2 Método de las imágenes - Arturo Lara

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10- 2 Método de las imágenes
Recuérdese que la ley de Coulomb fue la base para obtener la expresión (5-2) para el potencial de un sistema de cargas, en la que la contribución de cada una de las cargas es proporcional a 1/A, siendo R la distancia de la carga al punto de campo. Por lo tanto, dicha expresión debe satisfacer la ecuación de Laplace necesariamente; también se puede observar esto explícitamente de (1-146). En otras palabras, la suma de los potenciales individuales de un conjunto de cargas puntuales es, automáticamente, una solución de la ecuación de Laplace. Este hecho constituye la base del método de las imágenes. El objetivo es encontrar un conjunto de cwgás ficticias (cargas imagen) las que, junto con cualesquiera cargas reales que se encuentren presentes, harán posible satisfacer las condiciones de frontera y así obtener la función única del potencial. Es decir, se intenta escribir el potencial como
<>= s
real
__ff
4^(A imagen 4^0^í
(11-10)
Q,
y encontrarla mejor combinación posible. La idea básica es que las cargas imagen simularán de alguna manera el comportamiento de las otras cargas fuente o del material presente; de acuerdo con esto, las cargas imagen se situarán fuera de la región para la que se está tratando de encontrar 0. Este método quedará mejor ilustrado por medio de ejemplos específicos.
Ejemplo
Carga puntual y plano conductor semi-infinito conectado a tierra. Como se muestra en la figura 11-1, la carga puntual q se encuentra a una distancia d del plano yz, que a su vez es la superficie de un conductor que ocupa todo el espacio a la izquierda de este plano, es decir, para todos los valores negativos de x. La otra mitad del espacio está vacía. La condición de frontera es que 0= const. en x - 0, de acuerdo con (6-2). Por simplicidad, se toma este valor constante igual a cero (el conductor está conectado a tierra); si el valor real es una constante diferente, se le puede simplemente sumar al resultado final. Así, la condición de frontera es
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Métodos especiales en electrostática
Figura 11-1. Carga puntual y plano conductor semiinfinito conectado a tierra, q es la carga imagen.
<X0,y,z) = 0
(11-11)
para todas las y y z. Se intentará usar (11-10) para satisfacer (11-11) con una sola carga imagen, q localizada también sobre el eje x a una distanciad’ dentro del conductor (y por elle remplazando al conductor en lo que respecta a la región al vacío). Dado que las coordenadas de q y q’ son (d,0,0) y (-d’,0,0) respectivamente, se encuentra que (11-10) junto con (5-6) da
^>(x,y,z)=	- { ——	—	ryy H			ryy >	(H’12)
47M [(x-¿) +/ + ¿2]1/2	[(x + d')2+y2 + z2]l/2 I
Cuando esto se combina (11-11), se observa que se debe satisfacer la condición de que
	?	+	¿	=0	(H-13)
(d2+y2 + z2)l/2	(d'2+y2 + z2)l/2
Resulta claro que esto queda satisfecho siempre que d'=dyq’=-q. Por lo tanto, q’ se encuentra tan “atrás” de la frontera como q se encuentra “adelante” de ella, de tal forma que el término “imagen” le queda muy bien; nótese que durante este proceso el signo cambio', esto es algo muy característico. Si ahora se sustituyen en (11-12) estos valores recién encontrados, se obtiene la expresión única del potencial:
</>(x’-x,z) 4^0 [ ^x_dy+y2+z2^
	1	
[ (x + d)2 +y2 + z2 ]1//2
(H-14)
Método de las imágenes
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que viene a ser la solución completa del problema. Se utiliza (11-14) únicamente para 0; en al caso de x < 0, <p tiene el mismo valor igual a cero que en la superficie del conductor, tal como resulta de (6-1).
