Unidad 4-2003

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Unidad 4 Probabilidad y Estadística Estimación Puntual y Por intervalo 
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Ejercicio 1: Se diseña un ascensor cuyo límite de carga es 2000 libras. Se indica que su capacidad máxima es de 10 
personas. Si el peso de las personas se distribuye según una ( ), ¿cuál es la probabilidad de 
que un grupo de 10 personas exceda el límite de carga del ascensor? 
 
Ejercicio 2: Las manzanas que se producen en un huerto tienen un peso que se distribuye normalmente con una 
media de 200gr, y una varianza de 1600 gr2 Sí las manzanas se envasan de a 30 en un cajón de peso constante 700 
gr. ¿Cuál es la probabilidad de que él cajón completo pese más de 7 Kilos? 
 
Ejercicio 3: Los eslabones para cadenas de bicicletas que provienen de ciertos fabricantes, tienen una longitud con 
media 0.5 y desvío 0.04. Un modelo de bicicleta requiere cadenas cuya especificación es entre 49 y 50 cm. Si se 
hacen cadenas con 100 eslabones, ¿cuál es la probabilidad de que se cumpla el requisito de longitud? 
 
Ejercicio 4: Se admite que la duración en horas de las pilas para transistores, es una variable con distribución 
normal, con media y dispersión 20 horas, 
a) ¿Qué proporción de la producción se espera con duración comprendida entre 100 y 125 horas? 
b) Si se seleccionan muestras aleatorias de tamaño n=16. ¿Cuál es la proporción de medias muestrales con valor 
entre 98 y 110 horas? Analice sus resultados, comente y justifique teóricamente. 
 
Ejercicio 5: El tiempo en minutos, requerido para reparar una máquina de empaque de alimentos, tiene una 
distribución N (120, 24). Si se toma una muestra de 16 máquinas y se reparan, ¿Cuál es la probabilidad de que el 
tiempo medio de reparación sea mayor a 130 minutos? 
 
Ejercicio 6: Una población de fuentes de energía para una computadora personal tiene un voltaje de salida que se 
distribuye normalmente con una media de 5 v. y una desviación estándar de 0.1 v. Se selecciona una muestra 
aleatoria de 36 fuentes de energía. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el voltaje medio sea inferior a 4.95 v? 
b) ¿Cuál es el voltaje medio qué no es superado con probabilidad 0.95? 
 
Ejercicio 7: El porcentaje de carbohidratos contenido en una pieza de pan blanco es en promedio 76 con un desvío 
estándar de 0.8. Se toma una muestra aleatoria de 64 piezas. Halle la probabilidad de que el porcentaje medio se 
encuentre en el intervalo (75.8; 76.2) 
 
Ejercicio 8: Un fabricante de dispositivos semiconductores toma una muestra de 100 chips, y los prueba y clasifica 
como defectuosos o no defectuosos. Si se sabe que habitualmente hay un 2% de defectuosos, ¿Cuál es la 
probabilidad de que en la muestra, el porcentaje sea inferior al 1 %? 
 
Ejercicio 9: En una Facultad de Ingeniería, de 1200 alumnos el 16% son mujeres. Si se toma una muestra de 180 
alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que el porcentaje de mujeres en la muestra esté entre el 18% y el 20%? 
 
Ejercicio 10: En un banco se rechaza el 5% de los cheques emitidos. En una semana se emitieron 2500 cheques. Si 
se toma una muestra aleatoria de 100 cheques. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que más del 7% de los cheques de la muestra sea rechazado? 
b) ¿Cuál es el porcentaje promedio de cheques rechazados que se supera con probabilidad 0.01? 
 
Ejercicio 11: Se desea estimar la media de una población. Se toma una muestra de tamaño 5. Sean los siguientes 
estimadores: 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
 
 
 
Halle esperanza y varianza de todos los estimadores y decida a favor de uno de ellos justificando la respuesta. 
 
Ejercicio 12: Se tiene una muestra de tamaño 2n de una población, de ( ) y ( ) . Sean los 
estimadores de: 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
 
 
 
 
¿Cuál es el mejor estimador de Justifique su elección. 
 
