Potencial Electrico

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Presentación basada en el material contenido en: 
R. Serway,; Physics for Scientists and Engineers, 
Saunders College Publishers, 3rd edition.
Potencial Eléctrico
El concepto de energía potencial fue introducido en la física en 
conexión con fuerzas conservativas tales como la fuerza 
gravitacional y la fuerza elástica ejercida por un resorte.
Utilizando la ley de conservación de la energía se puede evitar el 
utilizar directamente fuerzas para resolver diferentes problemas en 
mecánica clásica.
El concepto de energía potencial también tiene una aplicación muy 
importante en el estudio de la electricidad.
Introducción
Como la fuerza electrostática es conservativa, los fenómenos 
electrostáticos pueden describirse, convenientemente, en términos 
de una energía potencial eléctrica.
Este concepto (energía potencial eléctrica) permite definir una 
cantidad escalar conocida como potencial eléctrico
Debido a que el potencial eléctrico en cualquier punto dentro de un 
campo eléctrico es una cantidad escalar, se puede utilizar para 
describir fenómenos electrostáticos de manera más simple que 
utilizando únicamente el campo eléctrico y fuerzas eléctricas.
Introducción
De acuerdo con el principio de conservación de la energía, la 
pérdida de energía potencial es igual a la ganancia de energía 
cinética (K + U = 0)
Según la mecánica clásica, si se levanta un objeto de masa m a una 
distancia vertical h cerca de la superficie terrestre, el trabajo 
realizado (W = F · d) se convierte en energía potencial (V = mgh) 
del sistema Tierra-masa.
Si se deja caer el objeto, la energía potencia se convierte en energía 
cinética.
Introducción
La fuerza eléctrica entre dos cargas está dirigida a lo largo de la 
línea que una las dos cargas y depende del inverso del cuadrado de 
su distancia de separación (igual que la fuerza gravitatoria entre 
dos masas).
Igual que la fuerza gravitatoria, la fuerza eléctrica es conservativa.
Consecuentemente, existe una función energía potencial asociada 
con la fuerza eléctrica: la energía potencial asociada a una 
partícula en una campo eléctrico es proporcional a la carga.
Introducción
La energía potencial por unidad de carga se denomina potencial 
eléctrico.
El potencial eléctrico se mide en voltios (1 V = 1J/C) y 
frecuentemente se le llama voltaje.
Objetivos de esta unidad:
Definir la función potencial eléctrico (y calcularla para una distribución 
específica de carga o para un campo eléctrico determinado).
Establecer la relación entre el potencial eléctrico V, el campo eléctrico E y 
la energía potencial electrostática.
Aplicar estos conceptos a sistemas eléctricos y conductores.
Introducción
En general, cuando una fuerza conservativa F actúa sobre una 
partícula que experimenta un desplazamiento dl, la variación de la 
función energía potencial dU viene definida por:
Cuando un carga de prueba q0 se coloca en un campo eléctrico E
creado por alguna distribución de carga fuente, la fuerza eléctrica 
que actúa sobre la carga de prueba es:
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
La fuerza q0E es conservativa debido a que la fuerza entre dos 
cargas, descrita por la ley de Coulomb, es conservativa.
Cuando la carga de prueba se mueve dentro de un campo eléctrico 
debido a la acción de un agente externo, el trabajo realizado por el 
campo eléctrico sobre la carga es igual al negativo del trabajo 
realizado por el agente externo que provoca el desplazamiento.
Esto es análogo con la situación de levantar un objeto con masa dentro de 
un campo gravitacional: el trabajo realizado por el agente externo es mgh
y el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es – mgh.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Cuando se analizan campos eléctricos y magnéticos es una práctica 
común el utilizar la notación dl para representar un vector de 
desplazamiento infinitesimal que se orienta tangentemente 
respecto de una trayectoria a través del espacio.
Esta trayectoria puede ser recta o curvada, y una integral que se 
evalúa a lo largo de esta trayectoria se conoce como integral de 
trayectoria.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Cuando la carga de prueba experimenta un desplazamiento 
infinitesimal dl en un campo eléctrico E, el trabajo realizado por el 
campo eléctrico sobre la carga es:
y si el trabajo realizado por una fuerza conservativa disminuye 
la energía potencial, entonces la energía potencial del sistema 
carga-campo cambia como:
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Para un desplazamiento finito de la carga desde el punto A hasta el 
punto B, el cambio o variación de energía potencia electrostática 
en el sistema es:
La integración se lleva a cabo a lo largo de la trayectoria que q0
sigue conforme se mueve de A hacia B. Pero como la fuerza 
eléctrica (F = q0E) es conservativa, esta integral NO depende 
de la trayectoria de A hacia B.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Para una posición dada de la carga de prueba dentro del campo 
eléctrico, el sistema carga-campo tiene una energía potencial U
relativa a la configuración del sistema que se define como U = 0.
Dividiendo la energía potencial entre la carga de prueba se obtiene 
una cantidad física que depende únicamente de la distribución de 
carga fuente.
La energía potencia por unidad de carga U/q0 es, en realidad, 
independiente del valor de q0 y está definida (i.e. tiene valor) en 
cualquier punto dentro de un campo eléctrico.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Esta cantidad U/q0 se conoce como el potencial eléctrico (o 
simplemente el potencial) V. Entonces el potencial eléctrico en 
cualquier punto dentro de un campo eléctrico es
El hecho de que la energía potencial sea una cantidad escalar 
implica que el potencial eléctrico también es una cantidad escalar.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Conceptualmente, la variación de energía potencial es proporcional 
a la carga testigo q0. La variación de energía potencial por unidad 
de carga se denomina diferencia de potencial dV:
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Si la carga de prueba se mueve entre dos posiciones A y B dentro 
de un campo eléctrico, el sistema carga-campo experimenta un 
cambio de energía potencial.
