Capítulo 3 campos electromagneticos - Arturo Lara (1)

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Capítulo
3
El campo eléctrico
La ley de Coulomb es un ejemplo de lo que se conoce como una ley de “acción a distancia”. Proporciona una manera directa de calcular la fuerza sobre una carga dada cuando se conoce su posoción relativa con respecto a la carga fuente. La ley de Coulomb no incluye la descripción de cómo “sabe” la primera carga que la otra se encuentra ahí. Por ejemplo, si se varía la posición de la carga fuente, la fuerza ejercida sobre la otra carga también varía y se obtiene nuevamente por la ley de Coulomb. Esto implica que la variación ocurre instantáneamente, pero no hay indicación de cómo se pasa a este estado alterado. Como resultado de estas y otras consideraciones similares, se ha encontrado conveniente y útil realizar una división mental de la interacción entre ambas cargas, para presentar dos aspectos: primero, se asume que la carga fuente produce “algo” sobre el punto de campo y, segundo, que este “algo” actúa sobre la carga que se encuentra en el punto de campo, produciendo de esta manera la fuerza que actúa sobre ella. Este “algo”, que funciona como una especie de intermediario entre las dos cargas, recibe el nombre de campo eléctrico y es lo que se estudia a continuación.
2- 1 Definición del campo eléctrico
Si se analiza de nuevo (2-10), se puede observar que q es factor común a todos los términos, de tal manera que FQ puede escribirse como el producto de q y una cantidad que es independiente de q pero dependiente de los valores de todas las demás cargas y de sus posiciones con respecto a q. Esta cantidad recibe el nombre de campo eléctrico, E;así, se puede escribir (2-10) en la forma
F,-?E
donde
N ziP
E(r)= S
Í=1 477€oA;2
(3-1)
(3-2)
La ecuación 3-1 viene a ser la definición del campo eléctrico y puede interpretarse como una cantidad tal que, cuando se le multiplica por una carga puntual, el resultado es la fuer-
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za sobre esa carga puntual. También se desprende de (3-1) que E se mide en newtons/Coul- ombs. La ecuación 3-2 constituye una fórmula para calcular E en la posición r (el “punto de campo”) para una distribución dada de cargas puntuales; desde luego que (2-11) se sigue utilizando. Se debe notar que q no está incluida entre las cargas fuente en (3-2), es decir, que no se concibe una carga que ejerza una fuerza sobre sí misma.
Si las cargas fuente están distribuidas de manera continua, se puede combinar (3-1) y los resultados obtenidos en (2-15), (2-17) y (2-18) para obtener las expresiones correspondientes para E:
	E(r)= > f PÍÍlRíA
V 7	4t?€0	R2
F/rA_ 1 f virada'
	(3-3)
(3-4)
	Fíri=—L f
4t7€0A' R2
	(3-5)
Si todas las localizaciones se dan en coordenadas rectangulares, se obtiene una expresión explícita para E a partir de (2-12):
	E(r) = Y	~	+	~
,=.4^ r(.v_xy + (^_zy+(z_zyi^
	(3-6)
Por último, si todas las posibilidades que se han estudiado se encontraran presentes simultáneamente, se puede ver de (3-1) y (2-19) que E total en un punto dado se obtiene como la suma vectorial de las contribuciones de todas y cada una de las distribuciones de carga que producen el campo.
Si la distribución de carga es lo suficientemente simple, E puede calcularse por integración simple y directa. Aquí se estudian dos ejemplos de tal situación;la primera es una distribución lineal de carga y la segunda es una distribución superficial de carga. Después de ensayar sobre estos dos ejemplos, se trata con más detalle el significado de las operaciones efectuadas.
3.2 Campo de una línea infinita de carga uniforme
Supóngase que X = const. y hágase que la distribución de carga coincida con el eje z, tal como se muestra en la figura 3-1. Se toma el origen de manera tal que el punto de campo, P, quede por conveniencia sobre el plano xy; así se tiene que r = pp y r' = z'z de modo que R = pp — z z y R2 = p2+z'2. De la figura se desprende también que ds - dz' para este caso, por lo que (3-5) queda como
E= Á f °° (pp~^)dz' = ^PP f00 dz'
4^0 OO (p2 + z'2)3/2	4t7€0 x (p2 + y2)3/2
La última forma se obtiene por la desaparición del componente z de la integral, debido a que el integrando es una función impar áez' y p es constante con respecto a la variable de integración z . La integral en (3-7) es
Campo de un plano infinito uniformemente cargado
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oo
(3-8)
de manera que el resultado final viene a ser
E =
2ir€oPP
(3-9)
Así, el campo eléctrico tiene tan sólo una componente radial. Está dirigido hacia afuera (alejándose) de la línea de carga si X > 0, como cabría esperar, porque una carga positiva (/ sería repelida, pero estaría dirigida radialmente hacia el centro sí X fuera negativa. La magnitud de E varía inversamente con la distancia, p, a la línea de carga.
