptos clave, como la derivada y la integral, es necesario 
consolidar los conocimientos del tema de límites algebraicos para el estudio del Cálculo. 
Por lo anterior se propuso una secuencia didáctica para la enseñanza de este tema 
en el que se hace énfasis en las representaciones semióticas del concepto de límite y 
con el apoyo de la tecnología para su visualización matemática, así como en el refuerzo 
de conocimientos previos del alumno como la factorización, los productos notables y la 
racionalización en el cálculo de límites indeterminados. Para finalizar se incluyó una 
actividad de carácter lúdico en la que los alumnos debieron utilizar los conocimientos que 
adquirieron a lo largo de la secuencia para obtener la mayor cantidad de puntos posibles. 
Esta secuencia didáctica se aplicó en un grupo del sexto año en la asignatura de 
Matemáticas VI para el Área II (Ciencias Biológicas y de la Salud) de la Escuela Nacional 
Preparatoria de la Universidad Nacional Autónoma de México durante el ciclo escolar 
2017-2018. 
En los resultados se observa que dicha secuencia reforzó los conocimientos previos 
de un alto porcentaje de los alumnos. Asimismo, el uso de diferentes representaciones y 
el apoyo en la tecnología para la visualización matemática del límite de una función, 
ayudó en la consolidación de los conocimientos de este tema. Por otro lado, el juego 
didáctico sirvió como una retroalimentación de toda la información que se vio en las 
distintas situaciones didácticas en el que se promovió el trabajo colaborativo y la toma 
de decisiones. 
 
Palabras clave: Límites algebraicos, representaciones semióticas, visualización 
matemática, uso de tecnología, GeoGebra, refuerzo de conocimientos, factorización, 
productos notables, racionalización, enseñanza lúdica, constructivismo. 
 
vi 
 
ABSTRACT 
In this investigation work a study is made of the current problem in the teaching-
learning process of the subject of limits that is part of the Calculus course of the last year 
of high school. Due to the importance of this topic in the construction of other key 
concepts, such as the derivative and the integral, it is necessary to consolidate the 
knowledge of the subject of algebraic limits for the study of Calculus. 
For the above, a didactic sequence was proposed for the teaching of this subject in 
which an emphasis is placed on the semiotic representations of the concept of limit and 
with the support of technology for its mathematical visualization, as well as on the 
reinforcement of previous knowledge of the student such as factorization, special 
products and rationalization in the calculation of indeterminate limits. Finally, an activity 
of a ludic nature was included in which the students had to use the knowledge they 
acquired throughout the sequence to obtain as many points as possible. This didactic 
sequence was applied in a group of sixth year in the subject of Mathematics VI for Area 
II (Biological and Health Sciences) of the National Preparatory School of National 
Autonomous University of Mexico during the 2017-2018 school year. 
In the results it is observed that said sequence reinforced the previous knowledge 
of a high percentage of the students. Likewise, the use of different representations and 
the support in the technology for the mathematical visualization of the limit of a function, 
helped in the consolidation of the knowledge of this subject. On the other hand, the 
didactic game served as a feedback of all the information that was seen in the different 
didactic situations in which collaborative work and decision-making was promoted. 
 
Keywords: Algebraic limits, semiotic representations, mathematic visualization, 
use of technology, GeoGebra, knowledge reinforcement, factorization, special products, 
rationalizing, ludic teaching, constructivism. 
 
1 
 
INTRODUCCIÓN 
El tema en el que se centra la secuencia didáctica que se presenta en este trabajo 
de investigación, tiene lugar en el programa de estudios de la asignatura de Cálculo 
Diferencial del curso de Matemáticas del tercer año de bachillerato. Este es el primer 
acercamiento que los alumnos tienen a esta rama de las matemáticas, por lo que se 
suelen presentar algunas dificultades en su enseñanza y en su aprendizaje, entre las 
que se encuentran los errores algebraicos y la interpretación del límite. El primer tema al 
que se introduce al alumno en el estudio del Cálculo es el de límites, y en el que se 
centrará la secuencia didáctica, es fundamental en el curso ya que es el conocimiento 
previo necesario para el estudio de la continuidad, la derivada y la integral de una función. 
Para esto, se diseñó una secuencia didáctica compuesta por cuatro situaciones 
didácticas en las que se busca consolidar los conocimientos acerca del tema de límites 
algebraicos de los estudiantes del tercer año de bachillerato. 
Este trabajo se compone de cuatro capítulos. En el primer capítulo se describe la 
problemática actual que se presenta en el proceso de enseñanza-aprendizaje de Cálculo, 
y del tema de límites en específico. También se mencionan los elementos que conforman 
la problemática que rodea al proceso de enseñanza-aprendizaje en el tema de límites 
finitos, lo que puede llevar a cuestionar la pertinencia de este tema en el estudio del 
Cálculo en el Nivel Medio Superior. 
En el segundo capítulo se describe la importancia de la enseñanza de Cálculo en 
el bachillerato y el papel que juega el tema de límites dentro de la misma matemática, 
así como en el desarrollo de habilidades matemáticas y cognitivas del alumno. Asimismo, 
2 
 
se describen los distintos factores didácticos y pedagógicos que se tomaron en cuenta 
en la planeación de las cuatro situaciones didácticas que conforman la secuencia 
didáctica para el tema de límites algebraicos finitos. 
En el tercer capítulo se describe la población y el programa de estudios de la 
institución en la que se implementó la secuencia didáctica con la que se desea aminorar 
las dificultades que se presentan a lo largo del proceso de enseñanza y aprendizaje del 
tema de límites algebraicos. Asimismo, se incluye la planeación y ejemplos de los 
ejercicios que se aplicaron dentro de cada una de las situaciones que abarca esta 
secuencia. También se hace una descripción de la forma en que se llevó a cabo su 
implementación. 
Finalmente, en el cuarto capítulo se realiza la descripción del tipo de evaluación 
que se efectuó en la secuencia y de las técnicas e instrumentos que se utilizaron para 
dicha evaluación. Del mismo modo, se presentan los resultados que se obtuvieron al 
analizar los instrumentos de evaluación de cada una de las situaciones de esta secuencia 
didáctica, además de comparar los resultados que se obtuvieron en el examen 
diagnóstico con el examen final. También se incluyen los resultados de una encuesta de 
opinión hacia los alumnos respecto a dicha secuencia. 
Por último, en las conclusiones se hace un análisis de la efectividad de la secuencia 
didáctica, de sus áreas de oportunidad y del alcance de la investigación dados los 
resultados que se muestran en el capítulo cuatro. De igual forma en el anexo final se 
incluyen los materiales didácticos que se utilizaron para cada una de las situaciones 
didácticas, los instrumentos de evaluación y la encuesta de opinión para los alumnos. 
3 
 
I.1 Justificación 
El programa de Cálculo es uno de los que tienen mayores índices de reprobación 
en el bachillerato, un problema constante en la actualidad. Prueba de esto es la aparición 
de la asignatura de Matemáticas VI (Área 1 y 2) en la lista de asignaturas con alto 
porcentaje de reprobación en exámenes ordinarios de la ENP, con un 11% durante elciclo escolar 2016-20171. 
Por otro lado, los resultados de la aplicación del Examen Diagnóstico Académico 
(EDA) del Colegio de Ciencias y Humanidades de la UNAM, en el semestre 2017-1, 
muestran a la asignatura de Cálculo Integral y Diferencial I con un promedio de aciertos 
del 37%, siendo la asignatura con el menor promedio2. 
Esto pone en evidencia la necesidad de una mejora en la enseñanza de los temas 
que se incluyen en el programa de estudios de Cálculo, en el que se incluye el tema de 
Límites. Este tema es el primer acercamiento formal que tendrán los estudiantes para 
introducirse al Cálculo, por lo que es de gran importancia que los alumnos tengan una 
base sólida en este tema que les permita construir conceptos más complejos como la 
continuidad de una función y su derivada, los que a su vez podrá utilizar para la 
resolución de problemas de optimización. 
Por todo lo anterior, se pretende realizar una secuencia didáctica que aminore las 
problemáticas que presentan los alumnos al hacer énfasis en la visualización matemática 
del límite y, de este modo, mejorar el desempeño de los estudiantes en este tema. 
 
