02-Junio TP5-2021 Sensibilidad (Clase 8)

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CLASE PRACTICA: Investigación Operativa
Trabajo Practico Nº 5 – Análisis de Sensibilidad
Profesores: JTP. Ing. Néstor O. Cruz
AY1. Ing. Mariela E. Rodríguez
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy
Método Simplex
Solución Factible
No Optima
Método Simplex
Mejora su Optimalidad
Conservando su Factibilidad
Método Dual Simplex
Solución No Factible
Pero Optima
Método Dual Simplex
Mejora su Factibilidad
Conservando su Optimalidad
METODO DUAL SIMPLEX
Solución Optima
Y Factible
Procedimiento Dual Simplex
. Establecer la variable que sale de la base 
• para esto se toma la variable que tenga el XB más 
negativo
• si no hay negativo es porque la solución es óptima
. Establecer la variable que entra a la base.
• para determinar qué variable entra a la base se utiliza la 
siguiente relación:
MAX [(ZJ – CJ) / KB ] ; KB < 0
KB es el vector fila de la variable que sale de la base
Sólo se evalúan aquellos valores de KB < 0 (negativos)
OPTIMIZAR: Z = 2 X1 + 1 X2 → Minimizar
Sujeta a:
3 X1 + 1 X2  3
4 X1 + 3 X2  6
1 X1 + 2 X2  3
X1  0, X2  0
OPTIMIZAR: H= -Z = -2 X1 + -1 X2 → Maximizar
Sujeta a:
- 3 X1 + - 1 X2 ≤ - 3
- 4 X1 + - 3 X2 ≤ - 6
- 1 X1 + - 2 X2 ≤ - 3
X1  0, X2  0
OPTIMIZAR: H= -Z = -2 X1 + -1 X2 → Maximizar
Sujeta a:
- 3 X1 + - 1 X2 +1 X3 + 0X4 + 0X5 ≤ - 3
- 4 X1 + - 3 X2 + 0X3 + 1X4 + 0X5 ≤ - 6
- 1 X1 + - 2 X2 + 0X3 + 0X4 +1X5 ≤ - 3
X1  0, X2  0, X3  0, X4  0, X5  0
Ejemplo:
MAX Cj -2 -1 0 0 0
Ci Xi Bk X1 X2 X3 X4 X5 ϴ
0 X3 -3 -3 -1 1 0 0
0 X4 -6 -4 -3 0 1 0
0 X5 -3 -1 -2 0 0 1
Zj 0 0 0 0 0 0
ZJ - CJ 2 1 0 0 0
(2/-3 ; 1/-1 ) = (-0,6 ; -1)
(2/-4 ; 1/-3) = (-0,5 ; -0,33)
(2/-1 ; 1/-2)= (-2 ; -0,5)
Entra
Sale
MAX Cj -2 -1 0 0 0
Ci Xi Bk X1 X2 X3 X4 X5 ϴ
0 X3 -1 -5/3 0 1 -1/3 0
-1 X2 2 4/3 1 0 -1/3 0
0 X5 1 5/3 0 0 -2/3 1
Zj -2 -4/3 -1 0 1/3 0
ZJ - CJ 2/3 0 0 1/3 0
MAX Cj -2 -1 0 0 0
Ci Xi Bk X1 X2 X3 X4 X5 ϴ
-2 X1 3/5 1 0 -3/5 1/5 0
-1 X2 6/5 0 1 4/5 -3/5 0
0 X5 0 0 0 1 -1 1
Zj -12/5 -2 -1 2/5 1/5 0
ZJ - CJ 0 0 2/5 1/5 0
(-0,4 ; -1)
(0,5 ; -1)
(0,4 ; -0,5)
MAX [(ZJ – CJ) / KB ] ; KB < 0
H = 12/5
X1= 3/5
X2= 6/5
X3=0
X4=0
X5=0
Análisis de Sensibilidad: Método Grafico
No es suficiente, para el tomador de decisiones conocer solo el valor de la solución óptima, sino
que también es necesario saber en que grado es estable dicha solución respecto a posibles
variaciones de los coeficientes CJ y bi.
