IA17 - U2-1 Logica fuzzy

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Lógica Fuzzy – parte 1/3
Contenido
 Introducción.
 Propiedades.
 Conjuntos.
 Conjuntos crisp.
 Conjuntos fuzzy.
 Funciones de pertenencia.
 Variables fuzzy.
 Adverbios fuzzy/modificadores.
 Operadores.
 Operadores fuzzy.
 Operadores sobre adverbios fuzzy.
 Referencias.
Cátedra de
INTELIGENCIA ARTIFICIAL 2017
Ing. Sergio L. Martínez
Referencias
 González Morcillo C. 
Lógica Difusa: una 
introducción práctica.
 S. N. Sivanandam, S. 
Sumathi and S. N. Deepa. 
Introduction to Fuzzy 
Logic using MATLAB. Ed. 
Springer, 2007.
2
Lógica Fuzzy - Introducción
 Presentada por Lotfi Zadeh como una nueva y 
potente teoría, denominada Teoría de Conjuntos 
Fuzzy (Fuzzy Sets), en 1965 y ampliada como 
Lógica Fuzzy en 1973. Lotfi Zadeh
Nace en la Unión Soviética en 1921.
Título de grado en Ingeniería de la Universidad de Teheran en 
1942.
Título de posgrado de Magister en Ciencias del MIT en 1946.
Título de posgrado de Doctor en Ingeniería Eléctrica de la 
Universidad de Columbia en 1949.
Profesor de la Universidad de Berkeley desde 1959 hasta 1990.
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http://www.google.com.ar/imgres?imgurl=http://www.mat.ucm.es/congresos/flins2008/FLINS 2008_archivos/fotos/speaker_zadeh.jpg&imgrefurl=http://www.mat.ucm.es/congresos/flins2008/FLINS 2008_archivos/speakers.htm&usg=__urt_0XWuB0Ym7SY9XqUeijhKh3Q=&h=512&w=384&sz=49&hl=es&start=1&um=1&itbs=1&tbnid=hJ-WYOUK_6IJVM:&tbnh=131&tbnw=98&prev=/images?q=lofti+zadeh&um=1&hl=es&sa=N&tbs=isch:1
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Lógica Fuzzy - Introducción
 La lógica Fuzzy permite su aplicación en 
procesos de control, estimación, 
identificación, diagnostico y predicción en 
innumerables campos.
 Es muy utilizada en resolución de problemas 
de los Sistemas Expertos mediante una 
técnica híbrida dentro del campo de 
competencia de la Inteligencia Artificial.
 La metodología general de razonamiento de 
un Sistema Experto Fuzzy no difiere 
apreciable-mente en su concepción de un 
Sistema Experto estándar.
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Lógica Fuzzy - Propiedades
 Es relativamente fácil de entender.
 Es flexible.
 Es tolerante a los datos imprecisos.
 Puede modelar funciones no lineales de 
complejidad arbitraria.
 Puede ser implementada sobre la experiencia 
de un experto.
 Puede ser combinada con técnicas de control 
convencional.
 Está basada en lenguaje natural.
 Se combina con todas las estructuras de IA
para crear sistemas híbridos más versátiles.
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Lógica Fuzzy - Conjuntos
En general, un conjunto es una colección de
elementos, agrupados por una característica,
propiedad o definición.
En lógica fuzzy podemos distinguir dos tipos de
conjuntos
 CONJUNTOS NÍTIDOS O CRISP
 CONJUNTOS DIFUSOS O FUZZY
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Lógica Fuzzy - Conjuntos
CONJUNTOS NÍTIDOS O CRISP
Son los conjuntos usualmente conocidos, 
donde sus elementos pertenecen a él si 
cumplen estrictamente con las propiedades de 
pertenencia. 
U
(Universo) Conjunto CR
Ai ∈ CR
Bi ∉ CR
Ci ∉ CR
∀ CR ⊂ U → {Ai} ∈ CR
[{Bi} , {Ci}] ∉ CR
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Lógica Fuzzy - Conjuntos
CONJUNTOS DIFUSOS O FUZZY
Los Conjuntos Fuzzy pueden verse como un conjunto de
elementos cuyos grados de pertenencia al dominio del
conjunto están representados por un valor definido sobre
el intervalo cerrado [0,1]. De este modo, un valor de
pertenencia 1 indica una pertenencia completa al
conjunto, un valor 0 indica no pertenencia y un valor
intermedio establece una pertenencia más o menos
concreta al conjunto.