1 Informe de Actividades 2016–2017. ENP, UNAM. (http://www.planeacion.unam.mx/informes/PDF/ENP-2016-
2017.pdf) 
2 Informe 2017 Gestión Directiva. CCH, UNAM. (http://www.planeacion.unam.mx/informes/PDF/CCH-2017.pdf) 
4 
 
I.2 Objetivos 
I.2.1 Objetivo general. 
Consolidar los conocimientos acerca del tema de límites algebraicos de los 
estudiantes del tercer año de bachillerato, mediante la aplicación de una secuencia 
didáctica. 
I.2.2 Objetivos específicos. 
• Que el alumno identifique los límites laterales de una función en un determinado 
punto y que relacione estos límites con la existencia del límite de la función. 
• Que el alumno, a partir de una gráfica, pueda determinar la existencia del límite de 
una función en un punto determinado e identificar su valor. 
• Que el alumno pueda determinar la existencia del límite en un punto determinado a 
partir de la tabulación de una función, y que obtenga su valor. 
• Que el alumno aplique los teoremas del límite para obtener el valor del límite en un 
punto determinado. 
• Que el alumno obtenga el valor del límite de una función en un punto determinado 
únicamente mediante operaciones algebraicas. 
• Que el alumno pueda identificar cuándo un límite es indeterminado. 
• Que el alumno aplique diferentes métodos de factorización y de desarrollo de 
expresiones algebraicas para la resolución de límites indeterminados. 
• Que el alumno sea capaz de seleccionar el método de resolución adecuado a cada 
situación. 
 
5 
 
I.3 Preguntas de Investigación 
Al considerar toda esta problemática alrededor del concepto de límite, surgen 
algunas interrogantes: 
• ¿Por qué los estudiantes no pueden identificar correctamente los límites laterales 
de una función, y por qué los confunden con la existencia del límite de la función? 
• ¿Por qué no pueden determinar la existencia del límite e identificar su valor al tener 
la gráfica? 
• ¿Por qué tienen problemas para tabular las funciones y para calcular el valor del 
límite con los datos de la tabla? 
• ¿Qué consecuencias tienen los problemas con operaciones aritméticas y 
algebraicas en el cálculo del límite de la función? 
• ¿Qué causa la confusión de una indeterminación con la no existencia de un límite? 
• ¿Cómo afecta su habilidad para factorizar y desarrollar expresiones algebraicas en 
la obtención de límites indeterminados? 
• ¿Por qué confunden los diferentes métodos de resolución? 
 
El tema de límites es esencial en el estudio del Cálculo, por lo que es vital que los 
estudiantes lo comprendan. Sin embargo, éste se rodea de diversas problemáticas tanto 
en su enseñanza como en su aprendizaje, por lo que se deben tomar en cuenta al 
presentar el tema a los alumnos. 
 
 
6 
 
CAPÍTULO 1 
PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 
El tema en el que se centra la secuencia didáctica que se presenta en este trabajo 
tiene lugar en el programa de estudios de la asignatura de Matemáticas del tercer año 
de bachillerato: Cálculo Diferencial. Este es el primer acercamiento que tienen los 
alumnos a esta rama de las matemáticas, por lo que suelen presentar dificultades en su 
aprendizaje. El primer tema en el que se introduce al alumno al estudio del Cálculo es el 
tema de límites, el cual es fundamental en el curso, y el que será objeto de estudio en la 
secuencia didáctica. En este capítulo, se describe la problemática que se presenta en el 
proceso de enseñanza-aprendizaje de Cálculo, y del tema de límites en específico. 
 
1.1 Problemática en la Enseñanza del Cálculo 
Durante mucho tiempo se pensó que lo único que bastaba para poder enseñar 
matemáticas era tener el conocimiento disciplinar suficiente, por lo que el profesor se 
limitaba a presentar el contenido matemático de una manera formal, rigurosa y 
estructurada. Esto se consideraba suficiente para que los estudiantes pudieran adquirir 
los conocimientos deseados por lo que, en este modelo de enseñanza conductista, el 
papel del estudiante fue pasivo y se centró en su habilidad de resolución de ejercicios de 
corte algorítmico. 
Sin embargo, existen en la actualidad diversos trabajos de investigación que indican 
que este modelo tradicional presenta algunas desventajas. Zhang (citado en Salinas y 
Alanís, 2009) muestra en su investigación que las estrategias centradas en el profesor 
7 
 
disminuyen el interés del estudiante y propician un aprendizaje superficial basado en la 
memorización y la reproducción. Esto lleva a que los estudiantes no den sentido ni 
significado más amplio a los contenidos matemáticos que se les presentan. 
Actualmente, la problemática en la enseñanza del Cálculo ha propiciado un debate 
enfocado en qué es lo que debe enseñarse y cómo debe enseñarse. Sin embargo, como 
mencionan Salinas y Alanís (2009), no es suficiente estudiar las condiciones que 
dificultan o hacen posible la construcción del conocimiento (referente epistemológico), 
sino que se debe dar énfasis al carácter instrumental de las matemáticas en otras áreas 
de conocimiento (práctica social). 
Es por esto por lo que se desea lograr un acercamiento socioepistemológico que 
permita, de acuerdo con Cantoral y Farfán (citado en Salinas y Alanís, 2009), la 
incorporación de los componentes fundamentales en la construcción del conocimiento: 
su naturaleza epistemológica, la dimensión sociocultural, el aspecto cognitivo y el 
aspecto didáctico. Este acercamiento socioepistemológico permite que los estudiantes 
den sentido y significado al contenido matemático que les es presentado. Como lo 
explican Salinas y Alanís (2009): 
El acercamiento socioepistemológico llega a problematizar el saber 
matemático que es objeto de enseñanza; cuestiona el qué enseñar y lo 
declara como una variable a considerar en la investigación. A nuestro juicio, 
su cuestionamiento necesariamente está vinculado con la forma de acercar el 
conocimiento al estudiante (el cómo enseñar). Mediante el diseño de una 
situación que es puesta en escena dentro del aula escolar, se busca 
esclarecer el ejercicio de aquellas prácticas que en el estudiante se 
constituyen en argumentos y le permiten dotar de significado funcional a los 
contenidos matemáticos. La intención del diseño de escenarios didácticos se 
dirige a propiciar el accionar de prácticas en esa realidad social que se 
8 
 
construye en el aula, acentuando la importancia de la interacción entre 
estudiantes, el profesor y el conocimiento. (p.374) 
 
De este modo, en la búsqueda de nuevas alternativas de enseñanza se deberán 
tomar en cuenta los aspectos epistemológicos, sociales, cognitivos y didácticos que 
abarca la construcción del conocimiento matemático. 
 
1.2 Problemática en el Aprendizaje del Cálculo 
La enseñanza del Cálculo siempre ha sufrido grandes dificultades debido a la 
complejidad de losconceptos matemáticos utilizados ya que éstos implican el uso de un 
pensamiento abstracto, algebraico y analítico, los cuales no siempre han sido 
desarrollados correctamente por los estudiantes. Además de esto, los alumnos deben de 
tener un correcto conocimiento de otros temas previos necesarios para comprender los 
conceptos del cálculo, los cuales no siempre se tienen o son erróneos. 
Uno de los conceptos más importantes en el curso de Cálculo, y uno de los que 
causan un mayor conflicto cognitivo en los estudiantes, es el de proceso infinito. Al ser 
el límite un concepto que se basa en estos procesos infinitos es de suponerse que existan 
problemáticas en su enseñanza-aprendizaje. 
 
1.2.1 Problemática en el tema de límites finitos. 
Dada la importancia del tema de límites en Cálculo, han sido varios los 
investigadores en educación matemática que se han enfocado en la problemática en el 
proceso de enseñanza-aprendizaje de este tema. Algunos autores se han enfocado en 
9 
 
encontrar diferentes maneras de enseñar este concepto, como se observa en los trabajos 
realizados por Bucari, Bertero y Trípolo (2007); Contreras, García y Font (2012); Engler, 
Vrancken, Hecklein, Müller y Gregorini (2007), De la Barrera (2013) y Páez (2005). Es 
importante mencionar de igual forma las investigaciones realizadas por Blázquez y 
Ortega (2000, 2001), Hitt (2003a, 2003b), Hitt y Páez (2005) y Tall y Vinner (1981), en 
las que se describen algunas de las dificultades más comunes que presentan los 
alumnos en la construcción del concepto de límite y su resolución. Otros de los trabajos 
enfocados en las dificultades específicas del límite de una función son los realizados por 
Tall (1992) y por Vrancken; Gregorini; Engler; Muller y Hecklein (2006). 
Entre las dificultades más comunes que se describen en las investigaciones antes 
mencionadas, referentes al tema de límites, se encuentran las siguientes: 
• Tienen errores algebraicos y aritméticos simples. Muchos de los problemas 
presentados en la resolución de límites están relacionados con deficiencias que 
los alumnos han arrastrado desde cursos anteriores. Estas incluyen desde 
operaciones elementales (suma, resta, multiplicación, división), hasta 
factorización de polinomios. Esto obstaculiza el correcto desempeño en la 
resolución de límites, dada la importancia de este tipo de conocimientos 
elementales. 
• No entienden la representación gráfica del límite. En los estudiantes 
predomina una concepción mayormente algebraica del límite en la que sólo hay 
que sustituir valores en una función sin realmente interiorizar lo que significa 
gráficamente la idea del límite de una función. Es posible que estos estudiantes 
10 
 
