UNIDAD 05 - INTEGRACION Parte 1

Vista previa del material en texto

UNJU – Facultad de Ingeniería 
CÁLCULO NUMÉRICO 2018 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN 
NUMÉRICA 
INTEGRACIÓN NUMÉRICA - PARTE 1 
 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 1 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
El cálculo es la matemática del cambio. Como los ingenieros deben tratar en forma continua con sistemas 
y procesos que cambian, el cálculo es una herramienta esencial en nuestra profesión. En la esencia del 
cálculo están dos conceptos matemáticos relacionados: la diferenciación y la integración 
De acuerdo a la definición del diccionario, diferenciar significa “marcar por diferencias; distinguir;… percibir 
la diferencia en o entre”. En el contexto de las matemáticas, la derivada sirve como el principal vehículo 
para la diferenciación, representa la razón de cambio de una variable dependiente con respecto a una 
variable independiente. 
Como se ilustra en la Figura 1, la definición matemática de la derivada empieza con una aproximación por 
diferencias: 
 
 
 
Figura 1: La definición gráfica de una derivada: conforme Δx se aproxima a cero al ir de a) a c), la aproximación por 
diferencias se va convirtiendo en una derivada 
donde y y f(x) son representaciones alternativas de la variable dependiente y x es la variable independiente. 
Si se hace que Δx se aproxime a cero, como sucede en los movimientos mostrados desde la Figura 1.a a 
la Figura 1.c, el cociente de las diferencias se convierte en una derivada 
 
donde dy/dx [que también se denota como y´o ƒ´(xi)] es la primera derivada de y con respecto a x evaluada 
en xi. Como se observa en la descripción visual de la Figura 1.c, la derivada evaluada es la pendiente de la 
recta tangente a la curva en xi. 
 
En cálculo, el proceso inverso de la diferenciación es la integración. De acuerdo con la definición del 
diccionario, integrar significa “juntar partes en un todo; unir; indicar la cantidad total ...”. Matemáticamente, 
la integración se representa por 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 2 
 
 
 
 
que representa la integral de la función f(x) con respecto a la variable independiente x, evaluada entre los 
límites x = a y x = b. La función f(x) en la ecuación anterior se llama integrando. 
 
Como lo sugiere la definición del diccionario, el “significado” de la ecuación anterior es el valor total, o 
sumatoria, de f(x) dx sobre el intervalo desde x = a hasta x = b. De hecho, el símbolo ʃes en realidad una 
letra S estilizada, antigua, que intenta representar la estrecha relación entre integración y suma. 
La Figura 2 representa una manifestación gráfica del concepto. Para funciones que están por encima del 
eje x, la integral, expresada por la ecuación anterior corresponde al área bajo la curva de f(x) entre x = a y 
b(integración definida). 
 
 
Figura 2: Representación gráfica de la integral de f(x) entre los límites x = a y x = b. La integral es equivalente al área bajo la 
curva. 
 
Como se dijo antes, la “distinción” o “discriminación” de la diferenciación y el “juntar” de la integral son 
procesos estrechamente relacionados, de hecho, inversamente relacionados (Figura 3). Por ejemplo, si se 
tiene una función dada y(t) que especifica la posición de un objeto en función del tiempo, la diferenciación 
proporciona un medio para determinar su velocidad (Figura 3.a), 
 
De manera inversa, si se tiene la velocidad como una función del tiempo, la integración se utilizará para 
determinar su posición (Figura 3.b), 
 
Así, se dice de manera general que la evaluación de la integral 
 
es equivalente a resolver la ecuación diferencial 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 3 
 
 
 
 
 
para y(b) dada la condición inicial y(a) = 0. 
 
 
Figura 3: El contraste entre a) diferenciación y b) integración. 
Métodos sin computadora para diferenciación e integración 
La función que va a diferenciarse o integrarse estará, usualmente, en una de las siguientes tres formas: 
1. Una función continua simple como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica. 
2. Una función continua complicada que es difícil o imposible de diferenciar o integrar directamente. 
3. Una función tabulada donde los valores de x y f(x) están dados como un conjunto discreto de puntos, lo 
cual es el caso cuando se tienen datos experimentales o de campo. 
 
