Integración Numérica

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Integración Numérica
Matemáticamente, la integración se representa por :
que representa a la integral de la función f(x) con respecto a la variable x, evaluada entre los límites x = a e y = b.
El signicado de la ecuación es el valor total o sumatoria de f(x)dx sobre el intervalo de x = a a x = b. 
La figura representa que para las funciones que se encuentran sobre el eje x, la integral expresada por la ecuación 
corresponde al área bajo la curva de f(x) entre x = a y x = b.
Cuando surge la necesidad de evaluar la integral definida de una función que no tiene una primitiva explícita o cuya primitiva tiene valores que no son fácilmente obtenibles, como pueden ser la función de error, combinaciones algebraicas de funciones trascendentes y logarítmicas o la función gamma de Euler, etc. 
Cuando únicamente conocemos el valor de la función en un conjunto de puntos (xi; fi), como ocurre con los resultados de un experimento o de simulaciones numéricas, sus integrales sólo se pueden obtener numéricamente, lo cual motiva aún más la necesidad de poder obtener derivadas e integrales a partir de conjuntos discretos de datos.
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Cuando usar Integración Numérica?
El método básico involucrado para aproximar se conoce como cuadratura numérica y se a basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar, las funciones aproximadas son los polinomios de interpolación.
Las distintas fórmulas de interpolación darán por resultado distintos métodos de integración numérica. 
Consideraremos las fórmulas que se obtienen usando polinomios de Lagrange de primero y segundo grado con nodos uniformemente espaciados. 
Estas fórmulas son la regla del trapecio y la regla de Simpson, que son ejemplos de un tipo de métodos conocidos como fórmulas de Newton-Cotes. 
Hay dos tipos de fórmulas de Newton Cotes:
	- Las fórmulas abiertas y 
	- Las fórmulas cerradas. 
Las fórmulas cerradas son aquellas donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. 
Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales
Para derivar la regla del trapecio para aproximar , sean a 
) 
Por lo tanto ) 
Recordemos el Teorema del valor medio ponderado para integrales, para obtener el término del error, Si f es continua en [a,b], entonces existe un número c, 
La razón por la cual esta fórmula se llama la regla del trapecio es que, cuando f es una función con valores positivos se puede aproximar calculando el área del trapecio mostrado en la siguiente figura:
Nótese que la regla del trapecio dará el resultado exacto cuando se aplique a cualquier función cuya segunda derivada sea idénticamente cero, o sea, cualquier polinomio de grado uno o menor
Regla del Trapecio usando segmentos múltiples. (Regla del Trapecio Extendido)
Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es la de dividir el intervalo de integración en un conjunto de segmentos y aplicar el método a cada uno de los segmentos, ver próxima figura. 
Se suman las áreas de los segmentos individuales y se obtiene la integral sobre el intervalo completo.
Dados n + 1 puntos base igualmente espaciados (x0; x1; x3; x4; ….; xn) . Por consiguiente, hay n segmentos de igual longitud . 
Si a= x0, b= xn la integral Total se representa como:
 
El error en la regla trapezoidal múltiple se obtiene sumando los errores individuales de cada uno de los segmentos, dando: 
f’’(i), es evaluada en el punto i localizado dentro del segmento i. Este resultado se simplifica calculando: la media o el valor promedio de la derivada sobre el intervalo completo
Reemplazando en la ecuación del error 
De manera que, si el número de segmentos se duplica, el error de truncamiento disminuye a un cuarto de su valor. La última ecuación nos proporciona un error aproximado debido a la naturaleza aproximada de la ecuación.
REGLA DE SIMPSON
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más nos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. 
Por jemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces se pueden conectar los tres puntos con una parábola ver gura 28. 
Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), entonces los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden ver gura 29. A los polinomios resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
REGLA DE SIMPSON DE 1/3
La regla de Simpson de 1/3 resulta de integrar un polinomio de Lagrange de segundo orden sobre [a; b], con
nodos x0 = a; x1 = b y x2 = a + h; donde . 
Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:
Ecuación que se conoce como Regla de 1/3 de Simpson. La etiqueta de 1/3 viene de que h se divide por 3
en la ecuación.
Estimación del error de la Regla de Simpson
Entonces
La regla de Simpson es mucho más exacta que la regla trapezoidal, el error es proporcional a la cuarta derivada. Esto se debe a que, como se mostró en la integración, los coeficientes del término de tercer orden se anulan. En consecuencia, la regla de Simpson de 1/3 es exacta hasta tercer orden aunque esté basada únicamente en tres puntos.