Clasificación de dieléctricos - Arturo Lara (1)

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10- Clasificación de dieléctricos
Como ya se mencionaba al final de la sección 10-1, es de esperarse que generalmente exista una relación funcional entre la polarización y el campo eléctrico, es decir, P - P(E) o Px - PX(EX y Ey, Ez) y así sucesivamente. La teoría electromagnética macroscópica descriptiva no puede predecir la forma de estas funciones, pero sí las admite como información externa, Desde este punto de vista, estas relaciones se dejan para ser determinadas por la experimentación o para ser calculadas en forma teórica a partir de propiedades microscópicas de la materia, usando otras ramas de la física como son la mecánica estadística y la física del estado sólido. Esto no lleva a una situación desesperada, sin embargo, porque una combinación de la teoría general y la experimentación demuestra que la mayoría de los materiales caen dentro dé ciertos grupos de fácil clasificación, y este hecho se puede utilizar para simplificar la teoría y volverla más práctica. Es deseable llevar a cabo esto paso a paso, para poder entender mejor las limitaciones de la forma final.
I. Polarización permanente
Si E = 0, entonces existen dos posibilidades para el valor de P(0). Si P(0) =# 0, el material se encuentra polarizado aún en la ausencia de un campo y, como ya se vio antes, se dice que posee polarización permanente y recibe el nombre de electreto. Aunque los electretos existen, no se tratarán más en esta sección. La situación en donde P(0)= 0 es más característica y representativa de lo que comúnmente se puede esperar cuando se habla de una polarización producida por un campo; en general se utilizará el nombre de dieléctrico sólo para este tipo de material.
II. Dieléctricos no lineales
Aún cuando P(0) = 0, todavía es posible que la relación entre P y E sea muy complicada. Para la mayoría de los materiales, sin embargo, esto sólo ocurre en condiciones muy excepcionales, tales como campos extremadamente grandes, temperaturas bajas, o ambas. Así se encuentra que a menudo es suficiente expresar Pcomo una serie de potencias de las componentes de E, es decir, que se puede escribir
/>,= 2 «„£,+ 2 S ■ ■ ■	(10-48)
j	J k
donde los índices i, j y k toman los valores de x,y y 2; nótese que esta forma satisface la suposición de queP(0) = 0. Los valores específicos de los coeficientes cx.i¡,&ijk>-.dependerán del dieléctrico en particular de que se trate. Si se requieren los términos de segundo orden o superiores de las componentes de E para describir adecuadamente el material, se dice que el dieléctrico es no-lineal. Sólo por el experimento se puede saber si (1048) resulta necesaria en un caso dado; por ejemplo, algunas cerámicas se encuentran en esta categoría. No se consideran aquí los dieléctricos no lineales con mayor profundidad, sino que se restringirá el tratamiento a los casos para los que solamente se requiera del primer término de (10-48); tales materiales reciben el nombre de dieléctricos lineales.
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Electrostática en presencia de materia
III. Dieléctricos lineales
En este caso, la expresión general que relaciona las componentes de P con las componentes de E puede escribirse en la forma siguiente:
Px = €o(x« Ex + xXyEy + X.z Ez)
Py = ¿o(XyX EX + Xyy Ey + XyZEz)	(10-49)
Pz = eo(?Gx^ + XzyEy +
donde los factores de proporcionalidad Xí/ reciben el nombre de componentes del tensor de susceptibilidad eléctrica. Se ha introducido el factor e0 de manera o ue las X¡¡ no tengan dimensiones como puede deducirse de (10-40). En general, las Xi¡ no necesitan ser constantes y pueden ser función de la posición en el material. Las x^ no pueden depender de E porque eso sería regresar al caso de los dieléctricos no lineales de (10-48). Se desprende de estas relaciones que P no será en, general, paralelo a E ni aun en los dielétricos lineales, y que D tampoco será paralelo a E. Esta situación es muy común en los cristales, y provoca tales fenómenos como la doble retracción. Se pasa ahora ala siguiente suposición simplificadora.
