LTx_04

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Apuntes de la Experiencia Educativa 
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN, GUÍAS DE ONDA Y FIBRA ÓPTICA 
27 
M.C. Luis Héctor Porragas Beltrán © 
Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones - Veracruz 
 
Z = r + jx
r + j x =
1 + p + jq 
1 – p - jq 
r + jx =
(1 + p) + jq 
(1 –p) – j q 
Reacomodando
ROE =
1+ Kr
1 - Kr
=
zL
z0
Multiplicando por 
el conjugado 
r + jx =
(1 + p) + jq 
(1 –p) – j q 
*
(1 - p) + jq 
(1 –p) + j q 
r =
1 - p2 – q2
(1 - p)2 + q2
x =
2q 
(1 - p)2 + q2
Agrupando parte Real y parte imaginaria tenemos:
 
De las ecuaciones paramétricas obtenidas podemos
comenzar el diseño de la carta con las ecuaciones
para los círculos resistivos.
P -
r
R+1
+ q2 = 
r
R+1
2
 
a x
b
y
r
Ecuación del Círculo
(x - a)2 + (y - b)2 = r2(x - a)2 + (y - b)2 = r2
 
 
las graficas muestran
el mapeo después de realizar
la transformación bilineal.
Valores  1
Valores > 1
 
kr 
2βl+
u
iv
1-1
La carta de Smith se dibuja en el plano complejo w  Kr .
Como kr1, todo el diagrama se circunscribe al círculo
de radio unitario.
Las curvas de r = cte. son círculos:
con sus centros sobre el eje real.
  222 )1(1)1( rvrru 
0 0.2 0.5 21
Las curvas de x = cte. son también
círculos:
con centros sobre el eje imaginario u = 1.
    22 /1/11 xxvu 
i2
-i2
i1
-i1
i0.5
-i0.5
Hacia la carga
Hacia el generador
 
Se basa en un conjuntos de círculos ortogonales, a
través de la cual pueden determinarse los siguientes
parámetros:
1.- Impedancia (o admitancia ) en cualquier punto a lo
largo de una línea de transmisión. ( Zx )
A) Magnitud del coeficiente de reflexión. ( Kr )
B) Ángulo del coeficiente de reflexión en grados eléctricos.
 
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2.- Longitud de la línea de transmisión entre dos puntos
cualesquiera en longitudes de onda.
3.- La atenuación existente entre dos puntos cualesquiera de la
línea.
A) Coeficiente de perdida de onda estacionaria.
B) Pérdida de reflexión.
 
4.- Relación de onda estacionaria de voltaje y corriente.
( ROEV, ROEI )
A) Relación de onda estacionaria.
B) Límites de voltaje y corrientes debidos a las ondas
estacionarias. ( Vmax, Vmin, Imax , Imin )
5.- Los valores de Reactancias para realizar
acoplamientos y/o las distancias necesarias para la
ubicación de los acopladores.
 
6.- Impedancia o Admitancias normalizadas a Zo:
7.- La ubicación directa del Coeficiente de Reflexión (Kr)
tanto enmagnitud como en fase.
8.- Círculo externo de la carta representa un ROE= y un
Kr=1.
 
10.- La mitad superior representan cargas Inductivas
(x carta de Z) ó Capacitivas (b carta de Y).
9.- El centro de la carta representa un
ROE= 1 y un Kr= 0.
11.- La mitad inferior representan cargas Capacitivas (x) ó
Inductivas (b).
12.- En distancias de /4 se tiene una inversión de
impedancias. Es decir una rotación de /4 (la cual
equivale a 180°) convierte una Z en Y y viceversa.
 
Carta de Smith 
de impedancias
(carta Z)
 
Reactancias
Inductivas
(+ jXL)
Valores
Resistivos
(r) 
Reactancias 
capacitivas
(-jXc)
La imagen 
siguiente 
representa una 
versión estándar 
de la Carta de 
Smith, donde se 
ven los círculos 
de resistencia 
constante (r) y 
los de reactancia 
constante, 
pudiendo ser 
estos últimos 
inductivos (XL) o 
Capacitivos 
(XC).
 