Se pueden ahora calcular las componentes del campo eléctrico a partir de (5-3):
, _ _ 9<¡> _ q I 	(x —¿Z)	(x + ¿/) I
9x “ 4t7€0 | [(%_í/)2+^2 + z2]3/2	[	+ ^2 y y2 + ¿2 ]3/2 j
7	_ 9</> =	qy	(	1		J	 I
dy 4^ ¡ ^x_df+y2 + z2^/2 ^x + d)2+y2 + z2^/2 j
7 _	_ 9</> _	qz	í 	1		1	 1
'z~ dz 4t7€0 | |-(x_¿/)2+^2 + z2]3/2	(x + ¿)2 + / + 22 ]3/2 |
Se puede verificar el resultado viendo si posee las propiedades correctas. Ey y Ez son componentes tangenciales en la superficie del conductor, por lo que, de acuerdo con (6-2), deben anularse; al observar (11-15) se puede apreciar fácilmente que es así, ya que Ey(Jd, y, z) - Ez(0, y, z) = 0. En la superficie del conductor,la componente normal de E esEn = ñ • E = x • E = Ex, resultando
_ x	qd	qd
En = Ex(S^y,z) =					1^2 “ “ r 3
2t7€0(¿72 + y2 + z2)	2tkqR0
(11-16)
donde Ro es la distancia desde q al punto correspondiente del plano x = 0, como también se muestra en la figura. Pero ya se sabe que si En nó es cero, implica la existencia de una densidad superficial de carga (en esta caso, carga libre), la que, de (11-16) y (6-4), resulta ser
<7(^,2) =
qd
277(d2+y2 + z2)3/2
(1M7)
Se dice que esta carga superficial fue inducida por la carga puntual q. Se puede observar que Of no es constante en el plano ;su magnitud es máxima en el origen, directamente bajo q, y es igual a q/27Td2 , y 070 a medida que y y z se aproximan al infinito. Se puede encontrarla carga total inducida sobre el plano yz si se combina (11-17) con (2-16) y (1-55):
_ qd r°° dydz _ _ qd r00 dz q'ná 2 77 J xJ x (J2+j,2 + z2)3/2	J-o0d2 + z2
donde se han utilizado los resultados anteriores (3-7), (3-8) y (3-12) para resolver las integrales. Así, la carga total inducida resulta ser igual y opuesta a la carga inductora y, por lo tanto, igual a la carga imagen, lo cual es lógico suponer ya que esta última simula el comportamiento total del conductor.
Para encontrar la fuerza que actúa sobre q se requiere saber el valor de E en este punto. Sin embargo, no se pueden utilizar los primeros términos entre corchetes de (11-15) porque representa la contribución de la propia q, según (11-12), lo que significaría que q ejerce una fuerza sobre sí misma—posibilidad que se ha excluido constantemente. Si se sustituyen las coordenadas de q, (d, 0,0), en los demás términos de (11-15) se encuentra que Ey -Ez = 0 y Ex = ~q¡\(yneQd2, de modo que la fuerza sobre q resulta ser
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Métodos especiales en electrostática
F = ?E=	
167T€o¿/2
(H-19)
y está dirigida hacia el conductor. Es obvio que esto representa la fuerza de atracción resultante entre q y la carga superficial inducida af, como puede comprobarse por integración directa de (2-17). Si se expresa (11-19) como
F=	r ,
Airead)
(11-20)
se puede observar que concuerda exactamente con la forma de la ley de Coulomb para la atracción entre q y la carga imagen ~q, ya que se encuentran separadas por una distancia total 2d.
Al hacer que 0 sea igual a una constante en (11-14) se obtiene la ecuación de las superficies equipotenciales en la región x > 0, y la hacer que z = 0 se obtiene las curvas equipotenciales en la plano xy. Según (11-14), la ecuación de la superficie equipotencial en función de las distancias R y R ’ de la figura 11-1 es
1	1 47reo0
			 		.const.
(H-21)
La figura 11-2 muestra algunas de estas curvas con líneas continuas. Las líneas punteadas vienen a ser las líneas de E. Su ecuación puede encontrarse por medio de (5-39) y (11-15).
Ejemplo
Carga puntual y esfera conductora conectada a tierra. Véase la figura 11-3. Se utilizan coordenadas esféricas con origen en el centro de la esfera de radio a, y se toma q a una distancia d del centro, en una posición por la que pasa el eje z. La condición de frontera consiste en que el potencial sea igual a cero en la superficie de la esfera, es decir, que
= 0
(11-22)
Se intentará resolver este problema por medio de una sola carga imagen, q’, situada a una distancia d’ del centro de la esfera; es necesario que d’<a, de manera que q’se encuentre fuera de la región al vacío. El potencial en cualquier punto de campo, P; se obtiene a partir de (11-10), la ley de los cosenos y la figura; esto resulta en
0(r,0,<p) =
47T€o\ R R' J
1
477€0
	í	 + 		
(r2 + d2 — 2rd cos&y (r2 4- d’2 — 2rd' eos#)1 /2
(11-23)
Al combinar esto con (11-22) se obtiene la condición
9
	=0
(a2 + d2 — 2adcos0)l//2 (a2 + d'2 — 2ad' cos0)l//2
(11-24)