La diferencia de potencial entre dos puntos A y B dentro de un 
campo eléctrico se define como el cambio en la energía potencial 
del sistema cuando una carga de prueba q0 se mueve entre dichos 
puntos, dividido entre la carga de prueba q0.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
La diferencia de potencial VB – VA es el valor negativo del 
trabajo por unidad de carga realizado por un campo eléctrico 
sobre una carga testigo positiva cuando ésta se desplaza del 
punto A al punto B dentro de dicho campo.
Tal y como ocurre con la energía potencial, sólo son significativas 
las diferencias o variaciones en el potencial eléctrico.
Sin embargo, para evitar que tener que realizar operaciones con 
diferencias de potencial, usualmente se considera que el valor del 
potencial eléctrico es cero en algún punto conveniente dentro de un 
campo eléctrico.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Es decir, el valor de la función potencial eléctrico en cualquier 
punto por lo general queda determinado escogiendo 
arbitrariamente V de modo que sea cero en un punto adecuado.
Por ejemplo, en la expresión de la energía potencial gravitatoria 
próxima a la superficie de la Tierra, mhg, podemos elegir h igual a 
cero en cualquier punto conveniente, tal como el suelo o la parte 
superior de una mesa.
Si se trata de dos masas o cargas puntuales, resulta, por lo general, 
más conveniente tomar como cero la energía potencial 
correspondiente a una separación infinita.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
La diferencia de potencial no se debe de confundir con la 
diferencia en energía potencial.
La diferencia de potencial, ΔV, entre A y B depende únicamente de 
la distribución de la carga fuente, i.e.la que genera el campo 
eléctrico (se consideran los puntos A y B sin la presencia de la 
carga de prueba).
Por otro lado, la diferencia en energía potencial, ΔU, sólo existe si 
una carga de prueba se mueve entre los puntos A y B.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Potencial y Energía Potencial
El potencial es característico únicamente del campo eléctrico, es 
decir, es independiente de si se coloca dentro del campo eléctrico 
una partícula de prueba cargada.
La energía potencial es característica del sistema carga-campo 
eléctrico, es decir, se debe a una interacción entre el campo 
eléctrico y una partícula cargada que se coloca dentro de dicho 
campo eléctrico.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
El potencial eléctrico es un característica escalar 
de un campo eléctrico, es decir, es independiente 
de las cargas que se coloquen dentro de dicho 
campo eléctrico.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Si un agente externo mueve la carga de prueba desde A hasta B sin
cambiar la energía cinética de la carga de prueba, dicho agente
realiza un trabajo que cambia la energía potencial del sistema:
W = ΔU
La carga de prueba positiva q0 se utiliza como un artilugio mental 
para definir el potencial eléctrico.
Imaginen una carga arbitraria q que se localiza dentro de un campo 
eléctrico. De la ecuación:
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
se puede establecer que el trabajo realizado por un agente externo
al mover, a velocidad constante, una carga q a través de una campo
eléctrico es:
Debido a que el potencial eléctrico es una medida de la energía 
potencial por unidad de carga , la unidad SI para el potencial 
eléctrico y la diferencia de potencial es joules por coulomb, el cual 
se define como un voltio (V):
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Es decir, se debe realizar 1 J de trabajo para mover una carga de
1 C a través de una diferencia de potencial de 1 V.
Como la diferencia de potencial se mide en voltios, a veces se le 
llama voltaje.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
En una batería de 12 V (automóvil) el terminal positivo tiene un
potencial que es 12 V superior que el del terminal negativo.
Si a esta batería se conecta un circuito externo y por él circula una 
carga de 1 C desde el terminal positivo al negativo, la energía 
potencial de la carga disminuye en QΔV = 1C(12 V) = 12 J. 
Esta energía aparece en el circuito en forma de energía térmica.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
La ecuación:
también muestra que la diferencia de potencial tiene unidades del 
campo eléctrico multiplicado por la distancia.
Así, la unidad de campo eléctrico E, el newton por coulombio, es 
también igual al voltio por metro:
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Entonces, se puede interpretar el campo eléctrico como una
medida de la velocidad de cambio del potencial eléctrico
respecto de la posición.
Si se sitúa una carga de prueba positiva q0 en un campo eléctrico E
y se deja en libertad, se acelerará en la dirección de E a lo largo de 
las líneas de campo eléctrico.
La energía cinética de la carga se incrementará, y su energía 
potencial disminuirá; es decir, la carga se moverá hacia una región 
de menor energía potencial (del mismo modo, un cuerpo de masa 
m cae hacia una región de menor energía potencial gravitatoria).
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Para una carga testigo puntual, una región de menor energía
potencial es una región de menor potencial eléctrico.
Es decir: las líneas de campo eléctrico señalan en la dirección 
en la que disminuye el potencial eléctrico.
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Una unidad de energía utilizada comúnmente en la física atómica y
nuclear es el electrón-voltio (eV), pues la energía tiene unidades
de carga eléctrica multiplicada por potencial eléctrico.
El electrón-voltio se define como la energía que un sistema 
carga-campo eléctrico gana o pierde cuando una carga de 
magnitud e (es decir, un electrón o un protón) se mueve a 
través de una diferencia de potencial de 1 V
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
En la figura, dos puntos A y B se localizan dentro de un región en la cual hay un 
campo eléctrico. La diferencia de potencial ΔV = VB − VA es: 
(a) positiva 
(b) negativa 
(c) cero
Si se coloca un carga negativa en A y se 
mueve hacia B. El cambio en la energía 
potencial del sistema carga-campo eléctrico 
para este proceso es: 
(a) positiva 
(b) negativa 
(c) cero
Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
Las ecuaciones:
son válidas para todos los campos eléctricos, independientemente de 
si son uniformes o no.
