Estudio del Número Áureo con Modelación y Geogebra

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Estudio del Número Áureo con Modelación y Geogebra aplicados a 
segundo grado de secundaria 
 
Tesis para obtener el grado de: 
Maestría en Educación con Acentuación en Procesos de Enseñanza Aprendizaje 
 
Presenta: 
Martha Catalina Ospina Hernández 
 
 
Asesor tutor: 
Mtra. Lorenza Illanes Díaz Rivera 
 
Asesor titular: 
Dr. Leopoldo Zúñiga Silva 
 
 
http://sitios.itesm.mx/identidad/tecdemonterrey.html
ii 
 
Monterrey, Nuevo León, México Octubre 2014 
Dedicatorias 
A Dios y la Virgen por brindarme la oportunidad 
de estar con mis seres queridos, por permitirme 
terminar el proceso para llegar a este momento 
de satisfacción personal y poder disfrutar del 
fruto de mi esfuerzo. 
 
A mi esposo Faber y mis hijas Ana María y Sara Camila 
por su comprensión, por tener la paciencia necesaria 
 por darme el apoyo y amor para terminar 
esta importante etapa en mi vida. 
 
A mi madre, por darme el apoyo moral y permanente, 
confiar en mis capacidades para sacar este proyecto 
adelante, a pesar de las múltiples circunstancias 
presentes en el transcurrir del tiempo. 
 
iii 
 
 
Agradecimientos 
Al Doctor Leopoldo Zúñiga 
quien con su permanente acompañamiento 
supo orientar desde su conocimiento 
para que caminara por el camino adecuado 
y así llegar a esta etapa en mis estudios. 
 
A la Maestra Lorenza Illanes 
por las asesorías ofrecidas en 
el transcurso de la investigación. 
 
 
Al Instituto Tecnológico de Monterrey 
por los espacios abiertos, estos mismo que me 
permitieron hacer parte de esta magnífica comunidad 
en el mejoramiento de la calidad de la educación. 
 
A todos los tutores presentes en este camino 
que compartieron conmigo su sabiduría durante 
todo este tiempo aumentando en mí todo el amor 
por la bendición de enseñar a otros y sentirme 
Maestra. 
 
iv 
 
 
Estudio del Número Áureo con Modelación y Geogebra aplicados a 
segundo grado de secundaria 
Resumen 
La presente investigación tiene por objetivo mejorar el aprendizaje de los estudiantes en 
el estudio del número áureo por medio de la Modelación Matemática (Borromeo y 
Blum, 2009) y el Geogebra (Hohenwarter, 2009), objetivo que se pretende alcanzar por 
medio de la identificación del conocimiento de los estudiantes acerca del tema, mediante 
un tipo de investigación cuantitativo realizado a dos grupos de 35 estudiantes, por medio 
de la aplicación del pretest como prueba diagnóstica, seguido de la aplicación de un plan 
de trabajo, en donde los estudiantes aprenderán como se resuelven situaciones reales del 
número áureo por medio de dos metodologías de enseñanza y su posterior evaluación 
por medio de un postest para medir los aprendizajes adquiridos. Para el desarrollo de 
esta investigación se planteó la siguiente pregunta: ¿Cómo la Modelación Matemática 
puede constituirse en una estrategia que mejore el aprendizaje del número áureo con el 
uso del Geogebra? Una vez obtenidos los resultados y analizados los datos, se llegó a la 
conclusión que la enseñanza por medio de la Modelación Matemática, es más 
reveladora, despertando el interés de los aprendices, su mejoramiento en el aprendizaje 
de conceptos asociados a las proporciones y aplicación a la vida real, esto es más 
significativo aún cuando la Modelación Matemática se apoya con el recurso educativo 
v 
 
Geogebra, por lo que se convierte en una herramienta adecuada para la actividad 
docente. 
Índice 
 
Capítulo 1: Planteamiento del problema ....................................................................... 1 
1.1 Antecedentes del problema ............................................................................ 1 
 1.1.1 Aspectos cognitivos del concepto razón y proporción (Piaget) ............. 3 
1.1.2 Evolución del pensamiento del aprendiz ................................................. 4 
1.1.3 Estrategias en la resolución de problemas ............................................... 5 
1.1.4 Algunos estudios realizados sobre el número áureo y su enseñanza ...... 6 
1.2 Marco contextual ........................................................................................... 7 
1.3 Planteamiento del problema .......................................................................... 8 
1.4 Objetivos de la investigación ....................................................................... 13 
1.4.1 Objetivo general .................................................................................... 13 
1.4.2 Objetivos específicos ............................................................................. 13 
1.5 Supuestos de investigación .......................................................................... 13 
1.6 Justificación de la investigación .................................................................. 14 
1.7 Limitaciones de la investigación ................................................................. 17 
1.7.1 Limitaciones .......................................................................................... 17 
1.7.2 Delimitaciones ....................................................................................... 18 
1.8 Glosario ....................................................................................................... 19 
Capítulo 2: Marco teórico ............................................................................................. 21 
2.1 Modelación Matemática y el Cognoscitivismo ........................................... 22 
2.1.1 Reseña histórica del número áureo y construcciones geométricas ....... 25 
2.1.1.1 Euclides y el número áureo ........................................................ 27 
2.1.1.2 Número áureo: origen, demostración y construcción ................ 28 
2.1.1.3 Rectángulo Áureo: origen, construcción geométrica ................. 34 
2.2 Enseñanza del número áureo mediante el uso de Geogebra ....................... 36 
2.2.1 Tipos de aprendizajes matemáticos y su aplicación al número áureo ... 37 
2.2.1.1 Aplicaciones de la proporción áurea (tipos de aprendizaje) ...... 38 
2.2.2 Software Geogebra ................................................................................ 41 
2.2.3 Instrumentos tecnológicos en la Modelación Matemática .................... 43 
2.2.3.1 Geogebra en la enseñanza matemática como ambiente virtual . 43 
2.3 Estudios previos realizados con Modelación Matemática ........................... 46 
2.3.1 Estudios previos .................................................................................... 47 
2.3.1.1 Modelación Matemática en el aula de clase .............................. 47 
2.3.1.2 Modelación en educación matemática ....................................... 47 
2.3.1.3 Competencias de modelación y uso de tecnología .................... 49 
2.3.1.4 Niveles de Competencia de modelado ....................................... 50 
2.3.1.5 Modelación de Borromeo .......................................................... 54 
2.3.1.6 Modelación Matemática ............................................................ 56 
2.3.2 La enseñanza de la modelación ............................................................. 59 
vi 
 
 
Capítulo 3: Metodología de la Investigación ............................................................... 63 
3.1 Método de investigación .............................................................................. 66 
3.2 Participantes en el estudio ........................................................................... 68 
3.2.1 Plan de investigación ............................................................................. 70 
3.3 Instrumentos de recolección de datos ....................................................... 73 
3.3.1 Aspectos éticos ...................................................................................... 77 
3.4 Aplicación de instrumentos .......................................................................77 
3.5 Estrategia para el análisis de datos ............................................................ 78 
 
Capítulo 4: Análisis de resultados ................................................................................ 83 
4.1 Presentación de los datos obtenidos ............................................................ 83 
4.1.1 Presentación del pretest diagnóstico .................................................... 84 
4.1.2 Presentación del postest ....................................................................... 88 
4.1.3 Presentación de los resultados de la bitácora de observación .............. 96 
4.1.4 Resultados del ciclo de Modelación Matemática ............................... 103 
4.2 Resultados: Análisis e interpretación de datos .......................................... 104 
4.2.1 Análisis del pretest diagnóstico ......................................................... 106 
4.2.2 Análisis del postest ............................................................................ 108 
4.2.3 Análisis del ciclo de Modelación Matemática ................................... 110 
4.2.4 Discusión de resultados ...................................................................... 111 
4.2.5 Confiabilidad y validez ...................................................................... 112 
 
Capítulo 5: Conclusiones y recomendaciones ........................................................... 116 
 
Referencias ................................................................................................................... 124 
 
Apéndices 
Apéndice A: Cartas de consentimiento ................................................................ 133 
Apéndice B: Instrumentos .................................................................................... 138 
Apéndice C: Análisis de los Instrumentos ........................................................... 149 
Apéndice D: Otros ejercicios ............................................................................... 154 
Apéndice E: Evidencias ........................................................................................ 163 
 
Currículo Vitae ............................................................................................................ 166 
 
 
 
 
 
 
 
 
vii 
 
 
 
 
 
 
 
 
Índice de tablas 
 
Tabla 1. Clasificación de actividades mentales inmersas en el aprendizaje ............ 
37 
Tabla 2. Plan de Investigación ................................................................................. 74 
Tabla 3. Categorías e indicadores ..................................................................... … 82 
Tabla 4. Límites, medias y varianzas del pretest diagnóstico del grupo 7B ............ 85 
Tabla 5. Límites, medias y varianzas del pretest diagnóstico del grupo 7C ............ 86 
Tabla 6. Límites, medias y varianzas de la prueba postest del grupo 7B ................ 89 
Tabla 7. Límites, medias y varianzas de la prueba postest del grupo 7C ................ 92 
Tabla 8. Frecuencias y medias de la bitácora de observación de 7B y 7C .............. 97 
Tabla 9. Promedio de medias en el formato de observación para el grado 7B ........ 100 
Tabla 10. Resultados de medias en el formato de observación para el grado 7C ...... 100 
Tabla 11. Medias, varianzas e intervalos de la modelación del pretest diagnóstico .. 103 
Tabla 12. Medias, varianzas e intervalos de la Modelación Matemática del postest 104 
Tabla 13. Prueba de hipótesis igualdad de medias pretest diagnóstico .................... 107 
Tabla 14. Prueba de hipótesis igualdad de varianzas del pretest diagnóstico ............ 107 
Tabla 15. Prueba de hipótesis igualdad de medias postest ........................................ 108 
Tabla 16. Prueba de hipótesis igualdad de varianzas del postest ............................... 109 
Tabla 17. Prueba de hipótesis de igualdad de medias del ciclo de modelación ........ 110 
Tabla 18. Prueba de hipótesis de igualdad de varianzas del ciclo de modelación ..... 111 
viii 
 