de la que deben encontrarse q’ y d’. Ya que por lo general se necesitan dos ecuaciones, y dado que (11-24) debe ser verdadera para todos los valores de 0, se pueden obtener dichas ecuaciones al tomar dos valoresde 6 particularmente útiles, es decir, 0 y ir. Cuando se les sustituye en (11 -24) se obtienen las ecuaciones
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d - ci a - d'
* + «
d+ a a + d
si se utiliza el hecho de que J > ¿z > d’. Al resolverlas, quedan
, a . a2
anJ
(11-25)
(11-26)
(11-27)
En este caso, la carga imagen es también de signo opuesto a la carga inductora, pero esta vez sus magnitudes no son iguales sino que, de hecho Ig’l < |<?|. Si se sustituye este resultado en (11-23) se puede obtener el potencial que satisface las condiciones de frontera y que, por lo tanto, da el valor correcto en todos los puntos fuera de la esfera:
0	J		 		(EM	 (11-28)
4^o [ (r2 + d2 — 2rdcos0)}/2	[r2 + (a2/d)2-2r(íz7¿)cos0]1/2 J
Se pueden ahora calcular las componentes del campo eléctrico a partir de E = — V0 y (1-101); las que no se anulan son
E = q f (r-dcosO) (a/d')[r-(a2/d}cos0]
' 477€0 |	/?3	r,3
_ qd^o0 1 _ (¿z/¿7)3
6~ 477€0 R2 R'3
(11-29)
(H-30)
Por ser una componente tangencial, (a) = 0 en la superficie de la esfera; sin embargo, Er(a) 0 y, ya que se trata de una componente normal a la superficie, debe existir una densidad superficial de carga dada por
) = <„£,=	»)					577	(11-31)
47ra(a2 + í/2 — 2ízí/cos0)3/
Puede demostrarse de nuevo que la carga total inducida es igual a la carga imagen. Por medio de (2-16), (1-100) y (2-22) se obtiene
q(d2 — a2) í2”	a2sen0d0d<p
Jo Jo (a2 + d2-2adcos0)3/2
q{d2-a2
d¡í
2	'-1 (a2 + d2-2adp.)3/2
(11-32)
La integral se puede resolver por medio de tablas y resulta ser
	!	' =±í_!	!_)
ad(a2 + d2~2adfi)^2 odWd-al \d+a\)
(11-33)
En este caso, d > a y (11-33) queda 2/[d(d2 — a2)], de modo que
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<7ind=-^ = <7'	(H-34)
como debiera ser.
La carga q será atraída hacia la esfera por una fuerza que viene a ser la fuerza de Coulomb entre q y su imagen q’. Su distancia de separación es D — d — d‘ = (d2 — a2)/d, de tal manera que, según (2-3),
F = 			 (11-35)
477c0(d2 — a2)2
Si d^ a, la variación de la fuerza será de aproximadamente la inversa del cubo de la distancia de separación.
La figura 11-4 muestra el aspecto general de las equipotenciales y de las líneas de campo para este caso.
Figura 11-4. Equipotenciales y líneas de campo eléctrico para el sistema de la figura 11-3.
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Ejemplo
Carga puntual y esfera conductora sin carga y aislada. Esta es una variante del ejemplo previo. Se supone que la esfera es originalmente neutra y que su potencial ya no se mantiene a un valor dado. En presencia de q la esfera debe permanecer con una carga neta total igual a cero porque ya no se encuentra conectada a algo de donde pueda obtener cargas, como en el caso de los ejemplos anteriores. Debe ser también un volumen equipotencial. Para empezar, se introduce la misma carga imagen q’ —— (a¡d)q en la misma posición que en el último ejemplo; esto hará que la superficie de la esfera tenga un potencial constante (cero). Pero, para poder hacer que la esfera siga siento neutra, debe colocarse otra carga adicional q” = ~q ’ - (a/d)q en algún lugar dentro de la esfera. El único lugar donde puede colocarse y mantener la superficie de la esfera equipotencial es en su centro. Así, se llega al sistema de tres cargas que se ilustra en la figura 11-5. Dado que esta distribución de carga satisface todos los requisitos, dará los valores correctos del potencial y del campo en todo punto fuera de la esfera. El cálculo de la mayoría de los conceptos de este problema se deja para los ejercicios, pero puede aquí encontrarse fácilmente el potencial final de la esfera. Si se combinan los resultados que se muestran en la figura y (6-5), se tiene que
9 f = <¡>(a) =	(11-36)
esfera	4tt€0(7	4t7€()<7	7
lo que, curiosamente, viene a ser el potencial que produciría q si estuviera situada en el centro de la esfera y no existiera ésta.
Ejemplo
Carga puntual y plano dieléctrico semi-infinito. Esta situación viene a ser similar a la de la figura 11-1, excepto que la región sombreada de las x negativas se encuentra saturada de un dieléctrico i. h. 1. en vez de conductor. Como en el ejemplo anterior, el potencial no posee un valor preasignado. En este caso, las condiciones de frontera en la superficie x = 0 son aquéllas que deben ser satisfechas por las componentes de E para Of = 0, dadas en (10-56):
ñ-(€->E7-€iEi) = e0£'?, t£i,= 0
‘	(11-37)
E' ly E ly ^lz ^Z
Figura 11-5 Carga puntual q y sus imágenes para una esfera conductora aislada y sin carga.
