TEORIA 2 - CAMPO ELECTRICO

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1
Campo Eléctrico
La noción física de campo se corresponde 
con la de un espacio dotado de propiedades 
medibles.
En el caso de que se trate de un campo de 
fuerzas éste viene a ser aquella región del 
espacio en donde se dejan sentir los efectos 
de fuerzas a distancia.
Campo Eléctrico
El espacio que rodea a un cuerpo cargado cualquiera parece 
estar afectado por este cuerpo y a este espacio lo llamaremos 
campo eléctrico. Podemos decir también que el campo eléctrico 
asociado a una carga aislada o a un conjunto de cargas es 
aquella región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. 
¿Como nos damos cuenta?Colocamos un cuerpo cargado en el espacio a analizar y vemos que pasa 
eF
r
Campo Eléctrico
Todo campo físico queda caracterizado por sus 
propiedades.
En el caso del campo eléctrico, una forma de 
describir las propiedades del campo sería indicar la 
fuerza que se ejercería sobre un mismo cuerpo 
de prueba que tenga una carga 
La carga de referencia más simple es la carga 
puntual (masa despreciable) con carga positiva.
0q
eF
Campo Eléctrico
La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del 
campo se ejerce sobre la carga de prueba positiva, 
tomada como elemento de comparación, recibe el 
nombre de intensidad del campo eléctrico y se 
representa por la letra 
E
r
Definimos campo eléctrico como:
0q
FE e
r
r
=
Campo Eléctrico
Por tratarse de una fuerza (vector) por unidad de 
carga (escalar) la intensidad del campo eléctrico es 
una magnitud vectorial que viene definida por su 
módulo y por su dirección y sentido. 
→eF
0q
FE e
r
r
=
E
Fuerza eléctrica en el punto
→0q Carga de prueba
Campo Eléctrico
Podemos decir entonces que el campo eléctrico en 
un punto es distinto de cero si una carga de prueba 
situada en dicho punto siente una fuerza eléctrica
Para que la carga de prueba no modifique el campo 
eléctrico se tiene que cumplir que:
0
00
lim
q
FE e
q
r
r
→
=
Es decir la carga tiene que ser 
muy pequeña a fin de no modificar el 
campo que se quiere poner en 
evidencia
Por convención la carga de prueba es 
siempre positiva
0q
2
Campo Eléctrico
Conociendo en campo eléctrico, en un punto 
podemos conocer la fuerza eléctrica sobre una 
carga en dicho punto
EqFe
rr
*=
Las unidades del campo eléctrico en el S.I. serán
[ ] [ ][ ]
[ ]
[ ] C
N
Coulomb
Newton
q
FE ===
r
r
Campo Eléctrico
Campo eléctrico de una carga puntual
0q
FE e
r
r
=
0
1
q rr
qq r
2
0
04
1
πε
=
r
r
q r
2
04
1
πε
=E
r
Simplificando
Sistema de N cargas puntuales
Supongamos que tenemos ahora un sistema de N 
cargas puntuales. La fuerza que actuará sobre una 
carga de prueba situada en un punto P del espacio 
estará dada 
n
n
n
e rr
qqr
r
qqr
r
qqF rrr
r
2
0
0
22
2
20
0
12
1
10
0 4
1......
4
1
4
1
πεπεπε
+++=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++= n
n
n
e rr
qr
r
qr
r
qqF rrr
r
222
2
2
12
1
1
0
0 ......
