Cap7 - Deformaciones

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Generalidades Estado plano de deformaciones Circulo de Mohr Estado general Medición
Caṕıtulo 7: Estado de deformaciones
Resistencia de Materiales 1
MSc. Daniel Lavayen Farfán
Pontificia Universidad Católica del Perú
Departamento de Ingenieŕıa
Sección de Ingenieŕıa Mecánica
Área de Diseño
2018
PUCP - ING225 - Caṕıtulo 7: Estado de deformaciones MSc. Daniel Lavayen Farfán
Generalidades Estado plano de deformaciones Circulo de Mohr Estado general Medición
Introducción
Podemos determinar las distintas relaciones entre las cargas externas y los
esfuerzos que se dan en el cuerpo.
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Vale la pena?
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Deformaciones
Si bien no podemos medir esfuerzos, si se
pueden medir deformaciones con galgas
extensiométricas. Obtenemos los esfuerzos
mediante ciertas relaciones:
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Ley de Hooke Generalizada
Ley de Hooke Generalizada
εx =
1
E
(σx − ν(σy + σz))
εy =
1
E
(σy − ν(σx + σz))
εz =
1
E
(σz − ν(σy + σx))
γxy =
τxy
G
γxz =
τxz
G
γzy =
τzy
G
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Relaciones entre E y G
El módulo de corte G y el módulo de elasticidad E se relacionan a traves
del efecto Poisson:
Relación
G =
E
2(1 + ν)
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Otra forma...

σx
σy
σz
τxy
τxz
τyz
 =
E
(1 + ν)(1− 2ν)

1− ν ν ν 0 0 0
ν 1− ν ν 0 0 0
ν ν 1− ν 0 0 0
0 0 0
1− 2ν
2
0 0
0 0 0 0
1− 2ν
2
0
0 0 0 0 0
1− 2ν
2


εx
εy
εz
γxy
γxz
γyz

Nótese que se emplea la notación γij en lugar de εij .
T́ıpicamente se entiende que εij = 2γij
Con la expresión anterior se pueden encontrar los esfuerzos en función de
las deformaciones unitarias medidas con galgas extensiométricas.
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Limitaciones de las galgas
A pesar de que podemos medir las deformaciones unitarias gracias a las
galgas extesiométricas, estas tienen ciertas limitaciones:
Solo miden deformaciones lineales.
Solo miden la deformación en un sentido.
Solución para superar las limitaciones:
Emplear una ”roseta”, es decir, emplear tres galgas en cierto arreglo y
realizar rotaciones y rotación de deformaciones.
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Estado plano de deformaciones
Para comenzar el estudio, plantearemos el estado plano de deformaciones,
el cual no es equivalente a estado plano de esfuerzos.
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Estado plano de deformaciones
En un estado de deformación plano,
se pueden realizar rotaciones
ε(θ) = εx cos
2 θ+εy sin
2 θ+γxy sin θ cos θ
aśı como las que se realizaron para
los esfuerzos
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Estado plano de deformaciones
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Estado plano de deformaciones
La deformación normal εθ a un ángulo θ
arbitrario del eje x.
Deformación normal rotada
ε(θ) = εx cos
2 θ + εy sin
2 θ + γxy sin θ cos θ
Cuando se gira a 45◦
ε45 = ε(45
◦) =
1
2
(εx + εy + γxy )
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Estado plano de deformaciones
De las expresiones anteriores se puede definir la deformación cortante o
angular a partir de las normales:
γxy = 2ε45 − (εx + εy )
Permite determinar la deformación angular a partir de tres
deformaciones unitarias.
Facilitará la medición mediante ”rosetas” de deformación.
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Estado plano de deformaciones
Aplicando relaciones trigonométricas se pueden reescribir las expresiones
para el esfuerzo normal de la siguiente manera:
Deformaciones rotadas
εx ′ =
εx + εy
2
+
εx − εy
2
cos 2θ +
γxy
2
sin 2θ
εy ′ =
εx + εy
2
− εx − εy
2
cos 2θ − γxy
2
sin 2θ
γx ′y ′
2
= −�x − �y
2
sin 2θ +
γxy
2
cos 2θ
Estas expresiones son familiares... verdad? Nótese que se cumple:
εx + εy = εx ′ + εy ′
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Estado plano de deformaciones - Circulo de Mohr
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Estado plano de deformaciones - Circulo de Mohr
Valores útiles en el circulo de Mohr de deformaciones:
εm = εave =
εx + εy
2
R =
√(
εx − εy
2
)2
+
(γxy
2
)2
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Estado plano de deformaciones - Circulo de Mohr
Los ejes principales se dan por el
ángulo:
tan 2θp =
γxy
εx − εy
Y tienen el valor:
εmax = εprom + R
εmin = εprom − R
Deformación cortante máxima se da
por:
γmax = 2R =
√
(εx − εy )2 + (γxy )2
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Ejercicio 1
Un punto de un cuerpo está sometido a un
campo de deformaciones definidas por
εx = −350(10−6),εy = 200(10−6) y
τxy = 80(10
−6) Determine la máxima
deformación angular del cuerpo y la
orientación asociada.
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Ejercicio 2
Determine las deformaciones principales, aśı como la deformación angular
máxima y su correspondiente deformación lineal.
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Estado triaxial de esfuerzos
El estado principal triaxial de esfuerzos se da cuando no hay esfuerzos
cortantes
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Estado triaxial de deformaciones
Entonces por la ley de Hooke, las deformaciones angulares tambien serán
cero!
Entonces el estado principal de esfuerzos está asociado al estado principal
de deformaciones!
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Circulo de Mohr
Se construye el circulo de Mohr
γmax = εmax − εminPUCP - ING225 - Caṕıtulo 7: Estado de deformaciones MSc. Daniel Lavayen Farfán
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Estado plano de esfuerzos
En el estado plano se dan los
siguientes esfuerzos:
σx 6= 0 σy 6= 0 σz = 0
De la ley de Hooke se llega a :
εa + εb =
1− ν
E
(σa + σb)
εc = −
ν
1− ν
(εa + εb)
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Medición de deformaciones
ε1 = εx cos
2 θ1 + εy sin
2 θ1 + γxy sin θ1 cos θ1
ε2 = εx cos
2 θ2 + εy sin
2 θ2 + γxy sin θ2 cos θ2
ε3 = εx cos
2 θ3 + εy sin
2 θ3 + γxy sin θ3 cos θ3
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Ejercicio 3
Se tiene una fuerza axial P y una fuerza horizontal Q, ambas aplicadas en
el punto C. Se coloca una roseta en el punto A mostrado, y se miden los
siquientes deformaciones unitarias:
ε1 = −60x10−6 ε2 = +240x10−6 ε3 = +200x10−6
sabiendo que E=29x106 psi y ν es 0.3. Determine las magnitudes de P y Q
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