 
 
 
Índice de figuras 
 
Figura 1. Espiral Áurea 
Figura 2. Relación entre los sucesivos términos de la sucesión de Fibonacci 
Figura 3. Construcción geométrica de un segmento áureo 
Figura 4. Construcción de un segmento Áureo 
 
Figura 5. Construcción geométrica del rectángulo Áureo 
Figura 6. Deducción matemática de la proporción áurea 
Figura 7. Deducción algorítmica de la sección áurea 
 
Figura 8. Vista de la entrada al software Geogebra 
Figura 9. Generalidades de la Divina Proporción 
Figura 10.Problema de Modelación Matemática 
Figura 11. Refinamiento del ciclo de modelación 
Figura 12. Cuatro pasos para resolver una tarea de Modelación Matemática 
Figura 13. Esquema de modelaje en cuatro paso para estudiantes 
Figura 14. Comparación de medias del pretest diagnóstico 
Figura 15. Comparación de varianzas del pretest diagnóstico 
Figura 16. Comparación de medias del postest 
Figura 17. Comparación de varianzas del postest 
Figura 18. Medias obtenidas en el formato de observación 
Figura 19. Diferencia de medias en las sesiones del ciclo de modelación 
matemática con y sin apoyo del Geogebra 
 
1. Planteamiento del problema 
El desarrollo de estrategias conlleva a tareas de investigación y reflexión sobre las 
actividades que se deben implementar en el aula de clase para una mejora de los 
procesos de enseñanza y aprendizaje. En este capítulo se da a conocer la situación 
problemática del tema el aprendizaje del número áureo con Modelación Matemática 
(Borromeo y Blum, 2009) y Geogebra (Hohenwarter, 2009), y se estructura en un 
planteamiento mediante los antecedentes, la pregunta, los objetivos, y la justificación. 
Se debe tener presente que en educación, la actual sociedad del conocimiento, 
según Gasteiz (2003), demanda personas con mayores competencias, lo cual involucra 
directamente al docente en la tarea de transmitir sus enseñanzas no solamente basadas en 
un currículo predeterminado, sino que también debe, mediante elementos actuales, hacer 
de la enseñanza algo posible de aplicar en la práctica. 
En la actualidad los educadores cuentan con facilidad de acceso a los recursos 
tecnológicos con lo que pueden desarrollar procesos de innovación educativa en el aula, 
dentro de las que se encuentran la promoción del trabajo colaborativo apoyado por la 
computadora mediante el uso de herramientas telemática y software libre, además los 
resultados que arrojen los estudios como producto de cada proceso de innovación 
(García, 2009). 
Queriendo abordar a profundidad lo precedentemente dicho, se presenta a 
continuación los diferentes apartados anteriormente mencionados. 
1.1. Antecedentes del problema 
Es necesario conocer como los estudiantes aprenden conceptos matemáticos y los 
interiorizan a partir de situaciones reales como plantean Guerrero, Gil y Blanco (2006), 
2 
 
señalando la importancia de la interacción de los conocimientos adquiridos entre las 
matemáticas con el medio en donde viven los estudiantes, el cual es relevante para su 
aprendizaje. Hernández (2006), coincide con las opiniones anteriores ya que manifiesta 
que el problema principalmente está en que a los estudiantes no se les enseña a 
reproducir en su entorno, los aprendizajes adquiridos en la escuela. 
A esto se le suma el nivel de confianza que genere el docente en los aprendices, las 
metodologías aplicadas y el dominio para llevar a cabo las enseñanzas según lo plantean 
Thurston, Grant y Toppin (2006) refiriéndose al aprendizaje del estudiante frente al 
dominio de las enseñanzas que imparten los educadores en las escuelas, de lo que se 
puede deducir que los deficientes conocimientos o técnicas de enseñanza que maneja un 
profesor, es transmitido automáticamente a sus estudiantes. Hay otros tipos de factores 
que influyen en el aprendizaje de lasmatemáticas, como son los nombrados por Gómez 
(2000) refiriéndose a las emociones, actitudes y creencias de los estudiantes. 
Antón, Gonzales, Llorente, Montamarta, Rodríguez y Ruíz (1994), en un estudio 
realizado afirman que los arquitectos, escultores y pintores de todos los tiempos han 
utilizado las proporciones para la elaboración de sus estudios, lo que permitió llegar a 
una proporción totalmente armoniosa como lo es, la que se representa mediante el 
número áureo. Sin embargo, los estudiantes de la participante en el presente estudio, 
ubicada en la ciudad de Medellín en Colombia, tienen dificultades para la asimilación de 
dicho concepto y su relación con la razón y la proporción, de manera similar como 
ocurre en diferentes centros educativos. Chazan (1988), argumenta que este tipo de 
dificultades tienen que ver con los conceptos previos que tengan sobre temas como las 
3 
 
semejanza, razón y proporción, e identifica cuatro aspectos importantes de este tema: 
comprensión del concepto de semejanza, proporciones durante la amplificación de un 
objeto, relaciones en el crecimiento dimensional, y proporciones en triángulos 
rectángulos. 
Este tipo de dificultades se puede analizar desde el punto de vista de Piaget (1978), 
en algunos de sus estudios realizados y que se presentan a continuación. 
1.1.1. Aspectos cognitivos del concepto razón y proporción desde la 
perspectiva de Piaget. Según los estudios realizados por Piaget e Inhelder (1978), se 
observaba con frecuencia que dentro de la evolución del pensamiento del niño se 
encontraba el problema de las proporciones, concluyendo que el infante realiza una 
estructura cualitativa del objeto y posteriormente otra de forma cuantitativa. Para estos 
autores, el estudiante se encuentra en una etapa de pensamiento formal, cuando el 
aprendiz a través de sus acciones escolares se encuentra en la capacidad de reflexionar y 
realizar abstracciones que le permitan identificar las razones como relaciones entre 
objetos y lograr vincularlas con otras. 
En cuanto a la evolución del pensamiento, Piaget (1978), afirma que a medida que 
el estudiante se va acercando a la adolescencia su razonamiento es formal y tiene las 
habilidades para comprender relaciones entre dos o más variables permitiendo realizar 
operaciones completas de los problemas planteados. 
Estos trabajos de Piaget se concentraron en el pensamiento de los estudiantes al 
pretender determinar cómo era el proceso de pensamiento, para esto se apoyo en dos 
4 
 
métodos: la resolución de problemas y la formación de conceptos. Se observa a 
continuación como Piaget (1978), hace una descripción de la evolución del pensamiento 
en el niño. 
1.1.2. Evolución del pensamiento del aprendiz. Para Piaget (1978), los niños 
tienen diferentes etapas en la evolución del pensamiento, y las categoriza según las 
edades a la cual llama estadios. Según Piaget se trata de los estadios: sensorio-motor, el 
pre-operacional, el operacional concreto y el formal. 
El desarrollo del pensamiento en las operaciones elementales en los niños se da 
principalmente por el esfuerzo cognitivo que realizan más que por las instrucciones para 
llegar a las soluciones dadas, es lo que afirma Karplus, Pulos y Stage (1983), al 
establecer categorías en las respuestas de un grupo de niños en un estudio para medir la 
etapa general de razonamiento. Markovits, Hershkowits y Bruckheimer (1986), afirman 
que el problema al solucionar razones y proporciones, está en la incomprensión de la 
regla de tres y su errónea aplicación. 
1.1.3. Estrategias en la resolución de problemas. En la realización de problemas 
en donde se aplica la razón y proporción, Neisser y Jopling (1997), destacan la 
importancia del estudio de proporciones dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje, 
al realizar un estudio en donde encontró un alto grado de dificultad en un grupo de 
estudiantes que no aplicaban el procedimiento para dar una solución, e ignoraban la 
relación de las fracciones como factor escalar y una multiplicación, por el contrario, el 
método de solución predominante en este estudio fue el método aditivo. 
5 
 
