Capacitores: Cálculo e Aplicações

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La capacitancia
Un capacitor consiste de dos conductores a y b lla-
mados placas. Se supone que están completamente
aislados y que se encuentran en el vacío.
Se dice que un capacitor está cargado si sus placas
tienen cargas iguales y opuestas, +q y −q.
Cuando se mencione a la carga, q, de un capacitor
se considera a la magnitud de la carga de cualquiera
de las placas.
Un capacitor puede adquirir carga eléctrica si se
conecta a las terminales de una batería. Puesto que
las placas son conductoras, entonces son equipoten-
ciales, y la diferencia de potencial a través de las pla-
cas será la misma que la de la batería.
Por conveniencia, a la magnitud de la diferencia de
potencial entre las placas se le llama V .
La carga y la diferencia de potencial en un capaci-
tor se relacionan por
q =CV (1)
donde C es una constante de proporcionalidad llama-
da capacitancia. La unidad de medida de la capaci-
tancia en el SI es el farad (abreviado F).
1 f arad = 1coulomb/volt
Ejercicio 1. Un capacitor de almacenamiento en una
memoria de aceso aleatorio (RAM en inglés) tiene
una cpacitancia de 55 fF. Si la diferencia de poten-
cial es de 5.3 V, ¿cuál es el exceso de electrones en la
placa negativa?
Si la placa negativa tiene un exceso de N electro-
nes, entonces porta una carga neta q = Ne. Así que
N =
q
e
=
CV
e
=
(55×10−15F)(5,3V)
1,60×10−19C
N = 1,8×106electrones.
El cálculo de la capacitancia
Conviene establecer un plan
1. se supone una carga q en las placas
2. se calcula el campo eléctrico E entre las placas
en términos de su carga, usando la ley de Gauss
3. una vez conocido E, se calcula la diferencia de
potencial V entre las placas y
4. se calcula C a partir de C = q/V .
El cálculo del campo eléctrico: de acuerdo con la
ley de Gauss (ver la figura 1)
1
4πε0
∮
E ·dA = q (2)
1
Figura 1:
que, dadas las condiciones, da como resultado
ε0EA = q, (3)
donde A es el área de traslape entre las placas y la
superficie gaussiana.
El cálculo de la diferencia de potencial. La dife-
rencia de potencial se calcula según
Vf −Vi =
∫ f
i
E ·ds, (4)
aquí la integral se ha evaluado a lo largo de la tra-
yectoria que inicia en una placa y termina en la otra.
Dado que sólo nos interesa la magnitud de V , se pue-
de establecer que Vf −Vi =−V , por lo que
V =
∫ −
+
E ds, (5)
donde los signos + y − indican que la trayectoria
inicia en la placa con carga positiva y termina en la
placa con carga negativa.
Un capacitor de placas paralelas
De acuerdo con la figura 1, se tiene que
V =
∫ −
+
Eds =
q
ε0A
∫ d
0
ds =
qd
ε0A
. (6)
y de la definicion de capacitancia
C = ε0
A
d
. (7)
¡y sólo depende de la geometría del capacitor! De
aquí que otra forma de definir a ε0 da
ε0 = 8.85×10−12F/m = 8.85pF/m.
Un capacitor cilíndrico
La figura 2 muestra, en seccion transversal, a un ca-
pacitor cilíndrico de longitud L formado por dos ci-
lindros coaxiales a y b.
Se supone que L >> b. La superficie gaussiana
más conveneinte es un cilindro de longitu L y radio
r, con tapas en sus extremos. Así, la ecuacion (3) da
q = ε0EA = ε0E(2πrL)
2
Figura 2:
donde 2πrL es el área de la pared de la superficie
gaussiana. Resolviendo para E
E =
q
2πε0Lr
. (8)
y, sustituyendo en la ecuacion (5)
V =
∮ −
+
E ds =
q
2πε0L
∫ b
a
dr
r
=
q
2πε0L
ln
(b
a
)
. (9)
por lo que
C = 2πε0
L
ln(b/a)
(10)
y, nuevamente, la capacitancia sólo depende de los
factores geométricos.