Se estudia mediante el análisis de sensibilidad.
1.- Cambios en el vector C: Análisis de Optimalidad.
Como varia la F.O. en función de la variación de los coeficientes de beneficio Cj.
Los Cj definen la pendiente del funcional m , por lo tanto, al cambiar ellos, cambia m. Calcularemos
el rango de variación de Cj dentro del cual la solución se mantiene.
2.- Cambios en el vector b: Análisis de Factibilidad.
Como varía la F.O. en función de la variación de las disponibilidades bi. Si se modifican los bi
siempre existe un cambio del convexo y a veces se modifica la solución.
3.- Cambios en la matriz A.
4.- Cambios en el vector X. (Ingreso de nueva variable).
5.- Cambios en el número de restricciones. (Ingreso de nueva restricción).
Análisis de Sensibilidad: Método Grafico
MAXIMIZAR: Z = 15 X1 + 10 X2
30 X1 + 14 X2 ≤ 250
15 X1 + 50 X2 ≤ 350
25 X1 + 30 X2 ≤ 250
X1, X2 ≥ 0
Resultado:
Z = 
𝟏𝟒𝟓𝟎
𝟏𝟏
X1 = 
𝟖𝟎
𝟏𝟏
X2 = 
𝟐𝟓
𝟏𝟏
Análisis de Sensibilidad de Coeficientes del Funcional
MAXIMIZAR: Z = 15 X1 + 10 X2
30 X1 + 14 X2 ≤ 250
15 X1 + 50 X2 ≤ 350
25 X1 + 30 X2 ≤ 250
X1, X2 ≥ 0
1
2
3
- Giramos el funcional hacia el lado izquierdo hasta igualar con 
una restricción activa.
- Igualamos con la Restricción 3, de la siguiente forma:
- Este valor significa lo mínimo que puede disminuir el 
coeficiente sin cambiar la solución óptima.
𝐶1
𝐶2
=
𝑎31
𝑎32
𝐶1 =
𝑎31
𝑎32
* 𝐶2 C1 = 
25
30
10 =
25
3
Para analizar la variación del Coeficientes 1 (C1) del Funcional
1
2
3
Análisis de Sensibilidad de Coeficientes del Funcional
MAXIMIZAR: Z = 15 X1 + 10 X2
30 X1 + 14 X2 ≤ 250
15 X1 + 50 X2 ≤ 350
25 X1 + 30 X2 ≤ 250
X1, X2 ≥ 0
Para analizar la variación del Coeficientes 1 (C1) del Funcional
- Giramos el funcional hacia el lado izquierdo hasta igualar con 
una restricción activa.
- Igualamos con la Restricción 3, de la siguiente forma:
1
2
3
- Este valor significa lo mínimo que puede disminuir el 
coeficiente sin cambiar la solución óptima.
- Volvemos a realizar este procedimiento girando el funcional 
para el lado derecho y Igualamos con la Restricción 1, de la 
siguiente forma:
𝐶1
𝐶2
=
𝑎31
𝑎32
𝐶1 =
𝑎31
𝑎32
* 𝐶2 C1 = 
25
30
10 =
25
3
𝐶1
𝐶2
=
𝑎11
𝑎12
𝐶1 =
𝑎11
𝑎12
* 𝐶2 C1 = 
30
14
10 =
150
7
- Este valor significa lo máximo que puede aumentar el 
coeficiente sin cambiar la solución óptima.
𝟐𝟓
𝟑
≤ C1≤ 
𝟏𝟓𝟎
𝟕
La variación del coeficiente 1 es:
8,3 ≤ C1≤ 21,4
Análisis de Sensibilidad de Coeficientes del Funcional
MAXIMIZAR: Z = 15 X1 + 10 X2
30 X1 + 14 X2 ≤ 250
15 X1 + 50 X2 ≤ 350
25 X1 + 30 X2 ≤ 250
X1, X2 ≥ 0
1
2
3
- Giramos el funcional hacia el lado derecho hasta igualar con 
una restricción activa.
- Igualamos con la Restricción 1, de la siguiente forma:
- Este valor significa lo mínimo que puede disminuir el 
coeficiente sin cambiar la solución óptima.