Carta de Smith 
de admitancias
(carta Y)
 
w
w
z
eK
eK
Z
zZ
li
rL
li
Lr








1
1
 
1
1)(
)2(
)2(
0


 La Carta de Smith también se puede graficar para admitancias, que
da mayor facilidad para trabajar con cargas conectadas en paralelo.
Vemos que:
y se obtiene la misma transformación
bilineal pero con el complejo w girado
180º. Luego:
Z
Y
Un punto en el diagrama de impedancias se convierte en un
punto en el diagrama de admitancias girando el fasor 180°
w
w
z
eK
eK
eK
eK
Y
zY
li
Lr
li
Lr
li
Lr
li
rL













1
1
 
1
1
1
1)(
)2(
)2(
)2(
)2(
0




 
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Carta
( YZ )
 
En la Carta de Smith existen diferentes tipos de
escalas, de manera general las podemos dividir en
escalas periféricas y radiales. Dichas escalas nos
ayudan en las diferentes tareas que implica el
diseño de RF (ej. Determinación de la ROE, Kr, y
perdidas de transmisión).
1.- Las escalas periféricas se ubican alrededor de la
carta por encima del circulo máximo.
2.- Las escalas radiales que se encuentran en la parte
inferior del diagrama de smith.
 
IMPEDANCIASADMITANCIAS
ROE
LINEAL Y EN dB
ESCALAS
Pérdida de 
retorno, R y T
• y 
 
ESCALAS
PERIFERICAS
Ángulo del 
coeficiente de 
Tx en º
Distancia hacia
la carga 
en λ.
Ángulo del 
coeficiente de 
reflexión en º
Distancia hacia 
el generador 
en λ.
 
ESCALAS RADIALES
1. dBs = 20 log (ROEV ó ROEI)  segunda escala de arriba hacia abajo lado izquierdo
2. RTN LOSS [db] =20 log (1/ |kr|)  tercera escala de arriba hacia abajo lado izquierdo
3. RFL LOSS [dB] =10 log [ 1 /1 - |kr|2 ]  tercera escala de arriba hacia abajo lado derecho
4. RFL COEFF, P = kr2  cuarta escala de arriba hacia abajo lado izquierdo
5. RFL COEFF, E ó I = Kr  quinta escala de arriba hacia abajo lado izquierdo
6. SW LOSS COEFF = (1 + Kr 2) / ( 1 - Kr 2)  segunda escala lado derecho
7. Trans Coeff E / I = 1 + Kr  última escala lado derecho
8. Trans Coeff P = 1 - Kr
2  penúltima escala lado derecho (razón de potencia absorbida)
 
dBs
= 20 log (ROEV ó ROEI) 
RTN LOSS |dB |
=20 log (1/ |kr|)
RFL LOSS |dB |
=10 log [ 1 /1 - |kr|2 ] 
RFL. COEFF. P
=10 log [ 1 /1 - |kr|2 ] 
RFL. COEFF. E ó I
Kr
SW LOSS COEFF
= (1 + Kr 2) / ( 1 - Kr 2) 
TRANSM COEFF, P
1 - Kr2
TRANSM COEFF, E ó I
= 1 + Kr 
 
ESCALAS RADIALES EN LA 
CARTA DE SMITH
Coeficiente de reflexión (Escalas 4 y 5 Izq):
• De tensión E: Kr = tensión reflejada / tensión incidente.
• De potencia P: Kr 
2 = potencia reflejada / potencia incidente.
Pérdidas en la línea en dB (Escalas 3 Izq y Der)
Por Retorno
Potencia Reflejada 
Potencia Incidente.
dB = 20log (1/ Kr )
Por Reflexión
potencia incidente 
potencia reflejada
dB = 10log (1/1- Kr 
2 )
 
Coeficientes de la Onda Estacionaria→ (valores en dB)
ROE = (tensión máxima / tensión mínima).
= (corriente máxima / corriente mínima).
Coeficientes de Pérdidas de la Onda Estacionaria
= (potencia incidente + potencia reflejada / potencia de Tx)
= (1+ Kr 
2) / (1- Kr 
2 )
 
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Un nivel dado de potencia incidente nos indica el
aumento de pérdidas en elementos de Tx por
desadaptación en relación al sistema de adaptación ideal.
Una escala de e-2αl en cada división equivalente a 1
dB, puede emplearse esta escalas de pérdidas en Tx
graduada en intervalos de 1 dB para tomar en
consideración.
El factor de e-2αl que relaciona los módulos de los
coeficientes de reflexión de 2 puntos distintos en un
línea de Tx.
 
