Corriente Continua

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Hay circuitos complejos en el corazón de
todos los dispositivos electrónicos moder-
nos. Las sendas conductoras de este circui-
to impreso son películas finas (en color
azul verdoso) depositadas sobre una tarjeta
aislante. El funcionamiento de cualquiera
de estos circuitos, no impona cuán com-
plejo sea. se comprende por medio de las
reglas de Kírchhoff, un tema medular de
este capítulo.
¿Es posible conectar varios
resislores con diferentes resistencias de
modo que todos tengan la misma
diferencia de potencial? De ser as!, ¿será
la corriente la misma en todos los
resistores?
980
CIRCUITOS
DE CORRIENTE
CONTINUA
Si examinamos el interior de nuestro televisor, de la computadora o del receptorestereofónico, o miramos bajo la cubierta de un automóvil, hallaremos circuitos
muchísimo más complejos que los circuitos sencillos que estudiamos en el capítulo
25. Ya sea que estén conectados mediante alambres o integrados en un chip semicon-
ductor, estos circuitos suelen incluir varias fuentes, resistores y otros elementos de
circuito, como capacitores, transformadores y motores, interconecmdos en una red.
En este capitulo estudiaremos los métodos generales para analizar estas redes;
esto incluye cómo encontrar voltajes, corrientes y propiedades de elementos de cir-
cuito desconocidos. Aprenderemos a determinar la resistencia equivalente de varios
resistares conectados en serie o en paralelo. En el caso de redes más generales ne-
cesitaremos dos reglas que se conocen como reglas de Kirchhoff. Una de ellas se
fundamenta en el principio de conservación de carga aplicado a una confluencia de
dos o más vías; el otro se deduce de la conservación de energía de una carga que se
traslada alrededor de una espira cerrada. Analizaremos instrumentos para mcdir di-
ferentes cantidades eléctricas; además examinaremos un circuito con resistencia y
capacitancia en el que la corriente varia con el tiempo.
Nuestro interés principal en este capímlo se centra en los circuitos de corrien-
te continua (cc), en los que el sentido de la corriente no cambia con el tiempo.
Las linternas de mano y los sistemas de cableado de automóvil son ejemplos de
circuitos de corriente continua. La energia eléctrica doméstica se suministra cn
forma de corriente alterna (ca), donde la corriente oscila en un sentido y otro. Se
aplican los mismos principios para el análisis de redes a ambas clases de circui-
tos, y este capítulo concluye con un vistazo a los sistemas de cableado doméstico.
Estudiaremos detenidamente los circuitos de corriente alterna en el capítulo 31.
«
26.1 1 Resistores en serie y en paralelo
26.1 I Resistores en serie y en paralelo
Los resistores aparecen en todo tipo de circuitos, desde secadoras de cabello y ca-
lentadores de espacios hasta circuitos que limitan o dividen la corriente o reducen
o dividen un voltaje. Estos circuitos suelen contener varios resislores, por 10 que
resulta apropiado considerarlos como combinaciones de resistores. Un ejemplo
simple es una serie de focos de [as que se usan como adornos navideños; cada fo--
co actúa como un resistor, y desde la perspectiva del análisis de circuitos la serie
de fo~s es sencillamente una combinación de resistores.
Supóngase que se tienen treS resistores con resistencias R]> R2 Y R). La figura
26.1 muestra cuatro maneras diferentes en que podrían estar conectados entre los
puntos a y b. Cuando varios elementos de circuito, como resistores, baterías y mo--
tares, están conectados en sucesión como en la figura 26.1a, con un solo camino
de corriente entre los puntos, se dice que están conectados en serie. Estudiamos
los capacitares en serie en la sección 24.2; hallamos que, en virtud de la conser-
vación de la carga, los capacitares en serie tienen todos la misma carga si inicial·
mente están descargados. En los circuitos nos suele interesar más la corriente, que
es el flujo de carga por unidad de tiempo.
De los resistores de la figura 26.\ b se dice que están conectados en paralelo
entre los puntos a y b. Cada resistor ofrece un camino diferente entre los puntos.
En el caso de elementos de circuito conectados en paralelo, la diferencia de pOlell-
cia/ es la misma entre los bornes de cada elemento. Estudiamos los capacitores en
paralelo en la sección 24.2.
En la figura 26.lc, los resistores R2 y Rl están en paralelo, y esta combinación es-
tá en serie con R1• En la figura 26.1d, R2 YRJ están en serie, y esta combinación está
en paralelo con RI .
Con respecto a cualquier combinación de resistores, siempre se puede hallar lUl
solo resistor que podria tomar el lugar de la combinación y dar por resultado la mis-
ma corriente y diferencia de potencial totales. Por ejemplo, se podria sustituir una
hilera de focos navideños por lUl solo foco e!ecmoo, correctamente elegido, que to-
maría la misma corriente y tendria la misma diferencia de potencial entre sus bornes
que la hilera original de focos. La resistencia de este único resistor se conoce como
la resistencia equivalente de la combinación. Si cualquiera de las redes de la figu-
ra 26.1 sc sustituyese por su resistencia equivaleme R~, podríamos escribir
V"
Vd/> = IR.... o R =-" ~ 1
donde V"" es la diferencia de potencial entre los bornes a y b de la red e I es la co-
rriente en el punto a o b. Para calcular lUla resistencia equivalente, supondremos
lUla diferencia de potencial V.. entre los bornes de la red real y calcularemos la co-
rriente ¡ correspondiente y la proporción V,,¡jT.
Resistores en serie
Podemos deducir las ecuaciones generales de la resistencia equivalente de una
combinaci6n de resistores en serie o en paralelo. Si los resistores estan en serie,
como en la figura 26.1a, la corriente I debe ser la misma en todos ellos. (Como co-
mentamos en la sección 25.4, la corriente /lO se "gasta" al pasar a través de un cir-
cuito). Aplicando V = iR a cada resiSlor se tiene
Va.< = IR 1 Vol)' = IR1 V).¿,·= IR j
Las diferencias de potencial entre los extremos de cada resistor no son necesaria-
mente las mismas (excepto en el caso especial en el que las tres resistencías son
981
R, x R, R, b• ,
.- .-
I I
<a) R1• R1 YR) en serie
R,
R,
b•
'7 .-R, I
(bIRI.R~) RjeDp:uaJodo
R,
• R, b
'7 .-R, I
(c)R1en serie con
combinación en
paralelo de R2 YR)
R, R,
• b
'7 R, '7
(d) R1en paralelo con
combinación en
serie de R1 y RJ
26.1 Cuatro fonnas diferentes de concelar
tres resistorcs.
982 CA PfTU LO 26 I Circuitos de corriente continua
Act¡vPhyscs
12.1 Circuitos de e,en serie (cualitativo)
iguales). La diferencia de potencial V<lb entre los extremos de la combinación en
su totalidad es la suma de estas diferencias de potencial individuales:
Vab = VIU + V.oy + Vyb = ¡(R I + R2 + RJ )
Y. por tanto,
Por defmición, la proporción V."jl es la resislencia equivalente~. En consecuencia,
Rcq = RI + R~ + R)
Es fácil generalizar eslo a cualquier número de resistores:
Rcq = RI + R2 + RJ +... (resislores en serie) (26.1)
(26.2)(resistores en paralelo)
o bien, I 1 I l-=-+-+-
Vab R] R2 R)
Pero por definición de la resistencia equivalente Req, l/Val> = J/Req, de modo que
1 I I I-=-+-+-
Req R] R2,. R)
También en este caso es fácil generalizar a cualquier número de resistores en pa-
ralelo:
La resistencia equinlente de cualqllier número de resistores en serie es igual
a la suma de sus resistencias individuales. La resistencia equivaleme es mayor
que cualquiera de las resistencias individuales.
Comparemos este resultado con la ecuaci6n (24.5), referente a los capacitores en
serie. Los resistores en serie se suman directamente porque el voltaje entre los extre-
mos de cada uno es directamente proporcional a su resistencia y a la comente co-
mún. Los capacitares en serie se swnan recíprocamente porque el voltaje entre los
bornes de cada uno es directamente proporcional a la carga común pero inversamen-
te proporcional a la capacitancia individual.
Resistores en paralelo
Si los resistores están en paralelo, como en la figura 26.1 b. la corrieme l! través de
cada resistor no es necesariamente la misma. Perola diferencia de potencial entre
los bornes de cada resistor debe ser la mísma e igual a V<lb (Fig. 26.2). (Recuerde
que la diferencia de; potencial entre dos puntos cualesquiera no depende del cami-
no seguido entre los puñtos.) Sean las corrientes en los tres resistores 11, 12 el).
Entonces, dado que I = VIR,
Vab Val> Val>
1,=- 12=- 1)=-R, R2 R)
En general, la corriente es di rerente a través de cada resistor. Puesto que no se
acumula ni se pierde carga por el punto a, la corriente total 1 debe ser igual a las
tres corrientes de los resistores:
1 = 1, + 12 + 1) = Vab(-.!.- + -.!.- + -.!.-)R, R2 R)
I 1 1 I-=-+-+-+ ...
Req Rf R2 R)
En el caso de cualquier nlÍmero de resistores en paralelo, el recíproco de la re-
sistencia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de sus resistencias in-
2i.Z Los faros de un auto están conecla-
dos ce panJe:1o. Por lanlo. cada faro está
c'iJ"es;a· alOdlla diferencia de pCllencial
que i". d sistema eleclrico del ve-
lricu10 y x dJI:icDe .. máxima brillanlez.
0mI ,;aItaja es que.. sise funde uno de los
faros., el 0Ir0 COIIIIiDiia iluminando (véase
el ejemplo 26.2).
\
26.1 l Resistorcs en serie y en paralelo
dividuales. La resistencia equivalente siempre es menor que cualquiera de las re·
sistencias individuales.
Comparemos este resultado con la ecuación (24.7), referente a los capacitares
en paralelo. Los rcsistores en paralelo se suman recíprocamente porque la corrien-
te en cada uno es proporcional al voltaje común entre sus extremos e inversamente
proporcional a la resistencia de cada uno. Los capacitares en paralelo se suman di-
rectamente porque la carga de cada uno es proporcional al voltaje común entre sus
bornes y directamente proporcional a la capacitancia de cada uno.
En el caso especial de dos resiSlores en paralelo,
I 1 1 RI + R,-=-+-= .
R«¡ Rl R1 R]R2
ActjVPhyscs
12.2 Circuitos de ce en paralelo
983
y
(dos resistores en paralelo) (263)
(26.4)
Puesto que Vah = /IRI = ¡2R2, se sigue que
~ = R2 (dos resistores en paralelo)
/2 R 1
Esto demuestra que las corrientes transportadas por dos resistores en paralelo son
inversamente proporcionales a sus resistencias respectivas. Pasa más corriente
por el camino que ofrece menos resistencia.
Estrategia para
resolver problemas Resistores en serie y en paralelo
IDENTIFICAR los conceplos pertinentes: Muchas redes de rc-
sistores se componen de resistores en serie, en paralelo, o una
combinación de los dos. El concepto clave es que una red de es-
te tipo se puede sustituir por un solo resistor equivalente.