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Ejercicio 13: Se desea estimar el porcentaje de votantes a favor de un determinado candidato. Se toman dos 
muestras independientes de tamaños 100 y 150 respectivamente. ¿Cuál de estos dos estimadores elegiría para 
estimar dicho porcentaje? 
 ̂ 
 
 
( ) ̂ 
 
 
(
 
 
 
 
 
) 
 
(Siendo el número de votantes a favor en la 1a muestra y el número de votantes a favor en la 2a muestra). 
 
Ejercicio 14: Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida con distribución 
aproximadamente normal y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una 
vida promedio de 780 horas, 
a) Encuentre un intervalo de confianza del 96% para la media poblacional de todos los focos que 
produce esta empresa. 
b) ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se desea tener una confianza del 96% de que la 
media muestral esté dentro de las 10 horas del promedio real? 
c) Indique los límites correspondientes al 90% de confianza. Compare el resultado con el del punto(a). 
d) Complete: A medida que aumenta el nivel de confianza, el intervalo es más …… y por lo tanto … la 
precisión de estimación. Dado un nivel de confianza, a medida que… el tamaño de la muestra, se reduce 
el error de la estimación y por lo tanto es más…… 
 
Ejercicio 15: Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad de líquido 
despachada se distribuye aproximadamente en forma normal con una desviación estándar igual que 
0.15 decilitros. 
a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los refrescos que sirve esta 
máquina si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de 2.25 decilitros. 
b) ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si se desea tener una confianza del 95% de que la 
media muestral estará dentro de 0.02 decilitros del promedio real? 
 
Ejercicio 16: Las alturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes mostraron una media de 174.5 
centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. 
a) Determine un intervalo de confianza de 98% para la altura promedio de todos los estudiantes. 
b) ¿Qué se puede afirmar con un 98% de confianza acerca del posible tamaño del error si se estima que 
la altura promedio de todos los estudiantes es 174.5 centímetros? 
 
Ejercicio 17: Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil indica que, en la ciudad de 
Córdoba, un automóvil recorre un promedió de 23500 kilómetros por año con un desviación estándar 
de 3900 kilómetros. 
a) Determine un intervalo de confianza del 99% para la cantidad promedio de kilómetros que un 
automóvil recorre anualmente en Córdoba. 
b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza del 99% respecto al posible tamaño del error si se estima 
que la cantidad promedio de kilómetros recorridos por los propietarios de vehículos en Córdoba es 
de 23500 kilómetros al año? 
 
Ejercicio 18: Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma el hacer tres 
perforaciones en una cierta pieza metálica. ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si se 
necesita una confianza del 95% de que su media muestral estará dentro de 15 segundos del promedio 
real? Asuma que, por estudios previos se sabe que . 
 
Ejercicio 19: Un investigador de la Universidad UCLA afirma que el ciclo de vida de los ratones puede 
prolongarse hasta en 25% cuando las calorías en su alimentación se reducen aproximadamente 40% 
desde el momento en que se les desteta. Las dietas con restricciones son enriquecidas a niveles 
normales con vitaminas y proteínas. Suponiendo que, por estudios previos, se sabe que , 
¿cuántos ratones deben incluirse en la muestra si se desea tener una confianza del 99% de que el ciclo 
promedio de vida de la muestra estará dentro de los 2 meses del promedio poblacional para todos los 
ratones sujetos a esta dieta reducida? 
 
Ejercicio 20: Una máquina produce piezas metálicasde forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas 
cuyos diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. 
Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de piezas de esta máquina, si 
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supone una distribución aproximadamente normal. 
 
Ejercicio 21: Una muestra aleatoria de 8 cigarros de una marca determinada tiene un contenido 
promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9 miligramos. Determine un 
intervalo del 99% de confianza para el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarros 
en particular, asumiendo que la distribución de los contenidos de nicotina es aproximadamente 
normal. 
 
