Cap3 2 - Carga axial

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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Caṕıtulo 3: Elementos sometidos a Carga Axial
Resistencia de Materiales 1
M.Sc.-ing Daniel Lavayen Farfán
Pontificia Universidad Católica del Perú
Departamento de Ingenieŕıa
Sección de Ingenieŕıa Mecánica
Área de Diseño
2018
PUCP - ING225 - Caṕıtulo 3: Elementos sometidos a Carga Axial M.Sc.-Ing Daniel Lavayen Farfán
Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Sistemas de barras articuladas
El alargamiento de la barra
deformable AB se puede obtener
proyectando el vector de
desplazamiento sobre el vector
unitario de la dirección axial de AB.
La proyección en la dirección
perpendicular a ~µAB se define como
la rotación del punto B con respecto
al punto A.
Alargamiento con un extremo fijo
δ = ~DB · ~µAB
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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Sistemas de barras articuladas
Cuando los dos extremos con
moviles, se debe proyectar el
desplazamiento de los dos puntos
sobre el vector unitario:
Alarg. con dos extremos moviles
δB/A = ( ~DB − ~DA) · ~µAB
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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Solución de sistemas hiperestáticos
Por estática tenemos
FA + FB = P
La indeterminación se resuelve con
compatibilidad.
δA/B = 0 =
FAL1
EA
+
−FBL2
EA
Solución al sistema.
FA = P(
L2
L
) FB = P(
L1
L
)
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ContinuaciónSuperposicióndeefectosErroresdemontaje
Procedimientogeneral
1Establecerrelacionesdeestática(sielsistemaeshiperestático,
faltaranecuaciones)ΣF,M=0.
2Establecerrelacionesdecompatibilidaddedesplazamientos
δ1=f(δ2,δ3,...).
3Establecerleyconstitutivaδ=f(P,∆T)(recordarquela
temperaturasoloafectaacá).
4Resolver
5???
6Profit!
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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Procedimiento general
1 Establecer relaciones de estática (si el sistema es hiperestático,
faltaran ecuaciones) ΣF ,M = 0.
2 Establecer relaciones de compatibilidad de desplazamientos
δ1 = f (δ2, δ3, ...).
3 Establecer ley constitutiva δ = f (P,∆T ) (recordar que la
temperatura solo afecta acá).
4 Resolver
5 ???
6 Profit!
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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Procedimiento general
1 Establecer relaciones de estática (si el sistema es hiperestático,
faltaran ecuaciones) ΣF ,M = 0.
2 Establecer relaciones de compatibilidad de desplazamientos
δ1 = f (δ2, δ3, ...).
3 Establecer ley constitutiva δ = f (P,∆T ) (recordar que la
temperatura solo afecta acá).
4 Resolver
5 ???
6 Profit!
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Procedimiento general
1 Establecer relaciones de estática (si el sistema es hiperestático,
faltaran ecuaciones) ΣF ,M = 0.
2 Establecer relaciones de compatibilidad de desplazamientos
δ1 = f (δ2, δ3, ...).
3 Establecer ley constitutiva δ = f (P,∆T ) (recordar que la
temperatura solo afecta acá).
4 Resolver
5 ???
6 Profit!
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Procedimiento general
1 Establecer relaciones de estática (si el sistema es hiperestático,
faltaran ecuaciones) ΣF ,M = 0.
2 Establecer relaciones de compatibilidad de desplazamientos
δ1 = f (δ2, δ3, ...).
3 Establecer ley constitutiva δ = f (P,∆T ) (recordar que la
temperatura solo afecta acá).
4 Resolver
5 ???
6 Profit!
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Procedimiento general
1 Establecer relaciones de estática (si el sistema es hiperestático,
faltaran ecuaciones) ΣF ,M = 0.
2 Establecer relaciones de compatibilidad de desplazamientos
δ1 = f (δ2, δ3, ...).
3 Establecer ley constitutiva δ = f (P,∆T ) (recordar que la
temperatura solo afecta acá).
4 Resolver
5 ???
6 Profit!
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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Principio de Superposición de efectos
Atención! Este principio solo aplica si hay relación lineal entre los
esfuerzos y deformaciones, y entre fuerzas y desplazamientos.
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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Principio de Superposición de efectos
La superposición que cuando tenemos un estado de cargas muy
complejo, podemos descomponerlo en cargas más fáciles de analizar.
A continuación sumamos algebraicamente el efecto de cada fuerza,
superponiendo el efecto de cada una.
El requisito para poder hacerlo es que el sistema sea lineal.
Las cargas que se apliquen no deben modificar de manera significativa
el arreglo geométrico.
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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Solución de sistemas hiperestáticos por método de superposición
de efectos
En sistemas hiperestáticos es útil descomponer el sistema en varios
sistemas estáticos.
Sumando el efecto de cada uno de los sistemas, obtendremos el
comportamiento del sistema hiperestático.
Esa suma de efectos deberá verse reflejada en la expresión de la
compatibilidad de desplazamientos.
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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Solución de sist. hiperestáticos por principio de superposición de
efectos
El sistema se puede descomponer en distintos sistemas estáticos
facilmente resolvibles... dividir y vencer!
δB/A = 0 = δsist1 + δsist2 = δP + δB
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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Errores de montaje
En ocasiones, al realizar el montaje de una máquina o estructura se
descubren errores o defectos de fabricación.
Algunos de estos errores son elementos ligeramente más largos o
más cortos de lo que se requeria.
Si no se pueden volver a fabricar, se puede forzar a estos elementos
para que calcen.
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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Errores de montaje
En estos problemas se deben calcular:
Fuerza requerida para realizar montaje.
Estado del sistema en funcionamiento:
cargas internas en todos los elementos
desplazamiento de todos los puntos
Se recomienda utilizar el principio de superposición
para analizar la estructura en su posición final.
Estática
Cuando esté montado la estática será como sigue:
ΣM : −2aF1 + 3aF2 = 0
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Continuación Superposición de efectos Errores de montaje
Ejercicio 13
Fase I: Montaje
Solamente se carga el elemento defectuoso para que
tome las dimensiones deseadas:
δI1 = ∆
δI2 = 0
Los demás elementos no están cargados
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Ejercicio 13
Fase II: Operación
El elemento defectuoso trata de recuperar su
dimensión original y otras cargas del sistema
también pueden actuar.
δII1 =
2
3
DB cos(45)
δII2 = DB cos(45)
Nótese que estos alargamientos aun no se han
relacionado con las ecuaciones de estática
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Ejercicio 13
Fase I + Fase II
Superponiendo ambas fases
δ1 = δ
I
1 + δ
II
1 = ∆ +
2
3
DB cos(45)
δ2 = δ
I
2 + δ
II
2 = 0 + DB cos(45)
Entonces la ecuación de compatibilidad:
δ1 = ∆ +
2
3
δ2
Recién acá se pueden aplicar las leyes constitutivas y
obtener la ecuación faltante para resolver el sistema!
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Ejercicio 14
Calcular las tensiones normales en los elementos
elásticos del sistema hiperestático mostrado cuando
se aplica la fuerza exterior de P = 700 kg, sabiendo
que la barra II presenta un defecto de montaje de
∆ = 0.125 mm.
ACB = 1 cm
2, ADB = 1.4 cm
2, a = 1 m,
E1 = 0.7E2, E2 = 200 GPa.
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