3 Fuerzas magnéticas sobre circuitos - Arturo Lara

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18- 3 Fuerzas magnéticas sobre circuitos
Como ya se sabe, dos circuitos que conducen corrientes ejercerán, por lo general, fuerzas el uno sobre el otro y, en principio, estas fuerzas se pueden calcular a partir de la ley de Ampere. Sin embargo, como ocurrió en el caso de las fuerzas electrostáticas en la sección 7-4, a menudo resulta conveniente expresar las fuerzas en función de tos cambios de energía. Esto es precisamente lo que se desea hacer para el caso de las fuerzas magnéticas.
Para simplificar, se considerarán solamente dos circuitos, ya que será suficiente para ilustrar todas las características generales necesarias. Así, la situación general será justamente la que se muestra en la figura 13-1, con la cual se inició en este libro el estudio del magnetismo. Como ya se vió en (13-9), para poder tener a este sistema en equilibrio, la fuerza magnética Fm sobre C debe estar balanceada por otra fuerza mecánica igual y opuesta
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Fmec causada por un agente externo, que podría estar constituido por resortes, soportes o cosas parecidas.
Imagínese que el vector de posición r de cada punto de C cambia lentamente en la misma cantidad dr-, así, el-circuito complejo se trasladará esta misma cantidad, pero no habrá girado. El otro circuito C1 , se mantiene fijo, así como las baterías encargadas de mantener las corrientes. (En consecuencia, nunca será posible tratar a estos circuitos como sistemas completamente aislados). En estas circunstancias, el trabajo realizado por la fuerza mecánica será trabajo reversible e igual al cambio, dUt, de la energía total del sistema completo, es decir, dUt = Fmec • dr. Pero si la aceleración es cero, o casi, el circuito C permanecerá en equilibrio, o se apartará de él en una fracción infinitesimal, por lo cual sigue siendo cierto que Fm = — Fmec, por lo que se puede expresar que
dUt=-¥m-dr	(18-35)
Al comparar esto con (1-38), se puede observar que
Fm=-V<7,	(18-36)
que viene a ser un resultado análogo al resultado unidimensional de (7-36). Aunque estos resultados son fundamentales, será deseable, de ser posible que la fuerza magnética estuviera relacionada únicamente con los cambios de la energía magnética. Si se observa que el cambio total de energía es la suma del cambio de la energía magnética, dUm, y el de las baterías,dUB, se tiene que
dUt = dUm + dUB	(18-37)
Resulta útil tratar de visualizar dos posibles condiciones bajo las que se puede llevar a cabo este desplazamiento.
1. Corrientes constantes. Cuando uno de los circuitos se mueve con respecto al otro, por lo general se registrará un cambio en los flujos a través de ellos; esto provocará la existencia de fem inducidas y, para que las comentes se mantengan constantes, las baterías, deberán realizar trabajo en contra de estas fem o de lo contrario se realizará trabajo sobre ellas, dependiendo del signo del cambio en los flujos. Se puede utilizar (18-7) para expresar la energía de las corrientes I e / como Um = % (I</» + / </>')• Así, si le / son constantes, se tiene que dUm = % (Id 0 + / d(f> ). Yase encontró anteriormente, en(18-2), el trabajo que deben proporcionar las fuentes externas (baterías); sin embargo, se debe recordar que en este caso las corrientes ya se encuentran en sus estados finales, de manera que la dUm de (18-2) no es la misma dllm que se está estudiando aquí. Dado que cualquier trabajo realizado por las baterías representa una disminución de su energía, se obtiene
dUB = ~dW^ = ~(Id<l> + I'd<S>') = — 2dUm	(18-38)
que es de signo contrario a la de los circuitos y con el doble de magnitud. Al sustituir esto en (18-37) se obtiene dUt = —dUm para este caso, de manera que (18-36) queda como
Fm = (V Um)j (corrientes constantes)	(18-39)
donde el subíndice / en el gradiente indica que todas las corrientes se mantiene constantes mientras se calculan las derivadas.
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Dado que la fuerza descrita en (18-39) se encuentra en la misma dirección del gradiente de Um, su tendencia deberá ser a aumentar la energía magnética del sistema. Así, el estado de equilibrio para el caso de corrientes constantes (Fm = 0) corresponderá a un valor máximo de la energía magnética. En ese sentido, se puede considerar que la energíamagné- tica tiene más parecido con la energía cinética que con la potencial. De (18-7) se puede inferir que los circuitos de corrientes constantes tenderán a ajustarse a sí mismos por medio de traslación, a fin de abarcar la mayor cantidad de flujo posible. En el siguiente capítulo se llega a una conclusión muy similar en lo que toca a posibles rotaciones.
En términos de la notación que se está utilizando aquí, la expresión (18-8) para la energía puede escribirse Um = ]/2 LÍ2 + Mil' +	7//'2, siendo M la inductancia mutua.