Ejercicio 22: Se registraron las siguientes mediciones del tiempo de secado, en horas, de una marca de 
pintura látex: 
3.4 2.5 4.8 2.9 3.6 2.8 3.3 5.6 3.7 2.8 4.4 4.0 5.2 3.0 4.8 
Suponiendo que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población normal, 
Encuentre un intervalo de confianza del 99% para los tiempos promedio de secado. 
 
Ejercicio 23: Se realiza un estudio para estimar el porcentaje de ciudadanos de un pueblo que están a 
favor de que su agua se trate con flúor. ¿Qué tan grande debe ser una muestra si se desea tener una 
confianza al menos de 95% de que la estimación estará dentro del 1% del porcentaje real? 
 
Ejercicio 24: Se realiza un estudio para estimar la proporción de residentes en una ciudad y en sus 
suburbios que están a favor de la construcción de una planta de energía nuclear. ¿Qué tan grande debe 
ser una muestra, si se requiere una confianza de al menos 95%, de qué la estimación estará dentro del 
0.04 de la proporción real de residentes que están a favor de la construcción de la planta? 
 
Ejercicio 25: Se selecciona una muestra aleatoria de 500 fumadores de cigarro y se encuentra que 86 de 
ellos prefieren la marca X. 
a) Encuentre el intervalo de confianza de 90% para la fracción de la población de fumadores que 
prefieren la marca X. 
b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza de 90% acerca de la posible magnitud del error si se 
estima que la fracción de fumadores que prefieren la marca X es 0.172? 
 
Ejercicio 26: En una muestra aleatoria de 1000 casas en una determinada ciudad, se encuentra que 228 
de ellas tiene calefacción de petróleo. Encuentre el intervalo de confianza de 99% para la proporción 
de hogares en esta ciudad que tiene este tipo de calefacción. 
 
Ejercicio 27: Se está considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de 
cohetes pequeños de corto alcance. El sistema actual tiene una p = 0.8 como probabilidad de un 
lanzamiento exitoso. Una muestra de 40 lanzamientos experimentales se realiza con el nuevo sistema y 
34 de ellos tienen éxito. 
a) Determine un intervalo de confianza de 95% para p. 
b) ¿Consideraría usted que él nuevo sistema es mejor? 
 
Ejercicio 28: La Asociación Americana de Agencias de Publicidad tiene un registro de datos sobre 
minutos de anuncios por cada media hora de programas principales de TV. En la tabla siguiente vemos 
una lista de datos representativos de una muestra de programas preferentes en cadenas principales a 
las 8:30 P.M. 
6.0 6.6 5.8 7.0 7.2 
5.7 6.4 7.0 6.0 6.5 
7.2 7.3 6.2 6.0 6.3 
6.2 6.5 6.2 7.6 6.8 
a) Determine un estimador puntual para el promedio de anuncios por cada media hora 
de programa. 
b) Suponiendo normalidad, determine un intervalo de confianza de 95% para la cantidad 
promedio de minutos de anuncios en los principales espectáculos televisivos a las 8:30 P.M. 
 
Ejercicio 29: En la 47a Encuesta Anual de Pagos que se presenta en Business Week, se ven los datos de 
salario anual y bonos para los directores ejecutivos (Business Week, 21 de abril de 1997). En una 
muestra preliminar se vio que la desviación estándar es de $675 dólares, estando los datos en miles de 
dólares. ¿Cuántos directores ejecutivos deben estar en la muestra, si deseamos estimar el salario o bono 
Unidad 4 Probabilidad y Estadística Estimación Puntual y Por intervalo 
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anual de la media de población, con un margen de error de $100,000 dólares y una confiabilidad del 
95%? (Nota: El margen de error sería , porque los datos están en miles de dólares.) 
 