Sin embargo, si el campo eléctrico es uniforme, dichas ecuaciones se 
pueden simplificar.
Diferencias de Potencial en un E uniforme
Primero, consideren un campo eléctrico uniforme 
dirigido a lo largo del eje y negativo (ver figura).
Calculemos la diferencia de potencial entre dos 
puntos A y B separados por una distancia d 
(es decir, ⏐l⏐= d )
se puede establecer que l es paralelo a las 
líneas del campo eléctrico uniforme.
Diferencias de Potencial en un E uniforme
La ecuación:
se puede escribir como:
Diferencias de Potencial en un E uniforme
Debido a que E es constante, se puede sacar de la integral:
el signo negativo indica que el potencial eléctrico en el punto B es 
menor que en el punto A; es decir, VB < VA
Diferencias de Potencial en un E uniforme
Se comprueba que las líneas de campo 
eléctrico siempre apuntan en la dirección 
en la cual disminuye el potencial eléctrico.
Diferencias de Potencial en un E uniforme
Ahora supongan que una carga de prueba q0 se mueve de A a B.
Se puede calcular el cambio en la energía potencial del sistema 
carga-campo eléctrico a partir de las ecuaciones
Diferencias de Potencial en un E uniforme
A partir de este resultado, se puede establecer que si q0 es positiva, 
entonces ΔU (el cambio en la energía potencial) es negativa.
Se concluye que un sistema que consiste en una carga positiva y 
un campo eléctrico, pierde energía potencial eléctrica cuando la 
carga se mueve en la dirección del campo eléctrico (señalada por 
las líneas de campo eléctrico).
Diferencias de Potencial en un E uniforme
Esto significa que un campo eléctrico realiza trabajo sobre una carga 
positiva cuando la carga se mueve en la dirección del campo 
eléctrico.
Esto es análogo al trabajo que efectúa el campo gravitacional sobre 
un objeto que cae.
Diferencias de Potencial en un E uniforme
Si una carga de prueba positiva se suelta desde 
el reposo dentro de un campo eléctrico, 
experimenta un fuerza eléctrica 
Fe = q0E
en la dirección del campo eléctrico E.
Por lo tanto, se acelera hacia abajo (ver figura), 
ganando energía cinética.
Conforme la partícula cargada gana energía 
cinética, el sistema carga-campo eléctricopierde una cantidad igual de energía 
potencial (conservación de la energía).
Diferencias de Potencial en un E uniforme
Por otro lado, si q0 es negativa, entonces ΔU (el cambio en la energía 
potencial) es positiva y la situación es inversa.
Se concluye que un sistema que consiste en una carga negativa y 
un campo eléctrico, gana energía potencial eléctrica cuando la 
carga se mueve en la dirección del campo eléctrico (señalada por 
las líneas de campo eléctrico).
Diferencias de Potencial en un E uniforme
Si una carga de negativa se suelta desde el 
reposo dentro de un campo eléctrico, 
se acelera en una dirección opuesta a la 
dirección del campo eléctrico.
Consecuentemente, para que una carga 
negativa se mueva en dirección del campo 
eléctrico, es necesario que un agente 
externo aplique un fuerza y realice un 
trabajo positivo sobre la carga.
Diferencias de Potencial en un E uniforme
Ahora, consideren un caso más general: una partícula cargada se 
mueve entre los puntos A y B dentro de un campo eléctrico uniforme, 
de tal manera que el vector l no es paralelo a las líneas de campo 
eléctrico (ver figura)
Diferencias de Potencial en un E uniforme
En este caso, la ecuación para la diferencia de potencial (ΔV) es:
donde es posible sacar el E de la integral debido a que es constante.
El cambio en la energía potencial del sistema carga-campo eléctrico 
es:
Diferencias de Potencial en un E uniforme
Finalmente, a partir de la ecuación:
se concluye que todos los puntos en un plano perpendicular a un 
campo eléctrico uniforme están al mismo potencial eléctrico.
Demostración.
Diferencias de Potencial en un E uniforme
El nombre de superficie equipotencial se da a cualquier 
superficie que consiste de un distribución continua de puntos 
que tienen el mismo potencial eléctrico.
Las superficies equipotencial de un campo eléctrico uniforme 
consisten en una familia o conjunto de plano paralelos que son 
perpendiculares al campo eléctrico.
Superficies Equipotenciales
Los puntos señalados en la figura se encuentran sobre un serie de superficies 
equipotenciales asociadas con un campo eléctrico. Ordena de mayor a menor el 
trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una partícula de carga positiva que se 
mueve de A a B; de B a C; de C a D; de D a E.
¿Cuál es la dirección aproximada del campo eléctrico? Hacia: 
(a) fuera de la pantalla 
(b) dentro de la pantalla 
(c) el lado derecho de la pantalla 
(d) el lado izquierdo de la pantalla 
(e) la parte de arriba de la pantalla 
(f) la parte de debajo de la pantalla
Superficies Equipotenciales
Sabemos que una carga puntual positiva aislada q produce un 
campo eléctrico que está dirigido, desde la carga, radialmente 
hacia fuera.
Para encontrar el potencial eléctrico en un punto localizado a una 
distancia r desde la carga, se debe partir de la expresión general 
para la diferencia de potencial (ΔV).
V y U debido a cargas puntuales.
donde A y B son dos puntos arbitrarios 
(ver figura).
En cualquier punto en el espacio, el 
campo eléctrico debido a la carga 
puntual es:
V y U debido a cargas puntuales.
La cantidad E · dl se puede expresar como:
Debido a que la magnitud de es 1, 
el producto punto
donde θ es el ángulo entre y dl.
V y U debido a cargas puntuales.
Además, dlcosθ es la proyección de 
dl sobre r; entonces:
Es decir, cualquier desplazamiento dl
a lo largo de la trayectoria del punto A
al punto B provoca un cambio dr en la 
magnitud de r (el vector de posición del 
punto donde se quiere medir el potencial 
eléctrico, relativo a la posición de la 
carga que establece el campo eléctrico).