PLANTEAR el problema utilizando las etapas siguientes:
1. Haga un dibujo de la red dc resistores.
2. Establezca si los resistores están conectados en scrie o en
paralelo. Adviena que suele ser posible considerar las re-
des como las de las figuras 26.1c y 26.ld como combina-
ciones de arreglos en serie y en paralelo.
3. Determine cuáles son las variables que se buscan. Podrian
incluir la resistencia equivalente de la red, la diferencia de
potencial entre los extttmos de cada m;istor o la corrien-
te a traves de cada resistor.
EJECUTAR la solución como sigue:
1. Con basc en la ecuación (26.1) o la (26.2), halle la resis-
tencia equivalente para una combinación en serie o en pa-
ralelo, respectivamente.
2. Si la red es más compleja, intente reducirla a combinacio-
nes en serie y en paralelo. Por ejemplo, en la figura 26.lc
. se sustituye primero la combinación en paralelo de Ni y R3
por su resistencia equivalente; ésta forma entonces una
combinación en serie con RI • En la figura 26.1d, la com-
binación de NI y R3 en scrie forma una combinación en
paráÍelo con RI .
3. Al calcular diferencias de potencial recuerde que, cuando
los resistores están conectados en serie, la diferencia de
porencialtotal entre los extremos de la combinación es
igual a la suma de las diferencias de potencial individua-
les. Cuando están conectados en paralelo, la diferencia dc
potencial es la misma en todos los resistores y es igual a la
diferencia de potencial entre los extremos de la combina·
ción en paralelo.
4. Tenga en mente las expresiones análogas de la corriente.
Cuando los resistores están conectados en serie, la co-
rriente es la misma a traves de cada resistor y es igual a la
corriente a través de la combinación en serie. Cuando los
resislores están conectados en paralelo, la corriente lotal a
través de la combinación es igual a la suma de las corrien-
tes a través de los rcsistores individuales.
EVALUAR la respuesta: Compruebe si sus resultados son con-
grucntes. Si los resistores están conectados en serie, la resisten-
cia equivalente debe ser mayor que la de cualesquiera de los
resis!ores individuales; si están conectados en paralelo, la resis-
tencia equivalente debe ser menor que la de cualesquiera de los
resistores individuales.
•
984
Ejemplo
26.1
e A pí TUL o 26 I Circuitos de corriente continua
Resistencia equivalente
Calcule la resistencia equivalente de la red de la figura 26.3a, y en-
cuentre la corriente en cada resistor. La resistencia interna de la
fuente de [cm es insignificante.
lE!!l3l!llI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La red de tres resistores es una com-
binación de conexiones en serie y en paralelo, como en la figura
26.lc. Primero se determina la resistencia equivalente R'Q de esta
red en conjunto. Una vez definido este valor, se halla la corriente en
la rem, que es igual a la corriente en el resistor de 4 !l Esta misma
cortiente se divide entre los resistorcs de 6 fl Y3 fl; se determina
cuánta pasa por cada resistor aplicando el principio de que la dife-
rencia de potencial debe ser la misma entre los extremos de estos
dos resistores (porque están conectados en paralelo).
EJECUTAR: Las figuras 26Jb y 26.3c muestran etapas sucesivas de la
reducción de la red a una sola resistencia equivalente. De acuerdo con
la ecuación (26.2), los resistores de 6 O y 3 n en parnlc10 de la figura
26Ja son equivalentes al único resistor de 2 O de la figura 26.3b:
1 1 1 I
-~-+-~-
R<q 60 30 20
(Se halla el mismo resultado aplicando la ecuación (26.3).) De
acuerdo con la ecuación (26.1), la combinación en serie de este re-
sistor de 2 O con el resislOr de 4 O es equivalente ,,-1 único resistor
de 6 n dc la figura 26.3c.
Para hallar la corriente en cada resistor de la red original, se in-
vicrtc el ordcn de las etapas seguidas para reducir la red. En el cir-
c\lilO de la figura 26.3d (idéntico al de la figura 26Jc), la corriente
es 1 = VaJR = (18 V)/(6 O) = 3 A. Por tanto, la corriente en los re-
sistores de 4 O y 2 O de la figura 26.3e (idéntica a la figura 26.3b)
también es de 3 A. La diferencia de potencial Vcb entre los extremos
del resistor de 2 O es, por consiguiente, Vcb = IR = (3 A)(2 O) =
6 V. Esta diferencia de potencial también debe ser de 6 V en la figu-
ra 26.3f(idcntica a la figura 26.3a). Como 1 = V<¡jR, ias corricntes
en los resistores de 6 fl: Y3 O de la figura 26.3f son de (6 V)/(6 O)
= 1A Y(6 V)/(3 O) =2 A, respectivamente.
EVALUAR: Dése cuenta que, en el caso dc los dos rcsistores en pa-
ralelo entre los puntos e y b de la figura 26.3f, hay dos veces más
corriente a través del resistor de 3 fl: que a través del resistor de
6 fl; pasa más corricnte por el camino de menor resistencia,
de acuerdo con la ecuación (26.4). Dése cuenta además que la co-
rriente total a través de estos dos resistores es de 3 A, la misma que
a través del resistor de 4 fl entre los puntos a y c.
•
" 4 O
E= 18V,r= O
60
]0
(.) VvW'-'
h
(6)
¡1~
~
(o)
,.
~
(1 60 b
Jt
(d)
+ E=18V,r=O
60
12V
~O Jt
a 4 c~b
]0
([)
r---"j+1, 18 V
12v 1
1
6V
~
a 40 e 20 h
(,)
/
• 18V
26.3 Etapas para reducir una combinación de resistores a un 5010 resistor equivalente y
encontrar la corriente en cada resistor.
Combinaciones en serie versus combinaciones en paralelo
Se \"311 a coacc:rar dos foros idénticos a una fuente con E = 8 V Y
resislencia Imcma insigniflC3D.te. Cada foco tiene una resistencia de
R = 1 n.~ b CIDIlimIe a lnlves de cada foco, la diferencia
de potencial entre los bornes decada uno y la potencia entregada a ca-
da foco y a la red en conjunto si los focos están coneclados a) en se-
rie, como en la figura 26.4a; b) en paralelo, como en la figura 26.4b.
26.1 I ResislOres en serie y en paralelo 985
-11 t'=8V.r-O
R=2n
d 1-+ ,
R-2n
c) Supanga que uno de los focos se funde; es decir, su filamento se
rompe y deja de pasar comente a través de el. ¿Qué le ocurre al otro
foco en el caso en serie? ¿Yen el caso cn paralelo?
mmm
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Las redes de resistores son cone.xio-
nes simples cn serie y en paralelo. Se halla la potencia entregada a
cada resistor con base en la ecuación (25.18): P = I!R = JftIR.
EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (26.1), la resistencia
equivalente de los dos focos entre los puntos a y c de la figura 26.4a
es la suma dc sus resistencias individuales:
Roq = 2R = 2(20) = 40
La corriente es la misma a través de uno u otro foco en serie:
li l'
(.)
1-+
(')
v.... 8 V
1~-~-=2A
Roq 40
l1esto que los focos tienen la misma resislencia, la diferencia de
palencial es identica entre los bornes de cada foco:
v... = Vio<" = IR = (2 A)(2 O) = 4 V
Esto es la mitad de la lensión de bornes de la fuente (8 V). De acuer-
do con la ecuación (25.18), la patencia entregada a cada foco es
P=I!R={2'A)~(20)=8W o
V.i V,,,? (4 vF
P=R=R=~=8\V
La palcncia tolal entregada a los dos focos es P_ = 2P = 16 W.
Tambien se puede encontrar la potencia total con base en la resiSlen-
cia equivalente~ =4 O, a través de la cual la coniente es / =2 A,
Yentre cuyos extremos la diferencia de patencial es V<OC = 8 V:
P,wJ = PR<q = (2A)l(40) = 16W o
V,,} (8V)l
p.oW = -~ --= 16W
t Roq 40
b) Si los focos están en paralelo, como en la figura 26.4b, la dife-
rencia de potencial V.." entre los bornes de cada foco es la misma e
igual a 8 V, la tensión de bornes de la fuente. Por tanto, la coniente
a lraves de cada foco es
V", 8V
1~-~-=4A
R 2 n
y la potencia entregada a cada uno es
P=PR=(4A)l(20)=32Wo
V",l (8 vF
P=R= 20 =32W
Tanto la diferencia de potencial entre los bornes de cada foco y la
corriente a través de cada uno son dos veces más grandes que en el
caso en serie. Por tanto, la potencia que se entrega a cada foco es
cllalro veces mayor, y la incandescencia de ellos es más brillanle
que en el caso en serie. Si la meta es obtener la máxima cantidad de
26.4 Diagramas de circuilo de dos focos eléctricos (a) en serie y
(b) en paralelo.
luz de cada foco, una configuración en paralelo es mejor que una
configuración en serie.
La potencia lotal entregada a la red en paralelo es P_ = 2P = 64
\'1. cualro veces mayor que en el caso en serie. Esta mayor polencia
en comparación con el caso en serie no se obtiene ~gratuitameDte~:se
extrae energía de la fuente con rapidez cuatro veces mayor en el caso
en paralelo quc en el caso en serie. Si la fuente es una bateria, esta se
agotará en la cuarta parte del tiempo.
Tambien se puede hallar la polencia tOlal con base en la resisten-
cia equivalente~ dada por la ecuación (26.2):
~ = 2(2 10) = I 0-1 • o R<q = I O
La corricnte total a través del resislor equivalente cs I''''al = 21 =
2(4A)= SA, y la diferencia de potencial entre los bornes del resis-
tar equivalente es 8 V. Por lo tanlo el potencial total es
P"",oJ = I<Req = (8 A)"(I O) = 64 w o
V",1 (8 V)l
Pon! = -- ~ --- = 64W
R 10
La diferencia de potencial entre los bornes de la resislencia equi-
valentes la misma en ambos casos. tanlo en serie como en para-
lelo, pero en este uhiffiO el valor de Rcq es menor Y. por tanto.
P_ = V21Roq es más grande.
c) En el caso en serie fluye la misma corriente a traxes de los dos
focos. Si uno de ellos se funde. no habrá corriente en todo el circui-
to y ninguno emitici luz.
En el caso en paralelo la difereocia de palencial enlre los bomesde
cualquiera de los focos sigue siendo de 8 V aunque se funda uno
de ellos. Por tanto, la corriente a través del foco que funciona se
mantiene en 4 A, Y la potencia que se enfrega a ese foco sigue sien-
do de 32 W, la misma que antes de fundirse el otro foco. Esta es una
de las ventajas de la configuración de focos en paralelo: si uno se
funde, este hecho no influye en los otros. Este principio se aplica en
986 CAPíTULO 26 I Circuitos de comente conlinua
los sistemas de cableado doméstico, que analizaremos en la seco
ción 26.5.
