Ejemplos Jacobi Gauss-Seidel

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Cálculo Numérico (Ing Informática, Ing Minas, Lic Sistemas) Facultad de Ingeniería - UNJu 
Mtr Ing Ariel Alejandro Vega 1 
 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
JACOBI 
Los sistemas de ecuaciones lineales tienen la forma general 
 
 
 
Donde las son los coeficientes constantes, las son los términos independientes constantes y 
 es el número de ecuaciones. 
Para hallar los se propone generar una matriz que contenga una primera aproximación a los 
valores de las incógnitas denominada 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
Y generar una nueva matriz basada en una ecuación que utiliza los valores de la matriz 
anterior. Este procedimiento se repite hasta que se halla la matriz incógnita que sea la solución o 
hasta que cada cumpla cierto nivel de tolerancia de error. 
La ecuación utilizada por Jacobi para obtener cada incógnita es la siguiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que también se puede expresar como 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
Donde k permite indicar cual matriz de incógnitas se extraerá la el valor de incógnita 
referenciado. Además k también permitirá indicar el número de iteraciones que se realizarán 
hasa obtener la última matriz de incógnitas. En definitiva se calcula el próximo valor de de 
una matriz en función del valor de la misma de la matriz anterior. 
 
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Mtr Ing Ariel Alejandro Vega 2 
Resuelva el siguiente ejemplo con un error menor al 5% 
 
 
 
 
Paso 1: Definir el vector inicial de incógnitas 
No se indica los valores del vector inicial, en estos casos se suele tomar cero para cada 
incógnita. La cantidad de incógnitas se define en la variable n 
 [
 
 
 
] 
Paso 2: Determinar la tolerancia de error: 
Paso 3: Verificar la condición suficiente: Diagonal dominante 
| | ∑| | 
 Que significa verificar si 
| | | | | | | | | | | | ok 
| | | | | | | | | | | | ok 
| | | | | | | | | | | | ok 
Verificar la condición necesaria: 
| | | | 
 Que significa verificar si 
| | | | | | | | | | | | | | | | 
| | | | | | | | | | | | | | | | 
| | | | | | | | | | | | | | | | 
Paso 4: Aproximar la matriz de incógnitas con la ecuación 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
4 a) Con k=0 y n=3 significan tres ecuaciones: 
 
 
 
 
 
(
 
 
 ∑ 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(
 
 
 ∑ 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 ∑ 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esto significa que se ha creado [
 
 
 
] 
 
Paso 5: Verificar el criterio de parada usando 
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| |
 
5 a) Con k=0 y n=3 significan tres verificaciones a realizar: 
 
| 
 
 |
| 
 |
 
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| |
 
Que era lo que se esperaba y que se repetirá para las demás incógnitas porque 
nuestro vector inicial de incógnitas vale cero en todos sus elementos. Por lo tanto 
se debe volver al Paso 4 (en este caso 4b) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Paso 4: Aproximar la matriz de incógnitas con la ecuación 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
4 b) Con k=1 y n=3 significan tres ecuaciones: 
 
 
 
 
 
(
 
 
 ∑ 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(
 
 
 ∑ 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 ∑ 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esto significa que se ha creado [
 
 
 
] 
Paso 5: Verificar el criterio de parada usando 
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| |
 
5 b) Con k=1 y n=3 significan tres verificaciones a realizar: 
 
| 
 
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| 
 |
 
| |
 
 
Entonces calculamos lo mismo para 
 
| 
 
 |
| 
 |
 
| |
 
 
Por lo tanto se debe volver al Paso 4 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Lo que se suele hacer es crear una tabla donde se van registrando los resultados con el fin de 
que sean más fáciles los cálculos y la visualización de la evolución de las iteraciones, lo que 
quedaría 
k 
 
 
 