puedan obtener el valor de un límite por métodos algebraicos, pero 
gráficamente no saben lo que estos cálculos representan, por lo que la 
resolución de límites se convierte en una simple mecanización sin significado. 
• No conciben la idea de cantidades infinitesimales. Este es uno de los 
problemas clave ya que, como consecuencia de esto, no pueden comprender 
ideas como “acercarse tanto como se quiera a un cierto valor”, la cual es 
necesaria para comprender correctamente el concepto de límite. 
• No comprenden la idea de límites laterales. Para los alumnos el límite 
siempre toma el mismo valor sin importar el lado por el que uno se acerque al 
punto deseado. Estos alumnos visualizan a las funciones como continuas, por 
lo que toman al límite como el valor de la función sin tomar en cuenta el 
comportamiento de la función a la izquierda o a la derecha. 
• No entienden cuándo no existe un límite. Uno de los problemas más 
comunes es que no se relaciona la idea de límites laterales con la existencia o 
no existencia del límite. Para los alumnos, si existe uno de los límites laterales, 
entonces también existe el límite sin importar si los límites laterales coinciden. 
De hecho, al haber relacionado equivocadamente el valor del límite con el de 
la función, los alumnos entonces relacionan la existencia del límite con la 
existencia del valor de la función en el punto deseado, olvidando por completo 
la importancia de los límites laterales. 
• No interpretan correctamente la indeterminación de un límite. Los 
estudiantes no entienden lo que significa el que un límite presente una 
11 
 
indeterminación. Las concepciones erróneas más comunes en este caso son 
que consideren que esta indeterminación como la no existencia del límite o 
como cero (parecido a la idea errónea de que un número dividido entre cero es 
igual a cero). 
Salta a la vista que la gran mayoría de estas dificultades están ligadas a la falta de 
desarrollo de habilidades de visualización matemática en los alumnos. Esta visualización 
matemática se refiere a la habilidad de entender, manipular y hacer la conversión entre 
las diferentes representaciones de un problema, lo que puede conducir a la solución del 
problema en cuestión (Hitt, 2003c). Como lo mencionan Zimmerman y Cunninghan 
(citado en Hitt, 1998): 
La visualización matemática es el proceso de formación de imágenes 
(mentalmente, o con lápiz y papel, o con la ayuda de tecnología) y el uso de 
tales imágenes en forma efectiva para el descubrimiento matemático y el 
entendimiento. (p. 28) 
Asimismo, al analizar todas estas dificultades y tomando en cuenta el gran número 
de estudiantes que las presentan, se puede inferir que la mayoría no son culpa del 
estudiante, sino de la forma en cómo el profesor enseña el tema referente a límites: mala 
elección o aplicación tanto de las estrategias de enseñanza como de los materiales 
didácticos utilizados. En este asunto es posible citar a Zimmermann (citado en Hitt, 
2003c): 
Conceptualmente, el papel del pensamiento visual es tan fundamental para el 
aprendizaje del cálculo que es difícil imaginar un curso exitoso de cálculo que 
no enfatice los elementos visuales del tema. Esto es especialmente verdad si 
el curso tiene la intención de promover un entendimiento conceptual, el cual 
es ampliamente reconocido como carente en la mayoría de los cursos de 
cálculo como es actualmente enseñado. La manipulación algebraica ha sido 
12 
 
enfatizada en demasía y en el proceso el espíritu del cálculo se ha perdido. 
(p.217) 
 
Además de lo ya mencionado, muchas veces son los profesores los que tienen 
falsas creencias o conocimientos de la materia, resultado de un problema de aprendizaje 
en su formación, las cuales transmiten a los alumnos y que derivarán en dificultades y 
errores en estos últimos, y se crea de esta forma un círculo vicioso en el que se 
transmitirán estos errores una y otra vez. Nava y Reyes (2009) realizaron un estudio en 
el que encontraron que un gran porcentaje de los profesores participantes presentan los 
mismos problemas que los alumnos. 
Algunas veces, como menciona Hitt (2003a), son los profesores los que propician 
obstáculos de aprendizaje. Al tratar de simplificar un poco la complejidad del límite, se 
cometen errores que a la larga sólo causarán un conflicto cognitivo en el estudiante. Esta 
es una de las razones por las que es esencial que el docente de cálculo tenga un 
conocimiento pleno de su materia, para que no se influya de manera negativa en el 
desempeño del estudiante. 
Se puede entonces separar las dificultades en la enseñanza-aprendizaje del 
concepto de límite en dos tipos. Por un lado, se tiene la complejidad natural de este 
concepto, y por el otro, están todas las problemáticas y confusiones que puede promover 
el docente en sus alumnos. Cada una de estas ramas tiene sus particularidades por lo 
que deberán abordarse de manera individual. 
No hay que olvidar tampoco que, como se mencionó anteriormente, algunos de los 
problemas que se presentan en los alumnos están ligados con deficiencias que han 
13 
 
acarreado a lo largo de su trayectoria escolar. Es por esto por lo que es necesario 
analizar la situaciónactual del desempeño de los alumnos en el área de las matemáticas, 
tanto a nivel nacional como internacional. 
 
1.3 Problemática de la Educación Matemática en el Nivel Medio Superior 
La Educación Matemática, tanto a nivel nacional como internacional, enfrenta una 
gran problemática que no se limita a un solo nivel educativo. Los estudiantes presentan 
un bajo aprovechamiento en la asignatura de matemáticas en los 3 niveles educativos: 
Básico (preescolar, primaria y secundaria), Medio Superior (bachillerato) y Superior 
(profesional y posgrado). Esto ha llevado a diversas organizaciones a enfocarse en este 
problema y llevar a cabo evaluaciones que ayuden a las instituciones educativas a tomar 
las medidas necesarias que puedan llevar a los estudiantes a mejorar su desempeño 
académico. 
Dado que este trabajo se centra en un tema perteneciente al currículo de 
Matemáticas del Nivel Medio Superior, las evaluaciones nacionales e internacionales que 
se mencionen serán las enfocadas específicamente en este nivel educativo. 
 
1.3.1 Panorama internacional. 
Una de las evaluaciones de mayor relevancia a nivel internacional en la actualidad, 
es la prueba PISA (Programme for International Student Assessment) realizada por la 
Organización para la Cooperación y Desarrollo Económicos (OCDE)3. Ésta es aplicada 
 
3 Programme for International Student Assessment. (PISA) (http://www.oecd.org/pisa/) 
14 
 
por primera vez en el año 2000 con la colaboración de 28 países miembros de la OCDE, 
entre los que se encontraba México, junto con cuatro países no miembros. Esta prueba 
evalúa la formación académica de estudiantes de entre 15 y 16 años, sin importar su 
grado escolar. 
La prueba PISA abarca las áreas de lectura, matemáticas y ciencias, en las que se 
hace un énfasis en el dominio de los procesos, la comprensión de los conceptos y la 
habilidad de actuar en diversas situaciones. Es decir, la prueba PISA no evalúa el 
aprendizaje de contenidos, sino el grado de desarrollo de competencias específicas. El 
concepto de competencia utilizado en PISA, así como por el Instituto Nacional para la 
Evaluación de la Educación (INEE) en México, se refiere a la capacidad del estudiante 
para poner en práctica las habilidades y conocimientos adquiridos en su trayectoria 
académica en distintas situaciones de la vida diaria. De esta forma, PISA pretende 
examinar el grado de preparación de los jóvenes para la vida adulta. 
Una de las competencias que se evalúa en la prueba PISA es la matemática. De 
acuerdo con la OCDE, ésta se refiere la capacidad del alumno para razonar, analizar y 
comunicar operaciones matemáticas, por lo que implica la capacidad de utilizar el 
razonamiento matemático en la solución de problemas de la vida diaria4. Los problemas 
matemáticos presentados en PISA se conforman entonces de tres componentes: 
proceso (reproducción, conexión, reflexión), contenido (cantidad, espacio y forma, 
cambio y relaciones, probabilidad) y situación (personal, educativa o laboral, publica, 
científica). 
 