EVALUAR: Nuestro cálculo no es dc1 todo exacto, porque la resisten-
cia R = VII de los focos reales no es una constante independiente de
la diferencia de potencial Ventre los bornes del foco. (La resistencia
del filamento aumenta con la temperatura de funcionamiento cre-
ciente y, por tanto, con V I'n aumento). Pero si es efectivamente cier-
lO que la incandescencia de los focos conectados en serie entre los
bornes de una fuente es menos brillante Que cuando están conecta-
dos en paralelo entre los bornes de la misma fuente (Fig. 26.5).
26.5 Cuando están conectados a la misma fuente, dos focos en
serie (izquierda) consumen menos polencia y brillan meDOS inten-
samente que cuando están en paralelo (lkrecha).
Suponga que los tres resistores de la figura 26.1 tienen la misma resistencia, de
modo que R, = R2 = R) = R. Clasifique las cuatro configuraciones que se mues-
tran en las partes de la (a) a la (d) de la figura 26.1 en orden de su resistencia equi-
valente, de menor a mayor.
26.2 I Reglas de Kirchhoff
,
+
''------''''dd
(b)
26.6 Dos redes que no se pueden reducir a
combinaciones simples de resistores en se-
rielparnlelo.
En la practica, muchas redes de resistores no se pueden reducir a combinaciones
simples en serie o en paralelo. La figura 26.6a muestra una fuente de energía eléc·
trica de cc con fem f:1que carga una batería con una fcm más pequeña f:2 yalimen-
ta corriente a un foco con resistencia R, La figura 26.6b es un circuito de
"pucnte", que se utiliza en muchos tipos distintos de sistemas de medición y con-
trol. (En el problema 26.77 se describe una aplicación importante de un circuito
de ''puente''). No es necesario recurrir a ningún principio nuevo para calcular las
corrientes en estas redes, pero hay ciertas técnicas que facilitan el manejo sistemá-
tico de esle tipo de problemas. Describiremos las técnicas ideadas por el fisico
aleman Guslav Roben Kirchhoff (1"824-1887).
En primer lugar, he aquí dos términos que utilizaremos oon frecuencia. Una un.iÓn
de un circuito es un punto donde se encuentran tres o más conductores. Las uni~
nes también se conocen como n.odos o plintos de derimción.. Una espira es cualquier
camino conductor cerrado. El circuito de la figura 26.00 tiene dos uniones: a y b. En
la figura 26.6b, los puntos a, b, c y d son uniones, pero los puntOS e yf no lo son. Al-
gunas de las espiras posibles de la figura 26.6b son los caminos cerrados acdba, acde-
fa, abdefa yabcdefa.
Las reglas de Kirchhoff consisten de los dos enunciados siguientes:
Regla de Kirchhoff de las uniones: La suma algebraica de las corrientes en
cualquier unión es cero. Es decir,
(regla de las uniones, valida en cualquier unión) (26.5)
,
26.2 1 Reglas de Kirchhoff
Regla de Kirchhoff de las espiras: La suma algebraica de las diferencias de po-
tencial en cualquier espira, incluso las asociadas con las fem y las de elementos
con resistencia, debe ser igual a cero. Es decir,
(regla de las espiras, válida en cualquier espira) (26.6)
La regla de las espiras se basa en la conservación de la carga elecfrica. No se
puede acumular carga en una uni6n; de este modo, la carga lotal que entra en la
unión por unidad de tiempo debe ser igual a la C3Jg3 total que sale del empalme por
unidad de tiempo (Fig. 26.7). La carga por unidad de tiempo es corriente; así que,
si se consideran las corrientes que entran en una unión como positivas., y las que sa-
len, como negativas, la suma algebraica de las corrientes en una unión debe ser
cero. Es como un ramal T de un tubo de agua; si entra un litro por minuto en un tu-
bo, no pueden salir tres litros por minuto de los otros dos tubos. Más vale confesar
ahora que en la secci6n 26.1 utilizamos la regla de las uniones(sin mencionar el he-
cho) en la deducci6n de la ecuación (26.2) de las resistencias en paralelo.
La regla de las espiras es una aseveración de que la fuerza electrostática es con·
servativa. Suponga que se recorre una espina, midiendo de paso las diferencias de
potencial entre los extremos de elementos sucesivos del circuito. Al regresar al
punto de partida, es preciso que la sl/ma algebraica de estas diferencias sea cero;
de lo contrario, no se podria afirmar que la diferencia de potencial en este punto
tiene un valor definido.
Para aplicar la regla de las espiras son necesarias ciertas convenciones en cuanto
a signos. La estrategia para resolver problemas que viene a continuación describe en
detalle cómo utilizarlas, pero un panorama general es el siguiente. Primero se supo-
ne un sentido de la corriente en cada ramal del circuito y se marca sobre un diagra·
ma de éste. En seguida, a partir de cualquier punto del circuito, se realiza un
recorrido imaginario de la espira sumando las fem y los términos IR conforme se
llega a ellos. Cl:!.ando se pasa a través de una fuente en el sentido de - a +, se consi·
dera la fem como positiva; cuando se pasa de + a -, se considera la fem como
negativa. Al pasar a través de un resistor en el mismo sentido de la corriente supuesta,
eITérmino IR es negativo porque la corriente avanza en el sentido de potencial decre-
ciente. Cuando se pasa a través de lU1 resistor en el sentido opuesto al de la corriente
supuesta, ellérmino IR es positivo porque representa una elevación del potencial.
Las dos reglas de Kirchhoff son todo lo que se necesita para resolver una ex-
tensa variedad de problemas de redes. Por 10 regular se conocen algunas de las
fem, corrientes y resistencias, y otras son inc6gnitas. Siempre debemos obtener a
partir de las reglas de Kirchhoffun número de ecuaciones independientes igual al
número de inc6gnitas, a fin de poder resolver las ecuaciones de forma simultánea.
La parte más dificil de la resolución suele ser, no la comprensión de los principios
básicos, ¡sino seguir la pista de los signos algebraicos!
987
Unión
26.7 La regla de Kirchhoffde las uniones
establece que fluye tanta corrienle hacia
una unión como la que sale de ella.
Estrategia para
resolver problemas Reglas de Kirchhoff
IDENTIFICAR los COnceptos pertinentes: Las reglas de Kirch-
hoff son herramientas importantes para analizar cualquier cir-
CUilO más complicado que uoa espinl individual.
PLANTEAR el problema utilizando las elapas siguientes:
l. Dibuje un diagrama de circuito gronde para que tenga es-
pacio sobrado parn rótulos. Ideotifique todas las canrida-
des, conocidas ydesconocidas, incluso un senlido supues-
to de cada corriente y fem desconocidas. En muchos casos
no se conoce por adelantado el sentido real de una co-
rriente o fem, pero eso no importa. Si el sentido real de
una canlidad en particular es opuesto al que se supuso, se
obtendrá el resultado con signo negativo. Si se aplican co-
rrectamente las reglas de Kirchhoff, le proporcionarán los
988 e Al' fT ULo 26 I Circuitos de corriente continua
"E," . .
'1. .¡.
" "
1, <-
11+/2t ~ 1,R,
1, 1,
-"> <-
E," .
'1. +!.
"
l'
1, <- I,t ~ 1,R,
1, 1,
-"> <-
R, R,
('l (bl
26.8 La aplicación de la regla de las uniones al punto (l reduce de tres a dos el número
de corrientes desconocidas.
26.9 Al aplicar las reglas de KirchhofT, siga estas convencio-
nes de signos al recorrer la espira de un circuito.
EVALUAR la respuesta: Compruebe todas las ctapas algebrai-
cas. Una estrategia útil consiste en considerar una espira distin-
ta de las utilizadas para resolver el problema; si la suma de las
caídas de potencial alrededor de esta espira no es cero, se come-
tió un error en algilli punto de los cálculos. Como siempre, pre-
gúntese si las respuestas son razonables.
mento de circuito haya sido incluido en al menos una de
las espiras elegidas.
5. Resuelva simultáneamente las ecuaciones para hallar las
incógnitas. Este paso requiere álgebnl. no fisica, pero pue-
de llegar a ser bastante complejo_ Tenga cuidado con las
manipulaciones algebraicas; un error de signo resultaria
nefasto para la solución en su totalidad.
6. Puede aplicar este mismo sistema de contabilidad para ha-
llar el potencial Vab de cualquier punto a con respecto a
cualquier otro punto b. Inicie en b y sume los cambios de
potencial quc encuentre al ir de b a a, aplicando las mis-
mas reglas de signos que en la etapa 2. La suma algebrai-
ca dc estos cambios es Val> = Va - Vb•
,
Recorrido
)
Recorrido,
E
---=ji-=- -E
R
~+!R
<--
1
Recorrido
)
Recorrido,
R. -
~-!R
---->
1
sentidos y también las magnirudes de las corrientes y fem
desconocidas.
2. Al rotular corrientes, por lo regular es mejor aplicar la re-
gia de las uniones de inmediato para I;:xpresar las corrien-
tt;:s en témlinos del menor numero posible de cantidades.
Por ejemplo, la figura 26.8a muestra un circuito rol~'lado
correctamente. La figura 26.8b muestra el mismo circuito
reetiquetado aplicando la regla de las uniones al punto a
para eliminar ¡Jo
3. Establezca cuáles cantidades son las variables que se bus-
can.
EJECUTAR la solución como sigue:
1. Elija una espira cerrada cualquiera de la red y designe un
sentido (el de las manecillas del reloj o el contrario) para
recorrer la espira al aplicar la regla de las espiras. El sen-
tido no debe ser necesariamente el mismo que el sentido
supuesto de la comente.
2. Recorra la espira en el sentido designado, sumando las di-
ferencias de potencial conforme las cruce. Recuerde que
una diferencia de potencial positiva correspondc a un au-
mento de potencial, y una diferencia de potencial negati-
va, a una disminución de potenciaL Una fem se cuenta
como positiva cuando se cruza de (-) a (+), y negativa
cuando se eruza de (+) a (-). Un término IR es negativo si
se pasa por el resistor en el mismo sentido de la corriente
supuesta, y positivo si se pasa en el sentido opuesto. La fi-
gura 26.9 resume estas convenciones de signos. En cada
parte de la figura el '"recorrido" es el sentido en el que su-
pongamos circular por la espira al aplicar la regla de
Kirchhoff de las espiras, no necesariamente el sentido
de la corriente.