A ∈ F
µ = 1
U
(Universo) Conjunto FZ
B ∈/ ∉ F
0<µ< 1C ∉ F
µ=0
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Lógica Fuzzy - Conjuntos
CONJUNTOS DIFUSOS O FUZZY
Los Conjuntos Fuzzy, a diferencia de los conjuntos 
nítidos (o crisp), no presentan un límite definido 
de pertenencia, de modo que los elementos 
involucrados pueden considerarse con una 
pertenencia parcial, que se denota con un valor 
μi, donde μi ∈ [0 , 1].
Si F es un subconjunto fuzzy de un universo U y 
{u1,..., un} es una colección de elementos 
pertenecientes a F, se denota
F = {μ1/u1,..., μn /un} o bien
F = μ1/u1 + ... + μn/un o bien 
F = Σ μi / ui
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Lógica Fuzzy - Conjuntos
Ejemplo: Conjunto crisp vs. fuzzy
Conjunto fuzzy
"días del fin de semana"
domingo
(∈µ=1)
sábado
(∈µ=1)
viernes
(∈µ=0,9)
lunes
(∈µ=0,7)
miércoles
(∈µ=0)
Conjunto crisp
"días del fin de semana"
domingo
(∈µ=1)
sábado
(∈µ=1)
viernes
(∈ µ=0)
lunes
(∈µ=0)
miércoles
(∈µ=0)
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Lógica Fuzzy - Conjuntos
Ejemplo: Otros conjuntos fuzzy
Conjunto fuzzy
"temperatura normal 
del cuerpo humano"
37º ( ∈=1)
37,5º ( ∈=0,9)
35º ( ∈=0,5)
40º ( ∈=0,4)
45º ( ∈=0)
Conjunto fuzzy
"días del fin de 
semana"Conjunto fuzzy
"personas adultas"
40 años
(∈=1)
50 años
(∈=0,8)
18 años
(∈=0,2)
30 años
(∈=0,9)
70 años
(∈=0)
24º ( ∈=0) 36,5º ( ∈=0,95)
lunes
(∈=0,7)
miércoles
(∈=0)
sábado
(∈=1)
domingo
(∈=1)
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viernes
(∈=0,9)
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Funciones de pertenencia
Un grado de pertenencia 0 significa que el
elemento no pertenece en absoluto al conjunto,
mientras que un grado de pertenencia 1 coincide
con la noción usual de pertenencia del elemento al
conjunto que nos da la Teoría de Conjuntos.
Un subconjunto fuzzy F finito de U resulta:
F = μ1 u1 + ... + μ n un
En forma equivalente:
F = μ 1 / u1 + ... + μ n / un
donde μ i con i = 1,..., n , representa el grado 
de pertenencia de ui al conjunto F dentro del
intervalo [0,1], EXPRESADO EN FORMA 
DISCRETA.
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Funciones de pertenencia
Además del grado de pertenencia discreto definido 
anteriormente para los elementos de un conjunto 
fuzzy, también pueden representarse gráficamente a 
través de las funciones de pertenencia μ(x).
µ(Vi) = 0,5 ⇒ Vi ∈ 0,5 a F
∉ Elementos del conjunto ∈
µ(Vj) = 1 ⇒ Vj ∈ F
µ(V0) = 0 ⇒ V0 ∉ a F
0
1
0,5
µ
V0 Vn
V
(variable)
función
µ(V)
Vi Vj
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Funciones de pertenencia
Las funciones de pertenencia pueden representar 
conjuntos fuzzy (con pertenencia ambigua) y conjuntos 
crisp (con pertenencia definida). Ello depende de la forma 
de la función.
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0
1
V
Vmin VmaxVi
µ(V)
µ(Vi)
0
V
Vmin VmaxVi
µ(V)
µ(Vi)=1
La pertenencia cambia 
en forma continua en 
función de la pendiente y 
del valor de la variable V.
La pertenencia cambia 
en forma abrupta. Se 
debe resolver la 
ambigüedad.
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Funciones de pertenencia
Se definen diversos tipos de funciones de 
pertenencia. Las más usuales (lineales) 
LINEAL
TRIANGULAR
HOMBRO TRAPEZOIDAL
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Funciones de pertenencia
Funciones no lineales, continuas y derivables. 
GAUSSIANA
PI
SIGMOIDE O
S-SHAPE
Z SHAPE
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Funciones de pertenencia
La selección de la forma y variación de la función de 
pertenencia debe ser consistente con el criterio de 
variación de la variable. 