TRABAJANDO CON LA CARTA DE 
SMITH
 La impedancia de la línea de transmisión y/o circuito
electrónico normalmente está compuesta de elementos,
tanto reales (R,G) como imaginarios (jX, jB).
 En el acoplamiento de circuitos es necesario
“normalizar” respecto a la impedancia que se quiera, en
las líneas de transmisión se realiza en función a la
impedancia característica de la línea (Zo).
 
 Los valores Reales de ZL se deben trazar sobre el
eje X, representando el origen la igualdad de
impedancias (Zo=ZL) teniendo un valor unitario, ya
que los valores dentro de la carta son “normalizados”.
Losvalores Reales de ZL>Zo se deben trazar
sobre la parte derecha del eje X, mientras que los
valores reales de ZL<Zo, se ubican a la izquerda del
origen.
 
0
ROE
ZL < ZO ZL > ZO1

K
r
0
1
XC < ZO
XL < ZO
XC > ZO
XL > ZO
X
C
= Z
O
X
L
= Z
O
I MAX → Antinodos
V MIN → Nodos
V MAX → Antinodos
I MIN → Nodos
Z
L
= Z
O
 
TRABAJANDO CON LA CARTA DE SMITH DE
IMPEDANCIAS (Z)
 Los valores Reactivos positivos (XL) se deben trazar en la parte
superior de la carta, tomando como referencia el eje X, donde los
valore de XL>Zo estarán en el 1
er cuadrante de la carta y los
menores XL<Zose ubicarán en el 2
o cuadrante.
 Los valores Reactivos negativos (Xc) se deben trazar en la parte
inferior de la carta, tomando como referencia el eje X, donde los
valore de Xc>Zo estarán en el 4
to cuadrante de la carta y los menores
Xc<Zo se ubicarán en el 3
er cuadrante.
 
INVERSIÓN DE IMPEDANCIAS. 
(ADMITANCIA) 
La admitancia (Y), es la matemática inversa de Z o lo
que es lo mismo, cualquier número complejo puede
encontrarse en forma gráfica, utilizando la carta de
Smith trazando simplemente (Z), en el plano complejo y
luego haciendo una rotación de este punto 180 grados.
 
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PRECISIÓN DE LA CARTA DE SMITH
• La escala periférica angular en el borde tiene divisiones
de /500 (0.72 ) y la escala del coeficiente de reflexión se
puede leer a una precisión de 0.02. Con lo que se
demuestra que es absolutamente suficiente para la
mayoría de los propósitos.
• Por ejemplo, si la  en cable coaxial a 1 GHz es 20 cm, la
carta de SMITH localiza la posición a lo largo del cable a
0.4 milímetros, lo cual es superior a la precisión lograda
con el corte.
• Si se requiere más precisión, una sección agrandada de
la carta se puede hacer fácilmente con una fotocopia.
 
VENTAJAS DE LA CARTA DE SMITH
• Es una representación gráfica directa, en el plano complejo,
del coeficiente de reflexión.
• Es una superficie de Reimann, en que es cíclico en
números de /2 a lo largo de la línea.
• La transformación a lo largo de la línea da lugar a un
cambio del ángulo de Kr, y no a la magnitud o al radio del
círculo que delimita al Kr.
• Puede ser utilizada como calculadora de impedancia o
admitancia, simplemente rotando el punto 180 .
• El interior de la región circular Kr=1 representa el caso
pasivo de la reflexión, lo cual es a menudo la región de
interés.
 