V y U debido a cargas puntuales.
Sustituyendo, se encuentra que:
consecuentemente, la expresión para la diferencia de potencial 
ahora es:
V y U debido a cargas puntuales.
Esta ecuación muestra que la integral de E · dl es independiente de 
la trayectoria entre los puntos A y B. La diferencia de potencial 
eléctrico debido a cargas puntuales es independiente de la 
trayectoria entre los puntos inicial y final.
V y U debido a cargas puntuales.
Multiplicando por una carga q0 que se mueve entre los puntos A y 
B, se calcula el cambio en la energía potencial y se obtiene una 
integral que también es independiente de la trayectoria: 
Conclusión: el cambio en la energía potencial es independiente 
de la trayectoria que sigue la carga entre los puntos inicial y 
final.
V y U debido a cargas puntuales.
Si consideramos la definición del trabajo para el sistema 
carga-campo eléctrico:
se obtiene una expresión para el trabajo que realiza la fuerza 
eléctrica, y como ésta integral es independiente de la trayectoria, se 
demuestra que la fuerza eléctrica es conservativa, y que el campo 
relacionada con dicha fuerza, E, es un campo conservativo (i.e. el 
campo eléctrico de una carga puntual fija es conservativo)
V y U debido a cargas puntuales.
Además, la ecuación:
establece que la diferencia de potencial (ΔV) entre cualesquiera 
dos puntos A y B dentro de un campo eléctrico establecido por 
una carga puntual, depende únicamente de las coordinadas 
radiales rA y rB.
V y U debido a cargas puntuales.
Por lo general, se elige como referencia del potencial eléctrico para 
una carga puntual que 
V = 0 en rA = ∞.
Con esta elección de referencia, el potencial eléctrico establecido 
por una carga puntual a cualquier distancia r desde la carga es:
El potencial eléctrico es positivo o negativo dependiendo del signo 
de la carga q.
V y U debido a cargas puntuales.
Si una carga testigo positiva q0 se deja en libertad en un punto 
situado a una distancia r de una carga puntual positiva q que se 
mantiene fija en el origen, la carga testigo es acelerada en la 
dirección del campo eléctrico establecido por la carga q.
El trabajo realizado por el campo eléctrico cuando la carga testigo 
se mueve de r a ∞ es:
V y U debido a cargas puntuales.
Este trabajo es la energía potencial electrostática del sistema 
formado por la dos cargas (sería negativo si consideráramos el 
sistema carga-campo eléctrico):
La energía potencial es, por tanto, el trabajo realizado por el campo 
eléctrico cuando la carga testigo se desplaza de r a ∞.
V y U debido a cargas puntuales.
Alternativamente, la energía potencial puede definirse como el 
trabajo que debe realizar una fuerza aplicada Fap = − q0E para 
trasladar una carga positiva q0 desde el infinito hasta una distancia 
r medida desde una carga puntual q.
V y U debido a cargas puntuales.
No confundir: 
la primera es la ecuación para calcular el potencial eléctrico
debido a una carga puntual, y la segunda es la ecuación para 
calcular el campo eléctrico debido una carga puntual.
V y U debido a cargas puntuales.
El efecto de una carga en el espacio que la rodea puede describirse 
de dos maneras diferentes:
La carga establece un vector campo eléctricoE, el cual está 
relacionado con la fuerza que experimenta una carga de prueba que 
se coloca dentro del campo eléctrico.
También establece un potencial eléctrico escalar V, el cual está 
relacionado con la energía potencial de un sistema de dos cargas 
cuando una carga de prueba se coloca dentro del campo eléctrico 
establecido por una carga puntual.
V y U debido a cargas puntuales.
La siguiente figura muestra una gráfica del potencial eléctrico 
alrededor de una carga positiva localizada en el plano xy.
La función potencial eléctrico 
para una carga negativa se vería 
como un hoyo en lugar de 
una colina
La línea roja muestra la 
dependencia o naturaleza 1/r
del potencial eléctrico.
V y U debido a cargas puntuales.
Piensen en la siguiente analogía respecto al potencial 
gravitacional:
imaginen intentar hacer rodar una 
canica grande hacia la cima de 
una colina con la forma de la 
superficie en esta figura.
Empujar la canica hacia arriba 
es análogo a empujar un objeto 
cargado positivamente hacia 
otro objeto cargado positivamente.
V y U debido a cargas puntuales.
Similarmente, la gráfica de potencial eléctrico para la región 
alrededor de una carga negativa es análoga a un “hoyo” con 
respecto a cualesquiera objetos cargados positivamente que se 
acerquen. 
Un objeto cargado debe estar infinitamente distante de otro objeto 
cargado antes de que la superficie de la gráfica de potencial 
eléctrico sea “plana” y el potencial eléctrico sea cero.
La energía potencial de dos cargas es cero cuando están 
infinitamente separadas.
V y U debido a cargas puntuales.
La elección del potencial eléctrico igual a cero a una distancia 
infinita desde una carga puntual es, simplemente, una elección por 
conveniencia.
También es posible establecer el mismo convenio del potencial 
cero para un sistema de cargas siempre que el sistema sea finito, es 
decir, siempre y cuando no existan cargas a una distancia infinita 
de las otras cargas del sistema.
A distancias suficientemente grandes de cualquier distribución de 
carga, esta se comporta como una carga puntual y la función 
potencial V se aproxima a la ecuación V = keQ/r, en donde Q es la 
carga neta de la distribución.
V y U debido a cargas puntuales.
Se obtiene el potencial eléctrico resultante de dos o más cargas 
puntuales aplicando el principio de superposición del campo 
eléctrico.