En el primer caso, la derivada o la integral de una función simple se puede evaluar analíticamente usando 
el cálculo. En el segundo caso, las soluciones analíticas a menudo no son fáciles e incluso algunas veces 
son imposibles de obtener. En tales situaciones, así como en el tercer caso de datos discretos, se deberán 
emplear métodos aproximados. 
 
Antes de la llegada de la computadora se emplearon procedimientos visuales orientados para integrar 
datos tabulados y funciones complicadas. 
Un procedimiento intuitivo simple consiste en graficar la función sobre una cuadrícula (Figura 4) y contar 
el número de cuadros que se aproximen al área. Este número multiplicado por el área de cada cuadro 
proporciona una burda estimación del área total bajo la curva. Dicha estimación se puede mejorar, a 
expensas de mayor trabajo, usando una cuadrícula más fina. 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 4 
 
 
 
 
 
Figura 4: El uso de una cuadrícula para aproximar una integral 
 
Otro procedimiento de sentido común es dividir el área en segmentos verticales, o barras, con una altura 
igual al valor de la función en el punto medio de cada barra (Figura 5). Después, el área de los rectángulos 
se calcula y se suma para estimar el área total. En este procedimiento se supone que el valor en el punto 
medio de la barra ofrece una aproximación válida de la altura promedio de la función en cada barra. Como 
en el método de la cuadrícula, es posible mejorar las estimaciones al usar más barras (y en consecuencia 
más delgadas) para aproximar la integral. 
 
 
Figura 5: El empleo de rectángulos, o barras, para aproximar la integral. 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 5 
 
 
 
 
Aunque tales procedimientos tienen utilidad para estimaciones rápidas, existen técnicas numéricas 
alternativas con el mismo propósito. No es de sorprender entonces que los más simples de estos métodos 
sean similares, en esencia, a las técnicas sin computadora. 
Se dispone de integración numérica o de métodos de cuadratura para obtener integrales. Dichos métodos, 
que, de hecho, son más fáciles de implementar que el método de la cuadrícula, son similares en esencia 
al método por barras. Es decir, las alturas de la función se multiplican por el ancho de las barras y se 
suman para estimar la integral. Sin embargo, mediante una elección inteligente de los factores 
ponderantes, la estimación resultante se puede hacer más exacta que con el “método de barras” simple. 
Como en el método de barras simple, las técnicas numéricas de integración y diferenciación utilizan datos 
de puntos discretos. Como cierta información ya está tabulada, naturalmente es compatible con muchos 
de los métodos numéricos. Aunque las funciones continuas no están originalmente en forma discreta, a 
menudo resulta sencillo emplear las ecuaciones dadas para generar una tabla de valores. Como se ilustra 
en la Figura 6, esta tabla puede, entonces, evaluarse con un método numérico. 
 
 
Figura 6: Aplicación de un método de integración 
numérico: a) Una función continua complicada. b) 
Tabla de valores discretos de f (x) generados a partir 
de la función. c) Uso de un método numérico (el 
método de barras) para estimar la integral basándose 
en punto 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 6 
 
 
 
 
Integración en Ingeniería 
Así como las estimaciones exactas de las derivadas son importantes en ingeniería,también el cálculo de 
integrales es igualmente valioso. Varios ejemplos relacionados directamente con la idea de la integral 
como el área bajo la curva. La Figura 7 ilustra algunos casos donde se usa la integración con este 
propósito. 
 
Figura 7: Ejemplos de cómo se utiliza la integración para evaluar áreas en problemas de ingeniería. a) Un topógrafo podría 
necesitar saber el área de un campo limitado por una corriente zigzagueante y dos caminos. b) Un ingeniero en hidráulica tal 
vez requiera conocer el área de la sección transversal de un río. c) Un ingeniero en estructuras quizá necesite determinar la 
fuerza neta ejercida por un viento no uniforme que sopla contra un lado de un rascacielos. 
Solidos de revolución 
Ejemplo 1 
Calcula el volumen generado cuando la función: y = √𝑥 gira alrededor del eje x desde x = 0 hasta x = 4. 
La idea geométrica se muestra en la siguiente gráfica (
Figura 8): 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 7 
 
 
 
 
Figura 8: Ejemplo 1 Solido de revolución 
Tenemos que generar discos a partir de cada diferencial dx. Si calculamos el área de una cara del disco y 
la multiplicamos por su altura (dx), obtenemos el volumen del disco. Al sumar el volumen de todos los 
discos obtendremos una aproximación al volumen que se genera al girar la función alrededor del eje x. 
 