Ejercicio 30: Una encuesta de USA Today y CNN Gallup, entre 369 padres que trabajan, determinó que 
200 de ellos dijeron pasar muy poco tiempo con sus niños, debido a compromisos en el trabajo (USA 
Today, 10 de abril de 1995) 
¿Cuál es el estimador puntual de la proporción poblacional de padres que trabajan que creen pasar muy poco 
tiempo con sus hijos debido a sus compromisos en el trabajo? 
a) ¿Cuál es el margen de error, con 95% de confianza? 
Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional de padres que trabajan y creen pasar 
muy poco tiempo con sus hijos 
 
Ejercicio 31: Un senador ha conseguido los servicios de un equipo de encuestadores para determinar el porcentaje 
de la población que está a favor suyo. Este equipo efectuará una encuesta de opinión a $1.5 la entrevista. ¿Cuánto le 
costará al senador la encuesta, si insiste en que el error sea menor del 5% el 95% de las veces? 
 
Ejercicio 32: El gerente de un supermercado desea saber cuanto tiempo en promedio requiere un cliente para 
concretar sus compras. Se desea planear una muestra, sabiendo que la experiencia de negocios similares señala que 
la varianza poblacional varía entre 10 y 15 minutos cuadrados, se decidió como valor del coeficiente de dispersión el 
de 12 minutos. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para estimar el tiempo medio poblacional? 
a) Con una precisión de ± 2 minutos y coeficiente de confianza del 98%. 
b) Con una precisión de ± 4 minutos y coeficiente de confianza 95,4%. 
 
 
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RESPUESTAS 
Ejercicio 1 
 ( √ ⁄ ) 
 
 
 
 
 ( √ ⁄ ) ( ) 
 ( ) ( 
 
 
) ( ) 
Ejercicio 2: Las manzanas que se producen en un huerto tienen un peso que se distribuye normalmente con una 
media de 200gr, y una varianza de 1600 gr2 Sí las manzanas se envasan de a 30 en un cajón de peso constante 700 gr. 
¿Cuál es la probabilidad de que él cajón completo pese más de 7 Kilos? 
No me salió, pero la respuesta es: 0,8962 
Ejercicio 3 
 ( ( ) √ ⁄ ) ( √ ⁄ ) ( ) 
 ( ) (
 
 
 
 
 
) ( ) ( ) 
Ejercicio 4 
 ( ) 
a) ( ) ( ) ( ) ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 ( ) ( ) 
b) 
 ( √ ⁄ ) ( ) ( ) 
 ( ) (
 
 
 
 
 
) ( ) [ ( )] 
 
Ejercicio 5 
 ( √ ⁄ ) ( ) 
 
 ( ) ( 
 
 
) ( ) 
Ejercicio 6 
 ( √ ⁄ ) ( ) 
 
a) ( ) ( 
 
 ⁄
) ( ) ( ) 
b) ( ) ( 
 
 ⁄
) 
 
 ⁄
 
 
Ejercicio 7 
 ( √ ⁄ ) ( ) 
 ( ) (
 
 
 
 
 
) ( ) [ ( )] 
 
Ejercicio 8 
Proporción 
 ( √
 
 
) ( √
 ( )
 
)
 ⁄ √
 ( )
 
 ⁄ √
 ( )
 
 
 
 
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 ( ) ( 
 
 
) [ ( )] 
 
Ejercicio 9 
 ( √ ( ) ⁄ ) () 
 ( ) (
 
 
 
 
 
) ( ) ( ) 
Ejercicio 10 
 ( √
 
 
(
 
 
)) 
 
 ( ) 
a) ( ) ( ) 
b) ( ) ( 
 
 
) 
 
 
 
Ejercicio 11 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
] 
 
 
( )
 
 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
] 
 
 
( ) 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
] 
 
 
( ) 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
] 
 
 
( ) 
 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
] 
 
 
( )
 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
] 
 
 
( ) 
 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
] 
 
 
( ) 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
 ( )
⏞ 
 
]
 
Elijo porque es el más eficiente por tener la menor varianza. 
Ejercicio 12 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( ) ( ) ( )] 
 
 
( ) 
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 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( ) ( ) ( )
⏞ 
 ( ) 
] 
 
 
( ) 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( ) ( ) ( )] 
 
 
( ) 
 
 
 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
[ ( ) ( ) ( )] 
 
 
( ) 
 
 
 
Elijo porque es mas eficiente que por tener menor varianza. 
 