Streefland (1984) a partir de sus investigaciones destaca la importancia de la 
enseñanza y aplicación del concepto de razones durante la edad temprana y al igual que 
Piaget (1978) plantea un desarrollo cualitativo para su comprensión lo cual puede ir 
acompañado de medios tecnológicos favoreciendo así el desarrollo del pensamiento 
perceptual. 
En el uso de ayudas didácticas, el docente se puede valer de medios tecnológicos 
en donde se fortalezca el concepto de proporción, como lo establece Ruíz (2008), por 
medio de tres enfoques: 
 Como verificador de los cálculos que hagan los alumnos. 
 Como generador de nuevos problemas por medio del arrastre de algún punto 
libre conveniente. 
 Como ilustrador de la transición entre las configuraciones posibles. 
Para apoyar la idea del fortalecimiento del concepto de razón y proporción, 
Arriero y García (2000) presentan la herramienta tecnológica Cabri-Géometré como 
alternativa para el aprendizaje de los conceptos geométricos, en donde se aprende de 
manera práctica y con total apoyo del ordenador, además de desarrollar patrones 
perceptuales y reconocimientos de objetos mejorando el aprendizaje con el uso de las 
nuevas tecnologías de la comunicación y de la información. 
Finalmente Ramírez y Burgos (2012), como líderes de un movimiento educativo 
abierto, señalan la importancia del buen uso que se debe dar a los recursos que se 
encuentran disponibles en los portales educativos para la enseñanza de la geometría, y el 
6 
 
impacto que generan como estrategia de enseñanza, reafirmando por medio de 
investigaciones educativas, que la inclusión de estos recursos en el aula, enriquecen los 
procesos de enseñanza y aprendizaje. 
1.1.4. Algunos estudios realizados sobre el número áureo y su enseñanza. 
Mendias (2005), presenta en su estudio algunas generalidades del número áureo y como 
a través de construcciones geométricas se puede llegar a hallar su valor, no solamente en 
la aplicación matemática, sino que a su vez presenta una serie de patrones naturales, de 
arte y de arquitectura pretendiendo resaltar la armonía de la geometría en un contexto 
diferente al de las matemáticas. 
Fernández, (2010), presenta una propuesta innovadora con base en una experiencia 
educativa, presentando una serie de talleres aplicables a contextos reales, cuyo objetivo 
es involucrar al estudiante con este concepto y que logre llegar al conocimiento 
interpretativo al apreciar la belleza en la armonía que se presenta en el arte, naturaleza y 
hasta en su propio cuerpo. 
Ruíz y Lupiañez (2009), realizaron un estudio que buscaba poner en evidencia los 
aspectos cognoscitivos de los estudiantes al desarrollar ejercicios con aplicativos de 
razón y proporción, llegaron a la conclusión de que en las escuelas no se ha explotado el 
potencial cualitativo de los estudiantes en estos temas, sugiriendo por tanto el 
reforzamiento en actividades que conlleven al desarrollo de esta temática. 
En la institución donde se llevó este estudio, hasta el momento no existe evidencia 
de trabajos anteriormente relacionados con la enseñanza del número áureo, que puedan 
7 
 
servir al investigador como punto de partida en la búsqueda de la mejor estrategia de 
enseñanza, además no se evidencia en registros y por conocimientos de los docentes que 
allí enseñan, la aplicación de la modelación como estrategia de enseñanza, en ninguna de 
las áreas de estudio dentro del currículo institucional. 
Lo anteriormente dicho se convierte en una problemática para los diferentes 
actores educativos que se pueden beneficiar con este tipo de enseñanza, es allí donde la 
investigación que se va a realizar toma más importancia en el ámbito local, debido a que 
es realmente trascendental comenzar con la implementaciónde dichas estrategias de 
enseñanza porque ayudan a que el aprendizaje de los estudiantes sea mucho más 
significativo, duradero y relevante para sus vidas, en el aspecto laboral y social, como se 
verá en la siguiente sección. 
1.2 Marco contextual 
Para el siguiente estudio, la investigadora trabajó en un establecimiento de carácter 
oficial perteneciente a su contexto laboral, descrito a continuación: 
La institución participante de la investigación se encuentra ubicada en la ciudad de 
Medellín, en Colombia, alberga jóvenes de estrato socioeconómico bajo. La institución 
está conformada por una sede. En la jornada de la mañana atiende a niños que cursan el 
grado pre-escolar y el bachillerato, en la jornada de la tarde se dan clases a niños que 
cursan desde primero hasta quinto de primaria. Las instalaciones físicas de la institución 
son utilizadas por la comunidad en jornada contraria para el esparcimiento recreativo. 
8 
 
A su vez esta institución pertenece a los estratos bajos de las comunas de 
Medellín, debido a que la situación económica cada vez se hace más difícil, y a los 
espacios que la mujer ha logrado ganar dentro del mundo laboral, el modelo de 
interacción al interior de la familia ha cambiado, razón por la cual los hijos deben 
permanecer bastante tiempo solos en las casas, generando una situación que influye en 
su desempeño académico y convivencial, lo cual debe motivar la reflexión al interior de 
la escuela para realizar los cambios necesarios que le permitan adaptarse a esta nueva 
realidad. 
Por otra parte en la institución participante del estudio, los intentos que se han 
realizado para la implementación de estrategias lúdicas no han sido documentados y los 
resultados no han favorecido el mejoramiento del nivel académico de los estudiantes, 
por tal motivo esta investigación adquiere importancia dentro del contexto debido a que 
se convierte a su vez en una necesidad educativa para la institución y, para el 
mejoramiento académico de las actúales y futuras generaciones de estudiantes, 
especialmente en el área de las Matemáticas. 
1.3. Planteamiento del problema 
Actualmente en Colombia, la enseñanza de las matemáticas y la geometría se 
imparten en el grado séptimo de la educación básica, con el objetivo de que los 
estudiantes adquieran competencias básicas en la utilización transversal de estas áreas a 
la vida diaria, en situaciones tan sencillas como lo son las mediciones, las distancias, que 
fácilmente se podrían hallar por medio de la aplicación de razones y proporciones, u 
otras situaciones en las que se puedan ver inmersos en la vida cotidiana. 
9 
 
El Ministerio de Educación Nacional en Colombia, define los estándares que 
deben tener las instituciones educativas oficiales de todo el territorio nacional, situación 
que ha sido difícil de llevar debido a los resultados de las pruebas estandarizadas en 
donde los estudiantes han sacado puntajes bajos según lo señala Arango (2013), razón 
que preocupa al departamento de Antioquia, debido a que en la Universidad de 
Antioquia los estudiantes, han sacado puntajes con promedios de 1.7 de 5.0, cifras que 
alarman a la comunidad educativa porque en la trayectoria como entidad de educación 
superior, se ha caracterizado por su alto nivel académico. 
En el contexto institucional, las matemáticas a nivel social y cultural se han 
estigmatizado por diferentes motivos, logrando crear una visión opaca y no muy 
agradable para los que tienen que enfrentarse a ella, ya que “se descarta al alumnado 
procedente de entornos socioculturales desfavorecidos o que no han estado 
suficientemente escolarizados” (Blanco, 2012, p. 64) , es por tal motivo que los 
profesionales de la educación deben implementar estrategias de enseñanza basadas en 
innovación para lograr reducir poco a poco esta mentalidad que se ve claramente en los 
contextos escolares, desde lo que afirma Guzmán (2012) al plantearse la pregunta ¿Qué 
podemos hacer para mejorar los resultados de aprendizaje?, a lo que su estudio arrojo las 
siguientes respuestas: 
“Recoger realimentación de parte de los alumnos sobre las formas de trabajo. 
Implementar estrategias novedosas en el aula. Mejorar los procesos de evaluación. 
Involucrar en mayor grado a los padres de familia en el proceso formativo de sus hijos” 
(Guzmán, 2012, p.67). 
10 
 
Lo anterior es necesario para poder fortalecer las competencias del área de 
matemáticas, además de las múltiples estrategias que se pueden implementar en las aulas 
de clase, logrando encontrar una que no genere rechazo por parte del aprendiz y que se 
pueda aplicar en su contexto, ya que muchas veces son las características contextuales 
las que dificultan el aprendizaje y desarrollo de habilidades numéricas. Según el 
Ministerio de Educación Nacional “las competencias matemáticas no se alcanzan por 
generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por 
situaciones problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de 
competencia más y más complejos” (MEN y ASCOFADE, 2006, p. 49). 
Un factor común que se observa en las instituciones educativas es el desánimo de 
los estudiantes por recibir una clase de matemáticas con metodología tradicional, 
convirtiéndose en un problema debido a la indisciplina, producto del desinterés por el 
aprendizaje, además de la rebeldía al no reconocer al docente como guía del proceso, por 
la falta de autoridad que se vive al interior de los hogares, dificultando con este tipo de 
comportamiento la adquisición de conceptos complejos que se pueden aprender en el 
área de las matemáticas. 
Actualmente existen un sin número de herramientas que permiten a los educadores 
estar actualizados en innovación educativa como las propuestas por García (2009), 
refiriéndose al uso de las tecnologías aplicadas a la educación, dentro de las que se 
encuentran la promoción del trabajo colaborativo apoyado por la computadora, mediante 
el uso de herramientas telemática y software libre; la creación y uso de estas 
herramientas para diseñar e implementar los trabajos colaborativos; el diseño y creación 
11 
 
de espacios como plataformas, donde se puede revisar los avances del estudiante y la 
interacción con su tutor y compañeros de trabajo colaborativo, además los resultados que 
arrojen los estudios de caso como producto de cada proceso de innovación. 
Uno de los factores que logro despertar el interés por realizar la presente 
investigación, está dada por la ausencia de conocimientos que tienen los estudiantes al 
preguntarles por el concepto matemático del número áureo y no consiguen dar una 
respuesta adecuada, esta idea se puede sustentar cuando se aconseja separar la enseñanza 
del concepto de los contextos que les dan sentido, para así evitar las dificultades de 
comprensión que su presentación contextualizada pudiera producir (Boubee, Delorenzi, 
Sastre y Rey, 2006). 
Actualmente se habla de la enseñanza de las matemáticas mediante situaciones 
problemas con la técnica de Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), tal como lo hacen 
Sánchez (2010), Exley (2007), Escribano (2008), con esta metodología, también se habla 
de la enseñanza por medio de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009), tal 
es el caso de Borromeo (2013a), entre otros. No se pretende dejar de lado el aprendizaje 
del número áureo a través de la historia y sus grandes hombres que fueron los que 
iniciaron con esta ciencia, los cuales necesitan ser mencionados y reconocidos por todos 
aquellos estudiantes que pasan por la escuela, ya que como afirma Wussing (1998) los 
conocimientos sobre el desarrollo de las matemáticas en la antigüedad, son débiles y 
dispares. 
En la nueva sociedad de la información y la comunicación, es importante indagar y 
aplicar nuevas herramientas y recursos en el proceso formativo que respalde totalmente 
12 
 