Dado que (3-9) es independiente del ángulo se puede observar que una superficie de E constante en magnitud será un cilindro de radio p con la línea de carga como eje. La figura 3-2 muestra una porción de este cilindro, indicando también algunas direcciones de E para X > 0 sobre un círculo formado por la intersección del cilindro y un plano perpendicular al eje z.
2- 3 Campo de un plano infinito uniformemente cargado
Supóngase que existe una densidad de carga superficial o, constante sobre un plano infinito que descansa sobre el planoxy. Resulta de utilidad hacer que el eje z pase por el punto de campo, P. Para la integración se usan coordenadas rectangulares. En la figura 3-3 se puede observar que r = zz y r' = x x +/y. Dado que el elemento de superficie es da = dx' dy', (3-4) queda, de acuerdo con (2-2), (1-13) y (1-14):
o r°° r™ ( — x'x—y'y + zi)dx' dy'
(V2+y2+z2)3/2
(3-10)
Es fácil observar que/:’Y —Ey =0, ya que los términos del integrando un x y y son funciones impares dex' y y', respectivamente. Por lo tanto, (3-10) se reduce a
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La integral sobre y' es idéntica en forma a la de (3-7) y, por (3-8), es igual a 2/(x'2 -te2); así, (3-11) queda como
oz zdx' , a „
	 I 	
2m0J-™ x'2 + z2	2«0
(3-12)
Figura 3-3. Cálculo del campo debido a un plano infinito uniformemente cargado.
¿Qué significa todo esto?
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donde el signo positivo se debe utilizar paraz > 0 y el negativo paraz < 0. A menudo resulta más conveniente escribir (3-12) como
E=^r-(rr^	0-13)
2e0\ M >
que da los signos correctos de E de manera automática.
De (3-12) se desprende que E siempre se dirige hacia afuera, es decir, alejándose de un plano cargado positivamente (o > 0), mientras que se dirige hacia el plano si o < 0. Estas dos direcciones corresponden a las de la fuerza sobre una carga positiva q que se colocara en ese punto. Resulta interesante observar que la magnitud de E es independiente de la posición, es decir, que E tiene el mismo valor sin importar qué tan cerca o qué tan lejos se encuentre del plano; esencialmente, esto resulta del hecho de que sin importar dónde se localice el punto de campo, siempre hay una cantidad infinita de carga “visible” para él. Estas propiedades de E se indican en la figura 3-4, que se ha dibujado para o > 0, y muestra una vista de perfil del plano cargado. Las líneas punteadas son trazas de planos paralelos al plano cargado por arriba y por abajo del mismo. La figura se verá igual si se pone de cabeza, lo cual es lógico porque la elcción original de z positiva fue completamente arbitraria. De manera similar, la figura no varía si se le observa por detrás de la página en lugar de por el frente. En otras palabras, el resultado (3-12) es completamente consistente con la “simetría” básica de la distribución de carga fuente. E cambia su dirección en forma discontinua si se atraviesa el plano cargado; por ejemplo, si se pasa de abajo hacia arriba, el cambio total es Ez (arriba) - Ez (abajo) = a/e0, como se desprende de (3-12).
2- 4 ¿Qué significa todo esto?
Fue relativamente sencillo introducir una cantidad auxiliar que permitiera dividir la interacción entre dos cargas en partes conceptualmente diferentes. Esto se logróal definir un nuevo campo vectorial, E, y se encontraron medios que, en principio, permiten calcularlo para cualquier punto una vez que se especifican las cargas que lo originan.Sin embargo, resulta natural cuestionarse si se gana algo con todo este procedimiento.