Para analizar la variación del Coeficientes 2 (C2) del Funcional
𝐶1
𝐶2
=
𝑎11
𝑎12
𝐶2 =
𝑎12
𝑎11
* 𝐶1 C2 = 
14
30
15 = 7
Análisis de Sensibilidad de Coeficientes del Funcional
MAXIMIZAR: Z = 15 X1 + 10 X2
30 X1 + 14 X2 ≤ 250
15 X1 + 50 X2 ≤ 350
25 X1 + 30 X2 ≤ 250
X1, X2 ≥ 0
Para analizar la variación del Coeficientes 2 (C2) del Funcional
- Giramos el funcional hacia el lado izquierdo hasta igualar con 
una restricción activa.
- Igualamos con la Restricción 3, de la siguiente forma:
1
2
3
- Este valor significa lo mínimo que puede disminuir el 
coeficiente sin cambiar la solución óptima.
- Volvemos a realizar este procedimiento girando el funcional 
para el lado derecho y Igualamos con la Restricción 1, de la 
siguiente forma:
- Este valor significa lo máximo que puede aumentar el 
coeficiente sin cambiar la solución óptima.
7≤ C2≤ 18
La variación del coeficiente 2 es:
𝐶1
𝐶2
=
𝑎11
𝑎12
𝐶2 =
𝑎12
𝑎11
* 𝐶1 C2 = 
14
30
15 = 7
𝐶1
𝐶2
=
𝑎31
𝑎32
𝐶2 =
𝑎32
𝑎31
* 𝐶1 C2 = 
30
25
15 = 18
Análisis de Sensibilidad de Recursos 
MAXIMIZAR: Z = 15 X1 + 10 X2
30 X1 + 14 X2 ≤ 250
15 X1 + 50 X2 ≤ 350
25 X1 + 30 X2 ≤ 250
X1, X2 ≥ 0
Análisis del Recurso 1
- El recurso 1 se encuentra saturado, es decir no existe 
sobrante del mismo, cuando estamos en la solución Optima 
del problema. Por lo tanto trabajamos de la siguiente forma:
Aumento del Recurso 1
- Desplazamos el recurso 1 hasta el próximo vértice que 
corresponde a una restricción, que es el vértice I 
1
2
3
Vértice I con coordenadas (10, 0)
Reemplazamos en la Restricción 1 con los valores de I
30 X1 + 14 X2 ≤ 250 30 * 10 + 14 * 0 = 300
Análisis de Sensibilidad de Recursos 
MAXIMIZAR: Z = 15 X1 + 10 X2
30 X1 + 14 X2 ≤ 250
15 X1 + 50 X2 ≤ 350
25 X1 + 30 X2 ≤ 250
X1, X2 ≥ 0
Análisis del Recurso 1
- El recurso 1 se encuentra saturado, es decir no existe 
sobrante del mismo, cuando estamos en la solución Optima 
del problema. Por lo tanto trabajamos de la siguiente forma:
Aumento del Recurso 1
- Desplazamos el recurso 1 hasta el próximo vértice que 
corresponde a una restricción, que es el vértice I 
1
2
3
Vértice I con coordenadas (10, 0)
Reemplazamos en la Restricción 1 con los valores de I
30 X1 + 14 X2 ≤ 250 30 * 10 + 14 * 0 = 300
Disminución del Recurso 1
- Desplazamos el recurso 1 hasta el próximo vértice a la
izquierda que corresponde a una restricción, es el vértice G.
Vértice G con coordenadas (5/2, 25/4)
Reemplazamos en la Restricción 1 con los valores de I
30 X1 + 14 X2 ≤ 250 30 * 5/2 + 14 * 25/4 = 325/2
325/2 ≤ R1≤ 300
Análisis de Sensibilidad de Recursos 
MAXIMIZAR: Z = 15 X1 + 10 X2
30X1 + 14 X2 ≤ 250
15 X1 + 50 X2 ≤ 350
25 X1 + 30 X2 ≤ 250
X1, X2 ≥ 0
Análisis del Recurso 2
- El recurso 2 es no saturado, es decir hay un sobrante del 
mismo, cuando estamos en la solución Optima del problema. 