4 El programa PISA de la OCDE qué es y para qué sirve. (http://www.oecd.org/pisa/39730818.pdf) 
15 
 
Respecto a los contenidos matemáticos abordados por la prueba PISA, estos se 
definen de la siguiente forma5: 
• Cantidad: Se centra en la habilidad de cuantificar como forma de organizar el 
mundo. Implica la comprensión de los tamaños relativos, el reconocimiento de 
patrones numéricos y el uso de los números para representar cantidades y 
atributos cuantificables de los objetos del mundo real (cantidades y medidas). 
Además, cantidad tiene que ver con el procesamiento y la comprensión de 
números que se presentan de diferentes maneras. Un aspecto importante es el 
razonamiento cuantitativo. Componentes esenciales del razonamiento 
cuantitativo son el sentido del número, la representación de los números mediante 
diferentes maneras, la comprensión del significado de las operaciones, la noción 
de la magnitud de los números, los cálculos matemáticos, la aritmética mental y 
la estimación. 
• Espacio y forma: Se refiere a la habilidad para identificar semejanzas y 
diferencias al analizar los componentes de una estructura y reconocer las formas 
en diferentes representaciones y dimensiones. Esto significa que deben poder 
entender la posición relativa de los objetos. Deben ser conscientes de cómo se 
ven las cosas y por qué se ven así. Deben saber moverse a través del espacio y 
de las construcciones y las formas. Esto es, los estudiantes deben ser capaces 
de comprender las relaciones entre las formas y las imágenes o representaciones 
visuales, como las que existen entre una ciudad real y las fotografías y mapas de 
la misma. Deben comprender cómo se pueden representar en dos dimensiones 
los objetos tridimensionales, cómo se forman e interpretan las sombras, qué se 
entiende por perspectiva y cómo funciona. 
• Cambio y relaciones: Implica la capacidad de los alumnos para representar 
cambios de una forma comprensible; para comprender los tipos fundamentales de 
cambio; para reconocer tipos de cambios concretos cuando suceden; para aplicar 
estas técnicas al mundo exterior; y para controlar un universo cambiante. Además, 
 
5 Pisa para Docentes: La evaluación como oportunidad de aprendizaje. 
(http://www.educacionbc.edu.mx/departamentos/evaluacion/descargas/Archivos/PISA_docentes.pdf) 
16 
 
comprende la capacidad de los alumnos para representar las relaciones de 
diversas maneras: simbólica, algebraica, tabular y geométrica. Diferentes 
representaciones pueden servir para variados propósitos y tener diferentes 
propiedades. De esta manera, la capacidad de pasar de un tipo de representación 
a otro es a menudo de gran importancia para desenvolverse en situaciones y 
tareas concretas. 
• Probabilidad: Implica dos tópicos relacionados: datos y probabilidad, los cuales 
son objeto de estudio de las matemáticas. Los conceptos y actividades 
matemáticas más importantes en esta área son la recolección de datos, el análisis 
de datos y su organización o visualización, la probabilidad y la inferencia. 
 
Es así como, aun cuando los temas de Cálculo no forman parte de la prueba PISA, 
éstos pueden ser vinculados al contenido de cambio y relaciones incluido en ésta. Un 
par de ejemplos de esto son las razones de cambio que servirán para la construcción de 
la derivada; y las diferentes representaciones de una función (geométrica, algebraica, 
tabular) y la relación entre ellas, las que se utilizarán para trabajar con el concepto de 
límite. De esta forma, un nivel bajo de competencia en esta área podría ser, de no 
atenderse este problema, un indicador de futuras dificultades en el aprendizaje del 
Cálculo, incluido el tema de límites. 
Para llevar a cabo la evaluación de la competencia matemática, se han establecido 
seis niveles de desempeño para cada uno de los componentes de contenido 
(subescalas). Tomando en cuenta lo dicho en el párrafo anterior, el desempeño del 
estudiante en el tema de límites puede ser evaluado con la escala de competencia en el 
contenido de cambio y relaciones, debido a que se trabaja con las diferentes 
representaciones del límite (geométrica, tabular y algebraica) y se necesita una cierta 
17 
 
habilidad de razonamiento e interpretación de datos por parte del estudiante. En la tabla 
1.1. se describe esta subescala de competencia matemática. 
Tabla 1.1. Niveles de competencia matemática. Subescala: Cambio y relaciones (PISA). 
Nivel Características 
6 
Usar comprensión significativa y habilidades de razonamiento y argumentación abstractas. Tener 
conocimiento técnico y de convenciones para solucionar problemas y generalizar soluciones matemáticas 
a problemas complejos del mundo real. 
5 
Resolver problemas, usando el álgebra avanzada, modelos y expresiones matemáticas formales. Asociar 
representaciones matemáticas formales a situaciones complejas del mundo real. Usarhabilidades de 
solución de problemas complejos y de multinivel. Reflexionar y comunicar razonamientos y 
argumentaciones. 
4 
Entender y trabajar con representaciones múltiples, incluyendo modelos matemáticos explícitos de 
situaciones del mundo real para resolver problemas prácticos. Tener flexibilidad en la interpretación y 
razonamiento en contextos no familiares; y comunicar las explicaciones y argumentaciones resultantes. 
3 
Resolver problemas que impliquen trabajar con representaciones múltiples (textos, gráficas, tablas, 
fórmulas) que incluyan cierta interpretación y razonamiento en contextos familiares, así como la 
comunicación de argumentaciones. 
2 
Trabajar con algoritmos, fórmulas y procedimientos simples en la solución de problemas; asociar texto a 
una representación sencilla (gráfica, tabla, fórmula); usar habilidades básicas de interpretación y 
razonamiento. 
1 
Localizar información relevante en una tabla o gráfica sencilla; seguir instrucciones directas y simples, al 
leer información de una tabla o gráfica en una forma familiar o estándar; realizar cálculos simples que 
impliquen relaciones entre dos variables familiares. 
Fuente: INEE (2005). Pisa para Docentes: La evaluación como oportunidad de aprendizaje. p. 32-33. 
 
Del mismo modo, son seis los niveles de competencia matemática establecidos en 
la escala global, dados de acuerdo con el puntaje obtenido en la sección de matemáticas 
de la prueba PISA, los cuales se describen en la tabla 1.2. Es con esta escala que la 
OCDE midió el desempeño promedio de los estudiantes que realizaron la prueba, y 
proporcionó de esta forma información que puede ser pertinente para la educación 
matemática. 
 
18 
 
Tabla 1.2. Niveles de competencia matemática global (PISA). 
Nivel Puntaje Características 
6 (> 668) 
Los estudiantes son capaces de conceptualizar, generalizar y utilizar información basada 
en sus investigaciones y en su elaboración de modelos para resolver problemas complejos. 
Pueden relacionar diferentes fuentes de información. Demuestran pensamiento y 
razonamiento matemático avanzado. Pueden aplicar sus conocimientos y destrezas en 
matemáticas para enfrentar situaciones novedosas. Pueden formular y comunicar con 
precisión sus acciones y reflexiones. 
5 (607–668) 
Los estudiantes pueden desarrollar y trabajar con modelos para situaciones complejas. 
Pueden seleccionar, comparar y evaluar estrategias adecuadas de solución de problemas 
complejos relacionados con estos modelos. Pueden trabajar de manera estratégica al usar 
ampliamente habilidades de razonamiento bien desarrolladas, representaciones de 
asociación y caracterizaciones simbólicas y formales. 
4 (545–606) 
Los estudiantes son capaces de trabajar efectivamente con modelos explícitos para 
situaciones complejas concretas. Pueden seleccionar e integrar diferentes 
representaciones, incluyendo símbolos y asociándolos directamente a situaciones del 
mundo real. Pueden usar habilidades bien desarrolladas y razonar flexiblemente con cierta 
comprensión en estos contextos. Pueden construir y comunicar explicaciones y 
argumentos. 
3 (483–544) 
Los estudiantes son capaces de ejecutar procedimientos descritos claramente, incluyendo 
aquellos que requieren decisiones secuenciales. Pueden seleccionar y aplicar estrategias 
simples de solución de problemas. Pueden interpretar y usar representaciones basadas en 
diferentes fuentes de información, así como razonar directamente a partir de ellas. Pueden 
generar comunicaciones breves para reportar sus interpretaciones, resultados y 
razonamientos. 
2 (421–482) 
Los estudiantes pueden interpretar y reconocer situaciones en contextos que requieren 
únicamente de inferencias directas. Pueden extraer información relevante de una sola 
fuente y hacer uso de un solo tipo de representación. Pueden emplear algoritmos, fórmulas, 
convenciones o procedimientos básicos. Son capaces de hacer interpretaciones literales de 
los resultados. 
1 (358–420) 
Los estudiantes son capaces de contestar preguntas que impliquen contextos familiares 
donde toda la información relevante esté presente y las preguntas estén claramente 
definidas. Son capaces de identificar información y desarrollar procedimientos rutinarios 
conforme a instrucciones directas en situaciones explícitas. Pueden llevar a cabo acciones 
que sean obvias y seguirlas inmediatamente a partir de un estímulo dado. 
Debajo 
de 1 
(< 358) Los estudiantes no son capaces de realizar las tareas de matemáticas más elementales que 
pide PISA. 
Fuente: OCDE (2006). El programa PISA de la OCDE qué es y para qué sirve. p.15-16. 
 