4πε
Sistema de N cargas puntuales
∑
=
=
n
i
i
i
i
e rr
qqF
1
2
0
0
4
rr
πε
∑∑
==
===
n
i
i
n
i
i
i
ie Er
r
q
q
FE
11
2
00 4
1 rr
r
r
πε
Ejemplo:
1q 2q
α β
0q
2E
r 1E
r
1q 21 2qq =y ambas positivas con 2q 21 EEET
rvr
+=
yx EEE 111
rvr
+=
isen
r
qE x
rr
α
πε 21
1
0
1 4
1
=
j
r
qE y
rr
α
πε
cos
4
1
2
1
1
0
1 =
isen
r
qE x
rr
β
πε 22
2
0
2 4
1
=
j
r
qE y
rr
β
πε
cos
4
1
2
2
2
0
2 =
yx EEE 222
rvr
+=
1q 2q
α β
0q
2E
r 1E
r
xxTx EEE 21
rvr
+=
22
yxT EEE +=
TE
r
y
x
E
Earctg=δ
yyTy EEE 21
rvr
+=
3
Dipolo eléctrico
21 EEET
rrr
+=
021 =+= xxTx EEE
rrr
yyyTy EEEE 121 2
rrrr
=+=
q−
q
α P
2E
r
1E
r
α
Dipolo eléctrico
yT EE
rr
2=
a
αcos1EEy =
22
cos
ra
a
+
=α
( ) 22022201 4
1
4
1
ra
q
ra
qE
+
=
+
=
πεπε
q−
q
α P
2E
r
1E
r
αr
TE
r
Dipolo eléctrico
( ) 22022201 4
1
4
1
ra
q
ra
qE
+
=
+
=
πεπε
2222
0
1 4
12cos22
ra
a
ra
qEEE yT
++
===
πε
α
aq2=ρ
3
0
2
4
1
r
aqEar T πε
≅⇒>>
( )2
3
220
1
4
2
ra
aqET
+
=
πε
Llamamos a momento de dipolo eléctrico
Dipolo eléctrico
3
04
1
r
ET
ρ
πε
≅
3
1
r
ET ∝
2
1
r
ET ≅
Vemos entonces que para el dipolo eléctrico el campo eléctrico 
varia 
Mientras que para la carga eléctrica lo hace 
Distribuciones de Carga
qΔ
Q
iii EFq
rr
Δ→Δ→Δ
i
n
i i
i r
r
qE r
r
∑
=
Δ
≈
1
2
04
1
πε
i
i
i
i rr
qE r
r
2
04
1 Δ
=Δ
πε
Distribuciones de Carga
0→Δ iq ii dEE r
r
→Δ
∫∫∫ ===
VVV
i rr
dqr
r
dqEdE rr
rr
2
0
2
0 4
1
4
1
πεπε
i
i
i
i
i
i
qi
r
r
dqr
r
qEd
i
rrr
2
0
2
0
0 4
1
4
1lim
πεπε
=
Δ
=
→Δ
4
Distribuciones continuas de carga
λ
σ
ρ
( ) dV
r
rEdVrdq
V
∫=→= 2
0
)(
4
1 ρ
πε
ρ
r
Para una densidad volumétrica de carga será
Para una densidad superficial de carga será
Para una densidad lineal carga será
( ) dS
r
rEdSrdq
S
∫=→= 2
0
)(
4
1 σ
πε
σ
r
( ) dL
r
rEdVrdq
L
∫=→= 2
0
)(
4
1 λ
πε
λ
r
Distribuciones continuas de carga
Ejemplo: Campo eléctrico de una varilla cargada
Una varilla de longitud esta cargada con una densidad lineal de carga
uniforme, siendo la carga total Calcularemos el campo eléctrico en 
un punto situado a lo largo del eje de la varilla, a una distancia de 
un extremo
l
Q
λ
P a
la
E
r
P
Q
dx
dq
dxdq λ=
la
E
r
x
P
Q
2
0
2
0
2
0 44
1
4
1
x
dx
x
dx
x
dqdE
πε
λλ
πεπε
===
( )ala
lE
+
=
04πε
λ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−==⇒= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−∫
+
+
ala
E
x
dxE
x
al
a
al
a
11
444 00
2
0
1
πε
λ
πε
λ
πε
λ
2
04 a
lEla
πε
λ
=⇒>>Si
Campo eléctrico de un anillo cargado uniformemente
Q
a
x
Un anillo de radio esta cargado positivamente de manera uniforme, 
con una carga total Calcularemos el campo eléctrico en un punto 
situado sobre el eje del anillo a una distancia del centro del mismo
P
Las componentes en Y se anulan, solo 
quedan componentes en X
2
04
1
r
dqdE
πε
=
Campo eléctrico de un anillo cargado 
uniformemente
0=yE
yy dEdE 21 −=
θcosdEdEx =
xT EE
vr
=
3
0
2
0
2
0 4
1
4
1cos
4
1cos
r
xdq
r
x
r
dq
r
dqdEdEx πεπε
θ
πε
θ ====
22 axr +=
( ) ( )
Q
ax
xdq
ax
xdEE
QQ
xx
2
32202
3220 4
1
4
1
+
=
+
== ∫∫ πεπε
( )
⇒
+
= dq
ax
xdEx
2
32204
1
πε
5
Líneas de Campo Eléctrico
Es una representación grafica, no son reales, permiten visualizar 
el campo eléctrico.