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0
1
h (m)
0,50 1,801,20
µ(V) Personal altas
0
0,50
0
1
h (m)
0,50 1,801,20
µ(V) Personal altas
0
0,40
Correcto. Incorrecto.
El tipo de variación (lineal o alineal) requiere de criterios 
más específicos. Cuando no se tienen referencias, se 
recomienda variación lineal y luego se ajusta. Se definen 
diferentes métodos de asignación (Espinosa, 2005).
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Funciones de pertenencia
La selección de una determinada función de pertenencia, 
depende del criterio del experto para definir el grado de 
pertenencia de cada elemento (o valor de variable) al 
dominio del conjunto. 
Pertenencia nítida. El 
conjunto de elementos v < Vj
pertenece al conjunto. Los 
restantes no pertenecen. 
Este es el caso particular de 
los conjuntos crisp.
Pertenencia lineal. Los 
elementos (valores de la 
variable) van adquiriendo un 
grado de pertenencia 
proporcional al 
crecimiento del dominio.
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Funcionesde pertenencia
Pertenencia lineal creciente/ 
decreciente. Solo los valores 
centrales tienen pertenencia total; 
hacia los extremos decrece 
linealmente. Esta función tiene una 
expresión general en la función pi.
Pertenencia sigmoide. Es el 
caso general de la función 
escalón. La pendiente, 
curvatura y posición de la 
curva queda definida por sus 
parámetros.
La selección de una determinada función de pertenencia, 
depende del criterio del experto para definir el grado de 
pertenencia de cada elemento (o valor de variable) al 
dominio del conjunto. 
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Funciones de pertenencia
Una misma variable puede requerir distintos grados 
de pertenencia dentro de su dominio, por lo que 
puede representarse con más de una función de 
pertenencia (no necesariamente todas iguales). 
3 funciones de 
pertenencia 
(triangular al centro)
5 funciones de 
pertenencia 
(trapezoidal al centro)
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Funciones de pertenencia
Soporte (support): es la región 
de la variable donde la función 
de pertenencia toma valores no 
nulos → {xi} / 0 ≤ µ(xi) ≤ 1 
Límite (boundary): es la región 
de la variable donde la función 
de pertenencia toma valores no 
nulos ni de pertenencia total
→ {xi} / 0 < µ(xi) < 1
Puntos de corte (crossover 
points) → {xi} / µ(xi) = 0,5
Altura (height) → max(µ(xi)
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Características de las funciones de pertenencia:
Núcleo (core): es la región de la variable con pertenencia 
total (1) → {xi} / µ(xi) = 1
x
0.5
Crossover points
Height
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Variables en lógica fuzzy
En general las variables en lógica fuzzy son las 
denominaciones que se dan a los conjuntos fuzzy para 
permitir una interpretación semántica más clara.
En otras palabras permiten a la lógica fuzzy expresar 
de modo natural el significado semántico utilizado por 
expertos. En lógica fuzzy pueden distinguirse dos 
tipos de variables
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Variables en lógica fuzzy
Variables fuzzy
Es la identificación semántica de un conjunto 
fuzzy. Se representan mediante una terna 
(X,U,R(X)), donde
X = es el nombre de la variable.
U = es el universo de discurso (o “alcance”).
R(X) = es un subconjunto de U que indica la
restricción fuzzy impuesta para X.
Por ejemplo:
Variable ALTO: para denominar al conjunto de 
personas u objetos identificados por su altura.
Universo: [50 ; 60 ; ... ; 1,80 ; 1,90 ; 2,00 ; 2,10 ; 2,20]
Restricciones: [0/50 ; 0/60 ; ... ; 0,5/1,60 ; 0,9/1,80 ;
1/1,90 ; 1/2,00 ; 1/2,10 ; 1/2,20] 
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Variables en lógica fuzzy
Variables lingüísticas
Es una variable de mayor orden que una variable fuzzy. 
También identifican en forma semántica las características 
de un conjunto fuzzy, pero se representan mediante una 
quíntupla (X, T(X), U, G, M).
x = es el nombre de la variable.
T(x) = conjunto términos de x. Es el conjunto
de nombres de valores lingüísticos de x. 
U = es el universo de discurso de x (“alcance”).
M = conjunto de reglas semánticas que asocia a cada 
valor lingüístico de x con su significado M(x). M(x) 
representa a las variables fuzzy de x.
G = es una gramática libre que genera los términos 
de T(x): “muy alto”, “no muy rápido”, etc. 