3. Iguale a cero la suma de la etapa 2.
~. Si es necesario, elija otra espira para obtener otra relación
entre las incógnitas, y continúe hasta tener tantas ecuacio-
nes independientes como incógnitas, o hasta que el ele-
26.2 I Reglas de KirchhoIT 989
f JPmplo
16 J Circuito de una sola espira
y la potencia de salida de la fem dc la batería de 4 V es
p= &/= (-4V)(O.5A) = -2W
En estc caso los lerminos IR son negativos porque nuestro camino
sigue el sentido de la corriente, con reducciones de potencial al pa-
sar por los resistores. El resultado es el mismo que con el camino
inferior, como dcbe scr para que el cambio total de potencial aire·
dedor de la espira completa sea cero. En cada caso, las subidas de
potcncial se tornan como positivas. y las caidas, como negativas,
e) La poleneia de salida de In fem de la bateria de 12 V es
p = t:I = (12V)(Ü.5A) = 6W
da uno representa un aumento de potencial al ir de b hacia a. Si en
cambio se sigue el camino superior. la ecuación resultante es
V. ~ 12 V - (0.5 A)(2 fi) - (0.5 A)(3 fi) ~ 9.5 V
8V=/(160) e 1=0.5A
-1(4 fi) - 4 V - 1(7 fi) + 12 V - 1(2 fi) - 1(3 fi) ~ O
El circuito que se muestra en la figurn 26. lOa contiene dos baterias.
cada una con una fem y una ~sistencia inlema. y dos resislores.
Halle a) la corriente en el circuito. b) la diferencia de pOlencial Y.-
Yc) la potencia de salida de la fem de cada balería.
EJECUTAR: a) Iniciando de (J y avanzando en sentido contrario a las
manecillas del reloj, se SUlllan los aumentos y disminuciones de po-
tencial y se iguala la suma a cero, como en la ecuación (26.6). La
ecuación resultante es
El punto a está a un potencial 9.5 más alto que b. Todos los térmi-
nos de csta suma, incluso los términos IR, son positivos porque ca·
El signo negalivo de [ de la batería de 4 V aparece porque la co-
rriente fluyeen realidad del lado de mayor potencial de la batería al
lado de menor potencial~'81ornegativo de P significa que esta-
mos al",aCf'nalldo energia en esa baleria, la cual eS{¡l siendo recar·
gaJii por la baleria de 12 V...---
El resultado de 1 es positivo. lo que demuestra que el senlido su- EVALUAR: Aplicando la expresión P = 11Ra cada lUlO de los cuatro
pu~to ~ el correcto. Como ejercicio. pruebe a supo~r que lliene resiSIDre5 de la figura 26.103.. usted debe poder demostrar que la po-
el sentido opuesto; deberá obtener I = -0.5 A. lo que indica que la tencla 10Ia1 que se disipa en los cuatro resiSlores es de 4 W. De los 6 W
corrieDle real es opuesta a ~ta suposición. que suministra la fcm de la OOler1a de 12 V. 2 W se emplean en alma-
b) Para cncontrar V"", el potencial de a con respecto a b, se inicia en cenar energía en la batería de 4 W Y4 W se disipan en las resislencias.
b y se suman los cambios de polencial conforme se avanza hacia a. El circuilo de la figura 26. lOa es muy parecido al que se utiliza
Hay dos caminos posibles de b a a: tomando primero el inferior ha· cuando se emplea un acumulador de automóvil para recargar una
llamos que bateria descargada de otro aUlotnÓvil (Fig. 26.1 Ob). Los l1\Iiistores
V"" = (0.5 A)(7 0.) + 4 V + (0.5 A)(4 0.) = 9.5 V de 3 o. y7 n de la figura 26. lOa representan las resistencias de los
cables de puentes y del camino conductor a lraves del automóvil
con la batería descargada. (Los valores de las resistencias de los au-
tomóviles y cables de puentes reales son diferentes de los que se
utilizan en este ejemplo).
E!l!!l!r:1I
IDENTIFICAR YPLANTEAR: Este circuito de una sola espirn no tie-
ne uniones: así que, no se necesita la regla de Kirchhotr de las unio-
nes. Para aplicar la regla de las espims a la única espira, primero se
supone un sentido de la corriente; supongamos un sentido contrario
a las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 26.IOa.
Juntando los términ¡no.que conlicoen I y se resuelve para I se obtiene.
20 12v
.1,
l'
-,-
30 !I E3<lj
• -4
.1,
o
l'
40 4V•
('1
b
70
(b)
26. tO (a) En este ejemplo se recorre la espira en el mismo sentido que se ha supuesto
respecto a la corricnte: por tanto, todos los términos IR son negalivos. El polencial dismi-
nuye al recorrer el circuito de + a - a traves de la fem inferior, pero aumenta al ir de - a
+ a través de la fem superior. (b) Un ejemplo de la vida real de un circuito de este lipo.
990
Ejemplo
26.4
e APfT UL o 26 I Circuitos de corriente continua
Carga de una batería
En el circuito que se muestra en la figura 26.11, una fuente de ener-
gía eléctrica de 12 V con resistencia interna r desconocida está co-
nectada a una batería recargable descargada con fem edesconocida
y resistencia interna de 1n, y a un foco indicador con resistencia de
3 n que transporta una corriente de 2 A. La corriente a traves de la
batería desca~ada es de I A en el sentido que se muestra. Encuen-
tre la corriente desconocida 1, la resistencia interna,. y la fem S.
l'lll!!millI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se supone que el sentido de la co-
rriente a través de la fuente de energía eléctrica de 12 V es como se
muestra. Este circuito tiene más de una espira, por lo que es nece-
sario aplicar tanto la regla de las uniones como la regla de las espí-
I2V ,
•
~
I
(11 (3D
E 10
• b"
<-¡-¡-
'O
30
E
2A
26.11 En esle circuito una fuente de energía eléctrica carga una
balería agotada y enciende un foco. Se ha hecho una suposición
acerca de la polaridad de la fem de la batería agotada; ¿es correcta
esta suposición'!
ras. Son tres las variables quc se buscan; por tanto, se necesitan tres
ecuaciones.
EJECUTAR: Primero se aplica la regla de las uniones [ccuación
(26.5)] al punlo a. Se encuentra que
-[+ lA+2A=0 por tanto 1=3A
Para hallar r se aplica la regla de las espiras (ecuación (26.6)] la es-
pira exteríor marcada como (1); se encuentra que
12V- (3A)r- (2A)(3n) =0 de modo que r=20
Los téoninos que contienen las resistencias r y de 3 O son ncgalÍ-
vos porque nuestra espira pasa por cstos elementos en el mismo
sentido de la corriente y, por tanto, se encuentran caídas dc poten-
cial. Si hubiésemos optado por recorrer la espira (1) en el sentido
opueslO, todos los téoninos habrían tenido el signo opuesto, y el re-
sultarlo de r habria sido el mismo.
Para determinar [se aplica la regla de las espiras a la espira (2):-
-E.+(IA)(10)-(2A)(3fl)=ü portanto E.·=-SV
El término que (;orresponde al resistor de lOes positivo porque al
recorrerlo en el sentido opuesto al de la corriente encontramos una
subida de potencial. El valor negativo de E. demuestra que la pola-
ridad real de esta fem es opuesta a la que se supuso en la figura
26.1 1; el borne positivo de esta fuente está en rcalidad del ladOde-
- recho. Como en el ejemplo 26.3. se está recargando la batería.
EVALUAR: Podemos comprobar nuestro resultado de [empleando
la espira (3) para obtener la ecuación
12V ~ (3A)(2n) ~ (1 A)(I O) + &~ O
de laque se obtiene nuevameille que [= -S A.
Como comprobación adicional de congruencia, advertimos que
V.... = Vh - t/4 es igual al voltaje entre los extremos de la resistencia
de 3 fl, que es (2 A)(3 fl) = 6 V. Al irtle a hacia b por el ramal su-
perior, encontramos diferencia." de potencial de + 12 V ~ (3 A)(2 O)
= +6 V, y por el ramal intermedio hallamos que -{-S V) + (1 A)
(1 n) = +6 V. Las tres maneras de obtener V/la dan los mismos re-
sultados. Asegúrese de entender todos los signos de estos cálculos.
•
Ejemplo
26.5 Potencia en un circuito de carga de batería
En el circuito del ejemplo 26.4 (Fig. 26. I 1), encuentre la potcncia en-
negada por la fuente de energía eléctrica de 12 Vy por la bateria que
se está recargando, 'j encuentre la potencia disipada en cada resistor.
l'lll!!millI
mornRCAR Y PLANTEAR: Utilizaremos los rcsultados de la sec-
ó3a3..5. doode hallamos que la potencia entregada desde una fem
a un circuito es [1, 'j la potencia entregada a un reslstor desde un
circuito es V,,¡) = [2R.
EJECUTAR: La potencia de salida de la fem de la fuente de energía
eléctrica es
26.2 I Reglas de Kirchhoff 991
, La potencia disipada por la resistencia interna r de la fuente de
energia eléctrica es
macenando energía en la bateria al cargarla. Se disipa mas p<)[encia
en la resistencia interna de la batería; esta potencia es
P'"'-=Il_r,..= (3A)l(20) = 18W
de modo que la salida de potencia neta de la fuente de energía elec-
triea es P_ "" 36 W - 18 W "" 18 W Como otra solución. según el
ejemplo 26.4 la tensión de bornes de la batería es Y"" = 6 Y; asi
que, la potencia de salida neta es
En estos u~rminos. la potencia de alimentación total a la batcría es,
I W + 1--5 WI = 6 w. De esto, 5 W represenlaIt cnergía Íltil almace-
nada en la batería; el resto.se desperdicia en su resistencia interna.
La potencia que se disipa en el foco es
p_ = V... /_ = (6V)(3A) = 18W
La potencia de salida de la fem Ede la bateria que se está cargando es
Pr... = E/bourl> = (-5 V)( 1A) = -5 W
Esta es negativa porque la corriente de I A fluye a tnl.ves de la bao
teria de lado de mayor potencial aliado de menor potencial. (Como
mencionamos en el ejemplo 26.4, la polaridad supuesta con respec-
to a esta batería en la figura 26.11 estaba equivocada). Estamos al-
EVALUAR: Como comprobación, advierta que se ha descrito toda
la potencia de la fuentc. De los 18 W de potencia ncta de la fuente
de energia eléctrica, 5 W se emplean en recargar la balería, I W se
disipa en la resistencia interna de la batería, y 12 W se disipan en el
foco.
• Ejemplo
266 Red compleja
La figura 26.12 muestra un circuito de "puente" del tipo descrito al
principio de esta sección (v6!se la Fig. 26.6b). Halle la corriente en
cada resistO!" y la resistencia equivalente de la red de cinco resistores.
Se trata de un conjunto de tres ecuaciones simultáneas con tres co-
rrientes incógnitas. Se pueden resolver por diverws metodos; un
procedimiento directo consíste en resolver la tereera ecuación para
/2 para obtener /2 = /1 + IJ y en seguida sustituir estaexpresión en
las primeras dos ecuaciones para eliminar 12, Al terminar, nos que-
dan las dos ecuaciones siguientes:
,
):¡ O·(3) Pi.
1 n 1!1
In
"~--JYvy'---~b
(1)
+
13V
26.12 Circuito dc red con varios resistores.
/"-------->(2)---------..
13V
R~--=1.20
eq 11 A
EVALUAR: Los resultados l. = 6A,1z = 5 A e /J = -1 A se pueden
comprobar sustituyendo estos valores en las tres ecuaciones (1), (2)
y (3). ¿Qué encuentra usted?