19 
 
La evaluación PISA se realiza de manera cíclica, cada tres años, y cada aplicación 
se enfoca en un área temática concreta. Por ejemplo, la prueba del año 2000 se enfocó 
en la lectura, la del 2003 en matemáticas y la del 2006 en ciencias, completando así la 
primera fase de nueve años. La segunda fase de evaluaciones se aplicó en los años 
2009 (lectura), 2012 (matemáticas) y 2015 (ciencias). De esta manera es posible 
comparar, por ejemplo, los resultados de las pruebas del 2003 y del 2012, debido a que 
en ambas el enfoque se concentró en matemáticas. 
De acuerdo con los resultados de la prueba PISA realizada en el 2012, México 
aumentó 28 puntos en matemáticas entre PISA 2003 (385 puntos) y PISA 2012 (413 
puntos), acercándose un poco más al promedio de la OCDE de 494 puntos. Sin embargo, 
el 55% de los alumnos mexicanos no alcanzó el nivel de competencias básicas en 
matemáticas (nivel 2), comparado con el promedio de la OCDE de 23%. También se 
observa que menos del 1% de los estudiantes mexicanos logró alcanzar los niveles 5 y 
6 de competencia, muy alejado del promedio OCDE de 13%6. 
Otro resultado que preocupa de la prueba del 2012 indica que el nivel de ansiedad 
de los estudiantes mexicanos hacia las matemáticas es alto. Más del 75% afirma tener 
preocupación por dificultades en clase de matemáticas, y casi la mitad siente ansiedad 
al resolver problemas matemáticos. El nivel de ansiedad hacia las matemáticas fue el 
más alto de entre todos los países de la OCDE. 
En los resultados de PISA 2015, México tuvo un promedio de 408 puntos en 
matemáticas (promedio OCDE: 490 puntos), un puntaje menor al obtenido en PISA 2012. 
 
6 Resultados de PISA 2012 (México). (https://www.oecd.org/pisa/keyfindings/PISA-2012-results-mexico-ESP.pdf) 
20 
 
Para este año, el porcentaje de estudiantes que no alcanzaron el nivel básico de 
competencia matemática subió al 57% (promedio OCDE: 23%). Así mismo, el promedio 
de los estudiantes mexicanos que alcanzaron los niveles más altos de competencia 
disminuyó a un 0.3% (promedio OCDE: 10.7%)7. 
Al observar los resultados de esta prueba PISA a lo largo de los años, es necesario 
que se tomen otras medidas no sólo para mejorar las competencias matemáticas de los 
estudiantes de nivel medio superior, sino para disminuir el nivel de ansiedad que esta 
asignatura genera en ellos. 
 
1.3.2 Panorama nacional. 
En México, la Secretaría de Educación Pública (SEP), en coordinación con el INEE, 
es la encargada de aplicar la prueba PLANEA (Plan Nacional para la Evaluación de los 
Aprendizajes) a estudiantes del último grado de la Educación Media Superior de manera 
anual desde el año 2015. El propósito de esta prueba es conocer el nivel de dominio que 
los estudiantes tienen de un conjunto de aprendizajes esenciales pertenecientes a dos 
áreas de competencia: Lenguaje y Comunicación, y Matemáticas.8 
En el caso de Matemáticas, se evalúan cuatro contenidos temáticos: Sentido 
numérico y pensamiento algebraico, Cambios y relaciones, Forma, espacio y medida, y 
Manejo de la información. Del mismo modo que en la prueba PISA, el Cálculo (incluido 
el tema de límites) puede relacionarse con el contenido temático cambios y relaciones 
 
7 Resultados de PISA 2015 (México). (http://www.oecd.org/pisa/pisa-2015-Mexico-ESP.pdf)8 Planea en Educación Media Superior. (http://planea.sep.gob.mx/ms/) 
21 
 
del examen PLANEA. Los niveles de logro para este contenido temático se muestran 
entonces en la tabla 1.3. 
Tabla 1.3. Niveles de logro en Matemáticas: Cambios y relaciones (PLANEA 2017). 
Nivel Características 
IV Realizan la resta de funciones y evalúan números negativos en ellas. Determinan el dominio y el rango 
de una función, así como el valor de la pendiente y la ecuación de una recta a partir de su gráfica. 
III Determinan si los datos de una tabla presentan relaciones de proporcionalidad. Resuelven problemas de 
proporcionalidad. Interpretan las relaciones y parámetros de la función lineal dentro una situación. 
Realizan la suma de funciones y evalúan números positivos en ellas. 
II Resuelven problemas de valor faltante en tablas de proporcionalidad inversa. Identifican la función lineal 
que modela a un fenómeno. 
I Los estudiantes resuelven problemas de valor faltante en tablas de proporcionalidad directa. Identifican 
el valor máximo que alcanza un fenómeno a partir de su gráfica. Sin embargo, tienen dificultades para 
reconocer y establecer, algebraica o gráficamente, la relación de dependencia de dos variables 
Fuente: SEP (2017). PLANEA. Resultados nacionales 2017. Educación Media Superior. 
Los resultados de esta prueba se agrupan en cuatro niveles de logro que 
representan qué tanto se han apropiado los estudiantes de los aprendizajes esenciales. 
Estos niveles son acumulativos, es decir, aquellos estudiantes que han adquirido los 
aprendizajes de un determinado nivel de logro poseen también el de todos los niveles 
previos. En la tabla 1.4. se describen los niveles de logro para Matemáticas. 
Tabla 1.4. Niveles de logro en Matemáticas (PLANEA 2017). 
Nivel Características 
IV Dominan las reglas para transformar y operar con el lenguaje matemático (por ejemplo, las leyes de los 
signos); expresan en lenguaje matemático las relaciones que existen entre dos variables de una situación 
o fenómeno; y determinan algunas de sus características (por ejemplo, deducen la ecuación de la línea 
recta a partir de su gráfica). 
III Emplean el lenguaje matemático para resolver problemas que requieren del cálculo de valores 
desconocidos, y para analizar situaciones de proporcionalidad. 
II Expresan en lenguaje matemático situaciones donde se desconoce un valor o las relaciones de 
proporcionalidad entre dos variables, y resuelven problemas que implican proporciones entre cantidades 
(por ejemplo, el cálculo de porcentajes). 
I Tienen dificultades para realizar operaciones con fracciones y operaciones que combinen incógnitas o 
variables (representadas con letras), así como para establecer y analizar relaciones entre dos variables. 
Fuente: SEP (2017). PLANEA. Resultados nacionales 2017. Educación Media Superior. 
22 
 
De acuerdo con los resultados de la prueba PLANEA 2017 se encontró que, en 
matemáticas, 6 de cada 10 estudiantes se ubica en el nivel I (66%); casi 2 de cada 10 se 
ubican en el nivel II (23 %); en el nivel III, sólo 8 de cada 100 estudiantes (8%); y en el 
nivel IV, casi 3 estudiantes de cada 100 (2.5%)9. 
El perfil de la prueba PLANEA en Educación Media Superior realizada en el año 
2017 se alinea a la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), publicada 
en el 2008 por la Subsecretaría de Educación Media Superior (SEMS). Esta reforma 
consiste en la Creación del Sistema Nacional del Bachillerato (SNB) con base en cuatro 
pilares10: 
1. Construcción de un Marco Curricular Común. 
2. Definición y reconocimiento de las opciones de la oferta de la EMS. 
3. Profesionalización de los servicios educativos. 
4. Certificación Nacional Complementaria. 
Con esto, se busca la homogeneidad del bachillerato en México, al establecer las 
competencias disciplinares básicas características que deberán abarcar los diferentes 
subsistemas de Educación Media Superior del país. Como lo explica Lozano (2009): 
En la actualidad esta Reforma se encuentra en marcha y pretende a corto 
plazo implementar el Sistema de Educación Media Superior, a fin de lograr la 
universalización del bachillerato, mejorar la calidad educativa mediante la 
construcción de un espacio que dé pertinencia a los planes de estudio y en el 
cual se permita, por lo tanto, el tránsito y la movilidad de los estudiantes entre 
esos espacios; todo eso fundamentado en competencias genéricas que 
constituyan el perfil del egresado del Sistema. Igualmente, se pretende, para 
el caso de los docentes, fortalecer su formación, capacitación, actualización y 
 