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Variables en lógica fuzzy
Variables lingüísticas
Ejemplo: Sea la variable lingüística VELOCIDAD.
x = VELOCIDAD.
U = [0 ; 130].
T(x) = [..., Muy lenta , lenta , moderada , rápida , 
Muy rápida , ...]
M(x) = reglas semánticas.
M(Lenta) = Velocidad entre 30 y 60 con función de 
pertenencia μLENTA.
M(moderada) = Velocidad alrededor de 80 con
función de pertenencia μMODERADA.
M(rápida) = Velocidad entre 100 y 130 con función
de pertenencia μRÁPIDA...
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Adverbios fuzzy
Los adverbios fuzzy, también llamados modificadores, 
son expresiones asociadas a las variables lingüísticas 
para expresar en forma más o menos intensa su 
significado.
Por ejemplo:
ALTO: para denominar al conjunto de personas u 
objetos identificados por su altura.
MUY ALTO: subconjunto que identifica a quienes 
tienen una altura superior a la normal.
EXTREMADAMENTE ALTO: subconjunto con elementos 
de altura muy considerable.
NO MUY ALTO: subconjunto con elementos cuya altura 
estaría por debajo de lo normalmente ALTO.
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Adverbios fuzzy
En un Sistema de Razonamiento Fuzzy existen 
diferentes tipos de modificadores, agrupados de 
acuerdo a la modificación conceptual que 
producen a la variable lingüística.
Los grupos principales son:
 Intensificadores
 Aproximadores
 Restrictores
 Generalizadores
 Negadores
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Adverbios fuzzy
Intensificadores
Mucho – Muy (very)
Sumamente (extremely)
Casi (almost)
Definitivamente (definitely)
Positivamente (positively)
Bastante (quite)
Algo, bastante (rather)
Un poco (somewhat)
Restrictores
Sobre, arriba de (above)
Más que (more than)
Debajo de (below)
Menor que (less than)
Aproximadores
cercanía de (about)
alrededor (around)
cercano a (near)
grueso,
aproximadamente (roughly)
vecino a (vicinity of)
vecindad (neighboring)
próximo a (close to)
Generalizadores
Generalmente (generally)
Usualmente (usually) 
Negadores
No (not)
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Adverbios fuzzy
Acción heurística
La aplicación de un modificador a una variable 
lingüística, modifica semánticamente su 
concepción del dominio. Esto se traduce en un 
cambio de su función de pertenencia para 
reflejar la acción del modificador.
Este cambio se puede reflejar en una 
determinada heurística aplicada a la función de 
pertenencia según algunos criterios prefijados 
(Zadeh) o criterios que establecerá el experto.
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Adverbios fuzzy
Ejemplo de aplicación - muy
(Intensificación de región fuzzy)
Var x (altura) / fp= μ(x)  modif. MUY  fpmuy= μ2(x)
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Adverbios fuzzy
Ejemplo de aplicación – debajo de
(Restricción de región fuzzy)
Var x (edad) / Función de base → fp= μ(x) 
modificador DEBAJO DE → fpdebajo de = μ(x+a)
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Adverbios fuzzy
Ejemplo de aplicación – cercano a
(Aproximación de región fuzzy)
Var x (edad) / Función de base  fp = μ(x) 
modificador CERCANO A  fpcercano a = μ1,4(x)
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Adverbios fuzzy
Acción heurística
(Intensificación y dilución de contraste)
Reconfiguración por 
definición
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Adverbios fuzzy
Adverbios múltiples
Es posible aplicar modificadores múltiples a las
variables linguisticas, para enfatizar aún más (o 
minimizar) la acción de los modificadores 
individuales. Por ejemplo
ALTO → muy(ALTO) →
→ muy(muy(ALTO)) →
→ positivamente(no(muy(ALTO)))
COSTO → COSTO mediano →
→ alrededor de COSTO mediano
→ generalmente alrededor de COSTO mediano
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Adverbios fuzzy
Ejemplo de aplicación: positivamente(no(muy(ALTO)))
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Operadores
En lógica crisp
Los operadores básicos que se aplican a los
conjuntos en lógica bivaluada (crisp ó nítida) son
• Complemento:
¬S
• Unión:
S ∪ T
• Intersección:
S ∩ T
U
S T
U S T
U
S T
U
S T
U
S
U
S
S
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Operadores
En lógica fuzzy
 Como la lógica fuzzy es un superconjunto de la 
lógica crisp, los operadores anteriormente 
definidos siguen siendo válidos, pero con una 
interpretación más amplia.
