3 Capacitancia - Arturo Lara (1)

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5- 3 Capacitancia
Uno de los usos más antiguos de los conductores en la electrostática fue para el almacenamiento de la carga eléctrica; el conductor puede ser cargado, por ejemplo, al proporcionarle un potencial definido por medio de una batería. Para tal aplicación, resulta de interés natural encontrar la “capacidad” del conductor para almacenar carga, en un sentido muy similar al de la capacidad de un barrril respecto al número de manzanas que puede contener. Hoy en dia, tales sistemas reciben por lo general el nombre de capacitores y la medida cuantitativa de su capacidad se llama capacitancia. De manera general, solamente existen dos sistemas de conductores de interés a este respecto: un solo conductor aislado, y un sistema de dos conductores con cargas iguales pero de signo opuesto.
Para un conductor aislado, la suma (6-11) se reduce a un solo término
$=p»Q
(6-21)
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Conductores en campos electrostáticos
En este caso, la carga es siempre directamente proporcional al potencial y la capacitancia, C, de un solo conductor se define como la relación:
C=-2 = —	(6-22)
0 Ai
y será una propiedad definida del conductor y relacionada con su geometría. Por ejemplo, se puede considerar la esfera para la que se encontrópn mediante (6-20); su capacitancia es entonces
Cesfera = 4W7	(6'23)
y es directamente proporcional al radio. Puesto que las unidades de en estaban dadas originalmente en farads/metro en (2-4), se observa en (6-23) que la unidad de capacitancia es el farad; también se puede observar (6-22) que 1 farad = 1 coulomb/volt, que es, desde luego, consistente con el resultado previo de 1 coulomb2/joule dado después de (2-4).
Cuando se considera un sistema de solamente dos conductores, el sistema de ecuaciones (6-13) se reduce a
01 ~PnQ\ +P12Q2 (6-24) 02 —P1\Q\ "*“^22^2
junto con
A2=Ai	(6'25)
de acuerdo con (6-19). Así, las relaciones potencial-carga para este sistema generalmente requieren del conocimiento de tres cantidades: pn ,p22 y Pi2- Cuando los dos conductores se usan como un capacitor, sin embargo, se observa una situación algo más especial—se supone que los dos conductores se conectan entre sí por alguna trayectoria conductora y que el proceso de carga de este sistema es una transferencia de carga de un conductor al otro. En estas circunstancias, la carga en uno de los conductores será siempre igual y de signo contrario a la carga del otro.
De esta manera, se toma como definición general de capacitor la siguiente: cualesquiera dos conductores con cargas iguales y signo opuesto, Q y - Q. Aún así, no resulta inmediatamente evidente que se pueda siquiera definir una capacitancia en este caso. Sin embargo,haciendo Qx = Qy Q2 = - Qen (6-24), se obtiene
= z)Q	(626)
02 = (.P21 ~ P21)Q
de manera que la diferencia de potencial entre los conductores es
A0 = 0, - 02 = (a 1 + P22 ~P\2 ~P2\)Q	(6-27)
y se puede observar que para un capacitor con cargas iguales y opuestas la carga y la diferencia de potencial son siempre proporcionales entre sí, de tal forma que es siempre posible caracterizar el sistema por medio de un solo parámetro. A esta cantidad se le denomina capacitancia, C, y se le define como
Capacitancia
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Q
(6-28)
por analogía con (6-22). A comparar (6-28) y (6-27), y utilizando (6-25), se observa que la capacitancia puede expresarse en función de los coeficientes de potencial como
Pu+Pzi -2P\2
(6-29)
de manera que, también en este caso de dos conductores, la capacitancia es esencialmente una propiedad que refleja las relaciones geométricas del sistema.
Ejemplo
Capacitor esférico. Considérense los dos conductores que se muestran en la figura 6-8. Las superficies limitantes son esferas concéntricas de radios a, h y c. Al conductor interno se le llama 1, y al externo 2. Se asume que 2 encierra completamente a 1. Los p necesarios para encontrar C pueden obtenerse a partir de las relaciones generales (6-24) si se consideran casos especiales apropiadamente elegidos. Antes que nada supóngase que Qx = 0, mientras que Q2 0, de manera que (6-24) queda como
Ó; ~ PuQi
(6-30)
de (6-6) se desprende que Q2 se encuentra completamente sobre la superficie exterior de radio c: por lo tanto, si se utiliza rl radio apropiado c en lugar de a en (6-5), el potencial de 2 estará dado por
4?7€oC
de manera que, de (6-30), se obtiene
1
477€0C
(6-31)
(6-32)
Dado que no existe carga en la cavidad, lo visto anteriormente en relación a las figuras
6-5 y 6-6 indica que = 02, de manera que, de acuerdo con (6-30),
P\2 = Pn
(6-33)
Para encontrar p} ,, asúmase que =£ 0, mientras que Q2 = 0; Ia segunda es el valor neto sobre el conductor 2, dado que la superficie interior de radio b debe poseer una carga-(21 de acuerdo con (6-6). En este caso,
PwQ\ y 9¿— P21Q1
(6-34)
9\=p^Qi y
Se pueden relacionar estas dos expresiones por medio de (5-1 1); el campo de la región vacía para la que ¿z C r < puede obtenerse a partir de la ley de Gauss, y el resultado será otra vez que, en esta región, (2] actúa como si fuera una carga puntual, de tal modo que el campo será radial y estará dado por (4-17) con Q remplazada por Qt . Al combinar todo esto se obtiene
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Conductores en campos electrostáticos
rb Qidr _2i/l n
L 47T€0r2 477c0\a b)
(6-35)
El miembro izquierdo puede escribirse como (pn — p21)2i debido a (6-34); al cancelar Qx en ambos miembros y utilizar (6-33) y (6-32) queda por último,
, i í i _ n_ i /i_i. n
P\\ P22 4t7c0 \ a b) 4-7T€0\a b c)
Debido a (6-33), la expresión general para C dada en (6-29) se simplifica así;
1 4tt€0	4tz€0¿zó
P11-P22 ~ (L_L\	b~a
\ a b)
(6-37)
utilizando también (6-36). Así, se ha podido encontrar la capacitancia de este capacitor
Figura 6-8
Capacitor esférico.
en particular por la evaluación del resultado general (6-29), expresado en función de los coeficientes de potencial.