Un capacitor esférico
La figura 2, también representa a la seccion transver-
sal de un capacitor que consiste de dos cascarones
esféricos de radios a y b. Como superficie gaussiana
se elige una esfera de radio r.
Aplicando la ecuacion (3) a esta superficie
q = ε0EA = ε0E(4πr2),
Si se resuelve para E
E =
1
4πε0
q
r2
, (11)
y sustituyendo en la ecuacion (5) se encuentra
V =
∫ −
+
E ds =
q
4πε0
∫ b
a
dr
r2
=
q
4πε0
(1
a
− 1
b
)
V =
q
4πε0
b−a
ab
. (12)
Y sustituyendo en la ecuacion (12) en (1) y resolvien-
do para C se obtiene
C = 4πε0
ab
b−a
. (13)
3
Una esfera aislada
Si b→ ∞ en la ecuacion (13) y se sustituye R por a,
se encuentra que
C = 4πε0R. (14)
Ejercicio 2. Las placas de un capacitor de placas
paralelas están separadas una distancia d=1.00 mm.
¿Cuál debe ser el área de las placas para que la capa-
citancia sea de 1.0 F?
Si la ecuacion (7) se resuleve para A y se obtiene
A =
Cd
ε0
= 1·1×108m2.
Ejercicio 3. El espacio entre los conductores de un
cable coaxial largo, usado para transmitir señales de
TV, tiene un radio interno a=0.15 mm y un radio ex-
terno b=2.1 mm. ¿Cuál es la capacitancia por unidad
de longitud de este cable?
De la ecuacion (10) se tiene
C
L
=
2πε0
ln(b/a)
= 21pF/m.
¿Cuál es la capacitancia de la Tierra, vista como
una esfera conductora aislada de radio 6370 km?
De la ecuacion (14) se tiene
C = 4πε0R = 710µF.
Capacitores en serie y en paralelo
Al analizar los circuitos eléctricos, con frecuencia se
desea conocer la capacitancia equivalente de dos o
más capacitores que están conectados de cierta ma-
nera.
Por capacitancia equivalente se entiende la capa-
citancia de un solo capacitor que se puede sustituir
por la combinación sin cambio en la operacion del
resto del circuito.
Capacitores conectados en paralelo
La figura 3a muestra dos capacitores conectados en
paralelo.
Figura 3:
Características:
4
1. para pasar de a a b se puede tomar una de dos
trayectorias, pasando a traves de C1 o a través de
C2, que son paralelas
2. Cuando se conecta una batería con diferencia de
potencial V a través de la combinacion se esta-
blece la misma diferencia de potencial a través
de cada capacitor
3. La carga total transportada por la batería a la
combinacion se reparte entre los capacitores.
Así, para cada capacitor se tiene
q1 =C1V y q2 =C2V. (15)
Y dada la característica (3), se tiene
q = q1 +q2. (16)
Si se reemplaza la combinación por un capacitor
equivalente, Ceq y se conecta a la misma batería, se
debe tener la misma carga en las placas del capacitor
equivalente, así que
q =CeqV. (17)
Sustituyendo la ecuacion (16) en la (17) y usando las
ecuaciones (15) en el resultado, se tiene que
CeqV =C1V +C2V,
o
Ceq =C1 +C2. (18)
Si se tienen más de dos capacitores conectados en
paralelo, entonces
Ceq = ∑
n
Cn (19)
Capacitores conectados en serie
La figura 4 muestra dos capacitores conectados en
serie. Características:
Figura 4:
1. para pasar a a b se debe recorrer todo el circuito,
pasando a través de todos los elementos sucesi-
vamente
2. cuando se conecta una batería a través de la
combinación, la diferencia de potencial V de la
batería es igual a la suma de las diferencias de
potencial a través de cada uno de los capacitores
5
3. la carga q en cada capacitor de la combinación
en serie tiene el mismo valor
Para cada capacitor individual se tiene, usando la
ecuacion (1):
V1 =
q
C1
y V2 =
q
C2
. (20)
con la misma carga a través de cada capacitor pero
diferente mangnitud en la diferencia de potencial. De
acuerdo con la segunda propiedad se tiene
V =V1 +V2. (21)
Entonces, la capacitancia equivalente Ceq que puede
reemplazar a la combinación debe almacenar la mis-
ma carga al conectarla a la misma diferencia de po-
tencial
V =
q
Ceq
. (22)
Sustituyendo la ecuacion (21) en la (22) y usando las
ecuaciones (29) se tiene
q
Ceq
=
q
C1
+
q
C2
,
o
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
. (23)
Si se tienen más de dos capacitores conectados en
serie, entonces
1
Ceq
= ∑
n
1
Cn
(24)
Ejercicio 5. (a) Encuentre la capacitancia equivalente
en la combinación que se muestra en la figura 5a.