el aprendizaje significativode los estudiantes. Con base en lo anterior, está el artículo de 
investigación: La Evaluación en los entornos personales de aprendizaje, de Cabero, 
Barroso y Vásquez, (2011), que fue realizado con el fin de formar por un lado a los 
docentes en el uso de las herramientas tecnológicas y por otro en determinar cómo 
evaluar ese aprendizaje, qué instrumento emplear para ello y qué recopilan los productos 
y resultados de las investigaciones cuya meta principal es respaldar la efectividad del 
proceso de aprendizaje en entornos de formación personal. 
Surge la inquietud si los recursos tecnológicos que los alumnos dominan con 
destreza, y que los utilizan más para divertirse, pueden ser utilizados por el profesor en 
su proceso de enseñanza y de aprendizaje para despertar o potenciar el aprendizaje en las 
diferentes áreas de estudio. 
Con lo anterior, se plantea la pregunta de investigación de tal manera que al 
intentar darle solución, sus resultados sean productivos para profesores que desarrollen 
su actividad educativa en la temática expuesta, por lo anterior, la investigación genera la 
siguiente pregunta: ¿Cómo la Modelación Matemática puede constituirse en una 
estrategia que mejore el aprendizaje del número áureo con el uso del Geogebra? 
Al investigar sobre dicha problemática la investigadora busca encontrar las 
características necesarias para implementar la enseñanza por medio del ciclo de la 
Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) con apoyo del Geogebra 
(Hohenwarter, 2009), para lo cual se plantean los objetivos de la investigación. 
1.4. Objetivos de la investigación 
Los objetivos de la investigación según Hernández, Fernández y Baptista, (2010), 
deben contar con tres elementos relacionados entre sí a la hora de ser planteados, estos 
13 
 
elementos son: cuales son los objetivos que persigue la investigación, es decir que se 
pretende con la investigación, cual es el planteamiento del problema y su respectiva 
justificación. En el presente estudio se busca contribuir a la solución de una 
problemática educativa en especial que se pretende alcanzar mediante los objetivos que 
se presentan en la siguiente sección. 
1.4.1. Objetivo general. Mejorar el aprendizaje de los estudiantes en el estudio del 
número áureo por medio de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) y el 
Geogebra (Hohenwarter, 2009). 
En cumplimiento del objetivo general propuesto es necesario establecer una serie 
de objetivos específicos que orienten la investigación en las distintas etapas. 
1.4.2. Objetivos específicos. 
 Identificar el grado de conocimiento de los estudiantes acerca del número áureo. 
 Analizar la aplicación del número áureo a través de la historia y su utilización en 
la vida diaria. 
 Implementar el recurso educativo Geogebra para la realización de construcciones 
geométricas. 
 Utilizar la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) como estrategia 
para la enseñanza del número áureo. 
Después de planteados los objetivos, se presenta el supuesto de la investigación, 
esperando ser aprobado una vez sea realizado el estudio de los datos. 
1.5. Supuesto de investigación 
14 
 
Burns y Grove (2004) definen los supuestos de investigación como “afirmaciones 
que se dan por fundamentadas o son consideradas ciertas, aunque no hayan sido 
científicamente demostradas” (Burns y Grove, 2004, p. 44). El software Geogebra 
(Hohenwarter, 2009), permite de una manera directa dar los primeros pasos en la 
ampliación del universo numérico indispensable para llegar al mejoramiento del 
aprendizaje en problemas donde se utilice el número áureo aplicados al mundo real, 
puesto que los estudiantes al manipular el software verifican en la solución de 
determinados problemas, que se presentan diversas situaciones de las cuales no se 
hubieran percatado por medio de un aprendizaje tradicional, por tanto el supuesto de 
investigación que se presenta en esta investigación se realiza con base en la revisión 
previa de la literatura, así también teniendo en cuenta la pregunta de investigación, los 
objetivos, antecedentes y justificación: 
El uso de Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) asistido por 
Geogebra (Hohenwarter, 2009) contribuye positivamente como estrategia de enseñanza 
para los estudiantes de séptimo grado en el aprendizaje del número áureo, mediante la 
comprensión del concepto, construcciones geométricas e identificación visual del 
número áureo en la naturaleza y en su propio cuerpo, que aquellos estudiantes de 
séptimo grado que aprenden de una manera convencional en el aula de clase. 
1.6. Justificación de la investigación 
El estudio de las matemáticas en el Departamento de Antioquia no se encuentra 
fortalecido en el sector educativo, esto se puede demostrar con las publicaciones del 
Director General de la Federación Colombiana de Educadores (FECODE), donde 
establece que en el año 2012 se publicaron varios artículos en donde se daba fe que el 
15 
 
Departamento de Antioquia había quedado mal en el área de matemáticas frente a otros 
departamentos, Antioquia obtuvo resultados que indican bajo rendimiento académico en 
el área de las matemáticas y refiere que “ los resultados de las pruebas Saber, las 
Olimpiadas del Conocimiento y el examen de ingreso a la Universidad de Antioquía así 
lo demuestran” (Arango, 2013). 
Históricamente, las metodologías educativas y las propuestas teóricas que las 
sustentan, ha representado cambios en sí mismas; sin embargo, dicho cambio no había 
contemplado firmemente la manera poderosa en la que las Tecnologías de la 
Información y la Comunicación (en adelante TICs) intervienen en el proceso de 
adquisición de información y los cambios que trae consigo para los agentes del proceso 
educativo, ya que deben estar dispuestos a esos cambios que ofrece este mundo 
globalizado, además “educarse hoy exige adaptarse cultural, social, laboral, profesional 
y personalmente al ritmo del cambio y su velocidad, cifrado en claves de nuevas 
concepciones culturales de producción, de relaciones sociales, económicas e 
industriales, etc.” (Tejada, 2000, p.1), por tanto estos cambios deberían ser un beneficio 
en mejora de las actividades que desempeñan los profesores de la institución participante 
del estudio como autores del cambio educativo. 
Como una respuesta parcial que han adoptado las instituciones educativas, ha sido 
la incorporación de la tecnología educativa en las exigencias del diseño curricular y en la 
infraestructura, ya que como afirma Hopenhayn (2002) la UNESCO generará algunos 
escenarios en donde se va a mover la educación y es necesario conocerlos para ser 
generadores de las transformaciones y planes de mejoramiento que hay que hacer 
16 
 
sabiendo que los educadores se enfrentan a dos grandes retos en los que se encuentra el 
desafío del conocimiento y la oportunidad para generar nuevos procesos cognitivos. 
Entre muchas de las necesidades de la institución participante del estudio, está la 
de contribuir con el aumento del nivel académico de los estudiantes que saldrán 
egresados en un futuro próximo, esto se podría lograr con la implementación de 
actividades que generen en los estudiantes confianza e interés por el aprendizaje, por 
medio de actividades que capten su atención en la que intervenga el uso del ciclo de 
Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) apoyado con el software Geogebra 
(Hohenwarter, 2009). 
Se espera que con el aumento del interés de los estudiantes por la clase de 
matemáticas al utilizar una estrategia novedosa de enseñanza, el estudiantes adquiere a 
la vez el aumento de valores como la responsabilidad, autonomía y compromiso por su 
actividad académica, transformándose esto en beneficio tanto para los estudiantes como 
para la comunidad en la que viven ya que tendrán la posibilidad de acceder a becas de 
educación superior, becas que significan para la comunidad educativa endonde viven la 
única oportunidad de estudios superiores que tienen los jóvenes que viven en este 
contexto, debido a los escasos recursos económicos de las familias que componen la 
comunidad educativa pertenecientes a la institución en donde se realizó la investigación. 
La justificación de esta investigación además de lo anterior, es la búsqueda de 
cuales experiencias significativas se encuentran en la enseñanza del número áureo y los 
conceptos asociados a dicho número como la razón y proporción. Esto como soporte al 
proceso educativo, qué las ha hecho exitosas y qué se puede obtener de allí al estudiar el 
número áureo, a modo de conocimiento universal, que permita difundir y propender por 
17 
 
un uso abierto, motivado, sano y creativo de las TICs en el aula; también se busca 
facilitar el trabajo al educador formador de matemáticas, presentado una estrategia 
diferente de enseñanza, en la que él podrá adaptar a sus necesidades, en las que se 
incluye las estrategias de enseñanza que puedan generarse mediante el uso del Geogebra 
(Hohenwarter, 2009), como apoyo en la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 
2009) con problemáticas del número áureo (Hohenwarter, 2009). 
Una vez que los estudiantes conozcan el concepto del número áureo, podrán 
identificarlo en su contexto, en donde se encuentra representado este número, y así 
estarán en la capacidad de realizar cálculos matemáticos con valores aproximados. Los 
nuevos hallazgos de los estudiantes estarán llenos de implicaciones prácticas, ya que se 
tendrá que realizar trabajo de campo para identificar posibles fuentes potenciales que 
logren proporcionar datos, de la misma manera se deben realizar recolección de 
información, hallar la razón entre ellos, permitiendo mediante la práctica, la observación 
directa de la dinámica de sus resultados. 
Al investigar sobre dicha problemática, se buscó encontrar qué características 
debían ser tomadas en cuenta a la hora de implementar la estrategia en los estudiantes 
que son objeto del proceso, sin dejar de lado el contexto sociocultural en el que viven 
dichos alumnos, ya que, debido a tradiciones adquiridas previamente, los estudiantes 
pueden mostrar una actitud reactiva frente al uso empírico de estrategias de aprendizaje. 
Advirtiendo la importancia de conseguir el objetivo planteado para el presente 
estudio investigativo, hay que tener en cuenta la existencia de limitaciones que se 
pueden presentar en el desarrollo del proceso investigativo. 
18 
 