Método de las imágenes
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Se ha tomado la región 1 como la del dieléctrico (x < 0) y la región 2 como vacío (x > 0), de acuerdo con la dirección de ñ que se muestra.
Para el vacío, se intenta resolver el problema con el mismo conjunto de cargas de la figura 11-1, pero se toma d - d’. Así, tal como en (11-12), se obtiene
i i	q	q'
l [(x-</)2+/ + z2]'22 + [(x+¡/)2+/ + z2]1''2
de la que resultan las componentes de campo
, _ 1 I 	(x — d)q	(x + d)q'
2x	[ [(x-d)2+y2 + z2]3/2	|-(x + ¿/)2+>,2 + z2]3/2
’	_ Z J 			V 	 | 	V	
’2y 4^o[ [(x-d)2+y2 + z2]3/2	[(x + d)2+y2 + z2]3/2
(11-38)
(11-39)
(11-40)
y E2z se obtiene al. remplazar la y del frente de (11040) por z.
No se puede utilizar este mismo conjunto de cargas para encontrar el potencial del dieléctrico porque q se encuentra en él y las cargas imagen deben estar fuera de la región en cuestión. Con las mejores esperanzas, se intenta resolver el problema por medio de una sola carga imagen q ” situada en la posición de la propia q, como se muestra en la figura 11-6. Se producirá un potencial en el dieléctrico que estará dado por
<¿. = 		
47re0[ (x — d)2 +y2 + z2 jX 2
(11-41)
con las componentes de campo correspondientes
(x-d)q
g	
4t7€q [ (x — d)2 +y 2 + z2 ]3/2
(11-42)
yq
,y 4t7€0^(x — d)2+y2 + z2]3/2
(11-43)
q
y, de nuevo, Eiz se obtiene al remplazar y por z en el numerador de (11-43). Ahora se puede ya saber si se satisfacen las condiciones de frontera para las componentes del campo.
La primera ecuación de (11-37) es eoE2^(Oy,z) = eElz(0,y, z) y conduce a
c0(-q + q') = e(-q")
(11-44)
mientras que la segunda ecuación de (11 -37) es j,(0y,z) = Ejy(0,y,z), de la que se obtiene
q + q' = q"
(11-45)
como es el caso de	z (0, y, z) = £; z (0, y, z). Al resolver simultáneamente (11 -44) y (11 -45)
debe recordarse que e/e0 = Ke, con lo que se obtiene que
q
q"
2q
Ke+ 1
(11-46)
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Métodos especiales en electrostática
Figura 11-16. Carga imagen utilizada
para calcular el potencial en el dieléctrico.
lo que significa que ha sido posible resolver el problema completamente.
Así, se tienen los dos conjuntos de cargas imagen que se muestran en la figura 11-7. El recuadro sobre el número de la región indica que las cargas que se muestran se usarán para calcular 0 en esa región. La solución completa para este problema se puede así obtener al sustituir los valores de q’ y q” dados por (11-46) en (11-38) a (11-43).
Por medio de (11-39) y (11-40) se puede obtener la fuerza sobre la carga inductora a en x — d, utilizando únicamente la contribución de q’, que resulta ser
F=?E(¿,0,0) =
47re0(2¿/)2
- 1 \ q2x
Ke+ 1 / 167T€0¿/2
(11-47)
y, como antes, viene a ser la fuerza de Coulomb que da la atracción entre q y q’, es decir, la carga imagen inducida en el dieléctrico. Desde el punto de vista físico, no se trata sino de la fuerza entre q y las cargas ligadas superficiales del dieléctrico. Se puede calcular su densidad por medio de (10-8), (10-50), (10-52), (11-42) y (11-46):
°b(y>z) = Pin = (^- i)^ix(0,y,2) = - í |	——
\Ke+[ J 2ir(d2+y2 + z2)3/2
(11-48)
que es negativa como se esperaba. Al comparar (11-17) y (11-18) con (11-48) se puede observar que la carga ligada inducida total en la superficie del dieléctrico es otra vez igual a la carga imagen q
Las curvas equipotenciales y las líneas de E para este sistema se muestran en la figura
11- 8. Como era esperarse, se puede ver que las líneas de E sufren una refracción al cruzar la superficie limitante del dieléctrico.
Figura 11-7 Cargas para encontrar el potencial (a) en el exterior del dieléctrico y (b) en el dieléctrico
Utilizaciónde resultados anteriores
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Figura 11-8. Equipotenciales y líneas de E para una carga puntual y un dieléctrico semiinfinito.