Capítulo 2 ley de coulomb - Arturo Lara (1)

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Capítulo
2
Ley de Coulomb
Los fenómenos que hoy en día se asocian al término “electricidad”, tienen su origen en la observación, hecha hace muchos siglos, de que cuando ciertos materiales son frotados contra otros, adquieren la propiedad de atraer otros objetos. Uno de estos materiales es el ámbar (elektron en griego). El proceso se denomina “electrificación por frotamiento” y para describir la alteración en las propiedades del material se dice que ha sido “cargado” o que ha adquirido “carga eléctrica”.
Después de muchos experimentos y estudios, se ha llegado a la conclusión de que la electrificación por rozamiento no representa un proceso de creación de carga eléctrica, sino más bien una separación de dos tipos de carga que ya se encontraban presentes en cantidades iguales en el material “neutro”. Estos tipos de carga reciben el nombre arbitrario de “positiva” y “negativa”. La carga positiva se define como aquélla que queda en una barra de vidrio después de que ésta ha sido frotada con un paño de seda; dado que el proceso es de separación, la seda queda cargada negativamente con una carga igual en magnitud a la de la barra de vidrio. Como ya se implica en estas observaciones y como fue confirmado después por la experimentación, la carga eléctrica se conserva, en el sentido de que la carga neta total no puede ser creada ni destruida; este resultado experimental básico se expresa en forma cuantitativa en el capítulo 12.
La fuerzas entre cargas eléctricas pueden ser de repulsión o de atracción. La primera investigación cuantitativa de la dependencia de estas fuerzas con respecto a las magnitudes de las cargas y la distancia entre ellas fue realizada por Coulomb 1785, y el resultado se conoce como la Ley de Coulomb.
1- 1 Cargas puntuales
Se utiliza el símbolo q para representar a la carga eléctrica. En una situación general, la carga de un objeto se distribuye de una cierta manera, ya sea sobre su superficie o en todo su volumen, y la fuerza entre dos objetos depende tanto de esta distribución como de la cantidad total de cada carga. Como resultado, se ha encontrado conveniente tomar como caso inicial el de una carga puntual, para la que se supone que toda la carga está localizada en un punto geométrico del espacio. Obviamente, esto es una idealización, pero puede ser aproximada en condiciones de laboratorio haciendo que la distancia de separación sean muy grandes comparadas con las dimensiones de los cuerpos cargados.
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Ley de Coulomb
(a)	*	»	 >	f.
q.	R	q
Figura 2-1 Comparación de las cargas
*	, f por la comparación de las fuerzas que
R	q	ejercen.
Para seguir adelante, es necesario poder comparar las magnitudes de dos cargas puntuales, qx y q2. Esto puede lograrse si se introduce una tercera carga puntual arbitraria, q, y se le coloca a una distancia fija R de q midiendo la fuerza resultante, F1, sobre q; esta situación se ilustra en la figura 2-lzz. A continuación se quita q i y se remplaza por <72 a la misma distancia R de q; la nueva fuerza, F2, sobre q puede medirse como se muestra en la figura 2-1 b. Dado que tanto g como A son las mismas en ambos casos, la diferencia entre las fuerzas puede deberse únicamente a la diferencia en el valor numérico de las cargas q 1 y q2, por lo que resulta lógico pensar que las magnitudes de las fuerzas son directamente proporcionales a las magnitudes de qx y q2. De esta manera, se puede definir la relación de sus magnitudes como igual a la relación de las magnitudes de las fuerzas producidas por ellas sobre una carga arbitraria q \ así, se tiene
kl = ILI
l?2| |f2|
(2-1)
siendo qy R constantes.
Una vez establecido este procedimiento para comparar magnitudes, se puede proceder al estudio de cómo la fuerza entre dos cargas puntuales depende de su distancia relativa. Además, se pueden ahora asignar valores absolutos a las cargas eligiendo una carga de magnitud unitaria de alguna manera arbitraria pero conveniente, y utilizando (2-1) con el valor numérico |z7unitaria| = 1-
1- 2 Ley de Coulomb
Esta ley experimental básica se refiere a la situación ilustrada en la figura 2-2, en la que se tienen dos cargas puntuales, qy q', separadas por una distanciaR; supóngase que las cargas están en posiciones fijas y que no hay materia circundante, es decir, que las cargas se encuentran en el vacío. La fuerza sobre q debida a q se escribe Yq'^.q. Así, se considera a q'
Figura 2-2 Vectores de posición de la ley de Coulomb.
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como fuente de la fuerza y, de hecho, se puede decir que q' es la “fuente” y que su posición, dada por r', es el “punto de fuente”. Dado que q es la carga para la cual se va a encontrar la fuerza, se dice que se encuentra en el “punto de campo” localizado por r. Así, de acuerdo con (1-12), R es el vector de posición relativa de q con respecto a q y se ve que su dirección va del punto de fuente al punto de^carppp, lo mismo que el vector unitario correspondiente, R. De esta manera, por (1-12) y (1-4) se tiene
R=r-r' R = |r-r'|	R=^	(2-2)
En términos de estas cantidades, la Ley de Coulomb establece que
F. = -L^R
4^o R1
(2-3)
de manera que la fuerza es proporcional al producto de las cargas y al inverso del cuadrado de la distancia que las separa; se puede apreciar la gran similitud que tiene esta fórmula con la de la gravitación.