9 PLANEA. Resultados nacionales 2017. Educación Media Superior. 
(http://planea.sep.gob.mx/content/general/docs/2017/ResultadosNacionalesPlaneaMS2017.pdf) 
10 La Reforma Integral de la Educación Media Superior (http://cosdac.sems.gob.mx/portal/index.php/riems) 
23 
 
movilidad, en un marco de respeto a la diversidad de las diferentes 
modalidades. (p.126) 
 
De esta forma, la prueba PLANEA ayuda a identificar la inequidad entre los distintos 
sistemas de educación media superior. Como se plantea en los resultados PLANEA 
2017: “Idealmente, sin importar las condiciones de origen y la escuela a la que asistan, 
todos los estudiantes deberían aprender un conjunto de contenidos curriculares básicos”. 
Asimismo, el análisis de estos resultados permite conocer tanto los aciertos como los 
retos en los que se deberá seguir trabajando. 
En el capítulo siguiente, se describirá la importancia del estudio del Cálculo en el 
bachillerato y, en especial, del tema de límites. Asimismo, se describirán los modelos 
educativos que se utilizan en algunos de los sistemas de educación media superior y el 
papel que tiene la enseñanza del límite en cada uno de ellos. 
 
24 
 
CAPÍTULO 2 
MARCO DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA 
En el capítulo anterior se mencionaron los elementos que conforman la 
problemática que rodea al proceso de enseñanza-aprendizaje en el tema de límites 
finitos. Esta problemática puede llevar a cuestionar la pertinencia de este tema en el 
estudio del Cálculo, o inclusive si es necesaria la enseñanza de esta rama de las 
matemáticas en el nivel medio superior. 
Es por esta razón que en este capítulo se describe la importancia de la enseñanza 
de Cálculo en el bachillerato y el papel que juega el tema de límites dentro de la misma 
matemática, así como en el desarrollo de habilidades matemáticas y cognitivas del 
alumno. La trascendencia de este tema dentro del mismo Cálculo hace que sea 
necesaria una atención especial en su enseñanza. Es por esto por lo que se diseñó una 
secuencia didáctica para el tema de límites algebraicos finitos, misma que se compone 
de cuatro situaciones didácticas, en las que se tomaron en cuenta diversos factores 
didácticos y pedagógicos en su planeación, y los cuales se explican más adelante en 
este capítulo. 
 
2.1 Importancia de la Enseñanza del Cálculo 
La asignatura de Cálculo Diferencial e Integral es una de las últimas que se les 
presenta a los estudiantes a lo largo de la Educación Media Superior, al ser impartida en 
el tercer y último año de bachillerato. Es una materia de gran importancia para el currículo 
escolar, debido a que es en ésta en la que los alumnos deberán aplicar todos los 
25 
 
conocimientos matemáticos que han adquirido a lo largo de su trayectoria escolar, 
además de trabajar con conceptos más abstractos y de utilizar un lenguaje matemático 
más formal. Es decir, el curso de Cálculo funciona como una división entre la matemática 
elemental y la matemática avanzada (Cantoral, 1993). Los estudiantes utilizan los 
conocimientos aritméticos, algebraicos y geométricos que ya poseen y, a la vez, se les 
presentan conceptos nuevos como los procesos infinitos, las situaciones límite, la 
derivada y la integral. Estos últimos se consideran los dos conceptos fundamentales del 
Cálculo, los cuales giran en torno a las ideas de variación(derivada) y de acumulación 
(integral). 
La presentación de todos estos nuevos conceptos hace necesaria la introducción 
de nuevos simbolismos, estrategias y concepciones que estarán ligados al enfoque de 
estudio. Así, el estudio del Cálculo puede ser abordado de maneras muy distintas, las 
cuales dependerán de los objetivos de aprendizaje que se deseen alcanzar en cada uno 
de los programas de estudio de los diferentes subsistemas de la Educación Media 
Superior. Por ello, Cantoral (1993) habla de dos tipos de enfoque en la enseñanza del 
Cálculo: el simbólico y el formal. Por un lado, se puede ver al Cálculo como un aparato 
simbólico que opera sobre variables (enfoque simbólico), por lo que los temas tratados 
en el programa incluirían la relación entre variables, la razón de cambio, derivación, 
integración y sus aplicaciones; éste es el enfoque que toma el programa de Cálculo del 
Colegio de Ciencias y Humanidades de la UNAM11. Por otro lado, si se considera al 
Cálculo como un aparato formal que actúa sobre funciones reales (enfoque formal), 
entonces el criterio ε-δ de límites formaría parte de los temas del programa, y con este 
 
11 Programas de Estudio. Área de Matemáticas. Cálculo I–II. CCH, México. 2016. 
26 
 
último se construirían los conceptos de continuidad, derivada, integral y convergencia, 
además de poder presentar con mayor formalidad los teoremas más importantes, 
incluyendo el teorema Fundamental del Cálculo; éste es el caso del enfoque del 
programa de Cálculo de la Escuela Nacional Preparatoria de la UNAM12. Una tercera 
posibilidad es combinar elementos de ambos acercamientos, de manera que exista un 
equilibrio entre formalidad y simbolismo. 
Esta situación hace necesario que se analice la importancia de cada uno de los 
contenidos temáticos y si deberán de ser o no incluidos en el currículo. Para ésto, de 
acuerdo con Cantoral, existen cuatro tipos de currículo, cada uno con una función 
específica: el currículo deseado (diseñado por especialistas y expertos curriculares), el 
currículo planteado (modificado por el profesor de acuerdo con su experiencia y criterio), 
el currículo logrado (lo que el alumno se apropia y que realmente aprendió) y el currículo 
útil (lo que la sociedad considera necesario). Lo que se desea entonces es que los 
contenidos que se propongan en el currículo, en este caso de Cálculo, sean los mismos 
que los profesores enseñan a sus alumnos, que sean los que realmente aprenden éstos 
últimos y que los que les servirán en la vida cotidiana. 
Es decir, el objetivo es que los alumnos puedan aplicar en la vida diaria los 
conocimientos que se adquieren en el curso de Cálculo. Un claro ejemplo de esto son 
las aplicaciones de la derivada (en problemas de optimización) y de la integral (en 
construcción de modelos para la predicción de comportamientos). No obstante, para 
poder aplicar correctamente estos procedimientos, se necesita haber comprendido con 
 
12 Programas de Estudio. Área de Matemáticas, Matemáticas VI. ENP, UNAM. 1996. 
27 
 
anterioridad los conceptos de derivada e integral, para los cuales son necesarios los 
límites, además de los procedimientos algebraicos y geométricos que se relacionan a 
éstos. En otras palabras, sin la previa comprensión de estos conceptos no será posible 
alcanzar el objetivo de una aplicación del Cálculo a la vida cotidiana. Esto indica que, en 
el curso de Cálculo, primero se debe construir una base matemática sólida en los 
alumnos para que posteriormente puedan aplicar sus conocimientos en la resolución de 
problemas presentes en la vida cotidiana. 
 
2.2 Importancia de los Límites en Cálculo 
En el Cálculo, existen dos conceptos muy importantes: límite y función. Mediante 
éstos, es posible realizar la construcción de conceptos más complejos como la 
continuidad (la existencia del límite en un punto), la derivada (el método de los cuatro 
pasos) y la integral (el límite de las sumas de las áreas bajo una curva). Esto se debe a 
que el propósito de la función es representar cambios, lo que lleva a la construcción de 
conceptos como razón de cambio (derivación) y crecimiento acumulativo (integración). 
De no haber una buena comprensión del concepto de límite, no será posible tener 
un aprendizaje significativo de los conceptos que utilicen al límite para su construcción, 
y aún menos de los procedimientos para la aplicación de éstos en la vida cotidiana. Es 
por esto por lo que es vital que se tenga una atención especial a este tema. Es decir, el 
concepto de límite es el conocimiento previo necesario para el estudio de la continuidad, 
la derivada y la integral de una función, lo que conforma el núcleo del programa de 
Cálculo. Y sin estos conceptos será imposible alcanzar el objetivo de una aplicación del 
Cálculo a la vida cotidiana del alumno. 
28 
 