Se sustituye cste resultado de nuC\'o en la ecuacion (1) para obtcner
h = -1 A, Yfinalmente, de acuerdo con la ecuación (3), se encuen-
tra que /2 = 5 A. El valor negativo de /J nos indica quc su sentido es
opuesto al que supusimos inicialmente.
La corriente total a través de la red es /¡ + /2 = 11 A, Yla caida
de potencial entre sus eJltremos es igual a la fem de la bateria, esto
cs. 13 V. La resistencia equivalente de la red es
(1')
(2')
13V=/.(20)-/J(10)
13V=/1(3n) -/J(50)
EJECUTAR: Se aplica la regla de las espiras a tres espiras que se
muestran, y se obtienen las tres ecuaciones siguientes:
13V-/,(IO)-(II-h)(ln)=O (1)
-/1(ln)-(i2+/J)(2n)+13V=O (2)
-/¡(I n) - IJ{I O) + /2(1 n) = O (3)
ln!IllmilI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Esta red no se puede representar en
términos de combinaciones en serie y en paralelo. Soo cinco las co-
mcntes por determinar, pero aplicando la regla de las uniones a los
nodos a y b, es posible representarlas en términos de tres corrientes
desconocidas, como se muestra en la figura. La corriente en la ba-
tcría es /. + /2'
,,
,
•
1
Ahora se puede eliminar /J multiplicando la ecuación (1') por 5 y
sumando las dos ecuaciones. Se obtiene
992
Ejemplo
267
e A Pí T U LO 26 I Circuitos de corriente continua
Diferencia de potencial dentro de una red compleja
Halle la diferencia de potencial Vab en el circuito del ejemplo 26.6
(Fig.26.12).
lE.l!m!llI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Par" encontrar Va/> = Va - Vb se par-
te del punto b y se sigue un camino hacia el punto n, sumando las
subidas y caidas al avanzar. Se pueden seguir varios caminos de b a
G; el valor de Voh dcbe ser independiente del camino que se elija, lo
cual proporciona un medio natural para comprobar el resultado.
EJECUTAR: El camino más simple es el quc pasa por el resistor
ccntral de I n. Hemos hallado que!) = -1 A, lo cual indica que el
sentido real de la corriente en este ramal es de derecha a izquierda.
Por tanto, al ir de b hacia a hay una caida de potencial de magnitud
va ue s co
IR = (1 A)(\ 11) = 1 V, Y Val> = -1 V. Es decir, el potencial en el
punto a es 1 V menor que en el punto b.
EVALUAR: Para poner a prueba nuestro resullado, ensayemos un
camino de b a a que pase por los dos resistores inferiores. Las co-
rrientes a través de éstos son
/2 + IJ = 5 A + (-1 A) = 4 A e
11 - 13 = 6 A - (-) A) = 7 A
y, dc este modo,
V•• ~ -(4A)(20) + (7 A)(J O) ~ -J V
Le sugerimos ensayar algunos otros caminos de b a a para verificar
que mmbién dan este resultado.
Reste la ecuación (1) de la ecuación (2) del ejemplo 26.6. ¿A cuál espira de la fi-
gura 26.12 corresponde esta ecuación? ¿Habria simplificado esta ecuación la re-
solución del ejemplo 26.6?
26.3 I Instrumentos de medición eléctrica
26.13 Esle amperímetro (arriba) y el vol-
timelro (abajo) son ambos galvanómetros
de d'Arsom"3.l.. la diferencia tiene que ver
con sus conexiones internas (veasc la Fig.
26.15).
Hemos venido hablando acerca de diferencia de potencial, corriente y resistencia a
lo largo de dos capítulos, así que ya es tiempo de mencionar algo respecto a cómo
medir estas magnitudes. Muchos dispositivos comunes, como tableros de instru-•mentas de automóvil, cargadores.de baterias e instrumentos eléctricos económicos,
miden diferencias de potencial (voltajes), corrientes o resistencia mediante un gal-
vanómetro de d'Arsonval (Fig. 26.13). En la exposición que sigue lo llamaremos a
menudo simplemente un medidor. Una bobina de pivote de alambre fino está colo-
cada en el campo magnético de un imán permanente (Fig. 26.14). Acoplado a la bo-
bina hay un resorte, semejante a la espiral del volan.te de un reloj. En la posición de
equilibrio, sin comente en la bobina, el indicador está en el cero. Cuando hay una
corriente en la bobina, el campo magnético ejerce sobre la bobina un momento de
torsión proporcional a la corriente. (Examinaremos detenidamente esta interacción
magnética en el capítulo 27). Cuando la bobina gira, el resorte ejerce un momento
de torsión de recuperación que es proporcional al desplazamiento angular.
Así que la desviación angular de la bobina y el indicador es directamente pro-
porcional a la corriente de la bobina, y se puede calibrar el dispositivo para medir
corriente. La desviación máxima, que típicamente es de 90° más o menos, se co-
noce como desviación de escala completa. Las características eléctricas funda-
mentales del medidor son la corriente le<; necesaría para una desviación de escala
completa (típicamente del orden de 10 ¡.tA alOmA) y la resistencia Re de la bo-
bina (típicamente del orden de 10 a 1000 O).
La desviación del medidor es proporcional a la corriente en la bobina. Si la bo-
bina obedece la ley de Ohm, la corriente es proporcional a la difá"encia de poten-
cial entre los bornes de la bobina, y la desviación también es proporcional a esta
diferencia de potencial. Por ejemplo, considérese un medidor cuya bobina tiene
una resistencia Re = 20.0 O y que se desvía la escala completa cuando la corrieo-
26.3 I Instrumentos de medición el&uica 993
l') ~)
l
26.14 (a) Galvanómetro de d'Arsonval. Se muestra la bobina articulada con indicador
acoplado, el imán permanente que suministra un campo magnético de magnitud uniforme
y el resorte que proporciona el momento de torsión de recupc1'lIción, opuesto al momento
de torsión del campo magnético. (h) Bobina articulada alrededor de un núcleo de hierro
dulce. Se han quitado los soportes.
te en la bobina es Ir. = 1.00 mA. La diferencia de potencial que corresponde a la
desviación de escala completa es
V ~ I"R, ~ (l.OO X 10-' A)(20.0 n) ~ 0.0200 V
Amperimetro
El nombre que se da habitualmente a un instrumento que mide corriente es el de
amperímetro (o miliamperimetro, microamperímetro, y así sucesivamente, se-
gún su esc~la). Un amperímetro siempre mide la cor:-ieme quepas~ a ')Ovés ~e él.
Un ampenmetro ideal, como se coment6 en la seccl6n 25.4, tendria una reststen·
cia de cero, por lo que su inclusión en un ramal de un circuito no influye en la co-
rriente de ese ramal. Los amperimetros reales siempre lienen cierta resistencia
finita, pero en todos los casos es deseable que el amperímetro tenga tan poca re-
sistencia como sea posible.
Cualquier medidor se puede adaptar para medir corrientes mayores que su lec-
tura de escala complelh conectando un resistor en paralelo con él (Fig. 26.15a), a
fin de que parte de la corriente se desvíe de la bobina del medidor. El resistor en
paralelo recibe el nombre de resistor de derivación o simplemente derivación. y
se denota como R"".
--+
I
l')
v. emenlo v"
do
--+ circuito --+
I I
(b)
26.15 (a) Conexiones internas de un am-
perímetro de bobina móvil. (h) Conexiones
internas de un voltímetro de bobina móvil.
994 e A P f T U LO 26 I Circuitos de corriente continua
Suponga que se desea convertir un medidor con corriente de escala completa Ir.
y resistencia de bobina Re en un amperímetro con lecrura de escala completa lo' Pa-
ra determinar la resistencia de derivación Rsh que se necesita, dése cuenta que, con
desviación de escala completa, la corriente total a través de la combinación en pa-
ralelo es la. la corriente a traves de la bobina del medidor es lfu y la corriente a tra-
vés de la derivación es la diferencia l. -lec' La diferencia de potencial V<lb es la
misma en ambos caminos; por tanto,
Ejemplo
26.8 Diseño de un amperímetro
(en un amperimetro) (26.7)
¿Qué resistencia de derivación se necesita para convertir el medidor
de 1.00 mA Y20.0 n antes descrito en un amperímetro con una es-
cala de OA a 50.0 mA?
l'lll!!ImllI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se busca que el ampcrimetrosea ca-
paz de manejar W\3 corriente máxima l. = 50.0 mA = 50.0 X urJ
A. La resistencia de la bobina es Re = 20.0 n y el medidor mucstn!
la desviación de escala completa cuando la corriente a troVes de la
bobina es 1,.= 1.00 X l¡r! A. La variable que se busca es la resisten-
cia de derivación~ la cual se halla mediante la ecuación (26.7).
EJECUTAR: Despejando R"" de la ecuación (26.7) se obtiene
I,.R. (l.OO X 10-3 A)( 20.0 n)
R~ = l. _ 1,. = 50.0 X 10-3A-l.OO X 10 lA
= 0.4080
Voltímetros
EVALUAR: Resulta útil considerar la resistencia equivalente~ del
amperimetro en conjunto. De acuerdo con la ecuación (26.2),
l 1 1 I I-=-+-:--+---
~ R~ R.. 20.0 n 0.408 n
... : 0.4000
La resistencia de derivación es tan pequeña en comparación oon la
resistencia del medidor, que la resistencia equivalente es casi igual
a la resistencia de derivación. El resultado es un instrumento de ba-
ja resistencia oon la escala deseada de Oa 50.0 mA. Con desviación
de escala completa, 1= l. = 50.0 mA, la corriente a través del galva-
nómetro es de 1.00 mA, la corriente a tJ'8vés del resistor de deriva-
ción es de 49.0 mA YV06 = 0.0200 V. Si la corriente es menor que
50.0 mA, la corriente de bobina y la desviación son proporcional-
mente más pequeñas, pero la resistencia Req sigue siendo de 0.400 n.
:.
Act¡"vPhyscs
12.4 Cómo utilizar amperfmetros
y voltlmetros
Este mismo medidor básico sirve también para medir diferencia de potencial o vol-
laje. Un dispositivo que mide voltaje recibe el nombre de voltímetro (o mílivoltíme-
tro, y así sucesivamente, según la escala). Un voltímetro s:empre mide la diferencia
dc potencial entre dos puntos, y sus bornes deben estar conectados a esos puntos. (El
ejemplo 25.7 de la sección 25.4 describe lo que puede ocurrir si se conecta un vol-
tímetro incorrectamente). Como comenlamos en la sección 25.4, un voltímetro ideal
tendría una resistencia infinita, por lo que al conectarlo entre dos puntos de un cir-
cuito no alteraria ninguna de las corrientes. Los voltímetros reaJes siempre tienen
una resistencia fmita, pero ésta debe ser 10 suficientemente grande para que al co-
nectar el voltimetro a un circuito no altere las otras corrientes en grado apreciable.
