Cargas puntuales en movimiento - Arturo Lara

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12- Cargas puntuales en movimiento
Si se expresa la densidad volumétrica de corriente como el producto p' v' dado por (12 3), entonces (14-7) queda como
pVXRí/t'
R2
(14-27)
Supóngase ahora que las cargas descritas por p' están contenidas en un volumen muy pequeño. En este caso r será prácticamente el mismo para todos los elementos de volumen d t', por lo que se puede tomar r' = const., haciendo que R y R2 sean también constantes. Si además se supone que todas las cargas llevan la misma velocidad v', se pueden sacar todos estos factores constantes de la integral, haciendo que (14-27) quede como
/r0 v'XR
4t7 y?2
Mo g'v'XR
R2
(14-28)
donde q' es la carga total. Pero en estas circustancias se puede considerar aq' como una carga puntual, de modo que (14-28) viene a ser la inducción magnética producida por una carga puntual en movimiento.
Por comparación de (14-28) y (14-6), se puede ver que este valor de B es el mismo que el producido por un elemento de corriente
I' ds' = q'v'
(14-29)
En otras palabras, se ha encontrado que una carga puntual en movimiento es equivalente a un elemento de corriente, siendo (14-29) la conexión cuantitativa. Una vez obtenido este resultado, es fácil adaptar algunos resultados previos. Por ejemplo, si se combina esta equivalencia con (14-5) y se expresa la fuerza como F en lugar de¿ZF, se encuentra que la fuerza magnética sobre una carga puntual en movimiento es
Fmag=?VXB
(14-30)
siendo B el valor de la inducción en la posición de la carga. De manera similar, se puede utilizar (1347) para expresar la fuerza magnética sobre una carga puntual q que se mueve con una velocidad v, debida a otra carga puntual q' de velocidad vz, resultando
F - vX(v'XR)
<7'-?
R2
(14-31)
Por último, si se suman (14-30) y (3-1), que da la fuerza eléctrica sobre q, se concluye que la fuerza electromagnética total es
F = <?(E + vXB)
(14-32)
A este resultado tan importante se le denomina fuerza de Lorentz.
Dado que todo lo visto acerca del magnetismo hasta ahora se basa en comentes constantes, es de esperarse que (14-28) y (14-31) sólo se puedan aplicar en el caso de velo-
Cargas puntuales en movimiento
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cidades constantes, es decir, cuando la aceleración es cero o despreciable. En efecto, resulta que los campos producidos por cargas aceleradas son diferentes de éstos y dan origen a una serie de fenómenos descritos generalmente como “radiación”. Además, aun cuando las cargas se muevan a velocidad constante, únicamente se pueden usar (14-28) y (14-31) si las velocidades son “pequeñas”. Aunque en este punto puede no resultar evidente todavía, ni se puede saber lo que significa “pequeñas”, sí es posible anticipar algunos de los resultados del capítulo 28 y simplemente decir que se requiere que |v| siendo c la velocidad de la luz en el vacío. [Aunque solamente se han estudiado inducciones que son constantes en el tiempo, vale la pena observar que el valor de B en el punto fijo r, dado por (14-28), es en realidad una función del tiempo, ya que tanto R como R variarán a medida que se mueve q .}
Se ha encontrado que las fuentes de B son corrientes de cualquier tipo. Tal como se hizo con E en el capítulo 4 y 5, resulta de interés expresar esta información en función de las ecuaciones diferenciales fuente para la inducción. En otras palabras, se desea avaluar V X B y V B, que es lo que se obtendrá, junto con otra información, en los dos capítulos que siguen.