1.7. Limitaciones de la investigación 
En esta sección se describen las limitaciones como los posibles obstáculos que 
puede restringir el curso de la investigación. En las delimitaciones se describe el espacio, 
tiempo, lugar, y todos los aspectos que giran en torno de la investigación. 
1.7.1. Limitaciones. El tiempo es una limitante, ya que el estudio está restringido, 
en principio, a dos semestres de duración del curso. 
La falta de experiencia en un inicio en el manejo de búsqueda de información en 
bases de datos como recurso educativo y el uso del software Geogebra (Hohenwarter, 
2009), se podrían convertir en un obstáculo para la enseñanza de esta herramienta a los 
estudiantes. 
La intensidad horaria en el grado séptimo se convierte en una limitante para la 
recogida de datos y para la aplicación de las actividades experimentales, situación que 
debe solucionarse intercambiando las clases con compañeros de otras áreas en lo que 
dure la investigación. 
La investigación se llevó a cabo con estudiantes del grado séptimo de la institución 
participante del estudio. 
Una vez descritas las limitaciones del estudio, de la misma manera se presenta la 
delimitación en el siguiente apartado. 
1.7.2. Delimitaciones. Dentro de las delimitaciones, se debe especificar que la 
investigación se realizó en una institución educativa, de la ciudad de Medellín–
Antioquia–Colombia, donde se ofrece educación preescolar, básica primaria y media 
19 
 
académica a niños, niñas y adolescentes, funcionando en jornadas de la mañana y de la 
tarde, ubicada en un sector de bajos recursos económicos pertenecientes a las comunas 
de Medellín. 
El tiempo está proyectado en un tiempo no superior a un año, comprendido entre 
febrero y diciembre del 2014. Los participantes del estudio fueron, principalmente 
estudiantes pertenecientes al grado séptimo de la Institución. La temática gira en torno al 
aumento del aprendizaje del número áureo por medio de la Modelación Matemática 
(Borromeo y Blum, 2009) y el Geogebra (Hohenwarter, 2009). La metodología de 
enseñanza es la tradicional para el grupo control y por medio del ciclo de Modelación 
Matemática con apoyo del Geogebra para el grupo experimental. 
1.8 Glosario 
 Modelación Matemática: Consiste en la realización de un proceso matemático 
empleando algoritmos previamente establecidos para llegar a una solución de problema 
(Beyer, 2013). 
 Geogebra: Es un software empleado en matemáticas que se encuentra libre en la 
web y es además de interactivo (Hohenwarter, 2009). 
 Número áureo: Es un número irracional, también conocido como número de oro, 
divina proporción, proporción áurea, entre otros, su valor numérico es 
1,61803308874989… (Pacioli, 1991). 
20 
 
 Ciclo de Modelación Matemática de Borromeo: Es un ciclo o algoritmo que 
consta de un procedimiento en siete etapas de Modelación Matemática, que se debe 
seguir para llegar a la solución del problema que se plantea (Borromeo, 2013b). 
En el presente capítulo se presentó la problemática de la investigación, advirtiendo 
la búsqueda de estrategias para la enseñanza y comprensión del número áureo por medio 
de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) asistido con el software 
Geogebra (Hohenwarter, 2009). A continuación se presenta el sustento teórico, en donde 
se realiza la revisión de la literatura de los aspectos tratados en la investigación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
2. Marco Teórico 
En vista de la importancia de implementar estrategias que incluyan modelos en 
matemáticas, se muestran algunos estudios realizados y el impacto generado. La 
corriente que se va a seguir en el presente estudio son las investigaciones realizadas por 
Blum, Galbraith, Henn & Niss (2007) y el método de enseñanza va a ser el de Borromeo 
(2013b). El término modelación en la actualidad ha surgido presentándose desde 
diferentes perspectivas. Blum, Galbraith, Henn & Niss (2007), establecen que este 
concepto se utiliza en el campo de la educación, en los modelos de enseñanza, modelos 
físicos, modelos mentales entre otros, en educación matemática lo consideran como el 
punto de origen de una situación real, donde se debe realizar un completo análisis para 
poder generar una solución. 
Además de lo anterior se dan a conocer las fundamentaciones del elemento 
matemático denominado el número áureo, haciendo una breve descripción de su origen 
remontándose a los inicios de este concepto y su actual aplicabilidad en diferentes 
ciencias. Se investigan las construcciones geométricas entre las que se encuentre la de 
Mendias (2005), la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009 y el uso del 
Geogebra (Hohenwarter, 2009), en las construcciones geométricas. 
Se analiza la problemática del aprendizaje de dicho concepto en los estudiantes de 
educación básica, a la luz de expertos como Mendias (2005), Montero (2007), Livio 
(2006) que han consultado el tema de la enseñanza y los aprendizajes, se buscará la 
mejor estrategia de enseñanza para que los estudiantes aprendan el concepto de la 
22 
 
relación áurea desde su contexto histórico y la transcendencia que de él se ha generado a 
otros campos como el de las ciencias naturales, la historia, la arquitectura y resaltando la 
más importante y que concierne al presente estudio: Las ciencias matemáticas. 
En este capítulo se aborda la revisión y análisis de documentación relacionadoscon el objeto de estudio, la división del mismo se presenta en tres secciones: historia de 
la relación del número áureo y su comprensión en los alumnos, Enseñanza del número 
áureo mediante el uso del Geogebra (Hohenwarter, 2009) y estudios previos realizados 
con la estrategia de Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009). A continuación 
se realiza la descripción de los fundamentos que sustentan la investigación. 
2.1. Modelación Matemática y el Cognoscitivismo 
Actualmente los educadores se encuentran en una sociedad de constante cambio 
no es una tarea fácil y más cuando los estudiantes están experimentado conductas que 
impiden alcanzar los objetivos propuestos en los proyectos educativos de las escuelas. 
Teniendo en cuenta estas realidades los docentes tienen la responsabilidad de estar muy 
bien preparados para desempeñar su labor como orientadores de los procesos educativos 
de tal forma que garanticen el desarrollo de competencias en los estudiantes y asumir el 
reto más grande que es lograr que los jóvenes se eduquen de una forma integral, y 
puedan convivir en una sociedad armónica. 
Lo primero que debe hacer un docente es conocer toda la teoría relacionada con 
los modelos y/o enfoques pedagógicos que durante las historia han surgido para dar 
respuesta a la intención de educar a los niños de la mejor manera (Heredia, 2007). Para 
esto hay que diferenciar cada una de las corrientes epistemológicas y así poder 
23 
 
diferenciar los aprendizajes y sus ritmos, quizás de esta manera se podría dar un cambio 
en determinado contexto educativo, por tal motivo es necesario que todos los miembros 
que hacen parte de la institución trabajen en común acuerdo, teniendo claro que su papel 
es fundamental para el éxito o fracaso del aprendizaje. Por su lado Forero (1998) se 
refiere a lo que es el proceso de cambio y lo que implica, lo describe de la siguiente 
manera “El presente es la nueva travesía, que en sus inicios reproduce lo conocido, sin 
olvidar que su brújula es el futuro, salva obstáculos, anunciando las formas del nuevo 
contexto” (Forero,1998, p.22), el cambio en este caso es un compromiso de muchos para 
un fin común, resumido en la transformación de jóvenes con calidad humana, pro 
activos, emprendedores y dispuestos a ser ejemplo de vida para las nuevas generaciones 
que abren sus ojos a un nuevo mundo. 
Durante el proceso de aprendizaje, se llevan a cabo varias estrategias que surgen 
de las distintas corrientes epistemológicas. A partir de la corriente Cognoscitivista, el 
niño debe realizar un proceso mental antes de llevar a cabo un determinado tipo de 
comportamiento, Piaget (1978) afirma que los niños organizaran la información y 
pasarán naturalmente de un estadio a otro, avanzando paulatinamente hasta alcanzar la 
madurez cognoscitiva o de pensamiento, esto con el fin de lograr mejorar los 
aprendizajes del número áureo mediante la estrategia de la Modelación Matemática. El 
desarrollo cognoscitivo ocurre en una secuencia de cuatro etapas, cada etapa es más 
avanzada que la anterior hasta llegar a la madurez cognoscitiva o de pensamiento que es 
propia de los adultos, aquí se establece que el desarrollo del pensamiento y del 
aprendizaje ocurre en cuatro etapas: etapa sensorio motriz, etapa pre operacional, etapa 
de operaciones concretas y etapa de las operaciones formales. 
24 
 