Por lo tanto trabajamos de la siguiente forma:
Aumento del Recurso 2
- Desplazamos el recurso 2 hasta el próximo vértice que 
corresponde a una restricción, que es el vértice H 
1
2
3
Vértice H con coordenadas (0, 25/3)
Reemplazamos en la Restricción 2 con los valores de H
15 X1 + 50 X2 ≤ 350 15 * 0 + 50 * 25/3 = 1250/3
Análisis de Sensibilidad de Recursos 
MAXIMIZAR: Z = 15 X1 + 10 X2
30 X1 + 14 X2 ≤ 250
15 X1 + 50 X2 ≤ 350
25 X1 + 30 X2 ≤ 250
X1, X2 ≥ 0
Análisis del Recurso 2
- El recurso 2 se encuentra no saturado, es decir hay un 
sobrante del mismo, cuando estamos en la solución Optima 
del problema. Por lo tanto trabajamos de la siguiente forma:
Aumento del Recurso 2
- Desplazamos el recurso 2 hasta el próximo vértice que 
corresponde a una restricción. 
15 X1 + 50 X2 ≤ 350 15 * 0 + 50 * 25/3 = 1250/3
1
2
3
Disminución del Recurso 2
- Desplazamos el recurso 2 hasta hacerse saturado, que es el 
vértice D.
Vértice D con coordenadas (80/11, 25/11)
Reemplazamos en la Restricción 2 con los valores de D
15 X1 + 50 X2 ≤ 350 30 * 80/11 + 50 * 25/11 = 3650/11
3650/11 ≤ R2≤ ∞
Análisis de Sensibilidad de Recursos 
MAXIMIZAR: Z = 15 X1 + 10 X2
30 X1 + 14 X2 ≤ 250
15 X1 + 50 X2 ≤ 350
25 X1 + 30 X2 ≤ 250
X1, X2 ≥ 0
Análisis del Recurso 3
- El recurso 3 se encuentra saturado, es decir no hay un 
sobrante del mismo, cuando estamos en la solución Optima 
del problema. Por lo tanto trabajamos de la siguiente forma:
Aumento del Recurso 3
- Desplazamos el recurso 3 hasta el próximo vértice que 
corresponde a una restricción, que es el vértice C 
1
2
3
Vértice C con coordenadas (760/129, 225/43)
Reemplazamos en la Restricción 2 con los valores de H
25 X1 + 30 X2 ≤ 250 25*760/129+30*225/43 = 156,97
Análisis de Sensibilidad de Recursos 
MAXIMIZAR: Z = 15 X1 + 10 X2
30 X1 + 14 X2 ≤ 250
15 X1 + 50 X2 ≤ 350
25 X1 + 30 X2 ≤ 250
X1, X2 ≥ 0
Análisis del Recurso 3
- El recurso 3 se encuentra saturado, es decir no hay un 
sobrante del mismo, cuando estamos en la solución Optima 
del problema. Por lo tanto trabajamos de la siguiente forma:
Aumento del Recurso 3
- Desplazamos el recurso 3 hasta el próximo vértice que 
corresponde a una restricción, que es el vértice C 
1
2
3
Vértice C con coordenadas (6, 5)
Reemplazamos en la Restricción 2 con los valores de H
25 X1 + 30 X2 ≤ 250 25*6+30*5 = 300
Disminución del Recurso 3
- Desplazamos el recurso 3 hasta hacerse saturado, que es el 
vértice D.
Vértice D con coordenadas (8, 0)
Reemplazamos en la Restricción 3 con los valores de E
25 X1 + 30 X2 ≤ 250 25 * 8 + 30 *0 = 200
156,97 ≤ R3≤ 200 
Resolución por PHPSimplex:
Ejercicio para resolver en clase: Realizar el análisis de sensibilidad de los coeficientes 
C1 y C2.
(B1)
(B2)
(b3)
(b4)
➔ X3
➔ X4
➔ X5
➔ X6
Preguntas
Muchas Gracias!