El vector del campo eléctrico es tangente a la línea de campo 
eléctrico en cada punto
El número de líneas de campo eléctrico por unidad de superficie 
perpendicular a dichas líneas es proporcional a la magnitud del 
campo en esa región del espacio
En donde las líneas están muy cercanas, el campo es grande y en 
donde están separadas es pequeño.
Líneas de Campo Eléctrico
A
La misma cantidad de líneas atraviesan las 
superficie y B
Pero los efectos del campo eléctrico son 
mayores en la superficie ya que
hay mayor densidad de líneas de campo
AA
B
Líneas de Campo Eléctrico
Líneas de campo eléctrico de una carga puntual
-
q+
+
q−
Líneas de Campo Eléctrico
Líneas de campo eléctrico de un dipolo eléctrico
Las líneas de campo salen de 
la carga positiva y mueren en la 
carga negativa, el espacio entre 
las dos cargas tiene mayor 
campo eléctrico
Líneas de Campo Eléctrico
Líneas de campo eléctrico de dos cargas puntuales positivas
En el espacio entre las dos 
cargas el campo eléctrico total 
es nulo
Líneas de Campo Eléctrico
La carga positiva es el 
doble de la carga negativa
6
Líneas de Campo Eléctrico
Una varilla larga cargada
+
+
+
+
+
+
+
Para una varilla cargada 
uniformemente el campo 
es normal a la varilla y 
constante
Movimiento de una partícula cargada 
en un campo eléctrico uniforme
vr0=v m
Eqa
r
r
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
_
_
_
_
_
_
_
_
_
+
EqFe
rr
=E
r
amr= ⇒
cteacteE =⇒= r
r
22
2
1
2
1 t
m
qEatx ==
t
m
qEatv ==
Movimiento de una partícula cargada 
en un campo eléctrico uniforme
ctevv ix ==
j
m
eEaa y
rrr
−==
t
m
eEtav yy −==
+ + + + + + + + +
tvx i=
E
r
_
__ _ _ _ _ _ _ _ _ 
22
2
1
2
1 t
m
eEtay y −==
Tubo de rayos catódicos (TRC)
Flujo de Campo Eléctrico
Este concepto se origina en la Teoría de los Fluidos, donde flujo 
significa la rapidez con que un fluido pasa a través de una superficie 
imaginaria.
El flujo de un campo vectorial involucra: el campo vectorial y 
una superficie en la cual el flujo es evaluado.