Sin embargo, en la mayoría de los casos simples ésta no es la manera más conveniente de proceder. Lo que generalmente se hace es encontrar la diferencia de potencial a partir de una solución diferente y anterior al problema. De ordinario, ésta incluirá el conocimiento del campo eléctrico. Después se puede encontrar V0 usando (5-11) para integrar E sobre cualquier trayectoria conviente entre los dos conductores. Cuando los dos conductores forman un capacitor, generalmente reciben el nombre de “placas” Ya que, de acuerdo con (6-27), A0 deberá ser proporcional a la carga Q\ la relación de estas dos dará la capacitancia, de acuerdo con (6-28), por lo tanto, se tiene
A</> = </> +
C - placa
— <£_ = I
+ placa
Q
c
(6-38)
Resulta conveniente escribir el integrando de esta manera porque E generalmente estará
Capacitancia
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dirigida desde la placa de mayor potencial, cargada positivamente, a la placa de menor potencial cargada negativamente, de manera que E-Js será positivo, dando así el signo correcto para A0. A continuación se estudian dos ejemplos desde este punto de vista.
Ejemplo
Capacitor esférico. Este es el mismo sistema que se muestra en la figura 6-8, para el cual se encontró C por el método anterior. Asúmase ahora que la esfera interior de radio a posee carga positiva, Q', entonces la esfera exterior de radio b poseerá la carga -Q de acuerdo con (6-6). Como antes, al aplicar la ley de Gauss a una esfera de radio r tal que a < r < b resulta que E - (2/47ieor2 )r, de acuerdo con (4-17). Si se integra de la placa positiva a la negativa en una dirección radial, de manera que ds = dri, entonces (6-38) queda
p _ g p n g
a 47T€0r2	477€0 \ a b / C
(6-39)
lo que da el mismo valor para C que se encontró anteriormente en (6-37); esta vez el resultado se obtuvo de una manera mucho más fácil.
Ejemplo
Capacitor de placas paralelas. Este sistema consiste de dos placas conductoras, cada una de superficie A, que son paralelas entre sí y están separadas una distancia d que es muy pequeña comparada con sus dimensiones lineales. Las placas no necesitan ser cuadradas, pero cualquiera de sus dimensiones lineales deberá ser del orden de \¿4, de manera que, de hecho, d por hipótesis. Una vista de perfil de este capacitor puede observarse en la figura6-9. En estas circunstancias, las placas pueden ser consideradas como si fueran de dimensiones infinitas, con lo que se llega a las mismas conclusiones que para un plano infinito cargado, como en la sección 4-2: E es constante en magnitud y su dirección es normal a las placas, como se indica por las líneas punteadas de la figura. Dado que E sólo existe entre los conductores, su magnitud viene a ser la que resulta de (6-4), esto es , E = oICq. (Este valor de E es también el mismo que se encontró para los dos planos del ejercicio 3-9 y la figura 3-6). La trayectoria de integración más simple es la que sigue la dirección de E, indicada por ds en la figura 6-9. Así, E • ds = Eds = (o/e0)Js y (6-38) queda
f EJs=— f ds =
J+	€0J +
~ = ( d @
e0	C
(6-40)
donde o = Q¡A ; resulta exacto considerar a o como constante porque las placas son efectivamente de dimensiones infinitas, correspondiendo a una distribución superficial de carga uniforme. Al despejar C de (6-40), se obtiene la conocida expresión para la capacitancia:
tpA
d
(6-41)
Como un punto interesante, tanto este sistema como el del capacitor esférico ilustran de una manera gráfica por qué a los capacitores a menudo también se les llama “condensadores”. Debido a que la distribución de campo queda circunscrita a la región finita entre las placas, se dice que el campo eléctrico ha sido “condensado” en esta región, en lugar de extenderse por todo el espacio, como fue el caso de la mayoría de los ejemplos previos.
En este caso, las placas no son en realidad infinitas, pero se ha supuesto que el campo eléctrico es constante en todo punto entre las placas e iguales a (a/e0), y al llegar
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a los bordes de las placas se vuelven cero abruptamente. Uno de los ejercicios consiste en demostrar que esto no es posible debido a la naturaleza conservativa del campo eléctrico. Lo que en realidad ocurre es que las líneas de E sufren una curvatura hacia afuera a medida que se aproximan a los bordes de las placas, y por lo tanto deben extenderse a la región
Figura 6-9 Capacitor de placas paralelas.
exterior más allá de las placas como se indica en la figura 6-10. Sin embargo, si las placas son “lo suficientemente grandes”, no existirá un error considerable al despreciar estos “efectos de borde”; dado que en la práctica se suele hacer así, en este libro se continuará haciendo esta aproximación.
Figura 6-10 Apariencia general del campo en un capacitor de placas paralelas.
Posiblemente estos dos ejemplos sean suficiente prueba de que la mayoría de los problemas relacionados con el cálculo de la capacitancia por medio de (6-38) deben tener una gran simetría, de manera que E pueda encontrarse fácilmente, generalmente por medio de la ley de Gauss. Más adelante se podrán manejar problemas de mayor complicación cuando se hayan estudiado algunos métodos sistemáticos para encontrar el potencial 0 en función de la posición.