 Se aplican a los conjuntos fuzzy representados 
en este caso por las funciones de pertenencia
μ(x) o bien para valores discretos.
 Su utilidad y aplicabilidad quedarán 
perfectamente definidas cuando deban 
insertarse en las reglas de inferencia o 
razonamiento fuzzy.
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Operadores lógicos
En lógica fuzzy
Complemento: se 
corresponde con el 
conectivo lógico 
NEGACIÓN
¬μ(x) = 1 – μ(x)
¬μALTO(x) = 1 – μALTO(x)
¬μEDAD(x) = 1– μEDAD(x)
x
1
0,5
0
0
1,50
50 100 -> edad
1,75 2,00 -> alto
µ(x)
ALTO
EDAD
AVANZADA
µEDAD(x)
x
1
0,5
0
0
1,50
50 100 -> edad
1,75 2,00 -> alto
µ(x)
ALTO
EDAD
AVANZADA
µEDAD(x)
1 − µEDAD(x)
EDAD NO
AVANZADA
NO
ALTO
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Operadores lógicos
En lógica fuzzy
Unión: se corresponde 
con conectivo lógico OR. 
μ(x)∪μ(y) = máx[μ(x), μ(y)]
μALTO(x) ∪ μEDAD(y) = 
= máx[μALTO(x) , μEDAD(y)]
x
1
0,5
0
0
1,50
50 100 -> edad
1,75 2,00 -> alto
µ(x)
µAL
TO(x
)
ALTO
EDAD
AVANZADA
µEDAD(x)
U2-CL1 SISTEMAS CON INCERTIDUMBRE
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Operadores lógicos
En lógica fuzzy
Intersección: se 
corresponde con el 
conectivo lógico AND.
μALTO(x) ∩ μEDAD(y) = 
= mín[μALTO(x) ,
μEDAD(y)]
x
1
0,5
0
0
1,50
50 100 -> edad
1,75 2,00 -> alto
µ(x)
µAL
TO(x
)
ALTO
EDAD
AVANZADA
µEDAD(x)
μ(x) ∩ μ(y) = 
mín[μ(x), μ(y)]
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Operadores algebraicos
Operadores fuzzy algebraicos
Sean los conjuntos fuzzy A y B con funciones 
de pertenencia μA(x) ; μB(x) 
Producto:
A.B = ⌠ [μA(x). μB(x) ] / x
⌡U
• Potencia:
Ak = ⌠ [μA(x)k ] / x
⌡U
• Producto por un escalar:
k.A = ⌠ k. [μA(x) ] / x
⌡U
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Operadores adverbiales
Otros operadores fuzzy
Existen otros operadores algebraicos que se 
aplican para representar la acción de los 
modificadores.
Concentración: esta operación produce un sub-
conjunto fuzzy, con pequeña reducción del grado 
de pertenencia de los elementos de A con alta 
pertenencia y gran reducción del grado de 
pertenencia para elementos de A con bajo grado 
de pertenencia.
CON(A) = μ2A(x)
Dilusión: produce el efecto inverso a la 
operación anterior.
DIL(A) = μA(x)1/2
U2-CL1 SISTEMAS CON INCERTIDUMBRE
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Operadores adverbiales
Concentración CON(A) = μA2
Dilusión DIL (A) = μA1/2
Intensificación INT(A) = 2 μA si μA ∈ [0,0.5]
INT(A) = 1-2(1- μA)2 si μA ∈ (0.5,1]
MUY(A) = CON(A)
SUMAMENTE(A) = mA3
MAS O MENOS(A) = DIL(A)
MAS(A) = μA1.25 MENOS (A) = μA0.75
APROXIMADAMENTE(A) = DIL(DIL(A))
ALGO(A) = INT(CON(A)) AND NOT(CON(A))
LIGERAMENTE(A) = INT(MAS(A)) AND NOT(CON(A))
UN POCO(A) = INT(DIL(A) AND INT(DIL(NOT(A)
BASTANTE(A) = INT(A) AND NOT(INT(CON(A))) 
Intensificación
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Operadores adverbiales
Algunos tipos de operadores adverbiales
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Operador de dilución
Operador de intensificación
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Operadores adverbiales
Ejemplo de aplicación
Concentrac. CON(A) = μA2 Dilusión DIL(A) = μA1/2
muy(A) 
= μA2
sumamente(A)
= μA3
mas o menos(A)
= μA1/2
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