Cuando hacemos que el número de particiones tienda a infinito, obtenemos el volumen buscado. Es fácil 
reconocer de la gráfica que el radio del disco es igual a y = √𝑥. Entonces, el área de un disco es: 
 
 
Y la aproximación al volumen del diferencial es: 
 
 
donde dx = 4/n, suponiendo n particiones del intervalo (0,4). La aproximación al volumen entonces es: 
 
 
Cuando hacemos que n tienda a infinito obtenemos una integral: 
 
 
 
Entonces, el volumen que se genera haciendo girar la función y = √𝑥 alrededor del eje x desde el origen 
hasta x = 4 es 8𝜋 unidades de volumen. 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 8 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x, la región limitada por la 
gráfica de y = √𝑥, y = 0, x = 1, x = 4. 
 
Figura 9: Ejemplo 2 Solido de revolución 
Observe, en la Figura 9, que el i−ésimo rectángulo al rotar alrededor del eje x genera un disco circular en 
forma de cilindro circular recto. 
 
El volumen del i−ésimo disco circular es: 
 
La suma de aproximación del volumen: 
 
El volumen del sólido está dado por: 
 
Ejemplo 3 
https://www.youtube.com/watch?v=O3iTsmzfjV0 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=O3iTsmzfjV0
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 9 
 
 
 
 
Fórmulas de Integración de Newton-Cotes 
Las fórmulas de Newton-Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Se basan en la 
estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que 
es fácil de integrar: 
 
 
 
donde fn(x) = un polinomio de la forma 
 
donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la Figura 10.a, se utiliza un polinomio de primer grado 
(una línea recta) como una aproximación. En la Figura 10.b, se emplea una parábola con el mismo 
propósito. 
La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por pedazos a la 
función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Por ejemplo, en la Figura 11, se usan tres 
segmentos de línea recta para aproximar la integral. 
 
Figura 10: La aproximación de una integral mediante el área bajo a) una sola línea recta y b) una parábola 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 10 
 
 
 
 
 
Figura 11: La aproximación de una integral mediante el área bajo tres segmentos de línea recta. 
Aunque pueden utilizarse polinomios de grado superior con los mismos propósitos. Con este antecedente, 
reconocemos que el “método de barras” de la Figura 5 emplea un conjunto de polinomios de grado cero 
(es decir, constantes) para aproximar la integral. 
Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas 
donde se conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración (figura 21.3a). Las formas 
abiertas tienen límites de integración que se extienden más allá del intervalo de los datos (Figura 12b). En 
este sentido, son similares a la extrapolación. Por lo general, las formas abiertas de Newton-Cotes no se 
usan para integración definida. Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales impropias y para obtener 
la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 11 
 
 
 
 
 
Figura 12: La diferencia entre las fórmulas de integración a) cerradas y b) abiertas. 
 
 
La regla del Trapecio 
La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de Newton-Cotes. Corresponde 
al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado: 
 
Recuerde que una línea recta se puede representar como: 
 
El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites 
a y b: 
 
 
El resultado de la integración es: 
 
que se denomina regla del trapecio. 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 12 
 
 
 
 
Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta 
que une f(a) y f(b) en la Figura 13. Recuerde que la fórmula para calcular el área de un trapezoide es la 
altura por el promedio de las bases (Figura 14a). En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el 
trapezoide está sobre su lado (Figura 14b). Por lo tanto, la integral aproximada se representa como 
 
O 
 
donde, para la regla del trapecio, la altura promedio es el promedio de los valores de la función en los 
puntos extremos, o [f(a) + f(b)]/2. 
Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes se expresan en la forma general de la ecuación anterior. 
De hecho, sólo difieren respecto a la formulación de la altura promedio. 
 
 
 
Figura 13: Representación gráfica de la regla del trapecio. 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 13 
 
 
 
 
 
Figura 14: a) La fórmula para calcular el área de un trapezoide: altura por el promedio de las bases. b) Para la regla del trapecio, 
el concepto es el mismo pero ahora el trapezoide está sobre su lado. 
 