Se puede fácilmente adoptar la postura de que esto se ha hecho exclusivamente porque resulta más conveniente matemáticamente, no tanto porque ahorre algo de escritura al no tener que acarrear el símbolo q en todas las ecuaciones, sino porque ayuda a calcular primero E y después introducir la q como último paso, de acuerdo con (3-1). Así, se puede considerar el cálculo de E como una especie de proporción de contingencia referida a todo el espacio, en el sentido de que E(r), combinado con (3-1), indica qué pasaría si se colocara una carga puntual q en r.
Por otro lado, las fórmulas 0-2) a (3-6) permiten calcular el campo eléctrico en r haya o no carga sujeta a fuerzas. Este hecho resulta una gran tentación para dar un salto conceptual y pensar que E es una entidad física por derecho propio. La mayoría de estas ideas se originaron con Faraday, que pensaba que la presencia de cargas realmente cambiaban las propiedades del espacio y que E era una manifestación de esta alteración. Para él, el campo eléctrico era una cantidad física muy real.
Si se adopta la actitud de que E es una cantidad física, surge naturalmente la cuestión de cómo medirla. A primera vista esto parece ser muy simple: sólo hay que poner una carga puntual q en reposo, en la localización r de interés, medir después la fuerza Fq que actúa sobre ella y, de acuerdo con (3-1), calcular E(r) = ¥q/q. Surge un nuevo
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Figura 3-4. Campo eléctrico debido a un plano infini-
to uniformemente cargado.
problema al reconocer que la presencia de q ejercerá ahora nuevas fuerzas sobre las cargas q¡ de (3-2), dadas por (2-8), por lo que ya no estarán en equilibrio, aunque eventualmente se restablezca este equilibrio. En el caso ideal en que se pueda asumir que las q. están rígidamente fijas en sus posiciones, la nueva fuerza eléctrica puede compensarse con una nueva fuerza mecánica que se produzca sin deformación del soporte; de esta manera, (2-9) será válida al aplicarse a las q., porque las posiciones de las q¡ no habrán variado. El valor de E dado por (3-2) será exactamente el mismo que tenía antes de que q se introdujera al sistema, y E podrá ser obtenido correctamente a partir de (3-1). Sin embargo, en un caso real los valores de las nuevas fuerzas mecánicas que se requieren para mantener el equilibrio casi siempre producen una deformación del soporte, tal como el doblez de una barra o el estiramiento o la compresión de un resorte; así cuando se logra la nueva configuración de equilibrio, las posiciones de las q¡ han cambiado, el valor de (3-2) será generalmente diferente y el resultado neto será que el mero acto necesario para medir el campo preexistente lo ha alterado. (Además, como se verá más adelante, si las cargas fuente están asociadas con conductores, generalmente se deberán mover en el conductor hasta lograr el nuevo equilibrio mutuo, llegándose otra vez a la conclución de que el campo que se iba a medir quedó modificado por el acto de medición). Este problema de cambiar lo que se pretemde medir no es exclusivo del electromagnetismo, desde luego, y lo que generalmente se trata de hacer es resolverlo de la misma manera general, es decir, tratando de minimizar lo más posible la alteración, mientras sea posible obtener un efecto medible. Para proceder de esta manera con E, se puede imaginar que la carga sobre la que actúa la fuerza a medir es muy pequeña, y así aproximarse al límite en que ésta tiende a cero; si se usa 8q para indicar esta “carga de prueba” y 5F para la fuerza medida que actúa sobre ella, entonces E deberá determinarse por
E(r)= lim
8q-+0 oq
(3-14)
Aunque el uso del campo eléctrico puede considerarse como un artificio conveniente en electrostática, cuando se manejan otros problemas, en especial aquellos en los que el campo es función del tiempo, como el que se mencionó brevemente en el párrafo introductorio de este capítulo, se ha encontrado que es virtualmente imposible resolverlos sin el uso extensivo de los campos vectoriales. Se encontrará útil definir algunos otros campos vectoriales a medida que se avanza en el texto y. ya sea que se consideren cantidades físicas reales o no, de hecho se les tratará como si lo fueran. Aquí se estudiarán sus propiedades así como algunas aplicaciones; entre esas propiedades se encuentran sus ecuaciones diferenciales de fuente, es decir, sus divergencias y rotaciones. Ya se ha visto que los orígenes de un campo eléctrico son las cargas de cualquier tipo, pero es conveniente volver
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a expresar esto mismo en función de expresiones explícitas de V*E y VXE; los próximos dos capítulos estudian la forma de obtenerlas, así como otras informaciones importantes.