El factor^ l/47iep es una costante de proporcionalidad cuyo valor numérico depende del sistema de unidades que se utilice; se escribe de esta manera por simple conveniencia. En este libro se utiliza exclusivamente el Sistema Internacional de unidades (SI), que es esencialmente el mismo que el sistema MKSA. Esto significa que la distancia se mide en metros, la masa en kilogramos, el tiempo en segundos, la fuerza en newtons, la energía en joules y así sucesivamente. En el SI la carga se define en función de la corriente eléctrica, ya que ésta es una medida del flujo de carga. La unidad de corriente recibe el nombre de ampere, mientras que la unidad de carga recibe el nombre de coulomb y se define como 1 coulomb = 1 ampere-segundo. Se dejará la definición precisa del ampere (en función de las fuerzas magnéticas entre corrientes) para la sección 13-2; por lo pronto, se puede tomar al coulomb como una unidad conocida de carga, para el propósito de los cálculos necesarios. En el capítulo 23 se discuten otros sistemas de unidades que suelen usarse en electromagnetismo.
El significado de todo esto es que las unidades de todas las cantidades físicas que aparecen en (2-3) han sido ya elegidas, de manera que la constante de proporcionalidad debe encontrarse experimentalmente; esta necesidad es análoga a la de encontrar la constante de gravitación que aparece en la ley de gravitación. El resultado es
€o = 8.85 X 10"12 (coulomb)2/newton-(metro)2
= 8.85 X 10“12 farad/metro	(2-4)
La constante e0 recibe el nombre de capacidad inductiva especifica del espacio libre, y generalmente se escribe como en la última notación; se puede observar, por comparación de las dos formas de escribir e0, que 1 farad = 1 (coulomb)2/joule. Es conveniente notar que
1
477€0
= 9xl09
metro
farad
(2-5)
con un grado de exactitud suficiente para los propósitos de este libro.
De acuerdo con (2-3), se observa que si qq > 0, de manera que ambas cargas son del mismo signo, entonces FQ'-»Q está en la dirección de es decir, que la fuerza es de repulsión, como se puede observar en la figura 2-2. Por otro lado, si qq' < 0, de manera que las cargas son de signos opuestos, está en la dirección opuesta a R, es decir, que
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Ley de Coulomb
la fuerza sobre q es de atracción hacia q'. Esto se suele resumir diciendo que cargas del mismo signo se repelen, mientras que cargas de signos opuestos se atraen.
Se puede escribir también la ley de Coulomb enteramente como una función de R si se combina (2-2) y (2-3):
qq'K
47T€o7?3
(2-6)
Si se desea obtener la tuerza de q sobre q', que escribe como F^ < lo único que se necesita es utilizar el vector de posición relativa de q' con respecto a q. es decir, R' = r -r, de manera que
q'qR'
47T€0A'3
(2-7)
Se puede observar en (2-2) queR' = -R, y dado que la magnitud de cada uno de ellos es igual a |r - r'|, se tendrá por (2-6) y (2-7),
F = -F
(2-8)
lo que muestra que las fuerzas de Coulomb son iguales y opuestas aun cuando las cargas individuales puedan ser muy diferentes en magnitud.
Se ha supuesto una situación estática, es decir, que las cargas se encuentran en reposo en posiciones fijas. Esto significa que para que q esté en equilibrio debe existir sobre ella una fuerza mecánica adicional, Fó/ m , de modo que la fuerza neta sea igual a cero; en otras palabras, se debe tener
F,-, + F,.m = 0	(2-9)
Lo mismo se aplica para q'.
1- 3 Sistemas de cargas puntuales
Supóngase ahora que además de q existe un número N de cargas puntuales distribuidas en posiciones fijas en el espacio antes vacío. A cada una de estas cargas se le denomina q¡ y su vector de posición es r,, donde i = 1, 2, ...., N. Esta situación se ilustra en la figura 2-3; por claridad, no se muestran los vectores de posición individuales, pero sí los vectores unitarios, Rz, que corresponden a las posiciones relativas de q con respecto a las q¡. Cada una de estas cargas puede ejercer una fuerza sobre q, Vqi-+q, que será de la forma general dada por (2-3) o (2-6). Las propiedades de superposición de las fuerzas ya son conocidas por la mecánica; así, la fuerza total sobre q, FQ, estará dada por la suma vectorial de las fuerzas individuales, de manera que
N	N
F,=	S
7=1	7=1
qq^i = y qq.R,
477€0/V “j 477C0Á,3
(2-W)
Distribuciones continuas de carga
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donde
R
Rz = r — r, 7?z = |r-rJ Rz=^	(2-11)
K,-
La última forma de (2-10) resulta de gran utilidad como punto de partida para resolver problemas, mientras que la expresión en función de los vectores unitarios es más conveniente para el tratamiento general. La ecuación (2-10) expresa el hecho de que la fuerza total puede encontrarse como la suma de las fuerzas individuales entre pares de cargas, y éstas se calculan a partir de la ley de Coulomb como si no existieran las demás cargas. Se supone otra vez que las cargas individuales se encuentran en reposo y se mantienen en reposo por fuerzas mecánicas de algún tipo, según se requiera.
Ejemplo
Si se expresan todas las expresiones en coordenadas rectangulares, es fácil escribir una forma explícita para (2-10). De acuerdo con (1-13) y (1-14) y observando que las diversas cargas se désignan con subíndices i en lugar de primas se encuentra que (2-10) es
f = Y qq¡ ~	+ (7 ~y'^+	O 17i
’ =	[(x_xf + (y_rf + (z-^	{
En cierto sentido, (2-12) resulta ser una receta simple para resolver problemas, dado que una vez que se dan los valores de todas las cargas y sus posiciones en coordenadas rectangulares, únicamente resta sustituir estos números en (2-12) y simplificar el resultado tanto como sea posible.