Error de la regla del trapecio 
 
Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, 
obviamente se tiene un error que puede ser importante (Figura 15). Una estimación al error de truncamiento 
local para una sola aplicación de la regla del trapecio es: 
 
 
donde ξestá en algún lugar en el intervalo de a a b. La ecuación anterior indica que si la función sujeta a 
integración es lineal, la regla del trapecio será exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de 
segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algún error. 
 
Ejemplo 4 
Integre numéricamente f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5 
desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde que el valor exacto de la integral se puede determinar en forma 
analítica y es 1.640533. 
 
Solución 
 
Al evaluar la función en los límites: 
 
f(0) = 0.2 
 
f(0.8) = 0.232 
 
sustituyendo se tiene 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 14 
 
 
 
 
la cual representa un error de 
 
 
 
Figura 15: Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla del trapecio para aproximar la integral de f(x) = 
0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 –900x4 + 400x5 de x = 0 a 0.8. 
 
La regla del trapecio de aplicación múltiple 
Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consisteen dividir el intervalo de integración de 
a a b en varios segmentos, y aplicar el método a cada uno de ellos (Figura 16). Las áreas de los segmentos 
se suman después para obtener la integral en todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman 
fórmulas de integración, de aplicación múltiple o compuestas. 
 
La Figura 17 muestra el formato general y la nomenclatura que usaremos para obtener integrales de 
aplicación múltiple. Hay n + 1 puntos igualmente espaciados (x0, x1, x2,..., xn). En consecuencia, existen n 
segmentos del mismo ancho: 
 
Si a y b se designan como x0 y xn, respectivamente, la integral completa se representará como: 
 
 
 
Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 15 
 
 
 
 
 
o, agrupando términos, 
 
o 
 
 
Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicación múltiple al sumar los errores individuales de cada 
segmento, así: 
 
 
 
f , es evaluada en el punto ilocalizado dentro del segmento i. Este resultado se simplifica calculando 
la media o el valor promedio de la segunda derivada sobre el intervalo completo 
 
Reemplazando en la ecuación del error 
 
De manera que, si el número de segmentos se duplica, el error de truncamiento disminuye a un cuarto de 
su valor. La última ecuación nos proporciona un error aproximado debido a la naturaleza aproximada de 
la ecuación. 
 
 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 16 
 
 
 
 
 
Figura 16: Ilustración de la regla del trapecio de aplicación múltiple. a) Dos segmentos, b) tres segmentos, c) cuatro segmentos y 
d) cinco segmentos. 
 
 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 17 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17: Formato general y nomenclatura para integrales de aplicación múltiple. 
 
 
Ejemplo 5 
 
Use la regla del trapecio con dos segmentos para estimar la integral de 
 
f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5 
 
 
desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde que el valor correcto para la integral es 1.640533. 
 
Solución 
n = 2(h = 0.4): 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 18 
 
 
 
 
 
 
 
Tabla 1: Resultados de la regla del trapecio de aplicación múltiple para estimar la integral de f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 
900x4 + 400x5 de x = 0 a 0.8. El valor exacto es 1.640533.
 
Ejemplo 6 
Calcular 
Para el cálculo será suficiente tabular f(x) cada 0.1, por ejemplo, y aplicar la regla del trapecio con 
segmentos múltiples. Así resulta: 
 
Aplicando la regla del trapecio con segmentos múltiples, nos queda: 
 
 
 
Reglas de Simpson 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 19 
 
 
 
 
Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación más fina, otra forma de obtener una 
estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos. 
Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los tres puntos se pueden unir con una parábola 
(Figura 18a). Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden unir 
mediante un polinomio de tercer grado (Figura 18b). Las fórmulas que resultan de tomar las integrales bajo 
esos polinomios se conocen como reglas de Simpson. 
 
 
 
Figura 18: a) Descripción gráfica de la regla de Simpson 1/3, que consiste en tomar el área bajo una parábola que une tres 
puntos. b) Descripción gráfica de la regla de Simpson 3/8, que consiste en tomar el área bajo una ecuación cúbica que une 
cuatro puntos. 
 