0 0 0 0 
1 29,41176 9,52381 1,36364 1 1 1 
2 30,77285 16,65648 10,21263 0,04423 0,42822 0,86648 
3 33,17358 17,82331 12,14303 0,07237 0,06547 0,15897 
4 33,65151 18,57876 12,95384 0,01420 0,04066 0,06259 
5 33,88347 18,76977 13,23415 0,001685 0,01018 0,002118 
 
 
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Mtr Ing Ariel Alejandro Vega 5 
Esto significa que no hallamos la solución exacta pero que cumplimos con la tolerancia de error 
del 5%. Si disminuimos la tolerancia aumentará la exactitud o incluso llegaremos a obtener la 
solución exacta. 
Podríamos también estimar el error cometido en el sistema: 
Si aplicamos los valores obtenidos en la ecuación original obtendremos: 
 
Si calculamos ahora el error porcentual cometido en cada ecuación obtendríamos 
 
GAUSS SEIDEL 
Es una variante de Jacobi que busca introducir las aproximaciones de los que se van 
obteniendo en el cálculo de la aproximación de los otros . Se parte de la misma manera que 
Jacobi con un vector inicial y para cumplir el objetivo del método la ecuación para obtener los 
elementos del vector incógnita sufre la siguiente variante 
En este caso iniciaremos con un ejemplo demostrativo del funcionamiento del método y s 
deducirá las ecuaciones involucradas. 
Resuelva el siguiente ejemplo con un error menor al 5% 
 
 
 
 
Paso 1: Definir el vector inicial de incógnitas 
No se indica los valores del vector inicial, en estos casos se suele tomar cero para cada 
incógnita. La cantidad de incógnitas se define en la variable n 
 [
 
 
 
] 
Paso 2: Determinar la tolerancia de error: 
Paso 3: Verificar la condición suficiente: Diagonal dominante 
| | ∑| | 
 
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Mtr Ing Ariel Alejandro Vega 6 
 Que significa verificar si 
| | | | | | | | | | | | ok 
| | | | | | | | | | | | ok 
| | | | | | | | | | | | ok 
Verificar la condición necesaria: 
| | | | 
 Que significa verificar si 
|| | | | | | | | | | | | | | | 
| | | | | | | | | | | | | | | | 
| | | | | | | | | | | | | | | | 
Paso 4: 
4 a) Despejamos las incógnitas pertenecientes a la diagonal principal, esto es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al igual que Jacobi usamos un vector inicial, por ejemplo 
 [
 
 
 
] 
Entonces 
 
 
 
 
 
 
 
 Es decir, exactamente igual que en Jacobi 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para la siguiente incógnita es donde sufre un cambio. Ya que se plantea que 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir que se utilizan los valores de incógnitas que se van obteniendo en la iteración 
 
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De la misma forma 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir que se utilizan los valores de incógnitas que se van obteniendo en la iteración 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esto significa que se ha creado [
 
 
 
] 
 
Paso 5: Verificar el criterio de parada usando 
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5 a) Con k=0 y n=3 significan tres verificaciones a realizar: 
 
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Que era lo que se esperaba y que se repetirá para las demás incógnitas porque 
nuestro vector inicial de incógnitas vale cero en todos sus elementos. Por lo tanto 
se debe volver al Paso 4 (en este caso 4b) 
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Paso 4: 
4 b) Con [
 
 
 
] 
Entonces 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Esto significa que se ha creado [
 
 
 
] 
 
Paso 5: Verificar el criterio de parada usando 
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5 b) Con k=1 y n=3 significan tres verificaciones a realizar: 
 
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Que no se cumple por lo tanto hay que continuar 
k 
 
 
 
0 0 0 0 
1 0,7 -1,74 0,981 1 - - 
2 0,9498 -1,98636 1,005948 0,2630 - - 
3 0,9966772 -2,000525 1,0008221 0,0470 0,0071 0,0051 
 
Con lo cual queda expuesto que el método es similar a Jacobi, variando en la ecuación de la 
obtención de la incógnita, la cual resulta ser 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 ∑