Ejercicio 13 
 ̂ 
 
 
( ) ̂ 
 
 
(
 
 
 
 
 
) 
 
(Siendo el número de votantes a favor en la 1a muestra y el número de votantes a favor en la 2a muestra). 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) (
 
 
( )) 
 
 
( ( ) ( )) 
 
 
( ) 
 ( ) (
 
 
(
 
 
 
 
 
)) 
 
 
(
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) (
 
 
( )) 
 
 
( ( ) ( )) 
 
 
( ) 
 ( ) (
 
 
(
 
 
 
 
 
)) 
 
 
(
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )) 
 
 
 
 
 
 
Elijo por ser mas eficiente que por tener menor varianza. 
 
Ejercicio 14 
 ⁄ 
 
√ 
 ( ) 
 ⁄ 
 
√ 
 
 
 
 
a) 
 ⁄
 
 
√ 
 ⏞
 ( ) 
 
 
√ 
 ⏞
 
 
 
√ 
 
 
b) 
 
√ 
 √ 
 
 
 ( ) 
c) 
 ⁄
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
Si el intervalo es mas chico, el error también es mas chico. Al tener menos posibilidades de elegir, 
disminuyo también el error de mi elección. 
d) A medida que aumenta el nivel de confianza, el intervalo es más GRANDE y por lo tanto DISMINUYE 
la precisión de estimación. Dado un nivel de confianza, a medida que AUMENTA el tamaño de la 
muestra, se reduce el error de la estimación y por lo tanto es más PRECISO . 
(“Si aumenta el tamaño de la muestra se reduce el error”, sale de la formula del error, que es 
inversamente proporcional al tamaño de la muestra.) 
 
Ejercicio 15 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
√ 
 
Ejercicio 16 
 
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a) 
 
√ 
 
 
√ 
 
b) 
 
√ 
 
 
Ejercicio 17 
 
a) 
 
√ 
 
 
√ 
 
b) 
 
 
 
 
Ejercicio 18 
 
 
 
√ 
 √ 
 
 
 
 
Ejercicio 19 
 
 
 
√ 
 √ 
 
 
 
Ejercicio 20 
T de Student 
En este caso no nos da ni el error, se usa otra distribución llamada t de Student. 
 √
 
 
∑( )
 
 
Intervalo de confianza para la media (diámetro promedio) 
 ( ⁄ ) 
 
√ 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
Como se busca en la tabla t: En la fila se busca el grado de confianza ( ) y en la columna ⁄ 
 
Ejercicio 21 
Normal (Gauss) 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 ( ) 
Ejercicio 22 
T de Student 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 ( ) 
 
Ejercicio 23 
Proporción (porcentaje de ciudadanos) 
Cuando no me dicen el valor de p, se toma por convención p=q=0,5 
 
 √
 
 
 
√( ) 
√ 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
Ejercicio 24 
Proporción 
 
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 √
 
 
 
√( ) 
√ 
 ( 
 
 
)
 
 
 
Ejercicio 25 
Proporción 
 
 
 
 
a) √
 
 
 
b) √
 
 
 
Ejercicio 26 
Proporción 
 
 
 
 
 √
 
 
 ( ) 
Ejercicio 27 
 
 
 
 
a) √
 
 
 ( ) 
b) No, la probabilidad es mayor, pero también lo es el intervalo de confianza, por lo cual hay 
mayor probabilidad de equivocación. 
 
Ejercicio 28 
 
a) Elijo el estimador . 
b) ( ) √ ⁄ ( ) 
 
Ejercicio 29 
 
 
 
√ 
 ( 
 
 
)
 
 
 
Ejercicio 30 
Proporción 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
b) √( ) ⁄ √( ) ⁄ 
c) ( ) 
Ejercicio 31 
Proporción 
 
 
 √( ) ⁄ √ ⁄ 
 
Ejercicio 32 
 
a) 
 
 
√ 
 ( 
 
 
)
 
 
b) 
Unidad 4 Probabilidad y Estadística Estimación Puntual y Por intervalo 
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√ 
 ( 
 
 
)