Regla de Simpson 1/3 
La regla de Simpson 1/3 resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado se sustituye en 
la ecuación: 
 
 
Si se designan a y b como x0 y x2, y f2(x) se representa por un polinomio de Lagrange de segundo grado, 
la integral se transforma en: 
 
Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente fórmula: 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 20 
 
 
 
 
donde, en este caso, h = (b – a)/2. Esta ecuación se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la segunda 
fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación “1/3” se origina del hecho de que h 
está dividida entre 3 en la ecuación anterior. 
La regla de Simpson 1/3 también se puede expresar usando el formato: 
 
 (Ecuación 1) 
donde a = x0, b = x2 y x1 = el punto a la mitad entre a y b, que está dado por (b + a)/2. 
Observe que, de acuerdo con la ecuación anterior, el punto medio está ponderado por dos tercios; y los 
dos puntos extremos, por un sexto. 
Se puede demostrar que la aplicación a un solo segmento de la regla de Simpson 1/3 tiene un error de 
truncamiento de 
 
Ecuación 2 
 
donde ξestá en algún lugar en el intervalo de a a b. Así, la regla de Simpson 1/3 es más exacta que la 
regla del trapecio. En lugar de ser proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta 
derivada. Esto es porque el término del coeficiente de tercer grado se hace cero durante la integración de 
la interpolación polinomial. En consecuencia, la regla de Simpson 1/3 alcanza una precisión de tercer orden 
aun cuando se base en sólo tres puntos. En otras palabras, ¡da resultados exactos para polinomios cúbicos 
aun cuando se obtenga de una parábola! 
 
Ejemplo 7 
 
Integre f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5 
 
desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde que la integral exacta es 1.640533 
 
 
Solución 
 
 
Por lo tanto: 
 
que representa un error exacto de: 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 21 
 
 
 
 
 
que es aproximadamente 5 veces más precisa que una sola aplicación de la regla del trapecio. 
 
 
La regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple 
 
Así como en la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de integración en 
varios segmentos de un mismo tamaño (Figura 19) 
 
 
La integral total se puede representar como 
 
 
Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene 
 
simplificando 
 
 
o, combinando términos 
 
 
 
Observe que, como se ilustra en la figura 21.11, se debe utilizar un número par de segmentos para 
implementar el método. Además, los coeficientes “4” y “2” en la ecuación anterior a primera vista parecerían 
peculiares. No obstante, siguen en forma natural la regla de Simpson 1/3. Los puntos impares representan 
el término medio en cada aplicación y, por lo tanto, llevan el peso de 4 de la Ecuación 1. Los puntos pares 
son comunes a aplicaciones adyacentes y, por lo tanto, se cuentan dos veces. 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 22 
 
 
 
 
Un error estimado en la regla de Simpson de aplicación múltiple se obtiene de la misma forma que en la 
regla del trapecio: sumando los errores individuales de los segmentos y sacando el promedio de la derivada 
para llegar a 
 
 
 
donde es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo. 
 
 
 
Figura 19: Representación gráfica de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple. Observe que el método se puede emplear 
sólo si el número de segmentos es par 
 
Ejemplo 8 
Integre f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5 , con n = 4, desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde 
que la integral exacta es 1.640533 
 
Solución 
n = 4 (h = 0.2): 
 
 
Quedando: 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 23 
 
 
 
 
 
 
El ejemplo anterior demuestra que la versión de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple da 
resultados muy precisos. Por esta razón, se considera mejor que la regla del trapecio en la mayoría de las 
aplicaciones. Sin embargo, como se indicó antes, está limitadaa los casos donde los valores están 
equidistantes. Además, está limitada a situaciones en las que hay un número par de segmentos y un 
número impar de puntos. En consecuencia, como se analizará en la siguiente sección, una fórmula de 
segmentos impares y puntos pares, conocida como regla de Simpson 3/8, se usa junto con la regla 1/3 
para permitir la evaluación de números de segmentos tanto pares como impares. 
 