Para determinar el potencial eléctrico en un punto debido a varias 
cargas puntuales, hay que calcular el potencial eléctrico en dicho 
punto debido a cada carga por separado y sumar todos ellos.
Es decir, el potencial eléctrico total en algún punto P debido a 
varias cargas puntuales es la suma de los potenciales eléctrico en 
dicho punto P debido a cada una de las cargas.
V y U debido a cargas puntuales.
Si Ei es el campo eléctrico en un punto debido a la carga qi, el 
campo eléctrico total en dicho punto producido por todas las 
cargas es:
Según la definición de diferencia de potencial, para un 
desplazamiento dl:
V y U debido a cargas puntuales.
Si la distribución de carga es finita, es decir, si no hay cargas en el 
infinito, podemos considerar que el potencial eléctrico es cero en el 
infinito.
De esta manera, para calcular el potencial eléctrico correspondiente 
a cada carga puntual se puede utilizar la ecuación:
V y U debido a cargas puntuales.
Por lo tanto, para un grupo de cargas puntuales qi, se puede 
establecer que el potencial eléctrico total en el punto P es: 
donde la suma debe extenderse a todas las cargas y ri es la 
distancia desde la carga qi al punto P donde se quiere calcular el 
potencial.
No se debe olvidar que se considera que el potencial eléctrico es 
cero en el infinito pues no hay cargas ahí presentes.
V y U debido a cargas puntuales.
Es importante señalar que la suma en la ecuación
es una suma algebraica de escalares en lugar de una suma vectorial 
(la cual se utiliza para calcular el campo eléctrico de un grupo de 
cargas puntuales).
Entonces, por lo general es más fácil evaluar el potencial eléctrico 
V que evaluar el campo eléctrico E.
V y U debido a cargas puntuales.
En la siguiente figura se ilustra el potencial eléctrico alrededor de 
un dipolo.
Se debe notar la 
empinada 
pendiente del 
potencial entre 
las cargas, la cual 
representa una 
región de un 
campo eléctrico 
fuerte.
V y U debido a cargas puntuales.
Nota (muy) importante respecto al trabajo W:
Hay una diferencia entre el trabajo W realizado por un miembro de 
un sistema sobre otro miembro del mismo sistema y el trabajo W
realizado por un agente externo sobre un sistema.
En nuestro siguiente análisis, consideraremos a un grupo de cargas 
como el sistema y a un agente externo que realiza o efectúa un 
trabajo W sobre el sistema para mover las cargas desde una 
distancia infinita hasta una pequeña distancia.
V y U debido a cargas puntuales.
Analicemos ahora la energía potencial U de un sistema de dos 
partículas cargadas.
Si V2 es el potencial eléctrico en un punto P debido a la carga q2, 
entonces el trabajo W que un agente externo debe hacer para traer a 
una segunda carga q1 desde el infinito hasta el punto P sin 
aceleración es:
V y U debido a cargas puntuales.
Este trabajo W = q1V2, representa una transferencia de energía 
hacia el sistema, y la energía aparece en el sistema como energía 
potencial U cuando las partículas están separadas por una distancia 
r12 (ver figura).
Por lo tanto, se puede expresar la 
energía potencial de sistema como:
V y U debido a cargas puntuales.
Se debe notar que si las cargas son del mismo signo, U es positiva.
Este resultado es consistente con el hecho de que un agente 
externo debe hacer trabajo positivo sobre el sistema para acercar a 
las dos cargas debido a que las cargas del mismo signo se repelen.
V y U debido a cargas puntuales.
Si las cargas son de signos opuestos, U es negativa.
Este resultado significa que un agente externo hace trabajo 
negativo en contra de la fuerza atractiva entre las cargas de signos 
opuestos conforme dichas cargas se acercan una a la otra.
Es decir, se debe aplicar una fuerza contraria al desplazamiento 
para impedir que q1 se acelere hacia q2.
V y U debido a cargas puntuales.
En la siguiente figura se ha quitado q1.
En la posición que ocupaba previamente esta carga, que ahora 
denominamos el punto P, se puede utilizar las ecuaciones:
para definir un potencial eléctrico 
debido a la carga q2:
V y U debido a cargas puntuales.
Entonces, si el sistema consiste de más de dos partículas cargadas, 
se puede obtener la energía potencial total calculando U para cada 
par de cargas y sumando algebraicamente dichos términos.
Por ejemplo, la energía potencial 
total para el sistema de trescargas mostrado en la 
siguiente figura es:
V y U debido a cargas puntuales.
COMPROBACIÓN: si tenemos una carga puntual q1, el potencial 
eléctrico a una distancia r12 de dicha carga, se obtiene a partir de:
El trabajo necesario para trasladar una segunda carga puntual q2
desde el infinito hasta una distancia r12 es:
V y U debido a cargas puntuales.
Ahora, para transportar una tercera carga, debe realizarse trabajo 
contra el campo eléctrico producido por sendas cargas q1 y q2.
El trabajo necesario para transportar una tercera carga q3 que dista 
r13 de q1 y r23 de q2 es:
V y U debido a cargas puntuales.
El trabajo total para reunir las tres cargas es, por tanto: 
Este trabajo W es la energía potencial electrostática del sistema 
formado por las tres cargas puntuales.
El resultado es independiente del orden en que las cargas son 
transportadas a sus posiciones finales.
V y U debido a cargas puntuales.
En general, se puede concluir que la energía potencial 
electrostática de un sistema de cargas puntuales es igual al 
trabajo necesario para transportar las cargas desde una 
separación infinita a sus posiciones finales.
V y U debido a cargas puntuales.
Un globo esférico contiene en su centro un objeto cargado 
positivamente. Conforme el globo se infla a un mayor volumen 
mientras el objeto cargado permanece en el centro: 
1) ¿el potencial eléctrico sobre la superficie del globo? 
