Cálculo de volumen de agua en Laguna Yalca

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Ejercicio Adicional:
1) Dada la siguiente tabla de
valores correspondiente a
mediciones efectuadas en la
Laguna Yalca (Pdo.
Chascomús), se requiere
calcular una estimación del
volumen de agua disponible
(H m3) en la misma cuando la
cota de la superficie es de
7,97m, aplicando: a) Regla del
Trapecio. b) Fórmula de
Simpson
Cota[m] Área[km2]
7.97 10.938
7.27 5.175
6.87 2.588
6.67 0.179
6.62 0.072
Nota: para obtener intervalos iguales, ajustar una recta a los puntos dados, y
después recién proceder al cálculo de volumen.
Resolución:
a) Para estimar el volumen de agua disponible por la Regla del Trapecio primero
vamos a encontrar un valor de x (es la cota) entre 6.87 y 7.27; y un valor de
y (es el á rea) entre 2.588 y 5.175, que luego nos permita aplicar la regla del trapecio
múltiple entre 6.67 y 7.27.
Para ello calculamos la cota intermedia entre 6.87 y 7.27.
x4=
6.87+7.27
2
=7.07
Y para calcular el valor de “y” correspondiente a x4=7.07, utilizaremos la
Interpolación Polinomial de Newton:
1
Cota[m] Área[km2]
7.97 10.938
7.27 5.175
7.07 y4
6.87 2.588
6.67 0.179
6.62 0.072
Script de Matlab que me permite realizar la Interpolación Polinomial:
%interpolacion de newton
function [yi, p, b]=pol_newton(x,y,xi)
%inicializa variables
n=length(x);
b=zeros(n);
b(:,1)=y(:);
%obtener la tabla de diferencias
for j=2:n
 for i=1:n-j+1
 b(i,j)=(b(i+1,j-1)-b(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));
 end
end 
%calcular el dato interpolado
xt=1;
yi=b(1,1);
for j=1:n-1
 xt=xt.*(xi-x(j));
 yi=yi+b(1,j+i)*xt;
end
%construir el polinomio
p=num2str(b(1,1));
xx=x*-1;
for j=2:n
 signo='';
 if b(1,j)>=0
 signo='+';
 end
 xt='';
 for i=1:j-1
 signo2='';
 if xx(i)>=0
 signo2='+';
 end
 xt=strcat(xt,'*(x',signo2,num2str(xx(i)),')');
 end
 p=strcat(p,signo,num2str(b(1,j)),xt);
end
 
A continuación calculamos el valor de “Y” que nos permita aplicar la regla del trapecio
múltiple entre 6.87 y 7.27.
2
Encontramos el valor de y4=5.0113
Cota[m] Área[km2]
7.97 10.938
7.27 5.175
7.07 y4 = 5.0113
6.87 2.588
6.67 0.179
6.62 0.072
Aquí encontramos la función genérica:
3
def = 0.072+2.14*(x-6.62)+39.62*(x-6.62)*(x-6.67)-75.2551*(x-6.62)*(x-6.67)*(x-6.87)+61.9558*(x-6.62)*(x-
6.67)*(x-6.87)*(x-7.27)
Guardamos la función en una variable p:
Corroboramos el valor de y4 :
Graficamos la función:
4
Ahora tenemos los datos que nos permiten aplicar la Regla del Trapecio entre 6.62-
6.67; y 7.27-7.97. Y podemos aplicar la Regla del Trapecio Múltiple entre 6.67-7.27
5
Por Regla del Trapecio:
a) Regla del Trapecio Simple
I 1=
h
2
∗[ f (xo )+ f (xn ) ]
I 1=
a−b
2
∗[ f (xo )+ f (xn ) ]
I 1=
6.67−6 .62
2
∗[0.072+0.179 ]
I 1=6.275∗10
−3
Solución Analítica = 0.000491515
E1=|0.000491515−6.275∗10
−3|=5.783485∗10−3
b) Regla del Trapecio Simple
I 3=
h
2
∗[ f ( xo )+ f (xn ) ]
I 3=
a−b
2
∗[ f ( xo )+f (xn ) ]
I 3=
7.97−7.27
2
∗[5.175+10.938 ]
I 3=
7.97−7.27
2
∗[5.175+10.938 ]
I 3=5.63955
Solución Analítica = 2.57801
E3=|2.57801−5.63955|=3.06154
El error es muy grande debido a que no poseemos la función original.