Para obtener el flujo a través de una superficie representamos a la 
superficie mediante el vector superficie 
Para una superficie plana el vector superficie tendrá un modulo 
igual al área de la superficie y como dirección perpendicular 
a esta superficie 
Φ
SΔ
Flujo de Campo Eléctrico
El flujo será el producto escalar entre ambos vectores
αcos** SESxEE Δ=Δ=Φ
rr
Si cteE =
r
cteS =Δ
ESE *Δ=Φ
090=α
E
r
7
090cos** 0 =Δ=Δ=Φ SESxEE
rr
022cos** SESxEE Δ=Δ=Φ
rr
045cos** SESxEE Δ=Δ=Φ
rr
Flujo de Campo Eléctrico
αcos** SESxEE Δ=Δ=Φ
rr
022=α 045=α 090=α
E
r
S
r
Δ
Flujo de Campo Eléctrico
Si la superficie es curva o el campo eléctrico varía punto a 
punto sobre la superficie, el flujo se obtiene dividiendo la 
superficie en pequeños elementos, tan pequeños que 
puedan considerarse planos, y que el campo eléctrico no 
varíe en su superficie 
El flujo total será la suma de todas las contribuciones de 
flujo a través de cada uno de los elementos de superficie 
∑
=
Φ=Φ
n
i
iT EE
1
Flujo de Campo Eléctrico
∑
=
Φ=Φ
n
i
iT EE
1
Flujo de Campo Eléctrico
En el limite en que el tamaño de cada elemento se 
aproxima a cero y el numero de elementos a 
infinito, la suma se convierte en una integral 
∫=Φ SxdEE
rr
Flujo de Campo Eléctrico
E
r
∑ ∫→
→Δ
∞→
SdS
n
rr
∑ ∫
=
→Δ
=Δ=Φ
n
i S
ST
SxdESxEE
10
lim
rrrrSxEET
rr
=Φ ∑∑
==
Δ=Φ=Φ
n
i
i
n
i
iT SxEEE
11
rr
S
r
Δ
Flujo de Campo Eléctrico
θcos**2 AEAxEE ==Φ
rr
0=Φ TE
02121 =Φ+Φ=Φ⇒Φ−=Φ EEEEE T
θcos**1 AEAxEE ′=′=Φ
rr
8
Superficie Cerrada Flujo de Campo Eléctrico
∫
∫
=
==Φ
S
S
dSE
SxdEE
θcos**
rr
Flujo de Campo eléctrico
E
r
LS
dS
iS
Flujo de Campo eléctrico
Ldi SSST
EEEE Φ+Φ+Φ=Φ
dddS SESESxEE d *180cos**
0 −===Φ
rr
090cos** 0 ===Φ LLS SESxEE L
rr
iiiS SESESxEE i *0cos**
0 ===Φ
rr
0*0* =−+=Φ+Φ+Φ=Φ SESEEEEE
Ldi SSST
0=Φ TE
Ley de Gauss
La ley de Gauss puede ser enunciada de la siguiente 
manera: el flujo eléctrico a través de una 
superficie cerrada arbitraria es proporcional a la carga 
neta encerrada.
∑∝Φ qE
EΦ
∫ ∑∑ =⇒=Φ
S
q
SxdE
q
E
00 εε
rv
Para la igualdad será
Ley de Gauss
Resumiendo la ley de Gauss dice que “ el flujo eléctrico a través 
de una superficie cerrada arbitraria es igual a la carga neta 
encerrada por dicha superficie dividida por “0ε
∫ ∑=
S
q
SxdE
0ε
rv
9
Ley de Gauss
∑q
Donde la superficie cerrada (superficie gaussiana) puede tener cualquier
forma y tamaño y el termino representa la carga neta 
contenida en el volumen que encierra la superficie. 
El seleccionar la forma y el tamaño adecuados de una superficie 
gaussiana es una de las claves principales para la utilización correcta de la 
Ley de Gauss. Es muy útil para situaciones de alta simetría
Ley de Gauss y Ley de Coulomb
qSxdEqSxdE
SS
∫∫ =⇒=
rvrv
0
0
ε
ε
2
0
0
0
*
4
1
r
qqFEqF ee πε
=⇒=
qrEqdSE
S
=⇒=∫ 200 4*** πεε
∫∫ ⇒=
SS
dSESxdE 000 0cos**εε
rv
2
04
1
r
qE
πε
=
Ley de Gauss
i
i
i Sr
qE 2
04πε
−=Φ
0=Φ LE
e
e
e Sr
qE 2
04πε
=Φ
 El campo eléctrico esta 
creado por una partícula 
cargada exterior al 
bloque.