Por su parte Ausubel (Viera, 2003) afirma que la capacidad cognoscitiva del 
aprendiz es aquella que le da significado a cada texto o explicación para poder relacionar 
lo que ya conoce, para esto debe contar con dos premisas: la primera se refiere a que el 
material de aprendizaje en sí mismo pueda ser relacionado de manera no arbitraria con 
cualquier estructura cognoscitiva apropiada y que la estructura cognoscitiva del alumno 
contenga las ideas de afianzamiento relevantes. 
Brunner (Viera, 2003), por su parte establece que la evolución de las habilidades 
cognitivas del niño y en la forma estructurar el contexto educativo está centrando la 
atención en la enseñanza. 
Por lo anterior la base de esta investigación es saber si por medio de la Modelación 
con Geogebra (Hohenwarter, 2009) los estudiantes aprenderán con mayor significancia 
el número áureo, por tal motivo la Modelación en Matemáticas (Borromeo y Blum, 
2009) es importante porque según Beyer (2013), todo estudiante debe aprender a 
modelar ya que la construcción de modelos es algo que se utiliza en todo el mundo, es 
una estrategia de enseñanza y aprendizaje que se debe utilizar, mejorando las 
dificultades que pueden surgir con esta implementación, ya que en oportunidades los 
modelos que se presentan son defectuosos e incompletos y la falta de experiencia en el 
manejo de la modelación conlleva a que el docente tome decisiones con base en modelos 
no terminados. 
Otro punto de vista es el mencionado por Beyer (2013), desde su cargo como 
Ministro de Educación en Santiago de Chile, es que puede darse cuenta que el auge del 
computador ha generado el auge de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 
25 
 
2009), afirma que permite que se pueda observar un punto de vista claro en la 
importancia del avance en el desarrollo de habilidades de Modelación Matemática 
mediante tres aspectos primordiales: 
1. La Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) ayuda al desarrollo de 
habilidades cognitivas y no cognitivas, apoyando el desarrollo cerebral en los 
estudiantes más pequeños, lo que permite que se pueda ir más allá de la enseñanza 
tradicional para entrar a explorar ideas matemáticas significativas mediante la 
conexión con el mundo real. 
2. Las personas están modelando permanentemente como acción natural de la mente, 
lo que se hace relevante en la formulación de un modelo, por sencillo que parezca 
es que el estudiante se enfrenta a la necesidad de describir explícitamente las 
influencias de causalidad entre los factores presentes en el modelo. 
3. Es una herramienta poderosa para empujar los aprendizajes de los estudiantes más 
débiles o con menor ritmo de aprendizaje, permitiendo al docente poder preparar 
mejor las clases. Aunque algunos niños no tengan una experiencia matemática 
formal, otros por el contrario tienen una experiencia amplia aunque informal al 
llegar a la escuela y esta se ha adquirido a través de modelos. 
2.1.1. Reseña histórica del número áureo y construcciones geométricas. 
Mendias (2005), Montero (2007), Livio (2006), han realizado estudios en función del 
número áureo, aún así, se ve lejos de estar entre los temas de conversación de los 
estudiantes y esto se fundamenta según Talizina (2001) en el formalismo con el que se 
denomina dicho concepto. La función del educador consiste en garantizar la asimilación 
26 
 
del concepto del número áureo llevando al estudiante desde la demostración geométrica 
hasta su utilización en el ámbito escolar para su posterior aplicación en su contexto 
vivencial. 
Con esta diversificación de las actividades de enseñanza y aprendizaje incluyendo 
el uso de las herramientas tecnológicas, en este caso de estudio, con el Geogebra 
(Hohenwarter, 2009), se busca de esta manera aumentar el interés de los estudiantes, 
subsanando un poco la estigmatización que se tiene de la dificultad de aprendizaje de 
conceptos abstractos en las matemáticas, como lo establece Hernández (2006), esta 
problemática tiene una razón de peso en la falta de enseñanza de aspectos que 
involucren a los aprendices en la reproducción de lo aprendido en el aula con lo que lo 
rodea en el contexto donde vive. 
Si se dispone de una serie de ejemplos como menciona Livio (2006), la relación 
existente entre las formas de la distribución de los pétalos de algunas flores, la 
reproducción de los conejos que forman una sucesión fantástica, además de las 
relaciones entre las medidas de las falanges de los dedos de las manos, y algunas obras 
arquitectónicas de la antigüedad y por supuestode la época contemporánea, además del 
espiral de la concha del caracol entre otros ejemplos, se puede llegar al concepto de 
proporción y en matemáticas es denominado la proporción áurea, y es que se expresa de 
esta manera porque se da una relación armoniosa entre diferentes partes. 
Livio (2006), Hace una descripción del origen del número áureo se remonta desde 
el siglo V a.C. con la construcción del Templo Partenón en Grecia construido por el 
27 
 
escultor Fidias, en cuyo homenaje es llamada la letra griega Fi (Φ), posterior a esto en el 
año 300 a. C., fue Euclides de Alejandría, fundador de la geometría como se le conoce, 
quien dio por primera vez la definición del concepto que más tarde llamarían proporción 
áurea, Euclides (1992) dijo al referirse a la división de una línea en extrema y media 
razón que la parte mayor es a la menor como el total es a la parte mayor. 
2.1.1.1. Euclides y el número áureo. Este destacado matemático del período 
Helenístico estuvo en contacto con el museo de Alejandría donde se presume según que 
trabajó en dicho lugar alrededor de los años 300 a. C: a él se debe el exitoso libro de 
matemáticas los elementos (Wussing, 1979). 
Livio (2006), redacta en su obra que fue Euclides la primera persona en dar la 
definición de lo que más tarde llamarían proporción áurea. Euclides definió la 
proporción al dividir un segmento de línea en extrema y media razón, esta operación 
matemática realizada para fines geométricos es lo que más tarde y en la actualidad se ha 
utilizado en diferentes aplicaciones entre las que se pueden mencionar la botánica, la 
astronomía, en el arte y la arquitectura, entre otros. 
El número áureo a pesar de sus múltiples aplicaciones, se destaca por su 
maravillosa singularidad, además del sentimiento de asombro que despertó en Albert 
Einstein, según Rojas (2007), donde define lo dicho por el famoso físico Einstein: 
“La cosa más bella que podemos experimentar es lo misterioso. Aquel que ya lo 
conoce y ya no puede hacerse preguntas, quien ya no siente asombro, está muerto, no es 
más que una vela apagada” (Einstein en Rojas, 2007, p. 59). 
28 
 
2.1.1.2. Número áureo: origen, demostración y construcción geométrica. Origen: 
El segmento áureo, también llamado divina proporción, denominado así por Pacioli 
(1991), lo describe tomando como referencia el libro VI de los elementos de Euclides, le 
dio este nombre, debido a la divinidad o armonía que demostraban sus medidas en 
relación con un todo. Pacioli comparaba el segmento áureo con la divinidad celestial al 
decir que era una sola y no habría otra igual, además le atribuían virtudes y poderes 
divinos. Posteriormente, afirma Pacioli que Kepler continuando con su legado decidió 
llamarla sectio divina, más adelante le dieron otros nombres cómo sección áurea o 
sección dorada como se le conoce recientemente. 
A continuación se hace una breve descripción de los inicios del número áureo 
desde diferentes personajes: 
A. Thales de Mileto (625 a. C.-547 a. C.). Utilizó el concepto de las proporciones 
para medir la gran pirámide de Keops, razonó de la siguiente forma: “la relación que yo 
establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya” (Goñi, 
2011, p. 108), por lo tanto pudo deducir que al mismo tiempo en que su sombra y el 
tuvieran la misma medida, eso pasaría con la pirámide y pudo dar así el valor de su 
altura. 
B. Pitágoras (569 a. C.- 475 a. C.). Bueno (1974) define el símbolo de la escuela 
Pitagórica como el pentalfa o pentagrama. Este representaba la figura humana, establecía 
contener una base perteneciente al dodecaedro y este se considera el símbolo del 
29 
 
universo. En el pentagrama se encuentra el número áureo en el que la razón entre la 
diagonal y el lado cumple la divina proporción. 
Los grandes matemáticos pertenecientes a la escuela pitagórica quienes 
descubrieron la relacion entre lo bello y lo bueno: es decir “lo bello es bueno y lo bueno 
es bello” (Noseda, 2007, p. 22). 
Noseda (2007) se refiere a la relacion con el número áureo 1,618033…, Pitagoras 
lo entendia como la explicación que se podía dar a las cualidades físicas, morales y de 
cuanto todo lo que existe dadas por los números y la armonía y, con base al 
reconocimiento de esta armonía desarrolla parte de su filosofía. 
Según Bueno (1974), Pitagoras también estableció la relación armoniosa del 
cosmos y la música con los números y lo definió como el número es la esencia del 
universo. Su esposa Teano, lo sucedió después de su muerte en una confrontación contra 
la escuela pitagorica, según Frias (2001), a Teano se le atribuyen escritos de la 
proporción áurea. 
C. Eudoxo (408 a. C. – 355 AC). Actualmente no se encuentra disponible 
información directa de los escritos de Eudoxo, según el recurso educativo de astronomía 
(2012), estos escritos se perdieron con la quema de Alejandría, por tal motivo son 
reconocidos por Euclides en el libro V de sus elementos, estos fueron de gran influencia 
en el desarrollo de la teoría de las proporciones al establecer que los números 
irracionales no se pueden expresar en forma de cociente entre dos números enteros 
30 
 