(a) aumenta, (b) disminuye, o (c) permanece igual. 
2) ¿El flujo eléctrico a través de la superficie del globo? 
(d) aumenta, (e) disminuye, o (f) permanece igual.
V y U debido a cargas puntuales.
En la siguiente figura, consideren que q1 es una carga fuente 
negativa y que q2 es una carga de prueba. Si q2 inicialmente es 
positiva y se cambia a una carga de la misma magnitud pero 
negativa, el potencial eléctrico en la posición de q2 debido a q1: 
(a) aumenta (b) disminuye (c) permanece igual. 
Cuando la carga q2 se cambia de positiva 
a negativa, la energía potencial 
del sistema de la dos cargas: 
(a) aumenta (b) disminuye 
(c) permanece igual.
V y U debido a cargas puntuales.
El campo eléctrico E y el potencial eléctrico V están relacionados 
según la ecuación:
además, sabemos que las líneas del campo eléctrico apuntan en la 
dirección en la que disminuye el potencial eléctrico.
Entonces, si se conoce el potencial eléctrico, puede utilizarse para 
calcular el campo eléctrico.
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Consideren un pequeño desplazamiento dl dentro de un campo 
eléctrico arbitrario E.
La variación del potencial eléctrico, o bien, la diferencia de 
potencial dV entre dos puntos separados por una distancia dl, se 
puede expresar como:
donde El es el componente de E paralelo al desplazamiento (si E y 
dl son paralelos, entonces θ = 0º y cosθ = 1)
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Por ejemplo, si el campo eléctrico E sólo tienen una componente 
Ex, entonces:
y, por lo tanto, la variación del potencial eléctrico se puede escribir 
como:
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Dividiendo por dl (o, en nuestro ejemplo, por dx), se obtiene:
Para nuestro ejemplo, significa que la componente x del campo 
eléctrico es igual al negativo de la derivada del potencial eléctrico 
respecto de x (afirmaciones similares se pueden hacer respecto de 
las componentes y y z).
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Estas ecuaciones, además, demuestran, matemáticamente, el hecho 
de que el campo eléctrico es una medida de la velocidad de cambio 
del potencial eléctrico con la posición.
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Experimentalmente, el potencial eléctrico y la posición se pueden 
medir con un voltímetro y una regla o un metro.
Consecuentemente, un campo eléctrico puede determinarse 
midiendo el potencial eléctrico en diferentes puntos dentro del 
campo y graficando los resultados.
De acuerdo a la ecuación:
la pendiente de una gráfica de V en función de x en un punto dado, 
proporciona la magnitud del campo eléctrico en dicho punto.
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Para el caso general, se puede establecer que si el desplazamiento 
dl es perpendicular al campo eléctrico, el potencial no varía.
La variación más grande de V se produce cuando el desplazamiento 
dl es paralelo o antiparalelo a E.
Un vector que señala en la dirección de la máxima variación de una 
función escalar y cuyo módulo (longitud del segmento que lo 
representa, i.e. proporcional al valor de su magnitud) es igual a la 
derivada de la función con respecto a la distancia en dicha 
dirección, se denomina gradiente (∇: operador gradiente) de la 
función.
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Si el vector campo eléctrico, o las líneas del campo eléctrico, 
apuntan en la dirección de máxima disminución de la función 
potencial eléctrico,
entonces el campo eléctrico E es opuesto al gradiente del potencial 
eléctrico V.
dónde, en notación vectorial y para un sistema coordinado 
Cartesiano
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Toda esta información es verdadera, al menos, matemáticamente, 
no se le puede encontrar objeción alguna.
Pero… sería conveniente demostrarla aplicando a ejemplos 
concretos los conceptos, definiciones y fórmulas que se han 
estudiado hasta el momento.
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Cuando una carga de prueba experimenta un desplazamiento dl a 
lo largo de una superficie equipotencial, entonces dV = 0 debido a 
que el potencial eléctrico es constante a lo largo de un superficie 
equipotencial.
De la ecuación:
podemos establecer que si dV = − E · dl = 0; entonces, E debe ser 
perpendicular al desplazamiento a lo largo de una superficie 
equipotencial (para que el resultado del producto punto sea cero, 
θ = 90º → cosθ = 0, pues E y dl son diferentes de cero)
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
El resultado anterior demuestra que las superficie equipotenciales 
siempre deben ser perpendiculares a las líneas de campo 
eléctrico que pasan a través de ellas.
Por ejemplo, las superficies 
equipotenciales para un campo 
eléctrico uniforme consisten de una 
familia de planos perpendiculares a 
las líneas de campo (ver figura).
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Por otra lado, si la distribución de carga que crea un campo 
eléctrico tiene una simetría esférica de tal manera que la densidad 
de carga volumétrica depende únicamente de la distancia radial r, 
entonces el campo eléctrico es radial.
Por ejemplo, el potencial eléctrico de una carga puntual es:
Debido a que el potencial eléctrico V es una función sólo de r, el 
potencial eléctrico tiene simetría esférica.
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Además, sabemos que el campo eléctrico debido a una carga 
puntual se define como:
es decir, la magnitud del campo eléctrico debido a una carga 
puntual sólo depende del cuadrado de r y, por lo tanto, el campo 
eléctrico E también tiene simetría esférica.
De hecho, se establece que las líneas de campo de una carga 
puntual apuntan radialmente hacia fuera para una carga positiva, y 
hacia dentro para una carga negativa.
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
La siguiente figura muestra las líneas de campo eléctrico debidas a 
una carga puntual q positiva situada en el origen.
Si se desplaza una carga de prueba 
perpendicularmente a estas líneas de 
campo, no se realiza trabajo y el 
potencial no varía (las superficiessobre las cuales el potencial eléctrico 
es constante se denominan superficies 
equipotenciales, y éstas son siempre 
perpendiculares a las líneas de 
campo eléctrico).