Como solamente se están tomando en cuenta desplazamientos que son traslaciones rígidas, la forma de los circuitos no cambia, de tal forma que las autoinductancias respectivas permanecen constantes, de acuerdo con (17-56); por lo tanto, Ai es la única cantidad afectada por el desplazamiento y (18-39) da
Fm = IFVM	(18-40)
Por ejemplo, la componente .v de la fuerza sería
F = 11'™
(18-41)
Antes de estudiar esto en mayor detalle, se considerará aquí la otra posibilidad.
2. Flujo constante. Como ya se mencionó antes, a menos que se haga algo para evitarlo los flujos cambiarán cuando se muevan los circuitos. Sin embargo, si se ajustan las corrientes en forma adecuada durante el proceso, éste puede llevarse a cabo manteniendo a <p y a <// constantes. Así, de (18-7) se obtiene la correspondiente magnitud del cambio en la energía:
¿7¿/,„ = 1(077 + 0'77)	(18-42)
Se puede también observar en (18-1) que esto no requerirá de un cambio de energía en las baterías, de manera que düB - 0; sin embargo, la energía de las baterías sí disminuirá debido a la constante conversión irreversible de energía en calor, descrita en (12-35), pero eso no interesa por ahora. Así, en este casi (18-37) qucda7í/f = dUm, de modo que (18-36) toma la forma
~ v ¿4)* (flujos constantes)
(18-43)
[ Recuérdense las resultados similares (7-45) y (7-37) que se obtuvieron antes j.
Se debe ahora poder llegar a la misma expresión (18-41) a partir de (18-43), ya que la situación física en general es la misma, cambiando tan sólo los esquemas de cálculo. Desafortunadamente (18-8) está expresada en función de las corrientes, siendo que para poder utilizar (18-43) en forma efectiva se necesita una expresión de Utn en función de los flujos. Si se aplican (17-58) y (17-60) a este casóse obtiene 0 — LI + M? y <// -MI + ¿7. Al despejar las corrientes de éstas se encuentra que
7/0-
LL~ M2
-M0+Í0'
LL'-M2
(18-44)
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\ dx /
Sustituyendo estos valores en Um = V2 (Z 0 + i' 0') según (18-7), queda
Um = LL-| L'<&2 ~ M<M>' + | L0/2)	(18-45)
Si ahora, de acuerdo con (18-43), se deriva esta expresión recordando que todo excepto
M es constante, se encontrará que
=	!	\ ML'& ~(LL' +	+ MLV2]^-
* (ZX'-M2)2
dx
donde se ha usado (1844). Por lo tanto, la componente x de (1843) es
dx /o dx
que es exactamente lo mismo que se encontró en (18-41) como una aplicación de (18-39);
dado que existen expresiones similares para las componentes y y z, se llegará de nuevo a
(18-40) como el resultado general de la fuerza sobre el circuito C.
Ejemplo
Ley de Ampere. Aunque la apariencia de (1840) es diferente, debe expresar lo mismo que
la ley de Ampere. Es fácil observar que tal es el caso. Si se sustituye la forma apropiada de
(1748) para este caso en (1840), se obtiene
La traslación rígida de C que se está suponiendo aquí, no afectará los elementos de línea
ds y ds ni los límites de la doble integral; de hecho en lo que respecta al operador A, la
única variable viene a ser R. Por ello, es posible intercambiar la derivación y la integra-
ción y utilizar (143) para obtener
que viene a ser exactamente la versión de la ley de Ampere expresada en (13-6) la cual,
como ya se sabe, es equivalente a (13-1) para el cálculo de la fuerza total sobre C.
Ejemplo
Dos solenoides largos entremetidos.Supóngase que se tienen dos solenoides ideales largos
uno de los cuales se introduce dentro del otro una distancia x, como se ilustra en la figura
18- 2. Supóngase que el enrollado de ambos es lo suficientemente delgado para que se pue-
dan tomar sus secciones como iguales y de valor S. En este caso los solenoides no son
infinitamente largos, por lo que no es válido suponer que los valores de B producidos por
ellos en la región de traslape sean los mismos que se calcularon para el interior de un sole-
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noide en un punto lejano a los extremos. De hecho, como se verá más adelante, las líneas de B tienden a sufrir una divergencia brusca en los extremos, alejándose del eje como se muestra en la figura 18-3, por lo que no todas pasarán por las vueltas alejadas del otro solenoide. Sin embargo, se pueden despreciar estos “efectos de borde” six es lo suficientemente grande, y encontrar la inductancia mutua considerando únicamente el flujo contenido en la región de traslape; es por ello posible utilizar un resultado previo que se basa en la figura 17-15. Supóngase que el solenoide interior tiene n vueltas por unidad de longitud y conduce una corriente /; los valores para el solenoide exterior son n' e /. La inductancia mutua puede obtenerse a partir de (17-54) resultando M = ¡j.onn'Sx. Si se usa esto en (18-41) se encuentra que la fuerza es
(18-47)
La última forma se obtuvo por medio de (15-24) y expresa la fuerza en función de las inducciones producidas por cada solenoide. ¿Cuál es la dirección de esta fuerza? Si tanto I como / circulan en sus respectivos solenoides en el mismo sentido, el flujo producido por uno de ellos en el otro será positivo y, según (17-45), M también será positiva. Entonces dM/dx será positiva y Fmx será positiva, por lo que el solenoide interior será atraído por el exterior. Esto es consistente con lo expresado a continuación de (13-14) en el sentido de que corrientes paralelas se atraen entre sí. Si I e / circulan en sentidos opuestos, el flujo producido por uno de ellos en el otro será negativo, según la convención de signos utilizada, haciendo que M sea negativa, por lo que dM/dx y Fmx serán también
Figura 18-2 Dos solenoides largos entremetidos.
un solenoide.