Con respecto al medidor descrito en el ejemplo 26.8, el voltaje entre los bornes
de la bobina del medidor con desviación de escala completa es de sólo lr/?= (1.00
X 10-3 A)(20.0 fi) = 0.0200 V Esta escala se puede ampliar conectando un resis-
tor~ en serie con la bobina (Fig. 26.15b). En estas condiciones sólo una fracción
de la diferencia de potencial total aparece entre los bornes de la bobina misma, y
el resto aparece entre los exttemos de R,. En el caso de un voltimetro con lectura
de escala completa Vv, se necesita un resistor en serie ~ e-n la figura 26.15b tal
qu<
(en un voltímetro) (26.8)
Ejemplo
26.9
26.3 1 Instrumentos de medición el&:trica
Diseño de un voltímetro
995
EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (26.8),
¿Cómo se puede convenir un galvanómetro con Rc = 20.0 O e 1ft=-
1.00 mA en un voltímetro con una escala máxima de 10.0 V?
llE!!Iil!JlI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: El voltaje máximo permisible entre
los bornes del voltimetro es Vv =- 10.0 V. Se desea que esto ocurra
cuando la corriente a través de la bobina (de resistencia Ro=- 20.0
O) sea 1,.= 1.00 X IO-J A. La variable que se busca es la resisten-
cia en serie Ro> la cual se bal1a a partir de la ecuación (26.8).
V,
R =---R• Ir. o
10.0 V
- 20.0 n = 99800
0.00100 A
EVALUAR: Con desviación de escala completa, V... = 10.0 V; el vol-
taje entre los borncs del medidor es de 0.0200 V; el voltaje entre los
cxtremos de R. es de 9.98 V, Yla corriente a través del voltímetro es
de 0.00100 A. En este caso, la mayor parte del voltaje aparece entre
los extremos del rcsistor en serie. La rcsistencia equivalente del me·
didor es R<q = 20.0 n + 9980 n =- 10 000 f.l:. Un medidor como
éste se describe como un "medidor de 1000 ohm por voh", en refe·
rencia a la proporción de la resislertcia respecto a la desviación de
escala completa. Durante el funcionamiento nonnalla corriente a
través del elemento de circuito que se mide (1 en la Fig. 26.l5b) es
mucho mayor que 0.00100A, y la resistencia entre los puntos a y b
del circuilo es mucho menor que 10000 f.l:. Por consiguiente, el
voltímetro torna sólo una pequeña fracción de la corriente y altera
muy poco el circuito que se mide.
Amperímetros y voltímetros en combinación
Se pueden utilizar un amperímetro y un voltímetro juntos para medir resistencia y
potencia. La resistencia R de un resistor es igual a la diferencia de potencial V<lb
entre sus bornes dividida entre la corriente 1; es decir, R = V«JI. La potencia de
alimentación P a cada elemento de circuito es el producto de la diferencia de pa-
tencial entre sus bornes por la corriente que pasa a través de él: P = V..,J. En prin-
cipio, la manera más directa de medir R o P es medir V.. e I simultáneamente.
Con los amperimetros y voltímetros practicas esto no resulta tan simple como
parece. En la figura 26.16a, el amperimetro A lee la corriente I en el resistor R.
No obstante, el voltímetro V lee la suma de la diferencia de potencial V<Jo entre los
extremos del resistor y la diferencia de potencial Vbe entre los bornes del amperi-
metro. Si se transfiere el borne del voltímetro de e a b, como en la figura 26.l6b,
entonces el voltímetro lee correctamente la diferencia de potencial Vah, pero aho-
ra el amperímetro lee la suma de la corriente I en el resistor y la corríente Iv en el
voltímetro. De una u otra manera, es necesario corregir la lectura de un instru·
mento o del otro a menos que las correcciones sean lo suficientemente pequeñas
para ser insignificantes.
R,
, R b ,
A
~
I
v
R,
(.)
"
R b ,
A
7
(b)
26.16 Mélodo de amperimerro-voltimetro
para medir la resistem;ia.
Ejemplo
2610 Medición de resistencia I
Supóngase que se desea medír una resistencia desconocida R me-
diante el circuito de la figura 26.100. Las resistencias de los medi·
dores son Rv = 10000 f.l: (en el voltímetro) y RA = 2.00 n (cn el
amperímetro). Si el voltímetro indica 12.0 V, Yel amperímetro,
0.100 A, ¿cuáles son la resistencia R y la potencia que se disipa en
el resiSlor?
llE!!Iil!JlI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: El amperímetro lee la corriente I =
0.100 A a través del resistor y el voltímetro lee la diferencia de po-
tencia! entre ay c. Si el amperimetro fuera ideal (esto es, si RA = O),
habría una diferencia de potencial de cero entre b y c, la lectura del
voltimetro V = 12.0 V seria igual a la diferencia de potencial V..
entre los extremos del resisto!. Y la resistencia seria simplemente
igual a R = V:¡ = (12.0V)l(O.IOOA) = l20n. Sin embargo, el am-
perímetro no es ideal (su resístencia es RA = 2.00 n); por tanto, la
lectura Vdel voltimetro es en realidad la suma de las diferencias de
potencial V... (entre los bornes del amperímetro) y Voh (entre los ex-
tremos del resistor). Relacionaremos estos valores con la corriente
conocida mediante la lcy de Ohm, y resolveremos para VoJb Yla re-
sistencia R. Una vez conocidos eSlOS valores, podremos calcular la
pOtencia P que se alimenta al resistor.
996 e A P í T U LO 26 I Circuitos de corriente continua
EVALUAR: Se puede confirmar este resultado de la potencia apli-
cando la fórmula P = ¡lR. ¿Obtiene usted la misma respuesta?
EJECUTAR: De acuerdo con la ley de Ohm, VI><; = IR" = (0.100
A)(2.00 O) = 0.200 Vy Vab = IR. La suma de éstos es V= 12.0 Y;
por tanto, la diferencia de potencial entre los extremos del resistor
es V..., = V - Vbe = (J 2.0 V) - (0.200 V) = J 1.8 V. Así pues, la re-
sistencia es
Vab [I,SV
R~-~--=1180
1 O.IOO A
La potencia que se disipa en este resistor es
P = Vobi = (11.8 V) (0.100 Al L18W
Ejemplo
26.11 Medición de resistencia 11
1.l9W
1210
p= V,,¡,I= (12.0 V)(O.0988 A)
La potencia que se disipa en el resistor es
EJECUTAR: Se tiene Iv = VIR v = (12.0 \1)/(10 000 O) = 1.20 mA.
La corriente real I en el resistor es I = lA -Iv = 0.100 A - 0.00 12
A = 0.0988 A, Yla resistencia es
R ~ _Vo_o ~ ;C;;;J2;;:,O",V.,-[ 0.0988 A
EVALUAR: Nuestros resultados de R y P no dificren exccsivamen~
te de los resultados del ejemplo 26.10, donde los medidores están
conectados de otra manera. Esto es porque el amperímetro y el vol-
tímetro son casi ideales: en comparación con la resistencia R en cx-
perimentación, la resistencia RA del amperimetro es muy pequeña y
la rcsistencia Rv del voltimetro es muy grande. No obstante, los re-
sultados de los dos ejemplos son diferentes, 10 cual demuestra que
es necesario tener en cuenta cómo se utilizan los amperimetros y
vol!ímetros al interpretar sus lecturas.
Suponga que los medidores del ejemplo 26.\ Ose conectan a un re-
sistor diferente, en el circuito de la figura 26.16b, y que las lecturas
que se obtienen en los medidores son las mismas que en el ejemplo
26.10. ¿Cuál es el valor dc csta nucva resistcncia R, y cuál cs la po-
tencia que se disipa en el resistor?
lIli'l!.!DlI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: En el ejemplo anterior, el amperime-
Ira leía la corriente real a través del resistor, pero la lectura del vol-
tímctro no era igual a la difcrencia de potcncial cntre los clltrcmos
del rcsistor. Ahora se ha invertido la situación: la lectura del voltí-
metro V = 12.0 V mucstra la difcrencia de potencial real Val> entre
los extremos del resistor, pero la lectura del amperímetro 'A =
0.100 A no es igual a la corriente I a través del resistor.
La aplicación de la regla de las uniones a b de la figura 26.16b
muestra que lA = I + Iv, donde Iv es la corriente a través del voltíme-
tro. Se obliene Iv a partir de los valores conocidos de Vy la resisten-
cia Rv del voltímetro, y se utiliza este valor para hallar la corriente del
resistor l. Después se detennina la resistencia R a panir de I y la lec-
tura del voltímetro, y se calcula la potencia como en el ejemplo 26.10.
Ohmiómetros
R
26.17 Círeuito de ohmiómetro. El resistor
Ro tiene resistencia variab-le, como lo indi-
ca la flel;ha qne atraviesa el símbolo de re-
sistor. Para utilizar el ohmiórnelrO, primero
se conecta.le directamente a y y se ajusta R,
asa que la recruca del medidor es de cero.
J:JapJes se conectan x y y a los extremos
.Id;c:sistor R Yse lee la escala.
Otro método para medir resistencia consiste en emplear un medidor de d'Arsonval
en una configuración conocida como ohmiÓmetro. Consta de un medidor, un re-
sistor y una fuente (suele ser una bateria de linterna) conectados en serie (Fig.
26.17). La resistencia R que se va a medir se conecta entre los bornes x y y.
La resistencia en serieR, es variable; se ajusta de modo que, cuando los bornes x
y y estén en cortocircuito (es decir, cuando R = O), el medidor muestre una desvia-
ción de escala completa. Cuando nada está conectado a los bornes x yy, de modo que
el circuito entre x y y está abierto (es decir, cuando R ---+ 00), no hay corriente ni des-
viación. Con cualquier valor illlermedio de R la desviación del medidor depende del
valor de R, y se puede calibrar la escala para leer directamente la resistencia R. Una
corriente mayor corresponde a una resistencia más pequeña; por tanto, esta escala se
lee hacia atrás en comparación con la escala que muestra la corriente.
Todos hemos visto probablemente medidores de varias escalas, o "multímetros",
que emplean galvanómetros de d'Arsonva1. Un dispositivo de este tipo utiliza un
medidor de bobina móvil de escala única; se obtienen diversas escalas conmutando
diferentes resistencias en paralelo y en serie con la bobina del medidor. Mediante el
uso de resistencias apropiadas, un multímetro sirve como voltímetro o como ampe-
rimetro. Los multímetros también incluyen una batería, la cual, colocada en serie
con la bobina, consigue que el medidor funcione como ohmiómetro.
26.4 I Circuilos R-e
En situaciones que exigen gran pra:isión, los instrumentos que contienen me-
didores de d'Arsonval han sido sustituidos por instrumentos electrúnicos de lectu-
ra digital directa. Estos son más precisos, estables y mecánicamente resistentes
que los medidorcs de d'Arsonval. Se pueden construir voltímetros digitales con
una resistencia interna extremadamente grandc, del orden de 100 MO.