Pero si trabajamos con un h=0.1, obtenemos un error mucho menor (suponiendo
que nuestro polinomio se acerca mucho a la función original.
Entonces: I 3=
h
2
∗[ f (x0)+2∑
i=1
n−1
❑ f (xn)+ f (xn )]
Script:
6
%codigo para calcular mediante
trapecio múltiple
clc
f=input('Ingrese la funcion \n f(x)=','s');
a=input('ingrese el limite inferior de la integral\n');
b=input('ingrese el limite superior de la integral\n');
n=input('ingrese el numero de intervalos\n');
% f funcion
% a,b intevalo
% n numero partes
disp('Funcion: ');
f
disp(strcat('De [a: ',num2str(a),'Hacia b : ',num2str(b),']'));
g=inline(f);
h=(b-a)/n;
aprox=g(a)+g(b);
for i=1:n-1
x=a+i*h;
aprox=aprox+2*g(x);
end
aprox=(h/2)*aprox;
a=0;
disp(aprox)
I 3=2.6474
E3=|2.57801−2.6474|=0.06939
c)
I 2=
h
2
∗[ f ( x0 )+2∑
i=1
n−1
❑ f (xn)+ f (xn) ]
7
El intervalo I 2 es calculado mediante la Regla del Trapecio Múltiple, usando
MATLAB.
I 2=2.0553
E2=|2.09356−2.0553|=0.03826
I=I 1+ I 2+ I3
i) Con I 3=5.63955
I=6.275∗10−3+5.63955+2.0553
I=7.701125
E=3.136713485
ii) Con I 3=2.6474
I=6.275∗10−3+2.6474+2.0553
I=4.708975
E=0.144563485
b) Para estimar el volumen de agua disponible por la Regla de Simpson primero
delimitaremos los intervalos para poder aplicar correctamente este método.
Cota[m] Área
7.97 10.938
7.62 1.6820
7.27 5.175
8
7.07 5.0113
6.87 2.588
6.67 0.179
6.645 0.0847
6.62 0.072
Script que permite realizar la Integración Numérica con Simpson 3/8:
function ('Bienvenido, este programa usa la regla del Simpson 3/8 para
aproximar el valor de una integral definida');
g=input('Ingrese la funcion: ','s');
f=inline(g);
a=input('Ingrese el extremo inferior de la integral');
b=input('Ingrese el extremo superior de la integral');
k=input('Ingrese la cantidad de veces que desea aplicar el método: ');
n=3*k;
h=(b-a)/n;
A=0;
for i=1:k
 A=A+((3*h)/8)*(f(a)+3*f(a+h)+3*f(a+2*h)+f(a+3*h));
 a=a+3*h;
end
 fprintf('El valor aproximado de la integral es: %f', A);
end
- Vamos a calcular con Simpson 3/8 en el intervalo [6.62-6.67]
I 1=0.004915
Solución Analítica = 0.000491515
E1=|0.000491515−0.004915|=0.000000015
- Vamos a calcular con Simpson 3/8 en el intervalo [6.67-7.27]
9
I 2=2.093627
Solución Analítica:
I 2=2.09356
E2=|2.09356−2.09627|=0.00271
- Vamos a calcular con Simpson 3/8 en el intervalo [7.27-7.97]
I 3=2.578157
Solución Analítica = 2.57801
E3=|2.57801−2.578157|=0,000147
I=I 1+ I 2+ I3
I=0.004915+2.093627+2.578157
I=4.676699
El error total es:
E=E1+E2+E3
E=0,002857015
Conclusiones:
● El método de Simpson 3/8 nos ofrece un error menor al obtenido por la
Regla del Trapecio, es decir, que Simpson 3/8 es más preciso teniendo en
cuenta la función obtenida a partir de la Interpolación Polinomial de
Newton.
● Volumen estimado por la Regla del Trapecio: 
10
I=4.708975
● Volumen estimado por la Regla del Simpson 3/8: 
I=4.676699
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