Regla de Simpson 3/8 
 
De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar un polinomio 
de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo: 
 
 
para obtener 
 
 
donde h = (b – a)/3. Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. 
Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La regla 3/8 se expresa también en el 
formato: 
 
 
Así los dos puntos interiores tienen pesos de tres octavos, mientras que los puntos extremos tienen un 
peso de un octavo. La regla de Simpson 3/8 tiene un error de: 
 
o, como h = (b – a)/3, 
 
Puesto que el denominador de la ecuación anterior es mayor que el de la ecuación 2, la regla 3/8 es más 
exacta que la regla 1/3. 
Por lo común, se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una exactitud de tercer orden con tres 
puntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión 3/8. No obstante, la regla de 3/8 es útil 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 24 
 
 
 
 
cuando el número de segmentos es impar. Como ilustración, en el ejemplo 8 usamos la regla de Simpson 
para integrar la función con cuatro segmentos. Suponga que usted desea una estimación con cinco 
segmentos. Una opción podría ser utilizar una versión de la regla del trapecio de aplicación múltiple. Quizá 
esto no sea recomendable, sin embargo, debido al gran error de truncamiento asociado con dicho método. 
Una alternativa sería aplicar la regla de Simpson 1/3 a los dos primeros segmentos y la regla de Simpson 
3/8 a los últimos tres (Figura 20). De esta forma, podríamos obtener un estimado con una exactitud de 
tercer orden durante todo el intervalo 
 
Figura 20: Ilustración de cómo se utilizan en conjunto las reglas de Simpson 1/3 y 3/8 para manejar aplicaciones múltiples con 
números impares de intervalos 
 
Ejemplo 9 
 
a) Con la regla de Simpson 3/8 Integre f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5 , desde a = 0 hasta 
b = 0.8. Recuerde que la integral exacta es 1.640533 
b) Úsela junto con la regla de Simpson 1/3 con la finalidad de integrar la misma función en cinco 
segmentos. 
 
Solución 
a) Una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8 requiere cuatro puntos equidistantes: 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 25 
 
 
 
 
 
 
Quedando: 
 
 
b) Los datos necesarios para una aplicación con cinco segmentos (h = 0.16) son 
 
La integral para los dos primeros segmentos se obtiene usando la regla de Simpson 1/3: 
 
 
Para los últimos tres segmentos, la regla 3/8 se utiliza para obtener 
 
 
La integral total se calcula sumando los dos resultados: 
 
 
Integración con segmentos desiguales 
Hasta aquí, todas las fórmulas de integración numérica se han basado en datos igualmente espaciados. 
En la práctica, existen muchas situaciones en donde esta suposición no se satisface y se tienen segmentos 
de tamaños desiguales. Por ejemplo, los datos obtenidos experimentalmente a menudo son de este tipo. 
En tales casos, un método consiste en aplicar la regla del trapecio a cada segmento y sumar los resultados: 
 
 
donde hi = el ancho del segmento i. Observe que éste fue el mismo procedimiento que se utilizó en la regla 
del trapecio de aplicación múltiple. 
 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 26 
 
 
 
 
Ejemplo 10 
La información de la tabla 21.3 se generó usando el mismo polinomio que se utilizó en el ejemplo 4 
f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5. Con la ecuación anterior determine la integral para estos 
datos. Recuerde que la respuesta correcta es 1.640533. 
 
Tabla 2: Datos para f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5, con valores de x desigualmente espaciados 
 
 
Solución 
Se obtiene: 
 
que representa un error relativo porcentual absoluto de εt = 2.8%. 
Los datos del ejemplo 10 se ilustran en la Figura 21. Observe que algunos segmentos adyacentes son de 
la misma anchura y, en consecuencia, podrían evaluarse mediante las reglas de Simpson. Esto 
usualmente lleva a resultados más precisos. 
INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN NUMÉRICA 16-10-2018 
 
 
 
Dr. MSc. Ing. J. Federico Medrano 27 
 
 
 
 
 
Figura 21: Uso de la regla del trapecio para determinar la integral de datos irregularmente espaciados. Observe cómo los 
segmentos sombreados podrían evaluarse con la regla de Simpson para obtener mayor precisión. 
REFERENCIAS 
Métodos Numéricos para Ingenieros, 7a Edición (2015). Steven C. Chapra y Raymond P. Canale 
Análisis Numérico 10ª Edición (2017). Richard L. Burden, J. Douglas Faires y Annette M. Burden