El potenciómetro
El potenciómetro es un instrumento con el que se puede medir la fem de una fuen-
te sin que tome corriente alguna de ella; además, tiene otras aplicaciones útiles.
En esencia, el potcnciómetro compensa una diferencia de potencial desconocida
contra una diferencia de potencial mensurable y ajustable.
En la figura 26.18 se muestra esquematicameme el principio del potencióme-
tro. Un alambre de resistencia ab con resistencia total R. está conectado perma-
nentemente a los bornes de una fuente dc fem conocida El' Un contaclO corredizo
e esta conectado a través del galvanómetro G a una segunda fuente cuya fem t; se
va a medir. Conforme el contacto e se desliza a lo largo del alambre de resisten-
cia, la resistencia Rcb entre los puntos e y b varia; si el alambre de resistencia es
uniforme, Rcb es proporcional a la longitud del alambre emre e y b. Para medir el
valor de &2' se desliza el contacto e hasta que se halla un punto en el que el galva-
nómetro no muestra desviación; esto corresponde a una corriente nula a través de
E2• Con /2 = 0, la regla de Kirchhoff de las espiras da
&2 = /Rrb
Con /2 = 0, la corriente 1 que produce la fem [. tiene el mismo valor cualquiera
que sea el valor de la fem &2' Se calibra el dispositivo sustituyendo &2 por una
fueme de Cem conocida; en estas condiciones se puede hallar cualquier fem &2
desconocida midiendo la longitud del alambre eb con la cual/2 = °(véase el ejer-
cicio 26.31). Dése cuenta que, para que esto funcione, V. debe ser mayor que t;.
El término potenciómetro se aplica además a cualquier resistor variable, que
por lo regular tiene un elememo de resistencia circular y un contacto corredizo
comrolado mediante un eje giratorio y una perilla. El simbolo de circuito de un
potenciómetro se muestra en la figura 26.18b.
Se desea medir la corriente a través del resistor de 2 n de la figura 26.12 (cjcm-
plo 26.6 de la sección 26.2), asi como la diferencia de potencial entre sus extre·
mos. ¿Cómo conectaría un amperímetro y un voltimetro para hacer esto? ¿Qué
resistencias deben tener estos medidores?
26.4 I Circuitos R-e
En los circuitos que hemos analizado hasta aqui, hemos supuesto que todas las fem
y resistencias son constantes (independientes del tiempo), por lo que todos los po-
tenciales, corrientes y potencias también son independientes del tiempo. Pero en el
simple acto de cargar o descargar un capacitor nos topamos con una situación en la
que las corrientes, voltajes y potencias cambian con el tiempo.
Muchos dispositivos importantes incluyen circuitos en los que se carga y descar-
ta alternativamente un capacitar. Entre ellos se cuentan los marcapasos cardiacos
(Fig. 26.19), los semáforos intennitentes, las señales direccionales de los automóvi-
les y las unidades de destello eleclTÓnico (Fig. 24.9). Por consiguiente, es de gran
imponancia práctica comprender 10 que ocurre en los circuitos de este tipo.
997
E,
•
!I <--¡- li-4
" b, 12 = o-
(.)
(b)
26.18 (a) Circuito de potenciómetro.
(b) Simbolo de circuito de un potencióme-
tro (resistor variable).
26.19 Esta imagen coloreada de rayos X
muestra un marcapaso implantado quirur.
gieamente en un paciente con mal funcio-
namiento de un nódulo auriculoventricular,
la parte del corazón que genera la señal
cléctrica que ponc en marcha los latidos.
Para compensar, un marcapaso (situado
cerca de la clavícula) envía una señal eléc-
trica pulsante a lo largo dcl conductor has-
ta el corazón para mantener un latido
regular.
998 CAPiT ULO 26 I Circuitos de corriente continua
(a) Capacitor inicialmente sin carga
InternlplOr
i abieno
+~
Interruptor
cerrado
i=Q q=O
I
Carga de un capacitor
La figura 26.20 muestra un circuito simple para cargar un capacitor. Un circuito
como éste, con un resistor y un capacitor en serie, se denomina circuito R-C. Se
idealiza la batería (o fuente de energía eléctrica) de modo que tenga fem [; cons-
tantey resistencia interna nula (r = O), Yno se tiene en cuenUl la resistencia de to-
dos los conductores de conexión.
Inicialmente, el capacitor está descargado (Fig. 26.20a); después, en cierto
tiempo inicial t = Ose cierra el interruptor para completar el circuito y permitir
que la corriente alrededor de la espira comience a cargar el capacitor (Fig.
26.20b). Para toda consideración práctica, la corriente comienza en el mismo ins-
tante en todas las partes conductoras del circuito, y en cada instante la corriente es
la misma en todas las partes.
,
e
bR
+
(b) Carga del capacitor
R
+q -q
r
b 1
e
IlIDl!lll!l!l Hasta este punto hemos trabajado con diferencias de potencial
(voltajes), corrientes y cargas constantes, y hemos utilizado las letras mayúscu-
las V.!y Q, respectivamente, para denotar estas magnitudes. A fin de distinguir
entre las magnitudes que varían con el tiempo y las que son constantes, utiliza-
remos las letras minúsculas v, i y q, respectivamente, para representar los volta-
jes, corrientes y cargas que varían con el tiempo. Le sugerimos atenerse a esta
misma convención en su propio trabajo.
(26.9)
26.20 Carga de un capacitor. (a) Inmedia-
tamente antes de cerrar el interruptor, la
carga q es cero. (b) Cuando se cierra el in-
terruptor (en t = O), la corriente salta de
cero a E/R. Conforme pasa el tiempo, q
tiende a Qr, y la corriente i tiende a cero.
Ya que inicialmente el capacitor de la figura 26.20 está descargado, la diferencia
de potencial ubcentre los extremos es cero en t = O. En ese momento, de acuerdo con
la regla de las espiras de Kirchhoff, el volUlje V.b entre los extremos del resistor Res
igual a la fem &de la batería. La corríente inicial (t = O) a través del resistor, a la que
llamaremos lo, está dada por la ley de Ohm: lo = va¡jR = E/R.
A medida que el capacitor se carga, su voltaje Vbc aumenta y la diferencia de
potencial Vah entre los extremos del resistor disminuye, lo que corresponde a una
reducción de la corríente. La suma de estos dos voltajes es constante e igual a E.
Al cabo de un largo tiempo el capacitar se carga totalmente, la corriente disminu-
ye a cero y la diferencia de potencial val> entre los extremos del resistor se hace ce-
ro. En ese momento aparece la totalidad de la fem &de la batería entre los bornes
del capacitar, y Vbc = E.
Sea q la carga del capacitar e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiem-
po Idespués de cerrar el interruptor. Asignamos el sentido positivo a la corriente en
correspondencia al flujo de carga positiva hacia la placa izquierda del capacitor,
como en la figura 26.20b. Las diferencias de potencial instantáneas Vah Y ViJe son
q
Val> = iR Ubc = -e
Utilizando éstas en la regla de Kirchhoff de las espiras, se obtiene
E-iR-!i=Oe
Act'¡VPhyscs
El potencial cae una cantidad iR al pasar de a a b y q/C al pasar de b a c. Resol-
viendo para i de la ecuación (26.9) se tiene
. E q
,~--- (26.10)
R Re
12.6 Capacitancia En el tiempo t = O, cuando se cierra inicialmente el interruptor, el capacitar está
descargado y, por tanto, q = o. Sustituyendo q = Oen la ecuación (26.10) resulta
que la corriente inicia! 10 está dada por 10 = EIR, como ya lo habiamos señalado.
26.4 I Circuitos R-e 999
Carga de un capacitor:
q carga en función del tiempo
Carga de un capacitor:
corriente en Función del tiempo
(ol
Qf --~t---~~--------
Qfle
___ 'L_
(26.11)
Qf= CE
Si el capacitar no estuviera en el circuito, el último término de la ecuación (26.10)
estaría ausente; entonces la corriente sería constante e igual a E/R.
Confonne la carga q aumenta, elténnino q/RC crece y la carga del capacitor
tiende a su valor final, al que llamaremos Qf. La corriente disminuye y termina
por desaparecer. Cuando i = O, la ecuación (26. IO) da
E Q,
~
R RC
Dése cuenta que la carga final Qfno depende de R.
En la figura 26.21 se muestran la corriente y la carga del capacitar en función
del tiempo. En el instante en el que se cierra el interruptor (t = O), la corriente sal-
ta de cero a su valor inicial lo = E/R; a partir de ese punto, se aproxima gradual-
mente a cero. La carga del capacitar comienza en cero y poco a poco se aproxima
al valor final dado por la ecuación (26.11): Qf = CE.
Se pueden deducir expresiones generales de la carga q y la corriente i en fun-
ción del tiempo. Por haber asignado el sentido positivo a la corriente (Fig.
26.20b), i equivale a la rapidez con la que llega carga positiva a la placa izquierda
(positiva) del capacitor; por tanto, i = dq/dt. Haciendo esta sustitución en la ecua-
ción (26.10) se obtiene
Re
(b)
o
26.21 La corriente i y la carga q del capa-
citar en función del tiempo en el circuito
de la figura 26.20. La corriente inicial es lo
y la carga inicial del capacitor es cero. La
corriente tiende asinlóticamente a cero y la
carga del capacitor tiende asintóticamente
a un valor final Qf.
RC
1
--(q - CE)
RC
dI
RC
E q
-~-
R RC
dq
dI
q CE
Esto se puede reordenar a
dq
para luego integrar ambos lados. Se cambian las variables de integración a q' y l' pa-
ra poder fijar q y tcomo limites superiores. Los limites inferiores son q' = OYt' = O:
i
q
,dq' = -it~
oq-CE oRC
Después de integrar se obtiene
ln(q -C~E) =
q - CE = e-,IRe
ce
Exponenciando ambos lados (es decir, tomando el logaritmo inverso) y resolvien-
do para q se encuentra que
q = CE(1 ~ e-tlRC) = Qf(1 ~ e-tIRC) (26.12)
(circuito R-C, capacitar en carga)
La corriente instantánea i es simplemente la derivada de la ecuación (26.12) con
respecto al tiempo:
i = dq = !:..e ~,'RC = loe -tiRe
dI R
(circuito R-C, capacitor en carga)
(26.13)
Tanto la carga como la corriente son funciones exponenciales del tiempo. La figu-
ra 26.21a es una gráfica de la ecuación (26.13), y la figura 26.2Ib, de la ecuación
(26.12).