En la definición cuatro del quinto libro dice lo siguiente: “Se dice que las 
magnitudes guardan razón entre sí cuando, al multiplicarse, puedan exceder la una a la 
otra” (Álvarez, 1992, p. 161), la definición cinco del mismo libro muestra en qué 
condiciones se consideran idénticas dos razones: 
“Dícese de magnitudes, que la razón de la primera con la segunda es la misma que la razón 
de la tercera con la cuarta, si al tomar equimúltiplos cualesquiera de la primera y de la 
tercera, y equimúltiplos cualesquiera de la Segunda y de la cuarta, aquéllos y éstos 
igualmente exceden, igualmente coinciden, o igualmente faltan, al ser tomados en el orden 
correspondiente” (Heath, 1926, p. 114). 
La definición seis incluye el término de proporción y su explicación detallada. 
D. Dudero (1471-1528). Un gran aporte al estudio de la geometría fue la espiral de 
Dudero, basada en la construcción de una sucesión de rectángulos áureos en su obra 
Instrucción sobre la medida con regla y compás de las figuras planas y sólidas 
(Gutiérrez, Gutiérrez, y Quieruga, 2008). 
Mendias (2008), define la característica que tiene el rectángulo Áureo y es que al 
dividirlo en un cuadrado y un nuevo rectángulo, este último también es un rectángulo 
Áureo, de la misma manera al repetir el procedimiento y unir las esquinas de los 
cuadrados resultantes se obtiene una gráfica llamada espiral áurea y está basada en el 
número áureo. 
31 
 
 
Figura 1. Espiral Áurea. Adaptado de Mendias (2005) 
E. Pierre de Fermat (1601-1665). En el estudio de los poliedros está asociada la 
integración de diferentes ramas de la matemáticas como el álgebra, análisis matemático, 
topología, entre otros ya que estos han estado ligados con los cimientos de las 
matemáticas como los de la geometría, también se encuentran relacionados “con los 
conceptos de magnitud y medida y también al concepto de la divina proporción que 
tanto en polígonos como en poliedros se encuentra presente, más aún con los llamados 
números poligonales, objeto de estudio de Fermat” (Zenil, 2011, p. IV del Prefacio). 
F. Blaise Pascal (1623-1662): Empleó el uso de las proporciones al sentirse 
completamente inconforme por los resultados de algunos de sus cálculos matemáticos 
con resultados complejos, además en los resultados negativos que hoy en día se utilizan 
tan naturalmente en la época de Pascal fueron objeto de oposición durante un largo 
período de tiempo. 
Pascal planteaba el siguiente enunciado, refiriéndose al tema de las proporciones: 
“Se considera que 0-4 es un sin sentido absoluto, -1 es menor que 1, y que -1:1 = 1:-1” 
32 
 
(Ugochukwu, 2004, p. 72), a la vez que se cuestionaba: cómo podía un número menor 
tener la misma proporción con respecto a un número mayor, quela que tiene el número 
mayor con respecto al menor. 
G. Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716). En la Ley de Continuidad no hay una 
ruptura en la continuidad de la naturaleza, Leibniz destaca una cuestión imprescindible 
en donde hace referencia a la razón y la proporción: 
 “La razón o proporción entre dos líneas L y M puede ser concebida de tres maneras: como 
la razón de la mayor L a la menor M, como la razón de la menor M a la más grande L, y 
en fin como alguna cosa abstraída de las dos, es decir, como la razón entre L y M, sin 
considerar cual es anterior o posterior, el sujeto o el objeto” (Leibniz, 1716, p. 113). 
H. George Birkhoff (1884 - 1944). Es un profesor norteamericano que planteó 
según Malba (1999), una nueva fórmula para calcular la belleza en las artes, arquitectura 
entre otros, utilizando el concepto de la división en media y extrema razón perteneciente 
al número áureo, dicha fórmula define que lo bello es igual al cociente entre el orden y 
la complejidad. 
I. Fibonacci (1180-1250): Este matemático llamado Leonardo de Pisa, también 
conocido como Fibonacci de nacionalidad italiana, escribió en su Liber Abaci en 1202 
que traducido significa libro del ábaco (Carvalho, 1990, pág. 6), el siguiente problema: 
Un par de conejos se vuelve productivo después de dos meses de vida, y a partir de 
entonces, se produce una nueva pareja cada mes. Comenzando con un solo par de 
conejos recién nacidos, ¿cuántas parejas existirán en el final de un año? 
33 
 
Con este problema dio lugar a una secuencia llamada la secuencia de Fibonacci: 1, 
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... En el que cada número, después del segundo, es 
igual a la suma de los dos anteriores. 
“La razón áurea representa, según los expertos, la más agradable proporción entre 
dos segmentos o dos medidas” (Mendias, 2005, p. 36). En 1753, el escocés Robert 
Simson nombrado por Pérez (2009) ha descubierto que la relación formada por los 
cocientes entre dos términos seguidos de la sucesión de Fibonacci tiende al número de 
oro como límite, dicha relación se observa en la figura 2. 
A continuación se da una breve descripción del concepto de proporción a la luz de 
otros puntos de vista: Pacioli (1991), define el término proporción como una relación de 
la parte mayor con la parte menor, ésta debe ser igual a la relación de toda la línea con la 
parte mayor. Kepler (1596) afirma que la geometría tiene dos grandes tesoros, uno es el 
Teorema de Pitágoras y el otro es la sección áurea; si el primero es una joya de oro, el 
segundo viene a ser una piedra preciosa. En la vida cotidiana Livio (2006) llama 
proporción a la comparación de las partes de las cosas con su tamaño o cantidad. 
 
34 
 
Figura 2. Relación entre los sucesivos términos de la sucesión de Fibonacci. Adaptado 
de Pérez (2009). 
 
Una definición adicional es la descripción geométrica que presenta Pacioli (1991) 
en su Tratado de la Divina Proporción: 
La proporción de un segmento XY al ser dividido en dos secciones por un punto Z 
cerca de Y sería la siguiente: El segmento total XY es a la sección mayor XZ como la 
sección mayor XZ es a la sección menor ZY (para ver la demostración geométrica vea el 
apéndice D). 
Construcción geométrica del segmento áureo: Según Mendias (2005, p. 39), los 
pasos algorítmicos que se deben tener en cuenta para la construcción del segmento 
áureo, deben seguir las instrucciones que se presentan en la figura 3. 
2.1.1.3. Rectángulo Áureo: origen, construcción geométrica. Origen: Este 
rectángulo según Clapham (1998) ha tenido repercusiones en la historia del arte, en los 
monumentos arquitectónicos como el Partenón griego, entre otros. 
 
Figura 3. Construcción geométrica de un segmento áureo 
35 
 
Pacioli (1991) definió el rectángulo llamado por el Divino como aquel que guarda 
la relación áurea entre sus lados, además desde el renacimiento según lo descrito por 
Enrique (2012), ya se empezaba a utilizar la técnica para embellecer las obras de arte, 
también hace referencia al designio de los griegos de estar sujetos a este número, 
especialmente en lo concerniente a la geometría puesto que fue adoptado por los artistas 
para sus creaciones. 
 
Figura 4. Construcción de un segmento Áureo. Mendias (2005, p. 23). 
Un ejemplo de esto es la bella obra Crucificado pintado en el Barroco por el pintor 
Velásquez, en donde se muestra claramente la representación de la división por 
secciones correspondientes a rectángulos Áureos y la majestuosa obra del escultor 
Renacentista Cellini en cual plasma la belleza del arte humano en la creación armoniosa 
del Crucifijo de Benvenuto. Enrique (2012), hace una comparación de estas obras 
llegando a la conclusión de que a pesar del tiempo en que fueron realizadas, en ambas se 
aprecia la belleza del cuerpo humano y la aplicación de las proporciones. 
36 
 
Construcción geométrica: Según Callejo (1998), para la construcción del 
rectángulo áureo por el método de regla y compas, se deben seguir las siguientes 
instrucciones: 
 
Figura 5. Construcción geométrica del rectángulo Áureo. Fuente: Callejo (1998, p. 238). 
 