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negativas. Por lo tanto, el solenoide interior será repelido por el exterior, de nuevo en consistencia con la aseveración cualitativa de que corrientes “opuestas” se repelen entre sí. Pero todo esto se halla contenido en (18-47) si se les asignan a las corrientes signos relativos de acuerdo con su sentido de circulación. Así, si van en el mismo sentido, II será positivo, por lo que Fmx también, mientras que si circulan en sentidos opuestos// < 0, por lo que Fmx < 0, de acuerdo con todo lo anterior. Se puede expresar este mismo resultado de una manera muy agradable en función de las inducciones, escribiendo (18-47) como
c
m,= BB
Mo
(18-48)
que automáticamente da el signo correcto de Fmx
Ya antes, al considerar la fuerza sobre una de las placas de un capacitor de placas paralelas cargado, se encontró en (7-50) que existía una fuerza por unidad de área sobre el conductor, que era hacia afuera de la superficie (una tensión) y numéricamente igual a la densidad de energía en la superficie. Se puede obtener un resultado similar aquí si se analiza el ejemplo específico de lo que constituye quizá la analogía más cercana a las placas de carga opuesta de un capacitor de placas paralelas.
Ejemplo
Dos planos con corrientes dirigidas en sentidos contrarios. La figura 18-4 muestra una vista de perfil de dos planos paralelos largos que conducen corrientes de densidad constante K pero en sentidos opuestos, uno dirigido hacia afuera de la página y otro hacia adentro de la misma. El ancho de los planos es w y la distancia entre ellos es x, medida en el sentido que se indica. Si los planos son muy largos y si w>x, se pueden despreciar los efectos de borde y tomar los planos como si fueran infinitos. En este caso, se sabe por (14-26) que la B producida por cada uno de los planos tendrá por magnitud % PqK, será perpendicular a la dirección de K, y por lo tanto, estará en el plano de la página, teniendo direcciones opuestas en cada lado del plano. La figura muestra estas inducciones con flechas puntea-
Bo	B .	B = 0
K —
(saliendo)
K -
(entrando)
®o .	B¿	B = 0
Figura 18-4 Dos planos con corrientes en direcciones opuestas.
B
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das, y están marcadas según su corriente fuente (“hacia afuera” o “hacia adentro”). La inducción resultante B = Bo + Bz se muestra como una flecha sólida, y se puede observar que B =# 0 únicamente en la región entre las placas, donde su magnitud es constante e igual a HtyK. Al sustituir esto en (18-20) se encuerna que la densidad de energía es um = ¥2 p.0 K2 = const. entre las placas, mientras que es igual a cero en todo sitio distinto. Por lo tanto, la energía magnética de una longitud l de este sistema y del volumen correspondiente wlx es, de acuerdo con (18-23),
f ^QK2dT = ^0K2Wlx	(18-49)
De (18-39) se obtiene la fuerza magnética sobre el plano superior, que corresponde a un aumento de x, y es
F„=^x=lMo^>/)i	(18-50)
Nótese que esta fuerza se encuentra en la dirección postiva de x, por lo que es de repulsión, como era de esperarse ya que se trata de corrientes contrarias. Nótese también que es proporcional a w/, es decir, el área del plano, por lo cual si se introduce una fuerza por unidad de área, fm , ésta será
IF I 1
=	(18-51)
pudiéndose observar que su magnitud es exactamente igual a la de la densidad de energía magnética. En este caso x es la normal a la superficie, dirigida desde la región de B =# 0 hacia la región de B = 0, lo que permite escribir la fuerza por unidad de superficie en forma vectorial como
(18-52)
La dirección de la fuerza es tal que tiende a mover el plano hacia la región de B = 0, por lo que se le puede describir adecuadamente como una presión. De nuevo aquí, este efecto suele asociarse más a menudo con la energía cinética que con la potencial.
Al combinar todas las posibles relaciones, se puede expresar fm de diversas maneras, por ejemplo
D 2	1	1
=	=	(18-53)
donde K y B se evalúan en la posición donde se desea conocer f . Todos estos resultados son muy similares a los obtenidos para el caso electrostático y expresados por (7-49), (7-50) y (7-52).
En todo lo anterior se ha supuesto que los circuitos son completamente rígidos. Si las fuerzas internas de sus materiales no son lo suficientemente fuertes para balancear estas fuerzas magnéticas, los conductores que encierran los circuitos se deformarán. Esta deformación, por lo general, continuará hasta que las nuevas fuerzas elásticas que se produzcan sean lo suficientemente grandes como para producir una nueva configuración de equilibrio en el sistema.