VENTAJAS DE LA CARTA DE SMITH
• Muchas de las características más importantes en el
análisis de los diseños de microondas como: las regiones
de la figura del ruido y de la estabilidad, se mapean sobre
la carta de SMITH como círculos.
• El "punto en " representa el límite máximo del
coeficiente de reflexión, por lo que puede no ser
considerado para aplicaciones prácticas.
• Una transferencia simple del lugar geométrico del
diagrama en su extremo derecho del eje real, da una
lectura directa del SWR.
 
novedades
Carta Condensada
 
 Cuando la Resistencia de Carga (RL) son negativas,
los círculos resistivos sobrepasan la magnitud del
círculo de |G|=1.
 Una Carta de Smith Condensada incluye la Carta de
Smith Normal más una porción adicional de
impedancia negativa.
 Las Cartas De Smith Condensadas son para
|G|=3.16 (ej. pérdidas por retorno de –10dB o
ganancias por retorno de +10dB).
 Las propiedades de la Impedancia y la Admitancia
de la Carta De Smith Normal se mantienen para este
tipo de Carta.
 
Carta Condensada
De la Línea Azul a la
Izquierda es la Carta
de Smith Normal; La
circunferencia Roja es
la correspondiente al
circulo de |G|=3.16
(RL= –10dB).
 
Determine el valor del Coeficiente de
Reflexión (Kr) y la ROE si la carga es ZL=25+j30 Ω y está
conectada a una línea cuya Zo=50 Ω.
• Ubicar el sistema en la carta de Smith.
PROBLEMA
1
PROBLEMAS
 
25 + j30 
50
DATOS:
ZL = 25 + j30 Ω 
ZO = 50 Ω
ZL = Normalizando
ZL
ZO
= 0.5 + j0.6 A
1.-Ubicamos el punto A en la carta.
2.-Se traza el circulo de ROE.
3.-Se obtiene el coeficiente de reflexión (Kr)
ZL = 
 
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Círculo de 
Resistencia
Constante para 0.5
0.5 + j 0.6
APUNTO
 
Círculo de 
Reactancia
Constante para 
0.6
0.5 + j 0.6
APUNTO
 
ROE
Se traza un círculo tomando
como radio del centro de la
carta al punto A.
(círculo de ROE constante).
A
0.5 + j0.6ZL = 
 
ROE = 2.8
 
+ j1
A
ROE = 2.8
0.5 + j0.6ZL = 
Se traza una línea del centro
de la carta al punto A
prolongándose hasta cortar las
escalas.
Kr 
ROE
MAGNITUD
ANGULO 
 
+ j1
A
ROE = 2.8
0.5 + j0.6ZL = 
Kr =
MAGNITUD
 
ESCALAS RADIALES
1. Razón de Onda Estacionaria  SWR (ROE)  1a Escala del lado Izquierdo.
2. ROE n Decibeles  dBs = 20 log (ROEV ó ROEI)  2da Escala de lado izquierdo.
3. Pérdidas en la Línea en dBs:
1. Por Retorno  RTN LOSS [db] =20 log (1/ |kr|)  3a escala del lado izquierdo.
2. Por Reflexión  RFL LOSS [dB] =10 log [ 1 /1 - |kr|2 ]  3a tercera escala lado 
derecho.
4. Coef. de Reflexión de Potencia  RFL COEFF, P = kr2  4ta escala lado izquierdo.
5. Coef. de Reflexión de V o I  RFL COEFF, E ó I = Kr  5ta escala de lado izquierdo.
6. Coef. de Pérdidas de la Onda Estacionaria  SW LOSS COEFF = (1 + Kr 2) / ( 1 - Kr 2)
 2da escala lado derecho.
7. Coef. De Transmisión Trans Coeff E ó I :
1. Coef. Máximo de Voltaje  1 + Kr  6ta escala lado derecho.
2. Coef. Mínimo de Voltaje  1 - Kr  6ta escala lado izquierdo.
8. Coef. De Transmisión de Potencia (Potencia Absorbida)  Trans Coeff P = 1 - Kr2
 5ta escala lado derecho.
Las escalas están referenciadas de manera descendente 
(de arriba hacia abajo) 
dBs
= 20 log (ROEV ó ROEI) 
RTN LOSS |dB |
=20 log (1/ |kr|)
RFN LOSS |dB |
=10 log [ 1 /1 - |kr|
2 ] 
RFL. COEFF. kr
2
RFL. COEFF. E ó I
Kr
SW LOSS COEFF
= (1 + Kr
2) / ( 1 + Kr
2) 
TRANSM COEFF, P
1 - Kr
2
TRANSM COEFF, E ó I
1 – Kr (Vmin) ó 1 + Kr (Vmax)
problema
 