IV. Dieléctricos isotrópicos lineales
Ahora se hace la suposición adicional de que en un punto dado las propiedades eléctricas del dieléctrico son independientes de la dirección de E; a tal condición se le conoce como isotropía. Dado que una dirección es completamente equivalente a la otra, P debe ser necesariamente paralelo a E y las xz/ = 0 si i j, y Xxx = Xyy = Xzz, de manera que (10-49) puede escribirse en función de un solo factor de proporcionalidad como sigue:
P = X,e0E	(10-50)
donde Xe recibe el nombre de susceptibilidad eléctrica. Al combinar (10-50) con (10-40) se encuentra que
D = (l+Xe)^oE=Kí-eoE=€E	(10-51)
donde
= 1 +xe - constante dieléctrica ~ capacidad inductiva específica relativa (10-52)
e = Kt,e0 = capacidad inductiva específica (absoluta)	(10-53)
Las cantidades Xe, kc y e caracterizan las propiedades eléctricas del material y se encuentran por experimentación; existen muchas tablas que consignan sus valores. Para todas las sustancias conocidas, Xc es positiva y por lo tanto Ke > 1. De (10-51) se puede observar que Dy E son paralelos en esta situación. La ecuación D= eE recibe el nombre de ecua- ción constitutiva; no es una de las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo, sino que se aplica solamente donde resulte aplicable, por decirlo así.
lín este caso de los dieléctricos isotrópicos lineales también se puede encontrar la
Dieléctricos isotrópicos homogéneos lineales (i.h.l.)
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ecuación diferencial que debe satisfacer el potencial escalar. Utilizando (5-3) se puede expresar (10-51) como D = — e V </>, y si se sustituye esto en (10-41) y se usan (1-117) y (1-45), se obtiene
V • (e V<^>) — e V2<^> 4- V<£-Ve= — pf	(10-54)
como la ecuación de la que habría de despejar 0, ya que se debe respetar la posibilidad de que e sea una función de la posición, no pudiendo proseguir hasta no conocer esta dependencia.
La siguiente simplificación desemboca en una situación muy importante que merecerá una sección aparte.
10- 7 Dieléctricos ¡sotrópicos homogéneos lineales (i.h.l.)
Se hace ahora la suposición adicional de que las propiedades eléctricas son independientes de la posición; a tales materiales se les llama eléctricamente homogéneos. Por lo general, los gases y los líquidos así como muchos sólidos caen en esta categoría por lo que no resulta ser una situación tan especial como se podría pensar. Aquí la cantidades Xe, Ke y e son constantes; sin embargo, siguen siendo características del material. Las ecuaciones (10-50) a (10-53) siguen siendo aplicables y, además, (10-54) se simplifica a
V2<í>=-^	(10-55)
ya que ahora V e - 0. Por comparación con (5-15), se puede observar que para los dieléctricos i.h.l. el potencial cumple de nuevo con la ecuación de Poisson, remplazando e0 por e y poniendo pf en lugar de la densidad total de carga p. (Las cargas ligadas del material no han desaparecido, desde luego, pero sus efectos se resumen en el factor e.) El hecho de que 0 satisfaga la ecuación (10-55) también significa que para los dieléctricos i.hJ. se puede, con precaución, tomar las soluciones que ya se habían encontrado antes para el caso del vacío y simplemente remplazar e0 por e; se hará poco uso de esto, sin embargo. También, si pf = 0, <j) satisfará la ecuación laplaciana V20 = 0 en esta región.
Las condiciones de frontera en una superficie de discontinuidad ahora pueden expresarse completamente en función de E. Si se introduce (10-51) en (10-42) y se recuerda que (9-21) sigue siendo aplicable, se obtiene
ñ -(e2E2 -«!£!) = Oj
f	(10-56)
E2, — Elz = 0
Pero ahora se observa que aún cuando oy- = 0, las componentes normales de E no serán continuas, por lo general, a través de la superficie de separación entre los dos dieléctricos, de modo que, como se ilustra en la figura 10-14, la dirección de E puede cambiar en la frontera. Así, las líneas de E pueden refractarse aún en la ausencia de una densidad de carga libre y será diferente de 0t.
En un dieléctrico i.h.l. las densidades de carga libre y ligada se relacionan entre sí de una manera simple, como lo hacen la polarización y eldesplazamiento. Si se elimina E entre (10-50) y (10-51) y se usa (10-52), se encuentra que
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Electrostática en presencia de materia
p= XíD= ——— D
(10-57)
lo que permite demostrar que P y D también son paralelos y que |P| < |D|. Si ahora se tómala divergencia de (10-57) y se utilizan (10-10) y (10-41), se obtiene
Pb=	—Pf
(10-58)
de manera que \pb\ < \pp\. Si se sustituye este resultado en (10-38) se encuentra que la densidad total de carga en un dieléctrico i.hJ. siempre se podrá expresar como
P¿ _ _ Pb
P K	K - 1
(10-59)
lo que demuestra que la densidad total de carga siempre será menor que la densidad de carga libre, ya que kc > 1. Como un caso especial, se puede observar que si p( = 0, entonces pb = 0, de manera que en cualquier punto de un dieléctrico i.h.l. en el que no haya densidad de carga libre, no existirá densidad de carga ligada tampoco.
Figura 10-14. Campos eléctricos en la frontera entre dos dieléctricos.