2.2. Enseñanza del número áureo mediante el uso de Geogebra 
Todo proceso educativo en beneficio del mejoramiento de la calidad y los procesos 
educativos, busca las mejores estrategias para ser aplicadas en los contextos según las 
necesidades educativas que se presentan. Lo que se pretende es lograr encontrar la mejor 
estrategia de comprensión del número áureo a la luz de los diferentes tipos de 
aprendizaje matemático y los conceptos que de él se generan, haciendo la enseñanza 
atractiva para el estudiante y esto se pretende conseguir utilizando la herramienta 
Geogebra (Hohenwarter, 2009). 
37 
 
2.2.1. Tipos de aprendizajes matemáticos y su aplicación al número áureo. A 
pesar de los esfuerzos de los profesores por tratar de que los estudiantes comprendan las 
relaciones matemáticas, son mayores los casos negativos en la aceptación de los 
diferentes conceptos, Orton (2003), describe la clasificación de las actividades mentales 
inmersas en el aprendizaje, desde la perspectiva de los clásicos estudiosos de la 
psicología aplicado al campo de la educación, dicha clasificación se describe a 
continuación en la tabla 1 
Tabla1 
Clasificación de actividades mentales inmersas en el aprendizaje. Adaptado de Orton 
(2003). 
Autor Clasificación de la actividad mental 
Brown (1978) 
Señaló los siguientes tipos de aprendizaje 
matemático: Memorización simple, aprendizaje 
algorítmico, aprendizaje conceptual, resolución de 
problemas. 
Polya (1945) 
Planteo los procesos de resolución de problemas 
matemáticos: comprensión del problema, 
concepción de un plan, realización del plan, 
examen retrospectivo. 
Bloom y Cols (1956) 
Plantearon los objetivos de la educación en el 
campo cognitivo. 
Skemp (1971) 
Planteo los procesos que hay que adoptar al operar 
las matemáticas. 
Gagné (1970 - 1977) 
Planteo los siguientes tipos de aprendizaje: 
“Aprendizaje de señales, aprendizaje de estimulo, 
concatenación, asociación verbal, aprendizaje de 
discriminaciones, aprendizaje de conceptos, 
aprendizaje de reglas,” (Gagné citado por Titone, 
1981, pp. 44-45). 
A partir de la información de la tabla anterior se presenta una descripción de cada 
una de los tipos de aprendizaje estudiados y planteados por Brown: 
Memorización simple: A través de diferentes estrategias pedagógicas, los docentes 
pueden lograr sensibilización del aprendizaje en la que los estudiantes logren alcanzar 
38 
 
los conocimientos. Algunas de estas estrategias de memorización pueden ser los 
nombrados por Orton (2003), las mnemotécnicas que consisten en frases que ayudan al 
ejercicio de la retención y con ello el aprendizaje memorístico, el empleo de mapas 
conceptuales (Arellano, 2009). 
Aprendizaje algorítmico: Dentro del ambiente escolar, los profesores están 
familiarizadoscon la actitud de los estudiantes a seguir determinado tipo de parámetros 
para llegar a una meta establecida. 
Aprendizaje de conceptos: Para Orton (2003), en el aprendizaje de conceptos, se 
presentan dificultades para afrontar los nuevos conceptos, además se debe formar un 
andamiaje para la construcción de estos nuevos conceptos, desde psicología de la 
enseñanza, señala que es un “soporte para el aprendizaje y la solución de problemas”. 
Resolución de problemas: El aprendizaje matemático a través de la resolución de 
problemas puede aplicarse en un contexto vivencial y definirse como la capacidad de 
solucionar situaciones reales usando los conocimientos previos de las competencias que 
ha desarrollado en la etapa escolar. 
2.2.1.1. Aplicaciones matemáticas de la proporción áurea siguiendo los tipos de 
aprendizaje. A partir de los tipos de aprendizajes descritos Orton (2003), en la tabla 1, y 
la revisión de la literatura que se hace para encontrar las diferentes maneras de enseñar 
la proporción áurea, se pretende dar algunos ejemplos relacionados con cada uno de los 
anteriores tipos de aprendizajes, y de esta manera poder contar con insumos con los que 
se pueda soportar una cátedra a estudiantes de bachillerato. 
39 
 
La razón áurea la encontraron los arquitectos de la antigua Grecia cuando 
intentaban dividir un segmento de alguna manera especial, se buscaba que la razón entre 
la parte mayor y la parte menor del segmento, coincidieran entre la longitud total y la 
longitud de la parte mayor. 
Después del proceso de asignación de variables matemáticas, el despeje de una 
sencilla ecuación y la solución cuadrática de la misma, se llega a la proporción áurea. 
Dicho valor puede ser comprobado por los estudiantes mediante el uso de la calculadora. 
 
Figura 6. Deducción matemática de la proporción áurea. Fuente: La aventura del saber 
(2012). 
Aprendizaje Algorítmico: Diagramación de la representación geométrica de la 
sección áurea. Se pretende que los estudiantes logren realizar la construcción geométrica 
de la sección áurea siguiendo una secuencia de instrucciones presentes en el siguiente 
algoritmo, presentado por Mendias (2005, p. 39) (ver figura 7). 
40 
 
 
Figura 7. Deducción algorítmica de la sección áurea. 
El segmento anteriormente construido siguiendo la secuencia del algoritmo, 
corresponde a un segmento Áureo, de proporciones exactas, donde se observa la 
construcción a la que debe llegar el estudiante siguiendo dicho tipo de aprendizaje. 
Aprendizaje de conceptos: El concepto de la proporción áurea. “La sección áurea 
del latín sectio aurea es una proporción que aparece entre los segmentos de una recta al 
dividir ésta en media y extrema razón” (Toledo, 2011, p. 10). Una recta CB queda 
dividida por un punto A en otros dos segmentos (CA y AB) de tal forma que el 
segmento mayor es al menor, como la totalidad del segmento es al segmento mayor. 
Después de hallar la proporción da como resultado el número de oro denominado ɸ, 
cuyo valor es 1. 6180339. Los estudiantes a partir de esta definición aprenderán 
conceptos nuevos derivados de las características del número de oro, como el concepto 
de número irracional, inconmensurabilidad, y con propiedades que no tiene otro número 
en el conjunto de los números existentes. 
41 
 
Resolución de problemas. En esta etapa del aprendizaje, el estudiante se debe 
encontrar en la capacidad identificar la sección áurea en las aplicaciones más relevantes 
que se han mostrado a lo largo de la historia, y modelar este aprendizaje a una situación 
en su contexto, como en la construcción de un rectángulo Áureo, la identificación 
armónica de una obra de arte, entre otros (Para ver más ejemplos, ver apéndice D). 
2.2.2. Software Geogebra. Es un software empleado en matemáticas que se 
encuentra libre en la web y es de uso libre además de interactivo, por estar escrito en 
Java se puede utilizar en múltiples plataformas, es un compendio matemático que reúne 
a ramas de esta ciencia como la geometría, álgebra, física y el cálculo (Hohenwarter, 
2009). 
Geogebra (Hohenwarter, 2009) ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto 
matemático: una vista gráfica y numérica (puntos, gráficos de funciones), una vista 
algebraica (coordenadas de puntos, ecuaciones) y además, una vista de hoja de cálculo 
en las celdas. Cada una de las perspectivas es vinculada a las demás en una sola 
adaptación permitiendo observar desde diferentes fases los cambios incorporados a la 
creación original (Hohenwarter, 2009). 
Esta herramienta computacional tiene múltiples beneficios y se puede utilizar 
como medio educativo según Hohenwarter (2009) dentro de los que se puede 
mencionar: 
Es un medio para enseñar y aprender matemáticas. 
42 
 
Su multifuncionalidad permite que se pueda utilizar como herramienta de 
presentaciones. 
Como vista de autor. 
Visualización múltiple de objetos matemáticos como entradas geométricas, 
algebraicas, visualización del menú ítem por ítem, además de sus características 
especiales dentro de las que se encuentra la animación. 
 
Figura 8. Vista de la entrada al software Geogebra, tomado de (Hohenwarter, 2009). 
Como se pudo observar la herramienta Geogebra (Hohenwarter, 2009) es una 
ayuda tecnológica que se puede emplear como apoyo educativo en el aula de clase, 
además que también se puede utilizar como apoyo en las construcciones geométricas 
que se deriven en el proceso de Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 2009) 
como se describe en la siguiente sección. 
43 
 
2.2.3. Instrumentos tecnológicos en la Modelación Matemática. Camacho 
(2009), expresa que todo profesor de matemática desea que sus estudiantes aprendan los 
contenidos de los programas curriculares, a lo cual deben direccionarlo a una 
metodología de enseñanza por medio de la Modelación Matemática (Borromeo y Blum, 
2009). Para hacer frente a esta situación educativa actual hay que incorporar un lenguaje 
y ciertas habilidades en torno a las competencias, caracterizada no solo por el 
conocimiento de los contenidos sino también por el desarrollo de los procesos como 
resolución de problemas, argumentación y justificación de situaciones en contexto. 
La competencia matemática tiene una serie de indicadores de la competencia para 
la modelación de situaciones con ayuda de recursos tecnológicos dentro de las que se 
describen en el proyecto PISA (PISA, 2003, p. 40): Pensar y razonar, argumentar, 
comunicar, modelar (Modelizar), plantear y resolver problemas, representar, utilizar 
lenguaje simbólico formal y técnico en las operaciones, empleo de soportes y 
herramientas. 
Dentro de este último indicador Camacho (2009) indica que se encuentran como 
herramientas para la Modelación Matemática: la hoja de cálculo, las calculadoras 
gráficas y sensores y el software de geometría dinámica, que es el que se abordará en 
esta sección. 
2.2.3.1. Uso del Geogebra en la enseñanza de la Matemática como ambiente 
virtual. La existencia de las concepciones acerca del uso de la tecnología en los 
ambientes de aprendizaje, van enfocadas hacia un mismo eje, y es el de realizar un 
44 
 
cambio a las prácticas tradicionales de enseñanza, incluyendo algo nuevo, modificando 
lo existente o realizando cualquier cambio a la rutina (Zabalza y Zabalza, 2012). 
En cuanto a los ambientes de aprendizaje (Larkley & Maynhard, 2008), el uso del 
Geogebra como apoyo en la enseñanza determina los ambientes de aprendizaje, con 
características específicas tales como: la creatividad, el compromiso, la motivación, la 
didáctica, la lúdica, el trabajo en equipo. Ramírez (2012), presenta dos perspectivas de 
innovación: la primera, es la introducción a la escuela de algo ya existente y la segunda, 
es la solución de un problema y satisfacción de una necesidad de manera interna, donde 
resulta la renovación de un tema o idea. El diseño de ambientes innovadores, va de la