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Entonces, para el potencial eléctrico
producido por una carga puntual en el 
origen, las superficies equipotenciales 
son una familia de superficies 
esféricas concéntricas respecto a la 
carga puntual (el ejemplo más simple 
de una distribución de carga de 
simetría esférica) definidas por 
r = constante.
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
RECAPITULACIÓN: si las líneas de campo eléctrico correspondientes 
a una carga puntual son líneas radiales y las superficies 
equipotenciales a dicha carga puntual son esferas concéntricas 
debido a la simetría esférica de la función potencial eléctrico para 
una carga puntual (recuerden, sólo depende de r):
entonces el potencial eléctrico debido a una carga puntual sólo 
cambia en la dirección radial, i.e. no cambia en ninguna dirección 
perpendicular a r.
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Consecuentemente, un desplazamiento paralelo a un campo 
eléctrico radial se puede escribir en la forma:
y la variación del potencial eléctrico se convierte en:
Analicemos el producto punto en esta ecuación.
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
La magnitud de E es: ⏐E⏐ = Er debido a que se trata de un campo 
eléctrico radial.
La magnitud del vector unitario r es 1.
Como el desplazamiento es paralelos al campo eléctrico radial, 
θ = 0, por lo tanto: cosθ = 1.
De esta manera:
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Sustituyendo en la ecuación para la variación del potencial 
eléctrico para un desplazamiento paralelo a un campo eléctrico 
radial :
y, despejando la magnitud del campo eléctrico radial (originado 
por una carga puntual):
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Para cualquier distribución de carga esféricamente simétrica, el 
potencial varía sólo con r.
La relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico es:
En general, el potencial eléctrico es una función de las tres 
coordenadas espaciales (x, y, z).
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Si V(r) está dado en términos de las coordenadas cartesianas, las 
componentes del campo eléctrico Ex, Ey y Ez se pueden calcular 
fácilmente a partir de V(x,y,z) como las derivadas parciales:
Por lo tanto:
Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
Se puede calcular el potencial eléctrico debido a distribuciones 
continuas de carga de dos manera.
Si se conoce la distribución de carga se utiliza inicialmente la 
ecuación para el potencial eléctrico de una carga puntual
pero se considera que el potencial se debe a un pequeño elemento 
de carga dq (i.e. al elemento de carga dq se le asocia un 
comportamiento de carga puntual).
V y U :distribuciones continuas de carga.
La variación del potencial eléctrico dV en algún punto P debido al 
elemento de carga dq es:
donde r es la distancia desde el elemento de carga al punto P.
Para obtener el potencial eléctrico total en el punto P, se integra 
(de esta manera se incluye la contribución de todos los elementos 
de la distribución de carga).
V y U :distribuciones continuas de carga.
V y U :distribuciones continuas de carga.
Debido a que cada elemento es, en general, a una distancia 
diferente del punto P (i.e. es una variable, pues puede variar) y 
como ke es constante:
Se debe notar que esta expresión para el potencial eléctrico V
utiliza una referencia específica: el potencial eléctrico se considera 
que es cero cuando el punto P está infinitamente lejos de la 
distribución de carga.
V y U :distribuciones continuas de carga.
Por otra parte, si el campo eléctrico de la distribución continua de 
carga se conoce inicialmente, el potencial eléctrico debido a ésta se 
puede calcular a partir de:
Por ejemplo, si la distribución de carga tiene suficiente simetría, primero se 
evalúa E en algún punto utilizando la ley de Gauss y se sustituye su valor en 
la ecuación anterior para determinar la diferencial de potencial ΔV entre 
cualesquiera dos puntos. Finalmente se debe elegir que el potencial eléctrico 
V es cero en algún punto conveniente.
V y U :distribuciones continuas de carga.
Recordar que le potencial eléctrico es una cantidad escalar, no 
tiene componentes vectoriales.
Por lo tanto, al aplicar el principio de superposición para evaluar el 
potencial eléctrico en un punto debido a un sistema de carga 
puntuales, se utiliza la suma algebraica del potencial debido a cada 
carga.
Cuidado con los signos. El potencial eléctrico es positivo para 
cargas positivas y negativo para cargas negativas.
Pistas: cálculo del potencial eléctrico
Sólo son significativos los cambios en el potencial eléctrico (tal y 
como ocurre con la energía potencial gravitacional en la mecánica 
clásica).
Entonces, el punto donde el potencial es cero es una elección 
arbitraria.
Al tratar con cargas puntuales o una distribución de carga de 
tamaño finito, usualmente se define V = 0 en un punto 
infinitamente lejos de la(s) carga(s).
Pistas: cálculo del potencial eléctrico
Para evaluar el potencial eléctrico en algún punto P debido a una 
distribución continua de carga se divide la distribución de carga en 
elementos infinitesimales de carga dq localizados a una distancia r
del punto P.
Entonces, se considera un elemento de carga como una carga 
puntual.
Se obtiene el potencial eléctrico total en el punto P integrando dV
sobre toda la distribución de carga.
Pistas: cálculo del potencial eléctrico
Al integrar, es conveniente expresar dq y r en términos de una sola 
variable.
Para simplificar la integración, se debe analizar la geometría 
involucrada en el problema (hay que buscar siempre elementos de 
simetría).
Pistas: cálculo del potencial eléctrico
Otro método para obtener el potencial eléctrico debido a una 
distribución continua de carga finita supone considerar la 
definición de la diferencia de potencial (ΔV).
Si se conoce o se puede determinar fácilmente el E (ley de Gauss), 
se puede evaluar el negativo de la integral de E · dl.