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Trazamos el circulo 
de ROE del punto 
A, y en donde este 
se intercepta con el 
eje real, trazamos 
una linea hacia la 
escala de 
atenuación
ROE = 2.8
Ubicamos el punto 
A, que es la 
impedancia de 
carga normalizada
A = 10.5 +j0.6 
9
 
106 º
0.102 λ
ANGULO 
PROBLEMAS
 
Empleando la carta Smith determine la
longitud mínima en metros que debe tener un “Stub” en
corto circuito para que se tenga una reactancia
inductiva de 30 Ω .
Considere que el tramo de línea a utilizar tiene una
Zo= 100 Ω y la frecuencia de trabajo del sistema es de
300 MHz.
PROBLEMA
2
PROBLEMAS
 
A
DATOS:
ZL = j30 Ω 
ZO = 100 Ω
ZL = 
Normalizando ZL
ZO
j0.3ZL = 
j30 
100
=
Ubicamos el 
punto A en la 
carta.
 
impedancia 
Puramente
Inductiva
A
Se traza una recta del centro al punto A. Y
prolongándola hasta cortar las escalas de
posición en función de longitudes de onda.
ZL = + j 0.3
 
0.047  Hacia 
el Generador
0.453  Hacia 
la Carga
 
A
Como el Stub Inductivo va a conectarse en Corto Circuito al
sistema, y un Inductor en corto es simulado con longitudes de
línea menores a /4, la longitud quedará dada por la ubicación
del punto A al corto circuito en la carta.
CORTO 
CIRCUITO
CIRCUITO 
ABIERTO
l = 0.047
ZL = + j 0.3
 
 = VLUZ = 1 m
F 
Si  es igual a:
Donde:
L= 15.9 nH
l = 0.047 x (1)
= 0.047 m.
l = 4.7 cm.
XL = 2 π F L
L = 30
2 π F 
 
 
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Si en lugar de emplear un Brazo Reactancia en Corto
Circuito fuera en Circuito Abierto
¿ La longitud sería la misma ?
 
A
Ahora el Stub Inductivo debe conectarse en Circuito Abierto al sistema, por
lo que el Inductor se simula con longitudes de línea mayores a /4. En base
a lo anterior la longitud queda determinada de la siguiente manera.
L = 0.297
Z
A
= + j 0.3
La longitud quedará dada
por la ubicación del punto A
al corto circuito en la carta.
CORTO 
CIRCUITO
CIRCUITO 
ABIERTO
PROBLEMAS
 
Una línea de transmisión de baja
perdida con Zo = 75 Ω y long. /4 es conectada a una
carga cuya carga cuyo valor es ZL = 100 - j24 Ω.
Determine empleando la carta de Smith:
PROBLEMA
3
a) El ROE del circuito.
b) El Kr en la carga.
(por fórmula y gráfico)
c) La admitancia YL.
d) La admitancia YG.
e) El Kr en la entrada de la línea.
(en el generador)
f) La ubicación del primer máximo
y el primer mínimo
PROBLEMAS
g) Escalas radiales
 
A
inciso 
a)
ROE = 1.45
1.33 - j0.32
 
+ j1
A
1.5
8.5
K
r
= 0.1764  - 37°
inciso b)
Kr en la carga
Kr =
DATOS:
ZL = 1.3 + j0.32 Ω 
ROE = 1.45
=
= 0.1764
Kr =
d2
d1
 
Z
L
= 1.3 - j 0.32
YL= 0.0098 + j 0.0021
Inciso c)
YL= 0.74 + j 0.16
 
+ j1
A
B
Inciso d)
Ubicación 
Inicial de YL
Ubicación 
Inicial de ZL
 
+ j1
A
B
L = 0.25 
0.052
0.302
Inciso d)
Solución gráfica
Ubicación 
Inicial de YL
Ubicación Final 
Yg 
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Si en lugar de emplear un Brazo Reactancia en Corto
Circuito fuera en Circuito Abierto
¿ La longitud sería la misma ?
 