La superficie cerrada esta 
formada por dos 
casquetes esféricos con 
centro en la partícula y 
cuatro planos laterales 
alineados radialmente
con la partícula.
ii
i
i
i
e
e
e
e
e ESr
qS
r
r
r
qS
r
qE Φ−=−=−=−=Φ 2
0
2
2
2
0
2
0 444 πεπεπε
i
iSiS S
i Sr
qdS
r
qdSESxdEE
ii i
2
0
2
0 44
*180cos*
πεπε
−=−===Φ ∫∫ ∫
rr
e
eSeS S
e Sr
qdS
r
qdSESxdEE
ee e
2
0
2
0
0
44
*0cos*
πεπε ∫∫ ∫ ====Φ
rrComo los dos casquetes están limitados por 
los mismos planos radiales, la relación entre 
sus áreas es igual a la relación entre el 
cuadrado entre sus radios, es decir 
2
2
i
e
i
e
r
r
S
S
= 00 =−+Φ=Φ+Φ+Φ=Φ iieLiT EEEEEE
Ley de Gauss
El flujo neto es cero, ya que el flujo que atraviesa el casquete
interior es el que también atraviesa el casquete exterior, pero 
cambiado de signo
Una superficie de cualquier forma puede ser construida con un 
numero infinito de casquetes esféricos y lados planos radiales 
de tamaño infinitesimal
0=Φ TE
Ley de Gauss
Flujo a través de una superficie arbitraria debido a una 
partícula cargada interior
0
2
2
0
4**
4
1*
ε
π
πε
qE
r
r
qSEE
=Φ
==Φ
Ley de Gauss
Como el valor de es independiente del radio de la esfera, el 
flujo será el mismo para una esfera de cualquier radio.
Por otra parte, cualquier superficie de forma arbitraria puede 
obtenerse como límite de un número infinito de casquetes
esféricos y planes radiales infinitesimales, entonces podemos 
afirmar que el flujo eléctrico a través de una superficie 
gaussiana de forma arbitraria debido a una partícula cargada 
encerrada en su interior será siempre:
0ε
qE =Φ
10
Ley de Gauss
Superficies 
cerradas de varias 
formas que 
encierran una 
carga 
El flujo eléctrico 
neto a través de 
cualquiera de ellas 
es el mismo
Ley de Gauss
∫∫∫ ++=Φ
SSS
T SxdESxdESxdEE
rrrrrrr
321
321 EEEET
rrrr
++=
∑
=
=++=Φ
n
i
qqqE
1 0
1
0
2
0
1 0
εεε
Ley de Gauss
Campo debido a una distribución lineal de cargas
+ 
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
E
r
λ
∫∫ +=Φ SupTapasLateralSup dSEdSEE
0
.
0 90cos**20cos**
∫ =+=Φ LateralSup rLEdSEE . 20* π
00
2
ε
λπ
ε
λ LrLELE =⇒=Φ
Aplicando la Ley de Gaus
r
E
02πε
λ
=
Propiedades electroestáticas de un 
conductor
En electrostática, es dentro del conductor.
No puede haber exceso de carga en ningún punto interior del 
conductor: la densidad de carga volumétrica debe ser cero para 
cualquier parte del conductor. 
Si la carga neta no puede estar dentro del conductor significa que 
las cargas se ubican en la superficie, y distribuidas de manera que 
en el interior del conductor el campo eléctrico se anule 
En el interior del conductor 
0=E
r
000 =⇒=Φ⇒= EEQ
r
0=ρ
Propiedades electroestáticas de un 
conductor
En la zona exterior inmediata a la superficie el campo eléctrico 
debe ser perpendicular a ella, dado que si tuviera una 
componente tangencial, la misma provocaría que las cargas 
superficiales se moviesen en respuesta a la fuerza tangencial 
resultante. 
Por tanto, en un conductor en equilibrio en su superficie el 
campo es perpendicular. La dirección del campo será hacia 
fuera si las cargas superficiales son positivas, caso contrario,
hacia adentro.
Propiedades electroestáticas de un 
conductor
∫∫ ∫ ∫ ++==Φ
ExteriorTSupS LateralSup InteriorTSup
SxdESxdESxdESExdE
... ..
rrrrrrr
∫ ∫ Δ==++=Φ
ExteriorTSup ExteriorTSup
SEEdSSExdE
.. ..
00
r
Sq∑ Δ= *σ
Conductor cargado
Superficie Gaussiana
SΔ
0
*
ε
∑=Δ=Φ qSEE
00
**
ε
σ
ε
σ
=⇒
Δ
=Δ=Φ ESSEE
Aplicando la Ley de Gauss
El campo eléctrico 
debido a un 
conductor cargado 
será entonces
0ε
σ
=E