Sin embargo, aun cuando el objetivo de todo el curso de Cálculo sea llegar a una 
aplicación en el mundo real, esto no significa que cada uno de los temas que conforman 
el programa de esta asignatura pueda llevarse a cabo mediante enseñanza situada, y 
este es el caso en el tema de límites. Si bien es posible hacer una analogía con un 
ejemplo de algún límite de la vida cotidiana, como el ejemplo del límite de velocidad que 
se utiliza en la secuencia didáctica, esto no es suficiente para considerar este tema como 
uno que pueda ser contextualizado. Aun así, esto no disminuye la importancia que tiene 
este tema dentro del Cálculo mismo, ya que su valor se encuentra en la construcción de 
otros conceptos clave y no en su aplicación práctica. Esto lo reafirma Ángel Díaz Barriga 
(2003) en su trabajo: 
Por otra parte, quienes interpretan el campo curricular desde las diversas 
perspectivas de la vida cotidiana, descubren una insospechada riqueza en la 
vida escolar que reclama ser conocida. Sus diversos instrumentos de 
aproximación les permiten dar cuenta de una serie de acontecimientos sobre 
los cuáles no se ha reflexionado. Ello los lleva a buscar modelos de 
conceptualización de esta realidad que en ocasiones resultan “abigarrados”; 
sin embargo, establecen un rigor conceptual en un lugar donde lo que impera 
es el acontecimiento educativo en sí. En estricto sentido debemos reconocer 
que no siempre logran esta tarea; tampoco ofrecen un análisis que permita 
una mejor comprensión del acontecimiento educativo. En parte porque las 
conceptualizaciones densas al final de cuentas impiden iluminar lo que 
acontece en el aula, y porque en ocasiones se pierden en la descripción de 
sus observaciones con interpretaciones simples y puntuales a hechos 
complejos. Ciertamente consideran “absurda” la pretensión de establecer una 
organización curricular, pues sus estudios muestran que existe una “contra-
organización” que surge en el aula, en la relación cotidiana entre docentes y 
estudiantes. De igual forma extienden comentarios críticos que desconocen 
cualquier otra opción curricular. (p.9) 
 
De esta forma, no todos los temas se prestarán para ser situados o 
contextualizados, por lo que se deberán elegir otros métodos de enseñanza que den al 
alumno un sentido y significado de éstos, pero ya no en la vida cotidiana, sino dentro de 
la misma matemática. Esto es, su importancia radicará en su valor puramente 
29 
 
matemático (la aplicación que tienen dentro de la misma matemática) y en las habilidades 
que estos temas puedan desarrollar en los alumnos. 
 
2.2.1 Desarrollo de habilidades matemáticas. 
Al aprender Cálculo se desarrolla en los alumnos una forma de pensamiento y de 
lenguaje muy particular ya que se analizan diferentes tipos de relaciones, se utilizan 
diferentes sistemas de representación, se plantean conjeturas y se argumenta la validez 
de éstas. Esto propicia que se puedan aplicar distintos recursos y estrategias que 
permitan la apropiación de los conceptos y procesos matemáticos en los tres contextos 
de aprendizaje: el puramente matemático,el del mundo real y el hipotético. En este 
aspecto, la RIEMS describe ocho competencias disciplinares básicas y extendidas que 
se abordan en este campo disciplinar13, de las cuales dos (argumentación e 
interpretación) serán de particular importancia para el trabajo de la secuencia didáctica: 
1. Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de 
procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión 
y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 
2. Formular y resolver problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 
3. Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos 
matemáticos y contrastar con modelos establecidos o situaciones reales. 
4. Argumentar la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, 
gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático 
y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 
5. Analizar las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural 
para determinar o estimar su comportamiento. 
6. Cuantificar, representar y contrastar experimental o matemáticamente las 
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 
 
13 Programa de Estudios de Matemáticas. Bachillerato Tecnológico. Componentes de formación básica y 
propedéutica. SEP, México. 2013. p. 10. 
30 
 
7. Elegir un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o 
fenómeno, y argumentar su pertinencia. 
8. Interpretar tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos 
matemáticos y científicos. 
 
Estas competencias representan las habilidades que pueden ser desarrolladas por 
los estudiantes en los contenidos de los distintos cursos de matemáticas del bachillerato, 
entre los que se encuentra el programa de Cálculo. En específico, el tema de Límites en 
el que se basa la secuencia didáctica se relaciona con la argumentación de la solución 
de un problema mediante métodos numéricos, gráficos y algebraicos para la obtención 
del límite de una función, lo que lleva a la interpretación de tablas, gráficas y texto 
matemático. En la secuencia didáctica, se abordan estas habilidades al trabajar con 
diferentes representaciones del concepto de límite (gráfica, tabular y algebraica) y los 
distintos métodos de obtención del límite para cada caso. 
Al ser este listado propuesto por la RIEMS, se espera que en los distintos 
subsistemas de la EMS se desarrollen las mismas habilidades. Por ejemplo, en el caso 
del programa del Colegio de Ciencias y Humanidades de la UNAM, son seis las 
habilidades a desarrollar que se enlistan en el programa de estudios de Cálculo14, de las 
cuales dos (formalización matemática y visualización espacial) serán las involucradas en 
la secuencia didáctica: 
• Estimación: identificar el rango de valores en los que puede estar un resultado, 
redondear cantidades para facilitar operaciones y contar así con una 
apreciación del resultado de estas. 
• Generalización: percibir relaciones, formas y estructuras; distinguir lo relevante 
de lo irrelevante y lo común de lo diferente. 
 
14 Programas de Estudio. Área de Matemáticas. Cálculo I–II. CCH, México. 2016. p. 8. 
31 
 
• Formalizar “material matemático”: operar con estructuras más que con el 
contexto de una situación, operar con numerales y símbolos, combinando 
reglas y estrategias. 
• Reversibilidad de pensamiento: invertir una secuencia de operaciones o un 
proceso de pensamiento. 
• Flexibilidad de pensamiento: disponibilidad para abandonar estereotipos o 
procedimientos en los que se ha tenido éxito para utilizar otros nuevos. 
• Visualización espacial: percibir esquemas geométricos contenidos en 
otros más complejos, o bien adelantar mentalmente el tipo de figura 
resultante al aplicar algún movimiento o transformación a una figura dada. 
 
Como se mencionó, el tema de Límites se relaciona especialmente con dos de las 
habilidades anteriores, la formalización matemática y la visualización espacial. Para su 
desarrollo, en la secuencia didáctica se utiliza tanto el lenguaje matemático (resolución 
algebraica), como su representación gráfica (visualización con GeoGebra) para la 
construcción del concepto de límite y sus teoremas. 
Mediante la aplicación de esta secuencia didáctica, se espera desarrollar en los 
alumnos estas habilidades matemáticas. Esto es esencial no sólo en el aspecto 
educativo o matemático, ya que estas habilidades les servirán a los alumnos para 
afrontar las problemáticas de la vida cotidiana. 
 
2.2.2 Desarrollo de procesos cognitivos. 
El estudio del Cálculo (y del límite) no sólo desarrolla habilidades matemáticas en 
los estudiantes, también están involucrados procesos cognitivos que afectarán el grado 
de aprendizaje de los contenidos temáticos. Estos procesos mentales podrán 
desarrollarse al mismo tiempo que sus habilidades matemáticas. Sin embargo, como 
32 
 
estos procesos no pueden observarse directamente, se deberán analizar diferentes 
aspectos que proporcionen información de éstos. 
Uno de los aspectos en los que se hace especial énfasis es en estudiar las 
dificultades de aprendizaje de los estudiantes: identificar las causas para determinar una 
solución. En el caso específico del Cálculo, al estar fundamentado sobre los conceptos 
de función y límite, será de gran ayuda entender las dificultades inherentes de estos dos 
conceptos. Asimismo, es necesario conocer las dificultades u obstáculos generales hacia 
las matemáticas entre las que se encuentran: “el poco uso de la visualización y la 
estimación numérica, el estudio de estrategias en la resolución de problemas, el 
razonamiento bajo hipótesis y el papel de los métodos e ideas del cálculo en la 
modelación matemática” (Cantoral, 1993, p.9). Algunas de estas dificultades son las que 
se pretenden aminorar entre los estudiantes al aplicar la secuencia didáctica, en especial 
el problema de visualización matemática del que se hablará con mayor detalle 
posteriormente. 
Uno de los aspectos esenciales, es que se deben de tomar en cuenta los distintos 
estilos cognitivos utilizados en el aprendizaje de los alumnos, esto es, las diferencias en 
los modos o estilos de actuación cognitiva que se presentan en la comprensión y en la 
resolución de problemas cognitivos (Zapata, 2010). Estas diferencias en los estilos 
cognitivos se deben a que cada uno de los estudiantes es distinto y se inclina por un 
estilo en particular, lo que implica que cada uno de ellos capta la información de un modo 
y a un ritmo distinto. Es decir, se debe tener siempre presente que no todos los 
estudiantes aprenden de la misma manera y que esto puede afectar su desempeño. 
Como explica Zapata (2010), el profesor debe ajustar periódicamente sus procedimientos 
33 
 