A
Ahora el Stub Inductivo debe conectarse en Circuito Abierto al sistema, por
lo que el Inductor se simula con longitudes de línea mayores a /4. En base
a lo anterior la longitud queda determinada de la siguiente manera.
L = 0.297
Z
A
= + j 0.3
La longitud quedará dada
por la ubicación del punto A
al corto circuito en la carta.
CORTO 
CIRCUITO
CIRCUITO 
ABIERTO
PROBLEMAS
 
Una línea de transmisión de baja
perdida con Zo = 75 Ω y long. /4 es conectada a una
carga cuya carga cuyo valor es ZL = 100 - j24 Ω.
Determine empleando la carta de Smith:
PROBLEMA
3
a) El ROE del circuito.
b) El Kr en la carga.
(por fórmula y gráfico)
c) La admitancia YL.
d) La admitancia YG.
e) El Kr en la entrada de la línea.
(en el generador)
f) La ubicación del primer máximo
y el primer mínimo
PROBLEMAS
g) Escalas radiales
 
A
inciso 
a)
ROE = 1.45
1.33 - j0.32
 
+ j1
A
1.5
8.5
K
r
= 0.1764  - 37°
inciso b)
Kr en la carga
Kr =
DATOS:
ZL = 1.3 + j0.32 Ω 
ROE = 1.45
=
= 0.1764
Kr =
d2
d1
 
Z
L
= 1.3 - j 0.32
YL= 0.0098 + j 0.0021
Inciso c)
YL= 0.74 + j 0.16
 
+ j1
A
B
Inciso d)
Ubicación 
Inicial de YL
Ubicación 
Inicial de ZL
 
+ j1
A
B
L = 0.25 
0.052
0.302
Inciso d)
Solución gráfica
Ubicación 
Inicial de YL
Ubicación Final 
Yg 
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De las posiciones obtenidas de los 
puntos A y B en la carta, se tomarán los de la 
escala Hacia el Generador ya que es la única 
manera en que nos podemos mover debido a que 
estamos ubicados en la carga. 
Inciso d)
 
+ j1
K
rC
= 0.1764  143°
A
C
K
rA
= 0.1764 
 - 37°
Inciso e)
 
La magnitud del coeficiente de reflexión se 
mantiene constante a lo largo del circuito siempre 
que los elementos de este no varíen, solo cambia 
el ángulo de fase.
Inciso e)
 
+ j1
1er Máximo de Corriente Carga 
d
Max
= 0.5 - 0.302 
d
Min
= (0.5 - 0.302 )+0.25 
0.302
0.2500.500
Inciso f)
1er Mínimo de Corriente
 
Partiendo de la carga lo primero que se
presentaría seria un máximo de corriente (o
mínimo de voltaje) y posteriormente (0.25) el
mínimo de corriente (o máximo de voltaje).
Inciso f)
 
Una línea de 50  está terminada en una impedancia ZL= 100 – j 35 .
Determine:
a) El Coeficiente de Reflexión (Kr ) y la ROE.
La ZL normalizada:
se ubica el punto A en la carta.
7.02
50
35100
0
0 i
i
Z
Z
ZZz LLL 


La longitud del radio vector desde el
centro de la carta al punto A, respecto
del radio del diagrama, da el valor de
L(también puede leerse en la escala
inferior): Kr0.39
y el ángulo de fase es:   -22º
o: Kr 0.37 - i 0.15
A
PROBLEMA
4
 
Una línea sin pérdidas con Zo = 50 Ω termina en corto
circuito, la línea mide 1.8  a cierta frecuencia. Use la
Carta de Smith para determinar:
a).- La impedancia de entrada.
b).- La posición del 1er Mín. de I más cercano a la carga.
c).- La posición del 1er Máx. de V más cercano a la carga.
d).- El ROE y Kr del sistema.
PROBLEMA
5
PROBLEMAS
 
Una línea de transmisión con Zo = 50 Ω tiene un punto
determinado conectado una Zx = 49 + j 25. Si la frecuencia del
generador es de 500 MHz determinar:
a) Z a 15 cm hacia la carga.
b) Z a 20 cm hacia el generador.
c) El ROE y Kr para cada una de las impedancias de los incisos
anteriores.
d) De la Zx conectada hacia la carga indicar que se presenta
primero, el máximo de voltaje o el máximo de corriente.
PROBLEMA
6
PROBLEMAS