Pistas: cálculo del potencial eléctrico
Cuando un conductor sólido está cargado y en equilibrio 
electrostático, la carga reside en su superficie externa, el campo 
eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie 
y el campo eléctrico dentro del conductor es cero
En cualquier punto sobre la superficie de un conductor 
cargado en equilibrio electrostático está al mismo potencial 
eléctrico.
V debido a un conductor cargado.
Consideren dos puntos A y B sobre la superficie 
de un conductor cargado (ver figura).
A lo largo de una trayectoria superficial 
que conecte dichos puntos, E siempre 
es perpendicular al desplazamiento dl; 
entonces, E · dl = 0; y la diferencia de 
potencial eléctrico entre A y B es 
necesariamente cero.
V debido a un conductor cargado.
Esta resultado aplica a cualesquiera dos puntos sobre la superficie. 
Por lo tanto, el potencial eléctrico V es constante en cualquier 
puntos sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio 
electrostático.
La superficie de cualquier conductor cargado en equilibrio 
electrostático es una superficie equipotencial. Además, debido 
a que el campo eléctrico es cero dentro del conductor, se puede 
concluirque el potencial eléctrico es constante en cualquier 
punto dentro del conductor e igual a su valor sobre la 
superficie.
V debido a un conductor cargado.
Consecuentemente, no se requiere efectuar ningún trabajo para 
mover una carga de prueba desde el interior de un conductor 
cargado hasta su superficie.
V debido a un conductor cargado.
Por otro lado, cuando una carga neta se coloca en un conductor 
esférico, la densidad de carga superficial es uniforme (i.e. la carga 
está distribuida uniformemente sobre toda la superficie).
Sin embargo, si el conductor no es esférico, la densidad de carga 
superficial es mayor donde el radio de curvatura es pequeño, y es 
menor donde el radio de curvatura es grande.
V debido a un conductor cargado.
Debido a que el campo eléctrico justo 
fuera del conductor es proporcional a la 
densidad de carga superficial: el campo 
eléctrico es mayor cerca de los puntos 
convexos con radio de curvatura 
pequeño, alcanzando valores muy 
grandes en zonas puntiagudas.
La densidad de líneas de campo eléctrico es 
mayor en la punta aguda del conductor a la 
izquierda y en los extremos muy curvados 
del conductor de a derecha.
V debido a un conductor cargado.
La siguiente figura muestra las líneas de campo alrededor de dos 
conductores esféricos: uno con una carga neta Q (positiva), y otro 
más grande (en tamaño) con una carga neta de cero.
En esta caso, la densidad 
de carga superficial no es 
uniforme en ninguno de 
los conductores
V debido a un conductor cargado.
La esfera de carga neta de cero tiene una carga negativa inducida 
en el lado que da hacia la esfera cargada y una carga positiva 
inducida en el lado opuesto a la esfera cargada.
Las líneas punteadas azules 
representan la sección 
transversal (i.e. intersección 
con la pantalla) de las 
superficies equipotenciales 
para esta configuración de 
carga.
V debido a un conductor cargado.
Efectivamente, las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a 
las superficies conductoras en todos los puntos., y las superficies 
equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico 
en todo el espacio.
V debido a un conductor cargado.
Supongan un conductor de forma arbitraria y con una cavidad (ver 
figura)
Asuman que no hay cargas dentro de la cavidad.
En este caso, el campo eléctrico dentro 
de la cavidad debe ser cero, 
independientemente de la distribución 
de carga fuera del conductor.
Además, el E en la cavidad es cero 
aunque exista un campo eléctrico 
fuera del conductor.
V debido a un conductor cargado.
Para probar este punto, se utiliza el hecho de que cualquier punto 
sobre el conductor está al mismo potencial eléctrico, y por lo tanto, 
cualesquiera dos puntos A y B sobre la superficie de la cavidad 
deben de estar al mismo potencial eléctrico.
Imaginar que un campo eléctrico E existe 
en la cavidad y evaluar la diferencia 
de potencial VB − VA:
V debido a un conductor cargado.
Debido a que VB − VA = 0, el negativo de la integral de E · dl debe 
ser cero para todas las trayectorias entre cualesquiera dos puntos A
y B en el conductor.
La única manera mediante la cual lo anterior puede ser verdad para 
todas las trayectorias es si E es cero en 
toda la cavidad.
Una cavidad rodeada de una 
pared conductora es un región 
libre de campo eléctrico siempre 
y cuando no haya cargas dentro 
de la cavidad.
V debido a un conductor cargado.
	Potencial Eléctrico
	Introducción
	Introducción
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	Introducción
	Introducción
	Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
	Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
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	Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
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	Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
	Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
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	Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
	Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
	Potencial Eléctrico y Diferencia de Potencial
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Diferencias de Potencial en un E uniforme
	Superficies Equipotenciales
	Superficies Equipotenciales
	V y U debido a cargas puntuales.
	V y U debido a cargas puntuales.
	V y U debido a cargas puntuales.
	V y U debido a cargas puntuales.
	V y U debido a cargas puntuales.
	V y U debido a cargas puntuales.
	V y U debido a cargas puntuales.
	V y U debido a cargas puntuales.
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	Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
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	Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
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	Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
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	V y U :distribuciones continuas de carga.
	V y U :distribuciones continuas de carga.
	V y U :distribuciones continuas de carga.
	V y U :distribuciones continuas de carga.
	V y U :distribuciones continuas de carga.
	Pistas: cálculo del potencial eléctrico
	Pistas: cálculo del potencial eléctrico
	Pistas: cálculo del potencial eléctrico
	Pistas: cálculo del potencial eléctrico
	Pistas: cálculo del potencial eléctrico
	V debido a un conductor cargado.
	V debido a un conductor cargado.
	V debido a un conductor cargado.
	V debido a un conductor cargado.
	V debido a un conductor cargado.
	V debido a un conductor cargado.
	V debido a un conductor cargado.
	V debido a un conductor cargado.
	V debido a un conductor cargado.
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