,
1000 e A P í TUL o 26 I Circuitos de corriente continua
i
t
I
Aet¡"vPhyscs
12,7 Capacitares en serie y en paralelo
12.8 Constantes de tiempo de circuitos
Constante de tiempo
Al cabo de un tiempo igual a Re, la corriente en el circuito R-C ha disminuido a
l/e (alrededor aproximadamente de 0.368) de su valor iniciaL En este momento,
la carga del capacitor ha alcanzado una fracción (l - l/e) = 0.632 de su valor fi-
nal Qf = CE. El producto RC es, en consecuencia, una medida de la rapidez de
carga del capacitor. Llamaremos a Re la constante de tiempo, o tiempo de rela-
jación, del circuito, y la representaremos como r:
• T = RC (constante de tiempo del circuito R-C) (26.14)
Cuando Tes pequeña, el capacitor se carga rápidamente; cuando es más grande, el
proceso de carga toma más tiempo. Si la resistencia es pequeña, la corriente fluye
con más facilidad y el capacitor se carga más pronto. Si R está en ohm y C en fa-
rad, T está en segundos.
En la figura 26.2la el eje horizontal es una asíntota de la curva. En términos es-
trictos, i nunca llega a ser exactamente cero. Sin embargo, cuanto más tiempo
transcurre, más se acerca a ese valor. Al cabo de un tiempo igual a 10 Re. la co-
rriente ha disminuido a 0.000045 de su valor inicial. De manera análoga, la curva
de la figura 26.21b se aproxinia a la línea discontinua horizontal marcada como Qf
como una asíntota. La carga q nunca alcanza exactamente cste valor, pero al cabo
de un tiempo igual a 10RCla diferencia entre q y Qrcs de sólo 0.000045 de Qr. Le
invitamos a comprobar que las unidades del producto RC son de tiempo.
(a) Capacitor inicialmente cargado
Interrupror
cerrado
(26.15)
Descarga de un capacitor
Supóngase ahora que, cuando el capacitor de la figura 26.20b ya ha adquirido una
carga Qo, quitamos la bateria del circuito R-C y conectamos los pWltos a y e a un in-
terruptor abierto (Fig. 26.22a). En seguida cerramos el interruptor y en el mismo ins-
tante reajustamos nuestro cronómetro a t = O; en ese momento, q = Qo. Por 10 que el
capacitor se descarga a través del resistor, y su carga disminuye finalmente a cero.
Sean una vez más i y q la corriente y la carga que varian con el tiempo, en cierto
instante después de efectuar la conexión. En la figura 26.22bse asigna el mismo
sentido positivo a la corriente, como en la figura 26.20b. En estas condiciones la re-
gla de Kirchhoff de las espiras da la ecuación (26.10), aunque con E = O; es decir,
. dq q
1=-=--
dt RC
lmurupror
abierto
b
+(10 -Qo
R
i=O
II
Ahora la corriente i es negativa; esto se debe a que sale carga positiva q de la pla-
ca izquierda del capacitor de la figura 26.22b, de modo que la corriente tiene el
sentido opuesto al que se muestra en la figura. En el tiempo t = O, cuando q = Qo,
la corriente inicial es Jo = -QrlRC.
Para hallar q en función del tiempo, debemos reordenar la ecuación (26.15),
cambiar de nuevo los nombres de las variables a q' y t', e integrar. Esta vez los li-
mites de q' son de Qo a q. Se obtiene
s,dq' - 1 i' ,-- -- dr00 q' Re o
q r
ln-= --
Qo RC
----4 +q -q
I,
R b
,
e
(b) Descarga del capacitor
26.22 Descarga de un capacitar. (a) Antes
de cerrar el interruptor en el tiempo t = 0,
la carga del capacitor es Qo y la corriente
es cero. (b) En el tiempo I después de ce-
rrar el interruptor, la carga del capacitor es
q y la corriente es i. El sentido de la co-
rriente real es opueslO al que se muestra;
i es negativa. Al cabo de un lÍempo largo,
tamo q como i tienden a cero.
q = Qoe -IIRe (circuito R-C, capacitor en descarga) (26.16)
26.4 I Circuitos R-C 1001
La corriente instantánea i es la derivada de esto con respecto al tiempo:
RC
En la figura 26.23 se han graficado la corriente y la carga; ambas magnitudes
tienden exponencialmente a cero con el tiempo. Si comparamos estos resultados
con las ecuaciones (26.12) y (26.13), advertiremos que, aparte del signo de lfh las
expresiones de la corriente son idénticas. La carga del capacitor tiende de manera
asintótica a cero en la ecuación (26.16), en tanto que, en la ecuación (26.12), la di-
ferencia entre q y Q tiende asintóticamente a cero.
Las consideraciones energéticas nos ofrecen una visión más clara del comporta-
miento de un circuito R-C. Cuando se está cargando el capacitar, la rapidez instan-
tánea a la que la batería entrega energía al circuito es P = &i. La rapidez instantánea
a la que se disipa energía en el resistor es IR, y la rapidez a la que se almacena ener-
gia en el capacitar es iU/J<: = iq/C. Multiplicando la ecuación (26.9) por i se obtiene
Ei = i 2R + iq/C (26.18)
Esto significa que, de la potencia suministrada ti por la batería, una parte (i2R) se
disipa en el rcsistor, y otra (iq/C) se almacena en el capacitor.
La energía total suministrada por la batería durante la carga del capacitor es
igual al producto de la fem Ede la batería por la carga total Qr, o EQf. La energía
total almacenada en el capacitar, según la ecuación (24.9), es Q,E!2. De este mo-
do, de la energía swninistrada por la batería, exactamente la mitad se almacena en
el capacitor, y la otra mitad se disipa en la resistencia. Resulta un poco sorpren-
dente que esta división de la energía por mitades no dependa de C. R ní E. Este re-
sultado también se puede verificar ponnenorizadamente tomando la integral con
respecto alliempo de cada una de las cantidades de polencía de la ecuación (26.18).
Le dejamos esle calculo como diversión (véase el problema 26.87).
o
q
JoI~ -------
/,12
(b)
RC
Desca!ga de un c:apacilOl':
carp en función del tiempo
Descarga de un capacitor:
corriente Cll
lo función del tiem
(o)
o
26.23 La corriente i y la carga q dcl capa-
citor en función dcl tiempo en el circuito
de la figura 26.22. La corriente inicial es lo
y la carga inicial del capacitor es Qll; tanto
¡como q tienden asintóticamenle a cero.
(26.17)
i = dq = _ Qo e-dRC = loe-úRC
dt Re
(circuito R·C. capacitar en descarga),
I
Elemplo
26.12 Carga de un capacitor
Un resistor cuya resistencia es de 10 Mn se conecta en serie con un
capacitor cuya capacitancia es de 1.0 ¡.loF Yuna batería con una (em
de 12.0 V, como en la figura 26.20. Antes que se cierre el inlerrup-
lor en elliempo I = O, el capacitar eslá descargado. a) ¿Cuál es la
constante de tiempo? b) ¿Qué fracción de la carga final está en las
placas en el tiempo t = 46 s1 c) ¿Qué fracción de la corriente ini-
cial queda en t = 46 s?
lE!.!I3mlI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Con respecto a un capacitor que se
está cargando, la carga está dada por la ecuación (26.12), y la co-
rriente, por la ecuación (26.13). La ecuación (26.14) proporciona la
constante de tiempo.
EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (26.14), la constante de
tiempo es
1 = Re = (10 x Icfin)(I.O x 1O-6 F) = lOs
b) La fracción dc la carga final del capacitor es q/Qf. Según lu ecua-
ción (26. l2),
:L. = I _ e-rJRe = l _ e-(46,)I{10,) = 0.99
Q,
El capacitar está cargado al 99% después de un tiempo igual a 4.6
RC, o 4.6 constantes de tiempo.
c) De acuerdo con la ecuación (26.13),
i
- = e-~.6 = 0.010
1,
Al cabo de 4.6 constantes de tiempo la corriente ha disminuido al
1.0"/0 de su valor inicial.
EVALUAR: La constante de tiempo es relativamente grande porque
la resistencia es muy grande. El circuito cargar.i con más rapidez si
se utiliza una resistencia más pequeña.
1002
Ejemplo
2613
CA pfTULO 26 I Circuitos de comente continua
Descarga de un capacitar
El resistor y el capacitor que se describen en el ejemplo 26.12 se
conectan ahora como se muestra en la figura 26.22. Al capacitor
se le proporciona originalmente una carga de S.O ¡Le, en seguida se
descarga cerrando el interruplor en t = Q. a) ¿Al cabo de cuanto
tiempo será la carga igual a 0.50 ¡.¡.C! b) ¿Cuál será la corriente en
ese momento?
l'Iil!!mmI
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: En este caso el capacitar se está des-
cargando; por tanto, la carga está dada por la ecuación (26.16), y la
corriente, por la ecuación (26.17).
EJECUTAR: a} Resolviendo para 1de la ecuación (26.16) se obtiene
t = -RCln.!L
Q,
0.50 ¡Le
= -(IOX ¡<J'in)(1.0x 1O-'F)In =235
5.0j.lC
Esto equivale a 2.3 veces la constante de tiempo 7' = Re = lOs.
b) De acuerdo con la ecuación (26.17), con Qo = 5.0 p'e = 5.0 X
JO-6 e,
Qo 5.0 x 10-' ei = __e-rlM: = - e-u = -5.0 x lO-a A
Re lOs
Cuando se descarga el capacitar, la corriente tiene el signo opuesto
que cuando se carga.
EVALUAR: Nos podríamos haber ahorrado el esfuerzo de calcular
e-;l.'« advirtiendo que, en el tiempo en cuestión, q = 0.10 Qo; de
acuerdo oon la ecuación (26.16) esto significa que e-l.'K: = 0.10.
La energía almacenada en un capacitor es igual a tille. Cuando se_descarga un
capacitor, ¿qué fracción de la energía inicial pennanece cuando ha transcurrido
un lapso equivalente a una constante de tíempo? ¿Depende la respuesta de cuánta
energía había almacenada inicialmente?
26.S I Sistemas de distribución de energía
Concluiremos este capitulo con un breve análisis de los sistemas prácticos de distri-
bución de energía eléctrica en hogares y automóviles. Los automóviles utilizan sis-
temas de corriente continua (cc), en tanto que casi todos los sistemas domésticos,
comerciales e industriales emplean corriente alterna (ca) debido a la facilidad con la
que se eleva y reduce el voltaje por medio de transformadores. En su mayor parte,
se aplican los mismos conceptos básicos de cableado a ambos tipos. Hablaremos
con más detenimiento acerca de los circuitos de corriente alterna en el capítulo 31.
Las diversas lámparas, motores y otros aparatos que se van a utilizar siempre se
conectan en paralelo a la fuente de energía eléctrica (los cables de la compañía de
electricidad cuando se trata de casas, o de la batetia y el alternador en el caso de un
automóvil). Si los aparatos se conectasen en serie, al apagar uno de ellos se apaga-
tian todos los demás (véase el ejemplo 26.2 de la sección 26.1). En la figura 26.24
se muestra el concepto básico del cableado doméstico. Un lado de la "línea", co-
mo se le llama al par de conductores, se designa como el lado neutro; siempre
está conectado a "tierra" en el tablero de servicio. En el caso de los hogares, la tie-
rra es un electrodo real insertado en el suelo (que nonnalmente es un buen con-
ductor) o, a veces, conectado a la tuberia de agua de la vivienda. Los electricistas
hablan