De ahora en adelante en todos los ejemplos y ejercicios, excepto en donde se indique expresamente otra cosa, se manejarán exclusivamente dieléctricos i.h.l. En este punto se pueden considerar ya algunos ejemplos cuantitativos; se comienza con el capacitor, ya que fue lo primero que se consideró cualitativamente en la sección 10-3.
Ejemplo
Capacitor de placas paralelas con carga constante. En la figura 10-5 se muestra un capacitor de carga libre total Qf, con vacío entre las placas en (a) y con un dieléctrico que llena completamente la región entre las placas en (b). También se muestran las direcciones de los diversos vectores de campo. El valor para el campo en el vacío ya se discutió en el texto justo antes de (6-40) y es igual a /-/0 - ü//eo, donde • = Qf/A es la densidad super-
Dieléctricos isotrópicos homogéneos lineales (i.h.l.)
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W	(b)
Figura 10-15. Capacitor de placas paralelas a carga constante, (a) Vacío entre las placas.
(b) Dieléctrico entre las placas.
ficial de carga libre y A es la superficie de las placas. Dado que Po = 0, de (1040) resulta que el desplazamiento Do es
^o — eo-^o —
(10-60)
Ahora se mantienen Qj y of- constantes mientras se introduce un dieléctrico entre las placas, de manera que D no cambia y es igual a su valor en el vacío:
D= D{} = a t
(10-61)
Este resultado también está en concordancia con (1042), ya que los campos son iguales a cero dentro de la placa conductora y, por lo tanto, D2h ~Dln =D 0 -Of. Sin embargo, el campo eléctrico si cambia ya que, de acuerdo con (10-51),(10-61 )y (10-60), se tiene que
D _
€ Kee0 Ke
(10-62)
y por tanto E < Eo en concordancia con (1042). Se aprecia ahora que el factor de reducción del campo eléctrico es exactamente igual a la capacidad inductiva específica relativa. La diferencia de potencial es ahora
f ~	End	A<Í>n
A4>= I E¿s = EJ=—^- = —
J +	Ke Ke
(10-63)
de acuerdo con (10-62) y (10-22), Así, la diferencia de potencial es menor que en el vacío por el mismo factor Ke, de modo que A0 < A0O, en concordancia con el resultado experimental. Se puede encontrar la capacitancia al expresar (10-63) en función de la carga total:
A<+> =
y, por lo tanto,
r=
d
— KeC0
(10-64)
donde se han utilizado (10-20) y (6-41) para identificar el valor al vacío de la capacitancia Cq. Se observa así que la presencia del dieléctrico ha hecho incrementarla capacitancia,de acuerdo con (10-21), y que la relación de las capacitancias con y sin el dieléctrico es exactamente igual a la constante dieléctrica, es decir, C/Co = Ke.
La polarización se encuentra de (10-50) y (10-62) y es
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Electrostática en presencia de materia
P =	= (xe - 1 )e0E = (	] c0E0
X Ke /
Al seguir utilizando (10-62), se puede escribir el tercer término como
P = e0(E0-E)
de tal manera que
p
E = E0-f
co
(10-65)
(10-66)
(10-67)
lo que es también consecuencia de (10-40) y (10-61), es decir, D = eoE +P = Do = €oEQ. Este último resultado tiene exactamente la misma forma que ya se había encontrado en (10-25), siendo una expresión cuantitativa de Eb. Ya que P es constante, V ■ P = 0, por lo que no hay cargas ligadas volumétricas, en consistencia con (10-58), ya que las únicas cargas libres se encuentran en las superficies de las placas conductoras. Sin embargo, existen cargas ligadas en la superficie del dieléctrico. Su magnitud puede encontrarse de (10-8), (10-65) y (10-60) y es
Í10-68)
y los signos son exactamente los mismos que ya se mostraron en la figura 10-6. Se observa en la figura que el signo de ob es siempre opuesto al de la Of inmediata; tomando esto en cuenta, se puede escribir (10-68) como
/ Ke — 1 \
(10-69)
que es completamente análoga al resultado encontrado con anterioridad para las densidades volumétricas de carga de (10-58). Estas cargas superficiales ligadas, al actuar como dos planos infinitos cargados, producirán el campo Eb. La magnitud de Eb puede encontrarse a través del resultado previo (3-12) junto con (10-68), encontrándose que
Esto está en completa concordancia con (10-67), que se encontró por otros métodos, y también verifica el análisis que se hizo para llegar a la forma E - Eo - Eb dado en (10-25). A este campo Eb a menudo se le denomina el campo local y se dice que el campo resultante E es la suma del campo en el vacío Eo, producido por las cargas Ubres como si no hubiera materia presente, más el campo local Eloc = E¿, producido por las cargas ligadas que resultan de la polarización del dieléctrico.