Suponga que
C1 = 12.0µF, C2 = 5.3µF y C3 = 4.5µF.
(b) Se aplica una diferencia de potencial V = 12,5
V a las terminales de la figura 7a. ¿Cuál es la carga
sobre C1?
Figura 5:
Los capacitores C1 y C2 están conectados en para-
lelo, por lo que la capacitancia equivalente es
C12 =C1 +C2 = 17.3µF
6
Como se muestra en la figura 7b, C12 y C3 están co-
nectados en serie. De la ecuacion (23), la capacitan-
cia equivalente final es (ver la figura 7c):
1
C123
=
1
C12
+
1
C3
= 0.280µF−1
o
C123 = 3.57µF.(b) A los capacitores C12 y C123 se les considera
como a capacitores comúnes y corrientes. La carga
sobre C123 en la figura 7c es, entonces,
q123 =C123V = (3.57µF)(12.5V ) = 44.6µC
Esta misma carga es la que se encuentra en cada ca-
pacitor de la combinación en serie de la figura 7b. La
diferencia de potencial a través de C12 en esa figura
es
V12 =
q12
C12
=
44.4µC
17.3µF
= 2.58V
La misma diferenca de potencial aparece a través de
C1 en la figura 7a, por lo que
q1 =C1V1 = (12µF)(2,68V) = 31µC.
La energía almacenada en un campo
eléctrico
Como ya se vió anteriormente, la energía potencial
eléctrica U es igual al trabajo W realizado por un
agente externo para ensamblar una configuracion de
cargas.
En un capacitor, el agente externo que transporta
cargas de una placa a la otra es la batería.
Suponga que en un tiempo t se ha transferido una
carga q′ de una placa a la otra. La diferencia de poten-
cial V ′ entre las placas en ese momento es V ′ = q′/C.
Si luego se transfiere un incremento de carga dq′, el
pequeño cambio en dU en la energía potencial eléc-
trica es, de acuerdo con ∆V = ∆U/q0,
dU =V ′ dq′ =
q′
C
dq′
Si el proceso continua hasta que se haya transferido
una carga total q, la energía potencial total es
U =
∫
dU =
∫ q
0
q′
C
dq′ (25)
o
U =
q2
2C
. (26)
7
De la relación q =CV también se puede escribir
U =
1
2
CV 2. (27)
De aquí, si se tiene un capacitor de placas paralelas,
el campo eléctrico el campo eléctrico en el espacio
entre las placas es uniforme (omitiendo los efectos
de borde). Así, la densidad de energía u, que es la
energía almacenada por unidad de volumen, debe ser
la misma en todo el volumen entre las placas; u está
dada por
u =
U
Ad
=
1
2CV
2
Ad
.
Sustituyendo la ecuacion (7) se tiene
u =
ε0
2
(V
d
)2
.
pero E =V/d, por lo que
u = 12 ε0E
2. (28)
Aunque se trató solamente para un capacitor de pla-
cas paralelas, el resultado es válido para cualquier
geometría. Aunque en general E cambia con la lo-
calización, así que u será función de las coordenadas.
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