9 Fuerzas - Arturo Lara

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10- 9 Fuerzas
Cuando un dieléctrico se polariza, el campo eléctrico ejercerá fuerzas sobre las densidades de carga ligada resultantes. Ya que todo este tema de las fuerzas sobre dieléctricos y sobre conductores en presencia de dieléctricos es muy complicado, es fácil obtener resultados equivocados. Por ello, aquí solamente se verán dos situaciones de las más sencillas que existen. Es más, ni siquiera se tocará lo concerniente al balance que debe existir entre las fuerzas eléctricas y mecánicas de un sistema para mantenerlo en equilibrio mecánico o para producir un nuevo equilibrio cuando se aplican los campos eléctricos. Si el dieléctrico no es rígido, por lo general sufrirá una deformación bajo la influencia de estas fuerzas eléctricas. A este fenómeno se le denomina electrostricción; por lo común suele ser un efecto muy pequeño, pero bajo ciertas circunstancias puede revestir gran interés e importancia.
Ejemplo
Fuerza superficial promedio sobre un dieléctrico. Considérese el caso particular de un capacitor. Como ya se vio en (10-94), la energía de un capacitor, a carga constante, disminuirá en la presencia de un dieléctrico. Ya que la tendencia natural de todos los sistemas es hacia la disminución de su energía, se puede considerar que un capacitor “desea” que el dieléctrico se encuentre presente. En otras palabras, debe existir una fuerza tal sobre el dieléctrico que tienda a hacer que permanezca entre las placas del capacitor.
H	£	
Figura 10-18. Fuerza sobre un dieléctrico.
De manera más específica, considérese un capacitor de placas paralelas cuyas placas son cuadrados de lado L, de manera que A -L2. Supóngase también que se cuenta con un trozo de dieléctrico de dimensiones tales que entra justamente en el espacio entre placas. Se desprecian efectos de borde y se supone que el campo es diferente de cero sólo en la región entre las placas. La figura 10-18 muestra una vista de perfil de la situación, en la que se aprecia que el dieléctrico se encuentra introducido a medias entre las placas. Por medio de (10-94) se puede encontrar el cambio total en la energía cuando el dieléctrico está totalmente introducido:
(
K — 1 \
)^o	(10-96)
Si < F > es la fuerza promedio sobre el dieléctrico y £ es el desplazamiento total del mismo,
por medio de (7-37) se tiene que
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Electrostática en presencia de materia
piadas para los casos en que se considere que la polarización fue producida por el campo. En toda esta argumentación se supone que Ke es constante durante los procesos descritos. Como se verá en el apéndice B, en realidad resulta que muchos dieléctricos poseen Ke que depende de la temperatura, de modo que aquí es correcta la suposición de que los procesos estudiados son isotérmicos. Esto viene a ser consistente con el énfasis puesto en la relación de Ue con el trabajo reversible, de manera que en realidad es más análoga a la función de Helmholtz o energía libre en termodinámica, pues no existe una distinción entre sus cambios para sistemas a temperatura constante. Con esto en mente, se puede considerar que (10-90) viene a ser una contribución a la energía interna del sistema dieléctrico.
Debe también tenerse presente la distinción entre estas energías y la energía de interacción entre una distribución de cargas y un campo externo, lo que ya se estudió en la sección 8-4. En particular, se obtuvo la energía de un dipolo en (8-64). Si se deseara aplicar esto a un material polarizado, se deberá escoger entre considerar que la polarización es permanente, o que el campo externo es tan pequeño que no afecta a P de manera apreciable. En ese caso, (10-1) es el momento dipolar de un volumen pequeño y la energía de interacción externa que se obtiene de (8-64) puede expresarse como
rfl/,e„=-P-E„,tfr	(10-92)
donde el campo externo se denota con Eexí en lugar de Eo, el que se ha estado usando hasta ahora para los valores al vacío. Al integrar (10-92) sobre el dieléctrico, se obtiene la energía de interacción total como
CtM=- fP-Ea,dr	(10-93)
Por ejemplo, si Eext no varía mucho en el volumen, se puede sacar de la integral y utilizar (10-2) para obtener Ue>ext = - p-Eext, lo que concuerda con (8-64).
Ejemplo
Energía de un capacitor en general. En el caso especial en que se obtuvo (10-86), se estudió el efecto que produce la presencia de un dieléctrico sobre un capacitor. Aquí se examinará brevemente el caso generalizado.
La energía está dada por (7-21), y se ha obtenido además la expresión (10-73) del efecto sobre la capacitancia, todo esto en forma general. Por lo tanto, si se mantiene constante la carga Q, la energía Ue con el dieléctrico entre las placas es Ue = Q2 ¡2C - Q2/2KeC0 - Uü¡Ke, donde Uo es la energía en vacío, de modo que la energía disminuida queda dada por
Ue= —	(2 = constante)	(10-94)
Ke
y, de acuerdo con (10-86), viene a ser un resultado completamente general.
Supóngase ahora que es la diferencia de potencial A0 la que se mantiene constante. Al combinar (7-21) con (10-73) se encuentra que Ue = jC(A0)2 = ^KeCO(A0)2 = KeCJ0, de manera que
Ue = Ke Uo (S<f> = constante)	(10-95)
Fuerzas
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Una de las razones para expresar (7-39) como se hizo, para obtener fe =ue usando las propiedades específicas del capacitor de placas paralelas, fue para obtener un resultado de forma más sencilla y de mayor generalidad que los métodos que se usaron. Es natural preguntarse si se puede hacer lo mismo aquí. Uno de los problemas es que en presencia de un dieléctrico los dos métodos, el de carga constante y el de diferencia de potencial constante, tienen en realidad consecuencias diferentes. Aún si se pudiera lograr, la manera de hacerlo parecería algo artificial. Si se mantiene constante la carga libre Q, D también será constante, por lo que se podrá expresar la densidad de energía de (10-83) como D2 /2e y, por lo tanto, la fuerza por unidad de área será
D2
^ = ^=27	((? = constante)	(10-101)
Así, para D = const , la relación de las fuerzas con y sin el dieléctrico será de/e//e0 = c0 /e = 1 /Ke, lo que concuerda con (10-99). Por otro lado, si la diferencia de potencial A0 se mantiene constante, E también será constante, por lo que se puede escribir ue más apropiadamente como ^€E2, de acuerdo con (10-83), de manera que
/e = ue = |cE2 GM> = constante)	(10-102)
Así, la relación entre las fuerzas con y sin el dieléctrico será de felfeQ = e/60 = Ke como lo requiere (10-100).