en el salón de clases con el objetivo de atender estas diferencias individuales en los 
alumnos. 
Esta es una de las razones por la cual en esta secuencia didáctica se pretende salir 
de la enseñanza tradicional centrada en el profesor y utilizar otros métodos de enseñanza 
que permitan cubrir una mayor cantidad de estilos cognitivos. Para esto, en la secuencia 
didáctica la exposición verbal del profesor (estilo auditivo) se auxilia de materiales 
visuales (estilo visual) como las gráficas que realiza el profesor y las que manipulan los 
mismos alumnos en GeoGebra (estilo kinestésico). También se busca que el estudiante 
utilice tanto el pensamiento deductivo como el inductivo, un ejemplo de esto en la 
secuencia es en la presentación de las propiedades de los límites (que deberán inducir 
mediante diversos ejemplos) y cómo se utilizan para obtener el límite de una función. 
Con esto se desea que, independientemente del estilo cognitivo del alumno, éste sea 
capaz de adquirir el conocimiento que se le requiere transmitir. 
Otro aspecto importante es el desarrollo del pensamiento matemático avanzadoque es necesario en un curso de Cálculo, ya que éste implica también el desarrollo de la 
reflexión y la creatividad del alumno, además de la justificación de sus procedimientos, 
ya sean matemáticos o no. Este pensamiento reflexivo y creativo del alumno se 
desarrolla al propiciar que éste analice la problemática, que busque y proponga 
soluciones para resolverla. Por ejemplo, en la resolución de límites indeterminados el 
estudiante deberá analizar el significado de la indeterminación y buscar otros métodos 
de resolución que permitan obtener el límite deseado. Como lo explica Cantoral: 
La justificación está vinculada con la prueba, se ocupa de ordenar esos 
aspectos creativos en secuencias lógicas con al menos dos objetivos: verificar 
la naturaleza de esas realizaciones mentales y comunicarlo a una comunidad. 
34 
 
El pensamiento matemático avanzado no trata exclusivamente de cómo se 
argumenta y justifica en matemáticas. (p.17) 
 
Este tipo de pensamiento avanzado implica diversas dificultades, por lo que los 
profesores simplifican la teoría para presentársela al alumno de la manera más intuitiva 
posible. Es decir, se le presenta a los alumnos una versión diluida del contenido 
matemático, y se espera que esto permita al alumno comprenderlo de mejor forma. Sin 
embargo, muchas veces el término intuitivo se confunde con una simple falta de 
rigurosidad matemática que puede provocar un problema mayor (Tall, 1985). Así, un 
desarrollo cognitivo apropiado deberá llevar a demostraciones que sean intuitivas, pero 
lo suficientemente rigurosas (en el sentido de utilizar el lenguaje matemático correcto en 
cada paso del proceso) para permitir al estudiante comprender la información que se le 
presente y sus diferentes representaciones. En el caso de la secuencia didáctica, el 
concepto de límite se le presenta al alumno de una manera intuitiva (en términos de 
visualización al trabajar con la representación geométrica, algebraica y tabular del límite 
y la relación entre ellas), pero también de una forma rigurosa al justificar cada paso 
mediante el lenguaje algebraico. 
Esto significa que lo ideal es lograr un equilibrio en tres aspectos clave del Cálculo: 
el representativo (dibujar gráficas), el axiomático (definir conceptos) y el simbólico 
(manipular fórmulas); esto incluye de igual forma a los límites. Como explica Tall (2008), 
las matemáticas se construyen en tres diferentes mundos: el conceptual-representativo 
(percepción de propiedades en el mundo real), axiomático-formal (definiciones y 
demostraciones) y el proceptual-simbólico (procesos y conceptos). Aun cuando la 
secuencia didáctica en algún momento está presente en cada uno de estos mundos, es 
35 
 
en este último mundo proceptual-simbólico en el que se llevará a cabo la mayor parte de 
dicha secuencia, al enfocarse en la presentación del concepto de límite y los procesos 
que se llevan a cabo para su cálculo. 
Una de las formas de cubrir las características de estos mundos, es utilizar software 
gráfico que permita visualizar cómo se construyen los conceptos y cómo se relacionan 
con su representación gráfica, de manera que esto propicie una mejor comprensión de 
los conceptos para que, a su vez, pueda realizar los procedimientos relacionados con 
ese concepto. 
 
2.2.3 Importancia de la visualización matemática. 
Como se mencionó en el primer capítulo, la gran mayoría de los problemas en el 
proceso de enseñanza-aprendizaje del tema de límites se relaciona con problemas de 
visualización matemática, es decir, la habilidad de los alumnos para entender, manipular 
y hacer la conversión entre las diferentes representaciones de un concepto o problema. 
Es por esta razón que es preciso prevenir este problema en la medida de lo posible, ya 
que como se dijo antes, esto también dependerá de los estilos cognitivos de los 
estudiantes. 
La visualización se refiere a la representación de un concepto abstracto e 
inaccesible a la visión, por lo que requiere dar características visuales a algo que no lo 
es. La visualización es entonces, una actividad cognitiva que es intrínsecamente 
semiótica, es decir, no es física ni mental (Duval, 1999). Una representación semiótica 
muestra las relaciones o la organización de relaciones entre unidades 
36 
 
representacionales, y éstas pueden ser figuras en dos o tres dimensiones, coordenadas, 
proposiciones o palabras. 
Duval (1999) considera como esencial el uso de sistemas de representación 
semiótica para el pensamiento matemático, ya que la única forma de tener acceso a los 
objetos matemáticos es mediante la producción de algunas representaciones semióticas. 
Además de esto, también explica que cada una de las representaciones es parcial 
respecto al concepto que representan, por lo que es imperativa la interacción entre estas 
representaciones para la construcción de los conceptos matemáticos. Dicho de otro 
modo, ninguna de las diferentes representaciones de un concepto alcanza a exponer 
todas sus características. Esta es una de las razones por las que en la secuencia 
didáctica se utilizan tres representaciones del concepto de límite: la gráfica, la tabular y 
la algebraica. 
Respecto al aprendizaje en matemáticas, Duval afirma que éste no progresará de 
manera adecuada si los estudiantes no comprenden cómo funcionan los diferentes 
registros de representación semiótica. De este modo determina los tres requerimientos 
para el aprendizaje de las matemáticas, sin los cuales no se dará una verdadera 
comprensión matemática: 
1. Comparar representaciones similares con el mismo registro para distinguir 
valores relevantes dentro de un entendimiento matemático. 
2. Convertir una representación de un registro a otro. 
3. Distinguir su funcionamiento para entender el proceso matemático que se lleva 
a cabo en el registro. 
Esto significa que no sólo basta con comprender cada una de las representaciones 
de un concepto, sino que es necesario hacer una correlación entre ellas, de tal forma 
37 
 
que los estudiantes puedan trabajar con cualquier representación semiótica y cambiar 
de representación de ser necesario. En caso anterior para límites, los estudiantes 
deberán ser capaces de utilizar, comparar y hacer conversiones entre las 
representaciones gráfica, tabular y algebraica. 
Es por esto por lo que es vital que los estudiantes desarrollen habilidades 
relacionadas con la visualización matemática, con las que puedan complementar al 
sistema de representación algebraica que se utiliza mayormente en la actualidad. 
Adicionalmente, el uso de diferentes representaciones tiene un papel fundamental en la 
resolución de problemas. Como mencionan Zimmermann y Cunningham (citados en Hitt, 
1998): 
…en la visualización matemática lo que interesa es precisamente la habilidad 
del estudiante para dibujar un diagrama apropiado (con lápiz y papel, o en 
algunos casos, con computadora) para representar un concepto matemático 
o problema y para usar el diagrama para el logro del entendimiento, y como 
una ayuda en la resolución de problemas. (p.26) 
 
Para lograr que los estudiantes usen diferentes representaciones de un concepto 
matemático, y que puedan pasar de una representación a otra, una herramienta de gran 
utilidad es el uso de la tecnología. No obstante, el simple hecho de usar tecnología no 
implica que los estudiantes serán capaces de hacer conversiones entre estas 
representaciones. El uso de la tecnología debe ser reflexivo y creativo, de modo que 
permita dar un significado concreto a las nociones matemáticas y que, por lo tanto, la 
construcción de los conceptos se de a través de la coordinación de diferentes sistemas 
semióticos de representaciones del concepto en cuestión (Hitt, 1998, 2003c). Esto 
implica que el papel del docente es fundamental en este aspecto ya que, sin la guía 
38 
 
adecuada para los alumnos, el uso de la tecnología deja de ser una herramienta para