Ejemplo
Capacitancia en general. Aunque (10-64) se obtuvo al considerar el caso especial de un capacitor de placas paralelas, la simplicidad de ese resultado, así como el hecho de que la expresión C - KeC0 no contienen ninguna característica que lo restrinja al capacitor de placas paralelas, sugieren que ésta bien podría ser una relación de carácter general válida para cualquier capacitor. Esto resulta ser verdad. Si se combinan (10-41) y (10-51), se obtiene
Dieléctricos isotópicos homogéneos lineales (i.h.l.)
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€	€0 \ Ke
(10-71)
ya que e es constante para una dieléctrico i.h.l. Se tiene también que 7 X E = 0 ya que E sigue siendo conservativo. Supóngase que se da una distribución de una carga libre descrita por py. Si no existe materia en la región de interés, se resuelven las dos ecuaciones fuente para obtener un campo eléctrico Eo. Si ahora se llena toda la región con un dieléctrico por Ke, y si se mantiene a pjsin cambio, se puede ver de (10-71) que el problema es exactamente el mismo que en el caso al vacío ya resuelto, excepto que las cargas fuente son menores en todos lados por el factor Ke. Así, como se aprecia en (3-3), por ejemplo, el campo E que se obtiene ahora también será menor por el mismo factor; es decir,
es un resultado general. La diferencia de potencial A</> entre las placas del capacitor está dada por (6-38) y es
J+ Ke Ke
(10-72)
como en el resultado especial (10-63). Nótese que este resultado es consistente con lo que se comentó después de ver (10-55).
Dado que Q? es la misma en ambos casos, la capacitancia es
A<f»o K‘C°
(10-73)
demostrando así en el caso general que la capacitancia de cualquier capacitor aumenta por un factor Ke cuando se llena todo el espacio entre sus placas con un dieléctrico. Este resultado viene a ser una buena manera de medir Ke.
Si el dieléctrico no es homogéneo, o si todo el espacio se llena con el dieléctrico, (10- 73) no es válida en términos generales. Tales problemas se pueden resolver escribiendo la diferencia de potencial como
A</> = J E-¿s = J
(10-74)
Así, se puede expresar D en función de la carga libre total Qf por medio de (10-41), o por (10-43) si el problema posee la suficiente simetría, de manera que cuando se integra, la capacitancia se encuentra por (6-38). En tal caso, la condición de frontera (10-42) resulta a menudo de gran ayuda.
Ejemplo
Carga puntual en un dieléctrico infinito. Supóngase que una carga puntual, q, se encuentra metida en un dieléctrico como se muestra en la figura 10-16. El campo de esta carga polarizará el dieléctrico. Si el dieléctrico es de tamaño finito, las cargas ligadas de las superficies contribuirán al campo resultante y el cálculo del campo en cualquierpunto sería un problema muy complicado. Sin embargo, si el dieléctrico es de extensión infinita, se puede despreciar el efecto de las cargas ligadas de su superficie, pudiendo asumir que existe simetría esférica. En este caso se puede escribir D = D(7?)É y utilizar la ley de Gauss para D
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Electrostática en presencia de materia
Figura 10-16. Carga puntual en un dieléctrico
infinito.
como en (10-43). Si se integra sobre la esfera de radio R que se ilustra con línea punteada en la figura, se obtiene
(£ D-Ja =	D ft-da ft = AirR 2D = 2/,en= q
de manera que
D =
?ft
4t7J?2
y E=-^
4irf.R2
(10-75)
y, como era de esperarse, el campo es el mismo que el de una carga puntual, pero reducido por el factor e/e0 = Ke. Imagínese ahora una carga puntual, q', situada en R;la fuerza que actúa sobre ella es
F' = q'E=J&JL	(10-76)
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que no es sino la ley del cuadrado inverso de Coulomb con e en lugar de e0.
Este resultado (10-76) es la base para el enunciado de que la presencia de un dieléctrico reduce las fuerzas entre las cargas por el factor e/e0 = Ke. Sin embargo, puede observarse que esto es cierto solamente para un dieléctrico ih.l. de magnitud infinita, o para uno tan grande que las cargas ligadas superficiales no afecten el campo y pueda aceptarse con seguridad una simetría esférica. De hecho, es posible que la fuerza que actúa sobre q resulte aumentada si se dan las circunstancias precisas.
Se puede encontrar la polarización de dieléctrico de (10-57) y de (10-75), y resulta
P=	(10-77)
Ke47rR2	V
estando dicho vector dirigido radialmente alejándose de q. De acuerdo con (10-58), la densidad de carga ligada debe anularse. De (10-10), (10-77) y (1-147) se desprende que tal es el caso.